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专题 07 一元二次方程及其应用（12 个高频考点）（举一反三）
【考点1 一元二次方程的定义】...........................................................................................................................1
【考点2 一元二次方程的一般形式】...................................................................................................................2
【考点3 一元二次方程的解】...............................................................................................................................2
【考点4 配方法解一元二次方程】.......................................................................................................................3
【考点5 公式法解一元二次方程】.......................................................................................................................4
【考点6 因式分解法解一元二次方程】...............................................................................................................4
【考点7 换元法解一元二次方程】.......................................................................................................................5
【考点8 根的判别式】...........................................................................................................................................6
【考点9 根与系数的关系】...................................................................................................................................7
【考点10 配方法的应用】.......................................................................................................................................7
【考点11 根据实际问题抽象出一元二次方程】....................................................................................................8
【考点12 一元二次方程的应用】...........................................................................................................................9
【要点1 一元二次方程的定义】
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
【考点1 一元二次方程的定义】
【例1】（2022·山西·盂县第二中学校一模）下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）
1
A．x2﹣1=0 B．x2 + +3=0 C．x2 + 2x +1=0 D．3x2 +√2x +1=0
x
【变式1-1】（2022·江苏·徐州东湖实验学校二模）方程 是关于x的一元二次方程，
(m+1)x|m−1|−mx+2=0
则（ ）
A．m＝﹣1或3 B．m＝3 C．m＝﹣1 D．m≠﹣1
【变式1-2】（2022·广东汕头·二模）请写出一个符合以下所有条件的一元二次方程：（1）二次项的系数
为负数；（2）一个实数根为√10−1的整数部分，另一个实数根为－4，则这个一元二次方程可以是______．
（任意写一个符合条件的即可）．【变式1-3】（2022·四川宜宾·中考真题）若关于x的一元二次方程ax2+2x−1=0有两个不相等的实数根，
则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a>−1且a≠0 C．a≥−1且a≠0 D．a>−1
【要点2 一元二次方程的一般形式】
一元二次方程的一般形式是 。其中 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b
ax2+bx+c=0(a≠0) ax2
是一次项系数；c是常数项。
【考点2 一元二次方程的一般形式】
【例2】（2022·广东深圳·中考真题）一元二次方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是( )
A．x2－5x+5=0 B．x2+5x－5=0 C．x2+5x+5=0 D．x2+5=0
【变式2-1】（2022·江苏·徐州东湖实验学校二模）一元二次方程2y2−7=3 y的二次项系数、一次项系数、
常数项分别是（ ）
A．2，﹣3，﹣7 B．2，﹣7，﹣3 C．2，﹣7，3 D．﹣2，﹣3，7
【变式2-2】（2022·湖北黄冈·一模）方程4x2+x=5化为一般形式后，a,b,c的值分别是（ ）
A．a=4,b=1,c=5 B．a=1,b=4,c=5
C．a=4,b=1,c=−5 D．a=4,b=−5,c=1
【变式2-3】（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）关于x的一元二次方程(m−3)x2+m2x=9x+5化为一般形
式后不含一次项，则m的值为（ ）
A．0 B．±3 C．3 D．－3
【考点3 一元二次方程的解】
【例3】（2022·青海·中考真题）已知关于x的方程x2+mx+3=0的一个根为x=1，则实数m的值为
（ ）
A．4 B．−4 C．3 D．−3
【变式3-1】（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程x2+3x−2022=0的根，那么
m3+2m2−2025m+2022的值为（ ）
A．−2022 B．0 C．2022 D．4044
【变式3-2】（2022·河北·中考真题）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时，只抄对了a＝1，b＝
4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是
（ ）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相
等的实数根【变式3-3】（2022·江苏南通·二模）若关于x的一元二次方程ax2+2bx−2=0的一个根是x=2022，则一
a
元二次方程 (x+2) 2+bx+2b=1必有一根为（ ）．
2
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【要点3 配方法解一元二次方程】
将一元二次方程配成 的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
(x+m) 2=n
用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为 的形式；②方程两边同除以二
ax2+bx+c=0(a≠0)
次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④
把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法
来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
【考点4 配方法解一元二次方程】
【例4】（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程 时，将它化为 的
3x2+6x−1=0 (x+a) 2=b
形式，则a+b的值为（ ）
10 7 4
A． B． C．2 D．
3 3 3
【变式4-1】（2022·四川雅安·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝
2c，则c的值为（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
【变式4-2】（2022·河北保定·三模）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成任务．
2x2−3x−5=0
3 5
解：x2− x= 第一步
2 2
x2−
3
x+
(3) 2
=
5
+
(3) 2
第二步
2 4 2 4
( 3) 2 49
x− = 第三步
4 16
3 7
x− =± 第四步
4 45
x = ，x =−1第五步
1 2 2
(1)任务一：
①小颖解方程的方法是____；
②第二步变形的依据是____；
(2)任务二：请你用“公式法”解该方程．
【变式4-3】（2022·浙江绍兴·一模）将一元二次方程 ax2+bx+c=0，化为 （ x m）2 b2−4ac，则 m
4a2
为____．
【要点4 公式法解一元二次方程】
−b±√b2−4ac
当b2−4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x= 的形式，这
2a
个
式子叫做一元二次方程 的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解
ax2+bx+c=0(a≠0)
一元二次方程的方法叫做公式法.
