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专题 10 反比例函数
考点 01 反比例函数的解析式
1．（2025·重庆·中考真题）反比例函数 的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函
数的解析式是解题的关键，根据反比例函数图象上点坐标特点进行判断即可．
【详解】解：反比例函数 的 ，
点 所在的反比例函数的 ，
反比例函数 的图象一定经过的点是 ，
故选：D．
2．（2024·云南·中考真题）已知点 在反比例函数 的图象上，则 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点 代入 求值，即可解题．
【详解】解： 点 在反比例函数 的图象上，
，
故答案为： ．
3．（2024·重庆·中考真题）反比例函数 的图象一定经过的点是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的
横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可．
【详解】解：解：当 时， ，图象不经过 ，故A不符合要求；
当 时， ，图象一定经过 ，故B符合要求；
当 时， ，图象不经过 ，故C不符合要求；
当 时， ，图象不经过 ，故D不符合要求；
故选：B．
4．（2023·海南·中考真题）若反比例函数 （ ）的图象经过点 ，则k的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】把点 代入反比例函数解析式即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数 （ ）的图象经过点 ，
∴ ，
解得 ，
故选：B
【点睛】此题考查了反比例函数，把点的坐标代入函数解析式准确计算是解题的关键．
5．（2023·江苏泰州·中考真题）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表
中对应关系的可能是（ ）
x 1 2 4
y 4 2 1
A． B．
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C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．
【详解】解：A、若直线 过点 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
当 时， ，故 不在直线 上，故A不合题意；
B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数， ，不合题意；
C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入 得
，解得 ，符合题意；
D、由C可知，不合题意．
故选：C．
【点睛】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题
的关键．
6．（2023·辽宁大连·中考真题）已知蓄电池两端电压 为定值，电流 与 成反比例函数关系．当
时， ，则当 时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用待定系数法求出 的值，由此即可得．
【详解】解：由题意得： ，
∵当 时， ，
，
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解得 ，
，
则当 时， ，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数，熟练掌握待定系数法是解题关键．
7．（2025·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯” 的所有线段均与 轴
平行或垂直，且满足 ，点 ， ， ， 均在双曲线 的一支上．若点A的坐标为
，则第三级阶梯的高 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了双曲线的解析式，点的坐标与线段长度，解题的关键是得出双曲线的解析式．
把点 的坐标代入 ，可得双曲线的解析式，结合已知的线段长度求出点 和点 的横坐标，代入解
析式可得纵坐标，作差即可．
【详解】解：∵点 在双曲线 上，
∴ ，
∴双曲线 ，
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∵“双曲线阶梯” 的所有线段均与 轴平行或垂直，且 ，
∴点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，
∴点 的纵坐标为 ，点 的纵坐标为 ，
∴ ，
故选： ．
8．（2025·陕西·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数 的图象交于 ，
两点，则 的值为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点对称的点的性
质，先根据题意得出 ， ，解得 ， ，即 ，再把 代入 进行
计算，即可作答．
【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数 的图象交于 ， 两点，
∴ ， 两点关于原点 对称，
即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
把 代入 ，
得 ，
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解得 ，
故答案为：9．
9．（2025·山东烟台·中考真题）如图，菱形 的顶点 在 轴正半轴上， ，反比例函数
的图象过点 和菱形的对称中心 ，则 的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质，先证明 ，
，设 ，可得 ， ，求解 ，过 作 于 ，
再进一步求解即可．
【详解】解：∵菱形 的顶点 在 轴正半轴上， ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
过 作 于 ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选：D
10．（2024·江苏南京·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 （单位： ）与电阻
（单位： ）是反比例函数关系．完成下表：
… …
… …
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
设电流 与电阻 的函数关系式为 ，根据待定系数法求出解析式 ，当 时， ，填表即
可．
【详解】解：设电流 与电阻 的函数关系式为 ，
把 代入得 ，
，
电流 与电阻 的函数关系式为 ，
当 时， ，
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填表如下：
… …
… …
考点 02 反比例函数的图象
1．（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔 的古代汲水工具（如图
①），有一横杆固定于桔槔上 点，并可绕 点转动．在横杆 处连接一竹竿，在横杆 处固定 的
物体，且 ．若图中人物竖直向下施加的拉力为 ，当改变点 与点 的距离 时，横杆始终处于
水平状态，小星发现 与 有一定的关系，记录了拉力的大小 与 的变化，如下表：
点 与点 的距离 1 2 3
拉力的大小 300 200 150 120
(1)表格中 的值是 ；
(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画 与 之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，
描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
(3)根据以上数据和图象判断，当 的长增大时，拉力 是增大还是减小？请说明理由．
【答案】(1)100
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(2)见解析
(3)当 的长增大时，拉力 减小，理由见解析
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，画反比例函数图象，根据函数图象判断增减性，解题的
关键是熟练掌握反比例函数的定义，判断出 是 的反比例函数．
（1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可；
（2）先描点，然后连线，画出函数图象即可；
（3）根据反比例函数的性质，得出答案即可．
【详解】（1）解：根据表格中的数据发现：
，
因此点 与点 的距离 与拉力F的乘积不变，
∴ ；
（2）解： 与 之间的函数图象，如图所示：
（3）解：由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可
知，F随l的增大而减小，所以当 的长增大时，拉力 减小．
2．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数 与 的大致图象为
（ ）
A． B．
