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重难点 05 反比例函数与一次函数的综合
考点一：一次函数
一次函数在中考数学中主要考察其图象、性质以及其简单应用，考察题型较为灵活。但是一张中考数
学与试卷中，单独考察一次函数的题目占比并不是很大，更多的是考察一次函数与其他几何知识的结合。
占比也比较大，需要对该考点掌握的更为熟练。
题型01 一次函数图象上点的坐标特征
解题大招01：一次函数解析求法是待定系数法，即：①设，②代，③解，④写；
解题大招02：当说明“点在函数图象上”时，立刻想“点的坐标符合其解析式”；
解题大招03：一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标；
解题大招04：一次函数图象平移规律：左加右减（x），上加下减（整体）；
【中考真题练】
1．（2023•临沂）对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（
）
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A．k＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k＝﹣ b
2．（2023•雅安）在平面直角坐标系中，将函数y＝x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个
单位长度，所得直线的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x+1 B．y＝x+1 C．y＝﹣x﹣1 D．y＝x﹣1
3．（2023•荆州）如图，直线y＝﹣ x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转
90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（ ）
A．（2，5） B．（3，5） C．（5，2） D．（ ，2）
4．（2023•无锡）一次函数y＝x﹣2的图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ．
5．（2023•苏州）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3）和（﹣1，2），则k2﹣b2＝ ．
6．（2023•南充）如图，直线y＝kx﹣2k+3（k为常数，k＜0）与x，y轴分别交于点A，B，则 + 的值
是 ．
7．（2023•青海）如图是平面直角坐标系中的一组直线，按此规律推断，第5条直线与x轴交点的横坐标
是 ．
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8．（2023•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在直线l ：y＝ x上，顶点B在x轴
1
上，AB垂直x轴，且OB＝2 ，顶点C在直线l ：y＝ x上，BC⊥l ；过点A作直线l 的垂线，垂
2 2 2
足为C ，交x轴于B ，过点B 作A B 垂直x轴，交l 于点A ，连接A C ，得到第一个△A B C ；过点
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A 作直线l 的垂线，垂足为C ，交x轴于B ，过点B 作A B 垂直x轴，交l 于点A ，连接A C ，得到
1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2
第二个△A B C ；如此下去，…，则△A B C 的面积是 ．
2 2 2 2023 2023 2023
9．（2023•西宁）一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴交于点A，且经过点B（m，4）．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）直接在图的平面直角坐标系中画出一次函数y＝2x﹣4的图象；
（3）点P在x轴的正半轴上，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐
标．
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【中考模拟练】
1．（2024•长丰县模拟）如图，直线 与坐标轴交于点A、B，过点B作AB的垂线交x轴于点
C，则点C的坐标为（ ）
A． B．（﹣6，0） C． D．
2．（2024•静安区二模）一次函数y＝kx+b中，如果k＜0，b≥0，那么该函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024•太白县一模）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣5x+m（m是常数）的图象上有两点A（x ，
1
y ），B（x ，y ），若x ＞x ，则 y 与y 的大小关系是（ ）
1 2 2 1 2 1 2
A．y ＞y B．y ＜y C．y ＝y D．y ≥y
1 2 1 2 1 2 1 2
4．（2024•衡南县模拟）已知：如图，直线y＝﹣2x+4分别与x轴，y轴交于A、B两点，点P（1，0），
若在直线AB上取一点M，在y轴上取一点N，连接MN、MP、NP，则MN+MP+NP的最小值是
（ ）
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A．3 B． C． D．
5．（2024•普陀区二模）已知直线y＝2x+4与直线y＝1相交于点A，那么点A的横坐标是 ．
6．（2023•郸城县三模）某班数学兴趣小组对函数y＝﹣2|x﹣1|+3的图象与性质进行了探究，探究过程如
下：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y＝﹣2|x﹣1| … ﹣5 m ﹣1 1 3 1 n ﹣3 ﹣5 …
+3
填空：m＝ ，n＝ ；
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出该函数的两条性质：① ；②
；
（4）点A（a，b）是该函数图象上一点，现已知点A在直线y＝2的下方，且b＞﹣2，那么a的取值范
围是 ．
7．（2023•太平区二模）小明在学习一次函数后，对形如y＝k（x﹣m）+n（其中k，m，n为常数，且
k≠0）的一次函数图象和性质进行了探究，过程如下：
【特例探究】
（1）如图所示，小明分别画出了函数y＝（x﹣2）+1，y＝﹣（x﹣2）+1，y＝2（x﹣2）+1的图象（网
格中每个小方格边长为1），请你根据列表、描点、连线的步骤在图中画出函数y＝﹣2（x﹣2）+1的图
象．
【深入探究】
（2）通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现y＝k（x﹣2）+1（k为常数，且k≠0）的图象一
定会经过的点的坐标是 ．
归纳：函数y＝k（x﹣m）+n（其中k、m、n为常数，且k≠0）的图象一定会经过的点的坐标是
．
【实践运用】
