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第 07 讲 一元二次方程
目 录
一、考情分析 二、知识建构
考点一 一元二次方程的相关概念
题型01 识别一元二次方程
题型02 由一元二次方程的概念求参数的值
题型03 一元二次方程的一般式
题型04 由一元二次方程的解求参数的值
题型05 由一元二次方程的解求代数式的值
题型06 已知一元二次方程的一个根，求另一个根
考点二 解一元二次方程
题型01 用直接开平方法解一元二次方程
题型02 利用配方法解一元二次方程
题型03 利用因式分解法解一元二次方程
题型04 利用公式法解一元二次方程
题型05 利用换元法解一元二次方程
题型06 选用合适的方法解一元二次方程
题型07 错看或错解一元二次方程问题
题型08 配方法的应用
题型09 判断不含字母的一元二次方程的根的情况
题型10 判断含字母的一元二次方程根的情况
题型11 由方程根的情况确定字母的值或取值范围
题型12 应用根的判别式证明方程根的情况
题型13 应用根的判别式求代数式的取值范围
题型14 与根的判别式有关的新定义问题
考点三 一元二次方程根与系数的关系
题型01 由根与系数的关系直接求代数式的值
题型02 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值
题型03 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值
题型04 由方程两根满足关系求字母或代数式的值
题型05 不解方程由根与系数的关系判断根的正负
题型06 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围
题型07 与根与系数有关的新定义问题
题型08 构造一元二次方程求代数式的值
题型09 根与系数的关系和根的判别式的综合应用
考点四 一元二次方程的应用
题型01 分裂（传播）问题
题型02 碰面（循环）问题
题型03 增长率问题
题型04 营销问题
题型05 工程问题
题型06 行程问题
题型07 与图形有有关的问题
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考点要求 新课标要求 命题预测
本考点内容以考查一元二
一元二次方程的相
理解一元二次方程的相关概念. 次方程的相关概念、解一元二次
关概念
方程、根的判别式、韦达定理
理解配方法，能用配方法、公式
（根与系数的关系）、一元二次
法、因式分解法解数字系数的一元二次方
一元二次方程的解 方程的应用题为主，既有单独考
程；
法 查，也有和二次函数结合考察最
会用一元二次方程根的判别式判别
值问题，年年考查，分值为15分
方程是否有实根及两个实根是否相等；
左右.
一元二次方程的根 了解一元二次方程的根与系数的关
预计2024年各地中考还将
与系数的关系 系.
继续考查上述的几个题型，复习
过程中要多注意各基础考点的巩
固，特别是解法中公式法的公
一元二次方程的应 能根据具体问题的实际意义，检验
用 方程解的合理性. 式，不要和后续二次函数顶点坐
标的纵坐标公式记混了．
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考点一 一元二次方程的相关概念
概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程 一般形式： ax2+bx+c=0(a≠0)，
的相关概念 其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解.
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1. 如果明确了ax2+bx+c=0是一元二次方程,就隐含了a≠0这个条件（当a=0时，不含有二次项，
即不是一元二次方程）.
2. 一元二次方程必须具备三个条件：
①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2.
3. 在判断一个方程是不是一元二次方程时,要先化成一般形式，再判断.
4. 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的.所以在确定一元二次方程各项的系数
时,应先将方程化为一般形式.
5. 一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明x1，x2．
题型01 识别一元二次方程
【例1】（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（ ）
1
A．x2−1=0 B．2x+ y=1 C．x+ =3 D．4x+5=6x
x
【变式1-1】（2023·四川成都·一模）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+x−y=0 B．ax2+2x−3=0
C．x2+2x+5=x(x−1) D．x2−1=0
题型02 由一元二次方程的概念求参数的值
【例2】（2023 南阳市一模）关于x的方程(m+1)x|m|+1−mx+6=0是一元二次方程，则m的值是（ ）
A．−1 B．3 C．1 D．1或−1
【变式2-1】（2022上·辽宁沈阳·九年级期中）方程(m−2)xm2−2+(5+m)x+3=0是关于x的一元二次方
程，则m= ．
题型03 一元二次方程的一般式
【例3】（2022上·河南郑州·九年级郑州外国语中学校考期中）将一元二次方程3x2=5x−1写成一般形式，
下列等式正确的是（ ）
A．3x2−5x−1=0 B．3x2+5x−1=0
C．3x2−5x+1=0 D．3x2+5x+1=0
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【变式3-1】（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考模拟预测）将方程4x2+8x=25化成
ax2+bx+c=0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．4，8，25 B．4，2，−25 C．4，8，−25 D．1，2，25
【变式3-2】．（2021上·山西晋中·九年级阶段练习）若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它
的一个根为2，则该方程为 ．
【变式3-3】（2023集贤县·九年级期中）已知关于x的一元二次方程(a−1)x2+x+a2−1=0的常数项是
0，则a的值为（ ）
1
A．1 B．−1 C．1或−1 D．
2
题型04 由一元二次方程的解求参数的值
【例4】（2022·广东·中考真题）若x=1是方程x2−2x+a=0的根，则a= ．
【变式4-1】（2021·湖南长沙·中考真题）若关于x的方程x2−kx−12=0的一个根为3，则k的值为 ．
利用方程根的概念将方程的根代入原方程再解方程就可以求出参数的值，同时还要注意限制参数
取值的其他隐含条件.
