文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题 01 数与式、方程与不等式的性质及运算
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 数与式的相关运算
【真题研析 · 规律探寻】
题型01 实数的混合运算
题型02 整式的混合运算及化简求值
题型03 因式分解的运算及应用
题型04 分式的混合运算及化简求值
题型05 科学记数法
题型06 二次根式的混合运算及应用
题型07 比较大小
【核心提炼 · 查漏补缺】
【好题必刷 · 强化落实】
考点二 方程与不等式的相关运算
【真题研析 · 规律探寻】
题型01 解一元一次方程
题型02 解二元一次方程组及其应用
题型03 解分式方程
题型04 根据分式方程解的情况求值
题型05 解一元一次不等式
题型06 解一元一次不等式组
题型07 解一元二次方程
题型08 根据判别式判断一元二次方程根的情况
题型09 根据一元二次根的情况求参数
题型10 一元二次方程根与系数的关系
【核心提炼 · 查漏补缺】
【好题必刷 · 强化落实】
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
考点要求 命题预测
中考中，数与式的相关运算主要考察实数及其运算、数的开方与二次根式、整式与因式分
解、分式及其运算;而这些考点中，对实数包含的各种概念的运用的考察又占了大多数，同时试
数与式的 题难度设置的并不大，属于中考中的基础“送分题”，题目多以选择题、填空题以及个别简单解
相关运算 答题的形式出现;但是，由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相
同，所以在复习时，需要考生对这部分的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，才能在众多的变
形中，快速识别问题考点，拿下这部分基础分.
方程与不等式的相关运算，在中考数学中出题类型比较广泛，选择题、填空题、解答题都有
可能出现，并且对应难度也多为中等难度，是属于占分较多的一类考点.但是同一张试卷，方程
方程与不 类问题只会出现一种，不会重复考察.涉及本考点的知识点重点有:由实际问题抽象出一次方程
等式的相 (组)或分式方程，解方程(包含一次方程、二次方程、分式方程)，一元二次方程的定义、解法及
关运算 跟的判别式、根与系数的关系、实际应用等.不等式中常考不等式的基本性质，解一元一次不等
式(组)及不等式(组)的应用题等.这就要求考生在复习该部分考点时，熟记各方程(组)和不等式
(组)的相关概念、性质、解法及应用.
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
考点一 数与式的相关运算
题型01 实数的混合运算
1）常见实数的运算：
运算 法则 特殊计算
乘方 ①（-a）n= an n为偶数 ①（-1）n = 1 n为偶数
②（-a）n= -an n为奇数 ②（-1）n = -1 n为奇
数
零次幂 a0=1 （a≠0）
负整数的指数幂 1 1
a-n = （a≠0，n为正整数） a-1= （a≠0）
an a
去括号 ① -（a-b）= - a+b 或 b-a
② +（a-b）= a-b
去绝对值符号 ①|a-b|=a-b， a>b
②|a-b|=0， a=b
③|a-b|=b-a， a1)．
某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为S ,S ．
1 2
(1)请用含a的式子分别表示S ,S ；当a=2时，求S +S 的值；
1 2 1 2
(2)比较S 与S 的大小，并说明理由．
1 2
【答案】(1)S =a2+3a+2，S =5a+1，当a=2时，S +S =23
1 2 1 2
(2)S >S ，理由见解析
1 2
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到S ,S ，S +S ，将a=2代入用=a2a表示
1 2 1 2
S +S 的等式中求值即可；
1 2
（2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可．
【详解】（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：S =a2，S =a，S =1，
甲 乙 丙
∴S =S +3S +2S =a2+3a+2，S =5S +S =5a+1，
1 甲 乙 丙 2 乙 丙
∴S +S =(a2+3a+2)+(5a+1)=a2+8a+3，
1 2
∴当a=2时，S +S =22+8×2+3=23；
1 2
（2）S >S ，理由如下：
1 2
∵S =a2+3a+2，S =5a+1
1 2
∴S −S =(a2+3a+2)−(5a+1)=a2−2a+1=(a−1) 2
1 2
∵a>1，
∴S −S =(a−1) 2>0，
1 2
∴S >S ．
1 2
【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握做差比较法是解
题的关键．
题型03 因式分解的运算及应用
概念 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式叫做因式分解.因式分解与整式乘法是互逆变形.
提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c)
基本
2 2
① 运用平方差公式：a －b ＝(a＋b)(a－b)．
方法
公式法
2 2 2
② 运用完全平方公式：a ±2ab＋b ＝(a±b)
2
a +(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
【口诀】首尾分解，交叉相乘，实验筛选，求和凑中.
十字相乘法
2
【特殊】因式分解：ax +bx+c
进阶
方法 ①若a+b+c=0，则必有因式x-1 ②若a-b+c=0，则必有因式x+1
分组分解法 ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
换元法 如果多项式中某部分代数式重复出现，那么可将这部分代数式用另一个字母代
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
替.
2 2 2
例：因式分解(x +5x+2)(x +5x+3)-12，设x +5x+2=t
2
则原式=t(t+1)-12=(t-3)(t+4)= (x+2)(x+3)(x +5x-1)
1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；
2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：①为两项时，考虑平方差公式；
一般 ②为三项时，考虑完全平方公式；
步骤 ③为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；
3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止．
以上步骤可以概括为“一提、二套、三检查”.
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1.因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
2.因式分解必须是恒等变形,且必须分解到每个因式都不能分解为止.
3.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
1．（2023·河北·统考中考真题）若k为任意整数，则(2k+3) 2−4k2的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【答案】B
【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式．
【详解】解：(2k+3) 2−4k2
=(2k+3+2k)(2k+3−2k)
=3(4k+3)，
3(4k+3)能被3整除，
∴(2k+3) 2−4k2的值总能被3整除，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为a2−b2=(a−b)(a+b)通过因式分解，可以把多项
式分解成若干个整式乘积的形式．
2．（2023·山东·统考中考真题）已知实数m满足m2−m−1=0，则2m3−3m2−m+9= ．
【答案】8
【分析】由题意易得m2−m=1，然后整体代入求值即可．
【详解】解：∵m2−m−1=0，
∴m2−m=1，
∴2m3−3m2−m+9
=2m(m2−m)−m2−m+9
=2m−m2−m+9
=m−m2+9
=−(m2−m)+9
=−1+9
=8；
故答案为8．
【点睛】本题主要考查因式分解及整体思想，熟练掌握利用整体思维及因式分解求解整式的值．
1 13 1
3．（2021·广东·统考中考真题）若x+ = 且00，
∴√(k−1) 2−(√2−k) 2
=−(k−1)−(2−k)
=−1．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一
元二次方程根的判别式是解答此题的关键．
2．（2021·广东·统考中考真题）设6−√10的整数部分为a，小数部分为b，则(2a+√10)b的值是（ ）
A．6 B．2√10 C．12 D．9√10
【答案】A
【分析】首先根据√10的整数部分可确定a的值，进而确定b的值，然后将a与b的值代入计算即可得到所求
代数式的值．
【详解】∵3<√10<4，
∴2<6−√10<3，
∴6−√10的整数部分a=2，
∴小数部分b=6−√10−2=4−√10，
∴(2a+√10)b=(2×2+√10)(4−√10)=(4+√10)(4−√10)=16−10=6．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定6−√10的整数部分a与小数部分b的值是解题关键．
3．（2023·内蒙古·统考中考真题）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：√(m−2) 2= ．
【答案】2−m/−m+2
【分析】利用二次根式的性质和绝对值的性质，即可求解．
【详解】由数轴位置可知10a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0ab2a>b
②对任意负实数a，b，若a2>b2a1/b，ab>0，则a1a>b , <1a>b
b b
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
a a
3)任意负实数a，b， >1ab
b b
1．（2023·浙江台州·统考中考真题）下列无理数中，大小在3与4之间的是（ ）．
A．√7 B．2√2 C．√13 D．√17
【答案】C
【分析】根据无理数的估算可得答案，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键
【详解】解：∵3=√9，4=√16，而2√2=√8，9<13<16，
∴大小在3与4之间的是√13，
故选：C．
√2 √3
2．（2022·山东临沂·统考中考真题）比较大小： （填“>”，“<”或“=”）．
2 3
【答案】>
【分析】根据实数大小比较解答即可．
(√2) 2 1 (√3) 2 1 1 1
【详解】解：∵ = ， = ， > ，
2 2 3 3 2 3
√2 √3
∴ > ，
2 3
故答案为：>．
【点睛】此题考查实数大小的比较，关键是根据实数大小比较解答．
3．（2022·四川南充·中考真题）比较大小：2−2 30．（选填＞，＝，＜）
【答案】<
1
【分析】先计算2−2= ，30=1，然后比较大小即可．
4
1
【详解】解：2−2= ，30=1，
4
1
<1，
4
∵ 2−2<30，
故答案为： ．
∴
【点睛】本题主要考查有理数的大小比较，负整数指数幂的运算，零次幂的运算，熟练掌握运算法则是解
<
题关键．
4．（2023·江苏盐城·统考中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题：
a a+1
已知3a>b>0，M= ，N= ，试比较M与N的大小．
b b+3
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较x2+1与2x−1的大小．
22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
小华：∵(x2+1)−(2x−1)=x2+1−2x+1=(x−1) 2+1>0，
∴x2+1>2x−1．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．
23 22
(2)比较大小： __________ ．（填“>”“=”或“<”）
68 65
【答案】(1)M>N
(2)<
【分析】（1）根据作差法求M−N的值即可得出答案；
23 22
（2）根据作差法求 − 的值即可得出答案．
68 65
a a+1 a(b+3)−b(a+1) ab+3a−ba−b 3a−b
【详解】（1）解：M−N= − = = = ，
b b+3 b(b+3) b(b+3) b(b+3)
∵3a>b>0，
3a−b
∴ >0，
b(b+3)
∴M>N；
23 22 1495 1496 1
（2）解：∵ − = − =− <0，
68 65 4420 4420 4420
23 22
∴ < ．
68 65
故答案为：<．
【点睛】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运算的方法．
一、实数
1、实数的相关概念
相关概念 概念 补充与拓展
数轴上的点与实数具有一一对应的关系.