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（3）已知一次函数y＝k（x+2）+3（k为常数，且k≠0）的图象一定过点N，且与y轴相交于点A，若
△OAN的面积为4，求k的值．
8．（2023•花都区一模）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点
B．
（1）k的值是 ；
（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．
①如图，点D的坐标为（6，0），点E的坐标为（0，1），若四边形OECD的面积是9，求点C的坐
标；
②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，若四边形OECD的周长是10，请直接写出点C的坐标．
题型02 一次函数的应用
解题大招01：常用等量关系：总利润=单件利润×数量
解题大招02：利用函数的增减性得到最大利润
解题大招03：和函数图象结合时，注意图象对应的“起点”、“拐点”、“终点”的意义
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【中考真题练】
1．（2023•山西）一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物
体，弹簧伸长0.5cm，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数
关系式为（ ）
A．y＝12﹣0.5x B．y＝12+0.5x C．y＝10+0.5x D．y＝0.5x
2．（2023•聊城）甲乙两地相距a千米，小亮8：00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶
往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮
与小莹相遇的时刻为（ ）
A．8：28 B．8：30 C．8：32 D．8：35
3．（2023•郴州）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会
展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以
下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．途中修车花了30min
B．修车之前的平均速度是500m/min
C．车修好后的平均速度是80m/min
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D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍
4．（2023•朝阳）甲乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑
行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离y（米）和骑行
的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①a＝450；②b＝150；③甲的速度
为10米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒．其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
5．（2023•镇江）小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程s（m）与时间t（min）
之间的函数关系，已知小明购物用时30min，返回速度是去商场的速度的1.2倍，则a的值为（ ）
A．46 B．48 C．50 D．52
6．（2023•威海）一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如
图所示．当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x；当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达
式为 ．
7．（2023•恩施州）为积极响应州政府“悦享成长•书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，
因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；
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购买6套男装与购买5套女装的费用相同．
（1）男装、女装的单价各是多少？
（2）如果参加活动的男生人数不超过女生人数的 ，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有
几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
8．（2023•青岛）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：
品名 A B
进价（元/件） 45 60
售价（元/件） 66 90
（1）第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？
（2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了
10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量
不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．
①请求出W与m的函数关系式；
②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
9．（2023•黑龙江）已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同
一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车
相距120km，货车继续出发 h后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15
分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合
图象回答下列问题：
（1）图中a的值是 ；
（2）求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数
关系式；
（3）直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km．
【中考模拟练】
1．（2024•兰山区校级模拟）甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．端午节期间两家商场都
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让利酬宾，两家商场的购物金额y甲 、y乙 （单位：元）与商品原价x（单位：元）之间的关系如图所示，
