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专题 05 函数与实际问题的综合应用（三大函数）
题型解读｜模型构建｜通关试 练
一、一次函数的应用
1．主要题型： （1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．
2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：
（1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；（3）确
定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义；（6）答．
3．方案最值问题：
对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出
某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．
4．方法技巧
求最值的本质为求最优方案，解法有两种：（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方
案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
显然，第（2）种方法更简单快捷．
二、反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实
际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
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要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
三、二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次
函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数
的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的
讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到
平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
模型01 一次函数的应用
考｜向｜预｜测
一次函数的性质与应用题型中图象与性质在选择和填空中考的较多，一次函数的应用主要是综合性应
用，一次函数与方程、不等式结合去考，解答题中会经常考到.在解题时需要同学们对一次函数的图象
与性质真正理解.所考题型难度中等，相对较容易得分.
答｜题｜技｜巧
1.一次函数的优化问题：通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函
数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
2.用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，设出解析式，代入点的坐标，求出函数值、函数表达式，并解答相应的
问题．
（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）甲、乙两货车分别从相距225km的A、B两地同时出发，甲货车从A
地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙
货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙
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两货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)甲货车到达配货站之前的速度是 km/h，乙货车的速度是 km/h；
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数解
析式；
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．
【答案】(1)30，40
(2)EF的函数解析式是y=80x−215(4≤x≤5.5)
45
(3)经过1.5h或 h或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等
14
【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数
图象表示的意义是解题关键．
（1）由图象可知甲货车到达配货站路程为105km，所用时间为3.5h，乙货车到达配货站路程为120km，
到达后返回，所用时间为6h，根据速度=距离÷时间即可得；
（2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象结合已知条件可知
E(4,105)和点F(5.5,225)，再利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案；
（3）分两车到达配货站之前和乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地后、甲货车卸货，
半小时后继续驶往B地，三种情况与配货站的距离相等，分别列方程求出x的值即可得答案．
【详解】（1）解：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km，所用时间为3.5h，所以甲货车到达配货
站之前的速度是105÷3.5=30（km/h）
∴乙货车到达配货站路程为225−105=120(km)，到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，总
路程为240km，总时间是6h，
∴乙货车速度=240÷6=40km/h，
故答案为：30；40
（2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象可知E(4,105)和点
F(5.5,225)
设y =kx+b(4≤x≤5.5)
EF
∴¿
解得：¿，
∴甲货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数解析式y=80x−215(4≤x≤5.5)
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（3）设甲货车出发xh，甲、乙两货车与配货站的距离相等，
①两车到达配货站之前：105−30x=120−40x，
3
解得：x=
,
2
②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：105−30x=40x−120，
45
解得：x= ，
14
③甲货车在配货站卸货后驶往B地时：80x−215−105=40x−120，
解得：x=5，
45
答：经过1.5h或 h或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等．
14
1．（2025·河南商丘·一模）某超市销售着一种牛奶草莓，为了推广这种草莓，该超市做出两种促销方案，
两种方案下购买这种草莓的费用y（元）与购买量x（千克）之间的函数关系图象如图所示．
(1)分别求出两种方案下y与x之间的函数关系式；
(2)请直接写出图中线段AB的长，并说明它的实际意义；
(3)如果顾客购买21千克这种草莓，选择哪种方案更省钱？结合图象说明理由．
【答案】(1)方案一的函数关系式为：y=4.5x；方案二的函数关系式为：当0≤x≤10,y=5x和当x>10,
y=4x+10
(2)5，当购买10千克的草莓时，方案一需要45元钱，方案二需要50元钱．
(3)方案二，理由见详解．
【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，明确定题意，读懂图象，利用一次函数的性
质来求解．方案二是分段函数．
（1）分别找出方案一和方案二经过的点，用待定系数求解；
（2）根据图象来求解；
（3）将21代入解析式计算求解，结合图象来进行说明．
【详解】（1）解：根据题意可知，方案一经过(0,0)和A(10,45)的一条直线，
设方案一的直线为y=kx(k≠0)，
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则45=10k，
∴k=4.5，
∴方案一函数关系式为：y=4.5x．
方案二经过(0,0)和A(10,50)为一条直线，过点A后向上的直线经过(28,122)，
当0≤x≤10时，设方案二的直线为y=mx(m≠0)，
则50=10m，
∴m=5，
∴方案二函数关系式为：y=5x，
当x>10时,直线的解析式为y=nx+b，
则¿，
解得¿，
∴过点A后向上的直线的解析式为y=4x+10．
即方案二的函数关系式为：当0≤x≤10,y=5x和当x>10,y=4x+10
（2）解：由图象可知：
AB=50−45=5．
当购买10千克的草莓时，方案一需要45元钱，方案二需要50元钱．
（3）解：如果顾客购买21千克这种草莓，方案二更省钱些．
理由：
方案一需要的钱是y=4.5×21=94.5（元），
方案二需要的钱是y=4×21+10=94（元），
所以方案二更省钱．
由图象可知，过交点后的方案二的图象比方案一图象低，所以方案二比方案一更省钱些．
2．（2025·陕西西安·二模）观赏汉中百里油菜花海，感受汉中独特的风光．假期某校准备组织学生、老师
从西安坐高铁到汉中进行社会实践，为了便于管理，所有师生必须乘坐在同一列高铁上，其中学生有50人，
老师有15人．（师生均按原价购票）
西安到汉中的高铁票价格如下表
运行区间 票价
上车站 下车站 一等座 二等座
西安 汉中 155元/张 97元/张
由于某种原因，二等座高铁票单程只能买x张（50<x<65），其余的须买一等座高铁票，在保证每位参与
人员都有座位坐的前提下．
(1)请你写出购买高铁票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式；
(2)购买高铁票的总费用（单程）为6885元，求购买二等座高铁票的数量．
【答案】(1)y=−58x+10075(50<x<65)
(2)55张
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【分析】本题考查一次函数的实际应用：
（1）二等座高铁票单程只能买x张，则购买一等座高铁票(65−x)张．根据单价、数量、总价之间的关系
列式即可；
（2）令y=6885，求出对应的x的值即可．
【详解】（1）解：所有参与人员总共有50+15=65（人），
二等座高铁票单程只能买x张，则购买一等座高铁票(65−x)张．
由题可得：y=97x+155(65−x) =−58x+10075(50<x<65)．
∴购买高铁票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式是y=−58x+10075(50<x<65)；
（2）解：令y=6885，即−58x+10075=6885，
解得x=55，
∴购买二等座高铁票的数量是55张．
3．（2025·陕西西安·一模）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时
间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度，小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度
1
为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶 小时，再立即减速以另一速度匀速行驶
12
（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为
100千米/时，汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如
图所示．
1
(1)当 ≤x≤a时，求y与x之间的函数关系式；
12
(2)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超
过120千米/时）
( 1 1)
【答案】(1)y=90x+2 ≤x≤ ；
12 5
(2)这辆汽车减速前没有超速，理由见解析．
【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数关系式是解答本题的关键．
（1）根据题意知以平均时速为100千米/时行驶a小时的路程为20千米，据此可得a的值，进一步利用待
定系数法解答即可；
1
（2）由题意求出先匀速行驶 小时的速度即可判断．
12
【详解】（1）解：由题意得，100a=20，
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1
解得：a= ，
5
1 1
设当 ≤x≤ 时，y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
12 5
则：¿
解得：¿，
( 1 1)
∴y=90x+2 ≤x≤ ；
12 5
1 1
（2）当x= 时，y=90× +2=9.5，
12 12
1 1
∴ 先匀速行驶 小时的速度为：9.5÷ =114（千米/时），
12 12
∵114<120，
∴ 这辆汽车减速前没有超速．
4．（2025·河北·一模）在距离水平地面高度为1.5m的平台A(看作一点)上放有两架无人飞机，甲、乙两人
同时操控无人飞机，使其匀速飞行，飞行轨迹可视为直线，设无人飞机与地面的竖直高度为h(m)，飞行时
间为t(s)，得到了如图所示的图象，若甲、乙两人操控的无人飞机降落时的速度相同．
(1)求AB段的h关于t的函数解析式；
(2)求乙操控的无人飞机飞行的最大高度；
(3)当甲操控的无人飞机飞行达到最大高度时，求乙操控的无人飞机距离地面的竖直高度．
【答案】(1)h=2.25t+1.5
(2)12m
(3)7.5m
【分析】本题考查了图象问题，一次函数的应用，解题的关键是理解题意，根据所给图象获取信息，正确
计算．
（1）根据图象把(0,1.5)，(5.4,13.65)代入解析式即可解答；
（2）把t=6代入（1）中求得的解析式，得到甲操控的无人机飞行的最大高度，再求出甲无人机下落的速
度，即可得到乙操控的无人机飞行的最大高度；
（3）利用路程等于速度乘以时间，即可解答．
【详解】（1）解：设AB段的h关于t的函数解析式为h=kt+b，
把(0,1.5)，(5.4,13.65)代入解析式可得¿，
解得¿，
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∴AB段的h关于t的函数解析式为h=2.25t+1.5；
（2）解：把t=6代入解析式可得h=2.25×6+1.5=15，
∴甲无人机下落的速度为15÷(8−6)=7.5m/s，
∵甲、乙两人操控的无人飞机降落时的速度相同，
∴乙操控的无人飞机飞行的最大高度7.5×(7−5.4)=12m；
（3）解：12−(6−5.4)×7.5=7.5m，
∴当甲操控的无人飞机飞行达到最大高度时，乙操控的无人飞机距离地面的竖直高度为7.5m．
5．（2025·河南郑州·一模）共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享．某天早上王老
师想骑共享电动车去学校，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．已知：A品牌电动车骑行xmin，收费
2
y 元，且y = x；B品牌电动车骑行xmin，收费y 元，且y =¿，A，B两种品牌电动车所收费用y与骑
A A 5 B B
行时间x之间的函数图象如图所示．
(1)说明图中函数y 与y 图象的交点P表示的实际意义．
A B
(2)已知王老师家与学校的距离为9km，且王老师骑电动车的平均速度为300m/min，那么王老师选择哪种
品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由．
(3)请直接写出当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元．
【答案】(1)交点P表示的实际意义是当骑行时间为20min时，A,B两种品牌的共享电动车收费都为8元
(2)选择B品牌共享电动车会更省钱，理由见解析
(3)7.5或35
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和函数图象是解题关键．
（1）根据点P的坐标为(20,8)即可得交点P表示的实际意义是当骑行时间为20min时，A,B两种品牌的共
享电动车收费都为8元；
（2）先求出王老师从家骑行到学校所需时间为30min，再结合函数图象可得当x=30时，y >y ，由此
A B
即可得；
1
（3）先利用待定系数法求出当x>10时，y = x+4，再分三种情况：0<x≤10，10<x≤20和x>20，
B 5
分别建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：因为点P的坐标为(20,8)，
所以交点P表示的实际意义是当骑行时间为20min时，A,B两种品牌的共享电动车收费都为8元．
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（2）解：选择B品牌共享电动车会更省钱．理由如下：
∵王老师家与学校的距离为9km，且王老师骑电动车的平均速度为300m/min，
9000
∴王老师从家骑行到学校所需时间为 =30(min)，
300
观察函数图象可知，当x=30时，y >y ，
A B
所以选择B品牌共享电动车会更省钱．
（3）解：将(10,6)和(20,8)代入y =ax+b得：¿，
B
解得¿，
1
则当x>10时，y = x+4，
B 5
2
当0<x≤10时，令y −y =3，即6− x=3，解得x=7.5，符合题设；
B A 5
1 2
当10<x≤20时，令y −y =3，即 x+4− x=3，解得x=5，不符合题设，舍去；
B A 5 5
2 (1 )
当x>20时，令y −y =3，即 x− x+4 =3，解得x=35，符合题设；
A B 5 5
综上，当x为7.5或35时，两种品牌共享电动车收费相差3元．
模型02 反比例函数的应用
考｜向｜预｜测
反比例函数的性质与应用是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容.每年都有一些考生因为知识
残缺、基础不牢、技能不熟、答题不规范等原因导致失分.从考点频率看，反比例函数的应用主要是在解决
实际问题，涉及与一次函数相结合、分段函数、跨学科问题.跨学科提取信息，也是高频考点.从题型角度
看，以解答题为主，难度中等，需要理解加以灵活应用！
答｜题｜技｜巧
根据图象特点求解反比例的表达式；
判定反比例函数的几何意义以及与其它函数或几何图形的关系；
求解反比例函数中几何特性、动点问题讨论；
利用相关的性质和判定进行推理和计算.
