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备战 2024 中考数学一轮复习
第二章方程（组）与不等式
（组）
第 3 讲分式方程
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌题型突破
➍专题精练
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第 3 讲分式方程
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一 解分式方程
考向二 含参问题
考向三 分式方程的解
考向四 分式方程的应用
类型一 行程问题
类型二 工程问题
类型三 方案选择
类型四 其他问题
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第 3 讲分式方程
本考点内容以考查分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主,既有单独考
查,也有和一次函数、二次函数结合考察,年年考查,分值为10分左右,预计2024年各地中
考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题,为避免丢
分,学生应扎实掌握.
→➊考点精析←
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分
式方程的依据．
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边
同乘以各分式的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：
①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；
②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；
③解整式方程；
④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记
得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公
分母不是零的解才是原方程的解．
3．增根
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生
增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根
是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这
个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．
4．分式方程的应用
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（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝ ，时间＝ 等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：
①设未知数；
②找等量关系；
③列分式方程；
④解分式方程；
⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；
⑥答．
→➋真题精讲←
考向一 解分式方程
分式方程的解法：
①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④
验根．
1．（2023·湖南·统考中考真题）将关于x的分式方程 去分母可得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】方程两边都乘以 ，从而可得答案．
【详解】解：∵ ，
去分母得： ，
整理得： ，
故选：A．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，熟练的把分式方程化为整式方程是解本题的关键．
6．（2023·甘肃武威·统考中考真题）方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
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【答案】A
【分析】把分式方程转化为整式方程求解，然后解出的解要进行检验，看是否为增根．
【详解】去分母得 ，
解方程得 ，
检验: 是原方程的解，
故选：A．
【点睛】本题考查了解分式方程的一般步骤，解题关键是熟记解分式方程的基本思想是
“转化思想”，即把分式方程转化为整式方程求解，注意分式方程需要验根．
2．（2023·上海·统考中考真题）在分式方程 中，设 ，可得到关
于y的整式方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，则原方程可变形为 ，再化为整式方程即可得出答案.
【详解】解：设 ，则原方程可变形为 ，
即 ；
故选：D.
【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.
3．（2023·辽宁大连·统考中考真题）将方程 去分母，两边同乘 后的式
子为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据解分式方程的去分母的方法即可得．
【详解】解： ，
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两边同乘 去分母，得 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握去分母的方法是解题关键．
4．（2022·江苏南京·模拟预测）解方程： ．
【答案】
【分析】方程两边同时乘以x﹣2，再解整式方程得x＝4，经检验x＝4是原方程的根．
【详解】解：方程两边同时乘以x﹣2得，
，
解得：
检验：当 时， ，
∴ 是原方程的解，
∴原方程的解为x＝4．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏对根的检验是解题
的关键．
5．（2023·山西·统考中考真题）解方程： ．
【答案】
【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．
【详解】解：原方程可化为 ．
方程两边同乘 ，得 ．
解得 ．
检验：当 时， ．
∴原方程的解是 ．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．
考向二 含参问题
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6．（2023·黑龙江·统考中考真题）已知关于x的分式方程 的解是非负数，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】解分式方程求出 ，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m的不
等式组，求解即可．
【详解】解：分式方程去分母得： ，
解得： ，
∵分式方程 的解是非负数，
∴ ，且 ，
∴ 且 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确得出关于m的不等式组是解
题的关键．
7．（2023·山东聊城·统考中考真题）若关于x的分式方程 的解为非负数，则
m的取值范围是（ ）
A． 且 B． 且 C． 且 D． 且
【答案】A
【分析】把分式方程的解求出来，排除掉增根，根据方程的解是非负数列出不等式，最后
求出m的范围．
【详解】解：方程两边都乘以 ，得： ，
解得： ，
∵ ，即： ，
∴ ，
又∵分式方程的解为非负数，
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∴ ，
∴ ，
∴ 的取值范围是 且 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解，根据条件列出不等式是解题的关键，分式方程一定要
检验．
考向三 分式方程的解
（1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知
数的取值范围，可能产生增根.
（2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；
否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解.
（3）如果分式本身约分了，也要代入进去检验.
（4）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因
此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.
8．（2023·湖南永州·统考中考真题）若关于x的分式方程 （m为常数）有增
根，则增根是_______．
【答案】
【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可．
【详解】∵关于x的分式方程 （m为常数）有增根，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关
键．
9．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）方程 的解为___________．
【答案】
【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出 的值．
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【详解】解： ，
方程两边同时乘以 得， ，
，
，
，
或 ．
经检验 时， ，故舍去．
原方程的解为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况．
10．（黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的方程 无解，则m的
值为__．
【答案】-1或5或
【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案.
