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第 07 讲 一元二次方程
目 录
题型01 识别一元二次方程 题型14 与根的判别式有关的新定义问题
题型02 由一元二次方程的概念求参数的值 题型15 由根与系数的关系直接求代数式的
题型03 一元二次方程的一般形式 值
题型04 由一元二次方程的解求参数的值 题型16 由根与系数的关系和方程的解通过
题型05 由一元二次方程的解求代数式的值 代换求代数式的值
题型06 已知一元二次方程的一个根，求另 题型17 由方程两根满足关系求字母或代数
一个根 式的值
题型07 选用合适的方法解一元二次方程 题型18 与根与系数有关的新定义问题
题型08 错看或错解一元二次方程问题 题型19 构造一元二次方程求代数式的值
题型09 配方法的应用 题型20 根与系数的关系和根的判别式的综
题型10 判断不含字母的一元二次方程根的 合应用
情况 题型21 分裂（传播）问题
题型11 判断含字母的一元二次方程根的情 题型22 碰面（循环）问题
况 题型23 增长率问题
题型12 由方程根的情况确定字母的值或取 题型24 营销问题
值范围 题型25 与图形有有关的问题
题型13 应用根的判别式证明方程根的情况
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题型 01 识别一元二次方程
1．（2023泸县一诊）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
1
A．2x2=5x−1 B．x+ =2
x
C．(x−3)(x+1)=x2−5 D．3x−y=5
2．（202.无为市一模）下列方程是一元二次方程的是（ ）
1
A．x2−2x+ =0 B．y=2x2−3x−1
x
C．x2−1=0 D．y2−x+3=0
题型 02 由一元二次方程的概念求参数的值
1．（2022上·湖南长沙·九年级统考期末）若关于x的方程(m−3)x2+x−m=0是一元二次方程，则m的取
值范围是（ ）
A．m≠3 B．m=3 C．m≥3 D．m≠0
2．（2023·山东青岛·统考二模）关于x的方程x|a|−1−3x+2=0是一元二次方程，则a的值为 ．
3．（2022西咸新区五模）若方程(m−1)x2+√mx=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ．
题型 03 一元二次方程的一般形式
1．（2023株洲市三模）一元二次方程2x2+1=3x的二次项系数是2，则一次项系数是（ ）
A．3 B．−3 C．1 D．−1
2．（2022上·福建泉州·九年级晋江市第一中学校联考阶段练习）一元二次方程2y2−7=3 y的二次项系数、
一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，﹣3，﹣7 B．2，﹣7，﹣3 C．2，﹣7，3 D．﹣2，﹣3，7
3．（2022上·广西柳州·九年级统考期中）一元二次方程x2−(3x−2)=8的一般形式是 ．
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题型 04 由一元二次方程的解求参数的值
1．（2022·广东广州·统考一模）若关于x的一元二次方程（a - 1）x2 - ax + a2 = 1的一个根为0．则a =
．
题型 05 由一元二次方程的解求代数式的值
1．（2022·浙江金华·统考一模）已知a是方程2x2−3x−5=0的一个解，则−4a2+6a的值为（ ）
A．10 B．－10 C．2 D．－40
2．（2022上·福建泉州·九年级期末）已知实数a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，则a4+a3+8a﹣1的值为
（ ）
A．62 B．63 C．64 D．65
3．（2020·江苏泰州·统考一模）已知，m，n是一元二次方程x2+x−2021=0的两个实数根，则代数式
m2+2m+n的值等于 ．
题型 06 已知一元二次方程的一个根，求另一个根
1．（2021·山东济南·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+x−a=0的一个根是2，则另一个根是
．
2．（2020高州市一模）已知x=1是方程x2+bx−2=0的一个根，则方程的另一个根是 ．
3．（2022·北京顺义·统考一模）已知关于x的一元二次方程mx2−(2m−1)x+m−2=0有两个不相等的
实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若方程有一个根是0，求方程的另一个根．
4．（2022·北京海淀·校考一模）关于x的一元二次方程x2−2x+3m−2=0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若方程有一根为4，求方程的另一根．
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题型 07 选用合适的方法解一元二次方程
1．（2023·河南周口·统考一模）计算：解方程：5x(2x−1)−2(2x−1)=0．
57．（2023·山东淄博·统考二模）请分别用公式法和配方法两种方法解方程：x2+2x−1=0．
2．（2023·江西吉安·校考模拟预测）解方程：
(1) ；
(2x+1) 2=(x−3) 2
(2)3x2−9x+4=0．
3．（2023·青海·统考一模）提出问题
为解方程 ，我们可以将 视为一个整体，然后可设 ，则
(x2−2) 2 −11(x2−2)+18=0 x2−2 x2−2= y
，于是原方程可转化为 ，解此方程，得 ， ．
(x2−2) 2 = y2 y2−11y+18=0 y =2 y =9
1 2
当y =2时，x2−2=2，x2=4，∴x=±2；
1
当y =9时，x2−2=9，x2=11，∴x=±√11．
2
∴原方程的解为 ， ， ， ．
x =2 x =−2 x =−√11 x =√11
1 2 3 4
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题
（1）运用上述换元法解方程x4−3x2−4=0．
延伸拓展
（2）已知实数m，n满足(m+3n)(m+3n−2)=2m+6n−4，求4m+12n−3的值．
题型 08 错看或错解一元二次方程问题
