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第二章 方程与不等式
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地 号汽油价格三月底是 元/升，五月底
是 元/升．设该地 号汽油价格这两个月平均每月的增长率为 ，根据题意列出方程，正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设该地 号汽油价格这两个月平均每月的增长率为 ，根据三月底和五月底92号汽油价格，得
出关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：依题意，得 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解决实际问题的知识，找准数量关系，正确列出一元二次方程式解
题关键．
2．某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已知10张A票的总价与19张B
票的总价相差320元，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题中数量关系列出方程即可解题；
【详解】解：由10张A票的总价与19张B票的总价相差320元可知，
或 ，
∴ ，
故选：C．
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【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键在于能根据实际情况对题目全面分析．
3．为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，
记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（
）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【分析】设小红答对的个数为x个，根据抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或
不答一个扣1分，列出方程求解即可．
【详解】解：设小红答对的个数为x个，
由题意得 ，
解得 ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键．
4．上学期某班的学生都是双人同桌，其中 男生与女生同桌，这些女生占全班女生的 ，本学期该班新
转入4个男生后，男女生刚好一样多，设上学期该班有男生x人，女生y人，根据题意可得方程组为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设上学期该班有男生x人，女生y人，则本学期男生有（x+4）人，根据题意，列出方程组，即可
求解．
【详解】解：设上学期该班有男生x人，女生y人，则本学期男生有（x+4）人，根据题意得：
．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
5．【原创题】在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小
明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
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A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
【答案】B
【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.
【详解】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，
所以此时方程为： 即：
小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，
所以此时方程为： 即：
从而正确的方程是：
故选：
【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的
方法是解题的关键.
6．满足 的整数 的值可能是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】先化简 并估算 的范围，再确定m的范围即可确定答案．
【详解】 ，
，
， ，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的化简，无理数的估算和不等式的求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
7．定义新运算“※”：对于实数 ， ， ， ，有 ，其中等式右边是通常的加法
和乘法运算，如： ．若关于 的方程 有两个实数根，
则 的取值范围是（ ）
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A． 且 B． C． 且 D．
【答案】C
【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入
手，即可解决．
【详解】解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0，
∴ ．
整理得， ．
∵方程有两个实数根，
∴判别式 且 ．
由 得， ，
解得， ．
∴k的取值范围是 且 ．
故选：C
【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题
的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目
容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．
8．若关于x的分式方程 有正数解，求m的取值范围．甲解得的答案是： ，乙解得的答
案是： ，则正确的是（ ）
A．只有甲答案对 B．只有乙答案对
C．甲、乙答案合在一起才正确 D．甲、乙答案合在一起也不正确
【答案】D
