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内江一中 2025-2026 学年高一上数学期中测试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 命题 ， ，则命题 的否定形式是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论．
【详解】命题 ， ，为全称量词命题，
则该命题的否定为： ， .
故选：C．
2. 已知集合 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果.
【详解】当 时， ，此时 ，即 可以推出 ，
若 ，所以 ，得到 ，所以 推不出 ，
即“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A.
3. 以下函数中，在 上单调递减且是奇函数的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】A选项，根据解析式直接得到函数在 上单调递减，且为奇函数；BC选项，判断出函数为
偶函数，D选项，函数不满足在 单调递减.
【详解】A选项， 在R上单调递减，且 ，
故 是奇函数，满足要求，A正确；
B选项， 定义域为R，且 ，故 为偶函数，B错误；
C选项， 定义域为R，且 ，
故 为偶函数，C错误；
D选项， 在 上单调递增，D错误.
故选：A
4. 设 ，则函数 的最小值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 10 D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式求解可得答案.
【详解】 ， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
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学科网（北京）股份有限公司所以函数 的最小值为 ，
故选：D.
5. 《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共
有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的
荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有 3人同时观看了《南京照相馆》和
《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（ ）
A. 6人 B. 7人 C. 8人 D. 9人
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解.
【详解】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合
表示，
设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有 人，
在相应的位置填上数字，则 ，解得 ，
因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有 人，
所以只观看了《长安的荔枝》的人数为 人.
故选：C
6. 幂函数 在区间 上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
.
A B. 或
C. 是奇函数 D. 是偶函数
【答案】C
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用幂函数的定义和单调性可求 的值，故可判断AB的正误，再根据奇偶性的定义可判断 CD
的正误.
【详解】函数 为幂函数，则 ，解得 或 .
当 时， 在区间 上单调递增，不满足条件，排除A，B；
所以 ，定义域 关于原点对称，且 ，
所以函数 是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.
故选：C.
7. 已知关于 的不等式 的解集是 或 ，则不等式 的解集是
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知 ，且 和 是方程的 的两个根，利用韦达定理，对所求
不等式进行变形求解即可.
【详解】 关于 的不等式 的解集是 或 ，
∴1和3是方程 的两个实数根，且 ．
则 解得
所以不等式 等价于 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ．
所以不等式 的解集是
故选:B．
8. 已知函数 ，满足对任意 ， ，都有 成立，
则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得 的取值范围.
【详解】由于函数 满足对任意 ，都有 成立，
所以 在 上单调递增，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法错误的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
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学科网（北京）股份有限公司C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由不等式的性质及特殊值逐项判断即可.
【详解】对于A，当 时， 显然不成立，错误；
对于B，由 ，可知 ，所以 ，正确；
对于C，取 ，此时 ，错误；
对于D，取 ，此时 ，错误；
故选：ACD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
B. 和 表示同一个函数
C. 函数 的值域为
D. 定义在 上的函数 满足 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据抽象函数的定义域可判断 A选项，根据具体函数的定义域可判断 B选项，直接法可得函数
的值域，可判断C选项，消元法求函数解析式可判断D选项.
【详解】A选项，对于 ，令 ，则 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 的定义域为 ，A选项正确；
对于B， 的定义域为 ， 的定义域为 ，不是同一个函数，B选项不正确；
对于C，因为 ，所以 ，即函数 的值域为 ，C选项正确；
对于D，由 可得 ，
所以由 可得 ，D选项正确；
故选：ACD.
11. 已知定义在R上的函数 满足 ，当 时， ， ，则
（ ）
A. B. 为奇函数
C. 在R上单调递减 D. 当 时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，赋值法得到 ， ， ；B选项，先赋值得到
，令 得 ，故B正确；C选项，令 ，且 ，当
时， ，故 ，从而 在R上单调递增；D选项，先变形得
到 ，又 ，故 ，由函数单调性得到D正确.
【详解】A选项， 中，
令 中，令 得 ，
令 得 ，即 ，A正确；
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学科网（北京）股份有限公司B选项， 中，令 得 ，解得 ，
中，令 得 ，
故 为奇函数，B正确；
C选项， 中，令 ，且 ，
故 ，即 ，
当 时， ，故 ，
即 ，故 在R上单调递增，C错误；
D选项， 由A知 ， ，
又 ，故 ，又 在R上单调递增，所以 ，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. ___________.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用指数幂的运算法则求解即可，求解过程注意避免计算错误.
【详解】
．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
【点睛】化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的
先后顺序，属于较易题目．
13. 已知函数 定义域为实数集 ，则实数 的取值范围为______.
的
【答案】
【解析】
【分析】利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解.
【详解】要使 有意义，则有 ，
函数 的定义域为实数集 ， 在 上恒成立，
当 时， ，恒成立；
当 时，则有 ，解得 ；
综上，实数 的取值范围为 .
故答案为： .
