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第 07 讲 一元二次方程
目 录
题型01 识别一元二次方程 题型14 与根的判别式有关的新定义问题
题型02 由一元二次方程的概念求参数的值 题型15 由根与系数的关系直接求代数式的
题型03 一元二次方程的一般形式 值
题型04 由一元二次方程的解求参数的值 题型16 由根与系数的关系和方程的解通过
题型05 由一元二次方程的解求代数式的值 代换求代数式的值
题型06 已知一元二次方程的一个根，求另 题型17 由方程两根满足关系求字母或代数
一个根 式的值
题型07 选用合适的方法解一元二次方程 题型18 与根与系数有关的新定义问题
题型08 错看或错解一元二次方程问题 题型19 构造一元二次方程求代数式的值
题型09 配方法的应用 题型20 根与系数的关系和根的判别式的综
题型10 判断不含字母的一元二次方程根的 合应用
情况 题型21 分裂（传播）问题
题型11 判断含字母的一元二次方程根的情 题型22 碰面（循环）问题
况 题型23 增长率问题
题型12 由方程根的情况确定字母的值或取 题型24 营销问题
值范围 题型25 与图形有有关的问题
题型13 应用根的判别式证明方程根的情况
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题型 01 识别一元二次方程
1．（2023泸县一诊）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
1
A．2x2=5x−1 B．x+ =2
x
C．(x−3)(x+1)=x2−5 D．3x−y=5
【答案】A
【分析】利用一元二次方程的定义，即可找出结论．
【详解】解：A．方程2x2=5x−1是一元二次方程，选项A符合题意；
1
B．方程x+ =2是分式方程，选项B不符合题意；
x
C．原方程整理得2x−2=0，该方程为一元一次方程，选项C不符合题意；
D．3x−y=5是二元一次方程，选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方
程是一元二次方程是解题的关键．
2．（202.无为市一模）下列方程是一元二次方程的是（ ）
1
A．x2−2x+ =0 B．y=2x2−3x−1
x
C．x2−1=0 D．y2−x+3=0
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解∶A、分母含未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、含2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、含2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整
式方程是一元二次方程是解题的关键．
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题型 02 由一元二次方程的概念求参数的值
1．（2022上·湖南长沙·九年级统考期末）若关于x的方程(m−3)x2+x−m=0是一元二次方程，则m的取
值范围是（ ）
A．m≠3 B．m=3 C．m≥3 D．m≠0
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义，方程二次项系数不等于零，求解即可．
【详解】解：由题意，得m-3≠0，
∴m≠3，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的概念，一般地，形如ax2+bx+c=0，a，b，c是常数，且a≠0的方程是一
元二次方程．
2．（2023·山东青岛·统考二模）关于x的方程x|a|−1−3x+2=0是一元二次方程，则a的值为 ．
【答案】±3
【分析】根据一元二次方程的定义得出|a|−1=2，再求出a即可．
【详解】解：∵关于x的方程x|a|−1−3x+2=0是一元二次方程，
∴|a|−1=2，
解得：a=±3．
故答案为：±3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，是一元二次方程必须同时满足三个条件：①时整式方程，即等
号两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．
3．（2022西咸新区五模）若方程(m−1)x2+√mx=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ．
【答案】m≠1且m≥0
【分析】根据一元二次方程的定义进行解答即可．
【详解】∵方程(m−1)x2+√mx=1是关于x的一元二次方程，
∴m-1≠0且m≥0，
∴m≠1且m≥0.
故答案是：m≠1且m≥0.
【点睛】考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程
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叫一元二次方程是解答此题的关键．
题型 03 一元二次方程的一般形式
1．（2023株洲市三模）一元二次方程2x2+1=3x的二次项系数是2，则一次项系数是（ ）
A．3 B．−3 C．1 D．−1
【答案】B
【分析】先把方程化成一元二次方程的一般形式，再找出一次项系数即可．
【详解】解：2x2+1=3x，
2x2−3x+1=0，
所以一次项系数是−3，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）．
2．（2022上·福建泉州·九年级晋江市第一中学校联考阶段练习）一元二次方程2y2−7=3 y的二次项系数、
一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，﹣3，﹣7 B．2，﹣7，﹣3 C．2，﹣7，3 D．﹣2，﹣3，7
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判
断即可．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．
这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，
b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：一元二次方程2y2−7=3 y化为一般形式为：2y2−3 y−7=0，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是2,−3,−7，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0是解题的关
键．
3．（2022上·广西柳州·九年级统考期中）一元二次方程x2−(3x−2)=8的一般形式是 ．
【答案】x2−3x−6=0
【分析】根据去括号，移项，合并同类项的步骤求解即可．
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【详解】解：x2−(3x−2)=8，
x2−3x+2=8，
x2−3x−6=0，
故答案为：x2−3x−6=0．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，即ax2+bx+c=0(a≠0)．其中a是二次项系数，b是一次
项系数，c是常数项．
题型 04 由一元二次方程的解求参数的值
1．（2022·广东广州·统考一模）若关于x的一元二次方程（a - 1）x2 - ax + a2 = 1的一个根为0．则a =
．
【答案】-1
【分析】根据一元二次方程的定义及根的意义，得到a2=1,a−1≠0，求解即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程（a - 1）x2 - ax + a2 = 1的一个根为0
∴a2=1,a−1≠0
∴a=−1
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键．
题型 05 由一元二次方程的解求代数式的值
1．（2022·浙江金华·统考一模）已知a是方程2x2−3x−5=0的一个解，则−4a2+6a的值为（ ）
A．10 B．－10 C．2 D．－40
【答案】B
【分析】将a代入方程得到2a2−3a=5，再将其整体代入所求代数式即可得解．
【详解】∵a是方程的一个解，
∴有2a2−3a−5=0，即，2a2−3a=5，
∴−4a2+6a=−2(2a2−3a)=−2×5=−10，
故选：B．
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【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，此类题的特点是利用方程的解的定义找到相等关系，再将
其整体代入所求代数式，即可快速作答，盲目解一元二次方程求a值再代入计算，此方法耗时费力不可取．
2．（2022上·福建泉州·九年级期末）已知实数a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，则a4+a3+8a﹣1的值为
（ ）
A．62 B．63 C．64 D．65
【答案】B
【分析】把方程的解代入方程得到关于a的等式，然后利用等式对代数式进行化简求值．
【详解】∵a是一元二次方程x2+x−8=0的一个根，
∴a2+a−8=0
∴a2+a=8
∴a4+a3+8a−1=a2(a2+a)+8a−1=8a2+8a−1=8(a2+a)−1=64−1=63
故选：B
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于a的等式，利用等式对代数式
进行化简并求出代数式的值．
3．（2020·江苏泰州·统考一模）已知，m，n是一元二次方程x2+x−2021=0的两个实数根，则代数式
m2+2m+n的值等于 ．
【答案】2020
【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2+m=2021，则m2+2m+n=2021+m+n，再利用根与系数的关系得
到m+n=-1，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m是一元二次方程x2+x-2021=0的实数根，
∴m2+m-2021=0，
∴m2+m=2021，
∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2021+m+n，
∵m，n是一元二次方程x2+x-2021=0的两个实数根，
∴m+n=-1，
∴m2+2m+n=2021-1=2020．
故答案为：2020．
b
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x+x=- ，
1 2 1 2 a
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c
xx= ．也考查了一元二次方程的解．
1 2 a
题型 06 已知一元二次方程的一个根，求另一个根