【分析】先解分式方程，得出 ，根据关于x的分式方程 有正数解，得出 ，
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解不等式组即可得出答案．
【详解】解： ，
去分母得： ，
移项，合并同类项得： ，
解得： ，
∵关于x的分式方程 有正数解，
∴ ，
解得： 或 ，且 ，
∴甲、乙答案合在一起也不正确，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解不等式组，解题的关键是根据关于x的分式方程 有
正数解，列出关于m的不等式组．
9．【原创题】设 为实数， 则x、y、z 中至少有一个值
（ ）
A．大于 B．等于 C．不大于 D．小于
【答案】A
【分析】先计算x+y+z，再利用配方法得到x+y+z＝ ，根据非负数的性质和
＞3得到x+y+z＞0，根据有理数的性质得到x、y、z中至少有一个正数．
【详解】解：x+y+z＝
＝ ，
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∵ ≥0， ≥0， ≥0， ＞0，
∴x+y+z＞0，
∴x、y、z中至少有一个大于0．
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．
10．【创新题】已知多项式 ，多项式 ．
①若 ，则代数式 的值为 ；
②当 ， 时，代数式 的最小值为 ；
③当 时，若 ，则关于x的方程有两个实数根；
④当 时，若 ，则x的取值范围是 ．
以上结论正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】①把 代入解方程即可求解；②把 代入，再配方求最小值即可；③把 代入解方程
即可求解；④根据绝对值的意义求解即可．
【详解】解：①若 ，则 ，解得 ，或 ，
∴ 的值为 ；故①错误；
②当 时，
，∴当 时，代数式 的最小值为 ；故②错误；
③由题意得， ，
∴ 或 ，
解 得 ，或 ；
解 ，即 ，没有实数解，
∴关于x的方程有两个实数根，故③正确；
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④当 时，
∴ ，解得 ；故④错误；
综上，只有③正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法的应用，解一元二次方程、解不等式组、绝对值的意义，理解绝对值的性质和
一元二次方程的解法是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1
11．【原创题】已知关于x的一元一次方程 x+3=2x+b的解为x=2，则关于y的一元一次方程
2024
1
(y+1)=2y−1+b的解为 ．
2024
【答案】y=1
【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键；所以由题意易得
1
(y+1)+3=2(y+1)+b，然后可得y+1=2，进而求解即可．
2024
1 1
【详解】解：由方程 (y+1)=2y−1+b可变形为 (y+1)+3=2(y+1)+b，
2024 2024
1
因为关于x的一元一次方程 x+3=2x+b的解为x=2，
2024
1
所以把(y+1)看作一个整体，则方程 (y+1)+3=2(y+1)+b的解为y+1=2，
2024
解得：y=1，
故答案为y=1．
12．如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的 的值是 ．
先化简，再求值： ，其中
解：原式
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【答案】5
【分析】根据题意得到方程 ，解方程即可求解．
【详解】解：依题意得： ，即 ，
去分母得：3-x+2(x-4)=0，
去括号得：3-x+2x-8=0，
解得：x=5，
经检验，x=5是方程的解，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
13．关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n，且(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，则a的值
为 ．
【答案】 /1.5/
【分析】根据方程根的定义得到 ， ，然后把(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝
54变形后，利用整体代入，得到关于a的一元二次方程，解方程后去掉不合题意的解即可．
【详解】解：∵关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n，
∴ ，
∴ ，
∵(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，
∴[2（am2－2bm＋a）] [3(an2－2bn)－2a]＝54
∴
解得 或
∵ab≠0
∴a，b均为非零实数，
∴
故答案为：
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【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义和整体代入的方法，熟练掌握整体代入的方法是解题的关键．
14．点Q的横坐标为一元一次方程 的解，纵坐标为 的值，其中a，b满足二元一次方
程组 ，则点Q关于y轴对称点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】先分别解一元一次方程 和二元一次方程组 ，求得点Q的坐标，再根
据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．
【详解】解： ，
移项合并同类项得， ，
系数化为1得， ，
∴点Q的横坐标为5，
∵ ，
由 得， ，解得： ，
把 代入①得， ，解得： ，
∴ ，
∴点Q的纵坐标为 ，
∴点Q的坐标为 ，
∴点Q关于y轴对称点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直
