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2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第二章 方程与不等式
2.2 分式方程
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 分式方程的解法 ☆☆ 数学中考中，有关分式方程的部分，每年考查1道
题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题、解答题
的形式考查。但三种形式只会出现一种。解答题基
本以三种形式考查：一是给出分式方程，让学生解
考点2 分式方程的应用 ☆☆
这个方程；二是列方程求解；三是结合不等式、函
数知识综合考查。这类问题要注意解分式方程需要
验根，同时注意得出结果和实际问题相符合。
☆
☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
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夯实基础
考点1. 分式方程的解法
1.分式方程定义：_____里含有未知数的方程叫做分式方程．
分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．
2．解分式方程的一般方法：
（1）解分式方程的基本思想：
把分式方程转化为_____方程，解这个整式方程，然后_____，从而确定分式方程的解．
（2）解分式方程的一般方法和步骤：
①______：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；
②解_____方程：去括号、移项、合并同类项等；
③_____：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式
方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
3．分式方程的特殊解法——换元法：
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一
般的去分母不易解决时，可考虑用换元法．
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4．增根：使分式方程的最简公分母为的根．
（1）产生增根的原因：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，将其转化为整式方程后没有此条件
限制了．
（2）分式方程的增根与无解的区别：分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方
程无解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．
考点2. 分式方程的应用
1.工程问题等量关系： 工作量=工作时间×______。灵活掌握它的两个变式。
2.解决工程问题的基本思路
（1）题中有“单独”字眼通常可知工作效率；
（2）通常间接设元，如× ×单独完成需 x（单位时间），则可表示出其工作效率；
（3）弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效=甲乙两队工作效率的和”.
（4）解题方法：可概括为“321”，即3指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时
间，工作量；2指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1指该问
题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和=全部工作总量.
（5）各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．
3.行程问题等量关系： 路程=速度×_______ .灵活掌握它的两个变式。
4.解决问题注意事项：
（1）注意关键词“提速”与“提速到”的区别；
（2）明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来；
（3）行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程.
5.利润问题等量关系： 批发成本=批发数量×______；批发数量=批发成本÷批发价；打折销售价=
定价×折数；销售利润=销售收入一批发成本；每本销售利润=定价一批发价；每本打折销售利润=打
折销售价一批发价，利润率=利润÷进价。
6.数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法；
溶质
溶液
7.浓度问题的基本关系是： =_______．
8. 顺水逆水问题： v ＝v ＋v ， v ＝v －v .
顺 静 水流 逆 静 水流
注意：列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审清题意，并设未知数；
(2)找相等关系；
(3)列出方程；
(4)解这个分式方程；
(5)验根（包括两方面 :是否是分式方程的根； 是否符合题意）；
（6）写答案.
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【易错点提示】
解分式方程过程中，易错点主要体现在：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得
不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零
的解才是原方程的解．具体情况表现在一下几点：
1. 忘记验根。
2. 检验方法不正确。
3.忽视分子为零。
4.考虑问题不全面。
5.没有真正理解分式方程有“增根”的含义。
6.去分母时漏乘不含分母的项。
7.解分式方程错符号。
考点1. 分式方程的解法
【例题1】（2024福建省）解方程： ．
【对点变式练1】（2024哈尔滨一模）分式方程 的解是（ ）
A. B. C. D.
【对点变式练2】（2024苏州一模）方程 的解是_______．
【对点变式练3】 （2024山东威海一模）解方程：
【对点变式练4】（2024上海一模）在分式方程 中，设 ，可得到关于
y的整式方程为（ ）
A. B.
C. D.
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【例题2】（2024黑龙江齐齐哈尔）如果关于 的分式方程 的解是负数，那么实数
的取值范围是（ ）
A. 且 B. C. D. 且
【对点变式练1】（2024湖北武汉一模）已知关于x的分式方程 的解为非负数，
则正整数m的所有个数
为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【对点变式练2】（2024黑龙江龙东一模）关于x的方程 的解为非负数，则m的
取值范围是____________．
考点2. 分式方程的应用
【例题3】（2024甘肃临夏）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元
销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？
设每袋粽子的原价是 元，所得方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【对点变式练1】（2024新疆一模）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳
礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线
上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，
单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．
设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
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C. D.
