文档内容
威远中学校 2025-2026 学年高一上期 12 月月考
数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(本题共计8个小题，每个小题只有一个选项正确，每小题5分，共计40分)
1. 设全集 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用集合补集运算即可.
【详解】 ， ，
.
故选：A.
2. 已知函数 是幂函数，且在 上单调递减，则实数 的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由幂函数的定义与性质求解即可.
【详解】由于函数 是幂函数，且在 上单调递减，
则 ，且 ，解得 或 （舍），
故选：B.
3. “ 且 ”是“ ”的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
第1页/共18页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】按照充分必要条件的判断方法判断，“ 且 ”能否推出“ ”，以及“
”能否推出“ 且 ”，判断得到正确答案，
【详解】当 且 时， 成立，
反过来，当 时，例： ，不能推出 且 .
所以“ 且 ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，重点考查基本判断方法，属于基础题型.
4. 已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用不等式的性质可判断ABD，利用指数函数单调性可判断C.
【详解】对A，因为 ，所以 ，所以 ，即 ，错误；
对B，因为 ，所以 ，即 ，错误；
对C，因为函数 在 上单调递增，且 ，所以 ，正确；
对D，因为 ，所以 ，所以 ，即 ，错误.
故选：C
5. 若 ，则 （ ）
A. 11 B. 14 C. 30 D. 45
【答案】D
【解析】
第2页/共18页
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据给定条件，利用指数运算法则计算得解.
【详解】由 ，得 .
故选：D
6. 已知函数 是定义在 上 的奇函数，且 ，若 在 上单调递增
则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性及单调性可得函数的正负情况，进而可解不等式.
【详解】因为函数 是奇函数，且在 上单调递增，
所以函数在 上也单调递增，
又因为 ，所以 ，
不等式 等价于 或 ，
所以 或 ，
故选：A.
7. 已知集合 有且仅有两个子集，则 的最小值为（ ）
A. 8 B. 5 C. 6 D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】结合题意并由根的判别式得到方程，求出 ，变形得到 ，
由基本不等式求出最小值即可.
第3页/共18页
学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意得 有且仅有两个子集，故集合 仅有 个元素，
则 ，即 ，
因为 ，所以 ，故 ，
得到 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
可得 的最小值为 ，故A正确.
故选：A
8. 已知函数 ， ，两者的定义域都是 ，若对于任意 ，存在 ，使得
， ，且 ，则称 ， 为“兄弟函数”，已知函数
， 是定义在区间 上的“兄弟函数”那么函数
在区间 的最大值为
A. 3 B. C. D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】结合“兄弟函数”的定义,可求得 在 时取得最小值,再结合二次函数的性质可求得 的
第4页/共18页
学科网（北京）股份有限公司解析式,进而可求得 在区间 的最大值.
【详解】由题意, ,易知 在 上单调递减,在 上单调递增,
则 在 上的最小值为 .
所以 在 时取得最小值3.
故函数 满足 ,解得 ,
则 ,
故当 时, 取得最大值为 .
故选:C.
【点睛】本题考查新定义,考查了函数单调性的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.
二、多选题(本题共计3个小题，每小题6分，共计18分)
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若函数 满足 ，则 4
B. 函数 且 的图象恒过定点
C. 命题：“ ”的否定是“ ”
D. 若函数 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出函数值判断A；求出函数图象所过定点判断B；利用全称量词命题的否定判断C；求出解析
式判断D.
第5页/共18页
学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A，函数 中，取 ，得 ，A正确；
对于B，当 时， ，函数 的图象恒过定点 ，B正确；
对于C，命题：“ ”的否定是“ ”，C错误；
对于D，令 ，则 ，则 ，
因此 ，D正确.
故选：ABD
10. 设函数 ， ，且 ，下列说法正确的是（ ）
A. 函数 与直线 的图象有两个不同的公共点
B. 函数 有最小值0，无最大值
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题设 ，分析函数性质并画出函数草图，即可判断各项正误.
