文档内容
高 2025 级高一上期第二次月考
数学试卷
考试时间：120分钟，满分150分
一、单选题（每题5分，共40分.）
1. 不等式 的解集为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】利用因式分解法求解一元二次不等式.
【详解】不等式 化为 ，解得 ，
所以原不等式的解集为 .
故选：B
2. 已知 ，则 定义域为（ ）
A. R B.
C. 且 D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的具体形式，列不等式，即可求解.
详解】由条件可知 ，得 ，且 .
【
所以函数的定义域为 ，且 .
故选：C
3. 下列命题是真命题的是（ ）
第1页/共18页
学科网（北京）股份有限公司A. 若 ，则 . B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】举例说明判断ABC；由不等式的性质判断D.
【详解】对于A，取 ，则 ， ，此时 ，A错误；
对于B，取 ，则 ， ，此时 ，B错误；
对于C，取 ，则 ，C错误；
对于D，由不等式的性质可知D正确.
故选：D
4. 中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么
这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学
的集合论的函数定义，设集合 ， ，则下列图象能表示集合 到集合
的函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用函数定义及表示法逐项判断得解.
第2页/共18页
学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A，由图象法表示函数，且该图象符合函数的定义，A正确；
对于B，集合 中大于2且小于等于4的数，在集合 中没有元素与之对应，不符合函数定义，B错误；
对于C，集合 中存在元素，在 中与之对应的元素不唯一，如 时，对应 值有2个，C错误；
对于D，集合 中存在元素，在 中与之对应的元素不唯一，且 的范围不对，D错误.
故选：A
5. 下列结论正确的是（ ）
A. 当 时， B. 当 时，
C. 当 时， 的最小值是 D. 当 时， 的最小值为1
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式及其口诀“一正二定三相等”分析可得.
【详解】当 时， ，当且仅当
，即 时等号成立，但已知条件中 ，故A错误；
当 时， ，当且仅当 ，即 时等号成立，故B正确；
当 时， ，当且仅当 ，即 时等号成立，但已知条件中 ，等号
不成立，故C错误；
当 时， ，当且仅当 ，即
时等号成立，但已知条件中 ，等号不成立，故D错误．
第3页/共18页
学科网（北京）股份有限公司故选：B.
6. 已知集合 ， ，若 为 的真子集，则m的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分集合 是否是空集进行讨论即可求解.
【详解】当 时，满足 为 的真子集，此时 ，解得 .
当 时，则 或 ，解得 .
综上， ，即m的取值范围是 .
.
故选：C
7. “不等式 在 上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.
【详解】因为“不等式 在 上恒成立”，所以当 时，原不等式为 在 上不是恒
成立 的，所以 ，
所以“不等式 在 上恒成立”，等价于 ，解得 .
A选项是充要条件，不成立；
第4页/共18页
学科网（北京）股份有限公司B选项中， 不可推导出 ，B不成立；
C选项中， 可推导 ，且 不可推导 ，故 是 的必要不充分条件，正
确；
D选项中， 可推导 ，且 不可推导 ，故 是 的充分不必要条件，D不正确.
故选：C.
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若 是 的必要不充分条件，则 对应集合是 对应集合的真子集；
（2） 是 的充分不必要条件， 则 对应集合是 对应集合的真子集；
（3） 是 的充分必要条件，则 对应集合与 对应集合相等；
（4） 是 的既不充分又不必要条件， 对的集合与 对应集合互不包含．
8. 已知定义在 上的偶函数 ，对 有 ，则关于 的不等
式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出 的值，确定函数的定义域，再由已知条件判断函数在定
义域内的单调性，最后利用函数的奇偶性和单调性来求解不等式.
【详解】 是定义在 上的偶函数，
∴根据偶函数的定义域关于原点对称，可得 ，解得 ，
的定义域为 .
又 对 有 ，
第5页/共18页
学科网（北京）股份有限公司在 上单调递增， 为偶函数， 在 上单调递减.
由 ，不等式 可化为 ，
根据偶函数的性质，不等式可化为 ，
由以上推出 条件可得 ，解得 .
的
故选：A.
二、多选题（每题6分，共18分，在每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得
6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 集合 的真子集是
B.