题型05 由一元二次方程的解求代数式的值
【例5】（2023·甘肃陇南·一模）关于x的一元二次方程2xa−2+m=4的解为x=1，则a+m的值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
【变式5-1】（2023·北京海淀·校考模拟预测）如果x=−1是方程x2+mx+n=0的一个根，那么m、n的大
小关系是（ ）
A．m>n B．m=n C．m0;
2）有两个相等的实数根时, Δ=0;
3）没有实数根时, Δ<0.
6. 一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根．
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题型01 用直接开平方法解一元二次方程
【例1】（2023·天津西青·二模）方程(x+6) 2−9=0的两个根是（ ）
A．x =3，x =9 B．x =−3，x =9
1 2 1 2
C．x =3，x =−9 D．x =−3，x =−9
1 2 1 2
【变式1-1】（2023·浙江杭州·一模）已知一元二次方程(x−2) 2=3的两根为a、b，且a>b，则2a+b的值
为 ．
【变式1-2】（2023·齐齐哈尔市模拟）解关于x的方程： 4(2x−5) 2=9(3x−1) 2．
题型02 利用配方法解一元二次方程
【例2】（2022·甘肃武威·中考真题）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A．(x+1) 2=3 B．(x+1) 2=6 C．(x−1) 2=3 D．(x−1) 2=6
【变式2-1】（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程3x2+6x−1=0时，将它化为
(x+a) 2=b的形式，则a+b的值为（ ）
10 7 4
A． B． C．2 D．
3 3 3
【变式2-2】（2023·山西大同·校联考模拟预测）将方程2x2−12x+1=0配方成(x−m) 2=n的形式，下列
配方结果正确的是（ ）
17 17
A．(x+3) 2=17 B．(x+3) 2= C．(x−3) 2=17 D．(x−3) 2=
2 2
【变式2-3】（2022松原市三模）用配方法解方程x2−4x−3=0，配方得(x+m) 2=7，常数m的值是
．
题型03 利用因式分解法解一元二次方程
【例3】（2022·广西梧州·中考真题）一元二次方程(x−2)(x+7)=0的根是 ．
【变式3-1】（2023惠阳区模拟预测）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，
则该三角形的周长为 ．
【变式3-2】（2023·江苏南京·二模）解方程：x(x−6)=−4(x−6)．
题型04 利用公式法解一元二次方程
【例4】（2023·甘肃陇南·一模）用公式法解方程x2−4x−11=0时，Δ＝（ ）
A．−43 B．−28 C．45 D．60
【变式4-1】（2023·江苏无锡·一模）方程x2−3x=1的解是 ．
【变式4-2】（2023·内蒙古呼伦贝尔·校考一模）方程x2+2x−2=0的解是 .