张阿姨计划在其中一家商场购原价为620元的商品，从省钱的角度你建议选择（ ）
A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．不确定
2．（2024•锡山区一模）明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮
的速度（忽略掉头等时间）．明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始到第二
次相遇止，两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系的图象，则下列结论错误的是（
）
A．a＝2100 B．b＝2000 C．c＝20 D．
3．（2024•中山市校级模拟）我市供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，
所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；
②乙队开挖两天后，每天挖50米；③当x＝4时，甲、乙两队所挖管道长度相同；④甲队比乙队提前
2天完成任务．正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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4．（2024•市中区一模）A，B两地相距60km，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀
速行驶．乙在途中休息了0.5h后按原速度继续前进．两人到A地的距离s（km）和时间t（h）的关系如
图所示，则出发 h后，两人相遇．
5．（2024•昆山市一模）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池
中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，
注水时间为 时．
6．（2024•桑植县一模）某校运动会需购买A，B两种奖品，若购买A种奖品2件和B种奖品1件，共需
35元；若购买A种奖品1件和B种奖品2件，共需40元．
（1）求A、B两种奖品的单价各是多少元？
（2）学校计划购买A，B两种奖品共100件，购买费用不超过1135元，且A种奖品的数量不大于B种
奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W（元）与m（件）之间的函数关系
式．求出自变量m的取值范围，并确定最少费用W的值．
7．（2024•绥化模拟）根据以下素材，探索完成任务一：
如何设计购买方案？
素材1 某校40名同学要去参观航天展览馆，e知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购
买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B
场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元
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素材2 由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位
同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门
票就赠送1张C场馆门票．
问题解决
任务1 确定场馆门票价格 求A场馆和B场馆的门票价格．
任务2 探究经费的使用 若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的
同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．
任务3 拟定购买方案 若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需购买
部分门票，且让去A场馆的人数尽量的多，最终购买三种
门票共花费了1100元，请你直接写出购买方案．
购买方案
门票类型 A B C
购买数量/张
探索完成任务二：
如图，在参观航天展览馆活动中，某班学生分成两组，第一组由A场馆匀速步行到B场馆后原路原速返
回，第二组由A场馆匀速步行到B场馆继续前行到C场馆后原路原速返回．两组同时出发，设步行的时
间为t（单位：h），两组离B场馆的距离为s（单位：km），图中折线分别表示两组学生s与t之间的
函数关系．
（1）B，C两场馆之间的距离为 km；
（2）第二组步行的速度为 km/h；
（3）求第二组由A场馆出发首次到达B场馆所用的时间．
题型03 一次函数与几何的综合
解题大招：一次函数与几何图形结合时，与谁结合，就想结合图形具有的性质以及一次函数图象点的坐标
特征；
【中考真题练】
1．（2023•兰州）在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形M上任意一点，如果点P到直线EF的
距离等于图形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线EF的“伴随点”．例如：如图1，已
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知点A（1，2），B（3，2），P（2，2）在线段AB上，则点P是直线EF：x轴的“伴随点”．
（1）如图2，已知点A（1，0），B（3，0），P是线段AB上一点，直线EF过G（﹣1，0），T（0，
）两点，当点P是直线EF的“伴随点”时，求点P的坐标；
（2）如图3，x轴上方有一等边三角形ABC，BC⊥y轴，顶点A在y轴上且在BC上方，OC＝ ，点
P是△ABC上一点，且点P是直线EF：x轴的“伴随点”，当点P到x轴的距离最小时，求等边三角形
ABC的边长；
（3）如图4，以A（1，0），B（2，0），C（2，1）为顶点的正方形ABCD上始终存在点P，使得点P
是直线EF：y＝﹣x+b的“伴随点”，请直接写出b的取值范围．
2．（2023•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象交x轴于点A（8，0），交y轴于
点B．直线y＝ x﹣ 与y轴交于点D，与直线AB交于点C（6，a）．点M是线段BC上的一个动点
（点M不与点C重合），过点M作x轴的垂线交直线CD于点N．设点M的横坐标为m．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）以线段MN，MC为邻边作 MNQC，直线QC与x轴交于点E．
▱
①当0≤m＜ 时，设线段EQ的长度为l，求l与m之间的关系式；
②连接OQ，AQ，当△AOQ的面积为3时，请直接写出m的值．
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3．（2023•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在x轴上，∠AOC＝60°，OC的长
是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线AD分别交x轴