角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q的坐标是解题
的关键．
【新考法】 信息题
15．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节气，每个节气的晷（ɡuǐ）长损益
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相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气如图所示．从冬至到夏
至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，周而复始．若
冬至的晷长为13.5尺，夏至的晷长为1.5尺，则相邻两个节气晷长减少或增加的量为 尺，立夏的
晷长为 尺．
【答案】 1 4.5
【分析】设相邻两个节气晷长减少的量为 尺，由题意知， ，计算求出相邻两个节气晷长减
少或增加的量；根据立夏到夏至的减少量求解立夏的晷长即可．
【详解】解：设相邻两个节气晷长减少的量为 尺，
由题意知， ，
解得， ，
∴相邻两个节气晷长减少或增加的量为1尺；
∵ ，
∴立夏的晷长为4.5尺；
故答案为：1；4.5．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于根据题意列方程．
【新考法】 与一元二次方程有关的新定义问题
16．将两个关于x的一元二次方程整理成 （ ，a、h、k均为常数）的形式，如果只有
系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程
（ ）与方程 是“同源二次方程”，且方程 （ ）有两
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个根为 、 ，则b－2c＝ ， 的最大值是 ．
【答案】 4； -3
【分析】利用 （ ）与方程 是“同源二次方程”得出 ， ，
即可求出 ；利用一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，进而得出
，设 （ ），得 ，根据方程 有正数解
可知 ，求出t的取值范围即可求出 的最大值．
【详解】解：根据新的定义可知，方程 （ ）可变形为 ，
∴ ，
展开， ，
可得 ， ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∵方程 （ ）有两个根为 、 ，
∴ ，且 ，
∴ ，
设 （ ），得 ，
∵方程 有正数解，
∴ ，
解得 ，即 ，
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∴ ．
故答案为：4，-3．
【点睛】本题考查新定义、一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，由根与系数的关系得到
是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23
题9分，24题10分，25题13分）
17．由工业和信息化部人才交流中心和 国际公开赛组委会共同主办的睿抗机器人开发者大赛
， 年 月 日在线上召开 赛季启动大会 为备战机器人大赛，某校对机器人进行 米
比赛，“冲锋”和“东风”两个机器人进入了决赛 比赛中，“冲锋”先出发 秒后，“东风”从同一起始
位置出发，结果“东风”迟到 秒到达终点 已知“东风”是“冲锋”的平均速度的 倍，求“冲锋”的
平均速度．
【答案】“冲锋”的平均速度 米 秒
【分析】设“冲锋”的平均速度为 米 秒，则“东风”的平均速度的 米 秒，根据“冲锋”从起点出
发 秒后，“东风”才从起点出发，结果“东风”迟到 秒到达终点，可得方程，解出即可．
【详解】解：设“冲锋”的平均速度为 米 秒，则“东风”的平均速度的 米 秒，
由题意得 ，
解得： ，
经检验 是原方程的解．
答：“冲锋”的平均速度 米 秒．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系
18．已知一元二次方程□ ，其中系数“□”印刷不清．
(1)嘉嘉把“□”猜成是2，请你解方程 ；
(2)淇淇说：“我看答案该方程有两个相同的根”请你通过计算说明“□”是几？
【答案】(1) ，
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(2)
【分析】本题考查一元二次方程的解法、一元二次方程的根的判别式，解题的关键是公式法解一元二次方
程．
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）根据方程有两个相同的根可得 ，代入计算解题即可．
【详解】（1）解：
，
，
方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： ， ；
（2）设“□”里的数为 ，
∵该方程有两个相同的根，
∴ ，即 ,
解得： ，
∴“□”里的数为 ．
19．整式 的值为P．
(1)当m＝2时，求P的值；
(2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．
【答案】(1)
(2)
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【分析】（1）将m＝2代入代数式求解即可，
（2）根据题意 ，根据不等式，然后求不等式的负整数解．
【详解】（1）解：∵
当 时，
；
（2） ，由数轴可知 ，
即 ，
，
解得 ，
的负整数值为 ．
【点睛】本题考查了代数式求值，解不等式，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键．
20．下面是小辉和小莹两位同学解方程组 的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：令
小辉：由②得， ．③…………第一步 小莹： 得， ．………………第一步
将③代入①得， ．……第二步 解得 ，…………………………第二步
将 代入①得， ．…………第三步
整理得， ．………………第三步
解得 ．…………………………第四步 整理得， ．………………第四步