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【变式4-3】（2023长岭县模拟）一元二次方程x2−3x+2=0根的判别式的值为 ．
题型05 利用换元法解一元二次方程
【例5】（2023·浙江宁波·校考一模）已知(a2+b2) 2 −a2−b2−6=0，求a2+b2的值为 ．
【变式5-1】（2023罗湖区模拟预测）若(x2+ y2+3)(x2+ y2−3)=16，则x2+ y2= ．
【变式5-2】我们知道方程x2+2x−3=0的解是x =1，x =−3，现给出另一个方程
1 2
(2x+3) 2+2(2x+3)−3=0，它的解是（ ）
A．x =1，x =3 B．x =1，x =−3
1 2 1 2
C．x =−1，x =3 D．x =−1，x =−3
1 2 1 2
【变式5-3】（2023·四川绵阳·二模）二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如列表所示：则一元二次方程
a(2x−1) 2+b(2x−1)+c=7的解为 ．
x … −3 0 1 3 5 …
y … 7 −8 −9 −5 7 …
题型06 选用合适的方法解一元二次方程
【例6】（2023西安高新一中一模）解方程：x2−4x−5=0．
【变式6-1】（2023·广东广州·一模）解方程(x−2) 2=4．
【变式6-2】（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）解下列方程
(1)9x2−(x−1) 2=0
(2)x2−4x−1=0
(3)2x2−x−3=0
题型07 错看或错解一元二次方程问题
【例7】（2022·浙江温州·一模）关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（ ）
A B C D
整理得，x2﹣4x＝﹣3 整理得，x2﹣4x＝﹣3
移项得，（x﹣3）（x﹣1）
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3， 配方得，x2﹣4x+2＝﹣1
两边同时除以 ＝0
b2﹣4ac＝28 ∴（x﹣2）2＝﹣1
（x﹣1）得，x＝3 ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0
4±√28 ∴x﹣2＝±1
∴x＝ ＝2±√7 ∴x＝1，x＝3
2 ∴x＝1，x＝3 1 2
1 2
A．A B．B C．C D．D
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【变式7-1】下面是小明同学的错题本的一部分，请你仔细阅读，帮助他补充完整．
解方程： (x−3) 2=4x2
解： x−3=2x …第一步
x−2x=3⋯ 第二步
x=−3⋯ 第三步
(1)提示：第 步开始出现错误；
(2)改正：
【变式7-2】（2021·浙江嘉兴·中考真题）小敏与小霞两位同学解方程3(x−3)=(x−3) 2的过程如下框：
小霞：
小敏：
移项，得3(x−3)−(x−3) 2=0，
两边同除以(x−3)，得
提取公因式，得(x−3)(3−x−3)=0．
3=x−3，
则x−3=0或3−x−3=0，
则x=6．
解得x =3，x =0．
1 2
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【变式7-3】（2023·山西晋中·模拟预测）（1）计算：sin45°+tan45°−2cos60°．
（2）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
x2−2x=1 第一步
x2−2x+1=1，即(x−1) 2=1第二步
x−1=±1 第三步
x =0，x =2 第四步
1 2
任务一：
①填空：上述材料中小明同学解一元二次方程的数学方法是 ，依据的一个数学公式是 ；第
步开始出现错误；
任务二：
②请你直接写出该方程的正确解．
【变式7-4】（2023上·北京东城·九年级期末）下面是小聪同学用配方法解方程：2x2−4x−p=0 (p>0)