和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OD向终点D运动，动点N从点F以
每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）求直线AD的解析式；
（2）连接MN，求△MDN的面积S与运动时间t的函数关系式；
（3）点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩
形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
【中考模拟练】
1．（2024•潮阳区校级一模）如图，已知一次函数 的图象与坐标轴分别交于点A，B两点，
O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作 O的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为
．
⊙ ⊙
2．（2024•邯郸模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（6，0），点B坐标为（2，﹣2），直线
AB与y轴交于点C．
（1）求直线AB的函数表达式及线段AC的长；
（2）点B关于y轴的对称点为点D．
①请直接写出点D的坐标为 ；
②在直线BD上找点E，使△ACE是直角三角形，请直接写出点E的横坐标为 ．
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3．（2024•邯郸模拟）如图，在平面直角坐标系中有A（﹣4，1），B（1，6）两点，在线段AB处放置一
平面镜．从点C（﹣1，0）发出一束光线照向平面镜AB上的动点P．
（1）求AB所在直线的解析式；
（2）若光线CP的解析式为y＝﹣3x+b，求出点P的坐标；
（3）若光线CP经过AB的反射后落在x轴上的点D（﹣2，0）处，直接写出光线从点C出发经点P反
射后到达点D的路径长．
4．（2024•龙湖区一模）综合运用
（1）如图1，∠ACE＝90°，顶点C在直线BD上，过点A作AB⊥BD于点B，过点E作ED⊥BD于点
D，当BC＝DE时，判断线段AC与CE的数量关系（直接写出结果，不要求写解答过程）
（2）如图2，直线l ：y＝ x+4与坐标轴交于点A，B，将直线l 绕点B顺时针旋转45°至直线l ，求直
1 1 2
线l 的函数解析式．
2
（3）如图3，四边形ABCO为长方形，其中O为坐标原点，点B的坐标为（8，﹣6），点A在y轴的
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负半轴上，点C在x轴的正半轴上，P是线段BC上的动点，D是直线y＝﹣2x+6上的动点且在第四象
限，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
考点二：反比例函数
反比例函数在中考中的占比比一次函数更大，也常和一次函数的图象结合考察；在填空题中，对反比
例函数点的坐标特征和k的几何意义考察的比较多，而且难度逐渐增大，考题常结合其他规则几何图形的
性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意。另外解答题中还会考察反比例函数的解析
式的确定，也是常和一次函数结合，顺带也会考察其与不等式的关系等。
题型01 反比例函数图象上点的坐标特征
易错点：在说反比例函数的增减性之前，必须带上自变量的取值范围，不然就是错的
解题大招：当说明“点在函数图象上”时，立刻想“点的坐标符合其解析式”；
【中考真题练】
1．（2023•泰州）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的
可能是（ ）
x 1 2 4
y 4 2 1
A．y＝ax+b（a＜0） B．y＝ （a＜0）
C．y＝ax2+bx+c（a＞0） D．y＝ax2+bx+c（a＜0）
2．（2023•浙江）已知点A（﹣2，y ），B（﹣1，y ），C（1，y ）均在反比例函数y＝ 的图象上，则
1 2 3
y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
3．（2023•通辽）已知点A（x ，y ），B（x ，y ） 在反比例函数 的图象上，且x ＜0＜x ，则下列
1 1 2 2 1 2
结论一定正确的是（ ）
A．y +y ＜0 B．y +y ＞0 C．y ﹣y ＜0 D．y ﹣y ＞0
1 2 1 2 1 2 1 2
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4．（2023•牡丹江）如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y＝ 的图象经过点C和AD
的中点E，若AB＝2，则k的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2023•邵阳）如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y＝ （k≠0）的
图象上，点B的坐标为（2，4），则点E的坐标为（ ）
A．（4，4） B．（2，2） C．（2，4） D．（4，2）
6．（2023•湖北）在反比例函数y＝ 的图象上有两点A（x ，y ），B（x ，y ），当x ＜0＜x 时，有
1 1 2 2 1 2
y ＜y ，则k的取值范围是（ ）
1 2
A．k＜0 B．k＞0 C．k＜4 D．k＞4
7．（2023•德州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（6，3），D是OA
的中点，AC，BD交于点E，函数 的图象过点B．E．且经过平移后可得到一个反比例函数的图
象，则该反比例函数的解析式（ ）
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A．y＝﹣ B． C． D．
8．（2023•深圳）如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，
CB⊥OB，若AB＝ ，反比例函数y＝ （k≠0）恰好经过点C，则k＝ ．
9．（2023•威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上．点A的坐
标为（m，2）．连接OA，OB，AB．若OA＝AB，∠OAB＝90°，则k的值为 ．
10．（2023•株洲）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为正方形，其中点A、C分别在x
轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点A（t，0），点P（1，2）在函数
的图象上．
（1）求k的值；
（2）连接BP、CP，记△BCP的面积为S，设T＝2S﹣2t2，求T的最大值．
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【中考模拟练】
1．（2024•高唐县一模）若点A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（2，c）都在反比例函数y＝ 的图象上，