（2023·山东济南·中考真题）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用
木栏围住，木栏总长为am．
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【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy=8，满足条件的(x,y)可看成是反比例函数
8
y= 的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+ y=10，满足条件的(x,y)可看成一次函
x
数y=−2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的(x,y)就可以看成两个函数图象交点
的坐标．
8
如图2，反比例函数y= (x>0)的图象与直线l ：y=−2x+10的交点坐标为(1,8)和_________，因此，木
x 1
栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=___________m，BC=
__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若a=6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y=−2x+a．发现直线y=−2x+a可以看成是直线y=−2x通
8
过平移得到的，在平移过程中，当过点(2,4)时，直线y=−2x+a与反比例函数y= (x>0)的图象有唯一
x
交点．
（3）请在图2中画出直线y=−2x+a过点(2,4)时的图象，并求出a的值．
【拓展应用】
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8
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y=−2x+a与y= 图象在第一象限内交
x
点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）(4,2)；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，a=8；（4）8≤a≤17
【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；
（2）根据a=6得出，y=−2x+6，在图中画出y=−2x+6的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，
若有交点，则能围成，否则，不能围成；
（3）过点(2,4)作l 的平行线，即可作出直线y=−2x+a的图象，将点(2,4)代入y=−2x+a，即可求出a
1
的值；
8
（4）根据存在交点，得出方程−2x+a= (a>0)有实数根，根据根的判别式得出a≥8，再得出反比例函
x
8
数图象经过点(1,8)，(8,1)，则当y=−2x+a与y= 图象在点(1,8)左边，点(8,1)右边存在交点时，满足题
x
意；根据图象，即可写出取值范围．
8
【详解】解：（1）∵反比例函数y= (x>0)，直线l ：y=−2x+10，
x 1
∴联立得：¿，
解得：¿，¿，
∴反比例函与直线l ：y=−2x+10的交点坐标为(1,8)和(4,2)，
1
当木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=4m，BC=2m．
故答案为：(4,2)4；2．
（2）不能围出．
∵木栏总长为6m，
∴2x+ y=6，则y=−2x+6，
画出直线y=−2x+6的图象，如图中l 所示：
1
8
∵l 与函数y= 图象没有交点，
1 x
∴不能围出面积为8m2的矩形；
（3）如图中直线l 所示，l 即为y=−2x+a图象，
1 3
将点(2,4)代入y=−2x+a，得：4=−2×2+a，
解得a=8；
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8
（4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， y=−2x+a与y= 图象在第一象限内交点的存在
x
问题，
8
即方程−2x+a= (a>0)有实数根，
x
整理得：2x2−ax+8=0，
∴Δ=(−a) 2−4×2×8≥0，
解得：a≥8，
8 8
把x=1代入y= 得：y= =8，
x 1
∴反比例函数图象经过点(1,8)，
8 8
把y=1代入y= 得：1= ，解得：x=8，
x x
∴反比例函数图象经过点(8,1)，
令A(1,8)，B(8,1)，过点A(1,8)，B(8,1)分别作直线l 的平行线，
3
8
由图可知，当y=−2x+a与y= 图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；
x
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把(8,1)代入y=−2x+a得：1=−16+a，
解得：a=17，
∴8≤a≤17．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关
系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据．
1.（2024·湖南郴州·模拟预测）某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100
毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家
规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线BC的函数表达式；
(2)参照上述数学模型，假设某人晚上20:00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上9:00能否驾车出行？
请说明理由．
270
【答案】(1)y= (x≥3)
x
(2)不能，见解析
【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象、待定系数法的应用是解题
关键．
（1）由待定系数法可以求出OA的函数表达式，从而得到A点坐标，进一步得到B点坐标，然后再利用待
定系数法可以得到部分双曲线BC的函数表达式；
（2）在部分双曲线BC的函数表达式中令y<20，可以得到饮用低度白酒100毫升后完全醒酒的时间范围，
再把题中某人喝酒后到准备驾车的时间间隔进行比较即可得解．
【详解】（1）解：设OA的函数表达式为y=kx，则：
1
k=20，
3
∴k=60，
∴OA的函数表达式为y=60x，
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3
∴当x= 时，y=90，
2
m
可设部分双曲线BC的函数表达式为y= ，
x
由图象可知，当x=3时，y=90，
∴m=270，
270
∴部分双曲线BC的函数表达式为y= (x≥3)；
x
270
（2）解：在y= 中，令y<20，
x
270
可得： <20，
x
解之可得：x>13.5，
∵晚上20:00到第二天早上9:00的时间间隔为9+4=13(h)，13h<13.5h，
∴某人晚上20:00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上9:00时体内的酒精含量高于20（毫克/百毫
升），
∴某人晚上20:00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上9:00不能驾车出行．
2．（2024·湖南·模拟预测）物理实验课上，小明为探究电流I(A)与接入电路的滑动变阻器x(Ω)之间的关
系，设计如图所示的电路图．已知电源的电压U(V)保持不变，小灯泡的电阻为2Ω．改变接入电路的滑动
变阻器的电阻x(Ω)， 电流表的读数即电流I(A)发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为1Ω时，电
流表的读数为2A．
(1)求电路中的电阻R(Ω)关于接入电路的滑动变阻器的电阻x(Ω)之间的函数关系，
(2)求电流I(A)关于电路中的电阻R(Ω)的函数关系；
(3)如果电流表的读数为0.5A，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少Ω？
【答案】(1)R=2+x
6
(2)I=
2+x
(3)接入电路的滑动变阻器的电阻为10Ω．
【分析】本题考查了反比例函数应用，掌握串联电路的特点以及欧姆定理是解题关键．
（1）根据串联电路的特点可知，灯泡与滑动变阻器串联接入电路，则电路中的总电阻等于各部分的电阻
之和，即可求解；
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U
（2）由欧姆定律可知，I= ，进而得出电源的电压为6V，即可求解；
R +R
L x
（3）将I=0.5代入（2）所求解析式，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，灯泡与滑动变阻器串联接入电路，则电路中的总电阻等于各部分的电阻
之和，
∴电路中的电阻R=R +R =2+x；
L x
U
（2）解：由欧姆定律可知，I= ，
R +R
L x
由题意可知，小灯泡的电阻为2Ω，当接入电路的滑动变阻器的电阻为1Ω时，电流表的读数为2A，
U
∴2= ，解得：U=6，
2+1
即电源的电压为6V，
6 6
∴电流I(A)关于电路中的电阻R(Ω)的函数关系为I= =
；
R +R 2+x
L x
（3）解：∵电流表的读数为0.5A，
6
∴ =0.5，
2+x
解得：x=10，
答：接入电路的滑动变阻器的电阻为10Ω．
3．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）【综合实践】
如图1所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，
小杰组装了如图2所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端L =1m，距右端
1
L =0.4m，在杠杆左端悬挂重力为80N的物体A．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图2，即
2
F ×L =F ×L ）
A 1 B 2
x/N … 10 20 30 40 b …
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8 8
y/cm … 8 a 2 …
3 5
(1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为 N；
(2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，L 的长度随之变化．设重
2
物B的质量为xN，L 的长度为ycm．则：
2
①y关于x的函数关系式是 ．
②完成表格：a= ；b= ．
③借助表格，在图3的直角坐标系中画出该函数的图象．
(3)在（2）的条件下，若点A的坐标为(20,0)，点B的坐标为(0,2)，在（2）中所求函数的图象上存在点
C，使得S =46，请求出点C的坐标．
△ABC
【答案】(1)200
80
(2)①y= ；②4；50；③见解析
x
8
(3)点C的坐标为(50, )或(16,5)
5
【分析】（1）根据公式F ×L =F ×L 进行计算即可；
A 1 B 2
80
（2）①根据公式F ×L =F ×L 即可得到y= ；②根据①求出a、b的值即可；③先描点，再连线，
A 1 B 2 x
画出函数图像即可；
80
（3）设C(a, )，连接BC，AC，OC，根据三角形的面积求出a的值．
a
【详解】（1）解：∵F ×L =F ×L ，
A 1 B 2
F ×L 80×1
∴F = A 1= =200(N)，
B L 0.4
2
∴重物B所受拉力为200N，
故答案为：200；
（2）解：①∵F ×L =F ×L ，
A 1 B 2
F ×L 80×1 80
∴L = A 1 ，即y= = ，
2 F x x
B
80
故答案为：y= ；
x
80
80 b= =50
②由①得a= =4， 8 ，
20
5
填表如下：
x/N … 10 20 30 40 50 …
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8 8
y/cm … 8 4 2 …
3 5
故答案为：4，50；
③函数图象如下所示：
；
80
（3）解：点A的坐标为(20,0)，B的坐标为(0,2)，C为反比例函数y= (x>0)上一点，
x
80
设C(a, )，连接BC，AC，OC，
a
∴S ❑ =S ❑ +S ❑ −S ❑
△ ABC △ OBC △ OAC △ AOB
1 1 1
= OB⋅x + OA⋅y − OA⋅OB
2 C 2 C 2
1 1 80 1
= ×2⋅a+ ×20× − ×2×20
2 2 a 2
800
=a+ −20，
a
∵S =46，
△ABC
800
∴a+ −20=46，
a
整理得：a2−66a+800=0，
解得a =50，a =16，
1 2
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经检验，a=50或a=16是原方程的根，
80 8 80
∴a=50时 = ；a=16时， =5，
a 5 a
8
∴点C的坐标为(50, )或(16,5)．
5
【点睛】本题是反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，反
比例函数的性质和图像，正确理解题意是解题的关键．
1
4．（2022·山东临沂·一模）在学习了函数后我们了解了函数的一般研究方法，为了探索函数y=x+
x
(x>0)的图象与性质，我们参照学习函数的程与方法，列表：
1 1 1
x … 1 2 3 4 5 …
4 3 2
17 10 5 5 10 17 26
y … 2 …
4 3 2 2 3 4 5
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，
如图1所示：
(1)如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
(2)已知点(x ,y )，(x ,y )在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
1 1 2 2
若0<x <x ≤1，则y y ；若1<x <x ，则y y ．（填“>”，“=”，“<”）．
1 2 1 2 1 2 1 2
(3)某农户要建造一个图2所示长方体形的化粪池，其底面积为1平方米，深为1米．已知下底面造价为1
千元／平方米，上盖的造价为1.5千元／平方米，侧面造价为0.5千元／平方米，设水池底面一边的长为x
米，水池总造价为w千元．
①请写出w关于x的函数关系式．
②若该农户建造化粪池的预算不超过5千元，则池子底面一边的长x应控制在什么范围内？请直接写出x
的范围．
【答案】(1)见解析；
(2)>，<；
1 1
(3)①w=2.5+x+ ；② ≤x≤2
x 2
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【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化思想思考问题．
（1）用光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可．
（2）利用图象法解决问题即可．
（3）①总造价=底面造价+侧面的造价+上盖的造价，构建函数关系式即可②转化为一元二次不等式解决问
题即可．
【详解】（1）函数图象如图所示：
（2）若0<x <x ≤1，则y >y ；若1<x <x ，则y <y ．
1 2 1 2 1 2 1 2
（3）①底面面积为1平方米，一边长为x米，
1
∴与之相邻的另一边长为 米，
x
2 ( 1)
∴水池侧面面积的和为：2x+ =2 x+ 平方米，
x x
∵下底面造价为1千元／平方米，上盖的造价为1.5千元／平方米，侧面造价为0.5千元／平方米；
( 1)
∴w=1+1.5+2 x+ ×0.5，
x
1
即：w与x的函数关系式为：w=2.5+x+ ．
x
②该农户预算不超过5千元，即w≤5
1
∴x+ +2.5≤5，
x
1
∴x+ ≤2.5，
x
1
根据图象或表格可知，当2≤w≤2.5时， ≤x≤2，
2
1
因此，该农户预算不超过5千元，则水池底面一边的长，应控制在 ≤x≤2．
2
模型03 二次函数的应用
考｜向｜预｜测
二次函数的实际应用该题型在中考中可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形式考察，
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题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高.而考察的内
容主要有:二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等.其中，
二次函数与其他综合相关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己
的计算不要有失误.