的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
2x2−4x−p=0
解：移项，得：2x2−4x=p．①
p
二次项系数化为1，得：x2−2x=
．②
2
p
配方，得x2−2x+1=
．③
2
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p
即(x−1) 2= .
2
∵p>0，
√ p
∴x−1=± ．④
2
√2p √2p
∴x =1+ ，x =1− ．⑤
1 2 1 2
(1)第②步二次项系数化为1的依据是什么？
(2)整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．
题型08 配方法的应用
【例8】（2023上·江西九江·九年级阶段练习）【课本再现】
材料一：解方程：x2+8x−9=0．
解：把常数项移到方程的右边，得x2+8x=9．
两边都加42，得x2+8x+42=9+42，即(x+4) 2=25．
两边开方，得x+4=±5，即x+4=5或x+4=−5，
所以x =1，x =−9．
1 2
在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配
方法．
材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题．
例如：x2−6x+10=(x2−6x+9)−9+10=(x−3) 2+1．
∵(x−3) 2≥0，
∴(x−3) 2+1≥1，即x2−6x+10有最小值1．
【尝试运用】
（1）解一元二次方程x2−4x−2=0，配方后可变形为（ ）
A．(x−4) 2=8 B．(x−4) 2=6 C．(x−2) 2=2 D．(x−2) 2=6
（2）利用配方法求−x2−6x+5的最值．
【拓展应用】
（3）已知方程x2+ y2+2x−4 y+5=0，求(x−2) y的值．
【变式8-1】（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）配方法在代数式求值、解方程、求最值问题……
中都有着广泛的应用．
例如：若代数式M=a2−2ab+2b2−2b+2，
利用配方法求M的最小值：M=a2−2ab+2b2−2b+2
=a2−2ab+b2+b2−2b+1
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=(a−b) 2+(b−1) 2+1
∵(a−b) 2≥0，(b−1) 2≥0，
∴当a=b=1时，代数式M有最小值为1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+6a+_________；
(2)若代数式M=a2+4a+6，求M的最小值；
(3)已知a2+2b2+c2−2ab−2b−4c+5=0，求代数式a+b+c的值．
题型09 判断不含字母的一元二次方程的根的情况
【例9】（2022·山东滨州·中考真题）一元二次方程2x2−5x+6=0的根的情况为（ ）
A．无实数根 B．有两个不等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能判定
【变式9-1】（2022·辽宁抚顺·中考真题）下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A．x2+x−2=0 B．x2−2x=0
C．x2+x+5=0 D．x2−2x+1=0
【变式9-2】（2020·安徽·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2+1=2x B．x2+1=0
C．x2−2x=3 D．x2−2x=0
【变式9-3】（2022·江苏扬州·中考真题）请填写一个常数，使得关于x的方程x2−2x+ =0有
两个不相等的实数根．
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中ac<0(或a、c异号)，则可直接判断该方程有两个不相等
的实数根.