将 代入③，解得 ．………第五步 解得 …………………………第五步
∴原方程组的解为 ……………第六步 ∴原方程组的解为 …………第六步
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任务一：请你从中选择一位同学的解题过程并解答下列问题．
①我选择___________同学的解题过程，该同学第一步变形的依据是___________；
②该同学从第___________开始出现错误，这一步错误的原因是___________；
任务二：直接写出该方程组的正确解；
任务三：除以上两位同学的方法，请你再写出一种方法（不用求解）．
【答案】①小辉；等式的基本性质1（或等式的两边同时加（或减）同一个代数法，所得结果仍是等式）；
②三；去括号时，括号外是“ ”号，去年括号后未给 括号内的第二项进行变号；任务二： ；任务
三：
【详解】
任务一：①小辉；
等式的基本性质1（或等式的两边同时加（或减）同一个代数法，所得结果仍是等式）；
②三；
去括号时，括号外是“ ”号，去年括号后未给 括号内的第二项进行变号；
或①小莹；
等式的基本性质1（或等式的两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式）；
②四；
移项未变号；
任务二：令
得，
解得：
将 代入①得，
解得：
正确的解为
任务三： ．
得
解得： ，代入①得 ，
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解得：
【点睛】本题考查了负整数指数幂，有理数的乘方以及特殊角的三角函数值，解二元一次方程组，熟练掌
握以上知识是解题的关键．
【新考法】 数学与规律探究——图形规律规律
21．为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些
备选图案如图所示．
[观察思考]图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．
(1)[规律总结]图4灰砖有______块，白砖有______块；图n灰砖有______块时，白砖有______块；
(2)[问题解决]是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由．
【答案】(1)16，20； ，4n＋4
(2)存在，见解析
【分析】（1）根据图形算出图3白砖和灰砖的数量，再根据图形规律算出图4白砖和灰砖的数量，通过图
1到图4的数字规律得出图n白砖和灰砖的数量；
（2）假设存在图n白砖数恰好比灰砖数少1的情形，根据白砖和灰砖的数量建立方程，方程有解证明假设
成立．
【详解】（1）图3的灰砖数量应为1+2+3+2+1=9
图3的白砖数量为12+4=16
图4的灰砖数量应为1+2+3+4+3+2+1=16
图4的白砖应比图3上下各多一行
得图4白砖的数量为：16+4=20
图1灰砖的数量为1
图2灰砖的数量为4
图3灰砖的数量为9
图4灰砖的数量为16
得图 灰砖的数量为
图1白砖的数量为8=
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图2白砖的数量为12=
图3白砖的数量为16=
图4白砖的数量为20=
得图 白砖的数量为
故答案为：16，20； ，4n＋4．
（2）假设存在，设图n白砖数恰好比灰砖数少1
∴白砖数量为 ，灰砖数量为
∴ =
∴
∴
∴ ，或 （舍去）
故当 时，白砖的数量为24，灰砖的数量为25，白砖比灰砖少1
故答案为：存在．
【点睛】本题考查数字规律和一元二次方程的相关知识，解题的关键是掌握数字规律的分析方法和一元二
次方程的性质．
22．某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子
批发价格（元/kg） 4 5 6 40
零售价格（元/kg） 5 6 8 50
请解答下列问题：
(1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？
(2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记
得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一
天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
【答案】(1)500元；
(2)方案一购进88kg菠萝，210kg苹果；方案二购进94kg菠萝，205kg苹果．
【分析】（1）设第一天，该经营户批发了菠萝xkg，苹果ykg，根据该经营户用1700元批发了菠萝和苹果
共300kg，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总利润=每千克的销售
利润×销售数量（购进数量），即可求出结论；
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（2）设购进菠萝mkg，则购进苹果 ，根据“菠梦的进货量不低于88kg，且这两种水果已全部
售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m
的取值范围，再结合m， 均为正整数，即可得出各进货方案．
【详解】（1）解：设第一天，该经营户批发菠萝xkg，苹果ykg，根据题意得：
，
解得： ，
∴ 元，
答：这两种水果获得的总利润为500元；
（2）解：设购进菠萝mkg，则购进苹果 ，根据题意：
，解得： ，
∵m， 均为正整数，
∴m取88，94，
∴该经营户第二天共有2种批发水果的方案，
方案一购进88kg菠萝，210kg苹果；方案二购进94kg菠萝，205kg苹果．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等
量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
23．某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食
材比用20元购买的乙食材多1千克．
营养品信息表
营养成分 每千克含铁42毫克
原料 每千克含铁
配料表
甲食材 50毫克