答｜题｜技｜巧
二次函数的实际应用以顶点式 ( )为主，首先根据题意中的顶点坐标及其它点坐标求二
次函数表达式是第一问经常考的题型，二次函数应用题型中有营销问题，球类运动问题，喷泉问题、拱形
桥或桥洞问题等.在解题时除了要求学生对二次函数的性质真正的理解，解题中会涉及些计算，需要同学们
认真、细致.
（2025·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，从点A(0,6)处向第一象限抛出一个弹力点（遇线反
1
弹），其运动轨迹为抛物线y=− (x−4) 2+a的一部分，弹力点落到射线BC上的点P处后反弹，反弹后
8
13
经过的最高点是Q(5,6)．已知射线BC所在直线的表达式为y=x− 弹力点第一次反弹后的运动路线为抛
2
物线的一部分．
(1)求a的值及点P的坐标．
(2)当弹力点从点P处反弹后，在平面直角坐标系中放入一个等腰直角三角形DEF，其中∠F=90°，
D(2,m)，E(4,m)，点 F 在 DE上方．若弹力点第一次反弹后直接落在y轴上（未在△≝¿的边上反弹），
求m的取值范围．
( 7)
【答案】(1)a=8，P 10,
2
59 23
(2)m> 或m<
10 5
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，进而联立两函数解析式可求出点P的坐标；
（2）设弹力点第一次反弹后的运动路线所在抛物线(记为抛物线G)的表达式为y=k(x−5) 2+6，可得
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1
抛物线G的表达式为y=− (x−5) 2+6，由题意得F(3,m+1)，分别求出抛物线G经过点E、F、D时
10
m的值，再结合图象即可求解；
本题考查了二次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的
关键．
1 1
【详解】（1）解：将A(0,6)代入 y=− (x−4) 2+a，得6=− (0−4) 2+a，
8 8
解得a=8，
1
∴抛物线y=− (x−4) 2+8，
8
1 13
令− (x−4) 2+8=x− ，
8 2
解得x =10，x =−10（不合舍去），
1 2
13 13 7
把x=10代入y=x− ，得y=10− = ，
2 2 2
( 7)
∴P 10, ；
2
（2）解：设弹力点第一次反弹后的运动路线所在抛物线(记为抛物线G)的表达式为y=k(x−5) 2+6，
将P ( 10, 7) 代入，得 7 =k(10−5) 2+6，
2 2
1
解得k=− ，
10
1
∴抛物线G的表达式为y=− (x−5) 2+6，
10
∵△≝¿为等腰直角三角形，∠F=90°，D(2,m)，E(4,m)，
∴F(3,m+1)，
1 1
若抛物线G经过点E，将E(4,m)代入y=− (x−5) 2+6，得m=− (4−5) 2+6，
10 10
59
解得m= ；
10
1 1
若抛物线G经过点F，将F(3,m+1)代入y=− (x−5) 2+6，得m+1=− (3−5) 2+6，
10 10
23
解得m= ；
5
1 1
若抛物线G经过点D，将D(2,m)代入y=− (x−5) 2+6，得m=− (2−5) 2+6，
10 10
51
解得m= ；
10
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59 23
综上可知，当m> 时，△≝¿在抛物线G上方；当m< 时，△≝¿在抛物线G下方，
10 5
59 23
∴若弹力点第一次反弹后直接落在y轴上，则m的取值范围为m> 或m< ．
10 5
1．（24-25九年级上·山东青岛·期末）剪纸是一种非常普及的中国民间艺术，春节期间，人们都喜欢在窗
户上贴上窗花作为装饰，不仅烘托了喜庆的节日气氛，还为人们带来了美的享受，集装饰性、欣赏性和实
用性于一体．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸进行销售，已知每套甲种剪纸的进价是每套乙种剪纸
进价的1.25倍，用400元购进甲种剪纸的套数比用400元购进乙种剪纸的套数少2套．
(1)求这两种剪纸每套进价分别为多少元？
(2)根据商家的销售经验，甲种剪纸的销售量y （套）与销售单价x（元）之间的关系为
1
y =−200x+17000，乙种剪纸的销售量y （套）与销售单价x（元）之间的关系为y =−300x+20400．
1 2 2
若每套甲种剪纸的售价同样是每套乙种剪纸售价的1.25倍，则甲、乙两款剪纸的销售单价定为多少元时，
商家可获得最大利润？最大利润是多少元？
【答案】(1)乙种剪纸每套进价是40元，甲种剪纸每套进价50元；
(2)甲种剪纸每套售价为67.5元，乙种剪纸每套售价为54元时，商家可获得最大利润，最大利润是120050
元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，二次函数的应用，正确的理解题意是解题的关键．
（1）设乙种剪纸每套进价为a元，则甲种剪纸每套进价为1.25a元，根据用400元购进甲种剪纸的套数比
用400元购进乙种剪纸的套数少2套，列出方程，解方程即可；
（2）设乙种剪纸的销售单价为x元，商家获得的利润为w元，根据利润=售价-进价，列出函数关系式，再
根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设乙种剪纸每套进价是a元，则甲种剪纸每套进价1.25a元，
400 400
根据题意得： +2= ，
1.25a a
解得a=40，
经检验，a=40是原方程的根，
此时1.25a=50，
∴乙种剪纸每套进价是40元，甲种剪纸每套进价50元；
（2）解：设乙种剪纸每套售价为x元，则甲种剪纸每套售价为1.25x元，商家获得利润为w元，
根据题意得：w=(1.25x−50)(−200×1.25x+17000)+(x−40)(−300x+20400)
=−612.5x2+66150x−1666000
=−612.5(x−54) 2+120050，
∵−612.5<0，
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∴当x=54时，w有最大值，最大值为120050，
此时1.25x=67.5，
答：甲种剪纸每套售价为67.5元，乙种剪纸每套售价为54元时，商家可获得最大利润，最大利润是
120050元．
2．（2024·山东潍坊·中考真题）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商
场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本P（万元）与隔热层厚度x(cm)满足函数表达式：P=10x．预计
(x+2)(x+4)
该商场每年的能源消耗费用T（万元）与隔热层厚度x(cm)满足函数表达式：T=21− ，其中
8
0≤x≤9．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为y（万元）．
(1)若y=148万元，求该商场建造的隔热层厚度；
(2)已知该商场未来8年的相关规划费用为t（万元），且t= y+x2，当172≤t≤192时，求隔热层厚度
x(cm)的取值范围．
【答案】(1)该商场建造的隔热层厚度为6cm
(2)3≤x≤8
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数的性质以及解一元二次方程，掌握一次函数的性质，
二次函数的性质以及解一元二次方程，弄清楚题意是解题的关键．
（1）根据题意可以得出y=−x2+4x+160，再令y=148，解一元二次方程求解即可；
（2）将（1）中y=−x2+4x+160代入t= y+x2，可得出t与x的关系式t=4x+160，然后利用一次函数的
性质，即可求出x的取值范围．
[ (x+2)(x+4)]
【详解】（1）由题意得：y=P+8T=10x+8× 21−
8
整理得y=−x2+4x+160，
当y=148时，则−x2+4x+160=148，
解得：x =6,x =−2．
1 2
∵0≤x≤9，
∴x =−2不符合题意，舍去，
2
∴该商场建造的隔热层厚度为6cm．
（2）由（1）得y=−x2+4x+160，
∵t= y+x2，
∴t=−x2+4x+160+x2=4x+160 (172≤t≤192)．
∵4>0，
∴t随x的增大而增大，
当t=172时，4x+160=172，解得x=3；
当t=192时，4x+160=192，解得x=8；
∴x的取值范围为3≤x≤8．
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3．（2024·浙江嘉兴·一模）某电脑商城准备购进A，B两种型号的电脑，已知每台电脑的进价B型比A型
多500元，用16万元购进A型电脑和用18万购进B型电脑的数量相同．
(1)A，B两种型号电脑每台进价各是多少？
(2)随着技术的更新，A型号电脑升级为A 型号，该商城计划一次性购进A 、B两种型号电脑共100台，B
1 1
型号电脑的每台售价5200元．经市场调研发现，销售A 型号电脑所获利润P(万元)与A 销售量m台(
1 1
1 29
0≤m≤80)，如图所示，AB为线段，BC为抛物线一部分P= m2− m+c(40<m≤80)．若这两种
600 300
电脑全部售出，则该商城如何进货利润最大？(利润=销售总价−总进价)
【答案】(1)A型电脑每台进价4000元，B型电脑每台进价4500元
(2)A 型电脑总共购进80台，B型电脑总共购进20台
1
【分析】（1）设A型电脑每台进价x元，则B型电脑每台进价(x+500)元，根据题意列出方程即可求解；
( 7 )
（2）由题意可得A 型电脑购进m台 ，B型电脑购进(100−m)台，即得B型电脑的利润为 7− m 万
1 100
元，
41
再根据函数图象可得P=¿，设总利润为w万 元，可分别求出0≤m≤40时w = ，40<m≤80时
最大值 5
143
w = ，进而即可求解；
最大值 15
本题考查了分式方程的应用，一次函数和二次函数的应用，根据题意正确列出分式方程和函数解析式是解
题的关键．
【详解】（1）解：设A型电脑每台进价x元，则B型电脑每台进价(x+500)元，
160000 180000
根据题意得， = ，
x x+500
解得x=4000，
经检验，x=4000是原方程的解，符合题意，
∴x+500=4500，
答：A型电脑每台进价4000元，B型电脑每台进价4500元；
（2）解：∵A 销售量m台，
1
∴A 型电脑购进m台 ，
1
∴B型电脑购进(100−m)台，
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( 7 )
∴B型电脑的利润为(5200−4500)×(100−m)=70000−700m= 7− m 万元，
100
由图象可知，当0≤m≤40时，P与m的函数解析式为P=km(k≠0)，
把(40,4)代入得，4=40k，
1
∴k= ，
10
1
∴P= m，
10
1 29 1 29
把(40,4)代入P= m2− m+c得，4= ×402− ×40+c，
600 300 600 300
26
解得c= ，
5
1 29 26
∴P= m2− m+ ，
600 300 5
∴P=¿，
设总利润为w万 元，
1 7 3
当0≤m≤40时，总利润w= m+7− m= m+7，
10 100 100
3
∵ >0，
100
∴w随m的增大而增大，
3 41
∴当m=40时，w有最大值，w = ×40+7= (万元)；
最大值 100 5
1 29 26 7 1 241
当40<m≤80时，总利润w= m2− m+ +7− m= (m−50) 2+ ，
600 300 5 100 600 30
1
∵ >0，对称轴为直线m=50，
600
1 241 143
∴当m=80时，w有最大值，w = ×(80−50) 2+ = (万元)；
最大值 600 30 15
41 143
∵ < ，
5 15
∴A 型电脑总共购进80台，B型电脑总共购进20台时，利润最大．
1
4．（2025·陕西·模拟预测）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线型是相同的，如图所示，
线段OA所在的直线表示水平的水面，以O为坐标原点，以OA所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直
线为y轴，建立平面直角坐标系．已知正常水位时，中间大孔水面宽度AB= 24m，顶点距离水面的高度
CO=7.2m，小孔顶点距离水面的高度DE=5.4m．
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(1)求中间大孔抛物线的函数表达式；
(2)若雨季来临水位上涨，小孔刚好淹没，求出此时大孔的水面宽度MN的值．
【答案】(1)y=−0.05x2+7.2
(2)12m
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解
题的关键．
（1）读懂题意，先得A(−12,0),B(12,0),C(0,7.2),再设中间大孔抛物线的函数表达式为
y=ax2+bx+c(a≠0)，运用待定系数法求出二次函数的解析式，即可作答．
（2）读懂题意，把y=5.4代入y=−0.05x2+7.2，得5.4=−0.05x2+7.2，
解得x =−6,x =6，所以6−(−6)=12(m)，即可作答．
1 2
【详解】（1）解：∵中间大孔水面宽度AB= 24m，顶点距离水面的高度CO=7.2m，
∴A(−12,0),B(12,0),C(0,7.2),
设中间大孔抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
把A(−12,0),B(12,0),C(0,7.2)分别代入y=ax2+bx+c，
得¿，
解得¿，
∴中间大孔抛物线的函数表达式为y=−0.05x2+7.2，
（2）解：∵小孔顶点距离水面的高度DE=5.4m．雨季来临水位上涨，小孔刚好淹没，
∴把y=5.4代入y=−0.05x2+7.2，
得5.4=−0.05x2+7.2，
解得x =−6,x =6，
1 2
∴6−(−6)=12(m)．
即此时大孔的水面宽度MN的值为12m．
5．（2024·河北石家庄·模拟预测）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷
水景观（如图1）．为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路
面宽OA=3.5米，河道坝高AE=5米，坝面AB的坡比为i=1:0.5（其中i=tan∠ABE），当水柱离喷水口
O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米．
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以O为原点建立平面直角坐标系，解决问题：
(1)求水柱所在抛物线的解析式；
