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专题 06 一元二次方程
考点 01 一元二次方程的解法——配方法
1．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程 时，将它转化为 的
形式，则 的值为（ ）
A． B．2024 C． D．1
【答案】D
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键．
用配方法把 移项，配方，化为 ，即可．
【详解】解：∵ ，
移项得， ，
配方得， ，
即 ，
∴ ， ，
∴ ．
故选：D．
2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）用配方法解方程 时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
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【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上 ，即可求解．
【详解】解：
移项得，
两边同时加上 ，即
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
3．（2023·湖北荆州·中考真题）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数
根．
(1)求 的取值范围；
(2)当 时，用配方法解方程．
【答案】(1) 且
(2) ，
【分析】（1）根据题意，可得 ，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，
（2）将 代入 ，利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：依题意得： ，
解得 且 ；
（2）解：当 时，原方程变为： ，
则有： ，
，
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，
方程的根为 ， ．
【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程
是解题的关键．
4．（2023·新疆·中考真题）用配方法解一元二次方程 ，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即 计算即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
考点 02 判断一元二次方程根的情况
1．（2025·广东·中考真题）不解方程，判断一元二次方程 的根的情况是 ．
【答案】有两个不相等的实数根
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程的根的判别式判断根的情况是解题的
关键．先计算一元二次方程的根的判别式 ，得出 ，即可得到结论
【详解】解：∵一元二次方程 ，
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∴ ， ， ，
∴ ，
∴方程 有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
2．（2025·安徽·中考真题）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解题思路为利用一元二次方程根的判别式 ，分别计算四个选项方程的 值，根据 与
的大小关系判断根的情况 ．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式
及根据 判断根的情况是解题的关键．
【详解】解：选项A：
， ， ，
，无实数根，不符合题意；
选项B：
， ， ，
，有两个相等的实数根，不符合题意；
选项C：
， ， ，
，无实数根，不符合题意；
选项D：
， ， ，
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，有两个不相等的实数根，符合题意；
故选：D．
3．（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于 的一元二次方程 ，其中 满足
，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程 ，若
，则方程有两个不相等的实数根，若 ，则方程有两个相等的实数根，若
，则方程没有实数根，据此先求出 ，再求出 的符号即
可得到结论．
【详解】解： ∵ ，
∴ ，
∴
，
，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
4．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
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【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程
，当 时，方程有两个不相等实数根；当 时，方程的两
个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可
判断．
【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意；
B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意；
C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意；
D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意；
故选：D．
5．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为 ，且 ，求 的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 或 ．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方
程根的判别式是解题的关键．
（1）根据根的判别式证明 恒成立即可；
（2）由题意可得， ， ，进行变形后代入即可求解．
【详解】（1）证明： ，
∵无论 取何值， ，恒成立，
∴无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根．
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（2）解：∵ 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
解得： 或 ．
6．（2024·四川自贡·中考真题）关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程 中，当 时，
方程有两个不相等的实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式解答即可．
【详解】解： △ ，
方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．（2023·四川广安·中考真题）已知a，b，c为常数，点 在第四象限，则关于x的一元二次方程
的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
【答案】B
【分析】根据点 在第四象限得 ，可得 ，则方程 的判别式
，即可得．
【详解】解：∵点 在第四象限，
∴ ，
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∴ ，
∴方程 的判别式 ，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】本题考查了点坐标的特征，根的判别式，解题的关键是掌握这些知识点．
考点 03 由根的情况求参数
1．（2025·四川广安·中考真题）已知方程 的两根分别为 和 ，则代数式 的值为
．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程 的两根分别为 和 ，可得：
， ，把 整理可得： ，再利用整体代入法求值即
可．
【详解】解： 方程 的两根分别为 和 ，
， ，
，
．
故答案为： ．
2．（2025·青海·中考真题）若 是一元二次方程 的一个根，则 的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程的解，把 代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的
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关键．
【详解】解：将 代入原方程 得： ，
解得： ，
故答案为： ．
3．（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程 的两根为 ，则 的值为
．
【答案】10
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次
方程 的两根为 ， ，则 ．
先根据题意得到 ， ，则将 变形为 ，即可求
解．
【详解】解：∵一元二次方程 的两根为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：10．
4．（2025·甘肃兰州·中考真题）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的值
可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根．将方程化为标