1．（2021·山东济南·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+x−a=0的一个根是2，则另一个根是
．
【答案】-3
【分析】由题意可把x=2代入一元二次方程进行求解a的值，然后再进行求解方程的另一个根．
【详解】解：由题意把x=2代入一元二次方程x2+x−a=0得：
22+2−a=0，解得：a=6，
∴原方程为x2+x−6=0，
解方程得：x =2,x =−3，
1 2
∴方程的另一个根为-3；
故答案为-3．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及其解法，熟练掌握一元二次方程的解及其解法是解题的关键．
2．（2020高州市一模）已知x=1是方程x2+bx−2=0的一个根，则方程的另一个根是 ．
【答案】x=−2
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：设另外一个根为x，
由根与系数的关系可知：1⋅x=−2，即x=−2．
故答案为：x=−2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．若
b c
x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x +x =− ，x x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
3．（2022·北京顺义·统考一模）已知关于x的一元二次方程mx2−(2m−1)x+m−2=0有两个不相等的
实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若方程有一个根是0，求方程的另一个根．
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1
【答案】(1)m＞− 且m≠0
4
3
(2)另一个根为
2
【分析】（1）由一元二次方程定义和根的判别式与根之间的关系，列不等式组求解即可．
（2）将x=0代入原方程，求出m，再解方程即可．
【详解】（1）解：∵mx2−(2m−1)x+m−2=0是一元二次方程，
∴m≠0 ，
∵一元二次方程mx2−(2m−1)x+m−2=0有两个不相等的实数，
∴Δ=b2−4ac＞0 ，
2
即：[−(2m−1)] −4m(m−2)＞0 ，
整理得：4m+1＞0 ，
1
∴m＞− ，
4
1
综上所述：m＞− 且m≠0．
4
（2）∵方程有一个根是0，
将x=0代入方程得：m−2=0 ，
∴m=2 ，
则原方程为：2x2−3x=0 ，
3
解得：x =0,x = ，
1 2 2
3
∴方程的另一个根为 ．
2
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式与根的关系：Δ＞0⇔方程有两个
不相等的实数根 ， Δ=0⇔方程有两个相等的实数根，Δ＜0⇔方程没有实数根，Δ≥0⇔方程有实数根．
熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键，一元二次方程的二次项系数不能为0是易错点．
4．（2022·北京海淀·校考一模）关于x的一元二次方程x2−2x+3m−2=0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若方程有一根为4，求方程的另一根．
【答案】(1)m≤1
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(2)-2
【分析】（1）由方程有实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取
值范围；
（2）将x＝4代入原方程求出m值，再将m的值代入原方程，利用十字相乘法解一元二次方程，即可得出
方程的另一个根．
（1）
解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+3m−2=0有实数根，
∴其根的判别式Δ≥0，即(−2) 2−4(3m−2)≥0，
解得：m≤1．
（2）
解：将x=4代入x2−2x+3m−2=0，得：42−2×4+3m−2=0，
解得：m=−2，
∴该一元二次方程为x2−2x−8=0．
即(x−4)(x+2)=0，
∴x =4，x =−2，
1 2
∴方程的另一根为-2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解以及解一元二次方程．（1）掌握“当
一元二次方程有实数根时，根的判别式Δ=b2−4ac≥0”是关键；（2）理解一元二次方程的解的定义和
解一元二次方程的方法是关键．
题型 07 选用合适的方法解一元二次方程
1．（2023·河南周口·统考一模）计算：解方程：5x(2x−1)−2(2x−1)=0．
1 2
【答案】x = ，x =
1 2 2 5
【分析】方程去括号，因式分解求解即可．
【详解】解：去括号，得：10x2−9x−2=0，
因式分解，得：(2x−1)(5x−2)=0，
1 2
解得：x = ，x = ．
1 2 2 5
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，按照解方程的步骤求解即可．
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57．（2023·山东淄博·统考二模）请分别用公式法和配方法两种方法解方程：x2+2x−1=0．
【答案】x =√2−1，x =−√2−1
1 2
【分析】用配方法解方程，首先移项，把常数项移到等号的右边，再将二次项系数化为1，然后在方程的
左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可使左边变形成完全平方式，右边是常数，直接开方即可求
解；用公式法解方程，首先找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式，由根
的判别式大于0，得到方程有解，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．
【详解】解：配方法，
移项得x2+2x=1，
配方得：x2+2x+1=1+1，即(x+1) 2=2
开方得：x+1=±√2
解得：x =√2−1，x =−√2−1；
1 2
公式法：
∵a=1，b=2，c=−1，
∴b2−4ac=22−4×1×(−1)=8>0，
−2±2√2
∴x= =−1±√2，
2
∴x =√2−1，x =−√2−1．
1 2
【点睛】此题考查了解一元二次方程－公式法和配方法，解题时要注意解题步骤的准确应用．
2．（2023·江西吉安·校考模拟预测）解方程：
(1)(2x+1) 2=(x−3) 2；
(2)3x2−9x+4=0．
2
【答案】(1)x = ，x =−4
1 3 2
9+√33 9−√33
(2)x = ，x =
1 6 2 6
【分析】（1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
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【详解】（1）解：∵(2x+1) 2=(x−3) 2，
∴(2x+1) 2−(x−3) 2=0，
∴(2x+1+x−3)(2x+1−x+3)=0，即(3x−2)(x+4)=0，
∴3x−2=0或x+4=0，
2
解得x = ，x =−4；
1 3 2
（2）解：∵3x2−9x+4=0，
∴a=3，b=−9，c=4，
∴Δ=b2−4ac=(−9) 2−4×3×4=33>0，
−b±√b2−4ac 9±√33
∴x= = ，
2a 6
9+√33 9−√33
解得x = ，x = ．
1 6 2 6
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
3．（2023·青海·统考一模）提出问题
为解方程(x2−2) 2 −11(x2−2)+18=0，我们可以将x2−2视为一个整体，然后可设x2−2= y，则
(x2−2) 2 = y2，于是原方程可转化为y2−11y+18=0，解此方程，得y =2，y =9．
1 2
当y =2时，x2−2=2，x2=4，∴x=±2；
1
当y =9时，x2−2=9，x2=11，∴x=±√11．
2
∴原方程的解为x =2，x =−2，x =−√11，x =√11．
1 2 3 4
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题
（1）运用上述换元法解方程x4−3x2−4=0．
延伸拓展
（2）已知实数m，n满足(m+3n)(m+3n−2)=2m+6n−4，求4m+12n−3的值．
【答案】（1）x =−2，x =2；（2）5
1 2
【分析】（1）根据材料提示，利用换元法解方程即可求解；
（2）按整式的乘法，先展开，再合并同类项，利用完全平方公式以及材料中换元法解方程即可求解．
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【详解】解：解决问题：（1）设x2=a，
∴原方程变形为a2−3a−4=0，解得，a =−1，a =4，
1 2
当a=−1时，x2≥0≠−1，故舍去；
当a=4时，x2=4，解得，x =−2，x =2；
1 2
综上所示，原方程的解为x =−2，x =2．
1 2
延伸拓展：（2）(m+3n)(m+3n−2)=2m+6n−4
∴(m+3n)(m+3n−2)=m2+6mn+9n2−2m−6n，
∴原式变形为m2+6mn+9n2−4m−12n+4=0，
∴(m+3n) 2−4(m+3n)+4=0，设m+3n=P，
∴P2−4P+4=0，则(P−2) 2=0，解得，P=2，即m+3n=2，
∵4m+12n−3=4(m+3n)−3，
∴4m+12n−3=4(m+3n)−3=4×2−3=5
∴4m+12n−3=5．
【点睛】本题主要考查解方程的运用，掌握整体思想，换元思想解方程，完全平方公式的变形是解题的关
键．
题型 08 错看或错解一元二次方程问题
1．（2023·河南信阳·校考三模）小明在解方程x2−3x+2=0时，发现用配方法和公式法计算量都比较大，
因此他又想到了另外一种方法，快速解出了答案：
方法如下：
x2−3x+2=0
x2−2x−x+2=0 第①步
x2−2x=x−2 第②步
x(x−2)=x−2 第③步
x=1 第④步
老师看到后，夸小明很聪明，方法很好，但是有一步做错了，请问小明出错的步骤为 （填序号）．
【答案】④
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【分析】由x(x−2)=x−2，(x−1)(x−2)=0，解得x=1或x=2，进而判断作答即可．
【详解】解：x(x−2)=x−2，
(x−1)(x−2)=0，
解得x=1或x=2，
∴第④步错误，
故答案为：④．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于正确的解一元二次方程．
2．（2023·浙江杭州·统考二模）以下是圆圆解方程的具体过程：(x−3) 2=2(x−3)的具体过程，方程两边
同除以(x−3)，得x−3=2，移项，得x=5，试问圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确
的解答过程.
