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专题 11 反比例函数
课标要求 考点 考向
考向一 反比例函数的定义
1. 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据
考向二 反比例函数的图象
反比例
已知条件确定反比例函数的表达式；
2. 能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式 函数 考向三 反比例函数的性质
探索并理解k>0和k<0时，图象的变化情况；
考向四 反比例函数系数k的几何意义
3. 能用反比例函数解决简单的实际问题．
考向五 求反比例函数的解析式
考向一 反比例函数与一次函数的综合
反比例
函数的 考向二 实际问题与反比例函数
应用
考向三 反比例函数与几何综合
考点一 反比例函数
►考向一 反比例函数的定义
1．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数 的图像与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据函数表达式计算当 时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于 的值不可能为0，
即 ，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解．
本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键．
【详解】当 时， ，
∴ 与y轴的交点为 ；
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由于 是分式，且当 时， ，即 ，
∴ 与x轴没有交点．
∴函数 的图像与坐标轴的交点个数是1个，
故选：B．
2．（2024·重庆·中考真题）反比例函数 的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的
横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可．
【详解】解：解：当 时， ，图象不经过 ，故A不符合要求；
当 时， ，图象一定经过 ，故B符合要求；
当 时， ，图象不经过 ，故C不符合要求；
当 时， ，图象不经过 ，故D不符合要求；
故选：B．
3．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，若函数 的图象经过点 和 ，
则 的值是 .
【答案】0
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质
是解题的关键．
将点 和 代入 ，求得 和 ，再相加即可．
【详解】解：∵函数 的图象经过点 和 ，
∴有 ，
∴ ，
故答案为：0．
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4．（2024·云南·中考真题）已知点 在反比例函数 的图象上，则 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点 代入 求值，即可解题．
【详解】解： 点 在反比例函数 的图象上，
，
故答案为： ．
►考向二 反比例函数的图象
解题技巧/易错易混
图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象
限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两
个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
5．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数 和 的图象大致
如图所示，则函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．
先根据一次函数与反比例函数的图象可得 ， ，再根据二次函数的图象特点即可得．
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【详解】解：∵一次函数 的图象经过第一、二、四象限，
∴ ，即 ，
∵反比例函数 的图象位于第二、四象限，
∴ ，即 ，
∴函数 的开口向下，与 轴的交点位于 轴的正半轴，对称轴为直线 ，
故选：D．
6．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数 与 的大致图象为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即
可求解．
【详解】解：∵
当 时，一次函数经过第一、二、三象限，
当 时，一次函数经过第一、三、四象限
A.一次函数中 ，则当 时，函数 图象在第四象限，不合题意，
B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意，
一次函数中 ，则当 时，函数 图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误，
故选：C．
7．（2024·重庆·中考真题）如图，在 中， ， ，点 为 上一点， ，过点 作
交 于点 ．点 ， 的距离为 ， 的周长与 的周长之比为 ．
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(1)请直接写出 ， 分别关于 的函数表达式，并注明自变量 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数 ， 的图象；请分别写出函数 ， 的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出 时 的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过 ）
【答案】(1)
(2)函数图象见解析， 随x增大而增大， 随x增大而减小
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定：
（1）证明 ，根据相似三角形的性质得到 ，据此可得答案；
（2）根据（1）所求利用描点法画出对应的函数图象并根据函数图象写出对应的函数图象的性质即可；
（3）找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图所示，即为所求；
由函数图象可知， 随x增大而增大， 随x增大而减小；
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（3）解：由函数图象可知，当 时 的取值范围 ．
►考向三 反比例函数的性质
解题技巧/易错易混
性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
8．（2024·陕西·中考真题）已知点 和点 均在反比例函数 的图象上，若 ，
则 0．
【答案】 /小于
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，先求出 ， ，再根据 ，得出 ，
最后求出 即可．
【详解】解：∵点 和点 均在反比例函数 的图象上，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
9．（2024·天津·中考真题）若点 都在反比例函数 的图象上，则 的
大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数性质即可判断．
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【详解】解： ，
反比例函数 的图象分布在第一、三象限，在每一象限 随 的增大而减小，
点 ，都在反比例函数 的图象上， ，
．
∵ ， 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ .
故选：B．
10．（2024·广西·中考真题）已知点 ， 在反比例函数 的图象上，若 ，则
有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根据点
M(x ,y )，N(x ,y )在反比例函数图象上，则满足关系式 ，横纵坐标的积等于2，结合
1 1 2 2
即可得出答案．
【详解】解： 点M(x ,y )，N(x ,y )在反比例函数 的图象上，
1 1 2 2
， ，
，
， ，
．
故选：A．
11．（2024·浙江·中考真题）反比例函数 的图象上有 ， 两点．下列正确的选项是
（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数 ，可知函数位于一、三象
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限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出 与 的大小．
【详解】解：根据反比例函数 ，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增
大而减小，
反比例函数 的图象上有 ， 两点，
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ；
故选：A．
12．（2024·湖北武汉·中考真题）某反比例函数 具有下列性质：当 时，y随x的增大而减小，写
出一个满足条件的k的值是 ．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当 ，双曲线的两支分别位于
第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当 ，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，
在每一象限内y随x的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的的值即可．
【详解】解：∵当 时，y随x的增大而减小，
∴
故答案为：1（答案不唯一）．
13．（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象与 交于 两
点，且点 都在第一象限．若 ，则点 的坐标为 ．
【答案】(2,1)
【分析】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据 得出 ，设
，则 ，结合完全平方公式的变形与应用得出 ，
结合 ，则 ，即可作答．
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【详解】解：如图：连接
∵反比例函数 的图象与 交于 两点，且
∴
设 ，则
∵
∴
则
∵点 在第一象限
∴
把 代入得
∴
经检验： 都是原方程的解
∵
∴
故答案为：
►考向四 反比例函数系数k的几何意义
解题技巧/易错易混
反比例函数的解析式 （k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k值，也就确定了反比例函数，因
要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，代入 中即可．
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14．（2024·重庆·中考真题）已知点 在反比例函数 的图象上，则 的值为（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】C
【分析】本题考查了待定系数法求反比例解析式，把 代入 求解即可．
【详解】解：把 代入 ，得
．
故选C．
15．（2024·湖南·中考真题）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即 （k为
常数． ），若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为 ．
【答案】180
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把 ， 代入 求解即可．
【详解】解：把 ， 代入 ，得 ，
解得 ，
故答案为：180．
16．（2024·安徽·中考真题）已知反比例函数 与一次函数 的图象的一个交点的横坐标
为3，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出 ，代入反比例函数
求解即可
【详解】解： 反比例函数 与一次函数 的图象的一个交点的横坐标为3，
∵
，
∴
，
∴
，
故选：A
∴
17．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数 图象上的一点，连接 ，过点O
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作 的垂线与反比例 的图象交于点B，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定
和性质，数形结合是解题的关键．过A作 轴于C，过B作 轴于D，证明 ，
利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：过A作 轴于C，过B作 轴于D，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ （负值舍去），
故选：A．
18．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，反比例函数 的图象经过平行四边形 的顶
