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第二章方程（组）与不等式（组）真题测
试
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的）
1．（2019·四川南充·中考真题）关于 的一元一次方程 的解为 ，则
的值为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可．
【解析】解：因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1，
可得：a-2=1，2+m=4，解得：a=3，m=2，所以a+m=3+2=5，故选C．
【点睛】此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解
答．
2．（2022·浙江温州）若关于x的方程 有两个相等的实数根，则c的值是
（ ）
A．36 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】根据判别式的意义得到 ，然后解关于c的一次方程即可．
【详解】解：∵方程 有两个相等的实数根
∴ 解得 故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的跟与 的
关系，关键是分清楚以下三种情况：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，
方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
3．（2023·黑龙江·统考中考真题）已知关于x的分式方程 的解是非负数，
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则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】解分式方程求出 ，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m的不
等式组，求解即可．
【详解】解：分式方程去分母得： ，
解得： ，
∵分式方程 的解是非负数，
∴ ，且 ，
∴ 且 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确得出关于m的不等式组是解
题的关键．
4．（2023·湖南常德·统考中考真题）不等式组 的解集是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】
解不等式①，移项，合并同类项得， ；
解不等式②，移项，合并同类项得，
故不等式组的解集为： ．
故选：C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间
找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
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5．（2021·安徽）设a，b，c为互不相等的实数，且 ，则下列结论正确的是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
举反例可判断A和B，将式子整理可判断C和D．
【详解】
解：A．当 ， ， 时， ，故A错误；
B．当 ， ， 时， ，故B错误；
C． 整理可得 ，故C错误；
D． 整理可得 ，故D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
6．（2019·四川遂宁·中考真题）关于x的方程 的解为正数，则k的取值
范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】先对分式方程去分母，再根据题意进行计算，即可得到答案.
【解析】解：分式方程去分母得： ，解得： ，
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根据题意得： ，且 ，解得： ，且 ．故选C．
【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是掌握分式方程的求解方法.
7．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x的不等式组 的整数解仅有4个，
则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范
围即可．
【详解】解： ，
由②得： ，
解集为 ，
由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0， ，
∴ ，
∴ ；
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解
和掌握，能根据不等式组的解集得到 是解此题的关键．
8．（2023·四川成都·统考中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经
十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；
屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余
尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余 尺．问木长多少尺？设木长 尺，则可列方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
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【分析】设木长 尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 尺；将绳子对
折再量长木，长木还剩余 尺”，列出一元一次方程即可求解．
【详解】解：设木长 尺，根据题意得，
，
故选：A.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
9．（2022·重庆）若关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于
的分式方程 的解是负整数，则所有满足条件的整数 的值之和是
（ ）
A．－26 B．－24 C．－15 D．－13
【答案】D
【分析】根据不等式组的解集，确定a＞-11，根据分式方程的负整数解，确定a＜1，根据
分式方程的增根，确定a≠-2，计算即可．
【详解】∵ ，解①得解集为 ，解②得解集为 ，
∵ 不等式组 的解集为 ，∴ ，解得a＞-11，
∵ 的解是y= ，且y≠-1， 的解是负整数，
∴a＜1且a≠-2，∴-11＜a＜1且a≠-2，故a=-8或a=-5，
故满足条件的整数 的值之和是-8-5=-13，故选D．
【点睛】本题考查了不等式组的解集，分式方程的特殊解，增根，熟练掌握不等式组的解
法，灵活求分式方程的解，确定特殊解，注意增根是解题的关键．
10．（2023·四川南充·统考中考真题）关于x，y的方程组 的解满足 ，
则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
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【答案】D
【分析】法一：利用加减法解方程组，用 表示出 ，再将求得的代数式代入 ，
得到 的关系，最后将 变形，即可解答．
法二： 中 得到 ，再根据 求出
代入代数式进行求解即可.
