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第二章 方程与不等式
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地 号汽油价格三月底是 元/升，五月底
是 元/升．设该地 号汽油价格这两个月平均每月的增长率为 ，根据题意列出方程，正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
2．某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已知10张A票的总价与19张B
票的总价相差320元，则（ ）
A． B．
C． D．
3．为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，
记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（
）
A．14 B．15 C．16 D．17
4．上学期某班的学生都是双人同桌，其中 男生与女生同桌，这些女生占全班女生的 ，本学期该班新
转入4个男生后，男女生刚好一样多，设上学期该班有男生x人，女生y人，根据题意可得方程组为（
）
A． B． C． D．
5．【原创题】在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小
明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
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6．满足 的整数 的值可能是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．定义新运算“※”：对于实数 ， ， ， ，有 ，其中等式右边是通常的加法
和乘法运算，如： ．若关于 的方程 有两个实数根，
则 的取值范围是（ ）
A． 且 B． C． 且 D．
8．若关于x的分式方程 有正数解，求m的取值范围．甲解得的答案是： ，乙解得的答
案是： ，则正确的是（ ）
A．只有甲答案对 B．只有乙答案对
C．甲、乙答案合在一起才正确 D．甲、乙答案合在一起也不正确
9．【原创题】设 为实数， 则x、y、z 中至少有一个值
（ ）
A．大于 B．等于 C．不大于 D．小于
10．【创新题】已知多项式 ，多项式 ．
①若 ，则代数式 的值为 ；
②当 ， 时，代数式 的最小值为 ；
③当 时，若 ，则关于x的方程有两个实数根；
④当 时，若 ，则x的取值范围是 ．
以上结论正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1
11．【原创题】已知关于x的一元一次方程 x+3=2x+b的解为x=2，则关于y的一元一次方程
2024
1
(y+1)=2y−1+b的解为 ．
2024
12．如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的 的值是 ．
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先化简，再求值： ，其中
解：原式
13．关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n，且(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，则a的值
为 ．
14．点Q的横坐标为一元一次方程 的解，纵坐标为 的值，其中a，b满足二元一次方
程组 ，则点Q关于y轴对称点 的坐标为 ．
【新考法】 信息题
15．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节气，每个节气的晷（ɡuǐ）长损益
相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气如图所示．从冬至到夏
至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，周而复始．若
冬至的晷长为13.5尺，夏至的晷长为1.5尺，则相邻两个节气晷长减少或增加的量为 尺，立夏的
晷长为 尺．
【新考法】 与一元二次方程有关的新定义问题
16．将两个关于x的一元二次方程整理成 （ ，a、h、k均为常数）的形式，如果只有
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系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程
（ ）与方程 是“同源二次方程”，且方程 （ ）有两
个根为 、 ，则b－2c＝ ， 的最大值是 ．
三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23
题9分，24题10分，25题13分）
17．由工业和信息化部人才交流中心和 国际公开赛组委会共同主办的睿抗机器人开发者大赛
， 年 月 日在线上召开 赛季启动大会 为备战机器人大赛，某校对机器人进行 米
比赛，“冲锋”和“东风”两个机器人进入了决赛 比赛中，“冲锋”先出发 秒后，“东风”从同一起始
位置出发，结果“东风”迟到 秒到达终点 已知“东风”是“冲锋”的平均速度的 倍，求“冲锋”的
平均速度．
18．已知一元二次方程□ ，其中系数“□”印刷不清．
(1)嘉嘉把“□”猜成是2，请你解方程 ；
(2)淇淇说：“我看答案该方程有两个相同的根”请你通过计算说明“□”是几？
19．整式 的值为P．
(1)当m＝2时，求P的值；
(2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．
20．下面是小辉和小莹两位同学解方程组 的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：令
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小辉：由②得， ．③…………第一步 小莹： 得， ．………………第一步
将③代入①得， ．……第二步 解得 ，…………………………第二步
将 代入①得， ．…………第三步
整理得， ．………………第三步
解得 ．…………………………第四步 整理得， ．………………第四步
将 代入③，解得 ．………第五步 解得 …………………………第五步
∴原方程组的解为 ……………第六步 ∴原方程组的解为 …………第六步
任务一：请你从中选择一位同学的解题过程并解答下列问题．
①我选择___________同学的解题过程，该同学第一步变形的依据是___________；
②该同学从第___________开始出现错误，这一步错误的原因是___________；
任务二：直接写出该方程组的正确解；
任务三：除以上两位同学的方法，请你再写出一种方法（不用求解）．
【新考法】 数学与规律探究——图形规律规律
21．为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些
备选图案如图所示．
[观察思考]图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．
(1)[规律总结]图4灰砖有______块，白砖有______块；图n灰砖有______块时，白砖有______块；
(2)[问题解决]是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由．
22．某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子
批发价格（元/kg） 4 5 6 40
零售价格（元/kg） 5 6 8 50
请解答下列问题：
(1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？
(2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记
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得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一
天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
23．某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食
材比用20元购买的乙食材多1千克．
营养品信息表
营养成分 每千克含铁42毫克
原料 每千克含铁
配料表 甲食材 50毫克
乙食材 10毫克
规格 每包食材含量 每包单价
A包装 1千克 45元
B包装 0.25千克 12元
（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多
少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？
24．【创新题】阅读理解以下内容，解决问题：
解方程： ．
解： ，
方程即为： ，
设 ，原方程转化为：
解得， ， ，
当 时，即 ， ， ；
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当 时，即 ，不成立．
综上所述，原方程的解是 ， ．
以上解方程的过程中，将其中 作为一个整体设成一个新未知数 ，从而将原方程化为关于 的一元二次方
程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程： ，若设 ，则利用“换元法”可将原方程化为关于 的方程是
______；
(2)仿照上述方法，解方程： ．
【新考法】 利用整体代换思想求解
25．阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程 ，如果我们把 看作一个整体，然后设 ，则原方程可化为
，经过运算，原方程的解为 ， ．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做
换元法．
材料2
已知实数m，n满足 ， ，且 ，显然m，n是方程 的两个不相等的
实数根，由韦达定理可知 ， ．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程 的解为_______________________；
(2)间接应用：
已知实数a，b满足： ， 且 ，求 的值；
(3)拓展应用：
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已知实数x，y满足： ， 且 ，求 的值．
8