(2)出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，若护栏高度为1.25米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明
理由；
(3)河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水
花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上；
①河水离地平面AD距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线AB与水面截线的交点处？
②为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为h米，
喷水口离地平面的最小高度m随着h的变化而变化，直接写出m与h的关系式．
3
【答案】(1)水柱所在抛物线的解析式为y=− (x−2) 2+3
4
(2)水柱不会喷射到护栏上，理由见详解
7
(3)①河水离地平面AD距离为 米时，刚好使水柱落在坝面截线AB与水面截线的交点处；②m与h的关
3
系式为3h2+2h−21=16m
【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析，二次函数图形的平移，解直角三角形的
计算是解题的关键．
（1）根据题意可得，抛物线的顶点坐标为(2,3)，且过O(0,0)，设抛物线解析式为y=a(x−2) 2+3(a≠0)，
把点O(0,0)代入，运用待定系数法即可求解；
3 21
（2）根据题意，当x=3.5时，y=− ×(3.5−2) 2+3= ≈1.3（米），再与护栏高度进行比较，即可求
4 16
解；
（3）①根据坡比得到BE=2.5（米），则点B到原点O的水平距离为3.5+2.5=6（米），即B(6,−5)，且
3
A(3.5,0)，可求出直线AB的解析式为y =−2x+7(3.5≤x≤6)，联立方程得−2x+7=− (x−2) 2+3，
1 4
由此求解即可；
3 3
②将抛物线y=− (x−2) 2+3向上平移m米，得到y=− (x−2) 2+3+m，当坝中水面离地面平面距离为
4 4
h米（取HG=h米），则坝面截线AB与水面截线的交点G的纵坐标为−h，根据坡比得到
( 1 )
G 3.5+ h,−h ，代入计算即可求解．
2
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【详解】（1）解：当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米，
∴抛物线的顶点坐标为(2,3)，
以O为原点建立平面直角坐标系，
∴点O(0,0)，
设抛物线解析式为y=a(x−2) 2+3(a≠0)，把点O(0,0)代入得，a(0−2) 2+3=0，
3
解得，a=− ，
4
3
∴水柱所在抛物线的解析式为y=− (x−2) 2+3；
4
（2）解：水柱不会喷射到护栏上，理由如下，
3
水柱所在抛物线的解析式为y=− (x−2) 2+3，对称轴直线为x=2，
4
∴当x=4时的函数值与x=0时的函数值相等，
绿道路面宽OA=3.5米，护栏高度为1.25米，
3 21
∴当x=3.5时，y=− ×(3.5−2) 2+3= ≈1.3（米），
4 16
21
∵ >1.25，
16
∴水柱不会喷射到护栏上；
（3）解：①河道坝高AE=5米，坝面AB的坡比为i=1:0.5（其中i=tan∠ABE），
AE
∴ =1:0.5，
BE
∴BE=2.5（米），
∴点B到原点O的水平距离为3.5+2.5=6（米），即B(6,−5)，且A(3.5,0)，
设直线AB的解析式为y =kx+b(k≠0)，
1
∴¿，
解得，¿，
∴直线AB的解析式为y =−2x+7(3.5≤x≤6)，
1
3
∴−2x+7=− (x−2) 2+3，
4
14
解得，x =2（不符合题意，舍去），x = ，
1 2 3
14 7
∴当x= 时，y=− ，
3 3
7
∴河水离地平面AD距离为 米时，刚好使水柱落在坝面截线AB与水面截线的交点处；
3
3
②将抛物线y=− (x−2) 2+3向上平移m米，
4
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3
∴平移后的解析式为y=− (x−2) 2+3+m，
4
当坝中水面离地面平面距离为h米（取HG=h米），则坝面截线AB与水面截线的交点G的纵坐标为−h，
如图所示，
∵坝面AB的坡比为i=1:0.5（其中i=tan∠ABE），
GH
∴tan∠ABE=tan∠GAH= =1:0.5，
AH
1
∴AH= h，
2
( 1 )
∴G 3.5+ h,−h ，
2
( 1 ) 3( 1 ) 2
把点G 3.5+ h,−h 代入平移后的抛物线解析得，− 3.5+ h−2 +3+m=−h，
2 4 2
整理得，3h2+2h−21=16m，
∴m与h的关系式为3h2+2h−21=16m．
1．（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒
黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有A型和B型两种车型，若购买A型公交车3辆，B型公交车1
辆，共需260万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需360万元．
(1)求购买A型和B型新能源公交车每辆各需多少万元？
(2)经调研，某条线路上的A型和B型新能源公交车每辆年均载客量分别为70万人次和100万人次．公司准
备购买10辆A型、B型两种新能源公交车，总费用不超过650万元．为保障该线路的年均载客总量最大，
请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值．
【答案】(1)购买A型新能源公交车每辆需60万元，购买B型新能源公交车每辆需80万元；
(2)方案为购买A型公交车8辆，B型公交车2辆时．线路的年均载客总量最大，最大在客量为760万人．
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的
数量关系，列出方程组及一次函数是解题的关键．
（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“购买A型公交车3辆，B型公
交车1辆，共需260万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需360万元”列出方程组解决问题即
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可；
（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车(10−a)辆，由“公司准备购买10辆A型、B型两种新能源公交
车，总费用不超过650万元”列出不等式求得a的取值，再求出线路的年均载客总量为w与a的关系式，根
据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设购买A型新能源公交车每辆需x万元，购买B型新能源公交车每辆需y万元，
由题意得：¿，
解得¿，
答：购买A型新能源公交车每辆需60万元，购买B型新能源公交车每辆需80万元；
（2）解：设购买A型公交车a辆，则B型公交车(10−a)辆，该线路的年均载客总量为w万人，
由题意得60a+80(10−a)≤650，
解得：a≥7.5，
∵a≤10，
∴7.5≤a≤10，
∵a是整数，
∴a=8，9，10；
∴线路的年均载客总量为w与a的关系式为w=70a+100(10−a)=−30a+1000，
∵−30<0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a=8时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为w=−30×8+1000=760（万人次）
∴10−8=2（辆）
∴购买方案为购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次，
2．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供
更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有A,B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高20%；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
2
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的 ．
3
【问题解决】
(1)问题一：求出A,B两种书架的单价；
(2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买
方案；
1
(3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价 m元，按问
3
题二的购买方案需花费21120元，求m的值．
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【答案】(1)1200元；1000元
(2)w=200a+20000(a≥8)；购买A种书架8个，B种书架12个
(3)120
【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题．
18000
（1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为(1+20%)x元，用18000元购买A种书架
(1+20%)x
9000
个，用9000元购买B种书架 个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答；
x
（2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值
范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值；
（3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答．
【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为(1+20%)x元．
18000 9000
由题意得 − =6，
(1+20%)x x
解得x=1000，
经检验，x=1000是分式方程的解，且符合题意，
∴(1+20%)x=1200．
答：A,B两种书架的单价分别为1200元，1000元．
（2）解：购买a个A种书架时，购买总费用w=1200a+1000(20−a)，
即w=200a+20000，
2
由题意得，a应满足：a≥ (20−a)，解得a≥8．
3
∵200>0，
∴w随着a的增大而增大，
当a=8时，w的值最小，最小值为200×8+20000=21600，
∴费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个．
（3）解：由题意得
( 1 )
(1200−m)×8+ 1000+ m ×12=21120，
3
解得m=120．
3．（2024·吉林长春·中考真题）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点
的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段
1
长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶 小时，再立即减速以另一速度匀速
12
行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度
为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图
象如图所示．
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(1)a的值为________；
1
(2)当 ≤x≤a时，求y与x之间的函数关系式；
12
(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超
过120千米/时）
1
【答案】(1)
5
( 1 1)
(2)y=90x+2 ≤x≤
12 5
(3)没有超速
【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数
关系式是解题的关键．
（1）由题意可得：当以平均时速为100千米/时行驶时，a小时路程为20千米，据此即可解答；
（2）利用待定系数法求解即可；
1
（3）求出先匀速行驶 小时的速度，据此即可解答．
12
1
【详解】（1）解：由题意可得：100a=20，解得：a= ．
5
1
故答案为： ．
5
1 1
（2）解：设当 ≤x≤ 时，y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
12 5
则：¿，解得：¿，
( 1 1)
∴y=90x+2 ≤x≤ ．
12 5
1 1
（3）解：当x= 时，y=90× +2=9.5，
12 12
1 1
∴先匀速行驶 小时的速度为：9.5÷ =114（千米/时），
12 12
∵114＜120，
∴辆汽车减速前没有超速．
4．（2023·宁夏·中考真题）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p
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（KPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)当气球内的气压超过150KPa时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为
4
多少时气球不会爆炸（球体的体积公式V = πr3 ，π取3）；
3
(2)请你利用p与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
【答案】(1)气球的半径至少为0.2m时，气球不会爆炸；
(2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
k 4.8 4.8
【分析】（1）设函数关系式为p= ，用待定系数法可得p= ，即可得当p=150时，V = =0.032，
V V 150
从而求出r=0.2；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
k
【详解】（1）设函数关系式为p= ，
V
根据图象可得：k=pV =120×0.04=4.8，
