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热点 04 一次函数与反比例函数
中考数学中《一次函数与反比例函数》部分主要考向分为五类：
一、一次函数图象与性质（每年1~2道，3~7分）
二、一次函数的应用（每年1道，4~8分）
三、反比例函数的性质（每年1~2题，3~7分）
四、反比例函数的应用（每年1~2题，3~14分）
五、一次函数与反比例函数的结合（每年1~2题，3~12分）
一次函数在中考数学中主要考察其图象、性质以及其简单应用，考察题型较为灵活。但是一张中考数
学与试卷中，单独考察一次函数的题目占比并不是很大，更多的是考察一次函数与其他几何知识的结合。
而反比例函数在中考中的占比会更大，常和一次函数的图象结合考察；在填空题中，对反比例函数点的坐
标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，考题常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技
巧性较强，复习中需要多加注意。另外解答题中还会考察反比例函数的解析式的确定，也是常和一次函数
结合，顺带也会考察其与不等式的关系。而压轴题中也渐渐显露反比例函数的问题环境，考生在复习过程
中需要更加重视该考点。
考向一：一次函数图象与性质
【题型1】一次函数的图象与性质】
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b
(− ，0)
y=kx+b(k≠0） (0，b) k
1、一次函数 的图象是经过点 和点 的一条直线；
2、一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标；
当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。
1．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数y=2x−1，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与y轴交于点(0,−1) B．y随x的增大而减小
1
C．当x> 时，y<0 D．它的图象经过第一、二、三象限
2
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案．
【详解】解：A.当x=0时，y=−1，即一次函数y=2x−1的图象与y轴交于点(0,−1)，说法正确；
B.一次函数y=2x−1图象y随x的增大而增大，原说法错误；
1
C.当x> 时，y>0，原说法错误；
2
D.一次函数y=2x−1的图象经过第一、三、四象限，原说法错误；
故选A．
2．（2024·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数y=x+1的图象不经过的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图像，掌握根据k，b的符号正确判断一次函数图象经过的象限是解题的
关键．根据k，b的符号判断直线所经过的象限，然后确定必不经过的象限即可．
【详解】解：∵由已知，得：k=1>0,b=1>0，
∴图象经过第一、二、三象限，
∴图象不经过第四象限．
故选：D．
3．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数y=2x−3的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点
是（ ）
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( 3 ) (3 )
A． − ,0 B． ,0 C．(0,3) D．(0,−3)
2 2
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，点的对称，属于简单题，求交点坐标是解题关键．
先求出点A的坐标，再根据对称性求出对称点的坐标即可．
【详解】解：令y=0，则0=2x−3，
3
解得：x= ，
2
3
即A点为( ,0)，
2
( 3 )
则点A关于y轴的对称点是 − ,0 ．
2
故选：A．
4．（2024·甘肃兰州·中考真题）一次函数y=2x−3的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】先判断k、b的符号，再判断直线经过的象限，进而可得答案．
【详解】解：∵k=2>0,b=−3<0，
∴一次函数y=2x−3的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的系数与其图象的关系，属于基础题型，熟练掌握一次函数的图象与其
系数的关系是解题的关键．
5．（2024·四川南充·中考真题）当2≤x≤5时，一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6，则实数m的值
为（ ）
A．−3或0 B．0或1 C．−5或−3 D．−5或1
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当m+1>0时和当
m+1<0，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案．
【详解】解：当m+1>0即m>−1时，一次函数y随x的增大而增大，
∴当x=5时，y=6，
即5(m+1)+m2+1=6，
整理得：m2+5m=0
解得：m=0或m=−5（舍去）
当m+1<0即m<−1时，一次函数y随x的增大而减小，
∴当x=2时，y=6，
即2(m+1)+m2+1=6，
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整理得：m2+2m−3=0
解得：m=−3或m=1（舍去）
综上，m=0或m=−3，
故选：A
6．（2024·广东·中考真题）已知不等式kx+b<0的解集是x<2，则一次函数y=kx+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次
函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当x<2函数图象位于x轴的下方的图
象即可．
【详解】解∶∵不等式kx+b<0的解集是x<2，
∴当x<2时，y<0，
观察各个选项，只有选项B符合题意，
故选：B．
7．（2024·江苏镇江·中考真题）点A(1,y )、B(2,y )在一次函数y=3x+1的图像上，则y y
1 2 1 2
（用“<”、“=”或“>”填空）．
【答案】<
【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据k=3>0，可知一次函数值y随着x的增大而增大，
再比较x值的大小，可得答案．
【详解】∵一次函数y=3x+1中，k=3>0，
∴一次函数值y随着x的增大而增大．
∵1<2，
∴y <y ．
1 2
故答案为：<．
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【题型2一次函数图象上点的坐标特征】
牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结
合的几何图形的性质。
3
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点P(x,y)在直线y=− x+4上，坐标(x,y)是二元一次方程
4
5x−6 y=33的解，则点P的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ¿，求出点P
的坐标即可判断．
【详解】解∶ 联立方程组¿，
解得¿，
( 1)
∴P的坐标为 6,− ，
2
∴点P在第四象限，
故选∶D．
2．（2024·江苏苏州·中考真题）直线l :y=x−1与x轴交于点A，将直线l 绕点A逆时针旋转15°，得到直
1 1
线l ，则直线l 对应的函数表达式是 ．
2 2
【答案】y=√3x−√3
【分析】根据题意可求得l 与坐标轴的交点A和点B，可得∠OAB=∠OBA=45°，结合旋转得到
1
∠OAC=60°，则∠OCA=30°，求得OC=√3，即得点C坐标，利用待定系数法即可求得直线l 的
2
解析式．
【详解】解：依题意画出旋转前的函数图象l 和旋转后的函数图象l ，如图所示∶
1 2
设l 与y轴的交点为点B，
1
令x=0，得y=−1；令y=0，即x=1，
∴A(1,0)，B(0,−1) ，
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∴OA=1，OB=1，
即∠OAB=∠OBA=45°
∵直线l 绕点A逆时针旋转15°，得到直线l ，
1 2
∴∠OAC=60°，∠OCA=30°，
∴OC=OA×tan60°=√3OA=√3，
则点C(0,−√3)，
设直线l 的解析式为y=kx+b，则
2
¿，解得¿，
那么，直线l 的解析式为y=√3x−√3，
2
故答案为：y=√3x−√3．
【点睛】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点、直线的旋转、解直角三角形以及待定系数法求一次
函数解析式，解题的关键是找到旋转后对应的直角边长．
3．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一次函数y=kx+b的图象经过A(3，6),B(0，3)两点，交x轴于
点C，则△AOC的面积为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积．
根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式，得出点C的坐标及OC的长，再利用
三角形的面积公式即可求出△AOC的面积．
【详解】解：将A(3，6),B(0，3)代入y=kx+b，得：¿，
解得：¿，
∴直线AB的解析式为y=x+3．
当y=0时，x+3=0，解得：x=−3，
∴点C的坐标为(−3，0)，OC=3，
1 1
∴S = OC•|y |= ×3×6=9．
△AOC 2 A 2
故答案为：9．
4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）请写出一个过点(1，1)且y的值随x值增大而减小的函数的解析式
．
【答案】y=−x+2（答案不唯一）
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【分析】本题主要考查了函数的增减性，待定系数法求函数解析式．写出一个一次项系数为负数且经
过点(1，1)的一次函数即可．
【详解】解：设满足题意得的一次函数的关系式为y=−x+b，
代入(1，1)得：1=−1+b，
b=2，
∴满足题意的一次函数的解析式为y=−x+2．
故答案为：y=−x+2（答案不唯一）．
【题型3 一次函数与方程、不等式的关系】
1、求直线与另一直线的交点，就是在求两条直线对应解析式联立所得方程（组）的交点；
2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口
朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。
1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象分别与x、y轴交于A、B两点，
若OA=2，OB=1，则关于x的方程kx+b=0的解为 ．
【答案】x=−2
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可．
根据一次函数与x轴交点坐标可得出答案．
【详解】解：∵OA=2，
∴A(−2,0)，
∵一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(−2,0)，
∴当y=0时，x=−2，即kx+b=0时，x=−2，
∴关于x的方程kx+b=0的解是x=−2．
故答案为：x=−2．
1
2．（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数y =ax(a≠0)和y = x+1，当x≤1时，函数y 的图象在
1 2 2 2
函数y 的图象上方，则a的取值范围为
1
1 3
【答案】 ≤a<
2 2
【分析】本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，分类
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讨论，是解决问题的关键．
( 3) 3 1 1
可知y =ax过原点，当y =ax过点 1, 时， a= ；当y =ax与y = x+1平行时，a= ，由函数
1 1 2 2 1 2 2 2
1 3
图象知， ≤a< ．
2 2
【详解】解：可知y =ax过原点，
1
1 3
∵y = x+1中，x=1时，y = ，
2 2 2 2
( 3) 3
∴当y =ax过点 1, 时， =a×1，
1 2 2
3
得a= ；
2
1
当y =ax与y = x+1平行时，
1 2 2
1
得a= ．
2
1 3
由函数图象知，当x≤1时，函数y 的图象在函数y 的图象上方，a的取值范围为： ≤a< ．
2 1 2 2
1 3
故答案为： ≤a< ．
2 2
3．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)与y=−kx+3的图象交于点
(2,1).