准形式后，计算判别式并解不等式即可确定a的取值范围．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关
键．
【详解】解：对于方程 ，其判别式为
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，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
即 ，
解得 ．
故选：D．
5．（2025·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数a的值为
（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】C
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到 ，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
解得： ；
故选C．
6．（2025·上海·中考真题）已知关于 的一元二次方程 没有实数根，则 的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到 ，进行求解即可．熟练掌握根的判别式
与根的个数之间的关系，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得： ，
解得： ；
故答案为： ．
7．（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程 有实数根，则实数a的取值
范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
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【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程 ( 为常数)的根的判别式 ，根据
一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程
有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先
确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴二次项系数 ，即 ．
令 ，即 ，
解得 ．
∴ 且
故选：C．
8．（2025·四川成都·中考真题）从 ，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元
二次方程 有实数根的概率为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，树状图法或列表法求解概率，根据判别式和一元二次
方程的定义可得 ，则 且 ，再列出表格得到所有等可能性的结果数，接着找到
且 的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴ ，
∴ 且 ，
列表如下：
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1 2
1
2
由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足 且 的结果数有 ， ， ，
共3种，
∴关于x的一元二次方程 有实数根的概率为 ，
故答案为： ．
9．（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有 ，其中等式右面是通
常的乘法和加法运算，如 ．若关于x的方程 有两个不相等的实数
根，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到 ，再由有两个不相等
的实数根得到 ，且 ，即可得到答案.
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∵关于x的方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，且 ，
解得 且 ，
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故选：D．
10．（2024·广东广州·中考真题）关于 的方程 有两个不等的实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)化简： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；
（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；
（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可．
【详解】（1）解：∵关于 的方程 有两个不等的实数根．
∴ ，
解得： ；
（2）解：∵ ，
∴
；
考点 0 4 根与系数的关系
1．（2025·四川眉山·中考真题）已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为
．
【答案】
【分析】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之
间的关系，得到 ，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法进行
求解即可．
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【详解】解：由题意，得： ，
∴
；
故答案为： ．
2．（2025·四川南充·中考真题）设 ， 是关于 的方程 的两根．
(1)当 时，求 及m的值．
(2)求证： ．
【答案】(1) ， ；
(2)详见解析．
【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根
与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程 根的判别式
，当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当
时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ，
是解题的关键．
（ ）把 代入方程求出 ，然后再解一元二次方程即可；
（ ）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：把 代入方程 得 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
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解方程得， ， ，
故 ， ；
（2）证明：方程 可化为 ，
∵ ，
∴原方程有两个不相同实数根，
由根与系数的关系得 ， ，
∵ ，
∵ ，
∴ ．
3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个根，则
．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形
后代入计算即可．
【详解】解： ， 是关于 的一元二次方程 的两个根，
，
，
故答案为： ．
4．（2024·青海西宁·中考真题）已知方程 的两根分别为a和b，则 的值为
．
【答案】16
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【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若 ， 为方程 的两个根，则
， 与系数的关系式： ， ．
根据一元二次方程根与系数的关系，得到 ，化简所求代数式，代入即可得到结果．
【详解】解：∵方程 的两根分别为a和b，
∴ ，
∴
．
故答案为：16．
5．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数 是关于x的方程 的两个根，
若 ，则k的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程 ，若
是该方程的两个实数根，则 ，据此得到 ，再由
得到 ，据此可得答案．
【详解】解： 是关于x的一元二次方程 的两个根，
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．
，
，
∴
，
解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，
故选：B．
6．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程 的一个根为 ，则方程的另一个根为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于
，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设方程的另一个根为m，
∵方程 有一个根为 ，
∴ ，
解得： ．
故答案为：4．
7．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中
写错了常数项，因而得到方程的两个根是 和 ；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程
的两个根是 和 ．则原来的方程是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
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【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中 ， ，逐项分
析判断，即可求解．
【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是 和 ；
