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热点 02 方程（组）与不等式（组）
中考数学中《方程（组）与不等式（组）》部分主要考向分为四类：
一、一元一次方程与二元一次方程（组）（每年2~4道，8~14分）
二、一元二次方程（每年1~2道，3~8分）
三、分式方程（每年1~3题，3~12分）
四、不等式（组）（每年2~4题，8~18分）
方程（组）与不等式（组）在数学中考中的难度中等，题型比较多，选择题、填空题、解答题都可以
考察。其中，一元一次方程与二元一次方程（组）是比较接近的两个考点，出题一般都只有 1题，一元一
次方程多考察其在实际问题中的应用，多为选择题；二元一次方程组则以计算和应用题为主占分较多。一
元二次方程单独出题时多考察其根的判别式、根与系数的关系以及在实际问题中提炼出一元二次方程；一
元二次方程的计算则主要出现在几何大题中，辅助解压轴题。分式方程的考察内容不多，但基本属于必考
考点，可以是一道小题考察其解法，也可以是应用题。不等式组是这四个考点中占分最多的一个，考察难
度也是可大可小，其解法、含参数的不等式组问题、和方程结合的应用题都经常考到。虽然该热点难度中
等，一般不会失分，但是组合出题时，难度也可以变大，复习时需要特别注意。
考向一：一元一次方程与二元一次方程组
【题型1 实际问题抽象出一元一次方程】
满分技巧
1、解一元一次方程应用题，遵循5个步骤，其各个步骤的注意事项如下：
步骤 要点
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“审”（即审题） “审”题目中的已知量、未知量、基本关系；
“设”（即设未知数） 一般原则是：问什么就设什么；或未知量较多时，设较小的量，表示
较大的量
“列”【即列方程】 找准题目中的等量关系，根据等量关系列出方程
“解”【即解方程】 根据一次方程（组）的解法解出方程，注意解方程的过程不需要在解
答中体现
“验”（即检验） 检验分两步，一是检验方程是否解正确；二是检验方程的解是否符合
非题目要求，此步可以不写 题意
“答”（即写出答案） 最后的综上所述
2、中考中对于一元一次方程的应用题并不会考这么多，多以选择题出题，也就只考到列方程这步就可
以了。
1．（2023•连云港）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马
日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天
行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（ ）
A． ＝ B． ＝ ﹣12
C．240（x﹣12）＝150x D．240x＝150（x+12）
【分析】由慢马先行12天，可得出快马追上慢马时慢马行了（x+12）天，利用路程＝速度×时间，结合
快马追上慢马时快马和慢马行过的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：∵慢马先行12天，快马x天可追上慢马，
∴快马追上慢马时，慢马行了（x+12）天．
根据题意得：240x＝150（x+12）．
故选：D．
2．（2023•丽水）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．
今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤
等于16两）．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 斤．
【分析】可设原有生丝为x斤，根据比值是一定的，列出方程计算即可求解．
【解答】解：设原有生丝为x斤，
x：12＝30：（30﹣3 ），
解得x＝ ．
故原有生丝为 斤．
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故答案为： ．
3．（2023•陕西）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元．已知她买
的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价．
【分析】设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，根据买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，
共用了62元，得4x+6（x﹣3）＝62，即可解得答案．
【解答】解：设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则小笔记本的单价是（x﹣3）元，
∵买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元，
∴4x+6（x﹣3）＝62，
解得：x＝8；
答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元．
【题型2 二元一次方程组的解法相关】
满分技巧
解二元一次方程组有2种方法——带入消元法和加减消元法
不管是带入法还是加减法，目的都在于利用等式的基本性质将二元一次方程组转化为一元一次方程，所
以做题中也必须注意一元一次方程解法的易错点。
1．（2023•河南）方程组 的解为 ．
【分析】利用加减消元法求解或代入消元法求解都比较简便．
【解答】解： ，
①+②，得4x+4y＝12，
∴x+y＝3③．
①﹣③，得2x＝2，
∴x＝1．
②﹣①，得2y＝4，
∴y＝2．
∴原方程组的解为 ．
故答案为： ．
2．（2023•常德）解方程组： ．
【分析】利用加减消元法求解即可．
【解答】解：①×2+②得：5x＝25，
解得：x＝5，
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将x＝5代入①得：5﹣2y＝1，
解得：y＝2，
所以原方程组的解是 ．
【题型3 二元一次方程组的应用】
满分技巧
二元一次方程组的应用题解决步骤同一元一次方程应用题解题步骤及注意事项差不多，审题和找等量关
系都是方程类应用题解题的关键。通常难度不大，个别时候，二元一次方程组的应用题也可以用一元一
次方程来解。
1．（2023•绍兴）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、
小器各容几何？”译文：今有大容器 5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器
1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为 x斛，小
容器的容量为y斛，则可列方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”，
列出关于x、y的二元一次方程组即可．
【解答】解：由题意得： ，
故选：B．
2．（2023•巴中）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装
盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，
或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个
数为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【分析】设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为2x个，底面的数量为3y个，
然后根据等量关系：底面数量＝侧面数量的2倍，列出方程组即可．
【解答】解：设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，
由题意得， ，
解得 ，
∴用6张卡纸做侧面，用8张卡纸做底面，则做出侧面的数量为12个，底面的数量为24个，这些卡纸
最多可以做成包装盒的个数为12个．
故选：C．
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3．（2023•张家界）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，
但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙
两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量 45 60
（人/辆）
租金（元/辆） 200 300
（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
【分析】（1）本题中的等量关系为：45×45座客车辆数+15＝师生总数，60×（45座客车辆数﹣3）＝师
生总数，据此可列方程组求出第一小题的解；
（2）需要分别计算45座客车和60座客车各自的租金，比较后再取舍．
【解答】解：（1）设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车．
根据题意，得 ，
解得 ．
答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车；
（2）租45座客车：600÷45≈14（辆），所以需租14辆，租金为200×14＝2800（元），
租60座客车：600÷60＝10（辆），所以需租10辆，租金为300×10＝3000（元），
∵2800＜3000，