点 ， 在 轴上，若点 ， ，则实数 的值为 ．
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【答案】
【分析】本题考查了反比例函数，根据 的纵坐标相同以及点 在反比例函数上得到 的坐标，进而用
代数式表达AB的长度，然后根据 列出一元一次方程求解即可．
【详解】 是平行四边形
纵坐标相同
的纵坐标是
在反比例函数图象上
将 代入函数中，得到
的纵坐标为
即：
解得：
故答案为： ．
19．（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 在函数 的
图象上， ， ．将线段 沿 轴正方向平移得线段 （点 平移后的对应点为 ）， 交
函数 的图象于点 ，过点 作 轴于点 ，则下列结论：
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① ；
② 的面积等于四边形 的面积；
③ 的最小值是 ；
④ ．
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】由 ，可得 ，故①符合题意；如图，连接 ， ， ， 与 的交点为
，利用 的几何意义可得 的面积等于四边形 的面积；故②符合题意；如图，连接 ，证
明四边形 为矩形，可得当 最小，则 最小，设 ，可得 的最小值为 ，故③
不符合题意；如图，设平移距离为 ，可得 ，证明 ，可得 ，再
进一步可得答案．
【详解】解：∵ ， ，四边形 是矩形；
∴ ，
∴ ，故①符合题意；
如图，连接 ， ， ， 与 的交点为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积等于四边形 的面积；故②符合题意；
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如图，连接 ，
∵ 轴， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴当 最小，则 最小，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，故③不符合题意；
如图，设平移距离为 ，
∴ ，
∵反比例函数为 ，四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，故④符合题意；
故答案为：①②④
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与
性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
►考向五 求反比例函数的解析式
解题技巧/易错易混
.待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
（1）设反比例函数解析式为 （k≠0）；
（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
（3）解这个方程求出待定系数k；
（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
20．（2024·西藏·中考真题）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数 的图象相交
于 ， 两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)请直接写出满足 的x取值范围．
【答案】(1)反比例函数的解析式为 ，一次函数的解析式为
(2) 或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B坐
标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：依题意，点 在反比例函数 的图象上，
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，
反比例函数的解析式为 ；
又 为一次函数 的图象与反比例函数 的图象的交点，
．
∵ ， 两点均在一次函数 的图象上，
，解得 ，
一次函数的解析式为 ．
综上所述，反比例函数的解析式为 ，一次函数的解析式为 ；
（2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为 或
，
∴当 时，x的取值范围为 或 ．
21．（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于
点 ，点 是线段 上（不与点A重合）的一点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图1，过点 作 轴的垂线 与 的图象交于点 ，当线段 时，求点 的坐标；
(3)如图2，将点A绕点 顺时针旋转 得到点 ，当点 恰好落在 的图象上时，求点 的坐标．
【答案】(1) ；
(2) ；
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(3)点 ．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键．
（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）设点 ，那么点 ，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可；
（3）过点 作 轴，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
可得 ，则设点 ，得到点 ，
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标．
【详解】（1）解：将 代入 得 ，
，
将 代入 得 ，解得 ，
反比例函数表达式为 ，
（2）解：如图，设点 ，那么点 ，
由 可得 ，
所以 ，
解得 （舍），
;
（3）解：如图，过点 作 轴，过点 作 于点 ，过点 作 于点
，
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，
点 绕点 顺时针旋转 ，
，
，
，
，
设点 ，
点 ，
，
解得 ，
点 或 （舍），此时点 ．
考点二 反比例函数的应用
►考向一 反比例函数与一次函数的综合
解题技巧/易错易混
反比例函数与一次函数综合的主要题型：
（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；
（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；
（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；
（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．
解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．
22．（2024·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲线 交于 两点，
轴于点 ，连接 交 轴于点 ，结合图象判断下列结论： 点 与点 关于原点对称； 点
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是 的中点； 在 的图象上任取点P(x ,y )和点Q(x ,y )，如果 ，那么 ；
1 1 2 2
．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，根据反比例函数的性质逐项
判断即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵直线 与双曲线 交于 两点，
∴点 与点 关于原点对称，故 正确；
∵点 与点 关于原点对称，
∴ ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 是 的中点，故 正确；
∵ ，
∴在每一象限内， 随 的增大而减小，
当 在同一象限内时，如果 ，那么 ；当 不在同一象限内时，如果 ，那么
，故 错误；
∵ 轴，
∴ ，
∵点 与点 关于原点对称，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，故 正确；
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∴正确结论有 个，
故选： ．
23．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点 且垂直于x轴的直线l与反比例
函数 的图像交于点 ，将直线l绕点 逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则 的
取值范围是（ ）
A． 或 B． 且
C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论．
当 在原点右侧时， 点坐标为 ，设旋转后的直线的解析式为： ，得到
，求出 ；当 在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为： ，
，求出 ，即可得到 的取值范围．
【详解】解：当 在原点右侧时， 点坐标为 ，
直线 绕点 逆时针旋转 ，
所得的直线与直线 平行，
设这条直线的解析式为： ，
这条直线经过第一、二、四象限，
，
在直线 上，
，
，
，
，
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；
当 在原点左侧时，
设这条直线的解析式为： ，
同理： ，
，
，
，
，
．
的取值范围是 或 ．
故选：C．
24．（2024·山东威海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲线
交于点 ， ．则满足 的 的取值范围 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答
是解题的关键．
【详解】解：由图象可得，当 或 时， ，
∴满足 的 的取值范围为 或 ，
故答案为： 或 ．
25．（2024·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，已知 两点在反比例函数
的图象上．
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(1)求k与m的值；
(2)连接 ，并延长交反比例函数 的图象于点C．若一次函数的图象经过A，C两点，求这个一次函
数的解析式．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，确定反比例函数及一次函数解析式，反比例函数
的性质，熟练掌握两个函数的基本性质是解题关键．
（1）根据题意将点 代入反比例函数即可求解；
（2）根据题意及反比例函数的性质得出 ，设直线 所在直线的解析式为 ，利用待定系
数法即可求解．
【详解】（1）解： 两点在反比例函数 的图象上．
∴ ，
∴ ，
将点 代入得： ，解得： ；
（2）∵连接 ，并延长交反比例函数 的图象于点C，
∴ ，
∵ ，
设直线 所在直线的解析式为 ，代入得： ，
解得： ，
∴ ．
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26．（2024·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 的图
象交于点 和点B．
(1)求m，a的值，并直接写出点B的坐标；
(2)根据图象可得，不等式 的解集为______．
【答案】(1) ， ，点 的坐标为
(2) 或
【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，根据交点确定不等式的解集，理解题意，熟练掌
握一次函数与反比例函数的基本性质是解题关键．
（1）将点A代入一次函数即可得出 ，再将点A代入反比例函数即可确定函数解析式，进而即可得出
交点；
（2）结合图象，找出一次函数图象位于反比例函数图象下方的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵点 在一次函数 的图象上，
∴将 代入 中，得 ，
∴ ．
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴将 代入 中，得 ，
解得 ．
联立 ，
解得： 或
∴点 的坐标为 ．
（2）由图象得：当一次函数的图象位于反比例函数图象下方，即 时， 或 ，
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故答案为： 或 ．
27．（2024·山东·中考真题）列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了
自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数 与 部分自变量与函数值的对应关系：
1
1 ________
________ ________ 7
(1)求 、 的值，并补全表格；
(2)结合表格，当 的图像在 的图像上方时，直接写出 的取值范围．
【答案】(1) ，补全表格见解析
(2) 的取值范围为 或 ；
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用图像法写自变量的取值范围；
（1）根据表格信息建立方程组求解 的值，再求解 的值，再补全表格即可；
（2）由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图像可得答案.