∴ ，
又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是 和 ．
∴
A. 中， ， ，故该选项不符合题意；
B. 中， ， ，故该选项符合题意；
C. 中， ， ，故该选项不符合题意；
D. 中， ， ，故该选项不符合题意；
故选：B．
8．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知关于x的方程 的两个实数根的倒数和等于3，且关于x
的方程 有实数根．当k为正整数时，求不等式 的解．
【答案】 或
【分析】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，分式有意义、解一元二次方程等知识点，在解方
程时一定要注意所求k的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程．
由于关于x的方程 的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a的方
程求出a，又由于关于x的方程 有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、
有可能是一元二次方程，又k为正整数，利用判别式可以求出k，最后代入所求代数式计算即可求解．
【详解】解：设方程 的两个根为 ，
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则 ，
由条件知 ，即 且 ，
故 ．
则方程 为 ．
当 ，即 时，关于x的方程 为 有实数根，
不等式 即为 ，
则 ，
或 ．
当 时， ，
．
又 是正整数，且 ，
，但使不等式 的分母 无意义．
综上，不等式 的解为： 或 ．
9．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)若方程的两个根为 ， ，且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出 ，把字母和数代入求出 的取
值范围；
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（2）根据两根之积为： ，把字母和数代入求出 的值．
【详解】（1）解： ，
∵有两个不相等的实数，
∴ ，
解得： ；
（2）∵方程的两个根为 ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， （舍去）．
即： ．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握 ， 是方程 的
两根时， ， ．
考点 0 5 一元二次方程的实际应用
1．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平
均每人传染了 人，则可得到方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了
人，则第一轮传染了 个人，第二轮作为传染源的是 人，则传染 人，依题意列方程：
．
【详解】由题意得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是
解决问题的关键．
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2．（2025·黑龙江·中考真题）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜
爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月
至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至
12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的 倍，故三月
份销量为 ，据此列方程即可．
【详解】设每月增长率为x，则二月份销量为 ，三月份销量为二月份的 倍，即
．
根据题意，三月份销量为 辆，可得方程为： ．
故选B．
3．（2025·重庆·中考真题）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年
接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024
年接待游客人次数 该景区2022年接待游客人次数 该景区这两年接待游客的年平均增长率 ，可列出
关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程
是解题的关键．
【详解】解：设年平均增长率为x，
可得方程 ，
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解得 或 （舍去负值），
所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为 ，
故选：B
4．（2025·福建·中考真题）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都
足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x
米，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列
出方程即可．
【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为 米，由题意，得：
；
故选：C．
5．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长 、宽 的矩形种植园．为了方便耕作管理，在
种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为 的9个矩形
地块，请你求出小路的宽度．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为 ，根据题意可知种植园的面积等
于一个长为 ，宽为 的矩形面积，据此建立方程求解即可．
【详解】解：设小路的宽度为 ，
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由题意得， ，
整理得 ，
解得 或 （舍去），
答：小路的宽度为 ．
6．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开
图．若正方形硬纸板的边长为 ，则折成立方体的棱长为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了正方体的展开图、正方形的性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识；
如图，设 ，则 ，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：如图，设 ，则 ，
则在直角三角形 中，由勾股定理可得： ，
即 ，
解得： 或 （舍去），
∴正方体的棱长为 cm，
故答案为： ．
7．（2024·青海西宁·中考真题）如图，小区物业规划在一个长 ，宽 的矩形场地 上，修建一
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个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽 的道路，中间是宽 的道路．如果阴影部分
的总面积是 ，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴影部分）可合成长为 ，宽为
的矩形，结合阴影部分的总面积是 ，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵矩形场地 的长为长 ，宽 ，且所修建停车位的两侧是宽x m的道路，中间是
宽 的道路，
∴停车位（即阴影部分）可合成长为 ，宽为 的矩形．
根据题意，得 ，
化简，得 ．
故选：A．
8．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文
创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，
售价每降价1元，每天可以多售出10件．
(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件；
(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
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(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润
是多少？
【答案】(1)
(2)3元
(3)售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解
题的关键；
（1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案；
（2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得
解；
（3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再
根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是 件；
故答案为： ；
（2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，
根据题意可得： ，
整理可得： ，
解得： ，
由于要让利于游客， 舍去，
∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元.