∴租用14辆45座客车更合算．
考向二：一元二次方程
【题型4 一元二次方程根的判别式】
满分技巧
对于一元二次方程的一般形式： ，
(1) 方程有两个不相等的实数根
(2) 方程有两个相等的实数根
(3) 方程没有实数根
注意：在应用根的判别式时，若二次项系数中含有字母，注意二次项系数不为0这一条件；
当 时，可得方程有两个实数根，相等不相等未知
1．（2023•河南）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
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C．只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可．
【解答】解：∵Δ＝m2﹣4×1×（﹣8）＝m2+32＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
2．（2023•北京）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．﹣9 B． C． D．9
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac，建立关于m的等式，即可
求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4m＝0，
解得m＝ ．
故选：C．
3．（2023•济南）关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有实数根，则a的值可以是 1 （写出一个即
可）．
【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0求出a的范围，写出一个即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有实数根，
∴Δ＝16﹣8a≥0，
解得：a≤2，
则a的值可以是1．
故答案为：1．
【题型5 一元二次方程根与系数的关系】
满分技巧
若一元二次方程 的两个根为 ，则有 ，
当问题中出现“方程的两个根是……”时，通常就要想其根与系数的关系了，若不能直接利用原公式，
则结合完全公式，想其常用变形：
1．（2023•天津）若x ，x 是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（ ）
1 2
A．x +x ＝6 B．x +x ＝﹣6 C．x x ＝ D．x x ＝7
1 2 1 2 1 2 1 2
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【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行判断即可．
【解答】解：∵x ，x 是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，
1 2
∴x +x ＝6，x x ＝﹣7，
1 2 1 2
故选：A．
2．（2023•菏泽）一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根为x ，x ，则 的值为（ ）
1 2
A． B．﹣3 C．3 D．
【分析】直接根据根与系数的关系得出x +x 、x x 的值，再代入计算即可．
1 2 1 2
【解答】解：∵一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝﹣3；x x ＝﹣1．
1 2 1 2
∴
＝
＝
＝3．
故选：C．
3．（2023•宜昌）已知x ，x 是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，则代数式 的值为 1 ．
1 2
【分析】利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，把两根之和与两根之积代入即可求出值．
【解答】解：∵x ，x 是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，
1 2
∴x +x ＝ ，x x ＝ ，
1 2 1 2
∴ ＝ ＝1．
故答案为：1．
4．（2023•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若x ，x 是方程的两个实数根，且 + ＝﹣ ，求m的值．
1 2
【分析】（1）由判别式Δ＝（4m﹣1）2≥0，可得答案；
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（2）根据根与系数的关系知x +x ＝2m﹣1，x x ＝﹣3m2+m，由 + ＝﹣ 进行变形直接代入得到
1 2 1 2
5m2﹣7m+2＝0，求解可得．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣3m2+m）
＝4m2﹣4m+1+12m2﹣4m
＝16m2﹣8m+1
＝（4m﹣1）2≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解：由题意知，x +x ＝2m﹣1，x x ＝﹣3m2+m，
1 2 1 2
∵ + ＝ ＝ ＝﹣ ，
∴ ，整理得5m2﹣7m+2＝0，
解得m＝1或m＝ ．
【题型6 一元二次方程的解法】
满分技巧
一元二次方程的解法有4种，重点记忆配方法、因式分解法、公式法。
其中注意事项：
配方法——需要加上的数字是一次项系数一半的平方（ 的系数为1），并且先移项，再配方；
因式分解法——重点掌握十字相乘法（常用公式：
）；
公式法——使用这种解法，必须先分析a、b、c的值，求出 的值，再带入公式
1．（2023•新疆）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
x2﹣6x＝﹣8，
x2﹣6x+9＝﹣8+9，
（x﹣3）2＝1，
故选：D．
2．（2023•台湾）利用公式解可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，求a值为何
（ ）
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A． B． C． D．
【分析】利用公式法即可求解．
【解答】解：3x2﹣11x﹣1＝0，
这里a＝3，b＝﹣11，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣11）2﹣4×3×（﹣1）＝133＞0，
∴x＝ ＝ ，
∵一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，
∴a的值为 ．
故选：D．
3．（2023•齐齐哈尔）解方程：x2﹣3x+2＝0．
【分析】把方程的左边利用十字相乘法因式分解为（x﹣1）（x﹣2），再利用积为0的特点求解即可．
【解答】解：∵x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，
∴x ＝1，x ＝2．
1 2
【题型7 一元二次方程的应用】
满分技巧
解题步骤依然遵循——审、设、列、解、答。
应用题中解出方程的解一般都有2个，做题时注意区分是否都可取，不符合题意的答案需舍去。
1．（2023•衢州）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x
人，则可得到方程（ ）
A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36
C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染
了x人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方
程：1+x+x（1+x）＝36．
【解答】解：由题意得：1+x+x（1+x）＝36，
故选：C．
2．（2023•黑龙江）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部
分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（ ）
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A．5m B．70m C．5m或70m D．10m
【分析】设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为（100﹣2x）m，宽为（50﹣2x）m的矩形，根据
花圃的面积是3600m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为（100﹣2x）m，宽为（50﹣2x）m的矩形，
根据题意得：（100﹣2x）（50﹣2x）＝3600，
整理得：x2﹣75x+350＝0，
解得：x ＝5，x ＝70（不符合题意，舍去），
1 2
∴小路的宽是5m．
故选：A．
3．（2023•东营）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈
ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）根据BC＝栅栏总长﹣2AB，再利用矩形面积公式即可求出；
（2）把S＝650代入x（72﹣2x）中函数解析式中，解方程，取在自变量范围内的值即可．