(1)求k，b的值；
(2)当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=kx+b的值，也大于函数
y=−kx+3的值，直接写出m的取值范围.
【答案】(1)k=1,b=−1
(2)m≥1
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解
决本题的关键．
（1）将(2,1)代入y=−kx+3先求出k，再将(2,1)和k的值代入y=kx+b(k≠0)即可求出b；
（2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当x>2时，对于x的每一个值，直线y=mx(m≠0)的图
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象在直线y=x−1和直线y=−x+3的上方，画出临界状态图象分析即可．
【详解】（1）解：由题意，将(2,1)代入y=−kx+3得：−2k+3=1，
解得：k=1，
将k=1，(2,1)，代入函数y=kx+b(k≠0)中，
得：¿，
解得：¿，
∴k=1,b=−1；
（2）解：∵k=1,b=−1，
∴两个一次函数的解析式分别为y=x−1,y=−x+3，
当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=x−1的值，也大于函数
y=−x+3的值，
即当x>2时，对于x的每一个值，直线y=mx(m≠0)的图象在直线y=x−1和直线y=−x+3的上方，
则画出图象为：
由图象得：当直线y=mx(m≠0)与直线y=x−1平行时符合题意或者当y=mx(m≠0)与x轴的夹角大
于直线y=mx(m≠0)与直线y=x−1平行时的夹角也符合题意，
∴当直线y=mx(m≠0)与直线y=x−1平行时，m=1，
∴当x>2时，对于x的每一个值，直线y=mx(m≠0)的图象在直线y=x−1和直线y=−x+3的上方时，
m≥1，
∴m的取值范围为m≥1．
考向二：一次函数的应用
【题型4 一次函数与行程类问题】
y=kx+b(k≠0）
1、行程问题中，一次函数 中|k|通常对应行程问题中的速度
2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义
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1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速
度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲
无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、
乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成
后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行
的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：
(1)a= ______米/秒，t= ______秒；
(2)求线段MN所在直线的函数解析式；
(3)两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？(直接写出答案即可)
【答案】(1)8，20
(2)y=8x−56；
(3)2秒或10秒或16秒．
【分析】本题主要考查求一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
（1）根据图形计算即可求解；
（2）先求得甲无人机单独表演所用时间为19−12=7秒，得到M(13,48)，利用待定系数法即可求解；
（3）利用待定系数法分别求得线段OB、线段AN、线段BM所在直线的函数解析式，再分三种情况
讨论，列式计算即可求解
【详解】（1）解：由题意得甲无人机的速度为a=48÷6=8米/秒，
t=39−19=20，
故答案为：8，20；
（2）解：由图象知，N(19,96)，
∵甲无人机的速度为8米/秒，
甲无人机匀速从0米到96米所用时间为96÷8=12秒，
甲无人机单独表演所用时间为19−12=7秒，
∴6+7=13秒，
∴M(13,48)，
设线段MN所在直线的函数解析式为y=kx+b，
将M(13,48)，N(19,96)代入得¿，
解得¿，
∴线段MN所在直线的函数解析式为y=8x−56；
（3）解：由题意A(0,20)，B(6,48)，
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同理线段OB所在直线的函数解析式为y=8x，
线段AN所在直线的函数解析式为y=4x+20，
线段BM所在直线的函数解析式为y=48，
当0≤t≤6时，由题意得|4x+20−8x|=12，
解得x=2或x=8（舍去），
当6<t≤13时，由题意得|4x+20−48|=12，
解得x=10或x=4（舍去），
当13<t≤19时，由题意得|8x−56−4x−20|=12，
解得x=16或x=22（舍去），
综上，两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米．
2．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6km，文化
广场离家1.5km．张华从家出发，先匀速骑行了4min到画社，在画社停留了15min，之后匀速骑行
了6min到文化广场，在文化广场停留6min后，再匀速步行了20min返回家．下面图中x表示时间，
y表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
张华离开家的时间
1 4 13 30
/min
张华离家的距离/km 0.6
②填空：张华从文化广场返回家的速度为______km/min；
③当0≤x≤25时，请直接写出张华离家的距离y关于时间x的函数解析式；
(2)当张华离开家8min时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20min直接到达了文化广场，那么从画社
到文化广场的途中(0.6<y<1.5)两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
【答案】(1)①0.15,0.6,1.5；②0.075；③当0≤x≤4时，y=0.15x；当4<x≤19时，y=0.6；当
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19<x≤25时，y=0.15x−2.25
(2)1.05km
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理
解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）①根据图象作答即可；
②根据图象，由张华从文化广场返回家的距离除以时间求解即可；
③分段求解，0≤x≤4，可得出y=0.15x，当4<x≤19时，y=0.6；当19<x≤25时，设一次函数解
析式为：y=kx+b，把(19,0.6)，(25,1.5)代入y=kx+b，用待定系数法求解即可.
（2）先求出张华爸爸的速度，设张华爸爸距家y'km，则y'=0.075x−0.6，当两人相遇时有
0.15x−2.25=0.075x−0.6，列一元一次方程求解即可进一步得出答案．
【详解】（1）解：①画社离家0.6km，张华从家出发，先匀速骑行了4min到画社，
∴张华的骑行速度为0.6÷4=0.15(km/min)，
∴张华离家1min时，张华离家0.15×1=0.15km，
张华离家13min时，还在画社，故此时张华离家还是0.6km，
张华离家30min时，在文化广场，故此时张华离家还是1.5km．
故答案为：0.15,0.6,1.5.
