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专题 11 反比例函数
课标要求 考点 考向
考向一 反比例函数的定义
1. 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据
考向二 反比例函数的图象
反比例
已知条件确定反比例函数的表达式；
2. 能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式 函数 考向三 反比例函数的性质
探索并理解k>0和k<0时，图象的变化情况；
考向四 反比例函数系数k的几何意义
3. 能用反比例函数解决简单的实际问题．
考向五 求反比例函数的解析式
考向一 反比例函数与一次函数的综合
反比例
函数的 考向二 实际问题与反比例函数
应用
考向三 反比例函数与几何综合
考点一 反比例函数
►考向一 反比例函数的定义
1．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数 的图像与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
2．（2024·重庆·中考真题）反比例函数 的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，若函数 的图象经过点 和 ，
则 的值是 .
4．（2024·云南·中考真题）已知点 在反比例函数 的图象上，则 ．
►考向二 反比例函数的图象
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解题技巧/易错易混
图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象
限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两
个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
5．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数 和 的图象大致
如图所示，则函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数 与 的大致图象为
（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·重庆·中考真题）如图，在 中， ， ，点 为 上一点， ，过点 作
交 于点 ．点 ， 的距离为 ， 的周长与 的周长之比为 ．
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(1)请直接写出 ， 分别关于 的函数表达式，并注明自变量 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数 ， 的图象；请分别写出函数 ， 的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出 时 的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过 ）
►考向三 反比例函数的性质
解题技巧/易错易混
性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
8．（2024·陕西·中考真题）已知点 和点 均在反比例函数 的图象上，若 ，
则 0．
9．（2024·天津·中考真题）若点 都在反比例函数 的图象上，则 的
大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·广西·中考真题）已知点 ， 在反比例函数 的图象上，若 ，则
有（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·浙江·中考真题）反比例函数 的图象上有 ， 两点．下列正确的选项是
（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
12．（2024·湖北武汉·中考真题）某反比例函数 具有下列性质：当 时，y随x的增大而减小，写
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出一个满足条件的k的值是 ．
13．（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象与 交于 两
点，且点 都在第一象限．若 ，则点 的坐标为 ．
►考向四 反比例函数系数k的几何意义
解题技巧/易错易混
反比例函数的解析式 （k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k值，也就确定了反比例函数，因
要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，代入 中即可．
14．（2024·重庆·中考真题）已知点 在反比例函数 的图象上，则 的值为（ ）
A． B．3 C． D．6
15．（2024·湖南·中考真题）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即 （k为
常数． ），若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为 ．
16．（2024·安徽·中考真题）已知反比例函数 与一次函数 的图象的一个交点的横坐标
为3，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
17．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数 图象上的一点，连接 ，过点O
作 的垂线与反比例 的图象交于点B，则 的值为（ ）
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A． B． C． D．
18．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，反比例函数 的图象经过平行四边形 的顶
点 ， 在 轴上，若点 ， ，则实数 的值为 ．
19．（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 在函数 的
图象上， ， ．将线段 沿 轴正方向平移得线段 （点 平移后的对应点为 ）， 交
函数 的图象于点 ，过点 作 轴于点 ，则下列结论：
① ；
② 的面积等于四边形 的面积；
③ 的最小值是 ；
④ ．
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
►考向五 求反比例函数的解析式
解题技巧/易错易混
.待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
（1）设反比例函数解析式为 （k≠0）；
（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
（3）解这个方程求出待定系数k；
（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