题型10 判断含字母的一元二次方程根的情况
【例10】（2022·湖北荆州·中考真题）关于x的方程x2−3kx−2=0实数根的情况，下列判断正确的是
（ ）
A．有两个相等实数根B．有两个不相等实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根
【变式10-1】（2020·山东潍坊·中考真题）关于x的一元二次方程x2+(k−3)x+1−k=0根的情况，下列
说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
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C．无实数根 D．无法确定
题型11 由方程根的情况确定字母的值或取值范围
【例11】（2022·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的
值为（ ）
1 1
A．−4 B．− C． D．4
4 4
【变式11-1】（2022·四川宜宾·中考真题）若关于x的一元二次方程ax2+2x−1=0有两个不相等的实数
根，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a>−1且a≠0 C．a≥−1且a≠0 D．a>−1
【变式11-2】（2022·江苏淮安·中考真题）若关于x的一元二次方程x2−2x−k=0没有实数根，则k的值
可以是（ ）
A．−2 B．−1 C．0 D．1
【变式11-3】（2023绵阳市模拟）关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则k的
取值范围是 ．
题型12 应用根的判别式证明方程根的情况
【例12】（2022上·福建福州·九年级福建省福州铜盘中学校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程
x2+mx+m−1=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．
【变式12-1】（2022·湖北十堰·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−2x−3m2=0．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β=5，求m的值．
【变式12-2】（2022·北京朝阳·一模）已知关于x的一元二次方程x2−ax+a−1=0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．
【变式12-3】（2023·广东江门·二模）已知关于x的方程x2+(3k−2)x−6k=0．
(1)求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形△ABC的一边a=6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
题型13 应用根的判别式求代数式的取值范围
【例13】（2023·河南信阳·校考三模）关于x的一元二次方程(m−3)x2−2x+1=0有实数根，则m的取值
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范围是（ ）
A．m<4且m≠3 B．m>4 C． m≥4 D．m≤4且m≠3
9
【变式13-1】（2022株洲市二中二模）若关于x的方程kx2−3x− =0有实数根，则实数k的取值范围
4
是（ ）
A．k=0 B．k≥−1且k≠0 C．k≥−1 D．k>−1
【变式13-2】（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2−6x+2m−1=0有x ，x 两实
1 2
数根．
(1)求m的取值范围；
6
(2)是否存在实数m，满足(x −1)(x −1)=− ？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
1 2 m−7
【变式13-3】（2023·湖北孝感·校考模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2+3x+2k−1=0有两个实数
根x ，x
1 2
(1)求k的取值范围；
(2)若x2−x2=3√5，求k的值．
1 2
【变式13-4】（2023·浙江·模拟预测）已知三个关于x的方程x2−x+m=0,(m−1)x2+2x+1=0和
(m−2)x2+2x−1=0．若其中至少有两个方程有实根，求实数m的取值范围．
题型14 与根的判别式有关的新定义问题
【例14】（2020·湖北荆州·中考真题）定义新运算a∗b，对于任意实数a，b满足a∗b=(a+b)(a−b)−1，
其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4∗3=(4+3)(4−3)−1=7−1=6，若x∗k=x（k
为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【变式14-1】（2022·内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“ ”为a⊗b=b2−ab，例如
3⊗2=22−3×2=−2，则关于x的方程(k−3) ⊗x=k−1的根的情⊗况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【变式14-2】（2020·河南·中考真题）定义运算：m☆n=mn2−mn−1．例如
:4☆2=4×22−4×2−1=7．则方程1☆x=0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
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考点三 一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x 和x ，则x ，x 与方程的系数a，b，c之间有如下关系：
1 2 1 2
b c
x +x ＝− ； x •x ＝
1 2 a 1 2 a
【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化：
已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x ,x
1 2
1）平方和 x2+x2= (x +x ) 2−2x x
1 2 1 2 1 2
1 1 x +x
1 2
2）倒数和 + =
x1 x2 x x
1 2
3）差的绝对值 | x - x |=√(x −x ) 2=√(x +x ) 2−4x x
1 2 1 2 1 2 1 2
x x x 2+x 2 (x +x ) 2−2x x
4) 1+ 2 = 1 2 = 1 2 1 2
x x x x x x
2 1 1 2 1 2
5） (x +1)(x +1)=x x +(x +x )+1
1 2 1 2 1 2
1. 如果方程x2+px+q＝0的两个根为 x 1 ,x 2， 那么x 1+ x 2 ＝−p， x 1 •x 2 ＝q.
2. 以两个数 x 1 ,x 2 为根的一元二次方程（二 次 项 1）是系x2数 -（为x 1+ x 2 ）x+ x 1 •x 2 ＝0.
3. 运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定 a、b、
c的值.
4. 一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0.
题型01 由根与系数的关系直接求代数式的值
【例1】（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−2x−a=0的两根分别记为x ，x ，
1 2
若x =−1，则a−x2−x2 的值为（ ）
1 1 2
A．7 B．−7 C．6 D．−6
【变式1-1】（2023·湖北武汉·模拟预测）已知m，n是一元二次方程x2+3x−2=0的两根，则
2 m+3n
− 的值是（ ）
m−n m2−n2
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1 1
A．−3 B．−2 C．− D．−
3 2
√b √a
【变式1-2】（2023汉寿县一模）已知a、b是一元二次方程x2+5x+3=0的两个根，则a +b 的值
a b
是（ ）
A．−2√3 B．−3√2 C．3√2 D．2√3
【变式1-3】（2022·湖南娄底·中考真题）已知实数x ,x 是方程x2+x−1=0的两根，则x x = ．
1 2 1 2
【变式1-4】（2021·湖北黄冈·一模）已知一元二次方程x2﹣3x＋1＝0有两个实数根x，x，则x＋x﹣xx
1 2 1 2 1 2
的值等于 ．
【变式1-5】（2021·湖北孝感·一模）已知方程x2−4x−1=0的两根为x ,x ，则(1−x )(1−x )=
1 2 1 2
．
求含有两根的代数式的值：将所求代数式通过因式分解或配方等恒等变形，变形为含有两根和与两根
积的式子，再代入由一元二次方程根与系数关系得到的值，求出结果.