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C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即
可求解．
【详解】解：∵
当 时，一次函数经过第一、二、三象限，
当 时，一次函数经过第一、三、四象限
A.一次函数中 ，则当 时，函数 图象在第四象限，不合题意，
B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意，
一次函数中 ，则当 时，函数 图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误，
故选：C．
3．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，取一根长 的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起
来，在中点O的左侧距离中点 处挂一个重 的物体，在中点O的右侧用
一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位： ）及弹簧秤的示数F（单
位：N）满足 ．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图
象大致是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意 代入数据求得 ，即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，函数为反比例函数，
当 时， ，
即 函数图象经过点 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键．
4．（2023·湖北十堰·中考真题）函数 的图象可以由函数 的图象左右平移得到．
(1)将函数 的图象向右平移4个单位得到函数 的图象，则 ____；
(2)下列关于函数 的性质：①图象关于点 对称；② 随 的增大而减小；③图象关于直线
对称；④ 的取值范围为 ．其中说法正确的是________（填写序号）；
(3)根据（1）中 的值，写出不等式 的解集：_________．
【答案】(1)
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(2)①④
(3) 或
【分析】（1）根据“左加右减”的规律即可求解；
（2）根据平移的性质得出①正确；类比反比例函数图象的性质即可判断②④，根据平移的性质将
向左平移 个单位，得出 ，即可判断③；
（3）根据题意，画出两个函数图象，结合图象即可求解．
【详解】（1）解：∵函数 的图象向右平移4个单位得到函数 的图象，
∴ ；
故答案为： ．
（2）解：∵ 可以看作是由 向左平移 个单位得到的，
∵函数 图象的对称中心为 ，将其对称中心向左平移 个单位，
则对称中心为 ，故①正确，
②类比反比例函数图象，可得 ，故函数图象不是连续的，
在直线 两侧， 随 的增大而减小；故②错误；
③∵ 关于 对称，
同①可得， 向左平移 个单位得到：
∴图象关于直线 对称；故③不正确；
④∵平移后的对称中心为 ，左右平移图象后， 与 轴没有交点，
∴ 的取值范围为 ．故④正确，
故答案为：①④．
（3）∵ ，
∴不等式
如图所示，在第三象限内和第一象限内， ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
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【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的平移，平移的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解
题的关键．
5．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数 和 的图象大致
如图所示，则函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
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【答案】D
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．
先根据一次函数与反比例函数的图象可得 ， ，再根据二次函数的图象特点即可得．
【详解】解：∵一次函数 的图象经过第一、二、四象限，
∴ ，即 ，
∵反比例函数 的图象位于第二、四象限，
∴ ，即 ，
∴函数 的开口向下，与 轴的交点位于 轴的正半轴，对称轴为直线 ，
故选：D．
考点 03 反比例函数的性质
1．（2024·四川遂宁·中考真题）反比例函数 的图象在第一、三象限，则点 在第 象限．
【答案】四/
【分析】本题考查了反比例函数的性质，点所在的象限，根据反比例函数的性质得出 ，进而即可求解．
【详解】解：∵反比例函数 的图象在第一、三象限，
∴
∴
∴点 在第四象限，
故答案为：四．
2．（2023·河北·中考真题）如图，已知点 ，反比例函数 图像的一支与线段 有
交点，写出一个符合条件的k的数值： ．
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【答案】4（答案不唯一，满足 均可）
【分析】先分别求得反比例函数 图像过A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定符
合条件k的值即可．
【详解】解：当反比例函数 图像过 时， ；
当反比例函数 图像过 时， ；
∴k的取值范围为
∴k可以取4．
故答案为4（答案不唯一，满足 均可）．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键．
3．（2023·四川甘孜·中考真题）若反比例函数 图像经过第一、三象限，则k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】直接根据反比例函数的性质即可得到结论．
【详解】解：∵反比例函数 的图像过一、三象限，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质．反比例函数 的性质主要有：（1）反比例函数的图
像是双曲线；（2）当 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 随 的增大而减小；
（3）当 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 随 的增大而增大．注意：反
比例函数的图像与坐标轴没有交点．根据反比例函数的图像判断出 的取值范围是解答此题的关键．
4．（2025·湖南·中考真题）对于反比例函数 ，下列结论正确的是（ ）
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A．点 在该函数的图象上
B．该函数的图象分别位于第二、第四象限
C．当 时， 随 的增大而增大
D．当 时， 随 的增大而减小
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌
握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】 、当 时， ，所以点 在它的图象上，故选项不符合题意；
、由 可知 ，它的图象在第一、三象限，故选项不符合题意；
、当 时， 随 的增大而减小，故选项不符合题意；
、当 时， 随 的增大而减小，故符合题意；
故选：D．
5．（2025·河北·中考真题）在反比例函数 中，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例数的性质，根据反比例函数性质，将不等式转化为关于 的范围求解．
【详解】解：∵ ， ，当 时， 随 的增大而减小，
当 时， ，
当 时，
∴当 时， ，
故选：B．
6．（2024·江苏徐州·中考真题）若点 、 、 都在反比例函数 的图象上，则a、
b、c的大小关系为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，根据解析式得到反比例函
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数 的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标判断
A，B，C三点的位置，从而根据增减性判断a，b，c的大小即可．
【详解】解：∵在反比例函数 中， ，
∴反比例函数 的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵ 、 、 ，
∴A在第二象限，B，C在第四象限，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
7．（2024·内蒙古包头·中考真题）若反比例函数 ， ，当 时，函数 的最大值是 ，
函数 的最大值是 ，则 ．
【答案】 /
【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，负整数指数幂，正确得出 与 的关系是解题关键．直接利
用反比例函数的性质分别得出 与 ，再代入 进而得出答案．
【详解】解： 函数 ，当 时，函数 随 的增大而减小，最大值为 ，
时， ，
，当 时，函数 随 的增大而减大，函数 的最大值为 ，
．