【解答】解：（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m．
根据题意，得x（72﹣2x）＝640，
化简，得 x2﹣36x+320＝0，
解得 x ＝16，x ＝20，
1 2
当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40（m），
当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32（m）．
答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2 的羊圈；
（2）答：不能，
理由：由题意，得x（72﹣2x）＝650，
化简，得 x2﹣36x+325＝0，
Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到 650m2．
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考向三：分式方程
【题型8 解分式方程的步骤】
满分技巧
1、解分式方程基本步骤：①去分母；②解整式方程；③验根
2、分式方程的增根：使分式方程分母=0的未知数的值；
3、分式方程会无解的几种情况
①解出的x的值是增根，须舍去，无解
②解出的x的表达式中含参数，而表达式无意义，无解
③同时满足①和②，无解
4、求有增根分式方程中参数字母的值的一般步骤：
①让最简公分母为 0 确定增根；
②去分母，将分式方程转化为整式方程；
③将增根带入（当有多个增根时，注意分类，不要漏解）；
④解含参数字母的方程的解。
1．（2023•大连）解方程 去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（ ）
A．1+3＝3x（1﹣x） B．1+3（x﹣1）＝﹣3x
C．x﹣1+3＝﹣3x D．1+3（x﹣1）＝3x
【分析】根据分式方程的解法，两侧同乘（x﹣1）化简分式方程即可．
【解答】解：分式方程的两侧同乘（x﹣1）得：1﹣3（x﹣1）＝﹣3x．
故选：B．
2．（2023•北京）方程 的解为 x ＝ 1 ．
【分析】依据题意，由分式方程的解法即可得解．
【解答】解：方程两边同时乘以2x（5x+1）得，
3×2x＝5x+1，
∴x＝1．
检验：把x＝1代入2x（5x+1）＝12≠0，且方程左边＝右边．
∴原分式方程的解为x＝1．
3．（2023•巴中）关于x的分式方程 + ＝3有增根，则m＝ ﹣ 1 ．
【分析】先去分母，再根据增根的意义列方程求解．
【解答】解：方程两边同乘（x﹣2）得：x+m﹣1＝3（x﹣2），
由题意得：x＝2是该整式方程的解，
∴2+m﹣1＝0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
4．（2023•陕西）解方程： ．
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【分析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
【解答】解：原方程两边同乘x（x+5）去分母得：2x2﹣x（x+5）＝（x+5）2，
去括号得：2x2﹣x2﹣5x＝x2+10x+25，
移项，合并同类项得：﹣15x＝25，
解得：x＝﹣ ，
经检验，x＝﹣ 是分式方程的解，
故原方程的解为：x＝﹣ ．
【题型9 分式方程应用题】
满分技巧
列分式方程解应用题的一般步骤：
①审， ②设， ③列， ④解， ⑤验， ⑥答
其中，检验这一步必须有!
1．（2023•绵阳）随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘新购买
的新能源车，去相距180km的古镇旅行，原计划以速度v km/h匀速前行，因急事以计划速度的1.2倍匀
速行驶，结果就比原计划提前了0.5h到达，则原计划的速度v为 6 0 km/h．
【分析】根据比原计划提前了0.5h到达列方程，即可解得答案．
【解答】解：根据题意得： ＝ +0.5，
解得v＝60，
经检验，v＝60是原方程的解，
∴原计划的速度v为60km/h；
故答案为：60．
2．（2023•乐山）为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定
时间内种植梨树6000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了
20%，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？
【分析】设原计划每天种植梨树x棵，则实际每天种植梨树（1+20%）x棵，利用工作时间＝工作总量÷
工作效率，结合实际比原计划提前2天完成任务，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出
结论．
【解答】解：设原计划每天种植梨树x棵，则实际每天种植梨树（1+20%）x棵，
根据题意得： ﹣ ＝2，
解得：x＝500，
经检验，x＝500是所列方程的解，且符合题意．
答：原计划每天种植梨树500棵．
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3．（2023•贵州）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，
需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生产x件产品．解答
下列问题：
（1）更新设备后每天生产 1.2 5 x 件产品（用含x的式子表示）；
（2）更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多
少件产品．
【分析】（1）根据“更新设备后生产效率比更新前提高了25%“列代数式即可；
（2）根据题意列分式方程，解方程即可．
【解答】解：（1）更新设备前每天生产 x 件产品，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，
更新设备后每天生产产品数量为：（1+25%） x＝1.25x（件），
故答案为：1.25x；
（2）由题意知： ﹣2＝ ，
去分母，得6250﹣2.5x＝6000，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是所列分式方程的解，
1.25×100＝125（件）．
答：更新设备后每天生产125件产品．
考向四：一元一次不等式组
【题型10 解一元一次不等式组】
满分技巧
一元一次不等式组的解法中，同除以一个负数时，不要忘记改变不等号的方向，同除一个分数时，不要
除反了。
1．（2023•沈阳）不等式x≥1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法表示不等式x≥1的解集即可．
【解答】解：不等式x≥1的解集在数轴上表示为：
故选：B．
2．（2023•安徽）在数轴上表示不等式 ＜0的解集，正确的是（ ）
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A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解： ＜0，
x﹣1＜0，
x＜1，
在数轴上表示为 ，
故选：A．
3．（2023•盐城）解不等式2x﹣3＜ ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为 1，求出不等式的解集，再在数轴上表示
出来即可．
【解答】解：先去分母，得3（2x﹣3）＜x﹣4，
去括号，得6x﹣9＜x﹣4，
移项合并同类项，得5x＜5，
系数化为1，得x＜1
∴原不等式的解集为：x＜1．
在数轴上表示为：
4．（2023•宁夏）解不等式组 ．
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
4﹣2（2x﹣1）＞3x﹣1…第1步
4﹣4x+2＞3x﹣1…第2步
﹣4x﹣3x＞﹣1﹣4﹣2
﹣7x＞﹣7…第3步
x＞1…第4步
任务一：该同学的解答过程第 4 步出现了错误，错误原因是 不等式的基本性质 3 应用错误 ；
不等式①的正确解集是 x ＜ 1 ；
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任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
【分析】任务一：根据解不等式的基本步骤解答即可；
任务二：先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可．
【解答】解：任务一：4，不等式的基本性质3应用错误，x＜1；
任务二：﹣3x+x≤4﹣2，
﹣2x≤2，
x≥﹣1，
∴该不等式组的解集为﹣1≤x＜1．
5．（2023•兰州）解不等式组： ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小
找不到确定不等式组的解集．
【解答】解： ，
由①得：x＞3，
由②得：x＜4，
则不等式组的解集为3＜x＜4．
【题型11 含参数类不等式组整数解问题】
满分技巧
方法步骤总结：
① 解出不等式（组）的解集——用含参数的表达式表示；
② 根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间；
③ 由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”。（不等式组
则由解集的判断口诀来决定哪边界可以取“=”）；