题型02 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值
【例2】（2023潜江市模拟）若α、β为方程2x2−5x−1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为
（ ）
A．−13 B．12 C．14 D．15
【变式2-1】（2021·江苏南通·中考真题）若m，n是一元二次方程x2+3x−1=0的两个实数根，则
m3+m2n
的值为 ．
3m−1
【变式2-2】（2021·四川成都·中考真题）若m，n是一元二次方程x2+2x−1=0的两个实数根，则
m2+4m+2n的值是 ．
题型03 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值
【例3】（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知x ，x 是方程x2−x−2022=0的两个实数根，则代数式
1 2
x3−2022x +x2
的值是（ ）
1 1 2
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
【变式3-1】（2023连云港市检测）已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（
）
A．﹣1 B．2 C．22 D．30
【变式3-2】（2021上·湖北武汉·九年级武汉市武珞路中学校考期中）已知a，b是方程x2−x−1=0的两根，
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则代数式2a3+5a+3b3+3b+1的值是（ ）
A．19 B．20 C．14 D．15
【变式3-3】（2021·湖北武汉·中考真题）已知a，b是方程x2−3x−5=0的两根，则代数式
2a3−6a2+b2+7b+1的值是（ ）
A．-25 B．-24 C．35 D．36
【变式3-4】已知α、β是方程x2+x−1=0的两根，则α4β−β3+5的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式3-5】（2020·浙江杭州·九年级专题练习）已知α，β是方程x2+2x−1=0的两根，则α3+5β+10的
值为 ．
题型04 由方程两根满足关系求字母或代数式的值
【例4】（2022·四川泸州·中考真题）已知关于x的方程x2−(2m−1)x+m2=0的两实数根为x ，x ，若
1 2
(x +1)(x +1)=3，则m的值为（ ）
1 2
A．−3 B．−1 C．−3或3 D．−1或3
【变式4-1】（2022·湖北武汉·校联考模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2−m=0的两实
数根为x ,x ，且满足x x =2，则x +x 的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．4 B．-4 C．4或-2 D．-4或2
【变式4-2】（2022·广东佛山·二模）若a、b是关于x的一元二次方程x2−2kx＋4k=0的两个实数根，且a2
＋b2＝12，则k的值是（ ）
A．−1 B．3 C．−1或3 D．−3或1
【变式4-3】（2019·广东广州·中考真题）关于x的一元二次方程x2−(k−1)x−k+2=0有两个实数根
x ,x ，(x −x +2)(x −x −2)+2x x =−3，则k的值（ ）
1 2 1 2 1 2 1 2
A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2
【变式4-4】（2022·四川内江·中考真题）已知x、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且
1 2
x x
2+ 1
＝x2+2x﹣1，则k的值为 ．
x x 1 2
1 2
【变式4-5】（2022·四川巴中·中考真题）α、β是关于x的方程x2−x+k−1=0的两个实数根，且
α2−2α−β=4，则k的值为 ．
题型05 不解方程由根与系数的关系判断根的正负
【例5】（2020·江苏南京·中考真题）关于x的方程(x−1)(x+2)=ρ2（ρ为常数）根的情况下，下列结论
中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
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C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【变式5-1】（2023秦淮区9年纪月考）已知x、x 是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正
1 2
确的是（ ）
A．x≠x B．x+x＞0 C．x•x＞0 D．x＜0，x＜0
1 2 1 2 1 2 1 2
【变式5-2】（2021·江苏南京·一模）关于x的方程3x2−7x+4=0的根的情况，下列结论中正确的是
（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【变式5-3】关于x的方程(x−2)(x+1)=p2（p为常数）根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根
题型06 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围
【例6】（2023·湖北省直辖县级单位·校联考二模）已知关于x的一元二次方程x2−6x+(2m+1)=0的两
个实数根为x 、x ，且2x x +x +x ≥20，则m的取值范围是（ ）
1 2 1 2 1 2
A．m≥3 B．m≤−4 C．3≤m≤4 D．−3≤m≤4
【变式6-1】（2023·四川绵阳·三模）已知关于x的方程4x2−(k+5)x−k−9=0有两个不相等的实数根x ，
1
x ，且x =−1，0x +x −4，则m的取值范围是 ；
1 2 1 2
【变式6-3】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知关于x的方程
x2−(2m+1)x+m2=0(m≠0)有两实数根x ,x ，请用m表示x 2+x 2 的值并求出m的取值范围．
1 2 1 2
题型07 与根与系数有关的新定义问题
【例7】（2023上·湖南娄底·九年级校联考期末）定义运算：a∗b=a(1−b)，若a，b是方程
1
x2−x+ m=0(m<0)的两根，则b∗b−a∗a的值为（ ）
4
A．−1 B．0 C．1 D．±1
【变式7-1】．（2022上·贵州铜仁·九年级阶段练习）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：
a∗b=a2+2ab−b2，例如：3∗5=32+2×3×5−52=14．若m，n是方程(x+2)∗3=0的两个实数根，
1 1
则 + 的值为（ ）
m n
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10 1 10
A． B．-3 C． D．−
7 7 7
【变式7-2】（2023上·江苏泰州·九年级泰州市第二中学附属初中校考阶段练习）对于实数m、n，定义运
算“※”：m※ n=mn(m+n)．例如，4※ 2=4×2×(4+2)=48．若x ，x 是关于x的一元二次方程
1 2
x2−5x−4=0的两个实数根，则x ※ x = ．
1 2
【变式7-3】（2023上·辽宁阜新·九年级校考阶段练习）对于任意实数a，b，定义：a◆b=a2+3ab+2b2．
若方程x◆2=5的两根记为m，n，则m2+n2−mn= ．
题型08 构造一元二次方程求代数式的值
【例8】（2023·湖北武汉·一模）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2+m=3，n2+n=3，那么代数
式3n2−mn−3m的值是（ ）
A．16 B．15 C．12 D．9
1 1
【变式8-1】（2023武昌区联考）若a≠b，且a2−4a+1=0,b2−4b+1=0则 + 的值为（ ）
1+a2 1+b2
1
A． B．1 C．.4 D．3
4
【变式8-2】（2022·湖北鄂州·中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则
1 1
+ 的值为 ．
a b
【变式8-3】（2021上·重庆黔江·九年级期末）已知实数m，n (m≠n) 满足等式m2−2m−1=0，
2 2
n2−2n−1=0，则 + 的值是 ．
m n
题型09 根与系数的关系和根的判别式的综合应用
【例9】（2023重庆市9年纪期末）关于x的一元二次方程x2−4x+k+2=0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)如果x ，x 是方程的两个解，令w=x x2+x2x +k，求w的最大值．
1 2 1 2 1 2
【变式9-1】（2023·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x−3m2+m=0
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
x x 5
(2)若x ，x 是方程的两个实数根，且 2+ 1=− ，求m的值．
1 2 x x 2
1 2
【变式9-2】（2022上·四川遂宁·九年级期末）已知关于x的一元二次方程mx2−2x−1=0有两个不相等
的实数根x ，x ．
1 2
(1)求m的取值范围；
(2)当x2+x2=x x +1时，求m的值．
1 2 1 2
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考点四 一元二次方程的应用
用一元二次方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