则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
2．（2024•元谋县一模）若反比例函数 经过点（﹣2，6），则其图象分别位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
3．（2024•瓯海区模拟）如图，菱形ABCD的对角线交于点E，边CD交y轴正半轴于点F，顶点A，D分
别在x轴的正、负半轴上，反比例函数 的图象经过C，E两点，过点E作EG⊥OA于点G，若CF
＝2DF，DG﹣AG＝3，则k的值是（ ）
A． B．12 C． D．15
4．（2024•任城区一模）如图，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为B（﹣
，5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，
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若点E在反比例函数y＝ （x≠0）的图象上，则k值为（ ）
A．﹣3 B．﹣6 C．﹣12 D．﹣18
5．（2024•潜山市校级一模）如图，△ABC为等边三角形，AB＝2且AB⊥x轴于点B，反比例函数
经过点A与点C，则k＝ ．
6．（2024•铁东区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数 图象上，AC⊥y轴于点
C，BD∥x轴交OA于点D， ，BD＝4，OB＝8，则k的值为 ．
7．（2024•浙江模拟）如图，点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝ （x＜
0）的图象上，AB∥x轴，AB＝2．
（1）若点A的坐标为（ ，2），则a+b的值是 ．
（2）若点C在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，点D在反比例函数y＝ （x＜0）的图象上，
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CD∥AB，CD＝3，AB与CD之间的距离为1，则a﹣b的值是 ．
8．（2024•遵义一模）“善思”数学兴趣小组在学习了反比例函数相关知识后，继续探究 的图象
与性质，列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 …
y … 1 2 4 4 2 m …
（1）表中m的值是 1 ，并将函数 的图象补充完整（画出大致图象即可）．
（2）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣1，2），（1，3），请直接写出不等式 的
解集．
题型02 反比例函数与一次函数图象的交点问题
解题大招：反比例函数与一次函数的交点的求解方法——联立两个函数的解析式，解得方程的解就是交点
的横纵坐标。
【中考真题练】
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1．（2023•潍坊）如图，在直角坐标系中，一次函数y ＝x﹣2与反比例函数y ＝ 的图象交于A，B两点，
1 2
下列结论正确的是（ ）
A．当x＞3时，y ＜y B．当x＜﹣1时，y ＜y
1 2 1 2
C．当0＜x＜3时，y ＞y D．当﹣1＜x＜0时，y ＜y
1 2 1 2
2．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数 的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式
ax+b 的解是（ ）
A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞3
3．（2023•淮安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ x+b的图象分别与x轴、y轴交于A、B两
点，且与反比例函数y＝ 在第一象限内的图象交于点C．若点A坐标为（2，0）， ，则k的值
是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023•达州）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝ 的图象相交于A、B两点，以AB为边作等边
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三角形ABC，若反比例函数y＝ 的图象过点C，则k的值为 ．
5．（2023•徐州）如图，点P在反比例函数 的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，
PA＝PB．一次函数y＝x+1的图象与PB交于点D，若D为PB的中点，则k的值为 ．
6．（2023•阜新）正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于A，B两点，过点A作AC⊥x
轴，垂足为点C，连接BC，则△ABC的面积是 ．
7．（2023•荆州）如图，点A（2，2）在双曲线y＝ （x＞0）上，将直线OA向上平移若干个单位长度交
y轴于点B，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是 ．
8．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝k x+b与双曲线y ＝ （其中k •k ≠0）相交于
1 1 2 1 2
A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，则△ABP的面积是 ．
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9．（2023•湖北）如图，一次函数y ＝kx+b（k≠0）与函数为 的图象交于
1
两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足y ﹣y ＞0时x的取值范围；
1 2
（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y 的图象于点Q，若△POQ的面积
2
为3，求点P的坐标．
【中考模拟练】
1．（2024•南通模拟）如图，一次函数y ＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y ＝ （m为常数且m≠0）
1 2
的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx＞ ﹣b的解集是（ ）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0
C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
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2．（2024•关岭县一模）如图，反比例函数 与正比例函数y＝kx的图象相交于两点，若其中一个交点