故答案为： ．
8．（2024·浙江·中考真题）反比例函数 的图象上有 ， 两点．下列正确的选项是
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（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数 ，可知函数位于一、三象
限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出 与 的大小．
【详解】解：根据反比例函数 ，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增
大而减小，
反比例函数 的图象上有 ， 两点，
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ；
故选：A．
9．（2023·湖北襄阳·中考真题）点 ， 都在反比例函数 的图象上，则 ．（填
“ ”或“ ”）
【答案】
【分析】由反比例函数的图像性质得到在同一象限内， 随 的增大而减小，即可得到答案．
【详解】解： ，
在同一象限内， 随 的增大而减小，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查根据反比例函数的图像性质判断出函数的增减性，熟练掌握函数的增减性是解题的
关键．
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10．（2024·山东德州·中考真题）已知 ， 是某函数图象上的两点，当 时，
．该函数的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的增减性．
由题意可得当 时，y随x的增大而增大，逐个选项判断函数的增减性，即可额解答．
【详解】解：∵当 时， ，即 ，
∴当 时，y随x的增大而增大．
A、对于函数 ，y随x的增大而减小，故该函数不合题意；
B、对于 ，当 时，y随x的增大而减小，故该函数不合题意；
C、函数 的图象开口向上，对称轴为 ，
则当 ，y随x的增大而增大，故该函数符合题意；
D、函数 的图象开口向下，对称轴为 ，
则当 ，y随x的增大而减小，故该函数不合题意．
故选：C
11．（2025·天津·中考真题）若点 都在反比例函数 的图象上，则 ，
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
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【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数 的增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内， 随着 的增大而增大，
∵点 都在反比例函数 的图象上，且 ，
∴ ；
故选D．
考点 0 4 k 的几何意义
1．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中， ， 分别是横、纵轴正半轴上的动点，四
边形 是矩形，函数 的图象与边 交于点 ，与边 交于点 （ ， 不重合）．
给出下面四个结论：
① 与 的面积一定相等；
② 与 的面积可能相等；
③ 一定是锐角三角形；
④ 可能是等边三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函
数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数 的意义即可判断①②，根据等边三角形和
反比例函数的对称性即可判断④，根据 是反比例函数图象上的动点，可得 或 为钝角，
即可判断③，即可求解．
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【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴
又∵ 是反比例函数 图象上的动点， 轴， 轴，
∴
∴ ，即 与 的面积一定相等；故①正确，
由①可得
当 与 的面积相等时，如图，连接 ，
∴
∴ 在直线 上，则 重合，
∴ 与 的面积不可能相等，故②不正确，
∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当 且对称轴都为直线 ， 可能是等
边三角形，故④正确,
如图
当 在 的同侧时， 可能是钝角三角形，故③错误
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综上，①④正确、②③错误.
故选：B．
2．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图
象上，连接 ．若 ，则 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过
点A作 轴于C，过点B作 轴，可证明 ，得到 ，再根据反比例
函数比例系数的几何意义得到 ，则 ，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点A作 轴于C，过点B作 轴，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 在函数 的
图象上， ， ．将线段 沿 轴正方向平移得线段 （点 平移后的对应点为 ）， 交
函数 的图象于点 ，过点 作 轴于点 ，则下列结论：
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① ；
② 的面积等于四边形 的面积；
③ 的最小值是 ；
④ ．
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】由 ，可得 ，故①符合题意；如图，连接 ， ， ， 与 的交点为
，利用 的几何意义可得 的面积等于四边形 的面积；故②符合题意；如图，连接 ，证
明四边形 为矩形，可得当 最小，则 最小，设 ，可得 的最小值为 ，故③
不符合题意；如图，设平移距离为 ，可得 ，证明 ，可得 ，再
进一步可得答案．
【详解】解：∵ ， ，四边形 是矩形；
∴ ，
∴ ，故①符合题意；
如图，连接 ， ， ， 与 的交点为 ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积等于四边形 的面积；故②符合题意；
如图，连接 ，
∵ 轴， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴当 最小，则 最小，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，故③不符合题意；
如图，设平移距离为 ，
∴ ，
∵反比例函数为 ，四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴ ， ， ， ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故④符合题意；
故答案为：①②④
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与
性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
4．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数 图象上的一点，连接 ，过点O
作 的垂线与反比例 的图象交于点B，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定
和性质，数形结合是解题的关键．过A作 轴于C，过B作 轴于D，证明 ，
利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
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【详解】解：过A作 轴于C，过B作 轴于D，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ （负值舍去），
故选：A．
5．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，点A在函数 的图象上，点B在函数 的图象
上，且 轴， 轴于点C，则四边形 的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】延长 交 轴于点 ，根据反比例函数 值的几何意义得到 ， ，根
据四边形 的面积等于 ，即可得解．
【详解】解：延长 交 轴于点 ，
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∵ 轴，
∴ 轴，
∵点A在函数 的图象上，
∴ ，
∵ 轴于点C， 轴，点B在函数 的图象上，
∴ ，
∴四边形 的面积等于 ；
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中 的几何意义，是解题的关
键．
6．（2023·广西·中考真题）如图，过 的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交 的图
象于B，D两点，以 ， 为邻边的矩形 被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为 ， ，
， ，若 ，则 的值为（ ）