②1.5÷(5.1−3.1)=0.075km/min,
故答案为：0.075．
③当0≤x≤4时，张华的匀速骑行速度为0.6÷4=0.15(km/min)，
∴y=0.15x；
当4<x≤19时，y=0.6；
当19<x≤25时，设一次函数解析式为：y=kx+b，
把(19,0.6)，(25,1.5)代入y=kx+b，可得出：
¿，
解得：¿，
∴y=0.15x−2.25，
综上：当0≤x≤4时，y=0.15x，当4<x≤19时，y=0.6，当19<x≤25时，y=0.15x−2.25．
（2）张华爸爸的速度为：1.5÷20=0.075(km/min)，
设张华爸爸距家y'km，则y'=0.075(x−8)=0.075x−0.6，
当两人从画社到文化广场的途中(0.6<y<1.5)两人相遇时，有0.15x−2.25=0.075x−0.6，
解得：x=22，
∴y'=0.075(x−8)=0.075x−0.6=0.075×22−0.6=1.05km，
故从画社到文化广场的途中(0.6<y<1.5)两人相遇时离家的距离是1.05km．
3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地
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2
到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早 小时
7
到达目的地．甲、乙两车之间的路程ykm与两车行驶时间xh的函数关系如图所示，请结合图象信息，
解答下列问题：
(1)甲车行驶的速度是_____km/h，并在图中括号内填上正确的数；
(2)求图中线段EF所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
【答案】(1)70，300
(2)y=120x−300
5 25
(3) h或 h
8 13
【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用，求出A、B、C两两之间的距离是
解题的关键．
（1）利用时间、速度、路程之间的关系求解；
（2）利用待定系数法求解；
（3）先求出A、B、C两两之间的距离和乙车的速度，设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车
距B地路程的3倍，分甲乙相遇前、相遇后两种情况，列一元一次方程分别求解即可．
2
【详解】（1）解：由图可知，甲车 小时行驶的路程为(200−180)km，
7
2
∴甲车行驶的速度是(200−180)÷ =70(km/h)，
7
( 2)
∴A、C两地的距离为： 4+ ×70=300(km)，
7
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故答案为：70；300；
(5 )
（2）解：由图可知E，F的坐标分别为 ,0 ，(4,180)，
2
设线段EF所在直线的函数解析式为y=kx+b，
则¿，
解得¿，
∴线段EF所在直线的函数解析式为y=120x−300；
( 2)
（3）解：由题意知，A、C两地的距离为： 4+ ×70=300(km)，
7
5
乙车行驶的速度为：300÷ −70=50(km/h)，
2
C、B两地的距离为：50×4=200(km)，
A、B两地的距离为：300−200=100(km)，
设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，
分两种情况，当甲乙相遇前时：
200−50x=3(100−70x)，
5
解得x= ；
8
当甲乙相遇后时：
200−50x=3(70x−100)，
25
解得x= ；
13
5 25
综上可知，两车出发 h或 h时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
8 13
4．（2024·吉林长春·中考真题）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点
的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过
1
一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶 小时，再立即减速以另一
12
速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行
驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x
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（时）之间的函数图象如图所示．
(1)a的值为________；
1
(2)当 ≤x≤a时，求y与x之间的函数关系式；
12
(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不
得超过120千米/时）
1
【答案】(1)
5
( 1 1)
(2)y=90x+2 ≤x≤
12 5
(3)没有超速
【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求
函数关系式是解题的关键．
（1）由题意可得：当以平均时速为100千米/时行驶时，a小时路程为20千米，据此即可解答；
（2）利用待定系数法求解即可；
1
（3）求出先匀速行驶 小时的速度，据此即可解答．
12
1
【详解】（1）解：由题意可得：100a=20，解得：a= ．
5
1
故答案为： ．
5
1 1
（2）解：设当 ≤x≤ 时，y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
12 5
则：¿，解得：¿，
( 1 1)
∴y=90x+2 ≤x≤ ．
12 5
1 1
（3）解：当x= 时，y=90× +2=9.5，
12 12
1 1
∴先匀速行驶 小时的速度为：9.5÷ =114（千米/时），
12 12
∵114＜120，
∴辆汽车减速前没有超速．
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【题型5 一次函数与销售类问题】
1、常用等量关系：总利润=单件利润×数量
2、利用函数的增减性得到最大利润
1．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供
更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有A,B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高20%；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
2
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的 ．
3
【问题解决】
(1)问题一：求出A,B两种书架的单价；
(2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的
购买方案；
1
(3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价 m元，
3
按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值．
【答案】(1)1200元；1000元
(2)w=200a+20000(a≥8)；购买A种书架8个，B种书架12个
(3)120
【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题．
（1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为(1+20%)x元，用18000元购买A种书架
18000 9000
个，用9000元购买B种书架 个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答；
(1+20%)x x
（2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的
取值范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值；
（3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答．
【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为(1+20%)x元．
18000 9000
由题意得 − =6，
(1+20%)x x
解得x=1000，
经检验，x=1000是分式方程的解，且符合题意，
∴(1+20%)x=1200．
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答：A,B两种书架的单价分别为1200元，1000元．
（2）解：购买a个A种书架时，购买总费用w=1200a+1000(20−a)，
即w=200a+20000，
2
由题意得，a应满足：a≥ (20−a)，解得a≥8．
3
∵200>0，
∴w随着a的增大而增大，
当a=8时，w的值最小，最小值为200×8+20000=21600，
∴费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个．
（3）解：由题意得
( 1 )
(1200−m)×8+ 1000+ m ×12=21120，
3
解得m=120．
2．（2024·山东青岛·中考真题）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、
航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数
4
量是用1800元购买航海模型数量的 ．
5
(1)求航空和航海模型的单价；
(2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，
1
且航空模型数量不少于航海模型数量的 ，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
2
【答案】(1)航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为90元；
(2)当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为(x−35)元，根据用2000元购买航空模型的数量
4
是用1800元购买航海模型数量的 列出方程求解即可；
5
（2）设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型(120−m)个，先根据航空模型数量不少于
1
航海模型数量的 列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数
2
的性质求解即可．
【详解】（1）解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为(x−35)元，
2000 4 1800
由题意得， = × ，
x 5 x−35
解得x=125，
检验，当x=125时，x(x−35)≠0，
∴x=125是原方程的解，且符合题意，
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∴x−35=90，
答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为90元；
（2）解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型(120−m)个，
1
由题意得，m≥ (120−m)，
2
解得m≥40，
y=125×0.8m+90(120−m)=10m+10800，
∵10>0，
∴y随m增大而增大，
∴当m=40时，y有最小值，最小值为10×40+10800=11200，
此时有120−m=80，
答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少．
3．（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买A,B两种型号的劳动用品，购买记录如
下表：
A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元）
第一次 20 25 1150
第二次 10 20 800
(1)求A，B两种型号劳动用品的单价；
(2)若该校计划再次购买A，B两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件