到坐标轴x的距离是2，则两交点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024•石峰区一模）如图，一次函数y ＝k x+b的图象与反比例函数 的图象交于点
1 1
A（4，n）与点B（﹣1，﹣4）．连接BO并延长交反比例函数于另一点C，过点C作y轴的平行线交直
线AB于点D，连接OD，则CD的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
4．（2024•武汉模拟）如图，直线y＝x+b分别交x轴、y轴于A，B，M是反比例函数 的图
象上位于直线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC•BD＝8，则k的值为
（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
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5．如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F在边
BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数y＝ 的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和
x轴相交于点D和G，若DE•EG＝ ，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024•西城区校级模拟）如图，函数y＝﹣x与函数 的图象相交于A、B两点，BD⊥y轴于点D，
则四边形ADBC的面积为 ．
7．（2024•庐阳区校级一模）如图，在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝3．分别以OB、OA所在直线为x轴、
y轴建立如图所示的平面直角坐标系．F为BC边上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函
数y＝ （k＞0）的图象与边AC交于点E，连接EF．
（1）tan∠EFC＝ ；
（2）将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，此时k的值为 ．
8．（2024•玉山县一模）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，
且与反比例函数y＝ 的图象在第一象限内的部分交于点C，CD垂直于x轴，垂足为D，其中
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OA＝OB＝OD＝2．
（1）直接写出点A，C的坐标．
（2）求一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y＝ 的解析式．
题型03 反比例函数k的几何意义
解题大招：这类问题通常是由几何图形的面积求k，所以，重点掌握对应几何图形的面积的转化是解这
类题的关键，如：
【中考真题练】
1．（2023•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的负半轴上，反比例函
数 的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为
AC的中点，△AEF的面积为2，则k值为（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣3 D．﹣2
2．（2023•黑龙江）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝ 过A，B两
点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D．若S△BCD ＝12，则k的值是（ ）
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A．﹣6 B．﹣12 C．﹣ D．﹣9
3．（2023•湘西州）如图，点A在函数y＝ （x＞0）的图象上，点B在函数y＝ （x＞0）的图象上，且
AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023•张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD
＝ AB，反比例函数y＝ （k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，
DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2023•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x轴上，BC⊥x轴，点M、N分别
在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴
正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（ ）
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A． B． C． D．
6．（2023•锦州）如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B为AC
的中点，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是6，则k的值为 ．
7．（2023•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数 （k为大于0的常数，x＞0）图象上的两点
A（x ，y ），B（x ，y ），满足x ＝2x ，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，
1 1 2 2 2 1
则△ABC的面积是 ．
8．（2023•盐城）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，延
长AB交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，连接BD并延长，交x轴于点E，连接CE．若AB＝
2BC，△BCE的面积是4.5，则k的值为 ．
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9．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中， A与x轴相切于点B，CB为 A的直径，点C在函数y＝
（k＞0，x＞0）的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为 ．
⊙ ⊙
【中考模拟练】
1．（2024•邗江区一模）如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中小正方形的顶点A、B、C在坐标轴
上，点D为小正方形与y轴的交点，顶点E在反比例函数 的图象上，若S△ADF ＝1，则k的
值为（ ）
A． B． C． D．24