C. 设 ，若 ，则
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据空集是任何非空集合的真子集可知A不正确；根据菱形一定是平行四边形，可知B正确；根
据集合相等的概念求出 ，可知C正确；根据空集是任何非空集合的真子集，可知D正确.
【详解】对于A，集合 的真子集包括 ，A错误；
对于B，因为菱形一定是平行四边形，所以 ，B正确；
对于C，因为 ， ， ，所以 ， ， ，C正确；
对于D，因为方程 的解为 ，所以 ，因为空集是任何非空集合的真
第6页/共18页
学科网（北京）股份有限公司子集，所以 ，D正确．
故选：BCD.
10. 下列命题中，不正确的有（ ）
A. 函数 与函数 表示同一函数
B. 已知函数 ，若 ，则
C. 若函数 ，则
D. 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 ，两函数的定义域不同，故不是同一函数即可判断；对于 ，根据 ，可以求出
的值；对于 ，令 ，求出 代入即可判断；对于 ，函数 的定义域为 ，则
即可判断.
【详解】对于 ，函数 的定义域是 ，函数 定义域是
，故不是同一函数，故 错误；
对于 ，根据 ，可以得 ，可求出 ， ，求出 ，故 正确；
对于 ，令 ，则 ，所以 ，即
，故 错误；
对于 ，函数 的定义域为 ，则 ，可得 ，故 错误.
故选：ACD
第7页/共18页
学科网（北京）股份有限公司11. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 在 上单调递增，则 的值可以为
C. 存在 ，使得 在 上单调递减
D. 若 的值域为 ，则 的取值范围为
【答案】AD
【解析】
【分析】由分段函数求值可解得 确定A；根据已知分段函数单调性求参问题可判断BC；由值域为
可得 ，根据二次函数最值问题，分 和 两种情况讨论即可.
【详解】对于A，由题意得 ，得 ，解得 ，故A正确；
对于B，若 在 上单调递增，则 得 ，
所以 不符合题意，故B错误；
对于C，若 在 上单调递减，则 不等式组无解，故C错误；
第8页/共18页
学科网（北京）股份有限公司对于D，若 的值域为 ，则 ，得 在 上单调递增．
当 时， 在 上单调递增，
则 ，得 ，即 ；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，得 恒成立，即 符合题意．
综上， 的取值范围为 ，故D正确.
故选：AD.
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 已知命题 ： ， ，则命题 的否定为_____.
【答案】 ，
【解析】
【分析】利用存在量词命题的否定直接写出结论.
【详解】命题 ： ， 是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题 的否定为： ， .
故答案为： ，
13. 已知函数 是奇函数，当 时， ，则当 时， ________.
【答案】
【解析】
【分析】当 时， ，根据奇函数的定义求对称区间上的解析式.
【详解】设 ，则 ，
第9页/共18页
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
又函数 为奇函数，
所以 ，
即 时， ，
故答案为： ；
14. 设 是一个数集，且至少含有两个数.若对于任意 、 ，都有 、 、 ，且若
，则 ，则称 是一个数域.例如，有理数集 是数域.则下列说法正确的是__________（写出所
有正确说法的序号）.
（1）数域必含有0，1两个数.
（2）整数集是数域.
（3）若有理数集 ，则数集 一定是数域.
（4）数域中有无限多个元素.
【答案】（1）（4）
【解析】
【分析】根据题中的定义直接分析判断得出.
【详解】对（1）：由题意可知，任取 、 ， ，令 ，则 ， ，所以
（1）正确；
对（2）：再令 ，则 、 ，但 ，故（2）错误；
对（3）：令 ，取 ，故（3）错误；
对（4）：因数域必含有0，1两个数，由加法封闭性得，可生成 ，
第10页/共18页
学科网（北京）股份有限公司再由除法封闭性，可生成 等，会生成无穷多个元素，因此数域中有无穷多个元素.故（4）正
确.
故答案为：（1）（4）.
四、解答题（共77分）
15. 设全集为 ，集合 ，集合 .
（1）求 .
（2）求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据并集的定义计算可得；
（2）根据补集、交集的定义计算可得.