1．（2023·河南信阳·校考三模）小明在解方程x2−3x+2=0时，发现用配方法和公式法计算量都比较大，
因此他又想到了另外一种方法，快速解出了答案：
方法如下：
x2−3x+2=0
x2−2x−x+2=0 第①步
x2−2x=x−2 第②步
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x(x−2)=x−2 第③步
x=1 第④步
老师看到后，夸小明很聪明，方法很好，但是有一步做错了，请问小明出错的步骤为 （填序号）．
2．（2023·浙江杭州·统考二模）以下是圆圆解方程的具体过程： 的具体过程，方程两边
(x−3) 2=2(x−3)
同除以(x−3)，得x−3=2，移项，得x=5，试问圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确
的解答过程.
3．（2023·福建泉州·统考一模）小明在解方程x2−5x=−3的过程中出现了错误，其解答如下：
解：∵a=1，b=−5，c=−3，．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步
，．．．．．．．．．．．．．第二步
∴b2−4ac=(−5) 2−4×1×(−3)=37
5±√37
∴x= ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第三步
2
5+√37 5−√37
∴x = ,x = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步
1 2 2 2
(1)问：小明的解答是从第________步开始出错的；
(2)请写出本题正确的解答．
题型 09 配方法的应用
1．（2023·江苏扬州·统考一模）已知y2−2x+4=0，则x2+ y2+2x的最小值是（ ）
A．8 B．−8 C．−9 D．9
2．（2021·安徽马鞍山·统考二模）已知a,b,c为实数，且b+c=5−4a+3a2,c−b=1−2a+a2，则
a,b,c之间的大小关系是（ ）
A．a2xy．
②当x=1，y=2时，∵x2+ y2=5，2xy=4，∴ x2+ y2>2xy．
③当x=2，y=2.5时，∵ x2+ y2=10.25，2xy=10，∴x2+ y2>2xy．
④当x=3，y=3时，∵ x2+ y2=18，2xy=18，∴x2+ y2________2xy．
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(2)归纳：x2+ y2与2xy有怎样的大小关系？试说明理由．
4
(3)运用：求代数式x2+
的最小值．
x2
题型 10 判断不含字母的一元二次方程根的情况
1．（2023殷都区一模）一元二次方程x2−3x+1=0的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
2．（2023秦皇岛开发区一模）不解方程，判别方程2x2﹣3√2x＝3的根的情况（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无实数根
题型 11 判断含字母的一元二次方程根的情况
1．（2022·河南商丘·统考三模）关于x的方程2x2−mx−3=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
2（2022·广东广州·统考一模）若16m+2＜0，则关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0的根的情况是（
）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
1
3．（2022·云南玉溪·统考一模）对于任意的实数m，关于x的方程x2−mx− =0的根的情况是（ ）
2
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
题型 12 由方程根的情况确定字母的值或取值范围
1．（2023·广东肇庆·统考二模）若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值
可能是（ ）
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A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2021·山东泰安·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程kx2−(2k−1)x+k−2=0有两个不相等
的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
1 1
A．k>− B．k<
4 4
1 1
C．k>− 且k≠0 D．k< 且k≠0
4 4
3．（2023武鸣区二模）关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围是
x (k+1)x2−2x+1=0 k
（ ）
A．k≥0 B．k≤0 C．k<0且k≠−1 D．k≤0且k≠−1
题型 13 应用根的判别式证明方程根的情况
1．（2023·北京昌平·统考二模）关于x的一元二次方程x2−kx+k−1=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于0，求k的取值范围．
2．（2021上·北京·九年级北京市十一学校校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2−mx+m−1=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于−4，求m的取值范围．
1
3．（2020·湖北孝感·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+ k2−2=0．
2
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x ，x 满足x −x =3，求k的值．
1 2 1 2
4．（2023·江苏扬州·统考二模）已知关于x的一元二次方程x2−(m−1)x+m−2=0
(1)求证：该方程总有两个实数根．
(2)若该方程两个实数根的差为3，求m的值．
5．（2023·北京大兴·统考二模）已知关于x的方程 ．
x2−(m+4)x+4m=0