【对点变式练2】（2024云南一模）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72
千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到
达．已知小型客车的速度是大型客车速度的 倍，求大型客车的速度．
【对点变式练3】（2024山西一模）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面
两种食品．
（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别
为15元、20元，求购买两种食品各多少份？
（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱
面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多 ，每份杂酱面比每份牛肉面的
价格少6元，求购买牛肉面多少份？
考点1. 分式方程的解法
1. （2024四川泸州）分式方程 的解是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川遂宁）分式方程 的解为正数，则 的取值范围（ ）
A. B. 且
C. D. 且
3. （2024武汉市）分式方程 的解是______．
4. （2024湖南省）分式方程 =1的解是_______．
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5. （2024四川成都市）分式方程 的解是____．
6. （2024四川达州）若关于 的方程 无解，则 的值为______．
7. （2024重庆市A）若关于 的不等式组 至少有2个整数解，且关于 的分式方
程 的解为非负整数，则所有满足条件的整数 的值之和为______．
8. （2024重庆市B）若关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于 的分
式方程 的解均为负整数，则所有满足条件的整数 的值之和是________．
9. （2024广州） 解方程： ．
10. （2024陕西省）解方程： ．
考点2. 分式方程的应用
1. （2024黑龙江绥化）一艘货轮在静水中的航速为 ，它以该航速沿江顺流航行 所
用时间，与以该航速沿江逆流航行 所用时间相等，则江水的流速为（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川达州）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工
30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的 倍，最后两人同时完成．
求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工 个零件．可列方程为（ ）
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A. B.
C. D.
3. （2024山东枣庄）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生
产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件
数为（ ）
A. 200 B. 300 C. 400 D. 500
4. （2024云南省）某旅行社组织游客从 地到 地的航天科技馆参观，已知 地到 地的路程为
300千米，乘坐 型车比乘坐 型车少用2小时， 型车的平均速度是 型车的平均速度的3倍，
求 型车的平均速度．
5. （2024江苏扬州）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型
机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数
相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？
6. （2024山东威海）某公司为节能环保，安装了一批 型节能灯，一年用电 千瓦·时．后购
进一批相同数量的 型节能灯，一年用电 千瓦·时．一盏 型节能灯每年的用电量比一盏 型
节能灯每年用电量的 倍少 千瓦·时．求一盏 型节能灯每年的用电量．
7. （2024内蒙古赤峰）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每
天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单
独修复90千米公路所需要的时间相等．
（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那
么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
8. （2024广西）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液
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浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为 ，每次拧干后校服上都残留 水．
浓度关系式： ．其中 、 分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单
次漂洗所加清水量（单位： ）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
（1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为 ，需要多少清水？
（2）如果把 清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
（3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
考点1. 分式方程的解法
1．把分式方程 ﹣ ＝1化为整式方程正确的是（ ）
A．1﹣（1﹣x）＝1 B．1+（1﹣x）＝1
C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2 D．1+（1﹣x）＝x﹣2
2. 方程 的解是： __________．
3. 解方程： ．
4. 小丁和小迪分别解方程 过程如下：
小丁： 小迪：
解：去分母，得 解：去分母，得
去括号，得 去括号得
合并同类项，得 合并同类项得
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解得 解得
∴原方程的解是 经检验， 是方程的增根，原方程无解
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写
出你的解答过程．
5．解分式方程：
小明同学是这样解答的：
解：去分母，得：x+4＝3（x﹣2）．
去括号，得：x+4＝3x﹣6．
移项，合并同类项，得：﹣2x＝﹣10．
两边同时除以﹣2，得：x＝5．
经检验，x＝5是原方程的解．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
6．观察下列算式：
＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ﹣ ，……
（1）由此可推断： ＝ ；
（2）请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律 ；
（3）仿照以上方法解方程： + ＝ ．
7．若关于x的分式方程 有增根，则 ______．
8．若关于x的分式方程 =2a无解，则a的值为_____．
9. 若关于 的方程 解为正数，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
10．若关于x的一元一次不等式组 的解集为x≥5，且关于y的分式方程
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有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．-1 B．-2 C．-3 D．0
11．“若关于x的方程 无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下：
尖尖： 丹丹：
去分母得：ax＝12+3x﹣9， 去分母得：ax＝12+3x﹣9，
移项得：ax﹣3x＝12﹣9， 移项，合并同类项得：
合并同类项得：
（a﹣3）x＝3，
（a﹣3）x＝3，解得：x＝ ，
∵原方程无解，
∵原方程无解，
∴a﹣3＝0，
∴x为增根，
∴a＝3．
∴3x﹣9＝0，解得x＝3，
∴ ＝3，解得a＝4．
下列说法正确的是（ ）
A．尖尖对，丹丹错
B．尖尖错，丹丹对
C．两人都错
D．两人的答案合起来才对
考点2. 分式方程的应用
1．为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，y 、y 分别表示燃油汽车和燃气
1 2
汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程S（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用
比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为
（ ）
25 10 25 10 25 10 25 10
A． = B． = C． = D． =
x 3x−0.1 x 3x+0.1 3x+0.1 x 3x−0.1 x
2．在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木 50万棵，由于志愿者的加入，
实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的
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方程是（ ）
A． B．
C． D．
3. 为营造良好体育运动氛围，某学校用 元购买了一批足球，又用 元加购了第二批足球，
且所购数量是第一批购买数量的 倍，但单价降了 元，请问该学校两批共购买了多少个足球?
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