【答案】错误，见解析
【分析】利用因式分解法解方程可判断圆圆的解答过程是否有错误．
【详解】解：圆圆的解答过程有错误；正确的解答过程为：
移项得，x(x−3)−2(x−3)=0，
利用因式分解法整理：(x−3)(x−2)=0，
解得：x−3=0或x−2=0，
所以x =3或x =2．
1 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，
这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
3．（2023·福建泉州·统考一模）小明在解方程x2−5x=−3的过程中出现了错误，其解答如下：
解：∵a=1，b=−5，c=−3，．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步
∴b2−4ac=(−5) 2−4×1×(−3)=37，．．．．．．．．．．．．．第二步
5±√37
∴x= ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第三步
2
5+√37 5−√37
∴x = ,x = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步
1 2 2 2
(1)问：小明的解答是从第________步开始出错的；
(2)请写出本题正确的解答．
【答案】(1)一
(2)见解析
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【分析】（1）根据等式的性质，移项需要改变移动的项的符号可得出答案；
（2）先移项，再利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：∵移项需要变号，
∴c=3，
故答案为：一；
（2）解：x2−5x+3=0，
∵ a=1，b=−5，c=3，
∴ b2−4ac=(−5) 2−4×1×3=13，
−(−5)±√13
∴ x= ，
2
5+√13 5−√13
∴ x = ,x = ．
1 2 2 2
【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
题型 09 配方法的应用
1．（2023·江苏扬州·统考一模）已知y2−2x+4=0，则x2+ y2+2x的最小值是（ ）
A．8 B．−8 C．−9 D．9
【答案】A
【分析】由已知得y2=2x−4，注意x的取值范围，代入x2+ y2+2x再配方，利用非负数的性质即可求解．
【详解】解：∵y2−2x+4=0，
∴y2=2x−4，且2x−4≥0即x≥2，
∴x2+ y2+2x=x2+2x−4+2x
=x2+4x+4−8
=(x+2) 2−8，
∵(x+2) 2≥0，x≥2
∴当x=2时，x2+ y2+2x的最小值是8，
故选：A．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式及确定x的取值范
围是解决问题的关键．
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2．（2021·安徽马鞍山·统考二模）已知a,b,c为实数，且b+c=5−4a+3a2,c−b=1−2a+a2，则
a,b,c之间的大小关系是（ ）
A．a0，
∴a2xy．
②当x=1，y=2时，∵x2+ y2=5，2xy=4，∴ x2+ y2>2xy．
③当x=2，y=2.5时，∵ x2+ y2=10.25，2xy=10，∴x2+ y2>2xy．
④当x=3，y=3时，∵ x2+ y2=18，2xy=18，∴x2+ y2________2xy．
(2)归纳：x2+ y2与2xy有怎样的大小关系？试说明理由．
4
(3)运用：求代数式x2+
的最小值．
x2
【答案】(1)=
(2)x2+ y2≥2xy，理由见解析；
4
(3)代数式x2+
的最小值为8．
x2
【分析】（1）求得x2+ y2=18，2xy=18，得到x2+ y2=2xy；
（2）结合完全平方的非负性即可解答；
（3）利用归纳的结论即可求解．
【详解】（1）解：当x=3，y=3时，∵ x2+ y2=18，2xy=18，
∴x2+ y2=2xy，
故答案为：=；
（2）解：x2+ y2≥2xy，理由如下，
∵x2−2xy+ y2=(x−y) 2≥0，
∴x2+ y2≥2xy；
（3）解：∵x2+ y2≥2xy，
4 4
∴x2+ ≥2x2 ⋅ =8，
x2 x2
4
∴代数式x2+
的最小值为8．
x2
【点睛】本题考查了配方法的应用，利用完全平方非负数的性质是解题关键．
题型 10 判断不含字母的一元二次方程根的情况
1．（2023殷都区一模）一元二次方程x2−3x+1=0的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
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【答案】B
【分析】根据判别式Δ=b2−4ac即可判断求解．
【详解】解：由题意可知：a=1,b=−3,c=1，
∴Δ=b2−4ac=(−3) 2−4×1×1=5>0，
∴方程x2−3x+1=0有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：当Δ=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当
Δ=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ=b2−4ac<0时，方程没有实数根．
2．（2023秦皇岛开发区一模）不解方程，判别方程2x2﹣3√2x＝3的根的情况（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无实数根
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，Δ=0时，方程有两个相等
的实数根，Δ＜0时，方程没有实数根，进而确定根的情况即可.
【详解】解：∵2x2﹣3√2x＝3，
∴2x2﹣3√2x﹣3＝0，
∵Δ＝（﹣3√2）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＝42＞0，
∴有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式判断根的情况，熟练地掌握该知识是解决问题的关键.
题型 11 判断含字母的一元二次方程根的情况
1．（2022·河南商丘·统考三模）关于x的方程2x2−mx−3=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【答案】A
【分析】根据根的判别式的判断方程根的数量即可．
【详解】解：△=(−m) 2−4×2×(−3)=m2+24>0，
故方程有两个不相等的实数根，
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故选：A．
【点睛】本题考查根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的数量，能够熟练应用根的判别
式是解决本题的关键．
2（2022·广东广州·统考一模）若16m+2＜0，则关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0的根的情况是（
）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【分析】先计算出m的范围，判断出方程为二次方程，再计算判别式的范围即可得出答案．
1
【详解】解：由已知16m+2＜0，解得m<− ,即方程为二次方程，
8
判别式Δ=[−(2m+1)] 2 −4m(m−1)=4m2+4m+1−4m2+4m=8m+1，
1
∵m<− ，
8
∴8m+1<0，
∴关于x的方程没有实数根；
故选：A．
【点睛】本题考查一次不等式的解法，二次方程根的判断，熟悉公式准确计算是解题的关键．
1
3．（2022·云南玉溪·统考一模）对于任意的实数m，关于x的方程x2−mx− =0的根的情况是（ ）
2
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】B
【分析】判断方程的根的情况，只要看根的判别式 =b2-4ac的值的符号即可.
1 △
【详解】解：∵a=1，b=−m，c=−
2
∴Δ=b2−4ac=m2+2＞0
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（1）
＞0 方程有两个不相等的实数根；（2） =0 方程有两个相等的实数根；（3） ＜0 △方程没有实数
△ ⇔ △ ⇔ △ ⇔
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根，是解决问题的关键．
题型 12 由方程根的情况确定字母的值或取值范围
1．（2023·广东肇庆·统考二模）若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值
可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得Δ=4−4m>0，解出m的取值范围即可进行判
断．
【详解】解：根据题意，得Δ=4−4m>0，
解得m<1，
∵0<1，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
2．（2021·山东泰安·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程kx2−(2k−1)x+k−2=0有两个不相等
的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
1 1
A．k>− B．k<
4 4
1 1
C．k>− 且k≠0 D．k< 且k≠0
4 4
【答案】C
【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两
个不等式即可得到k的取值范围．
【详解】解：由题可得：¿,
1
解得：k>− 且k≠0；
4
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能
读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学
生的计算能力有一定的要求．
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3．（2023武鸣区二模）关于x的一元二次方程(k+1)x2−2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是
（ ）
A．k≥0 B．k≤0 C．k<0且k≠−1 D．k≤0且k≠−1
【答案】D
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2−4ac≥0,
进行计算即可．
【详解】解：根据一元二次方程一元二次方程(k+1)x2−2x+1=0有两个实数根，
Δ=b2−4ac=4−4(k+1)≥0,
解得：k≤0，
根据二次项系数k+1≠0, 可得：k≠−1.
故选D．
【点睛】考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2−4ac，
当Δ=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ=b2−4ac<0时，方程没有实数根．
题型 13 应用根的判别式证明方程根的情况
1．（2023·北京昌平·统考二模）关于x的一元二次方程x2−kx+k−1=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于0，求k的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)k<1
【分析】（1）先求出判别式，利用配方法Δ=k2−4k+4=(k−2) 2变为完全平方式即可，
（2）利用求根公式，先求一元二次方程含k 的根，让其一根小于0，求出范围即可．
【详解】（1）解：Δ=(−k) 2−4×1×(k−1)，
=k2−4k+4，
=(k−2) 2≥0，
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∴方程总有两个实数根；
k±√(k−2) 2
（2）解：∵x= ，
2×1
k±(k−2)
∴x= ，
2
∴x =1,x =k−1 ，
1 2
∵方程有一根小于0，
∴ k−1<0，
∴k<1．
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的范围问题，掌握根的判别式的用途，会用根的判别式解决
方程根的情况，会利用求根公式解方程，会用条件利用不等式，会解不等式是关键．
2．（2021上·北京·九年级北京市十一学校校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2−mx+m−1=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于−4，求m的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)m<−3
【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；
（2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围．
【详解】（1）解：b2−4ac=(−m) 2−4×1×(m−1)=(m−2) 2
∵(m−2) 2≥0
∴方程总有两个实数根；
（2）解：原方程可化为：
(x−1)(x−m+1)=0
∴x−1=0 或x−m+1=0
解得：x =1 ，x =m−1
1 2
由题意可得：m−1<−4
解得：m<−3
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是
解题的关键．
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1
3．（2020·湖北孝感·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+ k2−2=0．
2
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x ，x 满足x −x =3，求k的值．
1 2 1 2
【答案】（1）见解析 （2）0，-2
【分析】（1）根据根的判别式即可求证出答案；
（2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得k与的x 、x 的关系式，进一步可以求出答案.
1 2
【详解】(1)证明：∵Δ=(2k+1) 2−4× (1 k2−2 ) =2k2+4k+9 =2(k+1) 2+7，
2
∵无论k为何实数，2(k+1) 2≥0，
∴Δ=2(k+1) 2+7>0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)由一元二次方程根与系数的关系得：
1
x +x =2k+1，x x = k2−2，
1 2 1 2 2
∵x −x =3，
1 2
∴(x −x ) 2=9，
1 2
∴(x +x ) 2−4x x =9，
1 2 1 2
∴(2k+1) 2−4× (1 k2−2 ) =9，化简得：k2+2k=0，
2
解得k=0，−2．
【点睛】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题.