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A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】设 ，则 ， ， ，根据坐标求得 ， ，推
得 ，即可求得．
【详解】设 ，则 ， ，
∵点A在 的图象上
则 ，
同理∵B，D两点在 的图象上，
则
故 ，
又∵ ，
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即 ，
故 ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
7．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数 经过 、 两点，过点 作 轴于点 ，
过点 作 轴于点 ，连接 、 、 ．若 ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握 值几何意义是关键．延长
交于点E，设 ，则 ，求出 ， ，进而得到
，证明四边形 是矩形，再求出 ，得到 ，根据
，建立方程求解即可．
【详解】解：延长 交于点E，
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设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 轴， 轴，
∴点 的纵坐标为 ，点 的纵坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵反比例函数 经过 、 两点，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故选：D．
8．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线 上，连接AO并延长，交双曲线
于点B，点C为x轴上一点，且 ，连接 ，若 的面积是6，则k的值为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的 的几何意义，掌握反比例函数的 几何意义是解题的关键．
过点A作 轴，过点B作 轴，根据相似三角形的判定和性质得出 ，确定 ，
然后结合图形及面积求解即可．
【详解】解：过点A作 轴，过点B作 轴，如图所示：
∴ ，
∴ ，
∵点A在双曲线 上，点B在 ，
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∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴
∴ ，
故选：C．
9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，反比例函数 的图象经过平行四边形 的顶
点 ， 在 轴上，若点 ， ，则实数 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数，根据 的纵坐标相同以及点 在反比例函数上得到 的坐标，进而用
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代数式表达 的长度，然后根据 列出一元一次方程求解即可．
【详解】 是平行四边形
纵坐标相同
的纵坐标是
在反比例函数图象上
将 代入函数中，得到
的纵坐标为
即：
解得：
故答案为： ．
10．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，点A是反比例函数 的图象上一点，过点A作 轴，
垂足为点C，延长 至点B，使 ，点D是y轴上任意一点，连接 ， ，若 的面积
是6，则 ．
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【答案】
【分析】连结 、 ， 轴，由 得到 ．由 得到
，则 ，再根据反比例函数图象所在象限即可得到满足条件的k的值．
【详解】解：如图，连结 、 ，
∵ 轴，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∵图象位于第一象限，则 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握反比例函数的图象与性质并能熟练运用数
形结合的思想是解答问题的关键．
11．（2023·陕西·中考真题）如图，在矩形 和正方形 中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在
x轴正半轴上，点D在边 上， ， ．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个
反比例函数的表达式是 ．
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【答案】
【分析】设正方形 的边长为m，根据 ， ，得到 ，根据矩形对边相等得到
，推出 ，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到 ，得到
，推出 ．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
设正方形 的边长为m，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
设反比例函数的表达式为 ，
∴ ，
解得 或 （不合题意，舍去），
∴ ，
∴ ，
∴这个反比例函数的表达式是 ，
故答案为： ．
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【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性
质，k的几何意义．
考点 0 5 反比例函数与一次函数的综合——解不等式
1．（2025·重庆·中考真题）如图，点 为矩形 的对角线AC的中点， ， ， ， 是
上的点（ ， 均不与 ， 重合），且 ，连接 ， ．用 表示线段 的长度，点
与点 的距离为 ．矩形 的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 ， ．
(1)请直接写出 ， 分别关于 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围：
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数 ， 的图象，并分别写出函数 ， 的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出 时 的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过 ）．
【答案】(1) ，
(2)作图见解析，性质：当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大（不唯
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一）；当 时， 随 的增大而减小
(3) （或 或 或 或 ）
【分析】本题考查函数解析式，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，反比例函数与不等式，
勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关性质，并能正确分段列出动点问题的相关线段是解题的关键．
（1）利用矩形性质和勾股定理得出 ， ，分两部分：①当 时；②
当 时，分别列出 ；过点 作 于点 ，利用等面积法求出 ，即可表
示出 的面积为 ，同理可得 的面积为 ，再结合矩形 的面积为
与 ，即可列出 ；
（2）根据函数解析式画图即可，再根据函数图象写出性质；
（3）根据图象写出 的图象在 下方时对应的自变量 的取值范围即可
【详解】（1）解：∵ 为矩形 的对角线AC的中点， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
当 时， ，如图，
∴ ；
当 时， ，如图，
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∴ ；
∴ ；
如图，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ，
同理可得 的面积为 ，
又∵矩形 的面积为 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：作图如下：
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性质：当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大（不唯一）；当
时， 随 的增大而减小；
（3）解：结合函数图象，可得 时 的取值范围为 （或 <或 或
或 ）．
2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，正比例函数 的图像与反比例函数 的
图像交于A、B两点，点A的横坐标为 ．当 时， 的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．根据不等
式与函数图像的关系，当 时， 的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的 的取值范