【详解】（1）解：当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
∴ ，
解得： ，
∴一次函数为 ，
当 时， ，
∵当 时， ，即 ，
∴反比例函数为： ，
当 时， ，
当 时， ，
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当 时， ，
补全表格如下：
1
1
7
（2）由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为 ， ，
∴当 的图像在 的图像上方时， 的取值范围为 或 ；
►考向二 实际问题与反比例函数
28．（2024·河北·中考真题）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，
则能使用y天．下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍
【答案】C
【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可．
【详解】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天．
∴ ，
∴ ，
当 时， ，故A不符合题意；
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当 时， ，故B不符合题意；
∵ ， ，
∴当x减小，则y增大，故C符合题意；
若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意；
故选：C．
29．（2024·海南·中考真题）某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：
A）与电阻R（单位： ）是反比例函数关系，即 ，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为
（V）．
【答案】64
【分析】此题主要考查了反比例函数的应用．根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为 ，
其中U为电压，再把 代入可得U的值．
【详解】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为 ，
∵过 ，
∴ （V），
故答案为：64．
30．（2024·江苏连云港·中考真题）杠杆平衡时，“阻力 阻力臂 动力 动力臂”．已知阻力和阻力臂分别
为 和 ，动力为 ，动力臂为 ．则动力 关于动力臂 的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据题意可得 ，进而即可求解，
掌握杠杆原理是解题的关键．
【详解】解：由题意可得， ，
∴ ，即 ，
故答案为： ．
31．（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单
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位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．
(2)当电阻R为 时，求此时的电流I．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出当 时I的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为 ，
把 代入 中得： ，
解得 ，
∴这个反比例函数的解析式为 ；
（2）解：在 中，当 时， ，
∴此时的电流I为 ．
►考向三 反比例函数与几何综合
32．（2024·内蒙古·中考真题）下列说法中，正确的个数有（ ）
二次函数 的图象经过 两点，m，n是关于x的元二次方程
① 的两个实数根，且 ，则 恒成立．
在半径为r的 中，弦 互相垂直于点P，当 时，则 ．
② 为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
③
点C是反比例函数 的图象上一点，则 ．
已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程 的两个实数根，且矩形的周长
④
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值与面积值相等，则矩形的对角线长是 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系及二次函数的图象和性质即可判断①；过点O作
，垂足分别为M，N，连接 ，先证明四边形 是矩形，再利用勾股定理，
垂径定理求解即可判断②；先证明 ，进而得出点C的坐标，即可求解，进而判断③；
先由一元二次方程根与系数的关系得出 的值，再根据题意得出一元二次方程，求出a的值，进而
求解即可判断④．
【详解】∵二次函数 的图象经过 两点，
∴当 时， ，
∵m，n是关于x的元二次方程 的两个实数根，且 ，
∴ ，故①正确；
如图，过点O作 ，垂足分别为M，N，连接 ，
∴M、N分别为 的中点， ，
∵弦 互相垂直，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，故②正确；
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当点C在第一象限时，过点C作 于点D，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵点C是反比例函数 的图象上一点，
∴ ；
当点C在第二象限时，同理可得
∴ ；
综上， 或 ，故③错误；
设矩形两边分别为m，n，
∵矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程 的两个实数根，且矩形的周长值与面
积值相等，
∴ ，
∴ ，
解得 （负舍），
∴ ，
∵矩形对角线 ，故④正确；
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综上，正确的个数有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象和性质，勾股定理，垂径定理，全
等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，反比例函数的解析式，一元二次方程根与系数的关系等，熟
练掌握知识点是解题的关键．
33．（2024·山东德州·中考真题）如图点A，C在反比例函 的图象上，点B，D在反比例函数 的
图象上， 轴，若 ， ， 与 的距离为5，则 的值为（ ）
A． B．1 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设 ， 两点的坐标
分别为 、 ，根据点 与点 的横坐标相同，点 与点 的横坐标相同，得到点B的坐标
为 ，点D的坐标为 ，由 ， ，得到 ，根据 与 的距离为5，把
代入 中，即可求解．
【详解】解：设 ， 两点的坐标分别为 、 ，
∵ 轴，
∴点 与点 的横坐标相同，点 与点 的横坐标相同，
∴点B的坐标为 ，点D的坐标为 ，
∵ ， ，
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∴ ，
解得 ，
∵ 与 的距离为5，
∴ ，
把 代入 中，得：
，
即 ，
解得： ，
故选：D．
34．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，双曲线 经过A、B两点，连接 、 ，过
点B作 轴，垂足为D， 交 于点E，且E为 的中点，则 的面积是（ ）
A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A作 ，垂足为F，设
，证明 ，有 ，根据E为 的中点，可得 ， ，进
而有 ， ，可得 ， ，则有 ，
问题随之得解．
【详解】如图，过点A作 ，垂足为F，
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设 ， ，
∵ 轴， ，
∴ 轴， ，
∴ ，
∴ ，
∵E为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
35．（2024·湖北·中考真题）如图，一次函数 的图象与x轴交于点 ，与反比例函数
（k为常数， ）的图象在第一象限的部分交于点 ．
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(1)求m，n，k的值；
(2)若C是反比例函数 的图象在第一象限部分上的点，且 的面积小于 的面积，直接写出
点C的横坐标a的取值范围．
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
（1）把点 坐标代入 求出 ，得到直线解析式，再把点 坐标代入直线解析式求出 ，
把点 坐标代入反比例函数解析式求出 值即可；
（2）根据题意，列出不等式 ，解答即可．