4．（2023·江苏扬州·统考二模）已知关于x的一元二次方程x2−(m−1)x+m−2=0
(1)求证：该方程总有两个实数根．
(2)若该方程两个实数根的差为3，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)0或6
【分析】（1）由x2−(m−1)x+m−2=0，可知a=1，b=−(m−1)，c=m−2，根据
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△=b2−4ac=[−(m−1)] 2 −4(m−2)=(m−3) 2≥0 ，证明即可；
b c
（2）由x2−(m−1)x+m−2=0，可得x +x =− =m−1，x ⋅x = =m−2，由该方程两个实数根的
1 2 a 1 2 a
差为3，可得(x −x ) 2=9，即(x −x ) 2=(x +x ) 2−4x ⋅x ，(m−1) 2−4(m−2)=9，计算求解即可．
1 2 1 2 1 2 1 2
【详解】（1）证明：x2−(m−1)x+m−2=0，
a=1，b=−(m−1)，c=m−2，
∴△=b2−4ac=[−(m−1)] 2 −4(m−2)=(m−3) 2≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2−(m−1)x+m−2=0，
b c
∴x +x =− =m−1，x ⋅x = =m−2，
1 2 a 1 2 a
∵该方程两个实数根的差为3，
∴(x −x ) 2=9，
1 2
∵(x −x ) 2=(x +x ) 2−4x ⋅x ，
1 2 1 2 1 2
∴(m−1) 2−4(m−2)=9，
解得m=0或m=6，
∴m的值为0或6．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形．解
题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
5．（2023·北京大兴·统考二模）已知关于x的方程x2−(m+4)x+4m=0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个根小于1，求m的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)m<1
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ=(m−4) 2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x =4，x =m，根据方程有一根小于1，即可得出m的取值
1 2
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范围．
2
【详解】（1）解∶ ∵Δ=[−(m+4)] −4×4m
=m2−8m+16
=(m−4) 2≥0
∴方程总有两个实数根．
（2）解：由求根公式，得
(m+4)±(m−4)
x=
2
∴x =4，x =m，
1 2
依题意可得m<1．
【点睛】本题考查了根的判别式、公式法解一元二次方程，利用公式法解一元二次方程表示出方程的两个
根，熟练掌握当Δ≥0时，方程有两个实数根是解题关键．
题型 14 与根的判别式有关的新定义问题
1．（2023·河南信阳·统考一模）定义新运算：a◎b=ab−b2，例如1◎2=1×2−22=2−4=−2，则方程
2◎x=5的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】先根据定义得到关于x的一元二次方程，然后计算一元二次方程的判别式即可得解．
【详解】方程2◎x=5化为2x−x2=5，
一元二次方程化为一般式为x2−2x+5=0，
∵Δ=(−2) 2−4×1×5=−16<0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查新定义下的方程应用，熟练掌握所给定义的应用、一元二次方程根的判别式的计算及应
用是解题关键．
3．（2022·河北·校联考一模）新定义运算：a※b=a2−ab+b，例如2※1=22−2×1+1=3，则方程
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x※2=5的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】根据新定义，列出方程x2−2x+2=5，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：根据题意得：x2−2x+2=5，
整理得：x2−2x−3=0，
∴Δ=(−2) 2−4×(−3)>0，
∴方程x※2=5有两个不相等的实数根．
故选：D
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当
Δ=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当
Δ=b2−4ac<0时，方程没有实数根是解题的关键．
3．（2023·山东烟台·统考二模）对于实数a，b定义新运算：a※b=ab2−b，若关于x的方程1※x=k有
两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ．
1 1
【答案】k>− /− 0，再解不等式即可．
【详解】解：∵a※b=ab2−b，
∴1※x=x2−x=k，
整理得x2−x−k=0，
∴Δ=(−1) 2−4×1×(−k)=1+4k>0，
1
解得k>−
.
4
1
故答案为：k>−
.
4
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当
Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
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题型 15 由根与系数的关系直接求代数式的值
1．（2021·江苏泰州·统考中考真题）关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x、x 则x+x﹣x•x 的值为
1 2 1 2 1 2
．
【答案】2．
【分析】先根据根与系数的关系得到x +x =1,x ·x =−1，然后利用整体代入的方法计算即可．
1 2 1 2
【详解】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x、x，
1 2
∴x +x =1,x ·x =−1，
1 2 1 2
∴x+x﹣x•x=1-（-1）=2．
1 2 1 2
故答案为：2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x ,x 为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，则有
1 2
b c
x +x =− ,x ·x = ，熟记知识点是解题的关键．
1 2 a 1 2 a
2．（2021·江西·中考真题）已知x ，x 是一元二次方程x2−4x+3=0的两根，则x +x −x x = ．
1 2 1 2 1 2
【答案】1
【分析】直接利用根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵x ，x 是一元二次方程x2−4x+3=0的两根，
1 2
∴x +x =4，x x =3，
1 2 1 2
∴x +x −x x =4−3=1．
1 2 1 2
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若x 、x 是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则
1 2
b c
x +x =− ，x x = ．
1 2 a 1 2 a
3．（2023上·四川成都·九年级统考期末）若a，b是方程x2+2x−4=0的两个实数根，则(a−2)(b−2)的
值为 ．
【答案】4
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到a+b=−2，ab=−4，再将(a−2)(b−2)计算得
(a−2)(b−2)=ab−2a−2b+4=ab−2(a+b)+4，代入即可得到答案．
【详解】解：∵ a，b是方程x2+2x−4=0的两个实数根，
∴ a+b=−2，ab=−4，
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∴ (a−2)(b−2)
=ab−2a−2b+4
=ab−2(a+b)+4
=−4−2×(−2)+4
=−4+4+4
=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x 、x 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根，
1 2
b c
则x +x =− ，x ⋅x = ，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
1 2 a 1 2 a
b a
4.（2023上·全国·九年级专题练习）若方程x2−3x+1=0的两个实数根为a，b，则 + 的值为（ ）
a b
A．﹣9 B．9 C．﹣7 D．7
【答案】D
b a (a+b) 2−2ab
【分析】先根据分式的加减运算、完全平方公式可得 + = ，然后再根据一元二次方程根
a b ab
与系数的关系可得a+b=3、ab=1，最后整体代入即可解答．
b a
【详解】解： + ，
a b
b2+a2
＝ ，
ab
(a+b) 2−2ab
= ，
ab
∵方程x2−3x+1=0的两个实数根为a，b，
∴a+b=3，ab=1，
(a+b) 2−2ab 32−2×1
∴ = =7．
ab 1
故选：D．
【点睛】本题主要考查了异分母分式加法、完全平方公式、一元二次方程根与系数的关系等知识点，灵活
运用完全平方公式和根与系数的关系是解答本题的关键．
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题型 16 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值
1（2021·山东济宁·统考中考真题）已知m，n是一元二次方程x2+x−2021=0的两个实数根，则代数式
m2+2m+n的值等于（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2+m=2021，则m2+2m+n=2021+m+n，再利用根与系数的
关系得到m+n=−1，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m是一元二次方程x2+x−2021=0的实数根，
∴m2+m−2021=0，
∴m2+m=2021，
∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2021+m+n，
∵m、n是一元二次方程x2+x−2021=0的两个实数根，
∴m+n=−1，
∴m2+2m+n=2021−1=2020，
故选：B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，
1 2
b c
x +x =− ，x x = ．也考查了一元二次方程的解．
1 2 a 1 2 a
2023
2．（2023·广东广州·统考一模）已知方程x2−2023x+1=0的两根分别为m、n，则m2−
的值为
n
（ ）
A．1 B．−1 C．2023 D．−2023
【答案】B
【分析】由题意得mn=1，m2−2023m+1=0，将代数式变形后再代入求解即可．
【详解】解：∵方程x2−2023x+1=0的两根分别为m、n，
∴mn=1，m2−2023m+1=0，m≠0，
∴m2−2023m=−1
2023
∴m2−
n
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2023m
=m2−
mn
2023m
=m2−
1
=m2−2023m
=−1．
故选：B．
【点睛】本题考查根的定义及根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则
1 2
b c
x +x =− ，x ⋅x = ．熟练掌握代数式的求值技巧是解题的关键．
1 2 a 1 2 a
3.（2021上·江西南昌·九年级校联考阶段练习）设m、n分别为一元二次方程x2+2x﹣13＝0的两个实数根，
则m2+3m+n的值为 ．
【答案】11
【分析】由m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣13＝0的两个实数根，推出m+n=-2，m2+2m=13，由此即可
解决问题．
【详解】解：∵m、n分别为一元二次方程x2+2x﹣13＝0的两个实数根，
∴m+n=-2，m2+2m=13，
则原式=m2+2m+m+n
=m2+2m+（m+n）
=13-2
=11．
故答案为：11．
【点睛】本题考查根与系数关系，解题的关键是记住x，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，
1 2
b c
x+x=- ，xx= ．
1 2 a 1 2 a
题型 17 由方程两根满足关系求字母或代数式的值
1．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+2=0两个实数根的倒数和
为1，则m=（ ）
A．−2或0 B．2或0 C．2 D．0
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【答案】C
【分析】先利用根与系数的关系得到a+b=2(m+1)，ab=m2+2，再建立关于m的方程，解方程后代入
Δ检验即可．
【详解】解：设该方程的两个实数根分别为a和b，
∴a+b=2(m+1)，ab=m2+2，
1 1 a+b
∵ + = =1，
a b ab
2(m+1)
∴ =1，
m2+2
∴m =0，m =2，
1 2
检验：m =0，m =2均为该方程的解；
1 2
∵Δ≥0，
∴m=0不成立，
∴m=2，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，涉及到了根与系数的关系和解分式方程，解题关键是要记得检验．
2．（2019·广东广州·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2−(k−1)x−k+2=0有两个实数根x ,x ，
1 2