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20．（2024·西藏·中考真题）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数 的图象相交
于 ， 两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)请直接写出满足 的x取值范围．
21．（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于
点 ，点 是线段 上（不与点A重合）的一点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图1，过点 作 轴的垂线 与 的图象交于点 ，当线段 时，求点 的坐标；
(3)如图2，将点A绕点 顺时针旋转 得到点 ，当点 恰好落在 的图象上时，求点 的坐标．
考点二 反比例函数的应用
►考向一 反比例函数与一次函数的综合
解题技巧/易错易混
反比例函数与一次函数综合的主要题型：
（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；
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（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；
（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；
（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．
解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．
22．（2024·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲线 交于 两点，
轴于点 ，连接 交 轴于点 ，结合图象判断下列结论： 点 与点 关于原点对称； 点
是 的中点； 在 的图象上任取点P(x ,y )和点Q(x ,y )，如果 ，那么 ；
1 1 2 2
．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
23．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点 且垂直于x轴的直线l与反比例
函数 的图像交于点 ，将直线l绕点 逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则 的
取值范围是（ ）
A． 或 B． 且
C． 或 D． 或
24．（2024·山东威海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲线
交于点 ， ．则满足 的 的取值范围 ．
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25．（2024·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，已知 两点在反比例函数
的图象上．
(1)求k与m的值；
(2)连接 ，并延长交反比例函数 的图象于点C．若一次函数的图象经过A，C两点，求这个一次函
数的解析式．
26．（2024·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 的图
象交于点 和点B．
(1)求m，a的值，并直接写出点B的坐标；
(2)根据图象可得，不等式 的解集为______．
27．（2024·山东·中考真题）列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了
自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数 与 部分自变量与函数值的对应关系：
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1
1 ________
________ ________ 7
(1)求 、 的值，并补全表格；
(2)结合表格，当 的图像在 的图像上方时，直接写出 的取值范围．
►考向二 实际问题与反比例函数
28．（2024·河北·中考真题）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，
则能使用y天．下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍
29．（2024·海南·中考真题）某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：
A）与电阻R（单位： ）是反比例函数关系，即 ，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为
（V）．
30．（2024·江苏连云港·中考真题）杠杆平衡时，“阻力 阻力臂 动力 动力臂”．已知阻力和阻力臂分别
为 和 ，动力为 ，动力臂为 ．则动力 关于动力臂 的函数表达式为 ．
31．（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单
位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．
(2)当电阻R为 时，求此时的电流I．
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►考向三 反比例函数与几何综合
32．（2024·内蒙古·中考真题）下列说法中，正确的个数有（ ）
二次函数 的图象经过 两点，m，n是关于x的元二次方程
① 的两个实数根，且 ，则 恒成立．
在半径为r的 中，弦 互相垂直于点P，当 时，则 ．
② 为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
③
点C是反比例函数 的图象上一点，则 ．
已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程 的两个实数根，且矩形的周长
④值与面积值相等，则矩形的对角线长是 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
33．（2024·山东德州·中考真题）如图点A，C在反比例函 的图象上，点B，D在反比例函数 的
图象上， 轴，若 ， ， 与 的距离为5，则 的值为（ ）
A． B．1 C．5 D．6
34．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，双曲线 经过A、B两点，连接 、 ，过
点B作 轴，垂足为D， 交 于点E，且E为 的中点，则 的面积是（ ）
A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5
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35．（2024·湖北·中考真题）如图，一次函数 的图象与x轴交于点 ，与反比例函数
（k为常数， ）的图象在第一象限的部分交于点 ．
(1)求m，n，k的值；
(2)若C是反比例函数 的图象在第一象限部分上的点，且 的面积小于 的面积，直接写出