（3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，
则
，
∵ ，
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∴当 时， 取最大值为640元，此时销售价为38元，
答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元．
9．（2023·山东临沂·中考真题）综合与实践
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近
A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
售价（元/盆） 日销售量（盆）
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
数据整理
(1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价（元/盆）
日销售量
（盆）
模型建立
(2)分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系；
拓广应用
(3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
【答案】(1)见解析
(2)售价每涨价2元，日销售量少卖4盆
(3)①定价为每盆 元或每盆 元时，每天获得400元的利润；②售价定为 元时，每天能够获得最大利
润
【分析】（1）按照从小到大的顺序进行排列即可；
（2）根据表格数据，进行求解即可；
（3）①设定价应为 元，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；
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②设每天的利润为 ，列出二次函数表示式，利用二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：按照售价从低到高排列列出表格如下：
售价（元/盆） 18 20 22 26 30
日销售量
54 50 46 38 30
（盆）
（2）由表格可知，售价每涨价2元，日销售量少卖4盆；
（3）①设：定价应为 元，由题意，得：
，
整理得： ，
解得： ，
∴定价为每盆 元或每盆 元时，每天获得400元的利润；
②设每天的利润为 ，由题意，得：
，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值为 元．
答：售价定为 元时，每天能够获得最大利润．
【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用．从表格中有效的获取信息，正确的列出方程和二
次函数，是解题的关键．
10．（2025·天津·中考真题）四边形 中， ， ．动
点 从点 出发，以 的速度沿边 、边 向终点 运动；动点 从点 同时出发，以 的
速度沿边 向终点 运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间
为 ．当 时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：
①当 时， ；
②当 时， 的最大面积为 ；
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③ 有两个不同的值满足 的面积为 ．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当 时，点M在 上，求出 ，
可判断①；当 时，点M在 上，利用三角形面积公式求出 的面积，利用二次函数的性质，
可判断②；分两种情况：当点M在 上时，点M在 上，结合 的面积为 ，列出方程，可
判断③．
【详解】解：根据题意得：点M在 上的运动时间为 ，点M在 上的运动时间为 ，点N
在 上的运动时间为 ，
①当 时，点M在 上，
此时 ， ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
②当 时，点M在 上，
此时 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 随t的增大而增大，
∴当 时， 取得最大值，最大值为 ，
即当 时， 的最大面积为 ，故②错误；
③当点M在 上时，
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∵ 的面积为 ，
∴ ，
解得： （舍去），
∴当 时， 的面积为 ；
当点M在 上时，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
此时 ，
解得： ，
∴当 时， 的面积为 ；
∴ 有两个不同的值满足 的面积为 ，故③正确．
故选：C
考点 0 6 一元二次方程与二次函数的综合
1．（2024·内蒙古·中考真题）下列说法中，正确的个数有（ ）
二次函数 的图象经过 两点，m，n是关于x的元二次方程
①
的两个实数根，且 ，则 恒成立．
在半径为r的 中，弦 互相垂直于点P，当 时，则 ．
②
为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
③
点C是反比例函数 的图象上一点，则 ．
已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程 的两个实数根，且矩形的周长
④
值与面积值相等，则矩形的对角线长是 ．
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系及二次函数的图象和性质即可判断①；过点O作
，垂足分别为M，N，连接 ，先证明四边形 是矩形，再利用勾股定理，