④ 解出参数所在不等式（组）的解集，得参数字母的值或范围。
1．（2023•绵阳）关于x的不等式组 有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（
）
A．11 B．15 C．18 D．21
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式有且只有两个整数解确定出m的取值，求出整数m的值，
进而求出和．
【解答】解：解不等式3x+2＞m，得x＞ ，
解不等式 ≤1，得x≤3，
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∵不等式组有且只有两个整数解，
∴1≤ ＜2，
∴5≤m＜8，
∴整数m的取值为5，6，7，
∴所有整数m的和5+6+7＝18．
故选：C．
2．（2023•凉山州）不等式组 的所有整数解的和是 7 ．
【分析】求出不等式组的解集，确定出整数解，求出之和即可．
【解答】解： ，
解不等式①得：x＞ ，
解不等式②得x≤4，
∴不等式组的解集为﹣ ＜x≤4，
由x为整数，可取﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
则所有整数解的和为7，
故答案为：7．
【题型12 一元一次不等式（组）应用题】
满分技巧
一元一次不等式（组）应用题的解法步骤：审，设，列，解，答。
审题过程中，找不等量关系时，多注意“不超过”、“低于”、“不少于”等不等量关系的词语；不等
式组的应用题也常和方程结合，不等式的解作为方案类问题选择的范围，取整后得到对应方案。
1．（2023•赤峰）某集团有限公司生产甲乙两种电子产品共 8万件，准备销往东南亚国家和地区．已知 2
件甲种电子产品与3件乙种电子产品的销售额相同；3件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售额多
1500元．
（1）求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各多少元？
（2）若使甲乙两种电子产品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种电子产品多少件？
【分析】（1）设甲种电子产品的销售单价是x元，乙种电子产品的销售单价是y元，根据“2件甲种电
子产品与3件乙种电子产品的销售额相同；3件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售额多1500元”，
可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设销售甲种电子产品m万件，则销售乙种电子产品（8﹣m）万件，利用销售总额＝销售单价×销
售数量，结合销售总额不低于5400万元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即
可得出结论．
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【解答】解：（1）设甲种电子产品的销售单价是x元，乙种电子产品的销售单价是y元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：甲种电子产品的销售单价是900元，乙种电子产品的销售单价是600元；
（2）设销售甲种电子产品m万件，则销售乙种电子产品（8﹣m）万件，
根据题意得：900m+600（8﹣m）≥5400，
解得：m≥2，
∴m的最小值为2．
答：至少销售甲种电子产品2万件．
2．（2023•怀化）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客 45人的A种客车若干辆，则有30人没有座
位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．
（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？
（2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几
种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最
合算？
【分析】（1）设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了（45x+30）人，根据这次去研学的人数不
变，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25﹣y）辆，根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于
1200人，且租用的B种客车不超过7辆”，可得出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范
围，再结合y为正整数，即可得出各租车方案；
（3）利用总租金＝每辆A种客车的租金×租用A种客车的辆数+每辆B种客车的租金×租用B种客车的
辆数，可分别求出选择各方案所需总租金，比较后，即可得出结论．
【解答】解：（1）设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了（45x+30）人，
根据题意得：45x+30＝60（x﹣6），
解得：x＝26，
∴45x+30＝45×26+30＝1200．
答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人；
（2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25﹣y）辆，
根据题意得： ，
解得：5≤y≤7，
又∵y为正整数，
∴y可以为5，6，7，
∴该学校共有3种租车方案，
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方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车；
方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车；
方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车；
（3）选择方案1的总租金为300×5+220×20＝5900（元）；
选择方案2的总租金为300×6+220×19＝5980（元）；
选择方案3的总租金为300×7+220×18＝6060（元）．
∵5900＜5980＜6060，
∴租用5辆B种客车，20辆A种客车最合算．
3．（2023•黑龙江）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某
中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，
每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相
同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求
有几种购买方案？
（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发
现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
【分析】（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，利用数量＝总价÷单价，结合用
500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，
可得出B款文化衫的单价，再将其代入（x+10）中，可求出A款文化衫的单价；
（2）设购买y件A款文化衫，则购买（300﹣y）件B款文化衫，利用总价＝单价×数量，结合总价不多
于14800元且不少于14750元，可列出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合
y为正整数，即可得出共有6种购买方案；
（3）设购买300件两款文化衫所需总费用为w元，利用总价＝单价×数量，可得出w关于y的函数关系
式，由（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同（即w的值与y值无关），利用一次函数的性质，可
得出m﹣5＝0，解之即可得出m的值．
【解答】解：（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，
根据题意得： ＝ ，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴x+10＝40+10＝50．
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
（2）设购买y件A款文化衫，则购买（300﹣y）件B款文化衫，
根据题意得： ，
解得：275≤y≤280，
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又∵y为正整数，
∴y可以为275，276，277，278，279，280，
∴共有6种购买方案；
（3）设购买300件两款文化衫所需总费用为w元，则w＝50×0.7y+（40﹣m）（300﹣y）＝（m﹣5）
y+300（40﹣m），
∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，