【解析】去分母得： ，可得： ，
当 时，一元一次方程无解，此时 ，当 时，则 ，
解得： 或 .故答案为： 或 或 .
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键.
11．（2020·四川遂宁·中考真题）关于x的分式方程 ﹣ ＝1有增根，则m的值（
）
A．m＝2B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
【答案】D
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【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可．
【解析】解：去分母得：m+3＝x﹣2，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，解得：m＝﹣3，故选：D．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整
式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
12．（2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的分式方程 ＝ +5的解为正数，
则m的取值范围为（ ）
A．m＜﹣10 B．m≤﹣10
C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6
【答案】D
【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m
的范围即可．
【解析】解：去分母得 ，解得 ，
由方程的解为正数，得到 ，且 ， ，
则m的范围为 且 ，故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式方程的计算，去分母化为整式方程，根据方程的解求出m的
范围，其中考虑到分式方程的分母不可为零是做对题目的关键．
13．（2020·湖北荆门·中考真题）已知关于x的分式方程 的解
满足 ，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（ ）
A．正数B．负数 C．零 D．无法确定
【答案】A
【分析】先解出关于x的分式方程得到x= ，代入 求出k的取值，即可得
到k的值，故可求解．
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【解析】关于x的分式方程 得x= ，
∵ ∴ 解得-7＜k＜14
∴整数k为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，
又∵分式方程中x≠2且x≠-3∴k≠35且k≠0
∴所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，∴k值的乘积为正数,故选A．
【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法．
考向四 分式方程的应用
分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，
检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行．
类型一 行程问题
14．（2023·湖南郴州·统考中考真题）小王从A地开车去B地，两地相距240km．原计划
平均速度为 km/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设原计划平均速度为 km/h，根据实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到
达，列出分式方程即可．
【详解】解：设原计划平均速度为 km/h，由题意，得：
，即： ；
故选：B.
【点睛】本题考查根据实际问题列方程．找准等量关系，正确得列出方程，是解题的关键．
15．（2020·广西中考真题）甲、乙两地相距 ，提速前动车的速度为 ，提速
后动车的速度是提速前的 倍，提速后行车时间比提速前减少 ，则可列方程为（
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）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】行驶路程都是600千米；提速前后行驶时间分别是： ；因为提速后行
车时间比提速前减少 ，所以，提速前的时间-提速后的时间= ．
【解析】根据提速前的时间-提速后的时间= ，可得
即 故选：A
【点睛】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等
量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系
是解决问题的关键．
16．（2023·云南·统考中考真题）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受
到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出
“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同
时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分
钟到达活动地点．若设乙同学的速度是 米/分，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设乙同学的速度是 米/分，根据乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，列出
方程即可．
【详解】解∶设乙同学的速度是 米/分，可得：
故选： D．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
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17．（2023·湖南·统考中考真题）某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离
韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大
巴车速度的 倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设大巴车的平均速度为x千米/时，则老师自驾小车的平均速度为 千米/时，根
据时间的等量关系列出方程即可．
【详解】解：设大巴车的平均速度为x千米/时，则老师自驾小车的平均速度为 千米/时，
根据题意列方程为： ，
故答案为：A．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到等量关系是解题的关键．
18．（2023·四川·统考中考真题）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张
开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通
道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高 ，时间节省10分钟，求走路线a和
路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】若设路线a时的平均速度为x千米/小时，则走路线b时的平均速度为
千米/小时，根据路线b的全程比路线a少用10分钟可列出方程．
【详解】解：由题意可得走路线b时的平均速度为 千米/小时，
∴ ，
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故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系
是解决问题的关键．
19．（2023·广东·统考中考真题）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校 ，
甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的 倍，结果甲比乙早到 ，
求乙同学骑自行车的速度．
【答案】乙同学骑自行车的速度为 千米/分钟．
【分析】设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为 千米/分
钟，根据时间=路程÷速度结合甲车比乙车提前10分钟到达，即可得出关于x的分式方程，
解之并检验后即可得出结论．
【详解】解：设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为 千
米/分钟，
根据题意得： ，
解得： ．
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
答：乙同学骑自行车的速度为 千米/分钟．
【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出分式方程求解即可．
类型二 工程问题
20．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物
总量的 ．在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运送货物，两车又共同运送货物 天，
运完全部货物．求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物需x天，由