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乙食材 10毫克
规格 每包食材含量 每包单价
A包装 1千克 45元
B包装 0.25千克 12元
（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多
少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？
【答案】（1）甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元；（2）①每日购进甲食材400千克，乙食
材100千克；②当 为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元
【分析】（1）设乙食材每千克进价为 元，根据用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克列
分式方程即可求解；
（2）①设每日购进甲食材 千克，乙食材 千克．根据每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用
完，利用进货总金额为180000元，含铁量一定列出二元一次方程组即可求解；
②设 为 包，根据题意，可以得到每日所获总利润与m的函数关系式，再根据A的数量不低于B的数量，
可以得到m的取值范围，从而可以求得总利润的最大值．
【详解】解：（1）设乙食材每千克进价为 元，则甲食材每千克进价为 元，
由题意得 ，解得 ．
经检验， 是所列方程的根，且符合题意．
（元）．
答：甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元．
（2）①设每日购进甲食材 千克，乙食材 千克．
由题意得 ，解得
答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克．
②设 为 包，则 为 包．
记总利润为 元，则
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．
的数量不低于 的数量，
， ．
， 随 的增大而减小。
当 时， 的最大值为2800元．
答：当 为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、分式方程、二元一次方程的应用，解答本题时要明确题意、弄
清表格数据的意义及各种量之间关系，利用方程的求未知量和一次函数的性质解答，注意分式方程要检验．
24．【创新题】阅读理解以下内容，解决问题：
解方程： ．
解： ，
方程即为： ，
设 ，原方程转化为：
解得， ， ，
当 时，即 ， ， ；
当 时，即 ，不成立．
综上所述，原方程的解是 ， ．
以上解方程的过程中，将其中 作为一个整体设成一个新未知数 ，从而将原方程化为关于 的一元二次方
程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程： ，若设 ，则利用“换元法”可将原方程化为关于 的方程是
______；
(2)仿照上述方法，解方程： ．
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【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式由 ，得 ，再变形原方程便可；
（2）设 ，则 ，得 ，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可．
【详解】（1）设 ，
则 ，
可化为： ，
即 ，
故答案为： ；
（2）设 ，则 ，
原方程可化为： ，
整理得 ，
，
或 ，
或 ，
当 时， ，
解得 ，
当 时， 无解 ，
检验，当 时，左边 右边，
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是原方程的解，
故原方程的解为： ．
【点睛】本题主要考查了换元法，无理方程，关键掌握换元法的思想方法．
【新考法】 利用整体代换思想求解
25．阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程 ，如果我们把 看作一个整体，然后设 ，则原方程可化为
，经过运算，原方程的解为 ， ．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做
换元法．
材料2
已知实数m，n满足 ， ，且 ，显然m，n是方程 的两个不相等的
实数根，由韦达定理可知 ， ．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程 的解为_______________________；
(2)间接应用：
已知实数a，b满足： ， 且 ，求 的值；
(3)拓展应用：
已知实数x，y满足： ， 且 ，求 的值．
【答案】(1) ， ， ，
(2) 或
(3)15
【分析】（1）利用换元法降次解决问题；
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（2）模仿例题解决问题即可；
（3）令 =a，-n=b，则 +a-7=0， +b=0，再模仿例题解决问题．
【详解】（1）解：令y= ，则有 -5y+6=0，
∴（y-2）（y-3）=0，
∴ =2， =3，
∴ =2或3，
∴ ， ， ， ，
故答案为： ， ， ， ；
（2）解：∵ ，
∴ 或
①当 时，令 ， ，
∴ 则 ， ，
∴ ， 是方程 的两个不相等的实数根，
∴ ，
此时 ；
②当 时， ，
此时 ；
综上： 或
（3）解：令 ， ，则 ， ，
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∵ ，
∴ 即 ，
∴ ， 是方程 的两个不相等的实数根，
∴ ，
故 ．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关
键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
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