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个根小于1，求m的取值范围．
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题型 14 与根的判别式有关的新定义问题
1．（2023·河南信阳·统考一模）定义新运算：a◎b=ab−b2，例如1◎2=1×2−22=2−4=−2，则方程
2◎x=5的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
3．（2022·河北·校联考一模）新定义运算：a※b=a2−ab+b，例如2※1=22−2×1+1=3，则方程
x※2=5的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
3．（2023·山东烟台·统考二模）对于实数a，b定义新运算：a※b=ab2−b，若关于x的方程1※x=k有
两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ．
题型 15 由根与系数的关系直接求代数式的值
1．（2021·江苏泰州·统考中考真题）关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x、x 则x+x﹣x•x 的值为
1 2 1 2 1 2
．
2．（2021·江西·中考真题）已知x ，x 是一元二次方程x2−4x+3=0的两根，则x +x −x x = ．
1 2 1 2 1 2
3．（2023上·四川成都·九年级统考期末）若a，b是方程x2+2x−4=0的两个实数根，则(a−2)(b−2)的
值为 ．
b a
4.（2023上·全国·九年级专题练习）若方程x2−3x+1=0的两个实数根为a，b，则 + 的值为（ ）
a b
A．﹣9 B．9 C．﹣7 D．7
题型 16 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值
1（2021·山东济宁·统考中考真题）已知m，n是一元二次方程x2+x−2021=0的两个实数根，则代数式
m2+2m+n的值等于（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
2023
2．（2023·广东广州·统考一模）已知方程x2−2023x+1=0的两根分别为m、n，则m2− 的值为
n
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（ ）
A．1 B．−1 C．2023 D．−2023
3.（2021上·江西南昌·九年级校联考阶段练习）设m、n分别为一元二次方程x2+2x﹣13＝0的两个实数根，
则m2+3m+n的值为 ．
题型 17 由方程两根满足关系求字母或代数式的值
1．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+2=0两个实数根的倒数和
为1，则m=（ ）
A．−2或0 B．2或0 C．2 D．0
2．（2019·广东广州·统考中考真题）关于x的一元二次方程 有两个实数根 ，
x2−(k−1)x−k+2=0 x ,x
1 2
，则k的值（ ）
(x −x +2)(x −x −2)+2x x =−3
1 2 1 2 1 2
A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2
3．（2021上·贵州遵义·九年级统考阶段练习）已知关于x的方程x2－2x＋2k－1＝0的两根分别是x、x，
1 2
且x x x·x，则k的值是 ．
2+ 1= 1 2
x x
1 2
4．（2020·湖北鄂州·中考真题）已知关于x的方程x2−4x+k+1=0有两实数根．
（1）求k的取值范围；
3 3
（2）设方程两实数根分别为x 、x ，且 + =x x −4，求实数k的值．
1 2 x x 1 2
1 2
题型 18 与根与系数有关的新定义问题
1．（2021·河南洛阳·统考三模）定义a★b=a2+a(b−2)+4，例如3★7=32+3×(7−2)+4=28，若方
程x★m=0的一个根是−1，则此方程的另一个根是（ ）
A．−2 B．−3 C．−4 D．−5
2．（2022·四川宜宾·校考一模）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝
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n m
32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则 + 的值为 ．
m n
3．（2022·湖南湘西·校考模拟预测）对于实数m、n，定义运算“※”：m※n=mn(m+n)．例如，
4※2=4×2×（4+2）=48．若x ,x 是关于x的一元二次方程x2−5x+4=0的两个实数根，则x ※x = ．
1 2 1 2
题型 19 构造一元二次方程求代数式的值
1．（2023·河南新乡·河南师大附中校考三模）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2+m=4，
n2+n=4，那么代数式3n2−mn−3m的值是（ ）
A．19 B．18 C．16 D．15
2．（2021·浙江丽水·统考中考真题）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
b a
已知实数a,b同时满足a2+2a=b+2, b2+2b=a+2，求代数式 + 的值．
a b
结合他们的对话，请解
答下列问题：
（1）当a=b时，a的值是 ．
b a
（2）当a≠b时，代数式 + 的值是 ．
a b
3．（2023·湖北襄阳·统考一模）阅读材料，解答问题：
材料一：已知实数a，b(a≠b)满足a2+3a−1=0，b2+3b−1=0，则可将a，b看作一元二次方程
x2+3x−1=0的两个不相等的实数根．
材料二：已知实数a，b(ab≠1)满足2a2−3a+1=0，b2−3b+2=0，将b2−3b+2=0两边同除以b2，得
1−
3
+
2
=0，即2
(1) 2
−3
(1)
+1=0，则可将a，
1
看作一元二次方程2x2−3x+1=0的两个不相等的
b b2 b b b
实数根．
请根据上述材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题：