∴w的值与y值无关，
∴m﹣5＝0，
∴m＝5．
答：m的值为5．
（建议用时：35分钟）
1．（2023•淄博）已知x＝1是方程 的解，那么实数m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【分析】将x＝1代入原方程即可求出m的值．
【解答】解：将x＝1代入方程，得： ﹣ ＝3，
解得：m＝2．
故选：B．
2．（2023•南通）若实数x，y，m满足x+y+m＝6，3x﹣y+m＝4，则代数式﹣2xy+1的值可以是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【分析】结合已知条件解含参的二元一次方程组，然后代入﹣2xy+1中确定其取值即可．
【解答】解：由题意可得 ，
解得： ，
则﹣2xy+1
＝﹣2× × +1
＝﹣ +1
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＝﹣ +1
＝﹣ +1
＝﹣ + ≤ ，
∵3＞ ＞2＞ ，
∴A，B，C不符合题意，D符合题意，
故选：D．
3．（2023•青海）为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学
校15km的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了30min后，其余师生乘汽车出发，结果他们
同时到达．已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为x km/h．根据题意，下列方程
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先根据题意得汽车的速度是2x km/h，再将30min转化为 h，然后根据“同时到达”列出方
程即可得出答案．
【解答】解：∵骑车师生的速度为x km/h，汽车的速度是骑车师生速度的2倍，
∴汽车的速度是2x km/h，
又∵30min＝ h，
∴ ．
故选：B．
4．（2023•广州）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
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【解答】解： ，
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜3，
∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：B．
5．（2023•齐齐哈尔）如果关于x的分式方程 的解是负数，那么实数m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0
C．m＞﹣1 D．m＜﹣1且m≠﹣2
【分析】解含参的分式方程，结合已知条件及分式有意义的条件求得m的取值范围即可．
【解答】解：将分式方程两边同乘（x+1），去分母可得：2x﹣m＝x+1，
移项，合并同类项得：x＝m+1，
∵原分式方程的解是负数，
∴m+1＜0，且m+1+1≠0，
解得：m＜﹣1且m≠﹣2，
故选：D．
6．（2023•吉林）一元二次方程x2﹣5x+2＝0根的判别式的值是（ ）
A．33 B．23 C．17 D．
【分析】根据一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac即可求出值．
【解答】解：x2﹣5x+2＝0，
∵a＝1，b＝﹣5，c＝2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×2＝25﹣8＝17．
故选：C．
7．（2023•泸州）关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．实数根的个数与实数a的取值有关
【分析】先计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式得结论．
【解答】解：∵Δ＝（2a）2﹣4×1×（a2﹣1）
＝4a2﹣4a2+4
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＝4＞0．
∴关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：C．
8．（2023•成都）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个
题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用
一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？
设木长x尺，则可列方程为（ ）
A． （x+4.5）＝x﹣1 B． （x+4.5）＝x+1
C． （x+1）＝x﹣4.5 D． （x﹣1）＝x+4.5
【分析】设木长x尺，根据题意列出方程解答即可．
【解答】解：设木长x尺，根据题意可得：
，
故选：A．
9．（2023•日照）若关于x的方程 ﹣2＝ 的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣ B．m＜
C．m＞﹣ 且m≠0 D．m＜ 且m≠
【分析】先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出m的取值范围．
【解答】解： ﹣2＝ ，
去分母得，2x﹣4（x﹣1）＝3m，
整理得，2x﹣4x+4＝3m，
解得，x＝ ，
∵分式方程的解为正数，
∴4﹣3m＞0且 ，
∴m＜ 且m≠ ．
故选：D．
10．（2023•锦州）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k≤ C．k＜ 且k≠0 D．k≤ 且k≠0
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【分析】根据一元二次方程的定义，得k≠0，根据方程有两个实数根，得出Δ≥0，求出k的取值范围
即可得出答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0，
∴k≠0，
∵方程有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4k×3≥0，
解得k≤ ，
∴k的取值范围是k≤ 且k≠0，
故选：D．
11．（2023•眉山）已知关于 x，y 的二元一次方程组 的解满足 x﹣y＝4，则 m 的值为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】把方程组的两个方程相减得到2x﹣2y＝2m+6，结合x﹣y＝4，得到m的值．
【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组为 ，
①﹣②，得：
2x﹣2y＝2m+6，
∴x﹣y＝m+3，
∵x﹣y＝4，
∴m+3＝4，
∴m＝1．
故选：B．
12．关于x的不等式组 的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ）
A．﹣5≤m＜﹣4 B．﹣5＜m≤﹣4 C．﹣4≤m＜﹣3 D．﹣4＜m≤﹣3
【分析】先解不等式组，再根据仅有4个整数解得出m的不等式组，再求解．
【解答】解：解不等式组得：m+3＜x＜3，
由题意得：﹣2≤m+3＜﹣1，
解得：﹣5≤m＜﹣4，
故选：A．
13．（2023•重庆）若关于x的不等式组 的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程 + ＝
2的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 1 3 ．
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【分析】先通过不等式组的解确定a的范围，再根据分式方程的解求a值即可得出答案．
【解答】解：解不等式组 ，
得： ，
∵原不等式组的解集为：x＜﹣2，
∴﹣ ≥﹣2，
∴a≤5，
解分式方程 + ＝2，
得y＝ ，
∵y＞0且y≠1，
∴ ＞0且 ≠1，
∴a＞﹣2且a≠1，
∴﹣2＜a≤5，且a≠1，
∴符合条件的整数a有：﹣1，0，2，3，4，5，
∴﹣1+0+2+3+4+5＝13．
故答案为：13．
14．（2023•眉山）已知方程x2﹣3x﹣4＝0的根为x ，x ，则（x +2）•（x +2）的值为 6 ．
1 2 1 2
【分析】直接利用根与系数的关系作答．
【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣4＝0的根为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝3，x •x ＝﹣4，
1 2 1 2
∴（x +2）•（x +2）＝x •x +2x +2x +4＝﹣4+2×3+4＝6．
1 2 1 2 1 2
故答案为：6．
15．（2023•娄底）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2+ ＝ 6 ．
【分析】把m代入x2﹣2x﹣1＝0得到m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣1＝2m，把m2﹣1＝2m代入变形后的式子
计算即可．
【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣1＝2m，