4.8
∴ p= ，
V
4.8
∴当p=150时，V = =0.032，
150
4
∴
×3r3=0.032，
3
解得：r=0.2，
∵k=4.8>0，
∴p随V的增大而减小，
∴要使气球不会爆炸，V ≥0.032，此时r≥0.2，
∴气球的半径至少为0.2m时，气球不会爆炸；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出
反比例函数的解析式．
5．（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验
田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与
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墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：m2)．
(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)；
(2)矩形实验田的面积S能达到750m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
【答案】(1)y=80−2x，S=−2x2+80x
(2)x=25
(3)当x=20时，实验田的面积S最大，最大面积是800m2
【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算x的取值范围是解题的关键．
（1）根据2x+ y=80，求出y与x的函数解析式，根据矩形面积公式求出S与x的函数解析式；
（2）先求出x的取值范围，再将S=750代入函数中，求出x的值；
（3）将S与x的函数配成顶点式，求出S的最大值．
【详解】（1）解：∵2x+ y=80，
∴y=−2x+80，
∵S=xy，
∴S=x(−2x+80)=−2x2+80x；
（2）∵y≤42，
∴−2x+80≤42，
∴x≥19，
∴19≤x<40，
当S=750时，−2x2+80x=750，
x2−40x+375=0，
(x−25)(x−15)=0，
∴x=25，
∴当x=25m时，矩形实验田的面积S能达到750m2；
（3）∵S=−2x2+80x=−2(x2−40x)=−2(x2−40x+400−400)=−2(x−20) 2+800，
∴当x=20m时，S有最大值800m2．
6．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0,0)，点A(3,0)，
点B,C在第一象限，且OC=2,∠AOC=60∘．
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(1)填空：如图①，点C的坐标为______，点B的坐标为______；
(2)若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线l⊥x轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点O′落在
x轴的正半轴上，点C的对应点为C′．设OP=t．
①如图②，若直线l与边CB相交于点Q，当折叠后四边形PO′C′Q与▱OABC重叠部分为五边形时，O′C′
与AB相交于点E．试用含有t的式子表示线段BE的长，并直接写出t的取值范围；
2 11
②设折叠后重叠部分的面积为S，当 ≤t≤ 时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
3 4
【答案】(1)(1,√3),(4,√3)
3 5 2√3 5√3
(2)① <t< ；② ≤S≤
2 2 9 4
【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出OC=AB=2，CB=OA=3，∠B=∠AOC=60°，结合勾
股定理CH=√OC2−CH2=√3，即可作答．
（2）①由折叠得∠OO′C′=∠AOC=60°，O′P=OP，再证明△EO′ A是等边三角形，运用线段的和差
关系列式化简，BE=AB−AE=5−2t，考虑当O′与点A重合时，和当C′与点B重合时，分别作图，得出t
的取值范围，即可作答．
2 3 3 5
②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出MP=√3t，再分别以 ≤t<1时，1≤t≤ 时， <t< ，
3 2 2 2
5 11
≤t≤ 分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答．
2 4
【详解】（1）解：如图：过点C作CH⊥OA
∵四边形OABC是平行四边形，OC=2,∠AOC=60∘，A(3,0)
∴OC=AB=2，CB=OA=3，∠B=∠AOC=60°，
∵CH⊥OA
∴∠OCH=30°
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1
∴OH= OC=1
2
∴CH=√OC2−CH2=√3
∴C(1，√3)
∵CB=OA=3
∴1+3=4
∴B(4，√3)
故答案为：(1，√3)，(4，√3)
（2）解：①∵过点P作直线l⊥x轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点O′落在x轴的正半轴上，
∴∠OO′C′=∠AOC=60°，O′P=OP，
∴OO'=2OP=2t
∵A(3,0)
∴OA=3
∴AO′=OO′−OA=2t−3
∵四边形OABC为平行四边形，
∴AB=OC=2，AB∥OC，∠O′ AB=∠AOC=60°
∴△EO′ A是等边三角形
∴AE=AO′=2t−3
∵BE=AB−AE
∴BE=AB−AE=2−(2t−3)=5−2t
∴BE=−2t+5；
当O′与点A重合时，
1 3
此时AB与C′O′的交点为E与A重合，OP= OA=
2 2
如图：当C′与点B重合时，
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CB+1 5
此时AB与C′O′的交点为E与B重合，OP= =
2 2
3 5
∴t的取值范围为 <t< ；
2 2
②如图：过点C作CH⊥OA
由（1）得出C(1，√3)，∠COA=60°
MP MP
∴tan60°= ，√3=
OP t
∴MP=√3t
2 1 1 1 √3
当 ≤t<1时，S= O′P= OP×MP= t×√3t= t2
3 2 2 2 2
√3
∴ >0，开口向上，对称轴直线t=0
2
2 √3
∴在 ≤t<1时，S= t2 随着t的增大而增大
3 2
2√3 √3
∴ ≤S< ；
9 2
3
当1≤t≤ 时，如图：
2
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1 1 1 √3 √3
S= (O′P+MC′)×MP= (OP+CM)×MP= (t+t−1)×√3= (2t−1)=√3t−
2 2 2 2 2
∴√3>0，S随着t的增大而增大
3 3 √3 3√3 √3 √3 √3
∴在t= 时S=√3× − = − =√3；在t=1时S=√3×1− = ；
2 2 2 2 2 2 2
3 √3
∴当1≤t≤ 时， ≤S≤√3
2 2
3 5
∵当 <t< 时，过点E作，如图：
2 2
∵由①得出△EO′ A是等边三角形，EN⊥AO
1 1 3
∴AN= AO′= (2t−3)=t− ，
2 2 2
EN
∴tan∠EAO′=√3，√3=
AN
( 3)
∴EN=√3 t−
2
√3 1
S=√3t− − ×AO′×EN
2 2
√3 1[ ( 3)]
=√3t− − (2t−3)×√3 t−
2 2 2
11√3
=−√3t2+4√3t−
4
∵−√3<0
4√3
∴开口向下，在t=− =2时，S有最大值
2×(−√3)
∴
3 5 | 3| | 5|
∴在 <t< 时， 2− = 2−
2 2 2 2
(3) 2 3 11√3
∴S=−√3× +4√3× − =√3
2 2 4
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3 5 5√3
则在 <t< 时，√3<S≤ ；
2 2 4
5 11
当 ≤t≤ 时，如图，
2 4
√3 1 √3 1 7√3
S=√3t− − ×(AO′+BC′)×MP=√3t− − ×(2t−3+2t−5)×√3=−√3t+
2 2 2 2 2
∴−√3<0，S随着t的增大而减小
5 11 5 11 7√3
∴在 ≤t≤ 时，则把t= ，t= 分别代入S=−√3t+
2 4 2 4 2
5 7√3 11 7√3 3√3
得出S=−√3× + =√3，S=−√3× + =
2 2 4 2 4
5 11 3√3
∴在 ≤t≤ 时， ≤S≤√3
2 4 4
2√3 5√3
综上： ≤S≤
9 4
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌
握相关性质内容是解题的关键．
7．（2023·四川绵阳·中考真题）随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村
村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）
和每袋售价x（元）记录如下：
时 第二
第一天 第三天 第四天
间 天
x/元 15 20 25 30
y/袋 25 20 15 10
若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：
(1)求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；
(2)请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润.（利
润=销售额−成本）
【答案】(1)日销量y关于每袋售价x的函数关系式为y=−x+40
(2)每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元
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【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．
（1）设日销售量y（袋）和每袋售价x（元）的函数关系式为y=kx+b（k≠0）代入数据，利用待定系数
法即可求解；
（2）设每袋土特产的售价定为x元，则日销量为(40−x)袋，成本为10(40−x)，总利润为W元，根据销
售利润=销售每袋土特产的利润×每日的销售量，得到W与x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即
可．
【详解】（1）解：设y=kx+b（k≠0）
将(15,25)，(20,20)代入y=kx+b，
得¿
解得k=−1，b=40
∴y=−x+40
∴日销量y关于每袋售价x的函数关系式为y=−x+40；
（2）解：设每袋土特产的售价定为x元，则日销量为(40−x)袋，成本为10(40−x)，总利润为W元，
W =x(40−x)−10(40−x)（0<x<40）
=−x2+50x−400
=−(x−25) 2+225，
当x=25时，W最大，最大值为225
答：每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元．
8．（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：
件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式；
(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多
少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)这段时间内y与x之间的函数解析式为y=−5x+800
(2)当销售单价为116元时，商场获得利润最大，最大利润是7920元
【分析】（1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为y=kx+b，函数经过(100,300)，(120,200)，可以
利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式；
（2）根据销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，建立一元一次不等式组，即可求出销售
单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为z，写出z关于x的二次函数解析式，根据二次函数的
增减性和x的取值范围，即可求出获得利润的最大值
【详解】（1）解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为y=kx+b，
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∵由图象可知，函数经过(100,300)，(120,200)，
∴可得¿，解得¿，
∴这段时间内y与x之间的函数解析式为y=−5x+800；
（2）解：∵销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，
∴x≥100，y≥220，
即¿，解得100≤x≤116，
设获得利润为z，即z=(−5x+800)x−(−5x+800)×80=−5x2+1200x−64000，
b 1200
∴对称轴x=− =− =120，
2a 2×(−5)
∵−5<0，即二次函数开口向下，x的取值范围是100≤x≤116，
∴在100≤x≤120范围内，z随着x的增大而增大，
即当销售单价x=116时，获得利润z有最大值，
∴最大利润z=−5×1162+1200×116−64000=7920元．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的性质，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，
解题的关键是用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解．
9．（2023·湖北黄石·中考真题）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该
设备的生产成本为10万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是
z=¿，其中x是正整数．当x=16时，z=14；当x=20时，z=13．
(1)求m，n的值；
(2)设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式y=5x+20．
①当12<x≤20时，工厂第几个生产周期获得的利润最大?最大的利润是多少万元?