围，数形结合即可得到答案．
【详解】解：由图可知，正比例函数 的图像与反比例函数 的图像相交于
两点，点 的横坐标为 ，
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∴点 的横坐标为 ，
当 或 时，有反比例函数图像在一次函数图像上方，
即当 时， 的取值范围是 或 ，
故选：C．
3．（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数
的图象相交于点A和 ，点A的横坐标为2．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出当 时x的取值范围；
(3)点C为x轴上一动点，连接 ，若 的面积为18，求点C的坐标．
【答案】(1)一次函数解析式为 ，反比例函数解析式为
(2) 或
(3)点C坐标为 或
【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析，三角形面积等．
（1）由待定系数法求解即可；
（2）根据图象即可求得；
（3）设 与 轴交于点 ，得出 ，设 ，则 ，然后根据三角形面积公式
建立方程，解方程，即可求得 的坐标．
【详解】（1）解：一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点A和 ，点A
的横坐标为2
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∴将 代入 ，
则 ，
∴反比例函数解析式为： ，
∴将 代入 ，
则 ，
∴ ，
将 ， 代入 ，
则 ，
解得：
∴一次函数解析式为： ；
（2）解：∵ ，
∴观察图象，当 时， 的取值范围是 或 ；
（3）解：设 与 轴交于点 ，
当 时，
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∴
∴ ，
设 ，
∴
∵ 的面积为18，
∴
∴ ，
∴ ，即
解得： 或
∴点C坐标为 或 ．
4．（2025·四川广安·中考真题）如图，一次函数 （k，b为常数， ）的图象与反比例函数
（m为常数， ）的图象交于A，B两点，点A的坐标是 ，点B的坐标是 ．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)根据函数图象直接写出关于x的不等式 的解集．
【答案】(1)一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为
(2) 或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式
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求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式，求出一次函数解析式即可；
（2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：把点 代入 ，得 ，解得 ，
反比例函数的解析式为 ，
把点 代入 ，得 ，解得 ，
，
把 ， 代入 得 ，解得
一次函数的解析式为 ；
（2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为 或
，
∴关于x的不等式 的解集 或 ．
5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点 ，给出如下定义：当点
，满足 时，称点 是点 的等和点．
(1)已知点 ，在 ， ， 中，是点 等和点的有_____；
(2)若点 的等和点 在直线 上，求 的值；
(3)已知，双曲线 和直线 ，满足 的 取值范围是 或 ．若点 在双曲线
上，点 的等和点 在直线 上，求点 的坐标．
【答案】(1) 和 ；
(2) ；
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(3) 或 ．
【分析】（ ）根据等和点的定义判断即可求解；
（ ）设点 的横坐标为 ，根据等和点的定义得点 的纵坐标为 ，即可得点 的坐标
为 ，把点 的坐标代入 即可求解；
（ ）由题意可得， ，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点 ，如图，由
时 的取值范围是 或 ，可得点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，即得 ，
得到反比例函数解析式为 ，设 ，点 的横坐标为 ，根据等和点的定义得 ，
代入 得 ，解方程得 ， ，据此即可求解；
本题考查了点的坐标新定义运算，一次函数点的坐标特征，一次函数与反比例函数的交点问题，理解等和
点的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：由 ， 得， ，
∴点 是点 的等和点；
由 ， 得， ， ，
∵ ，
∴ 不是点 的等和点；
由 ， 得， ，
∴ 是点 的等和点；
故答案为： 和 ；
（2）解：设点 的横坐标为 ，
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∵点 是点 的等和点，
∴点 的纵坐标为 ，
∴点 的坐标为 ，
∵点 在直线 上，
∴ ，
∴ ；
（3）解：由题意可得， ，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点 ，如图，
由 时 的取值范围是 或 ，可得点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，
把 代入 得， ，
∴ ，
把 代入 得， ，
∴ ，
∴反比例函数解析式为 ，
设 ，点 的横坐标为 ，
∵点 是点 的等和点，
∴点 的纵坐标为 ，
∴ ，
∵点 在直线 上，
∴ ，
整理得， ，
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去分母得， ，
解得 ， ，
经检验， 是原方程的解，
∴点 的坐标为 或 ．
考点 0 6 反比例函数与一次函数的综合——求面积
1．（2025·青海·中考真题）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与反比例函数
（ 为常数 ）的图象在第二象限交于点 ．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求 的面积．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，
熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
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（ ）先由点 代入 求出点 的坐标为 ，然后代入 即可求解；
（ ）过 点作 轴于点 ，然后求出 ， ，再由 即可求解．
【详解】（1）解：把点 代入 中得 ，
∴ ，
∴一次函数解析式为 ，
把点 代入 中，
得 ，
∴点 的坐标为 ，
把 代入 中，
得 ， ，
∴反比例函数解析式为 ；
（2）解：过 点作 轴于点 ，
∵ ，
∴ ，
把 代入 得， ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ．
2．（2025·四川泸州·中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象的一个交点为
．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)将一次函数 的图象沿 轴向下平移12个单位，与反比例函数 的图象相交于点 ，求
的值．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数图象的问题，熟知待定系数法求函数解析
式是解题的关键．
（1）把点A坐标分别代入两个函数解析式中计算求解即可得到答案；
（2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得直线 解析式为 ，则可求出
，过点A作 轴交直线 于T，则 ，再根据 列式求
解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象经过 ，
∴ ，
∴ ，
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∴一次函数解析式为 ；
∵反比例函数 的图象经过 ，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数解析式为 ；
（2）解：∵将一次函数 的图象沿 轴向下平移12个单位，与反比例函数 的图象相交于点
，
∴直线 解析式为 ，
联立 ，解得 或 ，
∴ ；
如图所示，过点A作 轴交直线 于T，
∵ ，
∴点T的横坐标为2，
在 中，当 时， ，
∴ ，
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∴ ，
∴
．
3．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数 的图象交
于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的 和 ．当 ， 分别与x轴相切时，切点