【小问1详解】
因为集合 ，集合 ，
所以 ；
【小问2详解】
因为 ，所以 ，
则
16. 已知二次函数 ．
（1）若不等式 的解集为 ，求 的值；
（2）若 ，且 ，求 的最小值．
第11页/共18页
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ，
（2）9
【解析】
【分析】（1）根据不等式的解集，确定 且 的两根为 和 ，再结合韦达定理
即可求解；
（2）先由题中条件，得到 ，再由 展开后利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）不等式 的解集为 ，则 ，且 的两根为
和 ，
则 ，所以 ；
（2）由 ，可得 ，即 .
又 ，所以 ，
当且仅当 时，即 时等号成立.
17. 某地为打造“生态水果庄园”，对某种果树进行调研.经调研发现，施用肥料 千克时，这种果树的单株
产量 （单位：千克），单株施用肥料及其它成本的总投入为 元.
已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该果树的单株利润为 （单位：
元）．
（1）求 的解析式；
第12页/共18页
学科网（北京）股份有限公司（2）当施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）施用肥料为3千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是390元
【解析】
【分析】（1）根据 可得 的解析式.
（2）利用二次函数的性质及基本不等式可求 的最大值.
【小问1详解】
由已知得， ，
∵ ，
∴ ，
整理得， .
【小问2详解】
当 时， ，对称轴为直线 ，
∴ .
当 时，
，
第13页/共18页
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时等号成立，故 ，
∵ ，∴ 的最大值为390，
∴当施用肥料为3千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是390元．
18. 已知函数 时定义在 上的奇函数，且 ．
（1）求 的解析式；
（2）先判断函数 在区间 上的单调性，并证明；
（3）求关于 的不等式 ．
【答案】（1） （2）单调递增函数，证明见解析（3）
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由奇函数的性质可得 ，解可得 的值，又由 可得 的值，
将 、 的值代入函数的解析式即可得答案；
（2）设 ，用作差法分析可得 ，由函数单调性的定义即可得证明；
（3）由奇函数的性质可以将 变形为 ，结合函数的定义域与单
调性可得 的取值范围．
【详解】（1）根据题意， 是奇函数，则有 ，
则有 ，解可得 ；
．
第14页/共18页
学科网（北京）股份有限公司，
解可得 .
（2） 在 上为增函数；
证明如下：设 ，
则 ，
，
则有 ， ， ， ，
则有 ，即 ．
在 上为增函数；
（3） ，
，
又 是定义在 上的奇函数，
，
则有 ，
第15页/共18页
学科网（北京）股份有限公司解可得： ；
故不等式 的解集为 ．
【点睛】关键点点睛：利用函数单调性定义证明时，需要严格按照步骤格式，注意取值的任意性，作差后
注意变形，变形的目的利用条件及不等式性质判断差的正负.
19. 已知函数 ， .
（1）若函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围；
（2）若任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若函数 ，函数 的最小值是 ，求实数 的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意可得：对任意的 ， ，结合二次函数分析求解；
（2）由题意可知，不等式 对任意的 ，令 ，由参变量分离法可得
，利用对勾函数的单调性求出函数 在 上的最小值，可得出关于实
数 的不等式，即可得出实数 的取值范围；
（3）令 ，可得 的最小值是 ，分 和
两种情况，结合二次函数最值分析求解.
【小问1详解】
第16页/共18页
学科网（北京）股份有限公司若函数 的定义域为 ，则对任意的 ， ，
由于函数 为开口向上的二次函数，
故只需要 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
【小问2详解】
任意 ， 恒成立，则 ，
可得 ，
令 ，则 ，所以， ，
可得 ，
令 ，其中 ，则函数 在 上 为减函数，
所以， ，所以， ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
【小问3详解】
因为 ，
令 ，则 ，
则 为开口向上，对称轴为 的二次函数，
当 ，即 时，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
此时 ，解得 ，不符合要求，舍去；
第17页/共18页
学科网（北京）股份有限公司当 ，即 时，则 在 上单调递增，
此时 ，解得 或 （舍去）；
综上所述： .
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， .
第18页/共18页
学科网（北京）股份有限公司