与一元二次方程有关应用题的常见类型：
1）变化率问题
解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二
次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或
降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即：
2）利润和利润率问题
在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量
关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、
利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%.
3)面积问题
几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面
积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意.
常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)
(b−2x)．
常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)．
常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为
(a−x)(b−x)．
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4)分裂（传播）问题
解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还
是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解.
①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为 1，每一个传染源传
染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2.
②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x
个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2.
5）碰面问题（循环）问题
① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m．
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分．
1
∴m = n（n－1）
2
② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m．
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场．
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠．
∴m = n（n－1）
题型01 分裂（传播）问题
【例1】（2021·黑龙江·中考真题）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，
则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）
A．14 B．11 C．10 D．9
【变式1-1】（2022·天津和平·一模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小
分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程正确的是（ ）
A．1+x2＝91 B．（1+x）2＝91
C．1+x+x2＝91 D．1+（1+x）+（1+x）2＝91
【变式1-2】（2023·广东阳江·一模）自2023年1月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某一
小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有121人患了甲流．
(1)每轮感染中平均一个人传染几人？
(2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过1500人患了甲流？
【变式1-3】（2022上·云南红河·九年级期末）截止到2022年1月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控
制，但在全球却持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若
一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有196人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染
了几个人？
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题型02 碰面（循环）问题
【例2】（2021·贵州毕节·中考真题）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式
（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式2-1】（2023上·云南昆明·九年级期末）中国男子篮球职业联赛（简称：CBA），分常规赛和季后
赛两个阶段进行，采用主客场赛制（也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛）．2022-2023CBA常规赛
共要赛240场，则参加比赛的队共有（ ）
A．80个 B．120个 C．15个 D．16个
【变式2-2】（2023上·广东惠州·九年级期末）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人
共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（ ）
1 1
A． x(x−1)=10 B．x(x−1)=10 C．x(x+1)=10 D． x(x+1)=10
2 2
【变式2-3】某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去90张贺卡，则该学习小组成员的人数是 ．
题型03 增长率问题
【例3】（2022·重庆·中考真题）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快
递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200(1+x) 2=242 B．200(1−x) 2=242
C．200(1+2x)=242 D．200(1−2x)=242
【变式3-1】（2022·安徽·校联考一模）在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．
去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时
长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ）
A．a(1−x) 2=70%a B．a(1+x) 2=70%a
C．a(1−x) 2=30%a D．30%(1+x) 2a=a
【变式3-2】（2022·上海·中考真题）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7
月的增长率相同，则增长率为 ．
题型04 营销问题
【例4】（2022·河北保定·一模）某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销
售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总
利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【变式4-1】（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级校考期末）某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元
时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里
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每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．(60−x)(200+8x)=8450 B．(20−x)(200+x)=8450
C．(20−x)(200+40x)=8450 D．(20−x)(200+8x)=8450
【变式4-2】（2022上·重庆·九年级重庆一中校考期中）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，
我国各地都有吃粽子的习俗，某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16
元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天
售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．(16−x−10)(200+80x)=1440 B．(16−x)(200+80x)=1440