(1)已知实数a，b(a≠b)满足a2−7a−2=0，b2−7b−2=0，求2a+2b−3ab的值；
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3ab+3
(2)已知实数a，b满足3a2−5a+1=0，b2−5b+3=0，且ab≠1，求 的值．
ab+4a+1
题型 20 根与系数的关系和根的判别式的综合应用
1．（2022·北京大兴·统考一模）已知关于x的方程x2−2mx+m2−9=0．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)设此方程的两个根分别为x ,x ，若x +x =6，求m的值．
1 2 1 2
2．（2012·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x,x．
1 2
（1）求m的取值范围．
（2）若2（x+x）+ xx+10=0．求m的值.
1 2 1 2
3．（2023·北京石景山·统考二模）已知关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−1=0．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若m>1，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求m的值．
题型 21 分裂（传播）问题
1．（2019·黑龙江伊春·统考中考真题）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长
出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每
个支干长出的小分支个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2022上·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个
支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出x个小分支，则下列方
程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
1+x2=43 1+x+x2=43 x+x2=43 (1+x) 2=43
3．（2023·安徽六安·统考三模）春季是传染病多发季节．2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非
常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮
每人传染的人数．
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题型 22 碰面（循环）问题
1．（2020·广西河池·统考中考真题）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比
赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2022·黑龙江鸡西·鸡西市第一中学校校考一模）毕业前夕，九年级（11）班的同学每人将一份礼物与
其他每一位同学互赠，作为珍贵的纪念，全班共增出1980件礼物，那么这个班级共有学生（ ）
A．40人 B．42人 C．44人 D．45人
3．（2022·广西柳州·统考模拟预测）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛72家，
设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
1 1
A． x(x+1)=72 B． x(x−1)=72 C．x(x+1)=72 D．x(x−1)=72
2 2
题型 23 增长率问题
1．（2022·广西河池·统考中考真题）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万
个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为( )
A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50
C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50
2．（2020·浙江衢州·统考中考真题）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4
月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A．180（1﹣x）2=461 B．180（1+x）2=461
C．368（1﹣x）2=442 D．368（1+x）2=442
3．（2023·广东广州·统考二模）我市某景区今年3月份接待游客人数为10万人，5月份接待游客人数增加
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到12.1万人．
(1)求这两个月游客人数的月平均增长率；
(2)若月平均增长率不变，预计6月份的游客人数是多少？
题型 24 营销问题
1．（2023·山东潍坊·统考一模）某服装销售商用48000元购进了一批时髦服装，通过网络平台进行销售，
由于行情较好，第二次又用100000元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的
进价多了10元．
(1)该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？
(2)该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件300元销售，每天平均能卖出80件，销售价每降低10
元，则多卖出20件．依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为3600元，销售价应
为多少？
2．（2023·广西桂林·统考一模）小王计划经营某种时尚产品的专卖店，已知该产品的进货价为70元/件，
售价不能低于80元/件，专卖店每月有800元的固定成本开支，根据市场调研，产品的销售量y（件）随着
产品的售价x（元/件）的变化而变化，销售量y与售价x之间的部分对应关系如表：