2．（2024•朝阳区一模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，顶点B在第
一象限，且纵坐标为4，点D为边AB的中点，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过点C、D．
若S△OCD ＝6，则点D的横坐标为（ ）
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A． B． C．4 D．5
3．（2024•安阳模拟）如图，已知P，Q分别是反比例函数 与 图象上的点，且PQ∥x轴，点
P的坐标为 ，分别过点P，Q作PM⊥x轴于点M，QN⊥x轴于点N．若四边形PMNQ的面积
为2，则k 的值为（ ）
2
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
4．（2024•特克斯县一模）如图，在△OAB中，AB∥于y轴，反比例函数 的图象过△OAB
的顶点B，交OA交于点C，且AC＝2OC，连接BC．则S△OBC 的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（2024•镇海区校级二模）如图，点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数
的图象上，且OA⊥OB，连结AB交 图象于点C，若C是AB的中点，则
△AOB的面积是（ ）
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A． B． C． D．
6．（2024•新北区一模）如图，矩形ABCD的边AB平行于x轴，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点
B，D，对角线CA的延长线经过原点O，且AC＝AO，若矩形ABCD的面积是8，k＝ ．
7．（2024•阳谷县一模）如图，在反比例函数 的图象上有P
1
，P
3
，⋯，P
2024
等点，它们的
横坐标依次为1，2，3，⋯，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积
从左到右依次为S
1
，S
2
，S
3
，⋯，S
2023
，S
2024
，则S
1
+S
2
+S
3
+⋯+S
2023
+S
2024
＝ ．
题型04 反比例函数的应用
易错点：反比例函数的应用常和实际结合，故问题中多注意其自变量x的取值范围
解题大招：因为反比例函数的比例关系和物理中的几个公式一样，所以在出反比例函数的应用时，常和物
理中的这几个公式结合，题型主要有：①根据题意求解析式、②根据图象求对应点的坐标等
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【中考真题练】
1．（2023•南京）甲、乙两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）
与行驶速度v（单位：km/h）之间的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023•温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁
所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强
由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 mL．
3．（2023•南通）某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度v（单位：m/s）与所受阻力F（单位：N）是反
比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为30m/s，则所受阻力F为
N．
4．科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h
（单位：cm）是液体的密度 （单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，
h＝20cm．
ρ
（1）求h关于 的函数解析式；
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度 ．
ρ
ρ
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5．（2023•郴州）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，
在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g．在容器中加入一定质量的
水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x（cm）（0＜x≤60），记录容器中加入的水的质
量，得到下表：
托盘B与点C的距离x/cm 30 25 20 15 10
容器与水的总质量y /g 10 12 15 20 30
1
加入的水的质量y /g 5 7 10 15 25
2
把上表中的x与y 各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起
1
来，得到如图所示的y 关于x的函数图象．
1
（1）请在该平面直角坐标系中作出y 关于x的函数图象；
2
（2）观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测y 与x之间的函数关系，并求y 关于x的函数表达式；
1 1
②求y 关于x的函数表达式；
2
③当0＜x≤60时，y 随x的增大而 （填“增大”或“减小”），y 随x的增大而 （填
1 2
“增大”或“减小”），y 的图象可以由y 的图象向 （填“上”或“下”或“左”或“右”）
2 1
平移得到．
（3）若在容器中加入的水的质量y （g）满足19≤y ≤45，求托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围．
2 2
【中考模拟练】
1．（2024•江西模拟）物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，
发现电流I（A）随着电阻R（ ）的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象．
若该电路的最小电阻为1 ，则该电路能通过的（ ）
Ω
Ω
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A．最大电流是36A B．最大电流是27A
C．最小电流是36A D．最小电流是27A
2．（2024•裕华区一模）验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关
于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近
视眼镜的度数减少了 度．
3．（2023•西峡县三模）如图，一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）的图