【详解】解：法一： ，
得 ，
解得 ，
将 代入 ，解得 ，
，
，
得到 ，
，
法二：
得： ，即： ，
∵ ，
∴ ，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练
求出 的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
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11．（2023·四川眉山·统考中考真题）已知方程 的根为 ，则
的值为____________．
【答案】6
【分析】解方程，将解得的 代入 即可解答．
【详解】解： ，
对左边式子因式分解，可得
解得 ， ，
将 ， 代入 ，
可得原式 ，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握计算方法是解题的关键．
12．（2022·四川泸州）若方程 的解使关于 的不等式 成立，
则实数 的取值范围是________．
【答案】
【分析】先解分式方程得 ，再把 代入不等式计算即可．
【详解】
去分母得： 解得：
经检验， 是分式方程的解
把 代入不等式 得：
解得 故答案为：
【点睛】本题综合考查分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解题的关键是熟记相关
运算法则．
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13．（2023·重庆·统考中考真题）若关于x的一元一次不等式组 ，至少有2个整
数解，且关于y的分式方程 有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值
之和是___________．
【答案】4
【分析】先解不等式组，确定a的取值范围 ，再把分式方程去分母转化为整式方程，
解得 ，由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式的解集为 ，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴ ，
解得： ；
∵关于y的分式方程 有非负整数解，
∴
解得： ，
即 且 ，
解得： 且
∴a的取值范围是 ，且
∴a可以取：1，3，
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∴ ，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题
关键．
14．（2020·湖北孝感?中考真题）有一列数，按一定的规律排列成 ， ，3， ，27，
－81，…．若其中某三个相邻数的和是 ，则这三个数中第一个数是______．
【答案】
【解析】
【分析】
题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是 ，可设三个数为n，-3n，9n，据题
意列式即可求解．
【详解】
题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是 ，可设第一个数是n，则三个数为
n，-3 n，9n
由题意： ，
解得：n=-81，
故答案为：-81．
【点睛】
此题主要考查数列的规律探索与运用，一元一次方程与数字的应用，熟悉并会用代数式表
示常见的数列，列出方程是解题的关键．
15．（2023·四川宜宾·统考中考真题）若关于x的方程 两根的倒数
和为1，则m的值为___________．
【答案】2
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：设方程的两个根分别为a，b，
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由题意得： ， ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
经检验： 是分式方程的解，
检验： ，
∴ 符合题意，
∴ ．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是
解题的关键．
16．（2022·浙江宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b， ．若
，则x的值为___________．
【答案】
【分析】根据新定义可得 ，由此建立方程 解方程即可．
【详解】解：∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ 即 ，∴ ，解得 ，
经检验 是方程 的解，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x的
方程是解题的关键．
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17．（2023·四川泸州·统考中考真题）关于 ， 的二元一次方程组 的解满
足 ，写出 的一个整数值___________．
【答案】7（答案不唯一）
【分析】先解关于x、y的二元一次方程组的解集，再将 代入，然后解关于a的
不等式的解集即可得出答案．
【详解】将两个方程相减得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的一个整数值可以是7．
故答案为：7（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，整体代入的思想方法是
解答本题的亮点．
18．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）已知 、 是方程 的两根，则代数式
的值为_________．
【答案】
【分析】根据 、 是一元二次方程 的两个根，则有 ，求解即
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可．
【详解】解：由题意得
，
原式 ．
故答案： ．
【点睛】本题考查了韦达定理，掌握定理是解题的关键．
19．（2023·四川宜宾·统考中考真题）若关于x的不等式组 所有整数解的
和为 ，则整数 的值为___________．
【答案】 或
【分析】根据题意可求不等式组的解集为 ，再分情况判断出 的取值范围，即
可求解．
【详解】解：由①得： ，
由②得： ，
不等式组的解集为： ，
所有整数解的和为 ，
①整数解为： 、 、 、 ，
，
解得： ，
为整数，
．
②整数解为： ， ， ， 、 、 、 ，
，
解得： ，
为整数，
．
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综上，整数 的值为 或
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的
解法，理解参数的意义是解题的关键．