【详解】（1）解：把点 坐标代入 得： ，
解得 ，
直线解析式为 ，
把点 坐标代入直线解析式得 ，
解得 ，
把点 坐标代入反比例函数解析式得： ，
解得 ，
（2）∵
反比例函数解析式为 ，
的面积小于 的面积，
，即 ，
点 在反比例函数图象上，且在第一象限，
，
．
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一、单选题
1．（2024·广东·模拟预测）已知点 ， ， 在反比例函数 （ 为常数）的图象
上，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的增减性比较大小，根据反比例函数的性质得到函数 （k为常数）
的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，则 ， ．
【详解】解：∵ ，
∴函数 （k为常数）的图像分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
故选：C．
2．（2024·辽宁·模拟预测）在化学课上，老师教同学们配制食盐溶液，若有食盐 ，则溶液的浓度y与
加水后溶液质量x之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的图象，根据题意求出y与x的函数解析式，即可判断其图象．
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【详解】解∶根据题意，得 ，即 ．
∴函数图象为双曲线在第一象限的部分．
故答案：C．
3．（2024·广东·模拟预测）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：
）是气体体积 （单位： ）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于 时，气
球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（ ）
A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，求反比例函数的解析式，解题的关键是熟练掌握用待定系数
法求解反比例函数解析式的方法和步骤，设该反比例函数的解析式为 ，把 代入求出 ，
得出该反比例函数的解析式为 ，再把 代入求出 ，根据反比例函数的增减性，即可解答．
【详解】解：设该反比例函数的解析式为 ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴该反比例函数的解析式为 ，
把 代入得： ，
解得： ，
∵ ，
∴在第一象限内，p随V的增大而减小，
∴为了安全起见，气球的体积应不小于 ，
故选：B．
4．（2024·湖南·模拟预测）在反比例函数 的图象上有两点 ， ，当 时，
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有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了已知反比例函数的增减性求参数的的取值范围，能根据反比例函数的增减性判断所在
象限是解答本题的关键．
先根据“当 ， ”得到反比例函数在二、四象限，进而得到 ，求解即可解答本题．
【详解】解： 时， ，
反比例函数在二、四象限，
，
解得： ，
故选：A．
5．（2024·广东·模拟预测）已知点 在反比例函数 （ ）的的图像上，下
列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的图像及增减性，当 时，反比例函数 的图像位于第二、四象限，
在每个象限内，y随x的增大而减小，据此即可解答．
【详解】解：∵当 时，反比例函数 的图像位于第二、四象限，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点 在反比例函数 （ ）的的图像上，
又 ，
∴ ．
故选：C
6．（2024·重庆·三模）下列各点中，在反比例函数 图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将横、纵坐标分别相乘其积为 者，即为反比例函
数图象上的点，据此即可判断求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：由 得， ，
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、∵ ，
∴点 在反比例函数 图象上，该选项符合题意；
、∵ ，
∴点 不在反比例函数 图象上，该选项不合题意；
、∵ ，
∴点 不在反比例函数 图象上，该选项不合题意；
、∵ ，
∴点 不在反比例函数 图象上，该选项不合题意；
故选： ．
7．（2024·广东·模拟预测）对于反比例函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．图象在第一、三象限
C．图象经过点 D．图象关于直线 对称
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，求反比例函数值，根据解析式得到函数的图象在第二、
四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，据此可判断A、B；求出 时的函数值即可判断C；反比
例函数图象关于直线 对称，据此可判断D．
【详解】解：对于反比例函数 ，∵ ．
∴该函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项A，B错误；把 代入
中，得 ，
∴图象不经过点 ，故选项C错误．
反比例函数的图象关于直线 对称，故选项D正确．
故选D．
8．（2024·北京·模拟预测）对于实数 ，我们用 表示不超过 的最大整数．下列表述错误的是？（ ）
A．
B．函数 的最大值为1，最小值为0
C．函数 不存在对称轴
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D．随着 的增大，函数 和函数 越来越接近
【答案】B
【分析】本题考查了函数的函数值问题，解题的关键是理解 的含义，通过取特殊值法来进行判断．
【详解】解：A． 正确，不符合题意；
B．函数 没有最大值，最小值为0，故表述错误，符合题意；
C．当 时， ，当 时， ，故函数
不存在对称轴，正确，不符合题意；
D．随着 的增大，函数 和函数 的函数值越来越接近0，正确，不符合题意；
故选：B．
9．（2024·湖北·模拟预测）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的
变化来实现．如图所示的是该台灯的电流 ．与电阻 的关系图象，该图象经过点 ．根
据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当 时，
B．I与R的函数关系式是
C．当 时，
D．当 时，I的取值范围是
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，根据题意设I与R的
函数关系式是 ，将 代入关系式，求出反比例函数关系式再根据各选项的条件求出
结论，即可判断是否正确，进而得到答案．
【详解】解：设I与R的函数关系式是 ，
∵该图象经过点 ，
∴ ，
∴ ，
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∴I与R的函数关系式是 ，故B不符合题意，
当 时， ，
∵ ，
∴I随R增大而减小，
∴当 时， ，
当 时， ，
当 时， 的取值范围是 ，
故A、C不符合题意，D符合题意．
故选：D．
10．（2024·山西·二模）物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流
和它们两端的电压 ，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知
识 ，可判断这四个用电器中电阻 最大的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图示得出 ， ，利用不等式的性质得出 ，
， ，则可得出丙的电阻大于甲的电阻，丙的电阻大于丁的电阻，丁的电阻大于乙的电阻，
即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
由图象知： ， ，
∴ ， ，
∴丙的电阻大于甲的电阻，丙的电阻大于丁的电阻，
同理丁的电阻大于乙的电阻，
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∴这四个用电器中电阻 最大的是丙，
故选：C．
11．（2024·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，将点 绕点O逆时针旋转 得到点B，若点B恰
好落在反比例函数 的图象上，则k的值是（ ）
A．12 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查旋转的性质，反比例函数的综合，掌握旋转的性质，根据反比例解析式求参数的计
