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第 10 讲 一次函数的图象与性质
目 录
一、考情分析 二、知识建构
考点一 一次函数的相关概念
题型01 根据一次函数的定义求参数值
题型02 求一次函数的自变量或函数值
考点二 一次函数的图象与性质
题型01 判断一次函数图象
题型02 根据一次函数图象解析式判断象限
题型03 已知函数经过的象限求参数的值或取值范围
题型04 一次函数与坐标轴交点问题
题型05 判断一次函数增减性
题型06 根据一次函数增减性判断参数取值范围
题型07 根据一次函数增减性判断自变量的变化情况
题型08 一次函数的平移问题
题型09 求一次函数解析式
题型10 一次函数的规律探究问题
题型11 一次函数的新定义问题
考点三 一次函数与方程（组）、不等式
题型01 已知直线与坐标轴的交点求方程的解
题型02 由一元一次方程的解判断直线与x轴交点
题型03 利用图象法解一元一次方程
题型04 两直线的交点与二元一次方程组的解
题型05 图象法解二元一次方程组
题型06 求两直线与坐标轴围成的图形面积
题型07 由直线与坐标轴交点求不等式的解集
题型08 根据两条直线交点求不等式的解集
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考点要求 新课标要求 命题预测
结合具体情境体会一次函数的
一次函数的
意义，能根据已知条件确定一次函数的 一次函数的图象与性质是中考数学中比
相关概念
表达式； 较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多
解正比例函数； 的考点.各地对一次函数的图象与性质的考
能画一次函数的图象，根据图 察也主要集中在一次函数表达式与平移、图
象的性质、图象与方程不等式的关系以及一
象和表达式
一次函数的
次函数图象与几何图形面积等五个方面，年
y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0
图象与性质
年考查，总分值为5-10分左右，也因为一次
时图象的变化情况.
函数是一个结合型比较强的知识点，所以其
会运用待定系数法确定一次函
图象和性质也是后续函数问题学习的一个基
数的表达式.
础.故考生在复习这块知识点时，需要特别
一次函数与
熟记对应考点的方法规律.
方程 体会一次函数与二元一次方程
（组）、不 的关系.
等式
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考点一 一次函数的相关概念
正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数.
一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数. 当一次函数
y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）.
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1. 一次函数一般形式的特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数.
2. 正比例函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数.
3. 一次函数本身对自变量没有取值范围的要求，但是如果一次函数中的自变量 x出现在分母，根号内，
则需考虑以下情况： 1）整个分母不能等于0；
2）根号里的整个式子要大于或等于0.
4. 判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.
题型01 根据一次函数的定义求参数值
【例1】（2023·湖南长沙·校考一模）函数y=kx−2的图像经过点P(−1,3)，则k的值为（ ）
1
A．1 B．−5 C． D．−1
3
【变式1-1】（2023下·全国·九年级专题练习）若直线y=kx+k+1经过点(m, n+3)和(m+1, 2n−1)，且
0<k<2，则n的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1-2】（2023·安徽合肥·校考三模）已知点P(m,n)在一次函数y=−2x+1上，且2m−3n≤0，则
下列不等关系一定成立的是（ ）
m 3 m 2 n 3 n 2
A． ≤ B． ≤ C． ≤ D． ≤
n 2 n 3 m 2 m 3
【变式1-3】（2022·安徽合肥·统考二模）已知直线y=-4x-6经过点（m，n），且2m-7n≤0，则下列关系式
正确的是（ ）
m 2 m 2 n 2 n 2
A． ≤ B． ≥ C． ≤ D． ≥
n 7 n 7 m 7 m 7
71．（2023·黑龙江大庆·大庆外国语学校校考模拟预测）若以关于x，y的二元一次方程组¿的解为坐标的
2
点在一次函数y=− x+4的图像上，则k的值为 ．
3
题型02 求一次函数的自变量或函数值
【例2】（2023·广东广州·统考一模）点(3,b)在一次函数y=2x−7的图象上，则b的值为（ ）
A．13 B．1 C．5 D．−1
【变式2-1】（2023·广东深圳·校联考模拟预测）若正比例函数y=kx，当x=1时，y=2，则下列各点在该
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函数图象上的是（ ）
A．(−1,−2) B．(−1,2) C．(1,−2) D．(2,1)
【变式2-1】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）若方程2x−6=0的解，是一个一次函数的函数值
为2时，对应的自变量的值，则这个一次函数可以是（ ）
A．y=2x−4 B．y=−2x+4 C．y=2x−6 D．y=−2x+6
考点二 一次函数的图象与性质
一、一次函数的图象特征及性质
图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）.