且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价
保持不变）
【答案】(1)A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元
(2)该校购买这40件劳动用品至少需要950元
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用．
（1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出方程
组求解即可；
（2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品(40−a)件，根据题意得出10≤a≤25，
设购买这40件劳动用品需要W元，列出W关于a的表达式，根据一次函数的性质，即可解答．
【详解】（1）解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，
¿，
解得：¿，
答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元．
（2）解：设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品(40−a)件，
根据题意可得：10≤a≤25，
设购买这40件劳动用品需要W元，
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W =20a+30(40−a)=−10a+1200，
∵−10<0，
∴W随a的增大而减小，
∴当a=25时，W取最小值，W =−10×25+1200=950，
∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元．
4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两
种水果的进价和售价如表所示：
水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克）
甲 a 22
乙 b 25
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需
705元．
(1)求a,b的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，
且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超
市当天销售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式（写
出自变量x的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．
【答案】(1)a=14，b=19
(2)y=¿，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是∶
（1）根据“购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15
千克需705元”列方程求解即可；
（2）分50≤x≤80，80<x≤120两种情况讨论，根据总利润等于甲的利润与乙的利润列出函数关系
式，然后利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得¿，
解得¿；
（2）解：当50≤x≤80时，
根据题意，得y=(22−14)x+(25−19)(150−x)=2x+900，
∵2>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=80时，y有最大值，最大值为2×80+900=1060，
即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；
当80<x≤120时，
根据题意，得y=(22−14)×80+(22−14−5)×(x−80)+(25−19)(150−x)=−3x+1300，
∵−3<0，
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∴y随x的增大而减小，
∴x=80时，y有最大值，最大值为−3×80+1300=1060，
即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；
综上，y=¿，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元．
5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，
需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种
品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元．
(1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？
(2)若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不
超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？
(3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条
件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元
(2)共有3种购买方案
(3)学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用，
（1）设购买一个甲种品牌毽子需a元，购买一个乙种品牌毽子需b元，根据题意列出二元一次方程组，
问题得解；
( 3 )
（2）设购买甲种品牌毽子x个，购买乙种品牌毽子 100− x 个，根据题意列出一元一次不等式组，
2
解不等式组即可求解；
( 3 )
（3）设商家获得总利润为y元，即有一次函数y=5x+4 100− x ，根据一次函数的性质即可求解．
2
【详解】（1）解：设购买一个甲种品牌毽子需a元，购买一个乙种品牌毽子需b元．由题意得：¿，
解得：¿，
答：购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元；
1000−15x ( 3 )
（2）解：设购买甲种品牌毽子x个，购买乙种品牌毽子 = 100− x 个．
10 2
由题意得：¿，
14
解得：58 ≤x≤64，
17
( 3 )
∵x和 100− x 均为正整数，
2
∴x=60，62，64，
3
100− x=10，7，4，
2
∴共有3种购买方案．
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（3）设商家获得总利润为y元，
( 3 )
y=5x+4 100− x ，
2
y=−x+400，
∵k=−1<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=60时，y =340，
最大
答：学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元．
考向三：反比例函数的性质
【题型6 反比例函数的性质】
在说反比例函数的增减性之前，必须带上自变量的取值范围，不然就是错的
2
1．（2024·广西·中考真题）已知点M(x ,y )，N(x ,y )在反比例函数y= 的图象上，若x <0<x ，则
1 1 2 2 x 1 2
有（ ）
A．y <0<y B．y <0<y C．y <y <0 D．0<y <y
1 2 2 1 1 2 1 2
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根
2
据点M(x ,y )，N(x ,y )在反比例函数图象上，则满足关系式y= ，横纵坐标的积等于2，结合
1 1 2 2 x
x <0<x 即可得出答案．
1 2
2
【详解】解：∵ 点M(x ,y )，N(x ,y )在反比例函数y= 的图象上，
1 1 2 2 x
∴ x y =2，x y =2，
1 1 2 2
∵ x <0<x ，
1 2
∴ y <0，y >0，
1 2
∴ y <0<y ．
1 2
故选：A．
k−1
2．（2024·四川遂宁·中考真题）反比例函数y= 的图象在第一、三象限，则点(k,−3)在第 象
x
限．
【答案】四/4
【分析】本题考查了反比例函数的性质，点所在的象限，根据反比例函数的性质得出k>1，进而即可
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求解．
k−1
【详解】解：∵反比例函数y= 的图象在第一、三象限，
x
∴k−1>0
∴k>1
∴点(k,−3)在第四象限，
故答案为：四．
4
3．（2024·浙江·中考真题）反比例函数y= 的图象上有P(t,y )，Q(t+4,y )两点．下列正确的选项是
x 1 2
（ ）
A．当t<−4时，y <y <0 B．当−4<t<0时，y <y <0
2 1 2 1
C．当−4<t<0时，0<y <y D．当t>0时，0<y <y
1 2 1 2
【答案】A
4
【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数y= ，可知函数位于一、
x
三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出y 与y 的大小．
1 2
4
【详解】解：根据反比例函数y= ，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x
x
的增大而减小，
4
反比例函数y= 的图象上有P(t,y )，Q(t+4,y )两点，
x 1 2
当t<t+4<0，即t<−4时，0>y >y ；
1 2
当t<0<t+4，即−4<t<0时，y <0<y ；
1 2
当0<t<t+4，即t>0时，y >y >0；
1 2
故选：A．
【题型7 反比例函数图象上点的坐标特征】
牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结
合的几何图形的性质
1．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，
k
EF∥x轴，点E在双曲线y= (k为常数，k>0)上，将正六边形ABCDEF向上平移√3个单位长度，
x
点D恰好落在双曲线上，则k的值为（ ）
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A．4√3 B．3√3 C．2√3 D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定
理等等，过点E作EH⊥x轴于H，连接OE，可证明△OED是等边三角形，则DE=OD，
1 √3
OH=DH= OH，进而得到EH= OD，设OD=2m，则OH=m，HE=√3m，则
2 2
E(m，√3m)，D(2m，0)，即可得到点(2m，√3)在双曲线上，再由点E也在双曲线上，得到
k=2m⋅√3=m⋅√3m，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点E作EH⊥x轴于H，连接OE，
∵原点O为正六边形ABCDEF的中心，
360°
∴OE=OD，∠EOD= =60°，
6
∴△OED是等边三角形，
∴DE=OD，
∵EH⊥OD，
1
∴OH=DH= OD，
2
√3
∴EH=√DE2−DH2= OD，
2
设OD=2m，则OH=m，HE=√3m，
∴E(m，√3m)，D(2m，0)，
∵将正六边形ABCDEF向上平移√3个单位长度，点D恰好落在双曲线上，
∴点(2m，√3)在双曲线上，
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又∵点E也在双曲线上，
∴k=2m⋅√3=m⋅√3m，
解得m=2或m=0（舍去），
∴k=2m⋅√3=4√3，
故选：A．
2．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，点B在反比例函数
k
y= (x>0)的图像上，BC⊥x轴于点C，∠BAC=30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D
x
落在该反比例函数的图像上，则k的值为 ．
【答案】2√3
【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，掌握求解的方法是解题的关键．
如图，过点D作DE⊥x轴于点E．根据∠BAC=30°，BC⊥x，设BC=a，则AD=AC=√3a，由