题意列方程，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列出分式方程即可求解．
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【详解】解：设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程
，
故选：B．
【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
21．（2023·湖北随州·统考中考真题）甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队
需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最
终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修 千米，根据“最终用的
时间比甲工程队少半个月”列出分式方程即可．
【详解】解：设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修 千米，
依题意得 ，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找准关键语句，
列出相等关系．
类型三 方案选择
22．（2023·山东·统考中考真题）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买
A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少 万元，且用 万元购
买A型充电桩与用 万元购买B型充电桩的数量相等．
(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划共购买 个A，B型充电桩，购买总费用不超过 万元，且B型充电桩
的购买数量不少于A型充电桩购买数量的 ．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购
买总费用最少？
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【答案】(1)A型充电桩的单价为 万元，B型充电桩的单价为 万元
(2)共有三种方案：方案一：购买A型充电桩 个，购买B型充电桩 个；方案二：购买A
型充电桩 个，购买B型充电桩 个；方案三：购买A型充电桩 个，购买B型充电桩
个；方案三总费用最少．
【分析】（1）根据“用 万元购买A型充电桩与用 万元购买B型充电桩的数量相等”
列分式方程求解；
（2）根据“购买总费用不超过 万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买
数量的 ”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解
【详解】（1）解：设B型充电桩的单价为 万元，则A型充电桩的单价为 万元，
由题意可得：
,
解得 ，
经检验： 是原分式方程的解，
，
答：A型充电桩的单价为 万元，B型充电桩的单价为 万元；
（2）解：设购买A型充电桩 个，则购买B型充电桩 个，由题意可得：
，解得 ，
∵ 须为非负整数，
∴ 可取 ， ， ，
∴共有三种方案：
方案一：购买A型充电桩 个，购买B型充电桩 个，购买费用为
（万元）；
方案二：购买A型充电桩 个，购买B型充电桩 个，购买费用为
（万元）；
方案三：购买A型充电桩 个，购买B型充电桩 个，购买费用为
（万元），
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∵
∴方案三总费用最少．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等
量关系列出分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．
类型四 其他应用
23．（2020·湖南长沙·中考真题）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越
大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均
每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生
产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，
根据工作时间=工作总量÷工作效率，再结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前
生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程．
【解析】解：设更新技术前每天生产 x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产
品，
依题意，得： ．故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式
方程．
24．（2020·江苏扬州·中考真题）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已
被墨水污染．
进货单
商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元）
甲 7200
乙 3200
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商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．
王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
【答案】乙商品的进价40元/件；补全进货单见详解
【分析】设出乙的进货价为x，表示出乙的进货数量，表示出甲的进货数量与进货价，根
据假的进货数量乘以进货价等于甲的总金额列出方程，解出方程即可．
【解析】解：设乙的进货价为x，则乙的进货数量为 件，
所以甲的数量为（ +40）件，甲的进货价为x（1+50%）
可列方程为：x（1+50%）（ +40）=7200
4800+60x=7200 60x=2400 解得：x=40．
经检验：x=40是原方程的解，所以乙的进价为40元/件．答：乙商品的进价为40元/件．
， +40=120，x（1+50%）=60，
补全进货单如下表：
商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元）
甲 60 120 7200
乙 40 80 3200
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，通过题目给的条件，设出乙的进货价，表示出甲
的数量与进货价，通过甲的进货价×甲的数量=甲的总金额，列出分式方程，解出答案，解
答本题的关键在于表示出相关量，找出等量关系，列出方程．
25．（2020·山东青岛·中考真题）为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其
容积为 ，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不
变，同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量 与注水时间 之间满足
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一次函数关系，其图象如图所示．
（1）根据图象求游泳池的蓄水量 与注水时间 之间的函数关系式，并写出同时
打开甲、乙两个进水口的注水速度；（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新
注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时
间的 倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？
【答案】（1）y=140t+100，140m3/h；（2）8h
【分析】（1）用待定系数法即可求出y与t的函数关系式，然后求出注满水池用的时间，
进而可求出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；
（2）设甲的注水速度是x m3/h，则乙的注水速度是(140-x) m3/h，根据单独打开甲进水口
注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的 倍列方程求解即可．
【解析】解：（1）设y=kt+100，把(2，380)代入得，2k+100=380，解得k=140，
∴y=140t+100，
当y=480时，则480=140t+100，解得t= ，
(480-100)÷ =140m3/h；∴y=140t+100，同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是
140m3/h；
（2）设甲的注水速度是x m3/h，则乙的注水速度是(140-x) m3/h，由题意得
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，解得x=60，经检验x=60符合题意， (h)，
∴单独打开甲进水口注满游泳池需8h．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，掌握待定系数法是解（1）的关键，
找出数量关系列出方程是解（2）的关键．
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