②当0<x≤20时，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，求实数a的取值范围．
1
【答案】(1)m=− ，n=18；
4
(2)① 14，405；② 400<a≤403.75．
【分析】（1）用待定系数法求出m，n的值即可；
（2）①当12<x≤20，根据利润=(售价−成本)×设备的数量，可得出w关于x的二次函数，由函数的性质
求出最值；
②当0<x≤20时，w关于x的函数解析式，再画出w关于x的函数图象的简图，由题意可得结论．
【详解】（1）把x=16时，z=14；x=20时，z=13代入z=mx+n得：
1
¿，解得：m=− ，n=18；
4
1
（2）①设第x个生产周期创造的利润为w万元，由（1）知，当12<x≤20时，z=− x+18，
4
∴w=(z−10)y，
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( 1 )
= − x+18−10 (5x+20)，
4
5 5
=− x2+35x+160=− (x−14) 2+405，
4 4
5
∵− <0，12<x≤20，
4
∴当x=14时，w取得最大值，最大值为405，
∴工厂第14个生产周期获得的利润最大，最大的利润是405万元；
②当0<x≤20时，z=15，
∴w=(15−10)(5x+20=25x+100，
∴w=¿，
则w与x的函数图象如图所示：
由图象可知，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，
∴当x=13，15时，w=403.75，
当x=12，16时，w=400，
∴a的取值范围400<a≤403.75．
【点睛】此题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数的性质并分类讨
论是解题的关键．
10．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数
1
y=ax2+bx(a<0)刻画，斜坡可以用一次函数y= x刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高
4
度y（米）的变化规律如下表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
7 15 15 7
y 0 6 8 n …
2 2 2 2
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(1)①m=______，n=______；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
(2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系y=−5t2+vt．
①小球飞行的最大高度为______米；
②求v的值．
(15 15)
【答案】(1) 3，6； , ；
2 8
① ②
(2) 8， v=4√10
【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据，
① ②
（1）①由抛物线的顶点坐标为(4，8)可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；②联立
两函数解析式求解，可求出交点A的坐标；
（2）①根据第一问可知最大高度为8米；
②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值．
【详解】（1）解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛
物线顶点坐标为(4,8)，
∴¿，
解得：¿，
1
∴二次函数解析式为y=− x2+4x，
2
15 1 15
当y= 时，− x2+4x= ，
2 2 2
解得：x=3或x=5（舍去），
∴m=3，
1
当x=6时，n= y=− ×62+4×6=6，
2
故答案为：3，6．
②联立得：¿，
解得：¿或¿ ，
(15 15)
∴点A的坐标是 , ，
2 8
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（2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米，
故答案为：8；
②y=−5t2+vt=−5 ( t− v ) 2 + v2 ，
10 20
v2
则 =8，
20
解得v=4√10（负值舍去）．
11．（2023·山东·中考真题）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的
一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置OA的高度是2
米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，
此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，
防水罩的一端固定在喷水装置上的点M处，另一端与路面的垂直高度NC为1.8米，且与喷泉水流的水平
距离ND为0.3米．点C到水池外壁的水平距离CE=0.6米，求步行通道的宽OE．（结果精确到0.1米）参
考数据：√2≈1.41
【答案】3.2米
【分析】先以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则
A(0,2)，B(2,3.6)，设设抛物线的解析式为y=a(x−2) 2+3.6，把A(0,2)代入，求得a=−0.4，即
1.8=−0.4(x−2) 2+3.6，再求出点D的坐标，即可求解．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，
由题意知：A(0,2)，B(2,3.6)，
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∵抛物线的最高点B，
∴设抛物线的解析式为y=a(x−2) 2+3.6，
把A(0,2)代入，得2=a(0−2) 2+3.6，
解得a=−0.4，
∴抛物线的解析式为y=−0.4(x−2) 2+3.6，
令y=1.8，则1.8=−0.4(x−2) 2+3.6，
3√2
解得：x=2± ，
2
( 3√2 )
∴D 2+ ,1.8 ，
2
3√2
∴OE=x −ND−CE=2+ −0.3−06≈3.2 (米)，
D 2
答：步行通道的宽OE的长约为3.2米．
【点睛】本题考查抛物线的实际应用．熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解题
的关键．
12．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L 与缆索L 均呈抛物线
1 2
型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔AO所在直线
为y轴，建立平面直角坐标系．
已知：缆索L 所在抛物线与缆索L 所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC=100m，
1 2
AO=BC=17m，缆索L 的最低点P到FF′的距离PD=2m（桥塔的粗细忽略不计）
1
(1)求缆索L 所在抛物线的函数表达式；
1
(2)点E在缆索L 上，EF⊥FF′，且EF=2.6m，FO<OD，求FO的长．
2
3
【答案】(1)y= (x−50) 2+2；
500
(2)FO的长为40m．
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的
关键．
（1）根据题意设缆索L 所在抛物线的函数表达式为y=a(x−50) 2+2，把(0,17)代入求解即可；
1
3
（2）根据轴对称的性质得到缆索L 所在抛物线的函数表达式为y= (x+50) 2+2，由EF=2.6m，把
2 500
y=2.6代入求得x =−40，x =−60，据此求解即可．
1 2
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【详解】（1）解：由题意得顶点P的坐标为(50,2)，点A的坐标为(0,17)，
设缆索L 所在抛物线的函数表达式为y=a(x−50) 2+2，
1
把(0,17)代入得17=a(0−50) 2+2，
3
解得a= ，
500
3
∴缆索L 所在抛物线的函数表达式为y= (x−50) 2+2；
1 500
（2）解：∵缆索L 所在抛物线与缆索L 所在抛物线关于y轴对称，
1 2
3
∴缆索L 所在抛物线的函数表达式为y= (x+50) 2+2，
2 500
∵EF=2.6，
3
∴把y=2.6代入得，2.6= (x+50) 2+2，
500
解得x =−40，x =−60，
1 2
∴FO=40m或FO=60m，
∵FO<OD，
∴FO的长为40m．
一、解答题
1．（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）2024年，郑州市中招体育考试的总分值提高到100分，考试
项目增加至5项，其中技能类考试项目除篮球和足球外增加了排球垫球．某校为更好开展排球课程，计划
购买一批排球，郑州市两家体育用品商店分别推出了自己的优惠方案：
A商店：若购买超过20个，超过部分按每个排球标价的八折出售．
B商店：若购买超过15个，超过部分按每个排球标价的九折出售，然后每个再优惠10元．
若用字母x表示购买排球的数量，字母y表示购买排球的价格，其函数图象如图所示．
(1)求每个排球的标价是多少元．
(2)当x>20时，A商店的应付总价y 与数量x之间的函数关系式为 ；当x>15时，B商店的应付总价y 与
A B
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数量x之间的函数关系式为 ．
(3)请求出图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义．
(4)根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更优惠．
【答案】(1)120元
(2)y =96x+480；y =98x+330
A B
(3)点M的坐标为(75,7680)；点M表示的实际意义为当购买75个排球时，在A、B两家商店所付的钱数相
同，均为7680元
(4)当0≤x≤15或x=75时，在A、B两家商店所付的钱数相同；当15<x<75时，选择B商店更合算；当
x>75时，选择A商店更合算
【分析】本题考查一次函数的应用，列函数关系式，单价、数量、总价之间的关系
（1）根据函数图象可知：A商店：购买20个排球的总价为2400元；B商店：购买15个排球的总价为1800
元，根据“单价=总价÷数量”即可得解；
（2）根据两家体育用品商店分别推出的优惠方案并根据“总价=单价×数量”即可得出函数关系式；
（3）根据（2）的结论列方程解答即可；
（4）根据（3）的结论结合图象解答即可；
解题的关键是根据题意或图像找出等量关系列出函数关系式或方程，利用图像确定自变量的取值范围以解
决方案问题．
【详解】（1）解：A商店：购买20个排球的总价为2400元，
∴标价为：2400÷20=120（元/个）；
B商店：购买15个排球的总价为1800元，
∴标价为：1800÷15=120（元/个）；
则两个商店排球的标价是一样的，
∴每个排球的标价是120元；
（2）当x>20时，y =120×20+120×0.8(x−20)=96x+480，
A
∴y 与数量x之间的函数关系式为y =96x+480，
A A
当x>15时，y =120×15+(120×0.9−10)×(x−15)=98x+330，
B
∴y 与数量x之间的函数关系式为y =98x+330，
B B
故答案为：y =96x+480；y =98x+330；
A B
（3）由图像可知，点M是两个函数图象的交点，此时这两个图象的横、纵坐标分别相等，
则96x+480=98x+330，
解得：x=75，
此时y=96×75+480=7680，
∴点M的坐标为(75,7680)，
∴点M表示的实际意义为当购买75个排球时，在A、B两家商店所付的钱数相同，均为7680元；
（4）观察图象可知：
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当0≤x≤15或x=75时，在A、B两家商店所付的钱数相同；
当15<x<75时，选择B商店更合算；
当x>75时，选择A商店更合算．
2．（2024·河南周口·三模）春和75景明，草长莺飞的四月和五月，全家最适合周末去附近的公园里踏青或
爬山，并且进行野餐，某便民商店计划在春天踏春之际购进A，B两种不同型号的野餐垫共100个，已知购
进A型号的野餐垫2个和B型号的野餐垫3个需要740元，购进A型号的野餐垫3个和B型号的野餐垫2个需要
710元．
(1)求该商店购进每个A型号和B型号的野餐垫的价格；
1
(2)该商店在调查后根据实际需求，现在决定购进A型号的野餐垫不超过B型号野餐垫数量的 ，为使购进
3
野餐垫的总费用最低，应购进型A号野餐垫和B型号的野餐垫各多少个?购进野餐垫的总费用最低为多少元?