√3 3
对称可知AC=AD，∠DAB=∠BAC=30°，即可得AE= a，DE= a，解得
2 2
( √3 3 )
B(1+√3a,a),D 1+ a, a ，根据点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，即可列方程求
2 2
解；
【详解】解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E．
∵点A的坐标为(1,0)，
∴OA=1，
∵∠BAC=30°，BC⊥x轴，
BC
设BC=a，则AD=AC= =√3a，
tan30°
由对称可知AC=AD，∠DAB=∠BAC=30°，
∴∠DAC=60°,∠ADE=30°，
√3 3
∴AE= a，DE=AD·sin60°= a，
2 2
( √3 3 )
∴B(1+√3a,a),D 1+ a, a ，
2 2
∵点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，
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3 ( √3 )
∴k=a(1+√3a)= a⋅ 1+ a ，
2 2
2√3
解得：a= ，
3
∵反比例函数图象在第一象限，
2√3( 2 )
∴k= 1+ √3×√3 =2√3，
3 3
故答案为：2√3．
3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(5,0)，(2,6)，
k
过点B作BC∥x轴交y轴于点C，点D为线段AB上的一点，且BD=2AD．反比例函数y= (x>0)
x
的图象经过点D交线段BC于点E，则四边形ODBE的面积是 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数k
的几何意义，作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，则DN∥BM，由点A，B的坐标分别为(5,0)，
DN AN AD
(2,6)得BC=OM=2，BM=OC=6，AM=3，然后证明△ADN∽△ABM得 = = ，求
BM AM AB
8
出DN=2，则ON=OA−AN=4，故有D点坐标为(4,2)，求出反比例函数解析式y= ，再求出
x
(4 )
E ,6 ，最后根据S =S −S −S 即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题
3 四边形ODBE 梯形OABC △OCE △OAD
的关键．
【详解】如图，作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，则DN∥BM，
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∵点A，B的坐标分别为(5,0)，(2,6)，
∴BC=OM=2，BM=OC=6，AM=3，
∵DN∥BM，
∴△ADN∽△ABM，
DN AN AD
∴ = = ，
BM AM AB
∵BD=2AD，
DN AN 1
∴ = = ，
6 3 3
∴DN=2，AN=1，
∴ON=OA−AN=4，
k
∴D点坐标为(4,2)，代入y= 得，k=2×4=8，
x
8
∴反比例函数解析式为y= ，
x
∵BC∥x轴，
∴点E与点B纵坐标相等，且E在反比例函数图象上，
(4 )
∴E ,6 ，
3
4
∴CE= ，
3
1 1 4 1
∴S =S −S −S = ×(2+5)×6− ×6× − ×5×2=12，
四边形ODBE 梯形OABC △OCE △OAD 2 2 3 2
故答案为：12．
k
4．（2024·四川广元·中考真题）已知y=√3x与y= (x>0)的图象交于点A(2,m)，点B为y轴上一点，
x
k
将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y= (x>0)上点C处，则B点坐标为 ．
x
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【答案】(0,4)
【分析】本题考查了反比例函数的几何综合，折叠性质，解直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握
4√3
相关性质内容是解题的关键．先得出A(2,2√3)以及y= (x>0)，根据解直角三角形得∠1=30°，
x
根据折叠性质，∠3=30°，然后根据勾股定理进行列式，即OB=OC=√(2√3) 2+22=4．
【详解】解：如图所示：过点A作AH⊥y轴，过点C作CD⊥x轴，
k
∵y=√3x与y= (x>0)的图象交于点A(2,m)，
x
∴把A(2,m)代入y=√3x，得出m=√3×2=2√3，
∴A(2,2√3)，
k
把A(2,2√3)代入y= (x>0)，
x
解得k=2×2√3=4√3，
4√3
∴y= (x>0)，
x
( 4√3)
设C m， ，
m
AH 2 √3
在Rt△AHO，tan∠1= = = ，
OH 2√3 3
∴∠1=30°，
∵点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，
∴∠2=∠1=30°，OC=OB，
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∴∠3=90°−∠1−∠2=30°，
4√3
则CD √3 m ，
=tan∠3= =
OD 3 m
解得m=2√3（负值已舍去），
∴C(2√3，2)，
∴OB=OC=√(2√3) 2+22=4，
∴点B的坐标为(0，4)，
故答案为：(0，4)．
考向四：反比例函数的应用
【题型8 反比例函数系数K的几何意义】
这类问题通常是由几何图形的面积求k且常与相似三角形等考查，所以，重点掌握对应几何图形的面积
的转化是解这类题的关键，如：
k
1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形OBAC在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数y=
x
的图象与AB边交于点D，与AC边交于点F，与OA交于点E，OE=2AE，若四边形ODAF的面积为
2，则k的值是（ ）
2 3 4 8
A． B． C． D．
5 5 5 5
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定
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和性质；熟练掌握矩形的性质和反比例函数的性质是解决问题的关键．
( k)
过点E作EM⊥OC，则EM∥AC，设E a， ，由△OME∽△OCA，可得
a
3 3 k
OC= a，AC= ⋅ ，再由S =S +S +S ，列方程，即可得出k的值．
2 2 a 矩形OBAC △OBD △OCF 四边形ODAF
【详解】过点E作EM⊥OC，则EM∥AC，
∴△OME∽△OCA，
OM EM OE
∴ = =
OC AC OA
( k)
设E a， ，
a
∵OE=2AE
OM EM 2
∴ = = ，
OC AC 3
3 3 k
∴OC= a，AC= ⋅
2 2 a
3 3 k
∴S =S +S +S = a⋅ ⋅
矩形OBAC △OBD △OCF 四边形ODAF 2 2 a
k k 3 3 k 8
即 + +2= a⋅ ⋅ ，解得：k=
2 2 2 2 a 5
故选D
k
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线y = (x>0)上，连接AO并延长，交双曲线
1 x
k
y = (x<0)于点B，点C为x轴上一点，且AO=AC，连接BC，若△ABC的面积是6，则k的值
2 4x
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
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【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的k的几何意义，掌握反比例函数的k几何意义是解题的关键．
AD
过点A作AD⊥x轴，过点B作BF⊥x轴，根据相似三角形的判定和性质得出 =2，确定
BF
OC=2OD，然后结合图形及面积求解即可．
【详解】解：过点A作AD⊥x轴，过点B作BF⊥x轴，如图所示：
∴AD∥BF，
∴△AOD∽△BOF，
k k
∵点A在双曲线y = (x>0)上，点B在y = (x<0)，
1 x 2 4x
k
∴ k 4 k
S = ,S = =
△AOD 2 △BOF 2 8
S
∴
△AOD=4，
S
△BOF
AD 2
∴( ) =4，
BF
AD
∴ =2，
BF
1
∴BF= AD，
2
∵AO=AC，AD⊥x轴，
∴OC=2OD，
1 1
∵ OD×AD= k，
2 2
∴OD×AD=k，
∴OC×AD=2k
1 1 1
∴S =S +S = OC×AD+ OC×BF= OC×(AD+BF)
△ABC △AOC △BOC 2 2 2
1 3 3 3
= OC× AD= OC×AD= k=6
2 2 4 2
∴k=4，
故选：C．
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1
3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数y=− (x<0)图象上的一点，连接AO，过点O
x
4 AO
作OA的垂线与反比例y= (x>0)的图象交于点B，则 的值为（ ）
x BO
1 1 √3 1
A． B． C． D．
2 4 3 3
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的
判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，证明
△AOC∽△OBD，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
1 1 1
∴S = ×|−1|= ，S = ×|4|=2，∠ACO=∠ODB=90°，
△ACO 2 2 △BDO 2
∵OA⊥OB，
∴∠AOC=∠OBD=90°−∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
1
∴
S
△ACO=
(OA) 2
，即2 (OA) 2 ，
S OB =
△BDO 2 OB
OA 1
∴ = （负值舍去），
OB 2
故选：A．
k
4．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，点A是反比例函数y= (x>0)的图象上一点，过点A作AC⊥x轴，
x
垂足为点C，延长AC至点B，使BC=2AC，点D是y轴上任意一点，连接AD，BD，若△ABD的
面积是6，则k= ．
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【答案】4
【分析】连结OA、OB，AB⊥x轴，由OD∥AB得到S =S =6．由BC=2AC得到
△OAB △ABD
1 1
S = |k|= S =2，则|k|=4，再根据反比例函数图象所在象限即可得到满足条件的k的值．
△AOC 2 3 △AOB
【详解】解：如图，连结OA、OB，
∵AB⊥x轴，
∴OD∥AB．
∴S =S =6．
△OAB △ABD
∵BC=2AC，
1 1
∵S = |k|= S =2，
△AOC 2 3 △AOB
∴|k|=4，
∵图象位于第一象限，则k>0，
∴k=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握反比例函数的图象与性质并能熟练运
用数形结合的思想是解答问题的关键．
5．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形
k
OACD，ABEF．反比例函数y= (k>0)的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点
x
M，QN⊥y轴于点N．若OA=2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为
．
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【答案】24
【分析】设OA=4a，则AB=2a，从而可得A(4a,0)、B(6a,0)，由正方形的性质可得C(4a,4a)，
( k )
由QN⊥y轴，点P在CD上，可得P ,4a ，由于Q为BE的中点，BE⊥x轴，可得
4a
1 k
BQ= AB=a，则Q(6a,a)，由于点Q在反比例函数y= (k>0)的图象上可得k=6a2，根据阴影部
2 x
k