将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表
数轴 规定了原点、正方
示的数大.
向、单位长度的直线
在数轴上距原点n个单位长度的点有2个.
叫做数轴.
数轴中点公式：数轴上有两点 A、B分别表示的数为x，y，若C是
A、B两点的中点， C所表示的数为c，则有：2c=x+y.
数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数
23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（简称大数-小数）.
若a、b互为相反数，则a+b=0（反之亦成立）.
互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且
相反数 只有符号不同的两个 位于原点的两侧.
数称为互为相反数.
正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.相反
数是本身的数是0.
（a+b）的相反数是-（a+b），（a-b）的相反数是-（a-b）或b-a.
多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正.
绝对值 在数轴上表示数a的 两个正数比较，绝对值大数越大；两个负数比较，绝对值大的反而
点到原点的距离叫做 小.
a 的绝对值，记为| 正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数
a|．
若|a|=a（或|a|-a=0），则 a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），则
a≤0.
若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）.
若|a|+|b|=0，则a=0且b=0（a、b可以是多项式）.
几何意义补充：|x|=|x-0|，数轴上表示x的点到原点的距离
|x-1|，数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离
|x+2|，数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离
0没有倒数.
1除以一个不等于零
的实数所得的商， 若a、b互为倒数，则ab=1
倒数
叫 做 这 个 数 的 倒 互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）.
数．
倒数是本身的只有1和-1.
n个相同的因数a相 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
乘记作 an，其中 a 正数的任何次幂都是正数.
乘方
为底数，n为指数，
规定：a0=1（a≠0）
乘方的结果叫做幂.
相关概
概念 补充与拓展
念
如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那
算术平 正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平
么这个正数x叫做a的算术平方根.记为
方根 方根为0；负数没有算术平方根
√a，a叫做被开方数.
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫 正数有两个平方根，且它们互为相反数.
平方根 做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那
么x叫做a的平方根. 0的算术平方根为0；负数没有算术平方根.
如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x 正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数
立方根
叫做a的立方根或三次方根 只有一个负的立方根．
24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
互为相反数的两个数的立方根互为相反数
2、实数的非负性及性质
1.在实数范围内，正数和零统称为非负数.
2.非负数有三种形式：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即a2≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即√a≥0
3.非负数具有以下性质 ：①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
二、整式的运算
1. 整式的加减运算
同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.
合并同类项 把同类项中的系数相加减，字母与字母的指数不变.
整式的
括号外是“+”，添(去) 括号不变号，
加减
添（去）括号法则
括号外是“-”，添(去) 括号都变号.
整式的加减法则 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项.
2. 幂的运算
幂的运算 公式 补充说明
1.逆用公式：am＋n =am·an
am·an＝am＋n
同底数幂相乘 2.【扩展】am·an·ap＝am＋n+p （m，n，p都是
（m，n都是整数）
正整数）
1.负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号
在括号外结果都为负.
(am)n＝amn
幂的乘方
2.逆用公式：amn＝(am)n
（m，n都是整数）
3.【扩展】((am)n) p＝amnp
（m，n，p都是正整数）
(ab)n＝anbn 1.逆用公式：anbn＝(ab)n
积的乘方
（n为整数） 2.【扩展】(abc)n＝anbncn
1. 关键：看底数是否相同，指数相减是指被除式的指
数减去除式的指数 .
am÷an＝am-n 2.逆用公式：am-n＝am÷an （a≠0，m、n都是正整
同底数幂相除
（a≠0，m，n都为整数） 数）.
3.
.【扩展】am÷an÷ap＝am-n-p
（a≠0，m，n，p
都是正整数）.
25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
零指数幂：a0=1（a≠0）
1
负整数指数幂：a-n=
an
（a≠0，n为正整数）
3. 整式的乘除运算
整式的乘除 运算步骤说明 补充说明及注意事项
①将单项式系数相乘作为积的系数;
②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法， 1）实质:乘法的交换律和同底数幂的乘法法
单项式乘单
作为积的一个因式; 则的综合应用.
项式
③单独出现的字母，连同它的指数，作为积 2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式 .
的一个因式.
1）单项式乘多项式实质上是转化为单项式乘
单项式乘多 ①先用单项式和多项式的每一项分别相乘； 以单项式
项式 ②再把所得的积相加. 2）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项
数与原多项式的项数相同.
运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不
①先用一个多项式的每一项与另一个多项式 重不漏；
多项式乘多
的每一项相乘， ②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都
项式
②再把所得的积相加． 应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项
式，在合并同类项之前，积的项数应等于原
多项式的项数之积．
①将单项式系数相除作为商的系数；
单项式除单 ②相同字母的因式，利用同底数幂的除法，
项式 作为商的一个因式；
③只在被除式里含有的字母连同指数不变.
①先把这个多项式的每一项除以这个单项
多项式除单
式；
项式
②再把所得的商相加
26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的.
4. 乘法公式
乘法公式 基础 变形
1.通过移项变形
① a2+b2＝(a+b)2-2ab ② 2ab=(a+b)2-(a2+b2)
平方差公式 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 用法：已知 a+b、ab、a2+b2中的两项求另一项的值（知二求
一）.
2.a+b与a-b的转化
① (a+b)2＝(a-b)2+4ab ② (a-b)2＝(a+b)2-4ab
③ (a+b)2 -(a-b)2＝4ab ④ (a+b)2 +(a-b)2 =2(a2+b2)
用法：已知a+b、ab、a-b 中的两项求另一项的值（知二求一）.
3.特殊结构
1 1 1 1
(a±b)2＝a2±2ab＋b2
① (x+ )2＝x2+2＋ ② x2＋ =(x＋ )2-2
口诀：首平方，尾平 x x2 x2 x
完全平方公式
方， 1 1 1 1
二倍乘积放中央. ③ (x- )2＝x2-2＋ ④ x2- =(x - )2+2
x x2 x2 x
4.扩展
① (a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3
② (a+b+c)3＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc
三、二次根式的运算
乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：√ab =√a•√b （a≥0，b≥0）.