(x −x +2)(x −x −2)+2x x =−3，则k的值（ ）
1 2 1 2 1 2
A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2
【答案】D
【详解】解：由根与系数的关系，得：
x +x ＝k－1，x x ＝－k+2，
1 2 1 2
由(x −x +2)(x −x −2)+2x x =−3，得：
1 2 1 2 1 2
(x −x ) 2−4+2x x =−3，
1 2 1 2
即(x +x ) 2 －4x x −4+2x x =−3，
1 2 1 2 1 2
所以，(k−1) 2−4−2(−k+2)=−3，
化简，得：k2=4，
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解得：k＝±2，
因为关于x的一元二次方程x2−(k−1)x−k+2=0有两个实数根，
所以，△＝(k−1) 2−4(−k+2)＝k2+2k−7>0，
k＝－2不符合，
所以，k＝2
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
3．（2021上·贵州遵义·九年级统考阶段练习）已知关于x的方程x2－2x＋2k－1＝0的两根分别是x、x，
1 2
x x
且
2+ 1=
x·x，则k的值是 ．
x x 1 2
1 2
√5 1
【答案】− /− √5
2 2
【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个实数根得到Δ＝（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0，求出k的
取值范围即可，再根据根与系数的关系得出方程解答即可．
【详解】解：∵原方程有实数根，
∴b2﹣4ac≥0
∴（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0
∴k≤1
∵x，x 是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：
1 2
x+x＝2，x•x＝2k﹣1
1 2 1 2
x x
又∵ 2+ 1=x x ，
x x 1 2
1 2
x 2+x 2
∴ 1 2 =x x
x x 1 2
1 2
∴（x+x）2﹣2xx＝（x•x）2
1 2 1 2 1 2
∴22﹣2（2k﹣1）＝（2k﹣1）2
√5 √5
解之，得：k = ，k =− ．
1 2 2 2
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经检验，都符合原分式方程的根
∵k≤1
√5
∴k=− ．
2
√5
故答案为：−
2
【点睛】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义
求出k的取值范围，此题难度不大．
4．（2020·湖北鄂州·中考真题）已知关于x的方程x2−4x+k+1=0有两实数根．
（1）求k的取值范围；
3 3
（2）设方程两实数根分别为x 、x ，且 + =x x −4，求实数k的值．
1 2 x x 1 2
1 2
【答案】（1）k≤3；（2）k=−3．
【分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝(−4) 2−4×1×(k+1)≥0，解之可得．
（2）利用根与系数的关系可用k表示出x＋x 和xx 的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，
1 2 1 2
注意利用根的判别式进行取舍．
【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2−4x+k+1=0有两个实数根，
∴△≥0，即(−4) 2−4×1×(k+1)≥0，
解得：k≤3，
故k的取值范围为：k≤3．
（2）由根与系数的关系可得x +x =4，x x =k+1
1 2 1 2
3 3 3(x +x )
由 + =x x −4可得 1 2 =x x −4，
x x 1 2 x x 1 2
1 2 1 2
12
代入x＋x 和xx 的值，可得： =k+1−4
1 2 1 2 k+1
解得：k =−3，k =5（舍去），
1 2
经检验，k=−3是原方程的根，
故k=−3．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有
两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关
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系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根．
题型 18 与根与系数有关的新定义问题
1．（2021·河南洛阳·统考三模）定义a★b=a2+a(b−2)+4，例如3★7=32+3×(7−2)+4=28，若方
程x★m=0的一个根是−1，则此方程的另一个根是（ ）
A．−2 B．−3 C．−4 D．−5
【答案】C
【分析】根据题中的新定义化简，计算即可得到结果．
【详解】解：∵x★m=x2+(m−2)x+4
∴x2+(m−2)x+4=0
∵方程x2+(m−2)x+4=0的一个根是−1，设另一个根为t，则有：
−1×t=4
解得，t=−4
故选：C
【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，熟练掌握根的定义是解本题的关键．
2．（2022·四川宜宾·校考一模）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝
n m
32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则 + 的值为 ．
m n
【答案】−8.6
【分析】根据新定义运算列出一元二次方程，根据根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵a*b＝a2+2ab﹣b2，
∴（x+2）*3＝(x+2) 2+6(x+2)−9
∴(x+2) 2+6(x+2)−9 =0
即x2+10x+7=0
∵m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，
∴mn=7,m+n=−10
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n m n2+m2 (m+n) 2−2mn 100−14
∴ + = = = =−8.6
m n m+n m+n −10
故答案为：−8.6
【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程根与系数的关系，根据题意列出一元二次方程是解题的关
键．
3．（2022·湖南湘西·校考模拟预测）对于实数m、n，定义运算“※”：m※n=mn(m+n)．例如，
4※2=4×2×（4+2）=48．若x ,x 是关于x的一元二次方程x2−5x+4=0的两个实数根，则x ※x = ．
1 2 1 2
【答案】20
【分析】根据新定义表示出x ※x =x x (x +x )，根据一元二次方程根与系数的关系可得
1 2 1 2 1 2
x +x =5,x x =4，进而即可求解．
1 2 1 2
【详解】解：∵x ,x 是关于x的一元二次方程x2−5x+4=0的两个实数根，
1 2
∴x +x =5,x x =4，
1 2 1 2
∴x ※x =x x (x +x ) =5×4=20．
1 2 1 2 1 2
故答案为：20．
【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解
题的关键．
题型 19 构造一元二次方程求代数式的值
1．（2023·河南新乡·河南师大附中校考三模）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2+m=4，
n2+n=4，那么代数式3n2−mn−3m的值是（ ）
A．19 B．18 C．16 D．15
【答案】A
【分析】根据题意，m，n可以看作一元二次方程x2+x−4=0的两根，则m+n=−1，mn=−4，代入代
数式，即可求解．
【详解】解：∵m2+m=4，n2+n=4，
∴m，n可以看作一元二次方程x2+x−4=0的两根，
∴m+n=−1，mn=−4，
∵n2=4−n，
∴3n2−mn−3m=3(4−n)−mn−3m
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=12−3n−mn−3m
=12−3(m+n)−mn
=12−3×(−1)+4
=19，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元
b c
二次方程解的定义以及一元二次方程两根之和为− ，两根之积为 ．
a a
2．（2021·浙江丽水·统考中考真题）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
b a
已知实数a,b同时满足a2+2a=b+2, b2+2b=a+2，求代数式 + 的值．
a b
结合他们的对话，请解
答下列问题：
（1）当a=b时，a的值是 ．
b a
（2）当a≠b时，代数式 + 的值是 ．
a b
【答案】 −2或1 7
【分析】（1）将a=b代入a2+2a=b+2解方程求出a，b的值，再代入b2+2b=a+2进行验证即可；
b a
（2）当a≠b时，求出a+b+3=0，再把 + 通分变形，最后进行整体代入求值即可．
a b
【详解】解：已知¿，实数a，b同时满足①，②，
①-②得，a2−b2+3a−3b=0
∴(a−b)(a+b+3)=0
∴a−b=0或a+b+3=0
①+②得，a2+b2=4−a−b
（1）当a=b时，将a=b代入a2+2a=b+2得，
a2+a−2=0
解得，a =1，a =−2
1 2
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∴b =1，b =−2
1 2
把a=b=1代入b2+2b=a+2得，3=3，成立；
把a=b=−2代入b2+2b=a+2得，0=0，成立；
∴当a=b时，a的值是1或-2
故答案为：1或-2；
（2）当a≠b时，则a+b+3=0，即a+b=−3
∵a2+b2=4−a−b
∴a2+b2=7
∴(a+b) 2=a2+2ab+b2=9
∴ab=1
b a a2+b2 7
∴ + = = =7
a b ab 1
故答案为：7．
【点睛】此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代数式的值和分式的运算等
知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键．
3．（2023·湖北襄阳·统考一模）阅读材料，解答问题：
材料一：已知实数a，b(a≠b)满足a2+3a−1=0，b2+3b−1=0，则可将a，b看作一元二次方程
x2+3x−1=0的两个不相等的实数根．
材料二：已知实数a，b(ab≠1)满足2a2−3a+1=0，b2−3b+2=0，将b2−3b+2=0两边同除以b2，得
1−
3
+
2
=0，即2
(1) 2
−3
(1)
+1=0，则可将a，
1
看作一元二次方程2x2−3x+1=0的两个不相等的
b b2 b b b
实数根．
请根据上述材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题：
(1)已知实数a，b(a≠b)满足a2−7a−2=0，b2−7b−2=0，求2a+2b−3ab的值；
3ab+3
(2)已知实数a，b满足3a2−5a+1=0，b2−5b+3=0，且ab≠1，求 的值．
ab+4a+1
【答案】(1)20
5
(2)
3
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解；
（2）根据材料二，采用换元法解一元二次方程，即可求解．
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【详解】（1）解：∵实数a，b(a≠b)满足a2−7a−2=0，b2−7b−2=0，
∴可将a，b看作方程x2−7x−2=0的两个不相等的实数根，
∴a+b=7，ab=−2，
∴2a+2b−3ab
=2(a+b)−3ab
=2×7−3×(−2)
=14+6
=20；
(1) 2 (1)
（2）解：在方程b2−5b+3=0的两边同时除以b2得3 −5 +1=0，
b b
又∵实数a满足3a2−5a+1=0，且ab≠1，
1
∴可将a， 看作方程3x2−5x+1=0的两个不相等的实数根，
b
1 5 a 1
∴a+ = ， = ，
b 3 b 3
( 1) 5
3 a+ 3×
3ab+3 b 3 5
∴ = = = ．
ab+4a+1 1 4a 5 1 3
a+ + +4×
b b 3 3
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，换元法解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题
意，学会模仿例题解决问题．
题型 20 根与系数的关系和根的判别式的综合应用
1．（2022·北京大兴·统考一模）已知关于x的方程x2−2mx+m2−9=0．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)设此方程的两个根分别为x ,x ，若x +x =6，求m的值．
1 2 1 2
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据根的判别式即可验证；
（2）利用根与系数的关系可得x +x =2m，据此即可求解．
1 2
【详解】（1）证明：根据题意可知：Δ=(−2m) 2−4(m2−9)=36>0，
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∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：x +x =2m
1 2
∴x +x =2m=6，
1 2
解得m=3
【点睛】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、根与系数的关系．熟记相关结论是解题关键．
2．（2012·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x,x．
1 2
（1）求m的取值范围．
（2）若2（x+x）+ xx+10=0．求m的值.