20．（2023·湖南·统考中考真题）某校截止到 年底，校园绿化面积为 平方米．为
美化环境，该校计划 年底绿化面积达到 平方米．利用方程想想，设这两年绿化面
积的年平均增长率为 ，则依题意列方程为__________．
【答案】
【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为 ，依题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为 ，则依题意列方程为
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（2023·江苏扬州·统考中考真题）解不等式组 并把它的解集在数轴上
表示出来．
【答案】 ，数轴表示见解析
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间
找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得 ·，
解不等式②，得： ，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
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则不等式组的解集为：
．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一
个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”
的原则是解答此题的关键．
22．（2021·四川眉山市·中考真题）解方程组
【答案】
【分析】
方程组适当变形后，给②×3-①×2即可消去x，解关于y的一元一次方程，再将y值代入①
式，即可解出y．
【详解】
解：由 可得
②×3-①×2得 ，
即 ，
解得y=1，
将y=1代入①式得 ，解得 ．
故该方程组的解为 ．
【点睛】
本题考查解二元一次方程组．解二元一次方程主要用到“消元思想”，将二元一次方程组
化为一元一次方程求解．主要方法有加减消元法和代入消元法，熟练掌握这两种方法并能
灵活利用是解题关键．
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23.（2021·陕西中考真题）解方程： ．
【答案】
【分析】
按照解分式方程的方法和步骤求解即可．
【详解】
解：去分母（两边都乘以 ），得，
．
去括号，得，
，
移项，得，
．
合并同类项，得，
．
系数化为1，得，
．
检验：把 代入 ．
∴ 是原方程的根．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，熟知分式方程的解法步骤是解题的关键，尤其注意解分式方
程必须检验．
24．（2020·湖北随州·中考真题）已知关于 的一元二次方程
．
（1）求证：无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
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（2）若方程有两个实数根 ， ，且 ，求 的值．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【分析】（1）求出△的值即可证明；（2），根据根与系数的关系得到
，代入 ，得到关于m的方程，然后解方程即可．
【解析】（1）证明：依题意可得
故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）由根与系数的关系可得：
由 ，得 ，解得 ．
【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程
ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根
1 2
时，x+x=− ，xx= ．
1 2 1 2
25．（2020·宁夏中考真题）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽
从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的
距离 与步行时间 之间的函数关系式如图中折线段 所示．
（1）小丽与小明出发_______ 相遇；
（2）在步行过程中，若小明先到达甲地．
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①求小丽和小明步行的速度各是多少？
②计算出点C的坐标，并解释点C的实际意义．
【答案】（1）30；（2）①小丽步行的速度为 ，小明步行的速度为 ；
②点 ，点C表示：两人出发 时，小明到达甲地，此时两人相距
．
【解析】
【分析】
（1）直接从图像获取信息即可；
（2）①设小丽步行的速度为 ，小明步行的速度为 ，且 ，根据
图像和题意列出方程组，求解即可；
②设点C的坐标为 ，根据题意列出方程解出x，再根据图像求出y即可，再结合两人
的运动过程解释点C的意义即可．
【详解】
（1）由图像可得小丽与小明出发30 相遇，
故答案为：30；
（2）①设小丽步行的速度为 ，小明步行的速度为 ，且 ，
则 ，
解得： ，
答：小丽步行的速度为 ，小明步行的速度为 ；
②设点C的坐标为 ，
则可得方程 ，
解得 ，
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，
∴点 ，
点C表示：两人出发 时，小明到达甲地，此时两人相距 ．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，从图像获取信息是解
题关键．
26．（2022·重庆）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
(1)计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20
米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
(2)因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工
队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修
建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉
水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
【答案】(1)100米(2)90米
【分析】（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，原来每天修建 米，
根据工效问题公式：工作总量＝工作时间×工作效率，列出关于x的一元一次方程，解方程