∴m2+
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＝（m﹣ ）2+2
＝（ ）2+2
＝22+2
＝6．
故答案为：6．
16．（2023•山西）解方程： ．
【分析】由题意，根据分式方程的解题步骤先找出最简公分母，化为整式方程，解方程后检验即可得结
果．
【解答】解：由题意得最简公分母为2（x﹣1），
∴原方程可化为：
2+2x﹣2＝3．
∴x＝ ．
检验：把x＝ 代入2（x﹣1）＝1≠0，且原方程左边＝右边．
∴原方程的解为x＝ ．
17．（2023•无锡）（1）解方程：x2﹣2x﹣4＝0；
（2）解不等式组： ．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣1）2＝5，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先分别解两个不等式得到x≤﹣1和x＜1，然后利用同小取小得到不等式组的解集．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣4＝0，
x2﹣2x＝4，
x2﹣2x+1＝5，
（x﹣1）2＝5，
x﹣1＝± ，
所以x ＝1+ ，x ＝1﹣ ；
1 2
（2） ，
解不等式①得x≤﹣1，
解不等式②得x＜1，
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所以不等式组的解集为x≤﹣1．
18．（2023•湖北）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．
【分析】（1）要证明方程都有两个不相等的实数根，即证明Δ＝b2﹣4ac＞0即可；
（2）利用根与系数的关系得a+b＝2m+1，ab＝m2+m，再将（2a+b）（a+2b）＝20变形可得2（a+b）
2+ab＝20，将a+b，ab的代入可得关于m的一元二次方程，求解即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）
＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m
＝1＞0，
∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的两个实数根为a，b，
∴a+b＝ ＝2m+1，ab＝ ＝m2+m，
∵（2a+b）（a+2b）
＝2a2+4ab+ab+2b2
＝2（a2+2ab+b2）+ab
＝2（a+b）2+ab，
∴2（a+b）2+ab＝20，
∴2（2m+1）2+m2+m＝20，
整理得：m2+m﹣2＝0，
解得：m ＝﹣2，m ＝1，
1 2
∴m的值为﹣2或1．
19．（2023•宁夏）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营
者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30
个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．
（1）求两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲： ＝ +30，解得x＝5，经检验x＝5是原方程的解．
乙： ＝1.6× ，解得x＝65，经检验x＝65是原方程的解．
则甲所列方程中的x表示 B 型玩具的单价 ，乙所列方程中的x表示 A 型玩具的数量
（2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多
少个？
【分析】（1）根据所列方程即可判断出x的意义；
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（2）设可购进A型玩具a个，则8a+5（200﹣a）≤1350，解不等式即可得出答案．
【解答】解：（1）根据所列方程即可知，甲所列方程中的x表示B型玩具的单价；乙所列方程中的x
表示A型玩具的数量；
故答案为：B型玩具的单价；A型玩具的数量；
（2）设可购进A型玩具a个，则B型玩具（200﹣a）个，
根据题意得：8a+5（200﹣a）≤1350，
a≤116 ，
∴整数a最大值是116，
答：最多可购进A型玩具116个．
20．（2023•烟台）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》
是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的 ，
用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
（1）求两种图书的单价分别为多少元？
（2）为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》
数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种
图书分别购买多少本时费用最少？
【分析】（1）设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是 x元，利用数量＝总价÷单价，
结合用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本，可得出关于x的分式方程，解之经检验
后，可得出《周髀算经》的单价，再将其代入 x中，即可求出《孙子算经》的单价；
（2）设购买m本《孙子算经》，则购买（80﹣m）本《周髀算经》，根据购买的《周髀算经》数量不
少于《孙子算经》数量的一半，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购买
这两种图书共花费w元，利用总费用＝单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的
性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是 x元，
根据题意得： ﹣ ＝5，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴ x＝ ×40＝30．
答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元；
（2）设购买m本《孙子算经》，则购买（80﹣m）本《周髀算经》，
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根据题意得：80﹣m≥ m，
解得：m≤ ．
设购买这两种图书共花费w元，则w＝30×0.8m+40×0.8（80﹣m），
∴w＝﹣8m+2560，
∵﹣8＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤ ，且m为正整数，
∴当m＝53时，w取得最小值，此时80﹣m＝80﹣53＝27．
答：当购买53本《孙子算经》、27本《周髀算经》时，总费用最少．
21．（2023•通辽）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每
天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．
（1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，
满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．
【分析】（1）设每台A型机器每天搬运货物x吨，则每台B型机器每天搬运货物（x+10）吨，根据“A
型机器人每天搬运540吨货物与B型机器每天搬运600吨货物所需台数相同”列方程即可得解；
（2）先根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再根据题意列出一次函数解
析式，利用次函数的性质，即可求出答案．
【解答】解：（1）设每台A型机器每天搬运货物x吨，则每台B型机器每天搬运货物（x+10）吨，
由题意得： ，
解得：x＝90，
当x＝90时，x（x+10）≠0，
∴x＝90是分式方程的根，
∴x+10＝90+10＝100，
答：每台A型机器每天搬运货物90吨，每台B型机器每天搬运货物100吨；
（2）设购买A型机器m台，购买总金额为w万元，
由题意得： ，
解得：10≤m≤12，
w＝1.5m+2（30﹣m）＝﹣0.5m+60；
∵﹣0.5＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝12时，w最小，此时w＝﹣0.5×12+60＝54，
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∴购买A型机器12台，B型机器18台时，购买总金额最低是54万元．
（建议用时：45分钟）
1．（2024•柳州一模）方程x2﹣4x＝0的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝0
C．x ＝0，x ＝4 D．x ＝0，x ＝﹣4
1 2 1 2
【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方
程来求解．
【解答】解：方程分解因式得：x（x﹣4）＝0，
可得x＝0或x﹣4＝0，
解得：x ＝0，x ＝4．
1 2
故选：C．