【详解】由题设 ，
故 在 上递减，值域为 ，在 上递增，值域为 ，
所以 的图象如下：
第6页/共18页
学科网（北京）股份有限公司所以 与直线 的图象有一个交点，有最小值0，无最大值，A错，B对；
由 ， ，结合图知： ，可得 ，C对；
由 且 ，结合图知： 且 ， 且 ，
所以 ，则 ，D对.
故选：BCD
11. 若函数 是定义在 上的奇函数， ，当 时， ，则（
）
A.
B. 函数 图象关于直线 对称
C. 函数 图象关于点 中心对称
D. 当 时，
【答案】AC
【解析】
【分析】根据奇函数的性质得到 且 ，即可判断A，由 可得
的对称轴，即可判断B，再推导出 ，即可判断C，最后根据奇偶性求出函
数在 时的解析式，即可判断D .
【详解】因为函数 是定义在 上的奇函数，所以 且 ，
第7页/共18页
学科网（北京）股份有限公司又 ，所以 ，故A正确；
因为 ，所以 关于 对称，故B错误；
由 ， ，
所以 ，即 ，所以 ，
则 ，即 ，
所以函数 的图象关于点 中心对称，故C正确；
因为当 时， ，
设 ，则 ，所以 ，
当 时 也成立，
所以当 时， ，故D错误.
故选：AC.
三、填空题(本题共计3个小题，每小题5分，共计15分)
12. ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据指数幂的运算性质计算即可.
【详解】 .
故答案为： .
13. 若函数 在区间 上不单调，则 的取值范围是______．
第8页/共18页
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】将函数 化成分段函数的形式，判断单调性即可得解.
【详解】因为函数 ，
所以该函数在 上单调递减，在 上单调递增，
又 在区间 上不单调，所以 ，
故 的取值范围是 ．
为
故答案 ： .
14. 已知 ，若 且 ，都有 ，则实数 的最大值为
________.
【答案】
【解析】
【分析】求出 时 的范围，分 、 、 求出 的值域，结合题意分
析即可.
【详解】易知 在 上单调递减，且 ，
当 时， 的值域为 ，不满足题意；
当 时， 的值域为 ，不满足题意；
当 时， 的值域为 ，
要使 且 ，都有 ，则 ，
第9页/共18页
学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，所以 的最大值为 .
故答案为：
四、解答题(本题共计5个小题，共计77分)
15. 已知集合 ， .
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，可求得集合A，代入a值，根据集合B ，求出 ，根据交集
运算的概念，即可求得答案.
（2）由（1）得 ，根据条件，分别讨论 和 ，即 和 两
种情况，根据包含关系，列出不等式，即可求得答案.
【小问1详解】
解不等式 ，得 ，即 ，
当 时， ，则 ，
所以 .
【小问2详解】
由（1）知， ，由 得，
第10页/共18页
学科网（北京）股份有限公司当 ，即 时， ，满足 ，因此 ；
当 ，即 时， ，即有 ，
则 ，解得 ，因此 ，
综上，实数 的取值范围 .
16. 已知函数 ，不等式 的解集为 ．
（1）求 ， 的值；
（2）在 上，函数 的图象总在一次函数 的图象的上方，求实数 的取值范围；
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，2，3为方程 的两根，根据根与系数的关系，列出方程，即可求得
答案.
（2）由（1）可知， 且满足 ， 恒成立，等价于
，根据二次函数的性质，即可求出 在 上的最小值，分析即可得
答案.
【小问1详解】
因为不等式 的解集为 ，所以2，3为方程 的两根，
第11页/共18页
学科网（北京）股份有限公司由根与系数的关系可得 ， ，所以 ， .
【小问2详解】
由（1）可知， 且满足 ， 恒成立，
等价于 ，
当 时，函数 图象的对称轴为 ，开口向上，
所以函数 在 上单调递减，
所以当 时， 有最小值0，
所以 ，实数 的取值范围为 .
