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微专题 44 反比例函数综合题
3
1. 如图，已知点A（1，m）、B（n，1）在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
x
过点A的一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交于点C（0，1）.
（1）求m、n的值和一次函数的表达式；
（2）连接AB，求点C到线段AB的距离.
第1题图
3 k
2. 如图，已知一次函数y ＝ x－3的图象与反比例函数y ＝ 的图象相交于点A
1 2 2 x
（4，n），与x轴相交于点B.
（1）求n和k的值；
（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双
曲线交CD于点E，连接AE，BE，求△ABE的面积.
第2题图
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3. 如图，点A是第一象限内直线y＝2x上一点，过点A作AB⊥x轴于点B
（a，0）（a＞0），将△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，点B的对应点
k
C恰好落在反比例函数y＝ （k≠0，x＞0）的图象上.
x
（1）若AO＝2√5，求k的值；
k
（2）设直线y＝2x与反比例函数y＝ （k≠0，x＞0）的图象交于点P，且点P
x
m
横坐标为m.求证： 为定值.
a
第3题图
1
4. 如图，一次函数y＝－ x＋2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，C为AB的
2
k
中点，双曲线的一支y＝ （x＞0）过点C，连接OC，将线段OC沿着y轴向上
x
k
平移至EF，线段EF交y＝ （x＞0）的图象于点D.
x
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若DE∶DF＝1∶2，求点D的坐标.
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第4题图
5. 如图，Rt△OAB的顶点A的坐标为（2，2），∠ABO＝90°，且点B在x轴
k 1
上，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点E（2， ）且与AO相交于点D，点
x 2
C与点O关于点B对称，连接AC，BD，作直线DE.
（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（2）求直线DE的表达式和△BDE的面积.
第5题图
6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA，OC分别在y轴和x
k
轴上，点D为AB边上的动点（不与点A，B重合），过点D的反比例函数y＝
x
（k＞0，x＞0）的图象与BC交于点E，连接OD，OE，DE.
（1）设S ＝S ，S ＝S ，当S ＋S ＝3时，求该反比例函数的表达式；
△AOD 1 △OEC 2 1 2
（2）若OA＝6，AB＝8，记S＝S －S ，求出S的最大值；
△ODE △BDE
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（3）在（2）的条件下，是否存在点D，使得△BDE沿直线DE折叠后点B的对
应点B'恰好落在OC边上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
第6题图 备用图
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3
1. 解：(1)∵点A(1，m)，B(n，1)在反比例函数y＝ 的图象上，
x
∴m＝3，n＝3.
又∵一次函数y＝kx＋b的图象过点A(1，3)，C(0，1)，
{k＋b=3， {k=2，
∴ 解得
b=1. b=1.
∴一次函数的表达式为y＝2x＋1；
(2)如解图，连接BC，过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CE⊥AB，垂足
为E.
∵C(0，1)，B(3，1)，
∴BC∥x轴，BC＝3.
∵点A(1，3)，B(3，1)，AD⊥BC于点D，
∴点D(1，1)，AD＝2，DB＝2.
在Rt△ADB中，AB＝√AD2＋DB2＝2√2.
1 1
又∵S ＝ BC·AD＝ AB·CE，
△ABC 2 2
1 1
即 ×3×2＝ ×2√2·CE，
2 2
3√2 3√2
∴CE＝ ，即点C到线段AB的距离为 .
2 2
第1题解图
3 3
2. 解：(1)把A点坐标代入y ＝ x－3中，得n＝ ×4－3＝3，
1 2 2
∴A(4，3)，
∵A点在反比例函数图象上，
∴k＝3×4＝12；
(2)如解图，过点A作AH⊥BC，垂足为H，连接AC，
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∵A(4，3)，∴AH＝3，
3
当y ＝0时，得 x－3＝0，
1 2
解得x＝2，
∴点B的坐标为(2，0)，
∴AB＝√(4－2)2＋(3－0)2＝√13，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝√13，AB∥CD，
1 1 3√13
∴S ＝S ＝ BC·AH＝ ×√13×3＝ .
△ABE △ABC 2 2 2
第2题解图
3. (1)解：∵AB⊥x轴于点B(a，0)，点A是直线y＝2x上一点，
∴A(a，2a)，
∴OB＝a，AB＝2a，
在Rt△ABO中，
∵AO＝2√5，AB2＋OB2＝AO2，
∴(2a)2＋a2＝(2√5)2，
解得a＝2(负值已舍去)，
∴AB＝4，BO＝2，
根据旋转的性质，得AC＝AB＝4，∠ACD＝∠ABO＝90°，
∴C(6，4)，
k
∵点C在反比例函数y＝ 图象上，
x
∴k＝6×4＝24；
(2)证明：由旋转可得OB＝CD＝a，由(1)知A(a，2a)，
∴AC＝AB＝2a，
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∴点C的坐标为(3a，2a)，
∴k＝2a·3a＝6a2.