分别为点C和点D，连接 ， ，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留 ）
【答案】 /
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特
征，解直角三角形，扇形的面积，解题的关键是求得 ，根据题意得到 ，则A点的
纵坐标为1，代入解析式求得A的坐标，进而求得 ，再利用扇形的面积公式即可求得两个象限
中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积之和．
【详解】解：当 ， 分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，
∴ 轴， 轴，
∵半径为1，
∴ ，
∴A点的纵坐标为1，
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把 代入 ，求得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴第一象限中阴影的面积 ，
同理，第三象限中阴影的面积 ，
∴ ．
故答案为： ．
4．（2025·安徽·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 与反比例函数
的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2．
(1)求a与k的值；
(2)设直线 与x轴、y轴的交点分别为C，D，求 的面积．
【答案】(1) ，
(2)16
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数与反比例函数综合，正确求出a、k的值解题的关
键．
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（1）把A、B横坐标分别代入两个函数解析式，根据同一个横坐标下，两个函数的函数值相同建立方程组
求解即可；
（2）根据（1）所求可得直线 的解析式，则可求出点C和点D的坐标，坐标可得 的长，据此
根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得， ，
解得 ， ．
（2）解：由（1）知直线 对应的一次函数表达式为 ．
在 中，令 ，得 ，令 ，得 ，
∴ ， ，
∴ ． ．
∴ 的面积为 ．
5．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比
例函数 的图象交于点C．已知点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，点D在反比例函数
的图像上，纵坐标为2．
(1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标；
(2)连接 ，请直接写出四边形 的面积．
【答案】(1) ，
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(2)10
【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值，即可求得反比例函数解析式；由A、
C的坐标，利用待定系数法求出直线 的解析式，令 ，求出y的值，即可得点B的坐标；
（2）点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，则可求得点D的横坐标，利用四边形 的面积等于
面积的和即可求解．
【详解】（1）解：∵点C的坐标为 ，且在反比例函数 的图像上，
∴ ，即 ，
∴反比例函数的解析式为 ；
设直线 的解析式为 ，把A、C两点坐标分别代入得：
，解得： ，
即直线 的解析式为 ；
上式中，令 ， ，
∴点B的坐标为 ；
（2）解：∵点D在反比例函数 的图像上，纵坐标为2，
∴ ，
解得： ；
由题意知， ，
∴
．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图像与
性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图像与性质是关键．
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6．（2024·湖北·中考真题）如图，一次函数 的图象与x轴交于点 ，与反比例函数
（k为常数， ）的图象在第一象限的部分交于点 ．
(1)求m，n，k的值；
(2)若C是反比例函数 的图象在第一象限部分上的点，且 的面积小于 的面积，直接写出
点C的横坐标a的取值范围．
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
（1）把点 坐标代入 求出 ，得到直线解析式，再把点 坐标代入直线解析式求出 ，
把点 坐标代入反比例函数解析式求出 值即可；
（2）根据题意，列出不等式 ，解答即可．
【详解】（1）解：把点 坐标代入 得： ，
解得 ，
直线解析式为 ，
把点 坐标代入直线解析式得 ，
解得 ，
把点 坐标代入反比例函数解析式得： ，
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解得 ，
（2）∵
反比例函数解析式为 ，
的面积小于 的面积，
，即 ，
点 在反比例函数图象上，且在第一象限，
，
．
7．（2024·甘肃·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将函数 的图象向上平移3个单位长度，得
到一次函数 的图象，与反比例函数 的图象交于点 ．过点 作x轴的平行
线分别交 与 的图象于C，D两点．
(1)求一次函数 和反比例函数 的表达式；
(2)连接 ，求 的面积．
【答案】(1)一次函数 的解析式为 ；反比例函数 的解析式为 ；
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）先根据一次函数图象的平移规律 ，再把点A的坐标分别代入对应的一次函数解析式
和反比例函数解析式中，利用待定系数法求解即可；
（2）先分别求出C、D的坐标，进而求出 的长，再根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵将函数 的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数 的图象，
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∴ ，
把 代入 中得： ，解得 ，
∴一次函数 的解析式为 ；
把 代入 中得： ，解得 ，
∴反比例函数 的解析式为 ；
（2）解：∵ 轴， ，
∴点C和点D的纵坐标都为2，
在 中，当 时， ，即 ；
在 中，当 时， ，即 ；
∴ ，
∵ ，
∴ ．
考点 0 7 反比例函数与一次函数的综合——动点问题
1．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数
的图象相交于点 ，与x轴相交于点 ，与y轴相交于点C．
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(1)求一次函数 与反比例函数 的解析式；
(2)点P为y轴负半轴上一点，连接 ．若 的面积为6，求点P的坐标．
【答案】(1)一次函数解析式为： ；反比例函数解析式为： ；
(2)点P的坐标为 ．
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出 点坐标，利用三角形面积公式，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点 在一次函数 图象上，
∴ ，
解得 ，
∴一次函数解析式为： ；
∵点 在一次函数 图象上，
∴ ，
解得 ，
∴点 ，
∵点 在反比例函数 图象上，
∴
∴反比例函数解析式为： ；
（2）解：∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
由题意得 ，
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解得 ，
∵点P为y轴负半轴上一点，
∴ ，
∴点P的坐标为 ．
2．（2025·江西·中考真题）如图，直线 与反比例函数 的图象交于点 ．
(1)求一次函数和反比例函数解析式；
(2)将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接 ，当 时，求点C的坐
标及直线l平移的距离．
【答案】(1)一次函数的解析式为 ，反比例函数和解析式为 ；
(2)点 ，直线l平移的距离为 ．
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，全等三角形的判定和
性质，直线的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先得到点 和点 关于直线 对称，可求得 ，设直线l向上平移 个单位经过点 ，
再利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∵直线 经过点 ，
∴ ，
解得 ，
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∴一次函数的解析式为 ，反比例函数和解析式为 ；