b
一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0）
k
增减性 k>0 k<0
从左向右看图像呈上升趋势， 从左向右看图像呈下降趋势，
y随x的增大而增大 y随x的增大而减少
图象 y y y y y y
x x x
x x x
O O O
O O O
b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0
经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四
一、二、四 二、四 二、三、四
与y轴 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上
交点位置
二、一次函数图象
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一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到：
当b>0时，向上平移b个单位长度；
图象关系
当b<0时，向下平移|b|个单位长度
平移口诀：左加有减，上加下减
因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两
点即可，
图象确定
b
1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(− ，0)两点；
k
2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可.
三、k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
b b
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=− ，即直线y=kx+b与x轴交于(− ,0)
k k
令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b)
b
1）当− > 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
k
b
2）当− = 0，即b=0时，直线经过原点．
k
b
3）当− < 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
k
四、两个一次函数表达式（直线l：y=kx＋b 与l：y=kx＋b）的位置关系：
1 1 1 1 2 2 2 2
1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合；
2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行；
3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）；
4）当k1•k2=-1时，两直线垂直；
5）当k1≠k2时，两直线相交.
五、用待定系数法确定一次函数解析式
确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法.
用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：
1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)；
2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组；
3）解方程或方程组求出k，b的值；
4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式.
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六、正比例函数与一次函数的联系与区别
正比例函数 一次函数
一般形式 y=kx+b（k是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）
图象 经过原点的一条直线 一条直线
k的符号决定其增减性；
k，b符号 k的符号决定其增减性，
区别
b的符号决定直线与y轴的交点位置；
的作用 同时决定直线所经过的象限
k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置
求解析式 只需要一对x，y的对应值
需要两对x，y的对应值或两个点的坐标
的条件 或一个点的坐标
1）正比例函数是特殊的一次函数．
2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个
不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．
3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）
联系 或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx
（k≠0）平行．
4）一次函数与正比例函数有着共同的性质：
①当k>0时，y的值随x值的增大而增大；
②当k<0时，y的值随x值的增大而减小．
1. 正比例函数y= kx中，|k|越大，直线y= kx越靠近y轴；反之，|y|越小，直线y= kx越靠近x轴.
2. 判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关.
3. 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大
值与最小值.但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限，学生做题时要注意具
体问题具体分析.
b
4. 一次函数y= kx+b（k≠0）与x轴交于(− , 0)，与y轴交于(0，b)，且这两个交点与坐标轴原点
k
1 | b|
构成的三角形面积为s= ⋅− ⋅|b|.