算方法是解题的关键．根据旋转的性质可求出点的坐标B，再把点B的坐标代入反比例函数即可求出参数
的值．
【详解】解： 点 绕点O逆时针旋转 得到点B，如图所示：
点 ，
点B恰好落在反比例函数 的图象上，
将 代入 得： ，
解得： ，
故选：B．
12．（2024·河北·模拟预测）若k的取值范围在数轴上的表示如图所示，且 ，则反比例函数 的图
象不可能是（ ）
A． B．
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C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质正，根据数轴可得 ，分别求出各个选项的解析式，再判
断即可．
【详解】由数轴可得 ，
A. 过 ，则 ，符合题意；
B. 过 ，则 ，不符合题意；
C. 过 ，则 ，不符合题意；
D. 过 ，则 ，不符合题意；
故选：A．
13．（2024·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点 是反比例函数 图象上的一点，
过点 作 轴于点 ，点 是 轴负半轴上一点，连接 交 轴于点 ，若 是 的中位线，
的面积为12，则 的值是（ ）
A． B． C．6 D．12
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数、三角形的中位线，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．设点 的坐
标为 ，则 ，先根据三角形的中位线可得 ，从而可得 ，再根据
三角形的面积公式可得 的值，由此即可得．
【详解】解：设点 的坐标为 ，则 ，
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∵ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积为12， 轴，
∴ ，即 ，
又∵点 是反比例函数 图象上的一点，
∴ ，
故选：B．
14．（2024·湖北·二模）平移是初中学习过的重要初等变换，如：抛物线 向右平移两个单位可以得到
抛物线 ．依据这个规律，则方程 的根的个数共有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】C
【分析】本题考查函数图像法解方程，反比例函数、二次函数的性质与平移，画函数图像，掌握函数图像
法解方程，反比例函数、二次函数的性质与平移，画函数图像是解题关键．先将方程变形整理
，得出函数 与函数 都向右平移两个单位，可得 交点个数与 的
交点个数相同， ，反比例函数位于一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，画出 的图
像，二次函数 顶点为 ，对称轴y轴，函数图像经过一、二象限，在第一象限，随x的增大而增
大，画出 函数图像，得出两函数 只有一个交点即可．
【详解】解：∵
∴
∴
∴函数 与函数 ，都向右平移两个单位，
∴ 交点个数与 的交点个数相同，
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∵ ，反比例函数 位于一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
列表
x … 1 2 3
… 3 1.5 1
描点，连线如图
二次函数 顶点为 ，对称轴y轴，函数图像经过一、二象限，在第一象限，随x的增大而增大，
列表
x … 0 1 2 …
… 4 1 0 1 1 …
描点连线
∴两函数 只有一个交点，
∴ 只有一个交点，
∴方程 的只有一个根．
故选：C．
15．（2024·湖北武汉·三模）正弦函数在 的图象如图所示，若点P 在该函数图象上，且
（k是常数， ），则满足条件的点P的个数最多是（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．根据点
， ，k是常数， ，可知点P在函数 的图象上，在同一坐标系中画出两者的函数图
象，观察反比例函数图象和正弦函数在 的图象最多能有几个交点即可求解．
【详解】解： ，k是常数， ，
点P在函数 （ ）的图象上，在同一坐标系中画出两者的函数图象如图所示，
根据图象可知，反比例函数 （ ）图象和正弦函数在 的图象交点最多为4个，
满足条件的点P的个数最多是4个．
故选：C．
16．（2024·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图像与反比例函数
的图像交于 ， 两点， 是反比例函数图像上的一个动点，连接 ， ，当 的面积
为定值时，相应的点 有且只有 个，则点 到直线 的距离为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，解题的关键是理解题意并掌握相
关知识．过点 作 于点 ，根据题意可得：此时点 到 的距离是点 在 下方反比例函数图
像上点到 的最大距离，即点 位于点 或 或 处（点 ， ， 到直线 的距离相等），当 为
的中点时，即 为所求，先求出 ， ，进而求出 ，再将直线 向左平移 个单
位，得到直线DE，使得该直线与反比例函数图像只有一个交点 ，则直线DE的解析式为 ，
与反比例函数联立可得 ，然后利用判别式求出 ，进而求出 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，
当 的面积为定值时，相应的点 有且只有 个，
此时点 到 的距离是点 在 下方反比例函数图像上点到 的最大距离，即点 位于点 或 或
处（点 ， ， 到直线 的距离相等），
由图可知，当 为 的中点时，即 为所求，
联立： ，
解得： 或 ，
， ，
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此时 ，
将直线 向左平移 个单位，得到直线DE，使得该直线与反比例函数图像只有一个交点 ，
直线DE的解析式为 ，
与反比例函数联立可得： ，
整理得： ，
反比例函数 与直线 只有一个交点 ，
，
解得： 或 （不合题意，舍去），
，
解得： ，
，
，
故选：B．
二、填空题
17．（2024·重庆·模拟预测）若点 ， 都在反比例函数 的图象上，则
（填 、 或 ）．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是反比例函数的图像与性质，解题关键是熟练掌握反比例函数图像与性质．
结合反比例函数的图像与性质即可求解．
【详解】解： 反比例函数 中 ，
该函数图象经过二、四象限，且在二、四象限中均有 随着 的增大而增大，
， ，
．
故答案为： ．
18．（2024·山西·模拟预测）反比例函数 的图象经过 、 两点，当
时， ，则k的取值范围是 ．
【答案】
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【分析】本题考查了反比例函数的图象上的点的特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
先根据已知条件判断出函数图象所在的象限，再根据系数k与函数图象的关系解答即可．
【详解】解：∵反比例函数 的图象经过 、 两点，当 时，
，
∴此反比例函数的图象在二、四象限，
∴ ．
故答案为： ．
19．（2024·湖北·模拟预测）如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上，且 轴，则
的面积等于 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了反比例函数中 的几何意义，理解 的几何意义是解题的关键．
延长 交 轴于 ，连接 、 ，可求 ， ，即可求解．
【详解】解：如图，延长 交 轴于 ，连接 、 ，
轴，
，
，
，
故答案： ．
20．（2024·广东·模拟预测）物理课上老师讲到镜面成像时提到老花镜镜片的度数与焦距呈反比例函数的
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关系，引起了大家探究的兴趣．小明找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，
直到地上的光斑最小．此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据：
老花镜的度数 度
镜片与光斑的距离
根据以上数据，当老花镜的镜片与光斑的距离为 时，老花镜的度数是 度．
【答案】
【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，设 ，利用待定系数
法求出反比例函数的解析式，再把 代入计算即可求解，正确求出反比例函数的解析式是解题的关
键．
【详解】解：由题意可知：D与f成反比例函数，设 ，把 代入得， ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
故答案为： ．