√a √a
除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： = （a≥0，b＞0）.
√b b
加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.
【口诀】一化、二找、三合并.
分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.
【分母有理化方法】
1 √a √a
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： = =
√a √a•√a a
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.
1 √a+√b √a+√b
即： = = ；
√a−√b (√a−√b)(√a+√b) a−b
混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．
一、单选题
1．（2023·广东肇庆·统考一模）2021年2月《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化
的意见》正式发布．《意见》确定的目标任务为，2021年，农业供给侧结构性改革深入推进，粮食播种面
积保持稳定、产量达到1 300 000 000 000斤以上，农民收入增长继续快于城镇居民，脱贫攻坚成果持续巩
固．其中数据1 300 000 000 000用科学记数法表示正确的是（ ）
27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． 13×1011 B． 13×1012 C． 1.3×1012 D． 0.13×1013
【答案】C
【分析】本题主要考查了科学记数法．熟练掌握科学记数法的定义是解决问题的关键．科学记数法的定义：
把一个数表示而为a×10n的形式（其中1≤|a|<10，n为整数），这种记数方法叫做科学记数法．当表示的
数的绝对值大于10时，1≤|a|<10，n为正整数，n的值等于原数的整数部分的位数减1；当表示的数的绝
对值小于1时，1≤|a|<10，n为负整数，n的值等于原数的第一个非0数字前面所有0（包括小数点前面的
那个0）的个数的相反数．
根据科学记数法的定义解答，这里a=1.3，n=13−1=12．
【详解】1300000000000=1.3×1012．
故选：C．
2．（2023·河南周口·统考二模）碳纳米纤维是指由多层石墨片卷曲而成的纤维状纳米碳材料，它的直径一
般为10～500nm，长度分布在0.5～100um，具有质轻、导热性良好及很高的导电性和强度等特性，一
碳纳米纤维的直径约为150nm(1mm=10−9m)，将150nm用科学记数法表示为（ ）
A．1.5×10−7m B．15×10−8m C．1.5×10−9m D．0.15×10−8m
【答案】A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题
考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零
的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：150nm=0.00000015米=1.5×10−7米．
故选：A．
3．（2023·浙江·模拟预测）若x为实数，则|−x|−x的值一定（ ）
A．>0 B．<0 C．≤0 D．≥0
【答案】D
【分析】分当x≥0时，当x<0时两类讨论即可作答．
【详解】当x≥0时，|−x|−x=x−x=0，
当x<0时，|−x|−x=−x−x=−2x>0，
综上：|−x|−x≥0，
28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故选：D．
【点睛】本题主要考查了去绝对值的知识，注意分类讨论即可作答．
4．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，嘉嘉和淇淇在做数学游戏，设淇淇想的数是x，嘉嘉猜中的结果是
y，则y=（ ）
把想好的这个数减去4，把所得的差乘
淇淇，你在心里想一个数， 无论你心里想的是几，我都能猜
2，然后再加7，最后再减去所想数的2
不说出来． 中刚才的结果．
倍，得到一个结果．
A．1 B．−1 C．3 D．4x+3
【答案】B
【分析】根据列代数式计算判断即可．
【详解】设淇淇想的数是x，
则根据题意，得2(x−4)+7−2x=2x−8+7−2x=−1，
故y=−1，
故选B．
【点睛】本题考查了列代数式，正确列出代数式，并正确化简计算是解题的关键．
5．（2023·河北·统考模拟预测）下列与1012−201的结果相等的是（ ）
A．1022 B．102 C．3012 D．1002
【答案】D
【分析】利用完全平方公式即可简便运算．
【详解】解：1012−201=1012−2×101+1=(101−1) 2=1002，
故选：D．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
|m|−4
6．（2023·河北廊坊·校考三模）若分式 =0，则（ ）
m2−16
A．m=4 B．m=−4
|m|−4
C．m=±4 D．不存在m，使得 =0
m2−16
【答案】D
【分析】根据题意可得¿，此方程组无解．
【详解】解：根据题意可得：
¿，
29关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得：¿，
故无解，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件为：分子为0，分母不为0，是解题
的关键．
7．（2023·河北沧州·统考模拟预测）小敏在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即
(a2−2a ) 1
−1 ÷∗，通过查看答案，答案为 ，则被污染的代数式*为（ ）
a2−1 1−a
2a+1 a+1 2a−1 a+1
A． B． C． D．
a+1 2a−1 a+1 2a−2
【答案】C
【分析】根据“被除数除以除数等于商，则除数等于被除数除以商”即可求解．
(a2−2a ) 1 a2−2a−(a2−1)
【详解】根据题意可得，∗= −1 ÷ = ×(1−a)
a2−1 1−a a2−1
1−2a 2a−1
= ×(1−a)=
．
(a+1)(a−1) a+1
故选C．
【点睛】本题考查了分式的减法与除法混合运算，涉及通分、因式分解、合并同类项、约分等知识点，解
题的关键是熟练正确运用分式的运算法则．
二、填空题
( 1) −2
8．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）|√5−3|− − = ．
3
【答案】−6−√5/−√5−6
【分析】先求绝对值，进行负整数指数幂的计算，再进行减法运算．
( 1) −2
【详解】解：|√5−3|− − =3−√5−9=−6−√5．
3
故答案为：−6−√5．
【点睛】本题考查实数的混合运算，负整数指数幂的计算．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题
的关键．
9．（2023·河北唐山·统考二模）已知：A=(−1) a+(−1) b．
（1）若a=2，b=0，则A= ；
（2）若a=−1，b=−2，则A= ；
【答案】 2 0
【分析】（1）将a=2，b=0代入原式，化简求值即可；
（2）将a=−1，b=−2代入原式，化简求值即可．
【详解】（1）将a=2，b=0代入原式得：A=(−1) 2+(−1) 0=1+1=2；
故答案为：2．
30关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）将a=−1，b=−2代入原式得：A=(−1) −1+(−1) −2=(−1)+1=0；
故答案为：0．
【点睛】本题考查了代数式求值，有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂等，掌握负整数指数幂的运算
法则是解题的关键．
a+1 a−1+○ a−1 □ ◇
10．（2023·河北沧州·模拟预测）观察分式变形过程： = = + =1+ ，其中
a−1 a−1 a−1 a−1 a−1
“○”“□”“◇”分别盖住了一个整数.
（1）“○”“□”“◇”表示的整数 ；（填“相同”或“不相同”）
2a−8
（2）当a≥0时， 的最小值为 .