（2）解：作一三象限的角平分线 ，如图，
∵ ，∴ ，
根据双曲线的对称性，知点 和点 关于直线 对称，
∴ ，
作 轴于点 ，作 轴于点 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴点 ，设直线l向上平移 个单位经过点 ，
∴平移后的直线为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线l平移的距离为 ．
3．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，过原点 的直线与反比例函数 的图象交于 、 两点，
一次函数 的图象过点A与反比例函数交于另一点 ，与 轴交于点 ，其中 ，
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．
(1)求一次函数 的表达式，并求 的面积．
(2)连接 ，在直线 上是否存在点 ，使以 、 、 为顶点的三角形与 相似，若存在，求出
点 坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) 或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质，两点距离计算公式，勾股定理
的逆定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）把点A坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点C坐标，再把点A和点C
坐标代入一次函数 的解析式中求出一次函数 的解析式，进而求出点M的坐标，再利用
三角形面积计算公式求解即可；
（2）利用对称性可得点B坐标，利用两点距离计算公式和勾股定理的逆定理可证明 ，则只存
在 和 这两种情况，当 时，则 ，此时点D为 的
中点，利用中点坐标公式可得答案当 时，则 ，可求出 ；
设 ，则 ，解方程即可得到答案．
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【详解】（1）解：把 代入到 中得： ，解得 ，
∴反比例函数解析式为 ，
在 中，当 时， ，
∴ ；
把 ， 代入到 中得： ，解得 ，
∴一次函数 的表达式为 ，
在 中，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵直线 经过原点，
∴由反比例函数的对称性可得点B的坐标为 ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 与 不垂直，
∵ 与 相似，
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∴只存在 和 这两种情况，
当 时，则 ， ，
∴ ， ，
∴此时点D为 的中点，
∴点D的坐标为 ；
当 时，则 ， ，
∴ ；
设 ，
∴ ，
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解得 ，
∴ ，
∴点D的坐标为 ；
综上所述，点D的坐标为 或 ．
4．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，一次函数 （ 为常数， ）的图象与反比例函数
的图象交于 两点．
(1)求一次函数和反比例函数的关系式．
(2)结合图形，请直接写出不等式 的解集．
(3)点 是 轴上的一点，若 是以 为直角边的直角三角形，求 的值．
【答案】(1)反比例函数的关系式为 ，一次函数的关系式为
(2) 或
(3) 或
【分析】（ ）利用待定系数法解答即可；
（ ）求出直线 与反比例函数 的交点坐标，进而根据函数图象解答即可；
（ ）分 和 两种情况，利用勾股定理列出方程解答即可；
本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何应用，掌握
数形结合和分类讨论思想是解题的关键．
【详解】（1）解：把 代入 ，得 ，
∴ ，
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∴反比例函数的关系式为 ，
把 代入 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
把 ， 代入一次函数 得，
，
解得 ，
∴一次函数的关系式为 ；
（2）解：如图，设直线 与反比例函数 的图象相交于点 ，
由 ，解得 ， ，
∴ ， ，
由函数图象可知，当 或 时，反比例函数图象位于一次函数图象下方，即 ，
∴不等式 的解集为 或 ；
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（3）解：当 时， ，
即 ，
整理得， ，
∴ ；
当 时， ，
即 ，
整理得， ，
∴ ；
综上， 的值为 或 ．
5．（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点
， ．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)利用图像，直接写出不等式 的解集为________；
(3)在x轴上找一点C，使 的周长最小，并求出最小值．
【答案】(1) ；
(2)
(3)当点C的坐标为 时， 的周长有最小值，最小值为
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，两点
距离计算公式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
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（1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式
中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）只需要根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案；
（3）作点B关于x轴的对称点D，连接 ，则 ，由轴对称的性质可得 ；
由两点距离计算公式可得 ，则可推出 的周长 ，根据 ，可
推出当A、C、D三点共线时， 有最小值，即此时 的周长有最小值，最小值为 ，
利用两点距离计算公式可得 ，则 的周长的最小值为 ；求出直线 解析式为
，在 中，当 时， ，则 ．
【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象经过 ，
∴ ，
解得 ，
∴反比例函数的解析式为 ；
在 中，当 时， ，
∴ ，
∵一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ， ，
∴ ，
解得 ，
∴一次函数解析式为 ；
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（2）解：由函数图象可知，当一次函数 的图象在反比例函数 的 图象上方时自
变量的取值范围为 ，
∴不等式 的解集为 ；
（3）解；如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接 ，则 ，
由轴对称的性质可得 ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ 的周长 ，
∴当 有最小值时， 的周长有最小值，
∵ ，
∴当 有最小值时， 的周长有最小值，
∵ ，
∴当A、C、D三点共线时， 有最小值，即此时 的周长有最小值，最小值为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 的周长的最小值为 ；
设直线 解析式为 ，则 ，
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∴ ，
∴直线 解析式为 ，
在 中，当 时， ，
∴ ；
综上所述，当点C的坐标为 时， 的周长有最小值，最小值为 ．
6．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 与反比例函数 的
图象交于 两点，点 的横坐标为1．
(1)求 的值及点 的坐标．
(2)点 是线段 上一点，点 在直线 上运动，当 时，求 的最小值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）先求解A的坐标，再求解反比例函数解析式，再联立两个解析式可得B的坐标；
（2）由 ，证明 ，可得 ，求解 ,证明 ，如图，当
时， 最短；再进一步利用勾股定理与等面积法求解即可；
【详解】（1）解：∵直线 与反比例函数 的图象交于 两点，点 的横坐标为1．
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∴ ，
∴ ,
∴ ，
∴反比例函数为： ；
∴ ，
解得： ， ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ,
∴ ，
∴ ， ，
如图，当 时， 最短；
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∴ ；
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，求解函数解析式，一元二次方程的解法，勾股定理
的应用，等腰三角形的性质，理解题意是解本题的关键.