1 2 1 2
13
【答案】（1）m≤ ．
4
（2）m=-3.
【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数m的取值范围；
（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x+x=3，xx=m-1．再代入等式2（x+x）+ xx+10=0，即
1 2 1 2 1 2 1 2
可求得m的值．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x,x．∴ ⊿≥0．
1 2
13
即 32-4（m-1）≥0，解得,m≤ ．
4
（2）由已知可得 x+x=3 xx=m-1
1 2 1 2
又2（x+x）+ xx+10=0 ∴2×（-3）+m-1+10=0 ∴m=-3
1 2 1 2
3．（2023·北京石景山·统考二模）已知关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−1=0．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若m>1，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)3
【分析】（1）利用根的判别式进行证明即可；
（2）设方程的两个根分别为s、2s，利用根与系数的关系得到¿，由此建立关于m的方程求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得，Δ=(−2m) 2−4×1×(m2−1)
=4m2−4m2+4
=4>0，
∴关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−1=0总有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的两个根分别为s、2s，
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∴¿，
2
∴s= m，
3
∴2× (2 m ) 2 =m2−1，
3
8
∴
m2=m2−1，
9
解得m=±3，
又∵m>1，
∴m=3．
【点睛】本题主要考查了根的判别式、根与系数的关系，熟知相关知识是解题的关键．
题型 21 分裂（传播）问题
1．（2019·黑龙江伊春·统考中考真题）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长
出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每
个支干长出的小分支个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】设这种植物主支干长出x个，小分支数目为x2个，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得
出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论
【详解】设种植物主支干长出x个，小分支数目为x2个，
依题意，得：1+x+x2=43，
解得： x =−7（舍去），x =6．
1 2
故选C．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程
2．（2022上·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个
支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出x个小分支，则下列方
程中正确的是（ ）
A．1+x2=43 B．1+x+x2=43 C．x+x2=43 D．(1+x) 2=43
【答案】B
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【分析】设每个支干长出x个小分支，则主干生出x个小分支，而x个小分支每个又生出x个小分支，所以
一共有(1+x+x2 )个，从而可得答案.
【详解】解：设每个支干长出x个小分支，则
1+x+x2=43
故选B
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，熟练的表示支干与小分支的数量是解本题的关键.
3．（2023·安徽六安·统考三模）春季是传染病多发季节．2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非
常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮
每人传染的人数．
【答案】每轮每人传染的人数为7人
【分析】设每轮每人传染的人数为x人，则第一轮中有4x人被感染，第二轮中有x(4+4x)人被感染，根
据“开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感”，可得出关于x的一元二次方程，
解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设每轮每人传染的人数为x人，则第一轮中有4x人被感染，第二轮中有x(4+4x)人被感染，
根据题意得：4+4x+x(4+4x)=256，
即4(x+1) 2=256，
解得：x =7，x =−9 (不符合题意，舍去)．
1 2
答：每轮每人传染的人数为7人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
题型 22 碰面（循环）问题
1．（2020·广西河池·统考中考真题）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比
赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．
【详解】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：
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1
x（x﹣1）＝36，
2
化简，得x2﹣x﹣72＝0，
解得x＝9，x＝﹣8（舍去），
1 2
答：参加此次比赛的球队数是9队．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．
2．（2022·黑龙江鸡西·鸡西市第一中学校校考一模）毕业前夕，九年级（11）班的同学每人将一份礼物与
其他每一位同学互赠，作为珍贵的纪念，全班共增出1980件礼物，那么这个班级共有学生（ ）
A．40人 B．42人 C．44人 D．45人
【答案】D
【分析】设九年级（11）班有x人，根据每个同学都向其他同学赠送纪念品一件，全班共送出纪念品1980
件，可列方程求解．
【详解】解：设有x人，则
x（x-1）=1980
x=45或x=-44（舍去）．
即全班共有45人．
故选：D．
【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是知道每人送出（x-1）件礼物，从而可得解．
3．（2022·广西柳州·统考模拟预测）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛72家，
设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
1 1
A． x(x+1)=72 B． x(x−1)=72 C．x(x+1)=72 D．x(x−1)=72
2 2
【答案】D
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛72场，可列出
方程．
【详解】解：设有x个队参赛，则 x（x-1）=72．
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．
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题型 23 增长率问题
1．（2022·广西河池·统考中考真题）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万
个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为( )
A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50
C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50
【答案】A
【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到30(1+x) 2=50，从而可以判断哪个选项是符合题意的．
【详解】解：由题意可得，
30(1+x) 2=50，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道
典型的增长率问题．
2．（2020·浙江衢州·统考中考真题）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4
月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A．180（1﹣x）2=461 B．180（1+x）2=461
C．368（1﹣x）2=442 D．368（1+x）2=442
【答案】B
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根
据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程．
【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）
2=461，
故选：B．
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【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键．
3．（2023·广东广州·统考二模）我市某景区今年3月份接待游客人数为10万人，5月份接待游客人数增加
到12.1万人．
(1)求这两个月游客人数的月平均增长率；
(2)若月平均增长率不变，预计6月份的游客人数是多少？
【答案】(1)这两个月游客人数的月平均增长率为10%
(2)按照这个增长率，预计6月份的游客人数是13.31万人
【分析】根据增长率的定义处理（1）设平均增长率为x，依题意，得10(1+x) 2=12.1，解方程；（2）基
期数据为12.1，增长期间为1个月，依公式计算求解．
【详解】（1）解：设这两个月游客人数的月平均增长率为x，依题意，得：
10(1+x) 2=12.1，
解得x =−2.1（舍去），x =0.1．
1 2
答：这两个月游客人数的月平均增长率为10%．
（2）12.1×(1+10%)=13.31（万人）．
答：按照这个增长率，预计6月份的游客人数是13.31万人
【点睛】本题考查一元二次方程的应用；熟练增长率的定义及计算公式是解题的关键．
题型 24 营销问题
1．（2023·山东潍坊·统考一模）某服装销售商用48000元购进了一批时髦服装，通过网络平台进行销售，
由于行情较好，第二次又用100000元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的
进价多了10元．
(1)该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？
(2)该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件300元销售，每天平均能卖出80件，销售价每降低10
元，则多卖出20件．依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为3600元，销售价应
为多少？
【答案】(1)第一次购进了这种服装200件，每件进价240元
(2)销售价定为280元/件
【分析】（1）设每件进价x元，根据题意，列出方程，解出方程，即可；
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（2）设销售价为t元/件，根据题意，列出方程，解出方程，即可．
【详解】（1）设每件进价x元
48000 100000
∴ ×2= ，
x x+10
解得：x=240，
经检验，x=240是方程的解，
∵48000÷240=200，
∴第一次购金了这种服装200件，
答：第一次购进了这种服装200件，每件进价240元．
（2）设销售价为t元/件，
300−t
∴每天销售量为80+ ×20=680−2t，
10
∴(t−250)×(680−2t)=3600，
整理得：t2−590t+86800=0，
解得：t =280，t =310（舍），
1 2
∴t=280．
∴销售价定为280元/件．