a+2
【答案】 相同 −4
【分析】（1）根据分式变形步骤分别求出各个符号盖住的值即可得出结果；
（2）将分式按照题干方法变形求解即可．
a+1 a−1+2 a−1 2 2
【详解】解：（1） = = + =1+ ，
a−1 a−1 a−1 a−1 a−1
∴○=2,□=2,◇=2，
故答案为：相同；
2a−8 2(a+2)−12 12
（2） = =2− ，
a+2 a+2 a+2
∵a≥0，
12
∴当a=0时， =6取得最大值，
a+2
2a−8
∴ 的最小值为2−6=−4，
a+2
故答案为：−4．
【点睛】题目主要考查分式的化简变形，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
11．（2023·河北沧州·校考二模）现有甲、乙两种不同的正方形纸片（边长如图1）．
（1）若一张甲纸片和一张乙纸片按如图2摆放，则阴影部分的面积可表示为 ．
（2）若一张甲纸片和两张乙纸片按如图3摆放，则阴影部分的面积和可表示为 ．
【答案】 a2−b2 3a2−8ab+6b2
【分析】（1）根据图中摆放和正方形的面积公式求解即可；
（2）分别求得三个阴影的边长，再根据正方形的面积公式求解即可．
【详解】解：（1）由图可知，甲的面积为a2，乙的面积为b2，
31关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴阴影部分的面积为a2−b2，
故答案为：a2−b2；
（2）由题意，两个角上的阴影是边长都是a−b的正方形，中间阴影是边长为a−2(a−b)=2b−a的正方
形，
∴阴影部分的面积为
2(a−b) 2+(2b−a) 2
=2(a2−2ab+b2)+4b2−4ab+a2
=3a2−8ab+6b2，
故答案为：3a2−8ab+6b2．
【点睛】本题考查了列代数式、整式的混合运算，熟记完全平方公式，根据图形正确列出代数式是解答的
关键．
12．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考一模）[输入x]→[平方]→[减去2√2x]→[输出A]
（1）把多项式A分解因式为= ；
（2）当x=√6+√2时，多项式A的值为 ．
【答案】 x(x−2√2) 4
【分析】（1）先根据运算程序写出多项式A，再利用提公因式法分解因式即可得到答案；
（2）把x=√6+√2代入多项式A中，利用平方差公式即可得到答案．
【详解】解：（1）根据题意得A=x2−2√2x=x(x−2√2)；
故答案为：x(x−2√2)；
（2）当x=√6+√2时，
2 2
A=(√6+√2)(√6+√2−2√2)=(√6+√2)(√6−√2)=(√6) −(√2) =6−2=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，因式分解，注意二次根式要先化简再代入求值．
13．（2022·河北邢台·校考三模）已知30×3−1×33m=35．
（1）m的值为 ；
（2）计算√m−m√m−99√m= ．
【答案】 2 −100√2
【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则进行运算即可；
（2）把m=2代入进行计算即可．
【详解】解：（1）∵30×3−1×33m=35，
∴0+(−1)+3m=5，
∴m=2，
故答案为：2；
（2）将m=2代入得：
32关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴√m−m√m−99√m=√2−2√2−99√2=−100√2，
故答案为：−100√2．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、二次根式的加减，熟练掌握同底数幂的乘法、二次根式的加减
的运算法则是解题的关键．
14．（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）若[x]表示不超过x的最大整数，
A= 1 + 1 +( 1 ) 0 ，则[A]=______．
1−√4 3 1+√4 3 1−√4 3
【答案】−2
【分析】先根据零指数幂和分母有理化得到A=−√3≈−1.732，然后根据[x]表示不超过x的最大整数得到
[A]＝−2．
【详解】解：A= 1 + 1 +( 1 ) 0 = 1+√4 3 + 1−√4 3 +1，那么
1−√4 3 1+√4 3 1−√4 3 (1−√4 3)(1+√4 3) (1+√4 3)(1−√4 3)
1+√4 3 1−√4 3 2 2(1+√3)
A= + +1= +1= +1=−1−√3+1=−√3，
1−√3 1−√3 1−√3 (1−√3)(1+√3)
∴−2−1且m≠0
C．m>−1 D．m<−1且m≠−2
【答案】D
【分析】分式方程两边乘以(x+1)，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据分式方
程的解是负数，得出不等式，解不等式即可求解．
2x−m
【详解】解： =1
x+1
40关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
2x−m=x+1
解得：x=m+1 且x≠−1
2x−m
∵关于x的分式方程 =1的解是负数，
x+1
∴m+1<0，且m≠−2
∴m<−1且m≠−2，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握解分式方程步骤是解题的关键．
2 m
2．（2022·四川遂宁·统考中考真题）若关于x的方程 = 无解，则m的值为（ ）
x 2x+1
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
【答案】D
【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当m−4=0时，当m−4≠0时，
x=0或2x+1=0，进行计算即可．
【详解】方程两边同乘x(2x+1)，得2(2x+1)=mx，
整理得(m−4)x=2，
∵原方程无解，
∴当m−4=0时，m=4；
2
当m−4≠0时，x=0或2x+1=0，此时，x= ，
m−4
1
解得x=0或x=− ，
2
2
当x=0时，x= =0无解；
m−4
1 2 1
当x=− 时，x= =− ，解得m=0；
2 m−4 2
综上，m的值为0或4；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化
成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．
x+m 1
3．（2023·四川巴中·统考中考真题）关于x的分式方程 + =3有增根，则m= ．
x−2 2−x
【答案】−1
【分析】等式两边同时乘以公因式(x−2)，化简分式方程，然后根据方程有增根，求出x的值，即可求出m．
x+m 1
【详解】 + =3，
x−2 2−x
解：方程两边同时乘以(x−2)，得x+m+(−1)=3(x−2)，
∴m=2x−5，
41关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵原方程有增根，
∴x−2=0，
∴x=2，
∴m=2x−5=−1，
故答案为：−1．
【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根．
x+m x−1
4．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x的方程 −1= 的解为非负数，则m的取值范围是
x−2 2−x
．
【答案】m≤−1且m≠−3
【分析】解分式方程，可用m表示x，再根据题意得到关于m的一元一次不等式即可解答．
x+m x−1
【详解】解：解 −1= ，可得x=−m−1，
x−2 2−x
x+m x−1
∵x的方程 −1= 的解为非负数，
x−2 2−x
∴−m−1≥0，
解得m≤−1，
∵x−2≠0，
∴−m−1−2≠0，
即m≠−3，
∴m的取值范围是m≤−1且m≠−3，
故答案为：m≤−1且m≠−3．
【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求值，注意分式方程无解的情况是解题的关键．
1 2 x+2m
5．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）若关于x的分式方程 + = 的解大于1，则m
x−2 x+2 x2−4
的取值范围是 ．
【答案】m >0且m≠1
【分析】先解分式方程得到解为x=m+1，根据解大于1得到关于m的不等式再求出m的取值范围，然后
再验算分母不为0即可．
【详解】解：方程两边同时乘以(x+2)(x−2)得到：x+2+2(x−2)=x+2m，
整理得到：x=m+1，
∵分式方程的解大于1，
∴m+1>1，解得：m>0，
又分式方程的分母不为0，
∴m+1≠2且m+1≠−2，解得：m≠1且m≠−3，
∴m的取值范围是m >0且m≠1．
故答案为：m >0且m≠1．
42关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【点睛】本题考查分式方程的解法，属于基础题，要注意分式方程的分母不为0这个隐藏条件．
题型05 解一元一次不等式
(1 )
1．（2022·河北·统考中考真题）整式3 −m 的值为P．
3
(1)当m＝2时，求P的值；
(2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．
【答案】(1)−5
(2)−2,−1
【分析】（1）将m＝2代入代数式求解即可，
（2）根据题意P≤7，根据不等式，然后求不等式的负整数解．
(1 )
【详解】（1）解：∵P=3 −m
3
(1 )
当m=2时，P=3× −2
3
( 5)
=3× −
3
=−5；
(1 )
（2）∵ P=3 −m ，由数轴可知P≤7，
3
(1 )
即3 −m ≤7，
3
1 7
∴ −m≤ ，
3 3
解得m≥−2，
∴ m的负整数值为−2,−1．
【点睛】本题考查了代数式求值，解不等式，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键．
x−1 x−3
2．（2022·湖北宜昌·统考中考真题）解不等式 ≥ +1，并在数轴上表示解集．
3 2
【答案】x≤1，在数轴上表示解集见解析
【分析】通过去分母，去括号，移项，系数化为1求得x≤1，在数轴上表示解集即可．
43关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
x−1 x−3
【详解】解： ≥ +1
3 2
去分母，得2(x−1)≥3(x−3)+6，
去括号，得2x−2≥3x−9+6，
移项，合并同类项得−x≥−1，
系数化为1，得x≤1，
在数轴上表示解集如图：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是正确的解一元一次不
等式，解集为“≤”时要用实心点表示．
题型06 解一元一次不等式组
不等式组解集的确定有两种方法：
1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了．
解一元一次不等式组的一般步骤：
1） 求出不等式组中各不等式的解集.
2） 将各不等式的解决在数轴上表示出来.
3） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
1．（2022·北京·统考中考真题）解不等式组：¿
【答案】11，
解不等式②得x<4，
故所给不等式组的解集为：1− D．a>−2
2 2
【答案】D
【分析】首先解出两个不等式，根据题目该不等式组无实数解，那么两个解集没有公共部分，列出关于a
的不等式，即可求解．
【详解】解：解不等式−2x−3≥1得，
x≤−2，
x a−1
解不等式 −1≥ 得，
4 2
x≥2a+2，
∵该不等式组无实数解，
∴2a+2>−2，
解得：a>−2，
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的解法和不等式组解集的确定，解题关键是熟练掌握不等式解集的确定，即
“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”．
3x−6>0
4．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）不等式组{ 的解集为x>2，则m的取值范围为 ．
x>m
【答案】m≤2
【分析】先求出不等式①的解集，再根据已知条件判断m范围即可．
3x−6>0①
【详解】解：{ ，
x>m②
解①得：x>2，
又因为不等式组的解集为x>2
∵x>m，
∴m≤2，
故答案为：m≤2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知得出m的范围是解此题的关键．
45关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型07 解一元二次方程
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择：
1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法；
2）当b=0时，首选直接开平方法；
3）当c=0时，可选因式分解法或配方法；
4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法；
5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法.
1．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）解方程：(2x+3) 2=(3x+2) 2
【答案】x =−1，x =1
1 2
【分析】直接开方可得2x+3=−3x−2或2x+3=3x+2，然后计算求解即可．
【详解】解：∵(2x+3) 2=(3x+2) 2
∴2x+3=−3x−2或2x+3=3x+2
解得x =−1，x =1．
1 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．
2．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）小敏与小霞两位同学解方程3(x−3)=(x−3) 2的过程如下框：
小霞：
小敏：
移项，得3(x−3)−(x−3) 2=0，
两边同除以(x−3)，得
提取公因式，得(x−3)(3−x−3)=0．
3=x−3，
则x−3=0或3−x−3=0，
则x=6．
解得x =3，x =0．
1 2
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】两位同学的解法都错误，正确过程见解析
【分析】根据因式分解法解一元二次方程
【详解】解：
小敏： 小霞：
两边同除以(x−3)，得 移项，得3(x−3)−(x−3) 2=0，
3=x−3， 提取公因式，得(x−3)(3−x−3)=0．
则x=6． 则x−3=0或3−x−3=0，
46关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得x =3，x =0．
1 2
（×）
（×）
正确解答：3(x−3)=(x−3) 2
移项，得3(x−3)−(x−3) 2=0，
提取公因式，得(x−3)[3−(x−3)]=0，
去括号，得(x−3)(3−x+3)=0，
则x−3=0或6−x=0，
解得x =3，x =6．
1 2
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键．
3．（2023·江苏无锡·统考中考真题）解方程：2x2+x−2=0
【详解】解：2x2+x−2=0
解：∵a=2,b=1,c=−2，
∴Δ=b2−4ac=1+4×2×2=17 >0，
−b±√b2−4ac −1±√17
∴x= =
2a 4
−1+√17 −1−√17
解得：x = ，x = ；
1 4 2 4
题型08 根据判别式判断一元二次方程根的情况
2
1. 求根公式的使用条件：a≠0且b -4ac≥0.
2. 使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c 的值.
3. 利用判别式可以判断方程的根的情况,反之,当方程：1）有两个不相等的实数根时, Δ>0;
2）有两个相等的实数根时, Δ=0;
3）没有实数根时, Δ<0.
4. 【选择题小技巧】若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中ac<0(或a、c异号)，则可直接判断该方程有两
个不相等的实数根.
1．（2022·湖北十堰·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−2x−3m2=0．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β=5，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)m=±1
47关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）根据根的判别式Δ=b2−4ac，即可判断；
（2）利用根与系数关系求出α+β=2，由α+2β=5即可解出α，β，再根据α⋅β=−3m2，即可得到m的
值．
【详解】（1）Δ=b2−4ac=(−2) 2−4×1⋅(−3m2 )=4+12m2，
∵12m2≥0，
∴4+12m2≥4>0，
∴该方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程的两个实数根α，β，
由根与系数关系可知，α+β=2，α⋅β=−3m2，
∵α+2β=5，
∴α=5−2β，
∴5−2β+β=2，
解得：β=3，α=−1，
∴−3m2=−1×3=−3，即m=±1．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．
2．（2023·四川南充·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x−3m2+m=0
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
x x 5
(2)若x ，x 是方程的两个实数根，且 2+ 1=− ，求m的值．
1 2 x x 2
1 2
【答案】(1)见解析
2
(2) 或1．
5
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定Δ≥0即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x +x =2m−1，x x =−3m2+m，整体代入得到
1 2 1 2
m2+2m−3=0求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x−3m2+m=0，
∴a=1，b=−(2m−1)，c=−3m2+m，
∴Δ=b2−4ac=[−(2m−1)] 2 −4×1×(−3m2+m)=(4m−1) 2，
∵(4m−1) 2≥0，即Δ≥0，
∴不论m为何值，方程总有实数根；
（2）解：∵x ，x 是关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x−3m2+m=0的两个实数根，
1 2
∴x +x =2m−1，x x =−3m2+m，
1 2 1 2
x x x 2+x 2 (x +x ) 2−2x x 5
∵ 2+ 1= 1 2 = 1 2 1 2=− ，
x x x x x x 2
1 2 1 2 1 2
48关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(x +x ) 2 1
∴ 1 2 =− ，
x x 2
1 2
(2m−1) 2 1 2
∴ =− ，整理，得5m2−7m+2=0，解得m = ，m =1，
−3m2+m 2 1 5 2
2
∴m的值为 或1．
5
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方
程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
3．（2021·北京·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−4mx+3m2=0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m>0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
【答案】（1）见详解；（2）m=1
【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；
（2）设关于x的一元二次方程x2−4mx+3m2=0的两实数根为x ,x ，然后根据一元二次方程根与系数的
1 2
关系可得x +x =4m,x ⋅x =3m2 ，进而可得(x −x ) 2=4，最后利用完全平方公式代入求解即可．
1 2 1 2 1 2
【详解】（1）证明：由题意得：a=1,b=−4m,c=3m2，
∴Δ=b2−4ac=16m2−4×1×3m2=4m2，
∵m2≥0，
∴Δ=4m2≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于x的一元二次方程x2−4mx+3m2=0的两实数根为x ,x ，则有：
1 2
x +x =4m,x ⋅x =3m2 ，
1 2 1 2
∵|x −x |=2，
1 2
∴(x −x ) 2=(x +x ) 2−4x x =16m2−12m2=4，
1 2 1 2 1 2
解得：m=±1，
∵m>0，
∴m=1．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及
根与系数的关系是解题的关键．
题型09 根据一元二次根的情况求参数
1．（2021·湖北黄石·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x 、x ，且x2+x2=12，求m的值．
1 2 1 2
49关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）m≤0；（2）m=−2
【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即Δ≥0求解即可；
（2）由韦达定理把x +x 和x x 分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将x2+x2=12变形为
1 2 1 2 1 2
(x +x ) 2−2x x =12，再代入计算即可解出答案．
1 2 1 2
【详解】（1）由题意可得：Δ=(2m) 2−4(m2+m)≥0
解得：m≤0
即实数m的取值范围是m≤0．
（2）由x2+x2=12可得：(x +x ) 2−2x x =12
1 2 1 2 1 2
∵x +x =−2m；x x =m2+m
1 2 1 2
∴(−2m) 2−2(m2+m)=12
解得：m=3或m=−2
∵m≤0
∴m=−2
即m的值为-2．
【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当Δ≥0时，方程有实数根；
（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键．
2．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程kx2−(2k+4)x+k−6=0有两个不相等的
实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k=1时，用配方法解方程．
2
【答案】(1)k>− 且k≠0
5
(2)x =3+√14，x =3−√14
1 2
【分析】（1）根据题意，可得(2k+4) 2−4k(k−6)>0，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，
（2）将k=1代入kx2−(2k+4)x+k−6=0，利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：依题意得：¿，
2
解得k>− 且k≠0；
5
（2）解：当k=1时，原方程变为：x2−6x−5=0，
则有：x2−6x+9=5+9，
∴(x−3) 2=14，
∴x−3=±√14，
∴方程的根为x =3+√14，x =3−√14．
1 2
【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程
50关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
是解题的关键．
3．（2022·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k−2=0有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为x ,x ，若(x +1)(x +1)=−1，求k的值．
1 2 1 2
17
【答案】(1)k≤ ；
4
(2)k=3
【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）≥0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x +x =−3,x x =k−2，将等式左侧展开代入计算即可得到k值．
1 2 1 2
【详解】（1）解：∵一元二次方程x2+3x+k−2=0有实数根．
∴ ≥0，即32-4（k-2）≥0，
17
解 ∆ 得k≤
4
（2）∵方程的两个实数根分别为x ,x ，
1 2
∴x +x =−3,x x =k−2，
1 2 1 2
∵(x +1)(x +1)=−1，
1 2
∴x x +x +x +1=−1，
1 2 1 2
∴k−2−3+1=−1，
解得k=3．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程
有关知识是解题的关键．
题型10 一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x 和x ，则x ，x 与方程的系数a，b，c之间有如下关系：
1 2 1 2
b c
x +x ＝− ； x •x ＝
1 2 a 1 2 a
一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0.