7．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数 的图
象交于 ， 两点．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)求 的面积；
(3)若点P是y轴上一动点，连接 ．当 的值最小时，求点P的坐标．
【答案】(1)一次函数的表达式为 ，反比例函数表达式为
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数
的性质是关键．
（1）依据题意，由 在反比例函数 上，可得 的值，进而求出反比例函数，再将 代入求出
的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式；
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（2）依据题意，设直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，由直线 为 ，可得 ，故
，再由 ，进而计算可以
得解；
（３）依据题意，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则 的最小值等于
的长，结合 )与 关于 轴对称，故 为 ，又 ，可得直线 为 ，
再令 ，则 ，进而可以得解．
【详解】（1）解：由题意，∵ 在反比例函数 上，
∴ ．
∴反比例函数表达式为 ．
又 在反比例函数 上，
∴ ．
∴ ．
设一次函数表达式为 ，
∴ ，
∴ ， ．
∴一次函数的表达式为 ．
（2）解：由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，
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又直线l为 ，
∴ ， ．
∴ ， ，
∴ ；
（3）解：由题意，如图，作点M关于y轴的对称点 ，连接 交y轴于点P，则
的最小值等于 的长．
∵ 与 关于y轴对称，
∴ 为 ．
又 ，设 的解析式为 ，
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则 ，解得 ，
∴直线 为 ．
令 ，则 ．
∴ ．
8．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，
点B，C在第一象限，四边形 是平行四边形，点C在反比例函数 的图象上，点C的横坐标为
2，点B的纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为 ， ，则 中点坐标为 ．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图2，点D是 边的中点，且在反比例函数 图象上，求平行四边形 的面积；
(3)如图3，将直线 向上平移6个单位得到直线 ，直线 与函数 图象交于 ，
两点，点P为 的中点，过点 作 于点N．请直接写出P点坐标和 的值．
【答案】(1)
(2)9
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(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 ，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）设 ，根据平行四边形的性质可得 ，利用中点坐标公式可得 ，再把点D
代入反比例函数解析式求得 ，即可求解；
（3）由一次函数平移规律可得直线 ： ，联立方程组得 ，设 、
，即 ，利用中点坐标公式求得点P的横坐标为4，即可得 ，再利用勾股定理求
得 ，求得直线与x、y轴的交点 、 ，利用勾股定理求得 ，可得 ，
过点O作 ，由平行线定理可得 ，利用锐角三角函数求得 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵点B的纵坐标为3．
∴ ，
把 代入 得， ，
∴反比例函数的表达式为 ；
（2）解：设 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点D是 边的中点，
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∴ ，即 ，
∵点D在反比例函数 图象上，
把 代入得， ，
解得 ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵将直线 向上平移6个单位得到直线 ： ，
∵直线 与函数 图象交于 ， 两点，
∴联立方程组得， ，
即 ，
设 、 ，
∴ ，
∵点P为 的中点，
∴点P的横坐标为 ，
把 代入 得， ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得， ，
把 代入 得， ，
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解得 ，
∴直线 与x、y轴交于点 、 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
过点O作 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、一次函数的平移规律、一次函数与反比例函数的交
点问题、锐角三角函数、平行线定理、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、一元二次方程的根与系
数的关系、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
9．（2024·江苏苏州·中考真题）如图， 中， ， ， ， ，反比例
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函数 的图象与 交于点 ，与 交于点E．
(1)求m，k的值；
(2)点P为反比例函数 图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P
作 ，交y轴于点M，过点P作 轴，交 于点N，连接 ，求 面积的最大值，并
求出此时点P的坐标．
【答案】(1) ，
(2) 最大值是 ，此时
【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线 的函数表达式，把D的坐标代入直线 的函数
表达式求出m，再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可；
（2）延长 交y轴于点Q，交 于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出 ，设点P的坐
标为 ， ，则可求出 ，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解： ， ，
．
又 ，
．
，
点 ．
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设直线 的函数表达式为 ，
将 ， 代入 ，得 ，
解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ．
将点 代入 ，得 ．
．
将 代入 ，得 ．
（2）解：延长 交y轴于点Q，交 于点L．
， ，
．
轴，
， ．
，
，
，
．
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设点P的坐标为 ， ，则 ， ．
．
．
当 时， 有最大值 ，此时 ．
80