2 k
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题型01 判断一次函数图象
【例1】（2023·湖北武汉·模拟预测）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高
度h随时间t的函数是一次函数．这个容器的形状可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·浙江丽水·统考一模）将一圆柱体从水中匀速提起，从如图所示开始计时，直至其下表
面刚好离开水面，停止计时．用x表示圆柱体运动时间，y表示水面的高度，则y与x之间函数关系的图象
大致是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·福建漳州·统考模拟预测）如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立
平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为y =k x,y =k x，则关于k 与k 的
1 1 2 2 1 2
关系，正确的是（ ）
A．k <0<k B．k <0<k C．k <k <0 D．k <k <0
2 1 1 2 1 2 2 1
【变式1-3】（2023·浙江温州·统考一模）在平面直角坐标系中，有四个点A(2,5)，B(1,3)，C(3,1)，
D(−2,−3)，其中不在同一个一次函数图象上的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【变式1-4】（2023·安徽滁州·校联考一模）已知一次函数y=x+2的图象经过点P(a，b)，其中a≠0，
b≠0，则关于x的一次函数y=ax+b和y=bx+a的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
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题型02 根据一次函数图象解析式判断象限
【例2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则
一次函数y=−kx+2k的图象所经过的象限是（ ）
A．一、二、四 B．一、二、三 C．一、三、四 D．二、三、四
【变式2-1】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考二模）已知正比例函数y=kx中，y随x的增大而增大，
则一次函数y=−kx+k的图象所经过的象限是（ ）
A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
【变式2-2】（2022·河南南阳·统考三模）若一元二次方程x2−4x+4m=0有两个相等的实数根，则正比例函
数y=（m+2）x的图象所在的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【变式2-3】（2023·浙江衢州·统考二模）在平面直角坐标系中，若一次函数y=mx+m(m≠0)的图象过
点(1,2)，则该函数图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式2-4】（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）一元二次方程x2−2x−4=0有两个
实数根a，b，那么一次函数y=(1−ab)x+a+b的图象一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
k
【变式2-5】（2023·四川广安·统考一模）若反比例函数y= (k≠0)的图像经过点(2,−4)，则一次函数
x
y=kx−k(k≠0)的图像不经过（ ）象限．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型03 已知函数经过的象限求参数的值或取值范围
【例3】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）若正比例函数y=kx的图象经过点A(k，9)，且经过第
二、四象限，则k的值是（ ）
A．−9 B．−3 C．3 D．−3或3
【变式3-1】（2022·陕西西安·校考三模）在平面直角坐标系中，点A(1,2)、B(3,−2)、C(m,4)分别
在三个不同的象限．若正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过其中两点，则m=（ ）
4 3
A．2 B．−6 C．− D．−
3 2
【变式3-2】（2023·浙江杭州·统考一模）已知y−m与x−1成正比例，且当x=−2时，y=3．若y关于x
的函数图象经过二、三、四象限，则m的取值范围为（ ）
3 3 3 3
A．− <m<0 B．− <m<0 C．m<− D．m<−
2 4 2 4
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【变式3-3】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）已知直线y=kx+b经过第一、二、三
象限，且点(3,1)在该直线上，设m=3k−b，则m的取值范围是（ ）
A．0<m<1 B．−1<m<1 C．1<m<2 D．−1<m<2
对于y=kx+b与y轴交于(0,b)，当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当
b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴；当k>0，b>0 y=kx+b的图象在一、二、三象
限；k>0，b<0 y=kx+b的图象在一、三、四象限；k<0，b>0 y=kx+b的图象在一、二、四象限；
⇔
k<0，b<0 y=kx+b的图象在二、三、四象限.