分为矩形，且长为 ，宽为a，面积为6，从而可得12×4ak×a=6，即可求解．
4a
【详解】解：设OA=4a，
∵OA=2AB，
∴AB=2a，
∴OB=AB+OA=6a，
∴B(6a,0)，
在正方形ABEF中，AB=BE=2a，
∵Q为BE的中点，
1
∴BQ= AB=a，
2
∴Q(6a,a)，
k
∵Q在反比例函数y= (k>0)的图象上，
x
∴k=6a×a=6a2，
∵四边形OACD是正方形，
∴C(4a,4a)，
∵P在CD上，
∴P点纵坐标为4a，
k
∵P点在反比例函数y= (k>0)的图象上，
x
k
∴P点横坐标为x= ，
4a
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( k )
∴P ,4a ，
4a
∵∠HMO=∠HNO=∠NOM=90°，
∴四边形OMHN是矩形，
k
∴NH= ，MH=a，
4a
k
∴S =NH×MH= ×a=6，
▭OMHN 4a
∴k=24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所
学知识是解题的关键．
【题型9 与其他学科结合类应用】
因为反比例函数的比例关系和物理中的几个公式一样，所以在出反比例函数的应用时，常和物理中的这
几个公式结合，题型主要有：①根据题意求解析式、②根据图象求对应点的坐标等
1．（2024·山西·中考真题）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度
v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m=60kg时，它的最快
移动速度v=6m/s；当其载重后总质量m=90kg时，它的最快移动速度v= m/s．
【答案】4
【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将m=90kg代入
计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
k
【详解】设反比例函数解析式为v= ，
m
∵机器狗载重后总质量m=60kg时，它的最快移动速度v=6m/s，
∴k=60×6=360，
360
∴反比例函数解析式为v= ，
m
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360
当m=90kg时，v= =4(m/s)，
90
∴当其载重后总质量m=90kg时，它的最快移动速度v=4m/s．
故答案为：4．
2．（2024·海南·中考真题）某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：
U
A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，即I= ，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为
R
（V）．
【答案】64
【分析】此题主要考查了反比例函数的应用．根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为
U
R= ，其中U为电压，再把(4，16)代入可得U的值．
I
U
【详解】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为R= ，
I
∵过(4，16)，
∴U=4×16=64（V），
故答案为：64．
3．（2024·江苏连云港·中考真题）杠杆平衡时，“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．已知阻力和阻力臂分别
为1600N和0.5m，动力为F(N)，动力臂为l(m)．则动力F关于动力臂l的函数表达式为 ．
800
【答案】F=
l
【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据题意可得l⋅F=1600×0.5，进而即可
求解，掌握杠杆原理是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，l⋅F=1600×0.5，
800
∴l·F=800，即F= ，
l
800
故答案为：F= ．
l
4．（2023·浙江台州·中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体
中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬
浮在密度为1g/cm3的水中时，h=20cm．
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(1)求h关于ρ的函数解析式．
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，h=25cm，求该液体的密度ρ．
20
【答案】(1)h= ．
ρ
(2)该液体的密度ρ为0.8g/cm3．
k
【分析】（1）由题意可得，设h= ，把ρ=1，h=20代入解析式，求解即可；
ρ
（2）把h=25cm代入（1）中的解析式，求解即可．
k
【详解】（1）解：设h关于ρ的函数解析式为h= ，
ρ
把ρ=1，h=20代入解析式，得k=1×20=20．
20
∴h关于ρ的函数解析式为h= ．
ρ
20 20
（2）解：把h=25代入h= ，得25= ．
ρ ρ
解得：ρ=0.8．
答：该液体的密度ρ为0.8g/cm3．
【点睛】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是理解题意，
灵活利用反比例函数的性质进行求解．
考向五：一次函数与反比例函数综合
【题型10 反比例函数与一次函数的图象存在问题】
求两函数图象存在性的方法：①假设其中一个函数的图象正确，得到对应参数字母的范围；②以假设所
得参数字母的范围验证另一个函数图象是否成立；
k
1．（2023·湖北襄阳·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx+k与反比例函数y= 的图象
x
可能是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分两种情况讨论：当k>0时，可排除B；当k<0时，排除C、D．
k
【详解】解：当k>0时，反比例函数y= 过一三象限，一次函数y=kx+k与y轴正半轴有交点，过
x
一二三象限，故A正确，排除B；
k
当k<0时，反比例函数y= 过二四象限，一次函数y=kx+k与y轴负半轴有交点，过二三四象限，
x
排除C、D；
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数综合问题，掌握数形结合的思想是关键．
k
2．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）在同一直角坐标系中，函数y=−kx+k与y= (k≠0)的大致图象
x
可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质，即可解答．
【详解】解：①当k<0时，−k>0，
k
一次函数y=−kx+k经过第一、三、四象限，反比例函数y= (k≠0)经过第二、四象限；
x
②当k>0时，−k<0，
k
一次函数y=−kx+k经过第一、二、四象限，反比例函数y= (k≠0)经过第一、三象限；
x
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象的性质，解题的关键是掌握一次函数y=kx+b，
k
当k>0时，经过一、三象限；当k<0时，经过二、四象限；反比例函数y= ，当k>0时，经过一、
x
三象限；当k<0时，经过二、四象限．
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【题型11 求反比例函数与一次函数的交点】
1.求一次函数与反比例函数的交点，就是联立两个函数的解析式，得到的方程的解即为交点的横纵坐
标；
2.不解不等式，直接根据函数图象写出不等式的解集时：
①根据不等号确定谁的函数图象应该在上方，
②求交点的横坐标，
③根据符合题意的范围写出比变量x的取值范围；（没有其他要求时，解集一般有两部分，且其中一部
分肯定和0有关）
3
1．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，一次函数y =x−2与反比例函数y = 的图象交
1 2 x
于A，B两点，下列结论正确的是（ ）
A．当x>3时，y <y B．当x<−1时，y <y
1 2 1 2
C．当0<x<3时，y >y D．当−1<x<0时，y <y
1 2 1 2
【答案】B
【分析】结合一次函数与反比例函数的图象，逐项判断即可得．
【详解】解：A、当x>3时，y >y ，则此项错误，不符合题意；
1 2
B、当x<−1时，y <y ，则此项正确，符合题意；
1 2
C、当0<x<3时，y <y ，则此项错误，不符合题意；
1 2
D、当−1<x<0时，y >y ，则此项错误，不符合题意；
1 2
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象，熟练掌握函数图象法是解题关键．
k
2．（2024·安徽·中考真题）已知反比例函数y= (k≠0)与一次函数y=2−x的图象的一个交点的横坐标为
x
3，则k的值为（ ）
A．−3 B．−1 C．1 D．3
【答案】A
【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出y=2−3=−1，代入反比例
函数求解即可
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k
【详解】解：∵反比例函数y= (k≠0)与一次函数y=2−x的图象的一个交点的横坐标为3，
x
∴y=2−3=−1，
k
∴−1= ，
3
∴k=−3，
故选：A
k
3．（2024·山东威海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y =ax+b(a≠0)与双曲线y = (k≠0)
1 2 x
交于点A(−1,m)，B(2,−1)．则满足y ≤ y 的x的取值范围 ．
1 2
【答案】−1≤x<0或x≥2
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想
解答是解题的关键．
【详解】解：由图象可得，当−1≤x<0或x≥2时，y ≤ y ，
1 2
∴满足y ≤ y 的x的取值范围为−1≤x<0或x≥2，
1 2
故答案为：−1≤x<0或x≥2．
【题型12 一次函数与反比例函数的综合应用】
一次函数与反比例函数的综合应用题，第一问通常是待定系数法求解析式，后边问题则常结合其他几何
图形同步考察一次函数和反比例函数以及几何图形的性质，故常常需要多考虑与之结合的几何图形的性
质；
k
1．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与反比例函数y= (k≠0)的图
x
象交于A、B两点，点A的横坐标为1．
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(1)求k的值及点B的坐标．
1
(2)点P是线段AB上一点，点M在直线OB上运动，当S = S 时，求PM的最小值．
△BPO 2 △ABO
【答案】(1)k=3，B(−3,−1)
2√10
(2)
5
【分析】（1）先求解A的坐标，再求解反比例函数解析式，再联立两个解析式可得B的坐标；
1
（2）由S = S ，证明BP=AP，可得P(−1,1)，求解OA=√10=OB,证明OP⊥AB，如图，
△BPO 2 △ABO
当PM⊥OB时，PM最短；再进一步利用勾股定理与等面积法求解即可；
k
【详解】（1）解：∵直线y=x+2与反比例函数y= (k≠0)的图象交于A、B两点，点A的横坐标为
x
1．
∴y =1+2=3，
A
∴A(1,3),
∴k=1×3=3，
3
∴反比例函数为：y= ；
x
∴¿，
解得：¿，¿，
∴B(−3,−1)；
1
（2）解：∵S = S ，
△BPO 2 △ABO
∴BP=AP，
∵A(1,3)，B(−3,−1)，
∴P(−1,1)，OA=√12+32=√10=OB,
∴OP⊥AB，
∴OP=√12+12=√2，PB=√(√10) 2 −(√2) 2=2√2，
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如图，当PM⊥OB时，PM最短；
BP⋅OP 2√2×√2 2√10
∴PM= = = ；
OB √10 5
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，求解函数解析式，一元二次方程的解法，勾股
定理的应用，等腰三角形的性质，理解题意是解本题的关键.