【答案】(1)购进每个A型号野餐垫的价格为130元，购进每个B型号的野餐垫的价格为160元
(2)为使购进野餐垫的总费用最低，应购进A型号的野餐垫25个，B型号的野餐垫个，购进野餐垫的总费用
最低为15250元
【分析】本题考查了二元一次方程组、一次函数和不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确列出等量
关系式．
（1）设购进每个A型号野餐垫的价格为x元，购进每个B型号野餐垫的价格为y元，根据题意列出二元一
次方程组即可求解；
（2）设该商店购进A型号野餐垫m个，总费用为w元，则购进B型号野餐垫(100−m)个，根据题意得出
1
m≤ (100−m)，w=−30m+16000，再根据一次函数的性质即可求解．
3
【详解】（1）解：设购进每个A型号野餐垫的价格为x元，购进每个B型号野餐垫的价格为y元，
根据题意可得：¿，
解得：¿，
答：购进每个A型号野餐垫的价格为130元，购进每个B型号的野餐垫的价格为160元；
（2）设该商店购进A型号野餐垫m个，总费用为w元，则购进B型号野餐垫(100−m)个，
由题意可得：
w=130m+160(100−m)=−30m+16000，
1
其中m≤ (100−m)，
3
解得：m≤25，
∵ −30<0，
∴ w随m的增大而减小，
∴当m=25时，w最小，最小值为w=−30×25+16000=15250元，
答：为使购进野餐垫的总费用最低，应购进A型号的野餐垫25个，B型号的野餐垫75个，购进野餐垫的总
费用最低为15250元．
3．（2025·河北沧州·一模）某电影公司随机收集了一些电影的有关数据，经分类整理得到下表，其中好评
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率是指某类电影中获得好评的部数与该类电影总部数的比值．
电影类
历史类 恐怖类 喜剧类 科幻类 情感类 剧痛类
型
电影部
140 50 300 200 800 510
数
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
(1)从该电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是科幻片中的好评电影的概率；
(2)根据前期调查反馈：
历史类电影的上座率与好评率的关系约为：上座率=好评率×1.5+0.1；
恐怖类电影的上座率与好评率的关系约为：上座率=好评率×1.5+0.45．
现有一部历史类的A电影和一部恐怖类的B电影将同时在某影院上映，A电影的票价为45元，B电影的票
价为40元．该影院的最大放映厅的满座人数为1000人，排片经理要求将这两部电影安排在最大放映厅放
映，且两部电影每天都要有排片．已知最大放映厅每天有7个场次可供排片，设其中A电影排了x场．
①求出最大放映厅每天的票房收入y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
②仅从最大放映厅票房收入的角度考虑，作为排片经理应如何分配A，B两部电影的场次，使得当天的票
房收入最高？
1
【答案】(1)
40
(2)①y=1500x+210000；②排片经理应排A电影6场，B电影1场，可使得当天的票房收入最高
【分析】本题主要考查了概率公式、一次函数的应用等知识点，掌握一次函数的应用成为解题的关键．
（1）先求出共有2000部电影，再求出幻类中的好评电影的数量为200×0.25=50部，然后运用概率公式
求解即可；
（2）①先分别求出两部电影的上座率，然后根据题意列出票房收入y与x的函数关系式；②根据①得到的
函数解析式，运用一次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：由题意，140+50+300+200+ 800+510=2000（部），
共有2000部电影，其中科幻类中的好评电影的数量为200×0.25=50（部），
50 1
∴从该电影公司收集的电影中随机选取1部，这部电影是科幻片中的好评电影的概率为 = ．
2000 40
（2）解：①A电影的上座率为0.4×1.5+0.1=0.7，B电影的上座率为0.2×1.5+0.45=0.75，
最大放映厅每天有7个场次可供排片，其中A电影排了x场，则B电影排了(7−x)场，
∴y=1000×0.7×45x+1000×0.75×40(7−x) =1500x+210000，
∴最大放映厅每天的票房收入y与x的函数关系式为y=1500x+210000；
②∵最大放映厅每天有7个场次可供排片，两部电影每天都要有排片，
∴0<x<7，且x为正整数，
∵y=1500x+210000，1500>0，
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∴y随x的增大而增大，
∴当x=6时，y有最大值．
∴排片经理应排A电影6场，B电影1场，可使得当天的票房收入最高．
4．（2025·陕西西安·二模）为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．甲无人
机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲
无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无
人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离
地面的高度y（米）与飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
(1)甲无人机的速度是________米/秒，乙无人机的速度是________米/秒；
(2)求线段PQ对应的函数表达式；
(3)甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时间．
【答案】(1)6，3
(2)y=6x−48(14≤x≤20)
(3)17秒
【分析】本题考查一次函数的应用、解绝对值方程、解一元一次方程，掌握路程、速度、时间之间的关系，
待定系数法求一次函数的关系式、解绝对值方程是解题的关键．
（1）根据速度=路程÷时间计算即可；
（2）根据时间=路程÷速度求出乙无人机飞行PQ段所用时间，从而求出点P的坐标，再利用待定系数法求
出线段PQ对应的函数表达式即可；
（3）分别写出甲、乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式，令二者差的
绝对值为9列方程并求解即可．
【详解】（1）解：甲无人机的速度是36÷6=6（米/秒），乙无人机的速度是(72−12)÷20=3（米/秒）．
故答案为：6，3．
（2）解：甲无人机飞行PQ段用时(72−36)÷6=6（秒），20−6=14（秒），
∴P(14，36)，
设线段PQ对应的函数表达式为y=kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标P(14，36)和Q(20，72)分别代入y=kx+b，
¿，
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解得：¿，
∴线段PQ对应的函数表达式为y=6x−48(14≤x≤20)．
（3）解：设乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为y=k′x+b′，
将(0,12)、(20,72)代入，得¿，解得¿，
∴乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为y=3x+12(0≤x≤20)．
当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，14≤x≤20，
由与乙无人机的高度差为9米得：3x+12−(6x−48)=9，
解得x=17，
∴当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，与乙无人机的高度差为9米时的时间为17秒．
5．（2023·吉林白城·模拟预测）电子体重秤度数直观又便于携带，为人们带来了方便，某综合实践活动小
组设计了简易电子体重秤：一个装有踏板（踏板质量忽略不计） 与踏板上人的质量m之间的函数关系式
1
为R =km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图①所示；图②的电路中，电源电压恒为8伏，
1
定值电阻R 的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压显示的度数为U ，该度数可以换算为人的质量
0 0
m．
U
注：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I= ．
R
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
(1)求出R 关于m的函数解析式．
1
(2)当U =1.5伏时，R = 欧．
0 1
(3)若电压表量程为0−6伏，直接写出该电子体重秤可称的最大质量．
【答案】(1)R =−2m+240
1
(2)130
(3)115千克
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键．
（1）根据题意得到图象经过点(0,240),(120,0)，用待定系数法求解即可；
（2）根据题意以及已知数据求出R 即可；
1
（3）根据反比例函数的性质和电压表量程为0−6伏即可得到答案．
【详解】（1）解：由图①可知：函数R =km+b的图象经过点(0,240),(120,0)，
1
∴ ¿，
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解得¿，
即R关于m的函数解析式是R =−2m+240；
1
U
（2）解：∵ 0 ⋅R =8−U ,U =1.5伏，电源电压恒为8伏，定值电阻R 的阻值为30欧，
R 1 0 0 0
0
1.5
∴ ⋅R =8−1.5，
30 1
解得R =130，
1
即当U =1.5伏时，R =130欧，
0 1
故答案为：130；
（3）解：∵R =−2m+240，
1
∴R 随m的增大而减小，
1
∴当U 取得最大值时，R 取得最小值，
0 1
∵电压表量程为0−6伏，
∴当U =6时，R 取得最小值10，
0 1
∴当R取得最小值10时，m取得最大值115，
即该电子体重秤可称的最大质量是115千克．
6．（2023·广西南宁·模拟预测）综合与实践：
【问题情景】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中
酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的
酒精含量大于或等于20(毫克/百毫升)时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
【实践探究】（1）求部分双曲线BC的函数表达式；
【问题解决】（2）参照上述数学模型，假设某人晚上20:00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上
9:00能否驾车出行？请说明理由．
270
【答案】（1）部分双曲线BC的函数表达式为y= ；（2）某人晚上20:00喝完100毫升低度白酒，则
x
此人第二天早上9:00不能驾车出行，理由见解析．
【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象、待定系数法的应用是解题
关键．
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（1）由待定系数法可以求出OA的函数表达式，从而得到A点坐标，进一步得到B点坐标，然后再利用待
定系数法可以得到部分双曲线BC的函数表达式；
（2）在部分双曲线BC的函数表达式中令y<20，可以得到饮用低度白酒100毫升后完全醒酒的时间范围，
再把题中某人喝酒后到准备驾车的时间间隔进行比较即可得解．
【详解】解：（1）设OA的函数表达式为y=kx，则：
1
k=20，
3
∴k=60，
∴OA的函数表达式为y=60x，
3
∴当x= 时，y=90，
2
m
可设部分双曲线BC的函数表达式为y= ，
x
由图象可知，当x=3时，y=90，
∴m=270，
270
∴部分双曲线BC的函数表达式为y= ；
x
270
（2）在y= 中，令y<20，
x
270
可得： <20，
x
解之可得：x>13.5，
∵晚上20:00到第二天早上9:00的时间间隔为9+4=13，13<13.5，
∴某人晚上20:00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上9:00时体内的酒精含量高于20（毫克/百毫
升），
∴某人晚上20:00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上9:00不能驾车出行．
7．（2025·陕西咸阳·一模）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，BC=10，△ABC的面积为25．在△ABC内作一个正方形EFQR，使正方形
一边QR落在边BC上，另外两个顶点F，E分别落在边AB，AC上，该正方形的面积大小为________．
问题解决
（2）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图②，现有一块四边形的空地ABCD计划改造成公园，经测
量，AB=500m，BC=1000m，CD=680m，且∠B=∠C=60°．按设计要求，要在四边形公园ABCD
内建造一个矩形活动场所PQMN，顶点M，N均在边BC上，顶点P，Q分别在边AB，CD上．为了满足
居民需求，计划在矩形活动场所PQMN中种植草坪，在公园内其他区域种植花卉．已知花卉每平方米200
元，草坪每平方米80元，则绿化改造所需费用至少为多少元？（结果保留整数，参考数据：√3≈1.7）
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100
【答案】（1） （2）6528000
9
【分析】（1）过点A作AD⊥BC与点D，交EF与点H，先求出AD，设正方形的边长为x，则
10
AH=5−x，再利用相似三角形的判定和性质得出x= ，最后根据正方形的面积公式求解即可．
3
（2）由题意易得BM=CN，∠BQM=∠CPN=30°，则设BM=CN=xm，则BQ=CP=2xm，然后可
得QM=PN=√3xm，MN=(1000−2x)m，则可得
S =QM⋅MN=−2√3(x−250) 2+125000√3，要使绿化改造所需费用最少，则需满足矩形
矩形PQMN
PQMN的面积最大，最后问题可求解．
【详解】解∶过点A作AD⊥BC与点D，交EF与点H，
∵BC=10，S =25，
△ABC
1
∴S = BC⋅AD=25，
△ABC 2
∴AD=5，
设正方形的边长为x，则AH=5−x，
∵四边形FQER是正方形，
∴FE∥BC，
∴△AFE∽△ABC，
FE AH x 5−x
∴ = ，即 = ，
BC AD 10 5
10
解得：x= ，
3
10 10 100
∴正方形EFQR的面积为： × = ，
3 3 9
（2）如图所示：
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∵四边形PQMN是矩形，
∴∠QMB=∠PNC=90°,PQ=MN，QM=PN，
∵∠B=∠C=60°，
∴△BQM≌△CPN，
∴BM=CN，∠BQM=∠CPN=30°，
设BM=CN=xm，则BQ=CP=2xm，
∴QM=PN=√3xm，
∵BC=1000m，
∴MN=(1000−2x)m，
∵AB=500m，
∴当点Q与点A重合时，则BM=250m，
∴S =QM⋅MN=√3x⋅(1000−2x)=−2√3x2+1000√3x=−2√3(x−250) 2+125000√3，
矩形PQMN
要使绿化改造所需费用最少，则需满足矩形PQMN的面积最大，
∴当x=250时，矩形PQMN的面积最大，最大值为125000√3m2，如图，
∴BM=CN=250m,AM=250√3m，
过点D作DH⊥BC于点H，
∵∠C=60°，
∴∠CDH=30°，
∵CD=680m，
∴CH=340m,DH=√CD2−CH2=340√3m，
∴MH=1000−250−340=410m，
1 1 1
∴四边形ABCD的面积为 BM⋅AM+ ×(AM+DH)⋅MH+ CH⋅DH=267800√3m2 ，
2 2 2
∴种植花卉的面积为267800√3−125000√3=142800√3m，
∴所需费用最少为125000√3×80+14200√3×200≈6528000（元）；
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答：绿化改造所需费用至少为6528000元．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及二次函数的应用，熟练掌握
相似三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及二次函数的应用是解题的关键．
8．（2023·宁夏银川·二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=20，点P在AB上，AP=6．
点E以每秒2个单位长度的速度，从点P出发沿线段PA向点A匀速运动，点F同时以每秒1个单位长度的