用根与系数的关系求值时的常见转化：
已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x ,x
1 2
1）平方和 x2+x2= (x +x ) 2−2x x
1 2 1 2 1 2
1 1 x +x
1 2
2）倒数和 + =
x1 x2 x x
1 2
51关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3）差的绝对值 | x - x |= √(x −x ) 2=√(x +x ) 2−4x x
1 2 1 2 1 2 1 2
x x x 2+x 2 (x +x ) 2−2x x
4) 1+ 2 = 1 2 = 1 2 1 2
x x x x x x
2 1 1 2 1 2
5） (x +1)(x +1)= x x +(x +x )+1
1 2 1 2 1 2
1．（2022·湖北黄石·统考中考真题）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程(x2) 2 −13x2+36=0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y=x2，则原方程可化为
y2−13 y+36=0，经过运算，原方程的解为x =±2，x =±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫
1,2 3,4
做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2−m−1=0，n2−n−1=0，且m≠n，显然m，n是方程x2−x−1=0的两个不相等
的实数根，由韦达定理可知m+n=1，mn=−1．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程x4−5x2+6=0的解为_______________________；
(2)间接应用：
已知实数a，b满足：2a4−7a2+1=0，2b4−7b2+1=0且a≠b，求a4+b4的值；
(3)拓展应用：
1 1 1
已知实数x，y满足： + =7，n2−n=7且n>0，求 +n2 的值．
m4 m2 m4
【答案】(1)x =√2，x =−√2，x =√3，x =−√3
1 2 3 4
45 45±7√41
(2) 或
4 4
(3)15
【分析】（1）利用换元法降次解决问题；
（2）模仿例题解决问题即可；
1
（3）令 =a，-n=b，则a2+a-7=0，b2 +b=0，再模仿例题解决问题．
m2
【详解】（1）解：令y=x2，则有y2-5y+6=0，
∴（y-2）（y-3）=0，
∴y =2，y =3，
1 2
∴x2=2或3，
∴x =√2，x =−√2，x =√3，x =−√3，
1 2 3 4
52关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故答案为：x =√2，x =−√2，x =√3，x =−√3；
1 2 3 4
（2）解：∵a≠b，
∴a2≠b2或a2=b2(a=−b)
①当a2≠b2时，令a2=m，b2=n，
∴m≠n则2m2−7m+1=0，2n2−7n+1=0，
∴m，n是方程2x2−7x+1=0的两个不相等的实数根，
∴¿，
45
此时a4+b4=m2+n2=(m+n) 2−2mn=
；
4
7±√41
②当a2=b2(a=−b)时，a2=b2=
，
4
2
此时a4+b4=2a4=2(a2) 2 =2 (7±√41) = 45±7√41 ；
4 4
45 45±7√41
综上：a4+b4=
或
4 4
1
（3）解：令 =a，−n=b，则a2+a−7=0，b2+b−7=0，
m2
∵n>0，
1
∴ ≠−n即a≠b，
m2
∴a，b是方程x2+x−7=0的两个不相等的实数根，
∴¿，
1
故
+n2=a2+b2=(a+b) 2−2ab=15．
m4
【点睛】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关
键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
2．（2022·四川凉山·统考中考真题）阅读材料：
b c
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x，x，则x＋x＝− ，xx＝
1 2 1 2 a 1 2 a
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x，x，则x＋x＝ ；xx＝ ．
1 2 1 2 1 2
n m
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 + 的值．
m n
53关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1 1
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求 − 的值．
s t
3 1
【答案】(1) ；−
2 2
13
(2)−
2
(3)√17或−√17
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
3 1 n m
（2）根据根与系数的关系先求出m+n= ，mn=− ，然后将 + 进行变形求解即可；
2 2 m n
3 1 1 1
（3）根据根与系数的关系先求出s+t= ，st=− ，然后求出s-t的值，然后将 − 进行变形求解即可．
2 2 s t
【详解】（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x，x，
1 2
b −3 3 c 1
∴x +x =− =− = ，x ⋅x = =− ．
1 2 a 2 2 1 2 a 2
3 1
故答案为： ；− ．
2 2
（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
b −3 3 c 1
∴m+n=− =− = ，mn= =− ，
a 2 2 a 2
n m m2+n2
∴ + =
m n mn
(m+n) 2−2mn
=
mn
(3) 2 ( 1)
−2× −
2 2
=
1
−
2
13
=−
2
（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
b −3 3 c 1
∴s+t=− =− = ，st= =− ，
a 2 2 a 2
∵(t−s) 2=(t+s) 2−4st
(3) 2 ( 1)
= −4× −
2 2
54关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
9
= +2
4
17
=
4
√17 √17
∴t−s= 或t−s=− ，
2 2
√17
√17 1 1 t−s 2
当t−s= 时， − = = =−√17，
2 s t st 1
−
2
√17
−
√17 1 1 t−s 2
当t−s=− 时， − = = =√17，
2 s t st 1
−
2
1 1
综上分析可知， − 的值为√17或−√17．
s t
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系
√17 √17
求出t−s= 或t−s=− ，是解答本题的关键．
2 2
3．（2023·湖北黄石·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+mx−1=0，当m=1时，该方程的正根称
为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的
设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
(1)求黄金分割数；
(2)已知实数a，b满足：a2+ma=1,b2−2mb=4，且b≠−2a，求ab的值；
(3)已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np−1=q,q2+nq−1=p，求pq−n的值．
−1+√5
【答案】(1)
2
(2)2
(3)0
【分析】（1）依据题意，将m=1代入然后解一元二次方程x2+x−1=0即可得解；
( b) 2 ( b) b
（2）依据题意，将b2−2mb=4变形为 − +m⋅ − −1=0，从而可以看作a，− 是一元二次方程
2 2 2
x2+mx−1=0的两个根，进而可以得解；
（3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得pq，进而可以得解．
【详解】（1）依据题意，
将m=1代入x2+mx−1=0得x2+x−1=0，
−1±√5
解得x= ，
2
55关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵黄金分割数大于0，
−1+√5
∴黄金分割数为 ．
2
（2）∵b2−2mb=4，
∴b2−2mb−4=0，
( b) 2 ( b)
则 − +m⋅ − −1=0．
2 2
又∵b≠−2a，
b
∴a，− 是一元二次方程x2+mx−1=0的两个根，
2
( b)
则a⋅ − =−1，
2
∴ab=2．
（3）∵p2+np−1=q，q2+nq−1=p；
∴(p2+np−1)+(q2+nq−1)=q+p；
即(p2+q2)+n(p+q)−2=p+q；
∴(p+q) 2−2pq+n(p+q)−2=p+q．
又∵(p2+np−1)−(q2+nq−1)=q−p；
∴(p2−q2)+n(p−q)=−(p−q)；
即(p−q)(p+q+n+1)=0．
∵p，q为两个不相等的实数，
∴p−q≠0，
则p+q+n+1=0，
∴p+q=−n−1．
又∵(p+q) 2−2pq+n(p+q)−2=p+q，
∴(−n−1) 2−2pq+n(−n−1)−2=−n−1，
即pq−n=0．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学
知识解决问题．
4．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x ，x 和系数a，b，c有如下关系：
1 2
b c
x +x =− ，x x = ．
1 2 a 1 2 a
材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，
56关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴m+n=1,mn=−1．
则m2n+mn2=mn(m+n)=−1×1=−1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根为x ，x ，则x +x = ___________，x x =
1 2 1 2 1 2
___________；
(2)类比：已知一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
1 1
(3)提升：已知实数s，t满足2s2+3s−1=0，2t2+3t−1=0且s≠t，求 − 的值．
s t
3 1
【答案】(1)− ，−
2 2
13
(2)
4
1 1
(3) − 的值为√17或−√17．
s t
【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
3 1
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出m+n=− ，mn=− ，再根据m2+n2=(m+n) 2−2mn，
2 2
最后代入求值即可；
3 1
（3）由题意可将s、t可以看作方程2x2+3x−1=0的两个根，即得出s+t=− ，st=− ，从而由