21．（2024·辽宁·模拟预测）小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：如图，在一根匀质的木杆中点O
的左侧固定位置B 处悬挂重物A，在中点O 的右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点 O 之间的距离
x（单位： ），观察弹簧秤的示数y（单位： ）的变化情况．实验数据记录如下表：
x/ … 10 15 20 25 30 …
y/ … 60 40 30 24 20 …
猜测y与x之间的函数关系，并求出函数解析式为 ．（不需要写出自变量x 的取值范围）
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，观察可知表格中每对x与y的乘积相等，则猜测y与x之
间满足反比例关系，据此利用待定系数法求解即可．
【详解】解析： 表格中每对x与y的乘积相等，
猜测y与x之间满足反比例关系，
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设y与x之间的函数解析式为 ，
将点 代入 ，得 ．
与x之间的函数解析式为 ．
将其余各点代入验证均成立．
故答案为： ．
22．（2024·山西·模拟预测）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气
体对汽缸壁所产生的压强 与汽缸内气体的体积 成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若
压强由 加压到 ，则气体体积压缩了 ．
【答案】15
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，设 ，利用待定系数法求出 ，再分别求出
当 时， ，当 时， ，据此可得答案．
【详解】解：设 ，
把 代入 中得： ，解得
∴ ，
在 中，当 时， ，当 时， ，
∴若压强由 加压到 ，则气体体积压缩了 ，
故答案为：15．
23．（2024·河北·模拟预测）如图， 的延长线垂直于x轴，点 在反比例函数 上，点B
在反比例函数图像 和 之间，写出一个符合条件的点B的坐标： ．
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【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了反比例函数的性质，因为 的延长线垂直于 轴，点 在反比例函数
上，确定点 的横坐标以及纵坐标的下限，点 在反比例函数图象 和 之间，确定点
纵坐标的上限，从中可以找出符合条件的点 的坐标．
【详解】 的延长线垂直于 轴，
点 的横坐标 点 的横坐标 ，点 的纵坐标 点 的纵坐标 ，
点 在反比例函数图象 和 之间，点 在反比例函数 上，当 时，
的值，
点 的纵坐标小于 ，
符合条件的点 的坐标横坐标为2，纵坐标大于1小于 即可，可以为 ，
故答案为： ．
24．（2024·全国·模拟预测）已知反比例函数 的图象过点 和点 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】直接根据 解答即可．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象
上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
【详解】解： 反比例函数 的图象过点 和点 ，
∴ ，
，
解得 ．
故答案为： ．
25．（2024·陕西·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数 和 的图象上，
若点 与点 关于y轴对称，则m的值为 ．
【答案】1
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【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关
键是明确题意，列出方程是解题的关键．
设 ，根据点 与点 关于y轴对称，求出 ，分别代入各自所在函数解析式，通过方程即可
求解．
【详解】解：设 ，
点 与点 关于y轴对称，
点 ，
P、Q两点分别在反比例函数 和 的图象上，
解得： ，
故答案为∶1．
26．（2024·北京·模拟预测）直线 与双曲线 交于 两点（A在第二象
限），则 的值为 ．
【答案】10
【分析】本题为反比例函数与正比例函数的综合．根据反比例函数上点的坐标特征推出 与 与 的
关系，直线与双曲线交点的特征推出 与 与 的关系是解答本题的关键．
先根据点A(x ,y ),B(x ,y )是双曲线 上的点可得出 ，再根据直线
1 1 2 2
与双曲线 交于点A(x ,y ),B(x ,y )两点可得 ，再把此关系代入所求代数式进行
1 1 2 2
计算即可．
【详解】解：∵点A(x ,y ),B(x ,y )是双曲线 上的点，
1 1 2 2
，
∵直线 与双曲线 交于点A(x ,y ),B(x ,y )两点，
1 1 2 2
即 两点关于原点对称．
，
，
故答案为：10．
27．（2024·安徽·三模）如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数
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的图象交于C，D两点，点M为线段 的中点， 轴交反比例函数图像于点N，P为x
轴上任一点，若 ，则k的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，先求解 ， ， ，可得
，再利用面积公式建立方程求解即可．
【详解】解：∵直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴ ， ，
∵点M为线段 的中点，
∴ ，
∵ 轴交反比例函数图像于点N，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：
28．（2024·湖南·模拟预测）如图，已知 ， ， ，…， 是x轴上的点，且
，分别过点 ， ， ，…， ，作x轴的垂线交反比例函数 （
x>0）的图象于点 ， ， ，…， ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，…，
记 的面积为 ， 的面积为 ，…， 的面积为S ，则 等于
n
．
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【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象找规律的问题，熟练掌握反比例函数的基础知识，用数学归纳法由个
例总结出一般规律是解决本题的关键．
由 可得 ， ， ，…， 的坐标，根据三角形的面积计算公式 底
高 ，计算出每一个三角形的底和高之后，分别列出每一个三角形的面积计算式，观察规律即可得出结果．
【详解】解：∵ ，
∴设 ， ， ，…， ，
∵ ， ， ，…， 在反比例函数 的图象上，
∴ ， ， ，…， ，
∴ ；
∴ ；
；
；
…
；
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
三、解答题
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29．（2024·广东·模拟预测）已知一次函数 与反比例函数 的图象交于
两点．
(1)①求一次函数和反比例函数的表达式；
②求 的面积．
(2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得 为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)① ， ；②
(2) 或 或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键．
（1）①将 代入 可求得反比例函数的表达式为： ；进一步可得 ；将
、 代入 即可求解；②设一次函数 与 轴交于点 ，可求得 ，
根据 即可求解；
（2）设点 ，分类讨论 ， ， ，三种情况即可求解；
【详解】（1）解：①将 代入 得： ，
解得： ；
∴反比例函数的表达式为： ；
∴ ，即： ；
将 、 代入 得： ，
解得： ，
∴一次函数的表达式为：
②设一次函数 与 轴交于点 ，如图所示：
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由 得 ；
∴
∴
（2）解：设点 ，
，则 ，
解得： ；
，则 ，
解得： 或 （舍）；
，则 ，
解得： ；
综上所述：点P的坐标为 或 或
30．（2024·广东·模拟预测）如图，已知反比例函数 的图象与正比例函数 的图象相交于
点 和点B．
(1)写出点B的坐标，并求k，a的值；
(2)根据图象，比较 和 的大小．
【答案】(1) ， ，
(2)见解析
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【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．