速度，从点P出发沿线段PB向点B匀速运动，点E到达点A时，点F随之停止．在点E、F运动过程中，
以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(0<t≤3)，正方
形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．
(1)当t=1时，正方形EFGH的边长是 ；当t=3时，正方形EFGH的边长是 ；
(2)当点H在线段AC上时，求t的值；
(3)求S与t的函数关系式．
【答案】(1)3；9
6
(2)t=
5
(3)S=¿
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，正方形的性质，动点问题的函数关系式．恰当分类并正确
表示动点运动的线段的长是解题的关键．
（1）根据PE=2t，PF=t，分别求出当t=1时，t=3时，PE，PF的值，再求出EF的值即可；
（2）根据等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，证明AE=HE=EF，得出6−2t=2t+t，解关于t
的方程即可；
6 6
（3）当点H在线段AC上时，可求出t= ，可分两种情况讨论：当0＜t≤ 时，S=S =EF2，
5 5 正方形EFGH
6
只需用t的代数式表示出EF即可解决问题；当 ＜t≤3时，
5
1
S=S =S −S =EF2− HN•HM，只需用t的代数式分别表示出
五边形EFGMN 正方形EFGH △MHN 2
EF、HN、HM即可解决问题．
【详解】（1）解：当t=1时，PE=2×1=2，
PF=1×1=1，
∴EF=EP+PF=2+1=3，
即此时正方形EFGH的边长是3；
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当t=3时，PE=2×3=6，
PF=1×3=3，
∴EF=EP+PF=6+3=9，
即此时正方形EFGH的边长是9；
（2）解：当点H在线段AC上时，如图所示：
∵∠C=90°，AC=BC，
1
∴∠A=∠B= ×90°=45°，
2
∵四边形EFGH为正方形，
∴EH=EF，∠HEF=90°，
∴∠AEH=180°−90°=90°，
∴△AEH为等腰直角三角形，
∴AE=EH，
∴AE=HE=EF，
∴6−2t=2t+t，
6
解得：t= ．
5
6
（3）解：当0<t≤ 时，如图1所示：
5
EF=EP+PF=2t+t=3t
，
∴此时S=9t2；
6
当 ＜t≤3时，如图2所示：
5
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∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=45°．
∵四边形EFGH是正方形，
∴HE=EF=3t，∠H=∠HEF=90°，
∴∠ANE=90°−45°=45°，
∴∠ANE=∠A=45°，
∴NE=AE=AP−EP=6−2t，
∴HN=HE−NE=3t−（6−2t）=5t−6，
∵∠HNM=∠ANE=45°，
∴∠HMN=90°−45°=45°，
∴∠HMN=∠HNM=45°，
∴HM=HN=5t−6，
∴S=S −S
正方形EFGH △NHM
1
=(3t) 2− (5t−6) 2
2
7
=− t2+30t−18；
2
综上所述：S与t的函数关系式为：
S=¿．
9．（2025·广东·模拟预测）广东某镇盛产的荔枝远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成
本价为每千克6元的该荔枝，以不低于成本价且不超过每千克10元的价格销售．当每千克售价为7元时，每
天售出荔枝950kg；当每千克售价为8元时，每天售出荔枝900kg，通过分析销售数据发现：每天销售荔
枝的数量y(kg)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)超市将该荔枝每千克售价定为多少元时，每天销售该荔枝的利润可达到1800元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【答案】(1)y=−50x+1300(6≤x≤10)；
(2)每千克售价定为8元时，利润可达到1800元；
(3)当每千克售价定为10元时，每天获利最大，最大利润为3200元．
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【分析】（1）该函数经过点(7,950)，(8,900)，利用待定系数法求出y与x的函数关系式即可；
（2）设超市将该荔枝每千克售价定为x元每千克时，利润最大，根据利润=销量×单件利润，列出关于x的
一元二次方程，解方程求出荔枝的售价，把不符合题意的解舍去；
（3）设利润为W，可以列出W关于x的函数解析式为W =−50(x−16) 2+5000，根据二次函数的图象与性
质可知抛物线开口向下，对称轴为x=16，可知当x=10时，所获得的利润最大，把x=10代入函数解析式
求出最大利润．
【详解】（1）解：根据题意可知，该函数经过点(7,950)，(8,900)，
设y与x的函数关系式为y=kx+b，
将(7,950) (8,900)代入y=kx+b，
得到：¿，
解得：¿，
∴y与x的函数关系式为y=−50x+1300(6≤x≤10)；
（2）解：设超市将该荔枝每千克售价定为x元每千克时，利润最大，
根据题意可得：(x−6)y=1800，
∴(x−6)(−50x+1300)=1800，
整理得：x2−32x+192=0，
分解因式得：(x−8)(x−24)=0，
解得：x =8，x =24，
1 2
∵售价不低于成本价且不超过每千克10元，
∴每千克售价定为8元时，利润可达到1800元；
（3）解：设利润为W，
W =(x−6)(−50x+1300)
=−50x2+1600x−7800
=−50(x−16) 2+5000
∵−50<0，
∴函数开口向下，
∴当x<16时，w随x的增大而增大，
∵6≤x≤10，
∴当x=10时，W有最大值，
此时W =−50×(10−16) 2+5000=3200，
max
∴当每千克售价定为10元时，每天获利最大，最大利润为3200元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的图象和性质、
一元二次方程的应用．解决本题的关键是利用二次函数的图象与性质求出最大利润．
10．（2024·湖北黄冈·模拟预测）大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进
价为30元/件，经过一段时间的试销，她发现每月的销售量会因售价的调整而不同，若设每月的销售量为y
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件，售价为x元/件.
(1)当售价在40—50 元/件时，每月的销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元?
(2)当售价在50—70 元/件时，每月的销售量与售价的关系如图所示，求y 与x的关系式；
(3)小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠m(m为整数)元，若要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，
请你帮她计算m的最小值是多少，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大.
【答案】(1)每月的总利润最多是 1200 元
(2)y=−2x+160(50≤x≤70)
(3)m的最小值是30，售价为70元时，她每月获利最大
【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，列出相应的函数关系式是解题关键．
（1）根据题意得出总利润w=60x−1800，再由一次函数的性质即可求解；
（2）当售价在50≤x≤70元时，设每月销售量y=kx+b，利用待定系数法进行计算即可；
（3）求出二次函数解析式，再根据二次函数的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：当售价在40≤x≤50元时， 每月的总利润为w元.
则总利润w=60(x−30)=60x−1800，
∵60>0，
∴当x=50时，总利润最多，为60×50−1800=1200(元)，
∴每月的总利润最多是1200元；
（2）解：当售价在50≤x≤70元时，设每月销售量y=kx+b，
∴¿，
解得¿，
∴每月销售量y=−2x+160(50≤x≤70)．
（3）解：当售价在50≤x≤70元时，设每月的总利润为z元.
∴每月的总利润z=(x−30−m)y=(x−30−m)(−2x+160)=−2x2+220x−4800+2mx
220+2m m
−160m=−2x2+(220+2m)x−4800−160m，∴二次函数的对称轴为直线 x=− =55+ ，
2×(−2) 2
∵−2<0，且要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，
m
∴55+ ≥70，解得m≥30，
2
∴m的最小值是30，
此时 z=−2x2+280x−9600=−2(x−70) 2+200，
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∴当x=70时，z取得最大值，最大值为200元，
∴m的最小值是30，此时售价为70元时，她每月获利最大．
11．（2025·湖北·一模）数学兴趣小组在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（无盖长方体箱子
放在水平地面上）．现将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（x轴经过箱子底面
中心，并与其一组对边平行，矩形DEFG为箱子正面示意图）．某同学将弹珠从A(1,0)处抛出，弹珠的飞
行轨迹为抛物线L：y=ax2+bx+3（单位长度为1m）的一部分，且抛物线经过(−2,3)．已知
DE=2m，EF=2m，DA=5m．
(1)求抛物线L的解析式和顶点坐标；
(2)请通过计算说明该同学抛出的弹珠能投入箱子；
(3)若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且无阻挡时弹珠最大高
度可达3m，则弹珠能否弹出箱子？请说明理由．
【答案】(1)y=−x2−2x+3；顶点坐标为(−1,4)
(2)见解析
(3)弹珠能弹出箱子，理由见解析
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）求出点E(−2,0)，F(−2,2)，G(−4,2)．当y=2时，−x2−2x+3=2，解得：
x =−√2−1，x =√2−1，即可求解；
1 2
（3）根据题意设抛物线M的解析式为y=−(x−h) 2+3，把点(−3,0)代入y=−(x−h) 2+3，得：
(−3−h) 2+3=0，解得：h=−√3−3或√3−3，进而求解．
【详解】（1）解：（1）把点A(1,0)，(−2,3)代入y=ax2+bx+3得：
¿，解得¿，
∴抛物线L的解析式为y=−x2−2x+3；
∵y=−(x+1) 2+4，
∴顶点坐标为(−1,4)；
（2）解：∵A(1,0)，
∴OA=1m．
∵DA=5m，
∴DO=4m，即点D(−4,0)．
∵DE=2m，EF=2m，，
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∴EO=2m．
∴点E(−2,0)，F(−2,2)，G(−4,2)．
当y=2时，−x2−2x+3=2，
解得：x =−√2−1，x =√2−1，．
1 2
∵−4<−√2−1<−2，
∴该同学抛出的弹珠能投入箱子；
（3）解：弹珠能弹出箱子，理由如下：
当y=0时，−x2−2x+3=0，解得x =−3，x =1，
1 2
∴抛物线L与x轴的另一个交点为(−3,0)．
根据题意设抛物线M的解析式为y=−(x−h) 2+3，
把点(−3,0)代入y=−(x−h) 2+3，
得：(−3−h) 2+3=0，
解得：h=−√3−3或√3−3，．
又∵抛物线M的对称轴在直线x=−3的左侧，
∴h=−√3−3．
∴抛物线M的解析式为：y=−(x+3+√3) 2+3．
∵当x=−4时，y=3−(√3−1) 2>2，
∴弹珠能弹出箱子．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会寻找
特殊点解决问题．
12．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）【项目式学习】
【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜
【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，
对蔬菜喷水管建立数学模型．菜地装有1个自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜，如图1所示，观察喷头可顺、
逆时针往返喷洒．
【项目素材】
素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管OA，从A点向外喷水，喷出
的水柱最外层的形状为抛物线，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y
轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点．
素材二：乙小组测得种植农民的身高为1.75米，他常常往返于菜地之间．
素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长．
【项目任务】
任务一：丁小组测量得喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为7.6米，其中喷出的水的最高点
正好经过一个直立木杆EF的顶部F处，木杆高EF=4米，距离喷水口OE=3.6米，求出水柱所在抛物线
的函数解析式．
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任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是P米时，不会被水淋到，求P的取值范围．
任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是45°，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口
的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？（精确到0.1米）
1
【答案】任务一：y=− (x−3.6) 2+4
4
任务二：0.6<p<6.6
任务三：薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离为8.7米
【分析】(1)利用顶点式结合待定系数法求解析式即可；
(2)将y=1.75代入解析式求解即可；
(3)根据题意设薄膜所在平面的直线解析式为：y=−x+b(k≠0)，联立方程结合相切，利用判别式求解得
b，即可知直线与x轴的交点为(8.6,0)，过点MF⊥MN于点M，且MF=0.1m，过点F作M′N′∥MN，
MF
交x轴于点M′．利用解直角三角形求得M M′= ，即可求得答案．
sin45°
【详解】解：任务一：根据题意得最高点F(3.6,4)，
设水柱所在抛物线的函数解析式为：y=a(x−3.6) 2+4(a≠0)．
由题意得：抛物线经过点D的坐标为(7.6,0)．
1
∴a(7.6−3.6) 2+4=0，解得a =− ，
4
1
∴水柱所在抛物线的函数解析式为：y=− (x−3.6) 2+4；
4
1
任务二：当y=1.75时，− (x−3.6) 2+4=1.75．
4
解得：x =0.6,x =6.6．
1 2
∴0.6<p<6.6．
任务三：
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薄膜所在平面可看成是一条直线MN．
∵薄膜所在平面和地面的夹角是45°，
∴薄膜所在平面的直线解析式为：y=−x+b(k≠0)．
当薄膜所在直线与水柱所在抛物线相切时，
¿，
∴x2−11.2x+(4b−3.04)=0．
∵只有一个交点，
∴(−11.2) 2−4×(4b−3.04)=0，解得b=8.6．
∴y=−x+8.6．
∴直线与x轴的交点为(8.6,0)．
过点MF⊥MN于点M，且MF=0.1m，过点F作M′N′∥MN，交x轴于点M′．
∴∠MFM′=90°．
由题意得：∠M M′F=45°，
MF
∴M M′= ≈0.1414（米）．
sin45°
∴OM′=8.6+0.1414≈8.7（米）
答：薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离为8.7米．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，一元二次
方程判别式，解直角三角形，二次函数的实际应用，理解题意，熟练运用相关知识求解是解题的关键．
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