2 2
√17 √17
(t−s) 2=(t+s) 2−4st，求得t−s= 或t−s=− ，最后分类讨论分别代入求值即可．
2 2
【详解】（1）解：∵一元二次方程2x2+3x−1=0的两个根为x ，x ，
1 2
b 3 c 1
∴x +x =− =− ，x ⋅x = =− ．
1 2 a 2 1 2 a 2
3 1
故答案为：− ，− ；
2 2
（2）解：∵一元二次方程2x2+3x−1=0的两根分别为m、n，
b 3 c 1
∴m+n=− =− ，mn= =− ，
a 2 a 2
∴m2+n2=(m+n) 2−2mn
( 3) 2 ( 1)
= − −2× −
2 2
9
= +1
4
13
= ；
4
（3）解：∵实数s、t满足2s2+3s−1=0，2t2+3t−1=0，
57关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴s、t可以看作方程2x2+3x−1=0的两个根，
b 3 c 1
∴s+t=− =− ，st= =− ，
a 2 a 2
∵(t−s) 2=(t+s) 2−4st
( 3) 2 ( 1)
= − −4× −
2 2
17
= ，
4
√17 √17
∴t−s= 或t−s=− ，
2 2
√17
当t−s= 时，
2
√17
1 1 t−s 2
− = = =−√17，
s t st 1
−
2
√17
当t−s=− 时，
2
√17
−
1 1 t−s 2
− = = =√17，
s t st 1
−
2
1 1
综上分析可知， − 的值为√17或−√17．
s t
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，
b c
掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系：x +x =− 和x ⋅x = 是解题关键．
1 2 a 1 2 a
一、一元一次方程
步骤 具体做法 依据 注意事项
去分母 在方程两边都乘以各分 等式性质2 1）不要漏乘不含分母的项；
母的最小公倍数 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整
数，再去分母.
3）如果分子是多项式，去分母后要加括号.
58关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
去括号 先去小括号，再去中括 分配律 去括号 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每
号，最后去大括号 法则 一项;
2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内
各项都要变号；
3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内
各项都不变号.
移项 把含有未知数的项移到 等式性质1 1）移项时不要漏项;
方程一边，其它项都移 2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.
到方程另一边 而在方程同一边改变项的位置时不变号.
合并同类 把方程变为 ax=b（a≠0 合并同类项法则 1）不要漏项；
项 )的形式 2）系数的符号处理要得当.
系数化为 将方程两边都除以未知 等式性质2 1)未知数的系数为整数或小数时,方程两边
1 数系数a，得到方程的解 同除以该系数;
b 2)未知数的系数为分数时,方程两边同乘该
x=
α 系数的倒数.
二、二元一次方程（组）
概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫做二元一
次方程.
二 元 一
一般形式：ax+by+c=0 （a≠0，b≠0）
次方程
二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，
二元一次方程 叫做二元一次方程的解.
（组）
概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，叫做二元一次方程组.
一般形式： （ab 和ab 不同时为0）
二 元 一 1 2 2 1
次 方 程
二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一
组
次方程组的解．
把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入
代 入 消
另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这个方法叫做代入消
元法
元法，简称代入法.
二元一次方程 两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别
加 减 消
组解法 相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消
元法
元法，简称加减法.
根据方程组各系数的特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整
换元法
体，带入另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，并求得方程的解.
三元一次方程 定义 方程组含有三个不同的未知数,每个方程中含有未知数的项的次数都是 1,并且一共有
59关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.
基本步骤：
1）变形（变三元一次为二元一次）；
2）求解：解二元一次方程组；
组
3）回代：将求得的未知数的值代入原方程组的一个适当的方程中，得到一个一元
解法
一次方程；
4）求解：解一元一次方程，求出第三个未知数；
5）写解：用大括号将所求的的三个未知数的值联立起来，即得原方程组的解.
三、分式方程
基 本 思
将分式方程化为整式方程，再求解
路
常 用 方
1）去分母法；2）换元法
法
1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；
【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，
因此分式方程一定要验根．
2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；
3）解整式方程；
4）验根，把整式方程的根代入最简公分母
去分
解分式方 母法
程
步
骤
1）设辅助未知数；
换元2）得到关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；
法 3）把辅助未知数的值代回原式中，求出原来未知数的值；
4）检验作答．
增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.
四、一元二次方程
基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，
得到的两个解就是原方程的解.
60关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
特征 步骤
直接 2 b
形如ax =b 2
1）方程两边同时除以a，得x =
开平 （a≠0）的一元 a
解 二次方程 √b √b
方法 2）两边分别开方得x1= =，x2= -
一 a a
元
二 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
次
解
2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
方 法 可配成
程 配方 2 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为
(mx+a) =b
的
方 法 形式的 (mx+a) 2 =b（b≥0）的形式；
一元二次方程
法
4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解.
【注意】：①当b <0时，方程无解
−a±√b
②当b≥0时，方程的根是x=
m
可化成 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0；
因式 (ax+b)(cx+d)=0 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
分解 形式的 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
法 一元二次方程 4）求解.
口诀：右化零，左分解，两因式，各求解.
1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其
化为整数，方便计算)；
公式 适用所有 2
2）求出b -4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解；
法 一元二次方程
2
3）如果b -4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：
−b±√b2−4ac
x= ；
2a
4）最后求出x ，x
1 2.
根的判别式 一般地，式子b2−4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 根的判别
式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ=b2−4ac.
Δ＞0 −b±√b2−4ac
方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实根:x=
根的情况 2a
与判别式
Δ=0 b
方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实根：x =x =−
的关系 1 2 2a
61关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
Δ＜0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实根
五、一元一次不等式（组）
步骤 具体做法 依据 注意事项
去分 在不等式两边都乘以各分母的 不等式性 1）不要漏乘不含分母的项；
母 最小公倍数 质2、3 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整
数，再去分母.
3）如果分子是多项式，去分母后要加括号.
去括 先去小括号，再去中括号，最 分配律 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一
号 后去大括号 去括号法 项;
则 2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各
项都要变号；
3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各
项都不变号.
移项 把含有未知数的项移到不等式 不等式性 1）移项时不要漏项;
左边，其它项都移到不等式右 质1 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号.
边 而在不等式同一边改变项的位置时不变号.
合并 把不等式变为axb(a≠0)的形式 项法则 2）系数的符号处理要得当.
项
系数 将不等式两边都除以未知数系 不等式性 1)不等式两边都除以未知数系数;
化为1 数a，得到不等式的解 质2、3 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变.