⇔ ⇔
⇔
题型04 一次函数与坐标轴交点问题
【例4】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）一次函数y=kx−5和y=2x+b（k、b为常数）
的图象关于y轴对称，则k，b的值分别为（ ）
A．k=2,b=5 B．k=−2,b=5 C．k=2,b=−5 D．k=−2,b=−5
【变式4-1】（2023·陕西西安·校考二模）在平面直角坐标系中，将函数y=−2x−4的图象向右平移3个
单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为（ ）
A．(−1,0) B．(1,0) C．(−5,0) D．(5,0)
【变式4-2】（2023·陕西渭南·统考二模）若直线l :y=kx+2与直线l :y=−x+b关于x轴对称，则l 与l
1 2 1 2
的交点坐标是( )
A．(0，−2) B．(−2，0) C．(2，0) D．(0，2)
【变式4-3】（2023·福建莆田·校考模拟预测）已知直线l：y=2x+1与直线l'关于x轴对称，则直线l'的解
析式是（ ）
A．y=−2x+1 B．y=2x−1 C．y=−x−2 D．y=−2x−1
4
【变式4-4】（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，直线y= x+4交两坐标轴于
3
A，B两点，点P为直线AB上一点，则线段OP的最小值是 ．
【变式4-5】（2023·河北唐山·模拟预测）已知，一次函数的图象经过点(3,3)和点(1,−1)，
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(1)求这个一次函数的表达式，并求出图象与x轴、y轴的交点坐标，
(2)如果正比例函数y=k x与所求的一次函数平行，请直接写出k 的值、
1 1
(3)在同一平面直角坐标系中画出（1），（2）中的一次函数图象和正比例函数图象．
题型05 判断一次函数增减性
3
【例5】（2023·全国·九年级假期作业）如图，一次函数y= x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点
2
B，下列说法错误的是（ ）
A．点A的坐标是(−2，0) B．△AOB的面积是3
C．当x>0时，函数值y>3 D．y随x的增大而减小
【变式5-1】（2023·浙江·一模）已知(x ,y ),(x ,y ),(x ,y )为直线y=kx−2k(k>0)上的三个点，且
1 1 2 2 3 3
x <x <x ，则以下判断正确的是（ ）
1 2 3
A．若x x >0，则y ⋅y >0 B．若x x <0，则y ⋅y >0
1 2 1 3 1 3 1 2
C．若x x >0，则y ⋅y >0 D．若x x <0，则y y >0
2 3 1 3 2 3 1 2
【变式5-2】（2023·陕西咸阳·二模）已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经第二、四象限，若点
A(−1,y )，B(1,y )都在一次函数y=kx−2图象上，则y 与y 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A．y <y B．y = y C．y >y D．y ≤ y
1 2 1 2 1 2 1 2
【变式5-3】（2022下·吉林松原·九年级校考阶段练习）一次函数y=kx+1的图象经过点A，且y随x的增
大而减小，则点A的坐标可以是（ ）
A．(−1，2) B．(1，2) C．(2,3) D．(3,4)
【变式5-4】（2023上·浙江金华·九年级统考期末）在下列一次函数中，其图象过点(−1,3)且y随x的增大
而减小的是（ ）
A．y=2x+5 B．y=x+2 C．y=−2x+1 D．y=−x+1
题型06 根据一次函数增减性判断参数取值范围
【例6】（2022·陕西西安·统考二模）若正比例函数y=(1−2m)x的图像经过点A(x ,y )和点B(x ,y )，
1 1 2 2
当x <x 时，y >y ，则m的取值范围是（ ）
1 2 1 2
1 1
A．m<0 B．m>0 C．m< D．m>
2 2
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【变式6-1】（2023·陕西西安·西安市第二十六中学校考模拟预测）一次函数y=kx+3的图象经过点
(−1，5)，若自变量x的取值范围是−2≤x≤5，则y的最小值是（ ）
A．−10 B．−7 C．7 D．11
【变式6-2】（2023下·全国·九年级期末）已知A(a，b)、B(c，d)是一次函数y=kx−2x−1图象上
的不同的两个点，若(c−a)(d−b)<0，则k的取值范围是（ ）
A．k<3 B．k>3 C．k<2 D．k>2
【变式6-3】（2023·河南·九年级统考学业考试）已知点M(m,y ),N(−1,y )在直线y=−x+1上，且
1 2
y >y ，则m的取值范围是 ．
1 2
【变式6-4】（2023·河南·九年级统考学业考试）已知点M(m,y ),N(−1,y )在直线y=−x+1上，且
1 2
y >y ，则m的取值范围是 ．
1 2
对于一次函数y=kx+b(k≠0)来说，当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减
小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．
题型07 根据一次函数增减性判断自变量的变化情况
【例7】（2023·江苏连云港·统考二模）一次函数y=ax−2的图像经过点(3,0)，当y>0时，x的取值范围
是 ．
【变式7-1】（2021·江苏苏州·统考中考真题）若2x+ y=1，且0<y<1，则x的取值范围为 ．