（1）根据点的坐标满足函数解析式，把点的坐标代入函数解析式，可得k、a的值，根据反比例函数
的图象与正比例函数 的图象的交点关于原点对称，可得B点的坐标；
（2）根据观察函数图象，可得答案；
【详解】（1）解：把 分别代入 ， ，得 ， ，
解得 ， ；
∵反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的交点关于原点对称，
∴B点坐标是 ；
（2）解：观察函数图象得，当 或 时， ；
当 时， ；
当 或 时， ；
31．（2024·安徽·模拟预测）人工智能 饮水机在接通电源后开始自动加热，加热过程中，水温 与
通电的时间 成一次函数关系，水温每分钟上升 ，加热到 时，饮水机自动停止加热．在水
温开始下降时，水温 与通电的时间 成反比例函数关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动
加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为 ，接通电源后，水温 与通电时间x（min）之间的
关系如图所示．
(1)求a的值；
(2)求加热一次，水温不低于 的时间有多长？
【答案】(1)
(2)9分钟
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解
析式的方法和步骤．
（1）先用待定系数法求出反比例函数解析式，再把 代入，即可求出a的值；
（2）先求出一次函数解析式，再分别求出 时的x的值，即可解答．
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【详解】（1）解：设反比函数解析式为 ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴反比例函数解析式为 ，
把 代入得： ，
解得： ；
（2）解：设一次函数解析式为 ，
把 代入得：
，
解得： ，
∴一次函数解析式为 ，
把 代入得： ，
解得： ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴水温不低于 的时间有 ．
32．（2024·湖南·模拟预测）物理实验课上，小明为探究电流 与接入电路的滑动变阻器 之间的
关 系，设计如图所示的电路图．已知电源的电压 保持不变，小灯泡的电阻为 ．改变接入电路的
滑动变阻器的电阻 ， 电流表的读数即电流 发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为 时，
电流表的读数为 ．
(1)求电路中的电阻 关于接入电路的滑动变阻器的电阻 之间的函数关系，
(2)求电流 关于电路中的电阻 的函数关系；
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(3)如果电流表的读数为 ，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少 ？
【答案】(1)
(2)
(3)接入电路的滑动变阻器的电阻为 ．
【分析】本题考查了反比例函数应用，掌握串联电路的特点以及欧姆定理是解题关键．
（1）根据串联电路的特点可知，灯泡与滑动变阻器串联接入电路，则电路中的总电阻等于各部分的电阻
之和，即可求解；
（2）由欧姆定律可知， ，进而得出电源的电压为 ，即可求解；
（3）将 代入（2）所求解析式，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，灯泡与滑动变阻器串联接入电路，则电路中的总电阻等于各部分的电阻
之和，
电路中的电阻 ；
（2）解：由欧姆定律可知， ，
由题意可知，小灯泡的电阻为 ，当接入电路的滑动变阻器的电阻为 时，电流表的读数为 ，
，解得： ，
即电源的电压为 ，
电流 关于电路中的电阻 的函数关系为 ；
（3）解： 电流表的读数为 ，
，
解得： ，
答：接入电路的滑动变阻器的电阻为 ．
33．（2024·湖南·模拟预测）如图，反比例函数 图象与正比例函数 图象相交于点 与
点 ．
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(1)试求反比例函数 与正比例函数 的函数表达式及点 的坐标．
(2)请直接写出 的解集．
(3)现把 的图象绕 点顺时针旋转 得到了 ．试问在 函数图象上是否存在一动点 ，
使 是以 为底边的等腰三角形？如果有，请求出这个点 的坐标；如果没有，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数表达式为 ；正比例函数表达式为 ；
(2) 或
(3)存在， 或
【分析】（1）利用待定系数法确定即可得到表达式，再联立方程组求解即可得到答案；
（2） 的解集是指反比例函数图象在正比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，数形结合
求解即可得答案；
（3）由旋转性质，结合直线性质得到 ，根据点的对称性及中垂线的判定与性质得到 ，若
使 是以 为底边的等腰三角形，则 ，结合含 的直角三角形性质得到线段 ，
最后由两点之间距离公式列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解： 反比例函数 图象与正比例函数 图象相交于点 ，
，即反比例函数表达式为 ；
，即正比例函数表达式为 ；
反比例函数 图象与正比例函数 图象相交于点 与点 ，
联立 ，解得 或 ，即 ；
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（2）解： 的解集是指反比例函数图象在正比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，如图
所示：
、 ，
当 或 时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，即 的解集是 或
（3）解：如图所示：
把 的图象绕 点顺时针旋转 得到了 ，
直线 垂直直线 ，
与 关于原点 对称，
直线 是线段 的垂直平分线，
当 在直线 上时，由垂直平分线性质可得 ，
若使 是以 为底边的等腰三角形，则 ，
此时 是等边三角形，
在 中， ， ，则 ，由勾股定理可得 ，
设 ，则 ，解得 或 ，
或 ．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定函数表达式、直线与双曲线的交点、
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利用图象法解不等式、函数与特殊三角形、中垂线的判定与性质、含 的直角三角形性质、勾股定理、
两点之间距离公式等知识，熟练掌握一次函数与反比例函数图象与性质、灵活运用相关几何性质是解决问
题的关键．
34．（2024·重庆·模拟预测）如图矩形 中， ，点 为 边上的三等分点（
），动点 从点 出发，沿折线 运动，到 点停止运动．点 的运动速度为每秒 个单位长度，
设点 运动时间为 秒， 的面积为 ．
(1)请直接写出 关于 的函数解析式，并注明自变量 的取值范围；
(2)若函数 ，请在平面直角坐标系中画出函数 的图象，并写出函数 的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出当 时 的取值范围?
【答案】(1)
(2)图见解析，当 时， 随着x的增大而增大；当 时， 随着x的增大而减小（答案不唯
一）
(3) 或
【分析】（1）分 和 两种情况分别求出函数解析式即可；
（2）利用描点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可；
（3）结合图象写出答案即可．
【详解】（1）解：在矩形 中， ， ，
∵点 为 边上的三等分点（ ），
∴ ， ，
分两种情况：①当 时，即点P在边 上，则
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；
②当 时，即点P在边 上，则
∴
；
综上， 关于 的函数解析式为： ；
（2）解：用描点法作出函数图象即可，
当 时， 随着x的增大而增大；当 时， 随着x的增大而减小（答案不唯一）
（3）解：由图象可得，当 时 的取值范围为 或 ；
【点睛】此题考查了求函数解析式，一次函数的图象和性质，矩形的性质，画一次函数图象和反比例函数
图象，矩形的性质，三角形面积，图象法求不等式解集．数形结合和分类讨论是解题的关键．
35．（2024·吉林·二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压P(单位： )是
气体体积V(单位： )的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的解析式．
(2)求当气球的体积是 时，气球内的气压是多少千帕？
(3)当气球内的气压大于 时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于 立方米．
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【答案】(1)