【考点5 公式法解一元二次方程】
【例5】（2022·四川成都·中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程
x2−6x+4=0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．
【变式5-1】（2022·北京东城·一模）已知关于x的一元二次方程x2−2x+k−2=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若k为正整数，且方程的两个根均为整数，求k的值及方程的两个根．
【变式5-2】（2022·全国·九年级课时练习）设m为整数，且30，求 +n2 的值．
m4 m2 m4
【要点6 一元二次方程根的判别式】
一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．
①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；
②当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；
③当∆=b2−4ac<0时，原方程没有实数根.
【考点8 根的判别式】
【例8】（2022·辽宁锦州·中考真题）若关于x的方程x2−3x+m=0有两个不相等的实数根，且m≥−3，
则从满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是____________．
【变式8-1】（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“ ”为a⊗b=b2−ab，例如
3⊗2=22−3×2=−2，则关于x的方程(k−3) ⊗x=k−1的根的情况，⊗下列说法正确的是（ ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【变式8-2】（2022·辽宁·本溪市教师进修学院中考真题）下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A．x2+x−2=0 B．x2−2x=0
C．x2+x+5=0 D．x2−2x+1=0
【变式8-3】（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）对于实数a，b定义新运算：a※b=ab2−b，
若关于x的方程1※x=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
1 1 1 1
A．k>− B．k<− C．k>− 且k≠0 D．k≥− 且k≠0
4 4 4 4
【要点7 一元二次方程的根与系数的关系】
−b c
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x
1
,x
2
，那么x
1
+x
2= ,
x
1
x
2=
a a
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得
的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
【考点9 根与系数的关系】
1 1
【例9】（2022·湖北鄂州·中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则 +
a b
的值为 _____．
【变式9-1】（2022·四川宜宾·中考真题）已知m、n是一元二次方程x2+2x−5=0的两个根，则
m2+mn+2m的值为（ ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
【变式9-2】（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−2x−a=0的两根分别记为x ，
1
，若 ，则 的值为（ ）
x x =−1 a−x2−x2
2 1 1 2
A．7 B．−7 C．6 D．−6
【变式9-3】（2022·湖北武汉·中考真题）若关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−4m−1=0有两个实数
根 ， ，且 ，则 （ ）
x x (x +2)(x +2)−2x x =17 m=
1 2 1 2 1 2A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
【考点10 配方法的应用】
【例10】（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是
________．
【变式10-1】（2022·河北保定·一模）已知：A、B是两个整式，A＝3a2﹣a+1，B＝2a2+a﹣2．
尝试当a＝0时，A＝______，B＝______．
当a＝2时，A＝______，B＝______．
猜测 嘉淇猜测：无论a为何值，A＞B始终成立．
验证 请证明嘉淇猜测的结论．
【变式10-2】（2022·山东滨州·三模）新定义：关于x的一元二次方程a(x﹣m)2+k＝0与a(x﹣m)2+k＝0称
1 2
为“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0与3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程
2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是（
）
A．2020 B．2021 C．2023 D．2018
【变式10-3】（2022·云南昆明·一模）我们可以用以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．
x2+6x+5=x2+2⋅x⋅3+32−32+5=(x+3) 2−4
∵
(x+3) 2≥0
∴
(x+3) 2−4≥−4
∴当x=−3时，x2+6x+5有最小值−4．
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)求代数式x2−4x+2的最小值；
(2)求代数式−x2+6x+9的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值；
(3)求证：无论x和y取任何实数，代数式2x2+10 y2−6xy−6x−2y+11的值都是正数．
【考点11 根据实际问题抽象出一元二次方程】
【例11】（2022·宁夏·中考真题）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价
格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题
意列出方程，正确的是（ ）
A． B．
6.2(1+x) 2=8.9 8.9(1+x) 2=6.2C． D．
6.2(1+x2 )=8.9 6.2(1+x)+6.2(1+x) 2=8.9
【变式11-1】（2022·山东泰安·中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二
百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批
椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价
钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3(x−1)x=6210 B．3(x−1)=6210
C．(3x−1)x=6210 D．3x=6210
【变式11-2】（2022·青海·中考真题）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积
为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损
耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为______．
【变式11-3】（2022·山东济宁·一模）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会
住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每
天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价比定价180元增加x元，
则有（ ）
( x−180) ( x−180)
A．(x−20) 50− =10890 B．x 50− −50×20=10890
10 10
( x ) ( x )
C．(180+x−20) 50− =10890 D．(x+180) 50− −50×20=10890
10 10
【考点12 一元二次方程的应用】
【例12】（2022·湖北荆门·中考真题）某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满
1
足40＜x＜80时，其销售量y（万个）与x之间的关系式为y＝﹣ x+9．同时销售过程中的其它开支为50
10
万元．
(1)求出商场销售这种商品的净利润z（万元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为多少时净利润最大，
最大净利润是多少？
(2)若净利润预期不低于17．5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价
格x应定为多少元？【变式12-1】（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，
单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【变式12-2】（2022·辽宁丹东·中考真题）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一
款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段
时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件） … 35 40 45 …
每天销售数量y（件） … 90 80 70 …
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【变式12-3】（2022·重庆巴蜀中学二模）为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000
米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小
型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米．
2
(1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多 ，当这个工
3
程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？
(2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了
9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，
同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了
(150+2m)小时，求m的值．