点C的横坐标a的取值范围．
一、单选题
1．（2024·广东·模拟预测）已知点 ， ， 在反比例函数 （ 为常数）的图象
上，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁·模拟预测）在化学课上，老师教同学们配制食盐溶液，若有食盐 ，则溶液的浓度y与
加水后溶液质量x之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
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C． D．
3．（2024·广东·模拟预测）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：
）是气体体积 （单位： ）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于 时，气
球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（ ）
A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于
4．（2024·湖南·模拟预测）在反比例函数 的图象上有两点 ， ，当 时，
有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广东·模拟预测）已知点 在反比例函数 （ ）的的图像上，下
列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·重庆·三模）下列各点中，在反比例函数 图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·广东·模拟预测）对于反比例函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．图象在第一、三象限
C．图象经过点 D．图象关于直线 对称
8．（2024·北京·模拟预测）对于实数 ，我们用 表示不超过 的最大整数．下列表述错误的是？（ ）
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A．
B．函数 的最大值为1，最小值为0
C．函数 不存在对称轴
D．随着 的增大，函数 和函数 越来越接近
9．（2024·湖北·模拟预测）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的
变化来实现．如图所示的是该台灯的电流 ．与电阻 的关系图象，该图象经过点 ．根
据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当 时，
B．I与R的函数关系式是
C．当 时，
D．当 时，I的取值范围是
10．（2024·山西·二模）物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流
和它们两端的电压 ，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知
识 ，可判断这四个用电器中电阻 最大的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
11．（2024·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，将点 绕点O逆时针旋转 得到点B，若点B恰
好落在反比例函数 的图象上，则k的值是（ ）
A．12 B． C．6 D．
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12．（2024·河北·模拟预测）若k的取值范围在数轴上的表示如图所示，且 ，则反比例函数 的图
象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2024·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点 是反比例函数 图象上的一点，
过点 作 轴于点 ，点 是 轴负半轴上一点，连接 交 轴于点 ，若 是 的中位线，
的面积为12，则 的值是（ ）
A． B． C．6 D．12
14．（2024·湖北·二模）平移是初中学习过的重要初等变换，如：抛物线 向右平移两个单位可以得到
抛物线 ．依据这个规律，则方程 的根的个数共有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
15．（2024·湖北武汉·三模）正弦函数在 的图象如图所示，若点P 在该函数图象上，且
（k是常数， ），则满足条件的点P的个数最多是（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
16．（2024·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图像与反比例函数
的图像交于 ， 两点， 是反比例函数图像上的一个动点，连接 ， ，当 的面积
为定值时，相应的点 有且只有 个，则点 到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
17．（2024·重庆·模拟预测）若点 ， 都在反比例函数 的图象上，则
（填 、 或 ）．
18．（2024·山西·模拟预测）反比例函数 的图象经过 、 两点，当
时， ，则k的取值范围是 ．
19．（2024·湖北·模拟预测）如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上，且 轴，则
的面积等于 ．
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20．（2024·广东·模拟预测）物理课上老师讲到镜面成像时提到老花镜镜片的度数与焦距呈反比例函数的
关系，引起了大家探究的兴趣．小明找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，
直到地上的光斑最小．此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据：
老花镜的度数 度
镜片与光斑的距离
根据以上数据，当老花镜的镜片与光斑的距离为 时，老花镜的度数是 度．
21．（2024·辽宁·模拟预测）小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：如图，在一根匀质的木杆中点O
的左侧固定位置B 处悬挂重物A，在中点O 的右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点 O 之间的距离
x（单位： ），观察弹簧秤的示数y（单位： ）的变化情况．实验数据记录如下表：
x/ … 10 15 20 25 30 …
y/ … 60 40 30 24 20 …
猜测y与x之间的函数关系，并求出函数解析式为 ．（不需要写出自变量x 的取值范围）
22．（2024·山西·模拟预测）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气
体对汽缸壁所产生的压强 与汽缸内气体的体积 成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若