【变式7-2】（2022·江苏苏州·苏州市第十六中学校考一模）若2x-y＝1．且0<y<1．则x的取值范围为
．
题型08 一次函数的平移问题
【例8】（2023·陕西西安·校考一模）将直线y=−2x+7向左平移3个单位，向上平移2个单位后得到的直
线是（ ）
A．y=−2x+3 B．y=−2x−5 C．y=−2x+9 D．y=−2x−7
【变式8-1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）将正比例函数y=x向上平移1个单位长度，则平移后的函
数图象与一次函数y=−3x+m的图象的交点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式8-2】（2022·陕西西安·校考模拟预测）把直线y=−5x沿着y轴平移后得到直线AB，直线AB经过
点(a,b)，且5a+b=−2，则直线AB的函数表达式是（ ）
A．y=−5x+2 B．y=−5x−2 C．y=5x+2 D．y=5x−2
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【变式8-3】（2023·陕西咸阳·校考二模）在平面直角坐标系中，将直线y=kx+4(k≠0)向右平移2个单位
长度后所得的直线经过坐标原点，则k的值为（ ）
A．−2 B．−1 C．2 D．1
【变式8-4】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，将直线y=3x+b向右
平移2个单位，平移后的直线经过第四象限，则b的值不可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式8-5】（2022·上海徐汇·统考二模）将函数y=kx的图像向下平移2个单位后，经过点(1,0)，那么y
的值随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
题型09 求一次函数解析式
【例9】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕，他将本次销售情
况进行了跟踪记录，根据所记录的数据绘制如下的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）
之间的函数关系如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．第10天销售20千克 B．第7天和第16天的日销售量相同
C．一天最多销售30千克 D．第16天比第1天多销售22千克
2
【变式9-1】（2021·广东广州·二模）如图所示，直线y= x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB
3
为边，在第二象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，则过B、C两点直线的解析式为（ ）
1 1 1
A．y= x+2 B．y=− x+2 C．y= x+2 D．y=−2x+2
3 5 4
【变式9-2】（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）已知点A，B(−3,b)在一次函数
y=kx+4的图象上，且点A与点C(2,−5)关于x轴对称，则b的值为（ ）
5 19 14 5
A． B．− C． D．−
2 2 5 2
1
【变式9-3】（2023·陕西西安·校考模拟预测）直线y= x+2交x轴于A，交y轴于B，直线AB绕原点旋
2
转180度后的直线解析式为（ ）
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1 1 1 1
A．y= x−2 B．y= x+2 C．y=− x−2 D．y=− x+2
2 2 2 2
【变式9-4】（2022·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，有三个点A(−3,1)，B(−1,5)，
C(0,m)，当△ABC的周长最短时，m的值为 ．
【变式9-5】．（2023·山西太原·山西实验中学校考模拟预测）如图，我国传统计重工具杆秤的应用方便了
人们的生活．某兴趣小组为探究秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x(x≥4)厘米与秤钩所挂物体质量y千克之
间的关系，进行了6次称重，下表为称重时所记录的一些数据．
2
x 4 12 16 24 36
8
y 0 1 1.5 2.5 3 4
根据表格中的数据，写出y关于x的函数表达式： ．
【变式9-6】（2023·江苏泰州·校考三模）已知直线l过点A(0,−2)且平行于x轴，点B的坐标为(0,2)，将
直线l绕点B逆时钟旋转60°，则旋转后的直线对应的函数表达式为 ．
【变式9-7】（2022·河北·模拟预测）已知直线y=kx+b中，自变量x的取值范围是−1≤x≤7，相应函数
值的范围是−12≤ y≤8，求该函数的解析式．
题型10 一次函数的规律探究问题
【例10】（2021·河南新乡·统考一模）如图，平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,2)，以O为圆心，
1
1
OA 的长为半径画弧，交直线y= x于点B ；过点B 作B A // y轴交直线y=2x于点A ，以O为圆心，
1 2 1 1 1 2 2
1
OA 长为半径画弧，交直线y= x于点B ；过点B 作B A // y轴交直线y=2x于点A ，以点O为圆心，
2 2 2 2 2 3 3
1
OA 长为半径画弧，交直线y= x于点B ；…按如此规律进行下去，点B 的坐标为（ ）
3 2 3 2021