2．（2023•临沂模拟）已知二元一次方程组 ，则x﹣y的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6
【分析】利用加减消元法求出二元一次方程组的解，即可得出答案．
【解答】解： ，
②×2，得2x﹣4y＝2③，
①﹣③，得3y＝3，
解得y＝1，
将y＝1代入①，得x＝3，
∴方程组的解为 ，
∴x﹣y＝2．
故选：A．
3．（2024•长沙模拟）元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九（1）班共有多少
名学生？设九（1）班共有x名学生，那么所列方程为（ ）
A．x2＝1980 B．x（x+1）＝1980
C． x（x﹣1）＝1980 D．x（x﹣1）＝1980
【分析】根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张贺卡，有x个人，然后根据题意可列出方程：（x﹣1）x
＝1980．
【解答】解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张贺卡，有x个人，
∴全班共送：（x﹣1）x＝1980，
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故选：D．
4．（2023•绵竹市模拟）若关于x的分式方程 无解，则m的值是（ ）
A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到最简公分母为 0，求出x的值，代入
整式方程求出m的值即可．
【解答】解：去分母得：﹣x﹣m+x（x+2）＝（x+2）（x﹣2），
由分式方程无解，得到x＝2或x＝﹣2，
把x＝2代入整式方程得：m＝6；
把x＝﹣2代入整式方程得：m＝2．
故选：A．
5．（2024•旺苍县一模）用配方法解方程x2﹣4x﹣10＝0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）2＝14 B．（x+2）2＝6 C．（x﹣2）2＝14 D．（x﹣2）2＝6
【分析】先移项，再配方，即可得出选项．
【解答】解：x2﹣4x﹣10＝0，
移项，得x2﹣4x＝10，
配方，得x2﹣4x+4＝10+4，
即（x﹣2）2＝14．
故选：C．
6．（2024•柳州一模）方程x2+x+3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无法判断
D．无实数根
【分析】用一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况即可．
【解答】解：b2﹣4ac＝12﹣4×1×3＜0，
∴方程无实数根，故D符合题意，
故选：D．
7．（2023•蕉岭县一模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人
出十一，盈八；人出九，不足十二．问物价几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出 11元，
还盈余8元；每人出9元，则还差12元．问这个物品的价格是多少元？（ ）
A．118 B．102 C．88 D．78
【分析】设共有x人，这个物品的价格是y元，根据每人出11元，还盈余8元；每人出9元，则还差12
元．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设共有x人，这个物品的价格是y元，
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由题意得： ，
解得： ，
即这个物品的价格是102元，
故选：B．
8．（2024•深圳模拟）关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（ ）
甲 乙 丙 丁
两边同时除以 移项得x（x﹣1）+3 整理得x2﹣4x＝﹣3， 整理得x2﹣4x＝﹣3，
（x﹣1）得到x （x﹣1）＝0， ∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣ 配方得x2﹣4x+4＝1，
＝3． ∴（x﹣1）（x+3）＝ 3， ∴（x﹣2）2＝1，
0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝28，
∴x﹣2＝±1，
∴x﹣1＝0或x+3＝
∴x ＝1，x ＝3．
1 2
0， ∴x＝ ＝2± ，
∴x ＝1，x ＝﹣3．
1 2 ∴x ＝2+ ，x ＝2﹣
1 2
．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】分别利用解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，配方法，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：甲的解法错误，方程两边不能同时除以（x﹣1），这样会漏解；
乙的解法错误，移项时3（x﹣1）没有变号；
丙的解法错误，就没有将原方程整理成一元二次方程的一般形式，所以c的值错误；
丁利用配方法解方程，计算正确；
故选：D．
9．（2023•潮安区一模）关于x的不等式组 恰好有3个整数解，则a满足（ ）
A．a＝10 B．10≤a＜12 C．10＜a≤12 D．10≤a≤12
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大
大小小找不到”并结合不等式组有3个整数解，得出关于a的不等式求解即可．
【解答】解：由6﹣3x＜0得：x＞2，
由2x≤a得： ，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴不等式组的整数解为3、4、5，
∴ ，解得10≤a＜12，
故选：B．
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10．（2023•霞山区校级一模）关于 x的一元二次方程（x﹣2）2＝a﹣1有实数根，则a的取值范围是
a ≥ 1 ．
【分析】根据平方的意义得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（x﹣2）2＝a﹣1有实数根，
∴a﹣1≥0，
解得a≥1，
故答案为：a≥1．
11．（2023•兴宁区二模）为满足春节市场需求，某商场在节前购进大批某品牌童装，该品牌童装若每件
盈利40元，平均每天可售出20件，经调查发现，若每件童装降价1元，商场平均每天可多售出2件，
若商场希望该品牌童装日盈利为1200元，同时为了尽量减少库存，请问该童装应降价 2 0 元．
【分析】设该童装每件降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，利用商场销
售该童装的日盈利＝每件盈利×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再
结合要尽量减少库存，即可得出该童装应每件降价20元．
【解答】解：设该童装每件降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x ＝10，x ＝20．
1 2
又∵要尽量减少库存，
∴x＝20．
答：该童装应每件降价20元最合适．
故答案为：20．
12．（2024•灞桥区校级一模）用“△”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a△b＝a2b+a﹣b，
如：1△3＝12×3+1﹣3＝1，若2△x＝x+6（其中x为有理数），则x的值为 2 ．
【分析】先根据已知条件中的新定义，列出关于x的一元一次方程，解方程求出x即可．
【解答】解：∵a△b＝a2b+a﹣b，
∴2△x＝x+6，
22x+2﹣x＝x+6，
4x﹣x﹣x＝6﹣2，
2x＝4，
x＝2，
故答案为：2．
13．（2024•大渡口区模拟）若关于x的一元一次不等式组 的解集为x＜﹣2，且关于y的分
式方程 的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ﹣ 1 3 ．
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【分析】先解不等式组，然后根据不等式组的解集为 x＜﹣2，可得 ≥﹣2，从而可得：a≥﹣8，再
解分式方程可得y＝ ，从而根据分式方程的解为负整数，可得 ＜0且 ≠﹣1，进而可得﹣
8≤a＜1且a≠﹣2，最后根据分式方程的解为负整数可得a＝﹣8或﹣5，进行计算即可解答．
【解答】解： ，
解不等式①得：x＜﹣2，
解不等式②得：x≤ ，
∵不等式组的解集为x＜﹣2，
∴ ≥﹣2，
解得：a≥﹣8，
，
2y＝a﹣（y+1），
解得：y＝ ，
∵分式方程的解为负整数，
∴ ＜0且 ≠﹣1，
∴a＜1且a≠﹣2，
∴﹣8≤a＜1且a≠﹣2，
∵分式方程的解为负整数，
∴a＝﹣8或﹣5，
∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣13，
故答案为：﹣13．
14．（2023•陆丰市一模）解方程组： ．
【分析】利用加减消元法求解即可．
【解答】解： ，
①×3+②×2，得：13x＝26，
解得：x＝2，
把x＝2代入①，得y＝4，
∴方程组的解为： ．
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15．（2023•富裕县模拟）解方程：2x2﹣3x＝1﹣2x．
【分析】先把原方程化为一般式，再计算判别式的值，然后利用求根公式计算出方程的根．