k
2．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数．y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y= (k≠0)的图
x
象交于点A(1,4)、B(n,−1)．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
k
(2)利用图象，直接写出不等式ax+b< 的解集；
x
(3)已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，
求点C的坐标．
4
【答案】(1)y= ，y=x+3
x
(2)x<−4或0<x<1
( 4 ) (4 ) (4 )
(3) − ,−5 或 ,5 或 ,3
5 5 3
k
【分析】（1）把A的坐标代入y= (k≠0)，可求出k，把B(n,−1)代入所求反比例函数解析式，可
x
求n，然后把A、B的坐标代入y=ax+b(a≠0)求解即可；
（2）结合一次函数和反比例函数的图像，写出一次函数图像在反比例函数图像下方所对应的自变量
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范围即可；
( 4)
（3）设点C的坐标为 c, ，D(d,0)，分AC、BD为对角线，BC、AD为对角线，AB、CD为对
c
角线三种情况，根据对角顶点的横、纵坐标之和分别相等列方程组，即可求解．
k
【详解】（1）解∶∵y= (k≠0)经过A(1,4)，
x
k
∴4= ，解得k=4，
1
4
∴y= ，
x
4 4
把B(n,−1)代入y= ，得−1= ，
x n
解得n=−4，
∴B(−4,−1)，
把A(1,4)，B(−4,−1)代入y=ax+b(a≠0)，
得¿，
解得¿，
∴y=x+3；
（2）解：观察图像得：当x<−4或0<x<1时，一次函数的图像在反比例函数图像的下方，
k
∴不等式ax+b< 的解集为x<−4或0<x<1；
x
( 4)
（3）解：设点C的坐标为 c, ，D(d,0)，
c
①以AC、BD为对角线，
则¿，
解得¿，
4
∴ =−5，
c
( 4 )
∴C − ,−5 ；
5
②以BC、AD为对角线，
则¿，
解得¿，
4
∴ =5，
c
(4 )
∴C ,5 ；
5
③以AB、CD为对角线
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则¿，
解得¿，
4
∴ =3，
c
(4 )
∴C ,3 ；
3
( 4 ) (4 ) (4 )
综上，当C的坐标为 − ,−5 或 ,5 或 ,3 时，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．
5 5 3
【点睛】本题考查求一次函数的解析式，反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，
平行四边形存在性问题等，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．
k
3．（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数y= (x>0)的图象与正比例函数y=3x(x≥0)的图象交
x
于点A(2,a)，点B是线段OA上（不与点A重合）的一点．
(1)求反比例函数的表达式；
k
(2)如图1，过点B作y轴的垂线l,l与y= (x>0)的图象交于点D，当线段BD=3时，求点B的坐标；
x
k
(3)如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在y= (x>0)的图象上时，求点E
x
的坐标．
12
【答案】(1)y= ；
x
(2)B(1,3)；
(3)点E(3,4)．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键．
（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）设点B(m,3m)，那么点D(m+3,3m)，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即
可；
（3）过点B作FH ∥ y轴，过点E作EH⊥FH于点H，过点A作AF⊥FH于点
F,∠EHB=∠BFA=90°，可得△EHB≌△BFA(AAS)，则设点
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B(n,3n),EH=BF=6−3n,BH=AF=2−n，得到点E(6−2n,4n−2)，根据反比例函数图象上点
的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标．
【详解】（1）解：将A(2,a)代入y=3x得a=3×2=6，
∴A(2,6)，
k k
将A(2,6)代入y= 得6= ，解得k=12，
x 2
12
∴反比例函数表达式为y= ，
x
（2）解：如图，设点B(m,3m)，那么点D(m+3,3m)，
12
由y= 可得xy=12，
x
所以3m(m+3)=12，
解得m =1,m =−4（舍），
1 2
∴B(1,3);
（3）解：如图，过点B作FH ∥ y轴，过点E作EH⊥FH于点H，过点A作AF⊥FH于点
F,∠EHB=∠BFA=90°，
∴∠HEB+∠EBH=90°
，
∵点A绕点B顺时针旋转90°，
∴∠ABE=90°,BE=BA，
∴∠EBH+∠ABF=90°，
∴∠BEH=∠ABF，
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∴△EHB≌△BFA，
设点B(n,3n),EH=BF=6−3n,BH=AF=2−n，
∴点E(6−2n,4n−2)，
∴(4n−2)(6−2n)=12，
3
解得n = ,n =2，
1 2 2
∴点E(3,4)或(2,6)（舍），此时点E(3,4)．
（建议用时：30分钟）
5
1．（2024·天津·中考真题）若点A(x ,−1),B(x ,1),C(x ,5)都在反比例函数y= 的图象上，则
1 2 3 x
x ,x ,x 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．x <x <x B．x <x <x
1 2 3 1 3 2
C．x <x <x D．x <x <x
3 2 1 2 1 3
【答案】B
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数性质即可判断．
【详解】解：∵k=5>0，
5
∴反比例函数y= 的图象分布在第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小，
x
5
∵点B(x ,1),C(x ,5)，都在反比例函数y= 的图象上，1<5，
2 3 x
∴x >x >0．
2 3
5
∵−1<0，A(x ,−1)在反比例函数y= 的图象上，
1 x
∴x <0，
1
∴x <x <x .
1 3 2
故选：B．
2．（2024·上海·中考真题）若正比例函数y=kx的图像经过点(7,−13)，则y的值随x的增大而
．（选填“增大”或“减小”）
【答案】减小
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“当k>0时，y随x的
增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可
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13
求出k=− ，结合正比例函数的性质，即可得出y的值随x的增大而减小．
7
【详解】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点(7,−13)，
∴−13=7k，
13
解得：k=− ，
7
13
又∵k=− <0，
7
∴y的值随x的增大而减小．
故答案为：减小．
3．（2024·西藏·中考真题）将正比例函数y=2x的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为
．
【答案】y=2x+3
【分析】本题考查了一次函数的性质-平移，根据一次函数平移的特点求解即可，掌握一次函数平移的
特点是解题的关键．
【详解】解：正比例函数y=2x的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为：
y=2x+3，
故答案为：y=2x+3．
4．（2024·山东济南·中考真题）某公司生产了A,B两款新能源电动汽车．如图，l ,l 分别表示A款，B款
1 2
新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y(kw⋅h)与汽车行驶路程x(km)的关系．当两款新能源电动
汽车的行驶路程都是300km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩
余电量多 kw⋅h．
【答案】12
【分析】本题考查一次函数的应用，根据“电动汽车每干米的耗电量=剩余电量的减少量÷行驶路程”
分别计算A、B两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象l ,l 的函数关系式，并计算当
1 2
x=300时对应函数值是解题的关键．
根据“电动汽车每干米的耗电量=剩余电量的减少量÷行驶路程”分别计算A、B两款新能源电动汽车
每千米的耗电量，由此写出图象l ,l 的函数关系式，将x=300分别代入，求出对应函数值并计算二者
1 2
之差即可．
【详解】解：A款新能源电动汽车每千米的耗电量为(80−48)÷200=0.16(kw⋅h)，
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B款新能源电动汽车每千米的耗电量为(80−40)÷200=0.2(kw⋅h)，
∴l 图象的函数关系式为y =80−0.16x，
1 1
l 图象的函数关系式为y =80−0.2x，
2 2
当x=300时，y =80−0.16×300=32,y =80−0.2×300=20，
1 2
32−20=12(kw⋅h)，
∴当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能
源电动汽车电池的剩余电量多12kw⋅h．
故答案为：12．
k
5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，反比例函数y= (x<0)的图象经过平行四边形ABCO的顶
x
点A，OC在x轴上，若点B(−1,3)，S =3，则实数k的值为 ．
▱ABCO
【答案】−6
【分析】本题考查了反比例函数，根据A,B的纵坐标相同以及点A在反比例函数上得到A的坐标，进
而用代数式表达AB的长度，然后根据S =3列出一元一次方程求解即可．
▱ABCO
