文档内容
绝密★启用前
2013 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题
1．计算：
2．设 ， 是纯虚数，其中i是虚数单位，则
3．若 ，则
4．已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若 ，
则角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）
5．设常数 ，若 的二项展开式中 项的系数为 ，则 ．
6．方程 的实数解为________
7．在极坐标系中，曲线 与 的公共点到极点的距离为__________
．
8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两
个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）
9．设AB是椭圆 的长轴，点C在 上，且 ，若AB=4， ，则 的
两个焦点之间的距离为________
10．设非零常数 d 是等差数列 的公差，随机变量 等可能地取值
，则方差
11．若 ，则 ．
12．设 为实常数， 是定义在R上的奇函数，当 时， ，
若 对一切 成立，则 的取值范围为________
13．在 平面上，将两个半圆弧
和 、两条直线 和 围成
的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周
而成的几何体为 ，过 作 的水平截面，所
得截面面积为 ，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出 的体积值为__________
14．对区间I上有定义的函数 ，记 ，已知定义域为
的函数 有反函数 ，且 ，若方程
有解 ，则
二、选择题
15．设常数 ，集合 ，若 ，
则 的取值范围为（ ）
(A) (B) (C) (D)
16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）
(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件
17．在数列 中， ，若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素
，（ ）则该矩阵元素能取到的不同数值的
个数为（ ）
(A)18 (B)28 (C)48 (D)63
18．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为
；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为 .若 分
别 为 的 最 小 值 、 最 大 值 ， 其 中 ,
,则 满足（ ）.
(A) (B) (C) (D)
三、解答题
19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A B C D 中，AB=2,AD=1,A A=1，证明直线
1 1 1 1 1
BC 平行于平面DA C，并求直线BC 到平面DAC的距离.
1 1 1 1
D
C
A
B
C
1
D
A 1
1 B
1
20．（6分+8分）甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产
条件要求 ），每小时可获得利润是 元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大
利润.
21．（6分+8分）已知函数 ，其中常数 ；（1）若 在 上单调递增，求 的取值范围；
（2）令 ，将函数 的图像向左平移 个单位，再向上平移1个单位，得到
函数 的图像，区间 （ 且 ）满足： 在 上至少含
有30个零点，在所有满足上述条件的 中，求 的最小值．22．（3 分+5 分+8 分）如图，已知曲线 ，曲线
，P是平面上一点，若存在过点P的直线与 都有
公共点，则称P为“C —C 型点”．
1 2
(1)在正确证明 的左焦点是“C —C 型点”时，要使用一条过该焦点
1 2
的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
(2)设直线 与 有公共点，求证 ，进而证明原点不是“C
1
—C 型点”；
2
(3)求证：圆 内的点都不是“C —C 型点”．
1 2
23．（3 分+6分+9分）给定常数 ，定义函数 ，数列
满足 .
（1）若 ，求 及 ；（2）求证：对任意 ，；
（3）是否存在 ，使得 成等差数列？若存在，求出所有这样的 ，若不存
在，说明理由.