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A．(22021,22021
)
B．(22021,22020
)
C．(22020,22021
)
D．(22022,22021
)
【变式10-1】（2020·河南鹤壁·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，
点A 的坐标为(1,0)，过点A 作x轴的垂线交直线l于点D ，以A D 为边作正方形A B C D ；过点C 作
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
直线l的垂线，垂足为A ，交x轴于点B ，以A B 为边作正方形A B C D ；过点C 作x轴的垂线，垂足
2 2 2 2 2 2 2 2 2
为A ，交直线l于点D ，以A D 为边作正方形A B C D ，…，按此规律操作下所得到的正方形
3 3 3 3 3 3 3 3
A B C D 的面积是（ ）
n n n n
(9) n (9) n−1 (3) n (3) n−1
A． B． C． D．
2 2 2 2
【变式10-2】（2023·黑龙江佳木斯·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A ，A ，A ，A ，…
1 2 3 4
在x轴上且OA =1，OA =2OA ，OA =2OA ，OA =2OA ，…，按此规律，过点
1 2 1 3 2 4 3
A ，A ，A ，A ，…作x轴的垂线分别与直线y=√3x交于点B ，B ，B ，B …．连接
1 2 3 4 1 2 3 4
B A ，B A ，B A ，…，记△B A B ，△B A B ，△B A B ，…的面积分别为
1 2 2 3 3 3 1 2 2 2 3 3 3 4 4
S ，S ，S ，…，则S = ．
1 2 3 2023
【变式10-3】（2023·山东枣庄·校考一模）如图△OA B 、△A A B 、△A A B 都是等腰直角三角形，
1 1 1 2 2 2 3 3
1 2
直角顶点B 、B ，B 均在直线l上，直线l的解析式为y= x+ ，点B 的横坐标为1，根据此规律第n个等
1 2 3 3 3 1
腰直角三角形A ❑ A B 的面积为 ．
n −1 n n
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√3
【变式10-4】（2023·山东东营·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y= x+1与直线l ：
1 3 2
y=√3x交于点A ，过A 作x轴的垂线，垂足为B ，过B 作l 的平行线交l 于A ，过A 作x轴的垂线，垂
1 1 1 1 2 1 2 2
足为B ，过B 作l 的平行线交l 于A ，过A 作x轴的垂线，垂足为B …按此规律，则点A 的纵坐标为
2 2 2 1 3 3 3 2023
．
【变式10-5】（2023·湖南衡阳·衡阳市华新实验中学校考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点
1
A (2，2)在直线y=x上，过点A 作A B ∥y轴，交直线y= x于点B，以A 为直角顶点，A B 为直角
1 1 1 1 2 1 1 1
1
边，在A B 的右侧作等腰直角三角形A B C ；再过点C 作A B ∥y轴，分别交直线y=x和y= x于
1 1 1 1 1 1 2 2 2
A ，B 两点，以A 为直角顶点，A B 为直角边，在A B 的右侧作等腰直角三角形A B C …按此规律进
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
行下去，点C 的横坐标为 ．
2021
【变式10-6】（2022·山东泰安·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，△P OA ，△P A A ，
1 1 2 1 2
1
△P A A ，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P (3，3)，P ，P ，…均在直线y=− x+4上，设
3 2 3 1 2 3 3
△P OA ，△P A A ，△P A A ，…面积分别为S ，S ，S ，…依据图形所反映的规律，S =
1 1 2 1 2 3 2 3 1 2 3 2022
．
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题型11 一次函数的新定义问题
b
【例11】（2022·贵州遵义·统考一模）定义新运算：a◎b= (a≠0)．对于函数y=3◎x，下列说法正确
a
的是（ ）
A．函数的图象经过第二、四象限 B．函数的图象经过点(1,3)
C．y随x的增大而增大 D．函数的图象是双曲线
【变式11-1】（2022·江苏宿迁·统考二模）在平面直角坐标系中，对于点P(x ,y )，给出如下定义：当点
1 1
Q(x ,y )满足x +x = y + y 时，称点Q是点P的等和点．已知：点P(2,−1)，如Q (−5,−2)、Q (0,3)
2 2 1 2 1 2 1 2
都是点P的等和点．若点A在直线y=−x+3上，点P的等和点也是点A的等和点，则点A的坐标（ ）
A．(−3,6) B．(−1,4) C．(4,−1) D．(3,0)
【变式11-2】（2023·上海嘉定·统考二模）新定义：函数图象上任意一点P(x，y)，y−x称为该点的
“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数
y=2x+3(−2≤x≤1)的“特征值”是 ．
