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专题 06 一元二次方程
课标要求 考点 考向
考向一 一元二次方程的相关概
1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字
念
系数的一元二次方程;
解一元
考向二 解一元二次方程
2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两
二次方
个实根是否相等; 程 考向三 一元二次方程根的判别
3.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻 式
画现实世界数量关系的有效模型;
4.能利用一元二次方程解决实际应用问题，并根据具体问 考向一 增长率问题
题的实际意义，检验方程的解是否合理.
一元二
考向二 与图形有关的问题
次方程
的应用
考向三 营销问题
考点一 解一元二次方程
►考向一 一元二次方程的相关概念
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有 ，其中等式右面是通
常的乘法和加法运算，如 ．若关于x的方程 有两个不相等的实数
根，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． 且 D． 且
2．（2024·四川凉山·中考真题）若关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则 的
值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．
3．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程 的一个根为1，则 ．
►考向二 解一元二次方程
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►考查角度一 因式分解法
4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程 的两个根，则这个三角形
的周长为（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
5．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程 的解是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
►考查角度二 直接开方法
6．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算： 例如： ，
．若 ，则 的值为 ．
►考查角度三 配方法
7．（2024·山东德州·中考真题）把多项式 进行配方，结果为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程 时，将它转化为 的形
式，则 的值为（ ）
A． B．2024 C． D．1
►考查角度四 公式法
9．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小
1，则 （ ）
A．1 B． C． D．1或
10．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线 与 轴交于两点 ， （ 在 的左侧），
抛物线 与 轴交于两点 ， （ 在 的左侧），且 ．下列四个结论：
与 交点为 ； ； ； ， 两点关于 对称．其中正确的结论是
．（填写序号）
11．（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象与 交于 两
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点，且点 都在第一象限．若 ，则点 的坐标为 ．
12．（2024·四川凉山·中考真题）已知 ，则 的值为 ．
13．（2024·山西·中考真题）一元二次方程 的解是 ．
►考向三 一元二次方程根的判别式
易错易混提醒
一元二次方程根的情况与判别式的关系
1.当b2-4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根;
2.当b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有1个(两个相等的)实数根;
3.当b2-4ac<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
一元二次方程 根与系数的关系：若方程的两实数根为 ，则
．
14．（2024·山东济南·中考真题）若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
15．（2024·北京·中考真题）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为
（ ）
A． B． C．4 D．16
16．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程 两根为 、 ，且 ，则
p的值为（ ）
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A． B． C． D．6
18．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程 的两个解，则 的值为
．
19．（2024·山东·中考真题）若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值为 ．
20．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为 ，且 ，求 的值．
考点二 一元二次方程的应用
►考向一 增长率问题
21．（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产 ，2023年平均每公顷产
．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ）
A． B．
C． D．
22．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产
1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为 ，根据题意，下列方程正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
23．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，
2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ．
24．（2024·重庆·中考真题）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行
了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次
的平均增长率为 ，根据题意，可列方程为 ．
25．（2024·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题
某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入
资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．
(1)求该商场投入资金的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
►考向二 与图形有关的问题
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26．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长
）的矩形鸭舍，其面积为 ，在鸭舍侧面中间位置留一个 宽的门（由其它材料制成），则
