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白城一中 2025-2026 学年度高一上学期第一次月考
数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1. 函数 的大致图象为（ ）
A. B.
C D.
.
【答案】B
【解析】
【分析】根据奇偶性，正负情况以及增长趋势判断即可.
【详解】 函数 的定义域为 ，
， 该函数为奇函数，故A错误；
当 时， ，故D错误；
当 时， ，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 增大时， 的值也越来越大，故C错误，故B正确.
故选：B.
2. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
.
C 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式不等式的解法结合充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】由 ，得 ，则 ，解得 或 ，
所以由“ ”不能得到“ ”，由“ ”能得到“ ”，
所以“ ”是“ ”的必要而不充分条件.
故选：B.
3. 命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题得解.
【详解】由全称命题的否定可知，
命题“ ， ”的否定是“ ， ”，
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学科网（北京）股份有限公司故选：D
4. 若命题 ， ，则命题 的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据特称命题的否定直接得出结果.
【详解】因为“ ， ”的否定是“ ， ”，
所以命题“ ， ”的否定是“ ， ”.
故选：C
5. 下列对应是集合 到集合 的函数的是（ ）
A. ，
B. ， ，
C. ，
D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的定义进行判断即可．
【详解】对于A选项，满足函数的定义，A选项正确；
对于B选项，集合A中取 ，在集合B中没有对应元素，故B选项错误；
对于C选项，集合A中取 ，在集合B中没有对应元素，故C选项错误；
对于D选项，集合A中当 时，在集合B中都有两个元素与x对应，不满足函数的定义，故D选项错
误.
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学科网（北京）股份有限公司故选：A．
6. 已知集合 ，集合 与 的关系如图所示，则集合 可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由图可得 ，由选项即可判断.
【详解】解：由图可知： ，
，
由选项可知： ，
故选：D.
7. 若对任意 ，不等式 恒成立，则a的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对任意 ，不等式 恒成立，即 恒成立，代入计算得到答案.
【详解】对任意 ，不等式 恒成立
即 恒成立
故答案为D
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.
8. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
.
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念构造不等式求解即可；
【详解】由题意：要使 有意义，则
解得 ，所以 的定义域为 ．
故选：C
二、多项选择题（本大题共3小题.每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）
9. 下列判断错误的是（ ）
A. 函数 的最小值为7
B. 函数 的最小值为7
C. 函数 的最小值为7
D. 函数 的最小值为7
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据各项函数，结合基本不等式及相关结论检验各选项最小值，即可判断.
【详解】对于A，当 时函数值为负数，显然错误.
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学科网（北京）股份有限公司对于B， ，当且仅当 时等号成立，但
，所以取等条件不成立，错误；
对于C， ，当且仅当 时等号成立，错误；
对于D， ，当且仅当 ，即
时等号成立，正确.
故选：ABC
10. 已知 ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据基本不等式可得选项A错误；通过配方结合选项A可得选项B正确；通过计算
结合选项A可得C正确；利用“1”的代换可得选项D正确.
【详解】A.∵ ，且 ，
∴ ，当且仅当 时，等号成立，解得 ，A错误．
B.由A得， ，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时，等号成立，B正确．
C.由A得， ，
∴ ，当且仅当 时，等号成立，C正确．
D.∵ ，
∴ ，当且仅当 时，等号成立，
D正确．
故选：BCD.
11. 已知 ，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由不等式的性质可判断 ；由特值法可判断 .
【详解】由 ，得 .
对于A，由 ， ，得 成立，该选项正确；
对于B，取 ， ， ， 得 ， ，
此时 ，该选项错误；
对于C，由 ， ，得 ，所以 成立，该选项正确；
对于D，取 ， ， ， 得 ， ，此时 ，该选项错误.
故选：AC.
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学科网（北京）股份有限公司三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知集合 ， ， 为集合 到 的一个函数，则这样的函数有___________
个.