垂径定理求解即可判断②；先证明 ，进而得出点C的坐标，即可求解，进而判断③；
先由一元二次方程根与系数的关系得出 的值，再根据题意得出一元二次方程，求出a的值，进而
求解即可判断④．
【详解】∵二次函数 的图象经过 两点，
∴当 时， ，
∵m，n是关于x的元二次方程 的两个实数根，且 ，
∴ ，故①正确；
如图，过点O作 ，垂足分别为M，N，连接 ，
∴M、N分别为 的中点， ，
∵弦 互相垂直，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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同理可得 ，
∴ ，故②正确；
当点C在第一象限时，过点C作 于点D，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵点C是反比例函数 的图象上一点，
∴ ；
当点C在第二象限时，同理可得
∴ ；
综上， 或 ，故③错误；
设矩形两边分别为m，n，
∵矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程 的两个实数根，且矩形的周长值与面
积值相等，
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∴ ，
∴ ，
解得 （负舍），
∴ ，
∵矩形对角线 ，故④正确；
综上，正确的个数有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象和性质，勾股定理，垂径定理，全
等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，反比例函数的解析式，一元二次方程根与系数的关系等，熟
练掌握知识点是解题的关键．
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数 的图象与 轴交于 ，
，其中 ．结合图象给出下列结论：
① ；② ；
③当 时， 随 的增大而减小；
④关于 的一元二次方程 的另一个根是 ；
⑤ 的取值范围为 ．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
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【答案】C
【分析】根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结论④；
利用结论④及题中条件 可求得 的取值范围，再由结论② 可得 取值范围，判断⑤是否
正确．
【详解】解：由图可得： ，对称轴 ，
，
，①错误；
由图得，图象经过点 ，将 代入 可得 ，
，②正确；
该函数图象与 轴的另一个交点为 ，且 ，
对称轴 ，
该图象中，当 时， 随着 的增大而减小，当 时， 随着 的增大而增大，
当 时， 随着 的增大而减小，
③正确；
， ，
关于 的一元二次方程 的根为
，
，
， ，
④正确；
，即 ，
解得 ，
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即 ，
，
，
⑤正确．
综上，②③④⑤正确，共 个．
故选： ．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、抛物线与 轴的交点问题、一元二次方程的根与系
数的关系、二次函数与不等式的关系等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
3．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线 与x轴交点的坐标分别为 ， ，
且 ．
(1)若抛物线 与x轴交点的坐标分别为 ， ，且 ．试判断下列每组
数据的大小（填写 、 或 ）：
________ ； ________ ； ________ ．
① ② ③
(2)若 ， ，求b的取值范围；
(3)当 时， 最大值与最小值的差为 ，求b的值．
【答案】(1) ； ； ；
(2)
(3)b的值为 或 ．
【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数图像与性质，不等式性质，二次函数最值情况，解题的关键
在于熟练掌握二次函数图像与性质．
（1）根据根与系数的关系得到 ，以及 ，即可判断 ，利用二次函数的图像与性质
①
得到 ，进而得到 ，利用不等式性质变形，即可判断 ．
②③
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（2）根据题意得到 ，结合 进行求解，即可解题；
（3）根据题意得到抛物线 顶点坐标为 ，对称轴为 ；当 时，
，当 时， ，由 最大值与最小值的差为 ，分以下三种情况：
①
当在 取得最大值，在 取得最小值时， 当在 取得最大值，在顶点取得最小值时， 当在
取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等②式求解，即可解题． ③
【详解】（1）解： 与x轴交点的坐标分别为 ， ，且 ，
，且抛物线开口向上，
与x轴交点的坐标分别为 ， ，且 ．
即 向上平移1个单位，
，且 ，
；
①
，
，即 ；
②
，即 ．
③
故答案为； ； ； ；
（2）解： ， ，
，
，
；
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（3）解：抛物线 顶点坐标为 ，
对称轴为 ；
当 时， ，
当 时， ，
当 ，则 ，
①
那么，在 取得最大值，在 取得最小值时，
有 ，解得 （不符合题意，舍去）；
当 ，解得 ，
②
那么，在 取得最大值，在顶点取得最小值时，
有 ，解得 （不符合题意，舍去）或 ，
当 ，解得 ，
③
那么，在 取得最大值，在顶点取得最小值时，
有 ，解得 （不符合题意，舍去）或 ；
综上所述，b的值为 或 ．
36