一、单选题
1 1
1．（2023·广东河源·统考三模）a、b为两个不等实数，a− =1，b− =1，则(a−1)(b−1)的值等于
a b
（ ）
62关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．−1 B．1 C．−2 D．2
【答案】A
1
【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是根据题意得：a，b是方程x− =1的两个根，即：
x
x2−x−1=0，根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=−1，代入代数式求值即可．
1
【详解】解：根据题意得：a，b是方程x− =1的两个根，
x
即：x2−x−1=0，
∴a+b=1，ab=−1，
∴原式=ab−(a+b)+1
=−1−1+1
=−1．
故选：A．
2 1
2．（2023·辽宁·模拟预测）解分式方程 = 时，将方程两边都乘同一个整式．得到一个一元一次方程，
x x−1
这个整式是（ ）
A．x B．x−1 C．x(x+1) D．x(x−1)
【答案】D
【分析】确定各分式的最简公分母，两边同时乘以最简公分母即可．
2 1
【详解】解：将 = 两边同时乘以x(x−1)即可得到一个一元一次方程，
x x−1
故选：D．
【点睛】本题考查解分式方程的步骤——化为整式方程，解题的关键是找到最简公分母．
3．（2023·浙江衢州·校考一模）若x、y是两个实数，且¿，则xy yx等于（ ）
9 16 8 9
A．− B．− C．− D．
8 27 9 8
【答案】C
【分析】根据x、y的取值范围，去绝对值符号并分别讨论求得方程组的解，再代入代数式计算求解即可．
【详解】解：当x≥0，y≥0时，原方程组为：¿，方程组无解；
当x≥0，y≤0时，原方程组为：¿，解得x=3，y=-2；
当x≤0，y≥0时，原方程组为：¿，方程组无解；
当x≤0，y≤0时，原方程组为：¿，方程组无解；
综上得，原方程组的解为：¿，
8
∴xy yx=3−2×(−2) 3=−
，
9
故答案选C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，涉及到绝对值计算，根据未知数的范围判断去绝对值后的符号是
63关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解此题的关键．
4．（2023·河北沧州·校考模拟预测）下列是解一元一次方程2(x+3)=5x的步骤：
2(x+3)=5x①2x+6=5x②2x−5x=−6③3x=−6④ x=−2
其中说法错误的是( )
→ → → →
A．①步的依据是乘法分配律 B．②步的依据是等式的性质1
C．③步的依据是加法结合律 D．④步的依据是等式的性质2
【答案】C
【分析】利用等式的基本性质即可判定对错．
【详解】解：解一元一次方程2(x+3)=5x的步骤：
2(x+3)=5x①2x+6=5x②2x−5x=−6③3x=−6④ x=−2
，
→ → → →
①步的依据是乘法分配律，说法正确；
②步的依据是等式的性质1，说法正确；
③步的依据是合并同类项的法则，原说法错误；
④步的依据是等式的性质2，说法正确．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握等式的基本性质是解本题的关键．
5．（2023·河北保定·统考模拟预测）已知数轴上两点A，B表示的数分别为a−2，1，那么关于x的不等式
(a−2)x+a>2的解集，下列说法正确的是（ ）
A．若点A在点B左侧，则解集为x<−1
B．若点A在点B右侧，则解集为x<−1
C．若解集为x<−1，则点A必在点B左侧
D．若解集为x<−1，则点A必在点B右侧
【答案】C
【分析】根据不等式的性质化简求值即可.
【详解】关于x的不等式(a−2)x+a>2化为(a−2)x>2−a，
当a−2<0时，解集为x<−1，
此时点A在原点左侧，
故A，B，D选项错误，
C选项正确，
故选C．
【点睛】此题考查了不等式性质，解题的关键是熟悉不等式的基本性质.
1 x
6．（2023·河北沧州·统考模拟预测）对于a、b定义a∗b= ，已知分式方程x∗(−1)= 的解满
a−b2 3−3x
足不等式(2−a)x−3>0，则a的取值范围是（ ）
A．a<1 B．a>1 C．a<3 D．a>3
【答案】D
64关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】根据新定义的含义，转化为分式方程，按照解分式方程的步骤求出x的值，把x的值代入不等式
中，解不等式即可．
1 x 1 x
【详解】解：根据新定义可得， = ，即 =− ，
x−(−1) 2 3−3x x−1 3(x−1)
去分母得：3=−x，
解得x=−3，
经检验x=−3是分式方程的解，
把x=−3代入不等式可得，−3(2−a)−3>0，
解得a>3．
故选D．
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，关键是理解新定义，并正确运算．
ax 12
7．（2023·河北沧州·校考模拟预测）“若关于x的方程 = +1无解，求a的值．”尖尖和丹丹
3x−9 3x−9
的做法如下（如图1和图2）：
下列说法正确的是（ ）
A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对
C．两人都错 D．两人的答案合起来才对
【答案】D
【分析】根据分式方程无解情况①去分母后方程无解，②解出的解是增根，两类讨论即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
去分母可得，ax=12+3x−9，
移项合并同类项得，
(a−3)x=3，
当a−3=0时，即a=3时方程无解，
3
当a−3≠0时，即a≠3时，x= ，
a−3
65关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
ax 12
∵方程 = +1无解，
3x−9 3x−9
3
即x= 是方程的增根，可得：3x−9=0，解得：x=3，
a−3
3
∴3= ，解得：a=4，
a−3
故选D；
【点睛】本题考查分式方程无解的情况，解题的关键是熟练掌握分式方程无解情况①去分母后方程无解，
②解出的解是增根．
1
8．（2023·河北沧州·统考三模）知A=a+ ，下列结论正确的是（ ）
a+2
A．当a=−2时，A的值是−2 B．当a=−3时，A的值是−2
C．当a>−2时，A的最小值为0 D．若A的值是2，则a=√3
【答案】C
(a+1) 2
【分析】根据分式无意义的条件可判断A，把a=−3代入原分式计算可判断B，把原式化为A= 的
a+2
1
形式，结合完全平方式和已知条件即可判断C，解方程a+ =2，求出a即可判断D，即可得出答案.
a+2
【详解】解：A、当a=−2时，a+2=0，分式无意义，故本选项结论错误；
1 1
B、当a=−3时，A=a+ =−3+ =−4，故本选项结论错误；
a+2 −3+2
1 a2+2a+1 (a+1) 2
C、当a>−2时，A=a+ = = ≥0，∴当a=−1时，A的最小值为0，故本选项结论
a+2 a+2 a+2
正确；
1
D、若A的值是2，则a+ =2，解得a=±√3，故本选项结论错误；
a+2
故选：C.
【点睛】本题是分式的综合题，主要考查了分式无意义的条件、分式方程的求解、分式的运算等知识，熟
练掌握分式的相关知识、准确计算是解题的关键.
二、填空题
9．（2023·河南信阳·校考三模）小明在解方程x2−3x+2=0时，发现用配方法和公式法计算量都比较大，
因此他又想到了另外一种方法，快速解出了答案：
方法如下：
x2−3x+2=0
x2−2x−x+2=0 第①步
x2−2x=x−2 第②步
x(x−2)=x−2 第③步
x=1 第④步
66关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
老师看到后，夸小明很聪明，方法很好，但是有一步做错了，请问小明出错的步骤为 （填序号）．
【答案】④
【分析】由x(x−2)=x−2，(x−1)(x−2)=0，解得x=1或x=2，进而判断作答即可．
【详解】解：x(x−2)=x−2，
(x−1)(x−2)=0，
解得x=1或x=2，
∴第④步错误，
故答案为：④．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于正确的解一元二次方程．
x2−2 1
10．（2022·河北唐山·统考二模）已知两分式 x+1 x+1 中间阴影覆盖了运算符号．
（1）若覆盖了“＋”，其运算结果为 ；
（2）若覆盖了“÷”，并且运算结果为1，则x的值为 ．
【答案】 x−1 ±√3
【分析】根据分式的加法与解分式方程分别计算即可求解．
x2−2 1 x2−2+1 (x+1)(x−1)
【详解】（1） + = = =x−1；
x+1 x+1 x+1 x+1
x2−2 1
（2） ÷ =1，
x+1 x+1
x2−2 x+1
× =1；
x+1 1
x2−2=1，
∴x=±√3，
经检验x=±√3是原方程的解，
故答案为：x−1，±√3．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，正确的计算是解题的关键．
11．（2022·河南·校联考模拟预测）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，则关于x的不等式组¿
的解集是 ．
【答案】x2(x+2)，请你写出一个不等式______，使它与
已知不等式组成的不等式组的解集为−12(x+2)的解集为x>−1，再根据不等式组的解集为−12(x+2)，得x>−1，
∵不等式组的解集为−1