【变式11-3】（2023·江苏苏州·统考一模）对某一个函数给出如下定义：若存在正数M，函数值y都满足
|y|≤M，则称这个函数是有界函数．其中，M的最小值称为这个函数的边界值．若函数y=2x+1（
a≤x≤b，且a≠b）中，y的最大值是2，边界值小于3，则a应满足的条件是 ．
考点三 一次函数与方程（组）、不等式
一、一次函数与一元一次方程
思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程
可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值.
从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值
从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标.
二、一次函数与二元一次方程组
思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常
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数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所
以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应
两条直线.
从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数
值是何值；
从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程
组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标.
二、一次函数与一元一次不等式
思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上
(下)方的图象所对应的x的取值范围.
从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量
的取值范围；
从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件.
1） 二元一次方程组的图解法的定义：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的
二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫做二元一次方程组的图解法
题型01 已知直线与坐标轴的交点求方程的解
【例1】（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(−3,0)，
则关于x的方程−kx+b=0的解为（ ）
A．x=3 B．x=−3 C．x=0 D．x=2
【变式1-1】（2023·浙江台州·统考一模）如图，直线y=ax+b(a≠0)与x轴交点的横坐标为1，则关于x
的方程ax+b=0的解为（ ）．
A．1 B．−1 C．2 D．−2
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题型02 由一元一次方程的解判断直线与x轴交点
【例2】（2021·安徽合肥·统考二模）若x=2是关于x的方程mx+n=0(m≠0,n>0)的解，则一次函数
y=−m(x−1)−n的图象与x轴的交点坐标是（ ）
A．(2,0) B．(3,0) C．(0,2) D．(0,3)
【变式2-1】（2023·浙江嘉兴·统考一模）在平面直角坐标系中，点P(2,4)是一个光源，木杆AB两端的坐
标分别是(1,2)，(4,1)，则木杆AB在x轴上的投影A'B'的长是（ ）
14 9
A．4 B． C． D．5
3 2
题型03 利用图象法解一元一次方程
【例3】（2022·陕西西安·校考三模）如图是一次函数y＝ax+b的图象，则关于x的方程ax+b＝1的解为（
）
A．0 B．2 C．4 D．6
【变式3-1】如图，直线y＝kx+b(k≠0)经过点P(﹣3，2)，则关于x的方程kx+b＝2的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．无法确定
题型04 两直线的交点与二元一次方程组的解
【例4】（2022·湖北武汉·统考模拟预测）1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升．与此同
时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升，两个气球都上升了1h．如图是两个气球
所在位置的海拔y（单位：m）与上升时间x（单位：min）的函数图象，则两图象交点P的坐标是（ ）
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A．(18,20) B．(20,25) C．(22,30) D．(24,35)
【变式4-1】（2022·福建泉州·校考模拟预测）一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程对应
的图象都是一条直线．已知如图过第一象限上A点的直线是方程x−y=b(b<−1)的图象，若点A的坐标
恰为关于x，y的二元一次方程组¿的解，则a的值可能是（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．2
【变式4-2】（2023·陕西榆林·校考三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=2x+6和y=ax−1的图