k
∵直线y＝2x与反比例函数y＝ (k≠0，x＞0)的图象交于点P，点P的横坐标为
x
m，
6a2 m2
∴2m＝ ，即 ＝3.
m a2
由题意得，点P在第一象限内，
∴m＞0且a＞0，
m
∴ ＝√3，
a
m
∴ 为定值.
a
1
4. 解：(1)在一次函数y＝－ x＋2中，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝4，
2
1
∴一次函数y＝－ x＋2的图象交x轴于点A(4，0)，交y轴于点B(0，2)，
2
∵C为AB的中点，
∴点C(2，1)，
k
∵点C(2，1)在反比例函数y＝ (x＞0)的图象上，
x
∴k＝2×1＝2，
2
∴反比例函数的表达式为y＝ ；
x
(2)如解图，连接FC，过点D作x轴的平行线与FC交于点N，与y轴交于点
M，
由题意可得FC∥y轴，
∴△EMD∽△FND，
MD DE 1
∴ ＝ ＝ ，
ND DF 2
1 1 2
∴MD＝ MN＝ ×2＝ ，
3 3 3
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2
即点D的横坐标为 ，
3
∵点D在反比例函数图象上，
2
2
∴当x＝ 时，y＝2＝3，
3
3
2
∴点D( ，3).
3
第4题解图
1
5. 解：(1)BD∥AC，BD＝ AC.理由如下：
2
k 1
∵反比例函数y＝ 的图象经过点E(2， )，
x 2
1
∴k＝2× ＝1，
2
1
∴反比例函数的表达式为y＝ .
x
又∵点A的坐标为(2，2)，
1
∴OA所在直线表达式为y＝x，令y＝ ，解得x＝1或x＝－1(舍去)，
x
∴D(1，1)，
∴点D为OA的中点，
∵点C与点O关于点B对称，
∴点B为OC的中点，即BD为△AOC的中位线，
1
∴BD∥AC，BD＝ AC；
2
(2)设直线DE的表达式为y＝ax＋b(a≠0)，
1
将D(1，1)，E(2， )分别代入，
2
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1
{
a＋b=1 {a＝－
2
得 1，解得 ，
2a＋b＝ 3
2 b＝
2
1 3
∴直线DE的表达式为y＝－ x＋ .
2 2
∵点A的坐标为(2，2)，∠ABO＝90°，点B在x轴上，
∴点B的坐标为(2，0)，
1
∴BE＝ ，
2
1 1 1 1
∴S ＝ BE×(｜x ｜－｜x ｜)＝ × ×(2－1)＝ .
△BDE 2 E D 2 2 4
k
6. 解：(1)∵点D，E在反比例函数y＝ (k＞0，x＞0)的图象上，
x
k k
∴设D(x ， )，E(x ， )，x ＞0，x ＞0，x ＞x ，
1 x 2 x 1 2 2 1
1 2
1 k k 1 k k
∴S ＝ x · ＝ ，S ＝ x · ＝ .
1 2 1 x 2 2 2 2 x 2
1 2
∵S ＋S ＝3，
1 2
k k
∴ ＋ ＝3，
2 2
∴k＝3，
3
∴反比例函数的表达式为y＝ (x＞0)；
x
k k
(2)由题意得，D( ，6)，E(8， )，
6 8
1 1 1 1
∴S ＝ BD·BE＝ (8－ k)(6－ k)，
△BDE 2 2 6 8
1 1
∴S ＝S －S －S －S ＝6×8－ k－ k－S ＝48－k－S ，
△ODE 矩形OABC △AOD △COE △BDE 2 2 △BDE △BDE
1 1 1
∴S＝S －S ＝48－k－2S ＝48－k－2× (8－ k)(6－ k)，
△ODE △BDE △BDE 2 6 8
1
∴S＝－ k2＋k.
48
1
∵－ ＜0，
48
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1
1
∴当k＝－ 1 ＝24时，S有最大值，最大值为－ ×242＋24＝12；
2×(− ) 48
48
(3)存在.如解图，过点D作DF⊥OC于点F.
1 1
由题意得，DF＝AO＝6，DB＝DB'＝8－ k，B'E＝BE＝6－ k，∠DB'E＝∠B＝
6 8
∠C＝90°，
∴∠DB'F＋∠EB'C＝∠EB'C＋∠B'EC＝90°，
∴∠DB'F＝∠B'EC.
又∵∠DFB'＝∠B'CE＝90°，
∴△DFB'∽△B'CE，
DF DB'
∴ ＝ ，
B'C B'E
1 1
8－ k 8(1－ k)
6 6 48
∴ ＝ ＝ ，
B'C 1 1
6－ k 6(1－ k)
8 48
9
∴B'C＝ .
2
∵B'C2＋CE2＝B'E2，
9 k 1 21
∴( )2＋( )2＝(6－ k)2，解得k＝ ，
2 8 8 2
k 25
∴DB'＝DB＝8－ ＝ ，
6 4
7
∴AD＝AB－DB＝ ，
4
7
∴存在符合条件的点D，点D的坐标为( ，6).
4
第6题解图
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