即可得出答案；
（2）设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米，技术更新后每天修建 米，根据水
渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同，可知每队修建900米，再结合两队同时
开工修建，直至同时完工，可得两队工作时间相同，列出关于y的分式方程，解方程即可
得出答案．
(1)解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，原来每天修建 米，
则有 解得
∴甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米．
(2)∵水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同
∴两队修建的长度都为1800÷2＝900(米)
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乙施工队技术更新后，修建长度为900－360＝540(米)
解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米，技术更新后每天修建 米，即1.2y米
则有 解得
经检验， 是原方程的解，符合题意
∴乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．
【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程的实际应用，应注意分式方程要检验，读懂题
意，正确设出未知数，并列出方程，是解题的关键．
27．（2019·湖南衡阳·中考真题）某商店购进 、 两种商品，购买1个 商品比购买1
个 商品多花10元，并且花费300元购买 商品和花费100元购买 商品的数量相等．
（1）求购买一个 商品和一个 商品各需要多少元；（2）商店准备购买 、 两种商品
共80个，若 商品的数量不少于 商品数量的4倍，并且购买 、 商品的总费用不低
于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
【答案】（1）购买一个 商品需要15元，购买一个 商品需要5元；（2）商店有2种购
买方案，方案①：购进 商品65个、 商品15个；方案②：购进 商品64个、 商品
16个．
【分析】（1）设购买一个 商品需要 元，则购买一个 商品需要 元，根据数量
＝总价÷单价结合花费300元购买 商品和花费100元购买 商品的数量相等，即可得出关
于 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买 商品 个，则购买 商品
个，根据 商品的数量不少于 商品数量的4倍并且购买 、 商品的总费用不
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低于1000元且不高于1050元，即可得出关于 的一元一次不等式组，解之即可得出 的
取值范围，再结合 为整数即可找出各购买方案．
【解析】解：（1）设购买一个 商品需要 元，则购买一个 商品需要 元，
依题意，得： ，解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，∴ ．
答：购买一个 商品需要15元，购买一个 商品需要5元．
（2） 设购买 商品 个，则购买 商品 个，
依题意，得： ，解得： ．
∵ 为整数，∴ 或16．∴商店有2种购买方案，方案①：购进 商品65个、 商
品15个；方案②：购进 商品64个、 商品16个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找
准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式
组．
28．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以
1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6 cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8 cm2？说明理由．
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【答案】（1）2或3秒；（2）不能.
【解析】（1）设经过x秒以后△PBQ的面积为6 cm2，
则 ×（5﹣x）×2x=6，
整理得：x2﹣5x+6=0，
解得：x=2或x=3．
答：2或3秒后△PBQ的面积等于6 cm2 ．
（2）设经过x秒以后△PBQ面积为8 cm2，则
×（5﹣x）×2x=8，
整理得：x2﹣5x+8=0，
因为△=25﹣32=﹣7＜0，
所以此方程无解，
故△PQB的面积不能等于8 cm2．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于6
cm2”，得出等量关系是解决问题的关键．
（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6 cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1
cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，表示出BP和BQ
的长可列方程求解．
（2）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8 cm2．
29．（2020·辽宁丹东·中考真题）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50
元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量 （件）与每件的售价
（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价 （元/件） 60 65 70
销售量 （件） 1400 1300 1200
（1）求出 与 之间的函数表达式；（不需要求自变量 的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给
这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利
润为 （元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
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【答案】（1） 与 之间的函数表达式为 ；（2）这种衬衫定价为每件
70元；（3）价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求