售价x（元/件） 80 82 84 86 …
销售量y（件） 500 490 480 470 …
(1)求销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；
(2)小王预计每月盈利8200元，为尽可能让利于顾客，则该产品的售价每件应定为多少元？
题型 25 与图形有有关的问题
1．（2022·山东德州·统考二模）如图1，将一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之
后，恰好折成如图2的有盖长方体纸盒，纸盒底面积为48cm2，则该有盖纸盒的高为（ ）
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A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
2．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）2023亚洲花卉产业博览会于2023年5月10至12日，
在中国进出口交易会展馆举办，为了迎接盛会的到来，组委会想利用一块长方形空地建了一个小型的惠民
停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52 m，宽为28 m，阴影部分设计为停车位，其余部分是等
宽的通道，已知停车位占地面积为640m2．求通道的宽是多少米？
3．（2023·福建泉州·统考一模）我国古代数学家梅鼓成在其著作《增删算法统宗》中，有诗如下：今有门
厅一座，不知门广高低，长竿横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖笔过去，亦长二尺无疑两隅斜去恰方齐，
请问三色各几？意思是；今有一房门，不知宽与高，长竿横起进门入室，门的宽度比长竿小4尺；将长竿
直立过门，门的高度比长竿小2尺．将长竿斜放穿过门的对角，恰好进门，试问门的宽、高和长竿各是多
少尺？
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1．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）若关于x的一元二次方程kx2−2x+3=0有两个实数根，则k的取值
范围是（ ）
1 1 1 1
A．k< B．k≤ C．k< 且k≠0 D．k≤ 且k≠0
3 3 3 3
2．（2023·山东聊城·统考中考真题）若一元二次方程mx2+2x+1=0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥−1 B．m≤1 C．m≥−1且m≠0 D．m≤1且m≠0
3．（2023·天津·统考中考真题）若x ,x 是方程x2−6x−7=0的两个根，则（ ）
1 2
7
A．x +x =6 B．x +x =−6 C．x ·x = D．x ·x =7
1 2 1 2 1 2 6 1 2
4．（2023·北京·统考中考真题）若关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的
值为（ ）
9 9
A．−9 B．− C． D．9
4 4
5．（2023·新疆·统考中考真题）用配方法解一元二次方程x2−6x+8=0，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
(x+6) 2=28 (x−6) 2=28 (x+3) 2=1 (x−3) 2=1
6．（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程x2−8x+m=0两根为x 、x ，且x =3x ，
1 2 1 2
则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
7．（2023·吉林·统考中考真题）一元二次方程x2−5x+2=0根的判别式的值是（ ）
A．33 B．23 C．17 D．√17
8．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，则
b2−2(1+2c)=（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
9．（2023·四川巴中·统考中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中
记载的图表给出了 展开式的系数规律．
(a+b) n
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1
(a+b) 0=1
1 1
(a+b) 1=a+b
1 2 1
(a+b) 2=a2+2ab+b2
1 3 3 1
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3
当代数式x4−12x3+54x2−108x+81的值为1时，则x的值为（ ）
A．2 B．−4 C．2或4 D．2或−4
10．（2023·内蒙古·统考中考真题）若实数m，n是一元二次方程x2−2x−3=0的两个根，且mn且满足am−bn=2，
an+bm=4．
（1）若a=3,b=4，则图1阴影部分的面积是 ；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 ．
3．（2023·湖北黄石·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+mx−1=0，当m=1时，该方程的正根称
为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的
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设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
(1)求黄金分割数；
(2)已知实数a，b满足：a2+ma=1,b2−2mb=4，且b≠−2a，求ab的值；
(3)已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np−1=q,q2+nq−1=p，求pq−n的值．
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