【详解】∵ABCO是平行四边形
∴A,B纵坐标相同
∵B(−1,3)
∴A的纵坐标是3
∵A在反比例函数图象上
k
∴将y=3代入函数中，得到x=
3
(k )
∴A ,3
3
k
∴|AB|=−1−
3
∵S =3,B的纵坐标为3
▱ABCO
∴|AB|×3=3
( k)
即： −1− ×3=3
3
解得：k=−6
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故答案为：−6．
6．（2024·四川广安·中考真题）如图，直线y=2x+2与x轴、y轴分别相交于点A，B，将△AOB绕点A
逆时针方向旋转90°得到△ACD，则点D的坐标为 ．
【答案】(−3,1)
【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等，延长DC交y
轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形OACE是正方形，进而求出DE
和OE的长度即可求解．
【详解】解：如图，延长DC交y轴于点E，
∵ y=2x+2 x=0 y=2 y=2x+2=0 x=−1
中，令 ，则 ，令 ，解得 ，
∴ A(−1,0)，B(0,2)，
∴ OA=1，OB=2，
∵ △AOB绕点A逆时针方向旋转90°得到△ACD，
∴ ∠ACD=∠AOB=∠OAC=90°，OA=OC=1，OB=CD=2，
∴四边形OACE是正方形．
∴ CE=OE=OA=1，
∴ DE=CD+CE=2+1=3，
∴点D的坐标为(−3,1)．
故答案为：(−3,1)．
7．（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小
组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存
在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长
… 23 24 25 26 27 28 …
x(cm)
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身高 … 156 163 170 177 184 191 …
y(cm)
(1)在图1中描出表中数据对应的点(x,y)；
k
(2)根据表中数据，从y=ax+b(a≠0)和y= (k≠0)中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和
x
脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；
(3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，请根据（2）中求出的函数解析式，估计
这个人的身高．
【答案】(1)见解析
(2)y=7x−5
(3)175.6cm
【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键．
（1）根据表格数据即可描点；
（2）选择函数y=ax+b(a≠0)近似地反映身高和脚长的函数关系，将点(23,156),(24,163)代入即可
求解；
（3）将25.8cm代入y=7x−5代入即可求解；
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：由图可知：y随着x的增大而增大，
因此选择函数y=ax+b(a≠0)近似地反映身高和脚长的函数关系，
将点(23,156),(24,163)代入得：
¿，
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解得：¿
∴y=7x−5
（3）解：将25.8cm代入y=7x−5得：
y=7×25.8−5=175.6cm
∴估计这个人身高175.6cm
8．（2024·黑龙江绥化·中考真题）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资
金购买A、B两种电动车．若购买A种电动车25辆、B种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买
A种电动车60辆、B种电动车120辆，需投入资金48万元．已知这两种电动车的单价不变．
(1)求A、B两种电动车的单价分别是多少元？
(2)为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买A、B两种电动车200辆，其中A种电动车的数
量不多于B种电动车数量的一半．当购买A种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少
元？
(3)该公司将购买的A、B两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用y元与骑行时间xmin之
间的对应关系如图．其中A种电动车支付费用对应的函数为y ；B种电动车支付费用是10min之内，
1
起步价6元，对应的函数为y ．请根据函数图象信息解决下列问题．
2
①小刘每天早上需要骑行A种电动车或B种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为3
00m/min（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为8km，那么
小刘选择______种电动车更省钱（填写A或B）．
②直接写出两种电动车支付费用相差4元时，x的值______．
【答案】(1)A、B两种电动车的单价分别为1000元、3500元
(2)当购买A种电动车66辆时所需的总费用最少，最少费用为535000元
(3)①B ②5或40
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用；
（1）设A、B两种电动车的单价分别为x元、y元，根据题意列二元一次方程组，解方程组，即可求
解；
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（2）设购买A种电动车m辆，则购买B种电动车(200−m)辆，根据题意得出m的范围，进而根据一
次函数的性质，即可求解；
（3）①根据函数图象，即可求解；
②分别求得y ,y 的函数解析式，根据|y −y |=4，解方程，即可求解．
1 2 2 1
【详解】（1）解：设A、B两种电动车的单价分别为x元、y元
由题意得，¿
解得¿
答：A、B两种电动车的单价分别为1000元、3500元
（2）设购买A种电动车m辆，则购买8种电动车(200−m)辆，
1
由题意得: m≤ (200−m)
2
200
解得：m≤
3
设所需购买总费用为w元，则w=1000m+3500(200−m)=−2500m+700000
∵−2500<0，w随着 m的增大而减小，
∵m取正整数
∴m=66时，w最少
∴ w =700000−2500×66=535000 (元)
最少
答：当购买A种电动车66辆时所需的总费用最少，最少费用为535000元
（3）解：①∵两种电动车的平均行驶速度均为300m/min，小刘家到公司的距离为8km，
8000 2
∴所用时间为 =26 分钟，
300 3
根据函数图象可得当x>20时，y <y 更省钱，
2 1
∴小刘选择B种电动车更省钱，
故答案为：B．
②设y =k x，将(20,8)代入得，
1 1
8=20k
1
2
解得：k=
5
2
∴y = x；
1 5
当0<x≤10时，y =6，
2
当x>10时，设y =k x+b ，将(10,6)，(20,8)代入得，
2 2 2
¿
解得：¿
1
∴y = x+4
2 5
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依题意，当0<x<10时，y −y =4
2 1
2
即6− x=4
5
解得：x=5
当x>10时，|y −y |=4
2 1
|1 2 |
即 x+4− x =4
5 5
解得：x=0（舍去）或x=40
故答案为：5或40．
9．（2024·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =kx+b(k≠0)的图象与x轴、y轴
1
分别交于A(−2,0)，B(0,1)两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)已知变量x,y 的对应关系如下表已知值呈现的对应规律．
2
1 1
x … −4 −3 −2 −1 − 1 2 3 4 …
2 2
… −1 4 −2 −4 −8 8 4 2 4 1 …
y −
2 3 3
写出y 与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数y 的大致图象；
2 2
(3)一次函数y 的图象与函数y 的图象相交于C，D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的
1 2
对称点为点E，点P是第一象限内函数y 图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接PC，PE，
2
CE．若△PCE的面积为15，求点P的坐标．
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1
【答案】(1)y = x+1
1 2
4
(2)y = ，见解析
2 x
(3)点P的坐标为(1,4)
【分析】本题考查了求一次函数的解析式、画反比例函数的图象、一次函数与反比例函数的综合，熟
练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题关键．
（1）利用待定系数法求解即可得；
（2）根据表格中的规律即可得函数表达式，再利用描点法画出函数图象即可；
( 4)
（3）先求出点C,D,E的坐标，再求出直线CE的解析式，设点P的坐标为P m, (0<m<2)，过点
m
( 1 )
P作x轴的垂线，交直线CE于点F，则F m, m ，然后利用三角形的面积公式求解即可得．
4
【详解】（1）解：将点A(−2,0)，B(0,1)代入y =kx+b(k≠0)得：¿，
1
解得¿，
1
则一次函数的解析式y = x+1．
1 2
4
（2）解：由表格可知，y = ，
2 x
画出函数图象如下：
．
（3）解：联立¿，解得¿或¿，
∵一次函数y 的图象与函数y 的图象相交于C，D两点（点C在点D的左侧），
1 2
∴C(−4,−1),D(2,2)，
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∵点C关于坐标原点的对称点为点E，
∴E(4,1)，
设直线CE的解析式为y=k x+b ，
0 0
将点C(−4,−1)，E(4,1)代入得：¿，解得¿，
1
则直线CE的解析式为y= x，
4
( 4)
设点P的坐标为P m, (0<m<2)，
m
( 1 )
如图，过点P作x轴的垂线，交直线CE于点F，则F m, m ，
4
54