17. 为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每
年消耗的电费 C（单位：万元）与太阳能电池面积 x（单位：平方米）之间的函数关系为
，（m为常数），已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12
万元．安装这种供电设备的工本费为 （单位：1万元），记 为该农场安装这种太阳能供电设备
的工本费与该农场10年消耗的电费之和
（1）写出 的解析式；
（2）当x为多少平方米时， 取得最小值？最小值是多少万元？
【答案】（1） ；
.
（2）40平方米，最小值40万元
第12页/共18页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）根据给定的条件，求出m值及 的解析式，进而求出 的解析式作答.
（2）结合均值不等式，分段求出 的最小值，再比较大小作答.
【小问1详解】
依题意，当 时， ，即有 ，解得 ，则 ，
于是得 ，
所以 的解析式是 .
【小问2详解】
由（1）知，当 时， 在 上递减， ，
当 时， ，当且仅当 ，即 时取等号，
显然 ，所以当x为40平方米时， 取得最小值40万元.
【点睛】方法点睛：在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．
18. 已知函数 是定义在 上的奇函数，满足 .
（1）求函数 的解析式；
（2）判断 的单调性，并利用定义证明.
（3）若 求实数 的取值范围.
第13页/共18页
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2） 在 上为增函数，证明见解析.
（3）
【解析】
【分析】（1）根据 ， 求出 ， ，再检验即得解；
（2）函数 在 为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明；
（3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，由此求得 的取值范围.
【小问1详解】
函数 是定义在 上的奇函数，
则 ，即 ，解得 ，
又因为 ，即 ，解得 ，
经检验可得， 符合题意．
所以当 时， ，
【小问2详解】
函数 在 上是增函数．
证明如下：
任取 ， 且 ，
则
第14页/共18页
学科网（北京）股份有限公司，
因为 ，
所以 ， ，
则 ，即 ，
故 在 上为增函数；
【小问3详解】
函数 是定义在 上 的奇函数，且 ．
则 ，
因为函数 在 上单调递增．
所以 ，则 解得 ，
所以t的取值范围是 ．
19. 对于函数 ，若其定义域内存在非零实数 满足 ，则称 为“局部奇函数”.
（1）已知函数 ，判断 是否为“局部奇函数”；
（2）若幂函数 使得 在 上是“局部奇函数”，求m的
取值范围；
第15页/共18页
学科网（北京）股份有限公司（3）若整数 使得 是定义在 上的“局部奇函数”，求m的取值集合.
【答案】（1）不是局部奇函数
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出 即可判断 是否为“局部奇函数”；
（2）利用幂函数的定义求出 ，从而得到 的解析式，由条件可知 在 上
存在非零实数解，利用参变量分离，结合函数的单调性求出 范围；
（3）由定义，将问题转化为( 在 上存在非零实数解，令
，则 ，构造函数 ，利用二次函数的性质，列不等式求解
即可.
【小问1详解】
因为 ，定义域为 ，则 ，
，
因为 恒成立，从而 ，
故在其定义域内不存在非零实数 使得 ，
即不存在 使得 ，
所以 不是“局部奇函数”；
【小问2详解】
因为 是幂函数，则 ，所以 ， ，
第16页/共18页
学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，
因为 在 上是“局部奇函数”，
所以 在 上存在非零实数解，
所以 在 上存在非零实数解，
则 ，且 ，
令 ， 且 ，则 ，
因为对勾函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，
所以，当 且 时， ，即 ，
故 ；
【小问3详解】
由定义可得， 在 上存在非零实数解，
则 在 上存在非零实数解，
即 在 上存在非零实数解，
所以( 在 上存在非零实数解，
令 ，
第17页/共18页
学科网（北京）股份有限公司因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，
又 ，所以 ，
则方程 在 上有实数解，
令 ，对称轴为 ，
当 时，则 ，所以 ，故 ；
当 时，则 ，即 ，故 ，
综上， ，
又 为整数，则 ，
所以 的取值集合为 .
【点睛】关键点睛：本题为新概念题，解题关键是正确理解“局部奇函数”的概念，运用转化的思想，把
问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算.
第18页/共18页
学科网（北京）股份有限公司