【点睛】本题考查一元二次方程和分式方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程和分式方程的应用．
2．（2023·广西桂林·统考一模）小王计划经营某种时尚产品的专卖店，已知该产品的进货价为70元/件，
售价不能低于80元/件，专卖店每月有800元的固定成本开支，根据市场调研，产品的销售量y（件）随着
产品的售价x（元/件）的变化而变化，销售量y与售价x之间的部分对应关系如表：
售价x（元/件） 80 82 84 86 …
销售量y（件） 500 490 480 470 …
(1)求销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；
(2)小王预计每月盈利8200元，为尽可能让利于顾客，则该产品的售价每件应定为多少元？
【答案】(1)销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为y=﹣5x+900
(2)该产品的售价每件应定为90元
【分析】（1）由销售量y与售价x之间的部分对应关系可设y=kx+b（k≠0，k，b为常数），待定系数
法求解析式即可；
（2）根据小王预计每月盈利8200元，列一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）解：由销售量y与售价x之间的部分对应关系可设y=kx+b（k≠0，k，b为常数），
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将x=80，y=500和x=82，y=490代入，
得¿，
解得¿，
∴销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为y=﹣5x+900；
（2）解：根据题意，得(x−70)(−5x+900)−800=8200，
解得x =160，x =90，
1 2
∵售价不能低于80元/件，且尽可能让利于顾客，
∴x=90，
答：该产品的售价每件应定为90元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关
键．
题型 25 与图形有有关的问题
1．（2022·山东德州·统考二模）如图1，将一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之
后，恰好折成如图2的有盖长方体纸盒，纸盒底面积为48cm2，则该有盖纸盒的高为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【答案】C
【分析】设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是48cm2，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是
48cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是48cm2，
20−2x
依题意，得： ×(10−2x)=48，
2
化简，得：x2-15x+26=0，
解得：x=2，x=13．
1 2
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当x=2时，10-2x=6＞0，符合题意； 当x=13时，10-2x=-16＜0，不符合题意，舍去， 答：若纸盒的底面
积是48cm2，纸盒的高为2cm．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）2023亚洲花卉产业博览会于2023年5月10至12日，
在中国进出口交易会展馆举办，为了迎接盛会的到来，组委会想利用一块长方形空地建了一个小型的惠民
停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52 m，宽为28 m，阴影部分设计为停车位，其余部分是等
宽的通道，已知停车位占地面积为640m2．求通道的宽是多少米？
【答案】通道的宽是6米．
【分析】设通道的宽是x米，则铺花砖的部分可合成长为(52−2x)米，宽为(28−2x)米的长方形，根据铺
花砖的面积为640平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设通道的宽是x米，则铺花砖的部分可合成长为(52−2x)米，宽为(28−2x)米的长方形，
根据题意得：(52−2x)(28−2x)=640，
整理得：x2−40x+204=0，
解得：x =6，x =34（不符合题意，舍去）．
1 2
答：通道的宽是6米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2023·福建泉州·统考一模）我国古代数学家梅鼓成在其著作《增删算法统宗》中，有诗如下：今有门
厅一座，不知门广高低，长竿横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖笔过去，亦长二尺无疑两隅斜去恰方齐，
请问三色各几？意思是；今有一房门，不知宽与高，长竿横起进门入室，门的宽度比长竿小4尺；将长竿
直立过门，门的高度比长竿小2尺．将长竿斜放穿过门的对角，恰好进门，试问门的宽、高和长竿各是多
少尺？
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【答案】宽为6尺，高为8尺，长为10尺
【分析】设长竿的长x尺，再表示宽和高，根据勾股定理列出方程，然后求出解，即可确定答案．
【详解】解：设竿长为x尺，则门的宽为(x−4)尺，高为(x−2)尺，依题意，得
(x−4) 2+(x−2) 2=x2
整理，得x2−12x+20=0
解得x =10，x =2，
1 2
∵ x>4，
∴只取x=10，
故x−4=10−4=6，x−4=10−2=8．
答：宽为6尺，高为8尺，长为10尺．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，一元二次方程的应用，勾股定理是求线段长的常用方法．
1．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）若关于x的一元二次方程kx2−2x+3=0有两个实数根，则k的取值
范围是（ ）
1 1 1 1
A．k< B．k≤ C．k< 且k≠0 D．k≤ 且k≠0
3 3 3 3
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答．
【详解】解：∵kx2−2x+3=0为一元二次方程，
∴k≠0，
∵该一元二次方程有两个实数根，
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∴Δ=(−2) 2−4k×3≥0，
1
解得k≤ ，
3
1
∴k≤ 且k≠0，
3
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程
有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0．
2．（2023·山东聊城·统考中考真题）若一元二次方程mx2+2x+1=0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥−1 B．m≤1 C．m≥−1且m≠0 D．m≤1且m≠0
【答案】D
【分析】由于关于x的一元二次方程mx2+2x+1=0有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知
Δ≥0，且m≠0，据此列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，4−4m≥0，且m≠0，
解得，m≤1，且m≠0.
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac与根的关系，熟练掌握
根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，
一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，一元二次方程没有实数根．
3．（2023·天津·统考中考真题）若x ,x 是方程x2−6x−7=0的两个根，则（ ）
1 2
7
A．x +x =6 B．x +x =−6 C．x ·x = D．x ·x =7
1 2 1 2 1 2 6 1 2
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】解：方程x2−6x−7=0中的a=1,b=−6,c=−7，
∵x ,x 是方程x2−6x−7=0的两个根，
1 2
b c
∴x +x =− =6，x ·x = =−7，
1 2 a 1 2 a
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关
键．
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4．（2023·北京·统考中考真题）若关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的
值为（ ）
9 9
A．−9 B．− C． D．9
4 4
【答案】C
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得Δ=0，进而即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=9−4m=0．
9
解得：m= ．
4
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式Δ=b2−4ac，
理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，
方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根．
5．（2023·新疆·统考中考真题）用配方法解一元二次方程x2−6x+8=0，配方后得到的方程是（ ）
A．(x+6) 2=28 B．(x−6) 2=28 C．(x+3) 2=1 D．(x−3) 2=1
【答案】D
(−6) 2
【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即 计算即可．
2
【详解】∵x2−6x+8=0，
∴x2−6x+8+
(−6) 2
=
(−6) 2
，
2 2
∴x2−6x+(−3) 2=9−8，
∴(x−3) 2=1，
故选D．
【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
6．（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程x2−8x+m=0两根为x 、x ，且x =3x ，
1 2 1 2
则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
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【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x +x =8，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求
1 2
解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−8x+m=0两根为x 、x ，
1 2
∴x +x =8，
1 2
∵x =3x ，
1 2
∴x =2,x =6，
2 1
∴m=x x =12，
1 2
故选：C．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．
7．（2023·吉林·统考中考真题）一元二次方程x2−5x+2=0根的判别式的值是（ ）
A．33 B．23 C．17 D．√17
【答案】C
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式△=b2−4ac求出答案．
【详解】解：∵a=1，b=−5，c=2，
∴△=b2−4ac=(−5) 2−4×1×2=17．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
8．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，则
b2−2(1+2c)=（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
【答案】A
【分析】由一元二次方程根的情况可得b2−4c=0，再代入式子即可求解．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根
∴Δ=b2−4c=0
∴b2−2(1+2c)=b2−4c−2=0−2=−2，
故选：A.