(2)当气球的体积是 时，气球内的气压是120千帕
(3)为了安全起见，气球的体积应不小于 立方米
【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）将 ，代入解析式即可求解；
（3）当气球内的气压大于 时，气球将爆炸，则当 千帕时，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设反比例函数的解析式 ，根据图象得 在该函数图象上，
，
解得： ，
反比例函数的解析式 ；
（2）把 代入 ，
得 （千帕），
∴当气球的体积是 时，气球内的气压是120千帕；
（3）由题意知， ，
解得 ，
∴为了安全起见，气球的体积应不小于 立方米．
故答案为： ．
36．（2024·辽宁·模拟预测）2023年新能源汽车继续保持快速增长，产销突破了900万辆，市场占有率超
过 ，汽车出口再创新高，全年出口接近500万辆．为继续扩大销量，某城市新能源汽车销售商推出分
期付款购车促销活动，交付首付款后，若余款在60个月内结清，则不计算利息．张先生在该销售商手上购
买了一辆价值为20万元的新能源汽车，交了首付款后余款由平均每月付款y万元，x个月结清．y与x满足
某函数关系，其部分对应值如下表，请回答下列问题．
x/月 … 2 4 7 10 …
y/万元 … 7 2 …
(1)确定y与x的函数表达式，并求出首付款；
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(2)若张先生用40个月结清，则平均每月应付多少万元；
(3)如果张先生打算每月付款 万元，那么他能否在规定不计算利息的期限内结算？
【答案】(1) （ 的整数），首付款为6万元
(2)平均每月应付 万元
(3)他能在规定不计算利息的期限内结算
【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，用待定系数法求反比例函数的解析式，解答本题的关键是找
出等量关系，列出函数解析式．
（1）利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）在（1）的基础上，知道自变量，便可求出函数值；
（3）知道了y的值，利用解析式即可求出自变量的值．
【详解】（1）解：由表格猜想y与x成反比例函数关系，
设y与x的函数表达式为 ，
当 ， ，代入表达式得 ，
，
与x的函数表达式为 （ 的整数），
经检验表中其他各组对应值均满足此表达式，
当 时， ，
（万元）．
首付款为6万元；
（2）当 时， （万元），
答：平均每月应付0.35万元；
（3）当 时， ，
解得 ，
，
答：他能在规定不计算利息的期限内结算．
37．（2024·辽宁·模拟预测）定义：A 是函数y 的图象上一点，过点 A 作一条直线 l，如果函数 y 的图
象沿直线l 翻折，直线l两旁的函数图象能够完全重合，那么点 A 叫做这个函数的“和谐点”，直线 l 叫做
这个函数的“和谐线”，一个函数可以有多个“和谐点”和多条“和谐线”．
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(1)①若一次函数 的一个“和谐点”是 ，则过点 A 的“和谐线”是直线 ；
②反比例函数 的“和谐点”是点 ，“和谐线”是直线 ；
③二次函数 的“和谐点”是点 ．
(2)如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点B，C 均在坐标轴上， ，对角线 ，
相交于点D．已知函数 的图象经过点A，函数 的“和谐点”在矩形 的边上．
①若函数 )的图象与直线 的另一个交点为点E，且 函数 的“和谐点”
在 边上，求a 的取值范围；
②已知函数 的图象在矩形内的部分y 随x 的增大而增大，当 时，y
的最大值与最小值的差是 ，直接写出 的值．
【答案】(1)① ；② 和 ， ；③
(2)① 且 ；② 或
【分析】（1）①求出“和谐线”与x轴的交点，再用待定系数法求解即可；
②根据题意可知：反比例函数 的“和谐点”是其图象与对称轴的交点，“和谐线”是与其图象有交点对称
轴，可知“和谐线”是直线 ，再联立方程组求交点即可；
③根据题意可知：二次函数 的“和谐点”是其图象的顶点，再将解析式化为顶点式即可得解；
（2）①根据图象过点A和“和谐点”在 边上，推导 ，再求出临界情况当
，且点E与点D重合时和当 ，且点E不与点D重合时，两种情况下的a值，再根据点
A、E不重合得到 ，从而利用“a的绝对值越小，二次函数图象的开口越大”得解；
②分当 ，即 时，当 ，即 时，当 ，即
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时，三种情况讨论，分别求出它们的最值，再根据y的最大值与最小值的差是 列出方程求解
即可．
【详解】（1）解：①画出直线 及其“和谐线”，
设直线 交x轴于点 ，
令 ，解得： ，
∴ ，
设 “和谐线”与x轴交于点 ，
又∵ ，
∴ ， ，
，
由题意可知： ，即 ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ，
设过点 A 的“和谐线”是直线 ，
将点A、C代入得： ，
解得： ，
∴过点 A 的“和谐线”是直线 ，
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故答案为： ；
②根据题意可知：反比例函数 的“和谐点”是其图象与对称轴的交点，“和谐线”是与其图象有交点对称
轴，
∴“和谐线”是直线 ，
令 ，
解得： ， ，
∴反比例函数 的“和谐点”是点 和 ，
故答案为： 和 ， ；
③根据题意可知：二次函数 的“和谐点”是其图象的顶点，
∵ ，
二次函数 的“和谐点”是点 ，
故答案为： ；
（2）①∵矩形 对角线 ， 相交于点D，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
如图，过点D作 于点G，
∴ ，
又 ，
∴ 是 的中位线，
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∴ ，
∴ ．
∵函数 的图象经过点A，
∴ ，
由（1）③可知二次函数的“和谐点”是其顶点，
∵函数 的“和谐点”在 边上，
∴函数 的图象的顶点在 上，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
如下图，当 ，且点E与点D重合时，
将点 代入 得： ，
解得： ，
如下图，当 ，且点E不与点D重合时，
过点D作 于点H，延长 到点F，使得 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ 是 的中位线，
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∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
将点 代入 得： ，
解得： ，
设直线 的解析式是 ，
将点 代入解得： ，
∴设直线 的解析式是 ，
当二次函数 的图象与直线 只有一个交点A时， ，
整理得： ，
∴ ，
解得： ，
∵函数 )的图象与直线 的交点为点A、E，
∴ ，
∵a的绝对值越小，二次函数图象的开口越大，
∴a的取值范围是 且 ；
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②a的值为 或 ，理由如下，
∵函数 的图象经过点A，在矩形内的部分y 随x 的增大而增大，函数 的“和谐
点”在矩形 的边上，
∴函数 的“和谐点”在 边上，
∴ ，对称轴是y轴，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
(I)当 ，即 时，如下图所示：
在 的范围内，函数 随着x的增大而增大，
∴当 时， ，当 时， ，
∵y的最大值与最小值的差是 ，
∴ ，
解得： (不合题意，舍去)
当 ，且 ，即 时，
在 的范围内，函数 在顶点处取得最小值 ，
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(II)当 ，即 时，
如下图，在 的范围内，函数 在 处取最大值
又∵y的最大值与最小值的差是 ，
∴ ，
解得： (舍去)， (舍去)， ，
(III)当 ，即 时，
如下图，在 的范围内，函数 在 处取最大值
又∵y的最大值与最小值的差是 ，
∴ ，
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解得： (舍去)， (舍去)， ，
综上所述：a的值为： 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法，阅读与理解能力，化顶点式，求两函数的交点，
二次函数与x轴的交点与一元二次方程的关系，勾股定理等知识，运算量较大，理解题意中的概念将 “和
谐点”是其图象与对称轴的交点与其图象有交点对称轴是解题的关键．
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