长为（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
27．（2024·四川德阳·中考真题）宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，
世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形 是黄金矩形．
，点 是边 上一点，则满足 的点 的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
28．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长
42m，篱笆长 ．设垂直于墙的边 长为 米，平行于墙的边 为 米，围成的矩形面积为 ．
(1)求 与 与 的关系式．
(2)围成的矩形花圃面积能否为 ，若能，求出 的值．
(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时 的值．
►考向三 营销问题
29．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量 （件）与每件售价
（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
每件售价 /元
日销售量 /件
(1)求 与 之间的函数关系式（不要求写出自变量 的取值范围）；
(2)该商品日销售额能否达到 元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．
30．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享
美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，
每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每
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辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
一、单选题
1．（2024·湖南郴州·模拟预测）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北·模拟预测）某银行经过最近的两次降息，使一年期存款年利率由 降至 ，设平
均每次降息的百分率是x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·湖北·模拟预测）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主
干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·山西·模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·湖北·模拟预测）解一元二次方程 ，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·天津·三模）方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·广东·模拟预测）电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、
通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）之间满足关系式 ．已知导线的电阻为 ，1s
的时间导线产生 的热量，则通过导线的电流为（ ）
A．2 A B．4 A C．8 A D．16 A
8．（2024·湖南·模拟预测）明明在解关于x的方程 时，抄错了a的符号，解出其中一
个根是 ．则原方程的根的情况是（ ）
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A．没有实数根 B．有一个实数根是：
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
二、填空题
9．（2024·山西太原·模拟预测）山西省政府办《关于加强全省城镇再生水利用的实施意见》总体要求中提
出：到2025年底，全省城镇再生水利用量达到4亿立方米/年，到2027年底，全省城镇再生水利用量达到
亿立方米/年，若设2025年到2027年全省城镇再生水利用量年平均增长率为x，则根据题意可列方程
为 ．
10．（2024·浙江·模拟预测）已知实数 满足 则 的值为 ．
11．（2024·山东·模拟预测）将一枚六个面的编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后
投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为c，则使关于x的一元二次方程
有实数解的概率为 ．
12．（2024·内蒙古包头·模拟预测）若 是方程 的一个解，则代数式 的最小值为
．
13．（2024·湖北·模拟预测）请写一个一元二次方程，使得它的一个根为2，另一个根为负数，则这个一元
二次方程可以是 ．（写一个即可）
14．（2024·吉林长春·模拟预测）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值
是 ．
15．（2024·上海徐汇·三模）如果实数x满足 ，那么 的值是 ．
16．（2024·江西·模拟预测）设m，n是方程 的两个实数根，则 的值为
．
三、解答题
17．（2024·湖北·模拟预测）若关于x的一元二次方程 有一个根是x=2，求b的值及方程的另
一个根．
18．（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时
从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽
早5分钟到达B地．
(1)求小美每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟
消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程
中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟．
19．（2024·贵州遵义·模拟预测）某数学兴趣小组在暑假开展社会实践活动，销售某品牌书包，平均每天
可以销售20个，每个盈利12元，为了扩大销售，增加盈利，该小组决定采取适当的降价措施，经调查发
现，如果每个书包每降价1元，平均每天可以多卖5个．
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(1)若每个书包降价 元，则可多卖__________个，每个盈利__________元；
(2)若该兴趣小组同学想要一天盈利300元，每个书包应降价多少元；
(3)该兴趣小组同学想要一天盈利最大，应降价多少元，所得最大利润是多少元？
20．（2024·浙江·模拟预测）定义新运算“ ”：当 时， ；当 时， ．
(1)当 时，求 的值．
(2)若 ，求x的值．
21．（2024·广东·模拟预测）综合实践
主题：能将矩形的周长和面积同时加倍吗?
研究步骤：
（1）特殊化：研究正方形是否能周长和面积同时加倍；
（2）特殊化：研究一个具体的矩形是否能周长和面积同时加倍；
（3）一般化：研究边长比满足什么条件时，矩形的周长和面积可以同时加倍．
操作与计算：
(1)在图中画出将正方形 周长加倍的正方形 和将正方形 面积加倍的正方形 ．
(2)对于两边长分别为1 和2的矩形，是否能让周长和面积同时加倍?请通过计算加以说明．
(3)矩形边长比 满足什么条件时，矩形的周长和面积可以同时加倍?请直接写出答案．
22．（2024·安徽·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 、 两
点，交 轴于点 ，直线 经过点
(1)求 ， 的值；
(2)将 平移，平移后点 仍在抛物线上，记作点 ， 此时点 恰好落在直线 上，求点
的坐标．
8