象为双曲线的一段，若这段公路行驶速度不得超过80km/h，则该汽车通过这段公路最少需要 h．
4．（2024•武汉模拟）饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中，水
温y℃与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此
过程中，水温y℃与开机时间x分成反比例函数关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，
……如此循环下去（如图所示）．那么开机后56分钟时，水的温度是 ℃．
5．（2023•六安三模）如图1，工人正在用撬棒撬石头，撬棒是杠杆，O为杠杆的支点．当支点和石头的
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大小不变时，工人师傅用的力F与其力臂l之间的关系式为F＝ ，其图象如图2所示，点P为F＝ 图
象上一点，过点P作PM⊥x轴于点M，S△OPM ＝20000cm2．若OA＝40cm，撬棒与水平地面的夹角为
30°，则这块石头重力为 N．
6．（2024•思明区校级模拟）心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随
上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较
为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x
（分钟）的变化规律如图所示，点B的坐标为（10，40），点C的坐标为（24，40），CD为反比例函
数图象的一部分．
（1）求CD所在的反比例函数的解析式；
（2）吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排23分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要
求学生的注意力指标数不低于38，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由．
题型05 反比例函数与几何的综合
解题大招：反比例函数与几何图形结合时，与谁结合，就想结合图形具有的性质以及一次函数图象点的坐
标特征；
【中考真题练】
1．（2023•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反
比例函数y＝ （x＞0）的图象相交于点C，已知OA＝1，点C的横坐标为2．
（1）求k，m的值；
（2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边
形为平行四边形，求点D的坐标．
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2．（2023•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数图象y＝﹣x+5与y轴交于点A，与反比例函
数y＝ 的图
象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点
D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
3．（2023•凉山州）阅读理解题：阅读材料：
如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为 、∠FAD为 ，若tan ＝ ，
α β α
则tan ＝ ．
证明：设BE＝k，
β
∵tan ＝ ，
∴AB＝2k，
α
易证△AEB≌△EFC（AAS）．
∴EC＝2k，CF＝k，
∴FD＝k，AD＝3k，
∴tan ＝ ＝ ＝ ，
β
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若 + ＝45°时，当tan ＝ ，则tan ＝ ．
α β α β
同理：若 + ＝45°时，当tan ＝ ，则tan ＝ ．
根据上述材料，完成下列问题：
α β α β
如图2，直线y＝3x﹣9与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点
A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已
知OA＝5．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；
（3）求直线AE的解析式．
【中考模拟练】
1．（2024•沭阳县一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边OA，OB分别在y轴和x轴上，已
知对角线OC＝5，tan∠BOC＝ ．F是BC边上一点，过点F的反比例函数y＝ （k＞0）的图象与AC
边交于点E，若将△CEF沿EF翻折后，点C恰好落在OB上的点M处，则k的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．（2024•河南一模）如图，菱形OABC的边OA在x轴上，且A（2，0）， ，点C在反比例
函数 的图象上．
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（1）求反比例函数 的表达式；
（2）当菱形OABC绕点O逆时针旋转150°时，判断点C的对应点C′是否在 的图象上；并直接写
出CC′所在的直线解析式．
3．（2024•历下区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B，C在x轴上，顶点A在y轴
上，AB＝AC．反比例函数 的图象与边AC交于点E（1，4）和点F（2，n）．点M为边
AB上的动点，过点M作直线MN∥x轴，与反比例函数的图象交于点N．连接OE，OF，OM和ON．
（1）求反比例函数的表达式和点A的坐标；
（2）求△OEF的面积；
（3）求△OMN面积的最大值．
4．（2024•双流区校级一模）如图1，在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（0，4），直线AB与
反比例函数y＝ （k≠0）的图象在第一象限相交于点C（a，6），
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图2，点E（6，m）是反比例函数y＝ （k≠0）图象上一点，连接CE，AE，试问在x轴上是
否存在一点D，使△ACD的面积与△ACE的面积相等，若存在，请求点D的坐标；若不存在，请说明
理由；
（3）新定义：如图3，在平面内，如果三角形的一边等于另一边的3倍，这两条边中较长的边称为“麒
麟边”，两条边所夹的角称为“麒麟角”，则称该三角形为“麒麟三角形”，如图所示，在平面直角坐
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标系中，△ABC为“麒麟三角形”，AB为“麒麟边”，∠BAC为“麒麟角”，其中A，B两点在反比
例函数 图象上，且A点横坐标为﹣1，点C坐标为（0，2），当△ABC为直角三角形时，求n的值．
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