14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并
列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数 ，符号 表示不超过 的最大整数，
则 称为高斯函数，例如 ， ，定义函数 ，则下列命题中正确的
序号是________．
①函数 的最大值为 ； ②函数 的最小值为 ；
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学科网（北京）股份有限公司③函数 的图象与直线 有无数个交点 ④
【答案】②③④
【解析】
【分析】根据高斯函数定义可得 的解析式和图象，由图象判断各个选项即可.
【详解】由题意得： ，
由解析式可得函数图形如下图所示，
对于①，函数 ，①错误；对于②：函数 的最小值为 ，②正确；
对于③，函数 的图象与直线 有无数个交点，③正确；
对于④，函数 满足 ，④正确；
故答案为：②③④
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合 ，集合 .
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ， ；
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学科网（北京）股份有限公司（2） .
【解析】
【分析】（1）利用集合的交、并、补运算求集合；
（2）由题设 ，讨论 、 分别求参数范围，最后取并集.
【小问1详解】
由题设 ，则 ，
或 ，则 .
【小问2详解】
由 ，
若 时， ，满足；
若 时， ；
综上， .
16. 已知函数 为一次函数，且对 均满足 .
（1）求函数 的解析式；
（2）已知 ， ，且 ，求 的最小值.
【答案】（1）
（2）最小值为9
【解析】
【分析】（1）设 ，根据题意列式求 即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据题意可得 ，法一：利用基本不等式可得 ，化简整理即可得结果；法二：利用
乘“1”法结合基本不等式运算求解.
【小问1详解】
设 ，则 ，
可得 ，解得 ， ，
所以 .
【小问2详解】
因为 ，所以 ，即 ；
法一：所以 ，化简得 ，当且仅当 时取等，
所以 ，
故 的最小值为9；
法二：
，
当且仅当 且 ，即 ， 时取等号，
故 的最小值为9.
17. 已知函数 是定义在 上的奇函数，满足 .
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学科网（北京）股份有限公司（1）求函数 的解析式；
（2）判断 的单调性，并利用定义证明.
（3）若 求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2） 在 上为增函数，证明见解析.
（3）
【解析】
【分析】（1）根据 ， 求出 ， ，再检验即得解；
（2）函数 在 为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明；
（3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，由此求得 的取值范围.
【小问1详解】
函数 是定义在 上的奇函数，
则 ，即 ，解得 ，
又因为 ，即 ，解得 ，
经检验可得， 符合题意．
所以当 时， ，
【小问2详解】
函数 在 上是增函数．
证明如下：
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学科网（北京）股份有限公司任取 ， 且 ，
则
，
因为 ，
所以 ， ，
则 ，即 ，
故 在 上为增函数；
【小问3详解】
函数 是定义在 上的奇函数，且 ．
则 ，
因为函数 在 上单调递增．
所以 ，则 解得 ，
所以t的取值范围是 ．
18. 已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，函数 在 轴左侧的图
象如图所示，请根据图象；
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学科网（北京）股份有限公司（1）画出 在 轴右侧的图象，并写出函数 的单调区间；
（2）写出函数 的解析式；
（3）若函数 ，求函数 的最小值.
【答案】（1）图象见解析，单调递减区间为 ，单调递增区间为 ,
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用偶函数的图象关于 轴对称作出图象，由图象得单调区间；
（2）根据偶函数的定义求解析式；
（3）用二次函数性质分类讨论即可求得最小值．
【小问1详解】
函数 是定义在 上的偶函数，即函数的图象关于 轴对称，
则函数 图象如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司故函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为 , ．
【小问2详解】
令 ，则 ，则 ，
又因为函数 是定义在 上的偶函数，所以 ，
则 ，
所以 ．
【小问3详解】
当 时， ，
则 ，其对称轴为 ，
为
因 ，
当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司故 ．
19. 某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为 米，底面积为 平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天
劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方
米 元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米 元，地面以及其他报价共计 元.设劳动基地的
左、右两面墙的长度均为 米，原有墙体足够长.
（1）当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
（2）现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为 元，若无论
左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求 的取值范
围.
的
【答案】（1）左面墙 长度为10米
（2）
【解析】
的
【分析】（1）设甲工程队 总报价为 元，根据题意可得出 关于 的函数关系式，利用基本不等式可求
出 的最小值，利用等号成立的条件求出 的值，即可得出结论；
（2）根据题意可得出 ，可知， 对任意的 恒
成立，利用基本不等式求出 的最小值，即可得出实数 的取值范围.
【小问1详解】
解：设甲工程队的总报价为 元，依题意，左、右两面墙的长度均为 米，
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学科网（北京）股份有限公司则长方体前面新建墙体的长度为 米，
所以 ，
即 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立.
故当左面墙的长度为 米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为 元.
【小问2详解】
解：由题意可知， ，
即 对任意的 恒成立，
所以 ，可得 ，即 .
，
当且仅当 时，即 时， 取最小值 ，
则 ，即 的取值范围是 .
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学科网（北京）股份有限公司