【答案】
【解析】
【分析】列举出满足题意得出函数，可得结果.
【详解】满足题意得出函数为： 或 或 或 .
故满足条件的函数个数为 .
故答案为： .
13. 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为______.
【答案】 .
【解析】
【分析】
由f（2x+1）的定义域得x的取值范围，求出2x+1的取值范围，即函数 中 的范围，从而解出
x即为函数 的定义域.
【详解】由 的定义域为 ，
得 的定义域为 ，即 ，
由 得 ，
的定义域为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查复合函数的定义域求法，根据函数定义域之间的关系求解即可，注意函数的定义域始终
为自变量x的范围这一概念，属于基础题.
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学科网（北京）股份有限公司14. 若 是R上的单调函数，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析： 因为当 时， 为单调递减函数，所以当 时， 也为
单调递减函数，因此 且
考点：分段函数单调性
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“ ”或“ ”表述下列命题.
（1）对任意 ， 成立；
（2）对所有实数 ， ，方程 恰有一个解；
（3）有些整数既能被2整除，又能被3整除；
（4）某个四边形不是平行四边形.
【答案】（1）全称量词命题，表示为 ，
（2）全称量词命题，表示为 ， ，方程 恰有一个解
（3）存在量词命题，表示为 ， 既能被2整除，又能被3整除
（4）存在量词命题，表示为 ， 不是平行四边形
【解析】
【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义求解判断各小题即可.
【小问1详解】
全称量词命题，表示 为， .
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
全称量词命题，表示为 ， ，方程 恰有一解.
【小问3详解】
存在量词命题，表示为 ， 既能被2整除，又能被3整除.
【小问4详解】
存在量词命题，表示为 ， 不是平行四边形.
16. 已知集合 ，集合 ，
（1）当 时，求 ；
（2）若 是 的充分不必要条件，求 的取值范围.
【答案】（1） 或
（2） 或
【解析】
【分析】（1）由 得 ，再利用集合的补集和并集的定义求解即可；
（2）由 是 的充分不必要条件，得 是 的真子集，分情况讨论即可.
【小问1详解】
当 时， ，
因为 ，所以 ，
所以 或 ，
所以 或 ；
【小问2详解】
由于 是 的充分不必要条件，故 是 的真子集，
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学科网（北京）股份有限公司若 ，则 ，所以 ，
若 ，则 ，且 且 （等号不同时取得），
当 时， 真包含于 ，
当 时， 真包含于 ，
故： ，
综上所述，实数 的取值范围是 或 .
17. 已知集合 ， 或 ， .
（1）当 时，求 ； ；
（2）若 .求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据交集并集的定义分别求解即可；
（2）求出 ，根据包含关系列出式子即可求出.
【详解】（1）当 时， ，又 或 ，
所以 ， .
（2）因为 ， ，且 ，
所以 .
18. （1）已知 ，且 ，证明： ．
（2）证明： ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】(1)利用不等式的性质证明即可；
(2)等价于证明 + + ，对不等式两边同时平方后只需证明
，再平方即可证明.
【详解】证明：（1）由 ，且 ，
所以 ，且
所以 ，所以 ，
即 ；所以 ，即 ．
（2）要证 ，
只需证 ，
即证 ；
即证 ，
即证 ；即证 ，显然成立；
所以 ．
19. 已知 、 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根
（1）直接写出 的取值范围
（2）若满足 ，求 的值.
（3）若 ，求证： ；
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，则 来求解即可；
（2）根据韦达定理代入求解即可，注意验证范围；
（3）构造 利用韦达定理求出其恒正，则可得 与2的大小关系.
【小问1详解】
因为一元二次方程 有两个不相等的实数根，
所以 ，
即 ；
【小问2详解】
，且 ， ，
，
整理得 ，解得： ，
由（1）知 ，
检验：当 时， ，即 ；
【小问3详解】
证明：因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司把 和 代入上式，
得 ，
， ，
，
， ，
，即 .
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