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
9．（2023·四川巴中·统考中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中
记载的图表给出了(a+b) n展开式的系数规律．
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1 (a+b) 0=1
1 1 (a+b) 1=a+b
1 2 1 (a+b) 2=a2+2ab+b2
1 3 3 1 (a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3
当代数式x4−12x3+54x2−108x+81的值为1时，则x的值为（ ）
A．2 B．−4 C．2或4 D．2或−4
【答案】C
【分析】由规律可得：(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，令a=x，b=−3，可得(x−3) 4=1，再解
方程即可．
【详解】解：由规律可得：(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
令a=x，b=−3，
∴(x−3) 4=x4−12x3+54x2−108x+81，
∵x4−12x3+54x2−108x+81=1，
∴(x−3) 4=1，
∴x−3=±1，
∴x=4或x=2，
故选：C．
【点睛】本题考查的是从题干信息中总结规律，一元二次方程的解法，灵活的应用规律解题是关键．
10．（2023·内蒙古·统考中考真题）若实数m，n是一元二次方程x2−2x−3=0的两个根，且m0，
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x2−(2m+1)x+m2+m=0的两个实数根为a,b，
∴a+b=2m+1,ab=m2+m．
∵(2a+b)(a+2b)=20，
∴2a2+4ab+2b2+ab=20，2(a+b) 2+ab=20．
∴2(2m+1) 2+m2+m=20．
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即m2+m−2=0．
解得m=1或m=−2．
∴m的值为1或−2．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及
根与系数的关系是解题的关键．
19．（2023·四川遂宁·统考中考真题）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a,b]∗[c,d]=ac−bd，
其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3,2]∗[5,1]=3×5−2×1=13．
(1)求[−4,3]∗[2,−6]的值；
(2)已知关于x的方程[x,2x−1]∗[mx+1,m]=0有两个实数根，求m的取值范围．
【答案】(1)10；
1
(2)m≤ 且m≠0．
4
【分析】（1）根据新定义计算即可求解；
（2）根据新定义得到一元二次方程，利用根的判别式列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵[a,b]∗[c,d]=ac−bd，
∴[−4，3]∗[2，−6]=−4×2−3×(−6)=−8+18=10；
（2）解：∵[x,2x−1]∗[mx+1,m]=0，
∴x⋅(mx+1)−(2x−1)⋅m=0，
整理得mx2+(1−2m)x+m=0，
∵关于x的方程[x,2x−1]∗[mx+1,m]=0有两个实数根，
∴Δ=b2−4ac=(1−2m) 2−4m2≥0，且m≠0，
1
解得m≤ 且m≠0．
4
【点睛】本题考查了新定义运算，根的判别式，牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键．
20．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设一元二次方程x2+bx+c=0．在下面的四组条件中选择其中一组
b,c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b=2,c=1；②b=3,c=1；③b=3,c=−1；④b=2,c=2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
−3+√5 −3−√5 −3+√13 −3−√13
【答案】选②，x = ，x = ；选③，x = ，x =
1 2 2 2 1 2 2 2
【分析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可．
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【详解】解：x2+bx+c=0中a=1，
①b=2,c=1时，Δ=b2−4ac=22−4×1×1=0，方程有两个相等的实数根；
②b=3,c=1时，Δ=b2−4ac=32−4×1×1=5>0，方程有两个不相等的实数根；
③b=3,c=−1时，Δ=b2−4ac=32−4×1×(−1)=13>0，方程有两个不相等的实数根；
④b=2,c=2时，Δ=b2−4ac=22−4×1×2=−4<0，方程没有实数根；
因此可选择②或③．
选择②b=3,c=1时，
x2+3x+1=0，
Δ=b2−4ac=32−4×1×1=5>0，
−b±√b2−4ac −3±√5
x= = ，
2a 2
−3+√5 −3−√5
x = ，x = ；
1 2 2 2
选择③b=3,c=−1时，
x2+3x−1=0，
Δ=b2−4ac=32−4×1×(−1)=13>0，
−b±√b2−4ac −3±√13
x= = ，
2a 2
−3+√13 −3−√13
x = ，x = ．
1 2 2 2
【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解一元二次方程，解题的关键是掌握：对于一
元二次方程ax2+bx+c=0，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个不相等的实
数根；当Δ<0时，方程没有实数根．
21．（2023·江苏·统考中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距
（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为acm、bcm、ccm、dcm．若纸张大
小为16cm×10cm，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的70%，则需如
何设置页边距？
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【答案】1cm
【分析】设页边距为xcm，根据题意找出等量关系列方程，解方程即可解题．
【详解】解：设页边距为xcm，
则列方程为：(16−2x)(10−2x)=16×10×70%，
解得：x =1，x =12（舍去），
1 2
答：页边距为1cm．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系列方程式解题的关键．
1．（2023·安徽·统考中考真题）【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
(1)第n个图案中“ ”的个数为 ；
1×2 2×3
(2)第1个图案中“★”的个数可表示为 ，第2个图案中“★”的个数可表示为 ，第3个图案中
2 2
3×4 4×5
“★”的个数可表示为 ，第4个图案中“★”的个数可表示为 ，……，第n个图案中“★”的个
2 2
数可表示为______________．
【规律应用】
(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+⋯+n等于第n
个图案中“ ”的个数的2倍．
【答案】(1)3n
n×(n+1)
(2)
2
(3)n=11
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【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解；
（2）根据题意，结合图形规律，即可求解．
（3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：第1个图案中有3个 ，
第2个图案中有3+3=6个 ，
第3个图案中有3+2×3=9个 ，
第4个图案中有3+3×3=12个 ，
……
∴第n个图案中有3n个 ，
故答案为：3n．
1×2
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为 ，
2
2×3
第2个图案中“★”的个数可表示为 ，
2
3×4
第3个图案中“★”的个数可表示为 ，
2
4×5
第4个图案中“★”的个数可表示为 ，……，
2
n×(n+1)
第n个图案中“★”的个数可表示为 ，
2
n×(n+1)
（3）解：依题意，1+2+3+……+n= ，
2
第n个图案中有3n个 ，
n(n+1)
∴ =3n×2，
2
解得：n=0（舍去）或n=11．
【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．
2．（2023·浙江·统考中考真题）如图，分别以a,b,m,n为边长作正方形，已知m>n且满足am−bn=2，
an+bm=4．
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（1）若a=3,b=4，则图1阴影部分的面积是 ；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 ．
5
【答案】 25
3
【分析】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解；
（2）根据题意，解方程组得出¿，根据题意得出m+n=√10，进而得出¿，根据图2阴影部分的面积为mn，
代入进行计算即可求解．
【详解】解：（1） a=3,b=4，图1阴影部分的面积是a2+b2=32+42=25，
故答案为：25．
（2）∵图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，
1
∴a2+b2=3， (m+n)(m+n)=5，即(m+n) 2=10
2
∴m+n=√10（负值舍去）
∵am−bn=2，an+bm=4．
解得：¿
∵a2+b2=3①
∴¿，
6a+2b 2
∴m+n= =2a+ b，
3 3
2
∴2a+ b=√10②
3
联立①②解得：¿（b为负数舍去）或¿
√30+3√10 −√30+3√10
∴2a+4b= ，4a−2b=
2 2
1
图2阴影部分的面积是 √2m×√2n=mn
2
(2a+4b)(4a−2b)
mn=
9
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√30+3√10 −√30+3√10
×
2 2
=
9
5
=
3
5
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查了整式的乘方与图形的面积，正方形的性质，勾股定理，二元一次方程组，解一元二次
方程，正确的计算是解题的关键．
3．（2023·湖北黄石·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+mx−1=0，当m=1时，该方程的正根称
为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的
设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
(1)求黄金分割数；
(2)已知实数a，b满足：a2+ma=1,b2−2mb=4，且b≠−2a，求ab的值；
(3)已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np−1=q,q2+nq−1=p，求pq−n的值．
−1+√5
【答案】(1)
2
(2)2
(3)0
【分析】（1）依据题意，将m=1代入然后解一元二次方程x2+x−1=0即可得解；
( b) 2 ( b) b
（2）依据题意，将b2−2mb=4变形为 − +m⋅ − −1=0，从而可以看作a，− 是一元二次方程
2 2 2
x2+mx−1=0的两个根，进而可以得解；
（3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得pq，进而可以得解．
【详解】（1）依据题意，
将m=1代入x2+mx−1=0得x2+x−1=0，
−1±√5
解得x= ，
2
∵黄金分割数大于0，
−1+√5
∴黄金分割数为 ．
2
（2）∵b2−2mb=4，
∴b2−2mb−4=0，
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( b) 2 ( b)
则 − +m⋅ − −1=0．
2 2
又∵b≠−2a，
b
∴a，− 是一元二次方程x2+mx−1=0的两个根，
2
( b)
则a⋅ − =−1，
2
∴ab=2．
（3）∵p2+np−1=q，q2+nq−1=p；
∴(p2+np−1)+(q2+nq−1)=q+p；
即(p2+q2)+n(p+q)−2=p+q；
∴(p+q) 2−2pq+n(p+q)−2=p+q．
又∵(p2+np−1)−(q2+nq−1)=q−p；
∴(p2−q2)+n(p−q)=−(p−q)；
即(p−q)(p+q+n+1)=0．
∵p，q为两个不相等的实数，
∴p−q≠0，
则p+q+n+1=0，
∴p+q=−n−1．
又∵(p+q) 2−2pq+n(p+q)−2=p+q，
∴(−n−1) 2−2pq+n(−n−1)−2=−n−1，
即pq−n=0．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学
知识解决问题．
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