C．(16−x−10)(200−80x)=1440 D．(16−x)(200−80x)=1440
【变式4-3】（2022·四川眉山·中考真题）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，
2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加
15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
【变式4-4】（2023·山东东营·东营市胜利第一初级中学校考三模）某公司2月份销售新上市的A产品20
套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3
月到4月两次的增长率相同．
(1)求该公司销售A产品每次的增长率；
(2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措
施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万
元，则每套A产品需降价多少？
题型05 工程问题
【例5】（2023·重庆开州·校联考一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工
改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不
变的情况下，时间比原计划增加了(m+25)小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，
而使用时间增加了m小时，求m的值．
【变式5-1】（2022·重庆·重庆巴蜀中学校考一模）“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门
店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工
的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；
(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的
工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成
任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？
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【变式5-2】（2022·重庆·校考一模）某公司主营铁路建设施工．
(1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，
隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？
(2)到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度
平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里
程会减少7a千米，隧道施工里程会减少2a千米，桥梁施工里程会增加a千米，其中平地施工，隧道施工
1
每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加 a亿元，若二季度总成本与一季度相同，
2
求a的值．
题型06 行程问题
【例6】（2021·福建龙岩·模拟预测）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙
东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲
的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．
甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ．
【变式6-1】（2021·安徽宣城·校考一模）甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运
动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．
(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？
(2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行
走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？
题型07 与图形有有关的问题
【例7】一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照
片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸
（如图），下面所列方程正确的是（ ）
A．2(7+x)(5+x)=7×5 B．(7+x)(5+x)=2×7×5
C．2(7+2x)(5+2x)=7×5 D．(7+2x)(5+2x)=2×7×5
【变式7-1】（2022·河南洛阳·一模）春意复苏，郑州绿化工程正在如火如荼地进行着，某工程队计划将一
块长64m，宽40m的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．
若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽，设小路的宽为x m，则可列方程（ ）
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A．(64−2x)(40−x)=64×40×80% B．(40−2x)(64−x)=64×40×80%
C．64x+2×40x−2x2=64×40×80% D．64x+2×40x=64×40×(1−80%)
【变式7-2】（2023·河北衡水·二模）六张完全相同的小矩形纸片C与A，B两张矩形纸片恰好能拼成一个
相邻边长为m，50的大矩形，部分数据如图所示．
（1）若n=8，则矩形A的水平边长为 ；
（2）请用含m，n的代数式表示矩形A的周长： ；
（3）若矩形A，B的面积相等，则n= ．
【变式7-3】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，在一块长15米、宽10米的矩形空地上，修
建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草．要使绿化面积为126平方米，则修建的路宽应是多
少米？
【变式7-4】（2021深圳市模拟）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足
够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm.
（1）若花园的面积为192m2, 求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑
树的粗细），求花园面积S的最大值.
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【变式7-5】（2022上·江苏无锡·九年级期中）某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形ABCD
空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，
且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草．
(1)如图1，要使种植花草的面积为532m2，求小道进出口的宽度为多少米；
(2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，△AEQ、△BGF、△CMH、△DPN均为全等
的直角三角形，其中AE＝BF＝CM＝DN，设EF＝HG＝MN＝PQ＝a米，竖向道路出口和横向
弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于MN和EF之间，横向弯折道路出口位于PQ和HG之间．
①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）；
②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值．
【变式7-6】（2023·安徽合肥·校考一模）已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同
时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q
两点停止运动．设点P的运动时间为t(s)，解答下列问题：
(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
2
(2)是否存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的 ？如果存在，求出相应的t值；如果不
3
存在，说明理由．
【变式7-7】（2020上·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）如图，点P是线段BD上一个动点，
∠B＝∠D＝90°，AB＝6，CD＝4，BD＝a．
（1）当∠APC＝90°，a＝14时，求BP的长度；
（2）若∠APC＝90°时，点P有两个符合要求即P，P，且PP＝2，求a的值；
1 2 1 2
（3）若∠APC＝120°时，点P有且只有一个点符合要求，求a的值．
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