得y与x之间的函数表达式；（2）根据“总利润=每件商品的利润×销售量”列出方程并
求解，最后根据尽量给客户实惠，对方程的解进行取舍即可；（3）求出w的函数解析式，
将其化为顶点式，然后求出定价的取值，即可得到售价为多少万元时获得最大利润，最大
利润是多少．
【解析】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得， ， 解得， ，
∴ 与 之间的函数表达式为 ；
（2）设该种衬衫售价为x元，根据题意得，（x-50）(-20x+2600)=24000解得， ，
，
∵批发商场想尽量给客户实惠，∴ ，故这种衬衫定价为每件70元；
（3）设售价定为x元，则有：
=
∵ ∴
∵k=-20＜0，∴w有最大值，即当x=65时，w的最大值为-20（65-90）2+32000=19500
（元）．
所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，
利用二次函数的性质和二次函数的顶点式解答．
30．（2021·重庆中考真题）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和
是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：
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，因为 ，所以3507是“共生数”： ，因为
，所以4135不是“共生数”；
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上
的数字之和能被9整除时，记 ．求满足 各数位上的数字之和是偶数的所有
n．
【答案】（1） 是“共生数”， 不是“共生数”． （2） 或
【分析】
（1）根据“共生数”的定义逐一判断两个数即可得到答案；
（2）设“共生数” 的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为
个位上的数字为 可得： ＜ 且 为整数，再由“共生
数”的定义可得： 而由题意可得： 或 再结合方程的正整
数解分类讨论可得答案．
【详解】
解：（1）
是“共生数”，
不是“共生数”．
（2）设“共生数” 的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为
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个位上的数字为
＜ 且 为整数，
所以：
由“共生数”的定义可得：
百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，
或 或
当 则 则 不合题意，舍去，
当 时，则
当 时，
此时： ，而 不为偶数，舍去，
当 时，
此时： ，而 为偶数，
当 时，
此时： ，而 为偶数，
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当 时，则
而 则 不合题意，舍去，
综上：满足 各数位上的数字之和是偶数的 或
【点睛】
本题考查的是新定义情境下的实数的运算，二元一次方程的正整数解，分类讨论的数学思
想的运用，准确理解题意列出准确的代数式与方程是解题的关键．
31．（2022·山西·中考真题）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道，一元二次方程 的根就是相应的二次函数
的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有
三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种
情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴
的交点个数确定一元二次方程根的情况
下面根据抛物线的顶点坐标（ ， ）和一元二次方程根的判别式 ，
分别分 和 两种情况进行分析：
（1） 时，抛物线开口向上．
①当 时，有 ．∵ ，∴顶点纵坐标 ．
∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．
②当 时，有 ．∵ ，∴顶点纵坐标 ．
∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．
∴一元二次方程 有两个相等的实数根．
③当 时，
……
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（2） 时，抛物线开口向下．
……
任务：
(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即
可）；
A．数形结合
B．统计思想
C．分类讨论．
D．转化思想
(2)请参照小论文中当 时①②的分析过程，写出③中当 时，一元二次方程
根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；
(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：
可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为
【答案】(1)AC（或AD或CD）
(2)分析见解析；作图见解析
(3)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）解一元二次方程的解转化为抛物线与x轴交点的横坐标；还体现了分类讨论思想；
（2）依照例题，画出图形，数形结合，可以解答；
（3）结合所学知识，找到用转化思想或数形结合或分类讨论思想解决问题的一种情况即可．
(1)
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解：上面解一元二次方程的过程中体现了转化思想、数形结合、分类讨论思想，
故答案为：AC（或AD或CD）；
(2)
解：a>0时，抛物线开口向上．
当 =b2−4ac<0时，有4ac−b2>0﹒
∵a△>0，
∴顶点纵坐标 ﹒
∴顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点（如图）：
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．
(3)
解：可用函数观点认识二元一次方程组的解．（答案不唯一．又如：可用函数观点认识一
元一次不等式的解集，等）
【点睛】
本题考查的二次函数与一元二次方程的关系，根据转化思想将一元二次方程的解的问题转
化成抛物线与x轴交点的横坐标的问题，再根据数形结合的思想用抛物线与x轴的交点个
数确定一元二次方程根的情况是本题的关键．
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