象相交于点P(−1，m)，则关于x，y的方程组¿的解为（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【变式4-3】（2023·广东深圳·校考一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y =ax+b(a≠0)与
1
y =mx+n(m≠0)的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
2
A．y 随x的增大而减小
1
B．b<n
C．当x<2时，y >y
1 2
D．关于x，y的方程组¿的解为¿
题型05 图象法解二元一次方程组
【例5】（2021·广东广州·统考二模）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应
的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（ ）．
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A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【变式5-1】（2020·陕西西安·高新一中校考模拟预测）若直线l 经过点（﹣1，0），l 经过点（2，2），
1 2
且l 与l 关于直线x＝1对称，则l 和l 的交点坐标为（ ）
1 2 1 2
A．（1，4） B．（1，2） C．（1，0） D．（1，3）
【变式5-2】（2020蓬江区二模）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关
于x、y的二元一次方程组¿的解是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
题型06 求两直线与坐标轴围成的图形面积
1
【例6】（2023·陕西榆林·统考二模）已知一次函数y= x+m与y=−x+n的图象都经过点A(−2,0)，且
2
与y轴分别交于B，C两点，则△ABC的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式6-1】（2023·辽宁沈阳·校联考一模）直线l 和l 在直角坐标系中的位置如图所示，则直线l 和l 与y
1 2 1 2
轴围成的图形的面积为（ ）
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A．4 B．3 C．2 D．1
3 x
【变式6-2】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）已知一次函数y= x+m与y=− +n的图
2 2
象都经过点A(−4,0)，且与y轴分别交于B，C两点，则△ABC的面积是( )
A．12 B．13 C．16 D．18
【变式6-3】（2023·内蒙古包头·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+2与x轴相交于点
A，与y轴相交于点B，四边形ABCO是平行四边形，直线y=−x+n经过点C，且与x轴相交于点D,BD与
OC相交于点E，记四边形ABEO，△DCE的面积分别为S ,S ，则S :S 等于（ ）
1 2 1 2
A．5:3 B．2:1 C．7:3 D．3:1
题型07 由直线与坐标轴交点求不等式的解集
【例7】（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，一次函数y=x+b的图象过点(−2,3)，则不
等式x+b>3的解是（ ）
A．x>−2 B．x>3 C．x<−2 D．x<3
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【变式7-1】（2023·陕西商洛·校考三模）如图，一次函数y=−2x+b的图象与y轴交于点(0,−4)，当
−4<y<0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x<−2 B．−2<x<0 C．0<x<2 D．−4<x<0
【变式7-2】（2023·山东淄博·统考一模）已知函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式
k(x+3)+b<0的解集是（ ）
A．x>−1 B．x<−1 C．x<2 D．x>2
题型08 根据两条直线交点求不等式的解集
【例8】（2023·广东深圳·校考一模）如图所示，一次函数y=kx+b（k，b是常数k≠0）与正比例函数
y=mx（m是常数，m≠0）的图象相交于点M(1,2)，下列判断错误的是（ ）
A．关于x的方程mx=kx+b的解是x=1 B．关于x的不等式mx<kx+b的解集是x>1
¿ ¿
C．当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大D．关于x，y的方程组 的解是
¿ ¿
【变式7-3】（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，直线y=ax+b与x轴交于点A(7,0)，与直线y=kx交于点
B(2,4)，则不等式0<kx≤ax+b的解集为（ ）
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A．x≤2 B．x≥2 C．0<x≤2 D．2≤x≤6
【变式7-4】（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a、b为常数，
且a≠0）的图像与一次函数y=x+4的图像相交于点P，若点P的纵坐标为8，则关于x的不等式
ax+b>x+4的解集是（ ）
A．x>8 B．x<8 C．x>4 D．x<4
24
