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专题 09 不等式（组）及其应用【九大题型】
【题型1 不等式的基本性质】..................................................................................................................................2
【题型2 一元一次不等式及其解法】......................................................................................................................2
【题型3 不等式组的解法及数轴表示】..................................................................................................................3
【题型4 求不等式组的特殊解】..............................................................................................................................4
【题型5 根据不等式（组）的解集确定字母系数的值或取值范围】.................................................................4
【题型6 中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一元一次不等式】.....................................................4
【题型7 中考最热考法之结合新定义考查含参不等式问题】.............................................................................6
【题型8 中考最热考法之结合代数推理考查一元一次不等式的实际应用】.....................................................7
【题型9 中考最热考法之以开放性试题的形式考查解一元一次不等式组】.......................................................8
【知识点 不等式（组）】
1.定义
定义1：用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式。用符号“≠”表示不等关系的式
子也是不等式。
定义2：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
定义3：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。
定义4：求不等式的解集的过程叫做解不等式。
定义5：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1。
定义6：几个不等式的解集的公共部分，叫做由他们所组成的不等式组的解集，当任何数x都不能使
不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
2.不等式的性质
性质1：若a＞b，则a±c＞b±c。不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
性质2：若a＞b，c＞0，则ac＞bc， ＞ 。不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
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性质3：若a＞b，c＜0，则ac＜bc， ＜ 。不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
对于不等式组，应先求出各不等式的解集，然后在数轴上表示，找出解集的公共部分。
3.不等式(组)与实际问题
解有关不等式(组)实际问题的一般步骤：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列不等式(组)。根据题中各个量的关系列不等式(组)。
第4步：解不等式(组)，找出满足题意的解(集)。
第5步：答。
【题型1 不等式的基本性质】
【例1】（2023·北京·统考中考真题）已知a−1>0，则下列结论正确的是（ ）
A．−1<−ab，那么下列运算正确的是（ ）
a b
A．a−3c−a>0，则下列结论：
①|a|>|b|，②a>0，③b<0，④c<0，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-3】（2023·浙江杭州·统考中考真题）已知数轴上的点A,B分别表示数a,b，其中−13 C．x<−3 D．x>−
3
【变式2-2】（2023·内蒙古·统考中考真题）不等式x−1<√5的正整数解的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式2-3】（2023·内蒙古·统考中考真题）关于x的一元一次不等式x−1≤m的解集在数轴上的表示如图
所示，则m的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【题型3 不等式组的解法及数轴表示】
【例3】（2023·广东茂名·统考二模）已知点M(1−2m，m−1)在第一象限，则m的取值范围在数轴上表
示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2023·广东广州·统考中考真题）不等式组¿的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2023·江苏·统考中考真题）解不等式组¿，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解．
【变式3-3】（2023·湖北武汉·统考中考真题）解不等式组¿请按下列步骤完成解答．
(1)解不等式①，得________；
(2)解不等式②，得________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
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(4)原不等式组的解集是________．
【题型4 求不等式组的特殊解】
【例4】（2023·广东东莞·塘厦初中校考二模）不等式组¿的整数解的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4-1】（2023·四川凉山·统考中考真题）不等式组¿的所有整数解的和是 ．
【变式4-2】（2023·四川乐山·统考三模）满足不等式组¿的整数是 ．
【变式4-3】（2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考三模）已知三角形的两边长分别是1、2，第三边
为整数且为不等式组¿的解，求这个三角形的周长．
【题型5 根据不等式（组）的解集确定字母系数的值或取值范围】
【例5】（2023·广东潮州·二模）如果关于x的不等式组¿的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的
整数对(m,n)共有（ ）
A．42对 B．36对 C．30对 D．11对
【变式5-1】（2023·湖南·统考中考真题）若关于x的不等式组¿有解，则在其解集中，整数的个数不可能
是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
a x+a
【变式5-2】（2023·重庆·模拟预测）若关于x的方程 +1= 的解为负数，且关于y的不等式组¿无
x+1 x−1
解，则所有满足条件的整数a的值之积是 ．
1−ax 1
【变式5-3】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考一模）如果关于x的分式方程 +2= 有整数
x−2 2−x
解，且关于x的不等式组¿的解集为x＞4，那么符合条件的所有整数a的值之和是（ ）
A．7 B．8 C．4 D．5
【题型6 中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一元一次不等式（组）】
【例6】（2023·宁夏·统考中考真题）解不等式组¿
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
4−2(2x−1)>3x−1 第1步
4−4x+2>3x−1 第2步
−4x−3x>−1−4−2
−7x>−7 第3步
x>1 第4步
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任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是
_______；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
【变式6-1】（2023·贵州贵阳·校考一模）下面是小星解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
x−1 8+3x
− ≤−1．
2 5
解：去分母，得5(x−1)−2(8+3x)≤−10，第一步
去括号，5x−5−16+6x≤−10，第二步
移项，得5x+6x≤−10+5+16，第三步
合并同类项，得11x≤11，第四步
系数化为1，得x≤1．第五步
填空：①上述解题过程中，第一步是依据______进行变形的；
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
【变式6-2】（2023·浙江杭州·校考一模）以下是圆圆解不等式组¿的过程：
解：由①，得x＜﹣2．
由②，得3﹣x＞1+2x
所以x＞4
所以原不等式组无解．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
2x+1 x+2
【变式6-3】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）下面是小颖同学解一元一次不等式 − <2的解
3 6
答过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：去分母，得2(2x+1)−(x+2)<12，…………第一步
去括号，得4x+2−x+2<12，……………第二步
移项、合并同类项，得3x<8，……………第三步
8
两边都除以3，得x< …………………第四步
3
任务一：填空：
①以上运算步骤中，去分母的依据是 ；
②第二步变形所依据的运算律是 ；
③第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：请直接写出正确的计算结果．
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【题型7 中考最热考法之结合新定义考查含参不等式（组）问题】
【例7】（2023·辽宁·统考中考真题）对x，y定义一种新的运算F，规定：F（x，y）＝¿时，若关于正数x
的不等式组¿恰好有2个整数解，则m的取值范围是（ ）
A．−3≤m<5 B．56，则a的取值范围是 ．
【变式7-2】（2023·山东·中考真题）阅读理解
定义：若一元一次不等式组解集（不含无解）都在一元一次不等式解集范围内，则称该一元一次不等式组
为该不等式的“子集”．如：¿的解集为−3≤x<4，2x−1>−9的解为x>−4，∵−3≤x<4在x>−4的
范围内，∴一元一次不等式组¿是一元一次不等式2x−1>−9的“子集”．
问题解决
（1）不等式组：①¿，②¿，③¿中，是不等式2x>3的“子集”的是_________；（填序号）
（2）若关于x的不等式组¿是关于x的不等式2x−k<2的“子集”，求k的取值范围；
问题拓展
（3）若关于x的不等式组¿的解集不是关于x的不等式(m−5)x3x；②3(x+2)−1≥5−2(x−2)；③8x+1≤5x−3；④ − ≥0；⑤−3x<0．
5 4
【变式9-3】（2023·河南郑州·一模）已知不等式组¿的解集在数轴上表示如图，写出满足条件的一个m的
值 ．
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