压强由 加压到 ，则气体体积压缩了 ．
23．（2024·河北·模拟预测）如图， 的延长线垂直于x轴，点 在反比例函数 上，点B
在反比例函数图像 和 之间，写出一个符合条件的点B的坐标： ．
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24．（2024·全国·模拟预测）已知反比例函数 的图象过点 和点 ，则 的值为 ．
25．（2024·陕西·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数 和 的图象上，
若点 与点 关于y轴对称，则m的值为 ．
26．（2024·北京·模拟预测）直线 与双曲线 交于 两点（A在第二象
限），则 的值为 ．
27．（2024·安徽·三模）如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数
的图象交于C，D两点，点M为线段 的中点， 轴交反比例函数图像于点N，P为x
轴上任一点，若 ，则k的值为 ．
28．（2024·湖南·模拟预测）如图，已知 ， ， ，…， 是x轴上的点，且
，分别过点 ， ， ，…， ，作x轴的垂线交反比例函数 （
x>0）的图象于点 ， ， ，…， ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，…，
记 的面积为 ， 的面积为 ，…， 的面积为S ，则 等于
n
．
三、解答题
29．（2024·广东·模拟预测）已知一次函数 与反比例函数 的图象交于
两点．
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(1)①求一次函数和反比例函数的表达式；
②求 的面积．
(2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得 为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，
请说明理由．
30．（2024·广东·模拟预测）如图，已知反比例函数 的图象与正比例函数 的图象相交于
点 和点B．
(1)写出点B的坐标，并求k，a的值；
(2)根据图象，比较 和 的大小．
31．（2024·安徽·模拟预测）人工智能 饮水机在接通电源后开始自动加热，加热过程中，水温 与
通电的时间 成一次函数关系，水温每分钟上升 ，加热到 时，饮水机自动停止加热．在水
温开始下降时，水温 与通电的时间 成反比例函数关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动
加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为 ，接通电源后，水温 与通电时间x（min）之间的
关系如图所示．
(1)求a的值；
(2)求加热一次，水温不低于 的时间有多长？
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32．（2024·湖南·模拟预测）物理实验课上，小明为探究电流 与接入电路的滑动变阻器 之间的
关 系，设计如图所示的电路图．已知电源的电压 保持不变，小灯泡的电阻为 ．改变接入电路的
滑动变阻器的电阻 ， 电流表的读数即电流 发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为 时，
电流表的读数为 ．
(1)求电路中的电阻 关于接入电路的滑动变阻器的电阻 之间的函数关系，
(2)求电流 关于电路中的电阻 的函数关系；
(3)如果电流表的读数为 ，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少 ？
33．（2024·湖南·模拟预测）如图，反比例函数 图象与正比例函数 图象相交于点 与
点 ．
(1)试求反比例函数 与正比例函数 的函数表达式及点 的坐标．
(2)请直接写出 的解集．
(3)现把 的图象绕 点顺时针旋转 得到了 ．试问在 函数图象上是否存在一动点 ，
使 是以 为底边的等腰三角形？如果有，请求出这个点 的坐标；如果没有，请说明理由．
34．（2024·重庆·模拟预测）如图矩形 中， ，点 为 边上的三等分点（
），动点 从点 出发，沿折线 运动，到 点停止运动．点 的运动速度为每秒 个单位长度，
设点 运动时间为 秒， 的面积为 ．
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(1)请直接写出 关于 的函数解析式，并注明自变量 的取值范围；
(2)若函数 ，请在平面直角坐标系中画出函数 的图象，并写出函数 的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出当 时 的取值范围?
35．（2024·吉林·二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压P(单位： )是
气体体积V(单位： )的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的解析式．
(2)求当气球的体积是 时，气球内的气压是多少千帕？
(3)当气球内的气压大于 时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于 立方米．
36．（2024·辽宁·模拟预测）2023年新能源汽车继续保持快速增长，产销突破了900万辆，市场占有率超
过 ，汽车出口再创新高，全年出口接近500万辆．为继续扩大销量，某城市新能源汽车销售商推出分
期付款购车促销活动，交付首付款后，若余款在60个月内结清，则不计算利息．张先生在该销售商手上购
买了一辆价值为20万元的新能源汽车，交了首付款后余款由平均每月付款y万元，x个月结清．y与x满足
某函数关系，其部分对应值如下表，请回答下列问题．
x/月 … 2 4 7 10 …
y/万元 … 7 2 …
(1)确定y与x的函数表达式，并求出首付款；
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(2)若张先生用40个月结清，则平均每月应付多少万元；
(3)如果张先生打算每月付款 万元，那么他能否在规定不计算利息的期限内结算？
37．（2024·辽宁·模拟预测）定义：A 是函数y 的图象上一点，过点 A 作一条直线 l，如果函数 y 的图
象沿直线l 翻折，直线l两旁的函数图象能够完全重合，那么点 A 叫做这个函数的“和谐点”，直线 l 叫做
这个函数的“和谐线”，一个函数可以有多个“和谐点”和多条“和谐线”．
(1)①若一次函数 的一个“和谐点”是 ，则过点 A 的“和谐线”是直线 ；
②反比例函数 的“和谐点”是点 ，“和谐线”是直线 ；
③二次函数 的“和谐点”是点 ．
(2)如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点B，C 均在坐标轴上， ，对角线 ，
相交于点D．已知函数 的图象经过点A，函数 的“和谐点”在矩形 的边上．
①若函数 )的图象与直线 的另一个交点为点E，且 函数 的“和谐点”
在 边上，求a 的取值范围；
②已知函数 的图象在矩形内的部分y 随x 的增大而增大，当 时，y
的最大值与最小值的差是 ，直接写出 的值．
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