【解答】解：原方程化为2x2﹣x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＞0，
∴x＝ ＝ ，
∴x ＝1，x ＝﹣ ．
1 2
16．（2023•鼓楼区校级三模）（1）解方程：2x2+2x﹣1＝0；
（2）解不等式组： ．
【分析】（1）根据公式法可以解答此方程；
（2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【解答】解：（1）2x2+2x﹣1＝0，
a＝2，b＝2，c＝﹣1，
Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×2×（﹣1）＝12＞0，
∴x＝ ＝ ＝ ＝ ，
∴x ＝ ，x ＝ ；
1 2
（2） ，
解不等式①，得：x＞﹣6，
解不等式②，得：x≤ ，
∴该不等式组的解集是﹣6＜x≤ ．
17．（2024•雁塔区校级二模）解分式方程： ．
【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：2（x﹣1）﹣3（x+1）＝1，
解得：x＝﹣4，
检验：当x＝﹣4时，x2﹣1＝16﹣1＝15≠0，
∴x＝﹣4是原分式方程的解．
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18．（2024•泸县一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）若一元二次方程的两根为x ，x ，且满足 + ﹣x x ＝19，求m的值．
1 2 1 2
【分析】（1）利用根的判别式求出关于m的代数式，整理成非负数的形式即可判定b2﹣4ac≥0；
（2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把 + ﹣x x ＝19，转换为
1 2
（x +x ）2﹣3x x ＝19，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果．
1 2 1 2
【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac
＝[﹣（m+3）]2﹣12m
＝m2+6m+9﹣12m
＝m2﹣6m+9
＝（m﹣3）2；
又∵（m﹣3）2≥0，
∴b2﹣4ac≥0，
∴无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：∵x +x ＝m+3，x •x ＝3m， + ﹣x x ＝19，
1 2 1 2 1 2
∴（x +x ）2﹣3x x ＝19，
1 2 1 2
∴（m+3）2﹣3×3m＝19，
整理得m2﹣3m﹣10＝0，
解得m＝5或m＝﹣2，
故m的值为5或﹣2．
19．（2023•番禺区校级一模）习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，县
委县政府积极响应，对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设
400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高25%，结果共用13天完成道路
改造任务．
（1）求原计划每天铺设路面多少米？
（2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了 20%，
完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
【分析】（1）设原计划每天铺设路面x米，则提速后每天铺设路面（1+25%）x米，根据工作时间＝工
作总量÷工作效率结合共用13天完成道路改造任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得
出结论；
（2）根据总工资＝每天支付的工资×工作天数，即可求出结论．
【解答】解：（1）设原计划每天铺设路面x米，则提速后每天铺设路面（1+25%）x米，
依题意，得： + ＝13，
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解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天铺设路面80米．
（2）1500× +1500×（1+20%）× ＝21900（元）．
答：完成整个工程后承包商共支付工人工资21900元．
20．（2024•长沙模拟）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．下表列出了小欢妈妈、小
乐妈妈端午节前在超市购买粽子的数量（单位：个）和付款金额（单位：元）．
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
小欢妈妈 20 30 270
小乐妈妈 30 20 230
（1）求豆沙粽和肉粽的单价；
（2）为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成 A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包
装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，
m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分
别为（80﹣4m）包，（4m+8）包，A，B两种包装的销售总额为17280元，求m的值．
【分析】（1）根据题意设豆沙棕的单价为a元，肉粽的单价为b元，列出方程组解答即可；
（2）由题意可得，[3m+7（40﹣m）]×（80﹣4m）+[3（40﹣m）+7m]×（4m+8）＝17280，解得 m＝19
或 m＝10，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．确定m值即可．
【解答】解：（1）设豆沙棕的单价为a元，肉粽的单价为b元，
由题意可得， ，
解得：
答：豆沙粽的单价为3元，肉粽的单价为7元；
（2）由题意可得，[3m+7（40﹣m）]×（80﹣4m）+[3（40﹣m）+7m]×（4m+8）＝17280，
解得 m＝19 或 m＝10，
，
∴ ，
∴m＝10．
21．（2024•深圳模拟）社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知 AD＝
52m，AB＝28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的
面积为640m2．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车
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位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收
入为10125元？
【分析】（1）根据题意列出方程（52﹣2x）（28﹣2x）＝640解答即可；
（2）设月租金上涨a元，停车场月租金收入为10125元，列出方程（200+a）（50﹣ ）＝10125解答
即可．
【解答】解；（1）根据道路的宽为x米，根据题意得，
（52﹣2x）（28﹣2x）＝640，
整理得：x2﹣40x+204＝0，
解得：x ＝34（舍去），x ＝6，
1 2
答：道路的宽为6米．
（2）设月租金上涨a元，停车场月租金收入为10125元，
根据题意得：（200+a）（50﹣ ）＝10125，
整理得：a2﹣50a+625＝0，
解得a＝25，
答：每个车位的月租金上涨25元时，停车场的月租金收入为10125元．
22．（2023•溧阳市一模）每年的4月23日为“世界读书日”．为了迎接第28个世界读书日，我市图书馆
决定购买甲、乙两种品牌的平板电脑若干组建新的电子阅览室．经了解，甲、乙两种品牌的平板电脑单
价分别2400元和3600元．
（1）若购买甲、乙两种品牌的平板电脑共50台，恰好支出144000元，求甲、乙两种品牌的平板电脑
各购买了多少台？
（2）若购买甲、乙两种品牌的平板电脑共50台，每种品牌至少购买一台，且支出不超过124000元，
共有几种购买方案？并说明哪种方案最省钱．
【分析】（1）设甲种品牌的电脑购买了 x 台，乙种品牌的电脑购买了 y 台，由题意得出
，解方程组可得出答案；
（2）设甲种品牌的电脑购买了m台，乙种品牌的电脑购买了（50﹣m）台，根据题意建立不等式组求
出其解即可．
【解答】解：（1）设甲种品牌的电脑购买了 x 台，乙种品牌的电脑购买了 y 台，则
，
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解得 ，
答：甲种品牌的电脑购买了30台，乙种品牌的电脑购买了20台．
（2）设甲种品牌的电脑购买了m台，乙种品牌的电脑购买了（50﹣m）台，则
，
解得 49，
∴x的整数值为47，48、49，
当x＝47时，50﹣m＝3；当x＝48时，50﹣m＝2；当x＝49时，50﹣m＝1．
∴一共有三种购买方案：甲种品牌的电脑购买 47台，乙种品牌的电脑购买3台；甲种品牌的电脑购买
48台，乙种品牌的电脑购买2台；甲种品牌的电脑购买49台，乙种品牌的电脑购买1台．
∵甲、乙两种品牌的电脑单价分别2400元和3600元．
∴甲种品牌的电脑购买49台，乙种品牌的电脑购买1台比较省钱．
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