文档内容
专题02 反比例函数与几何综合问题
一、【知识回顾】
（1）平面直角坐标系中对称点的坐标特征
平面直角坐标系内有一点P（a，b）
点P（a，b）关于x轴的对称点 （ a ， -b ）
点P（a，b）关于y轴的对称点 （ -a ， b ）
点P（a，b）关于原点的对称点 （ -a ， -b ）
点P（a，b）关于y=x的对称点 （ b ， a ）
点P（a，b）关于y=-x的对称点 （ -b ， -a ）
（2）反比例函数k的几何意义常见模型
备注：熟练运用几大模型：①一点一垂线②一点两垂线③两点一垂线④两点两垂线⑤两点也原点
反比例函数几何综合解法技巧：设点的坐标，利用点的对称关系，表示其他点的坐标；并通过点的坐标表
示线段长度，通过面积构建方程，解方程。
二、【考点类型】
考点1：反比例函数与直线结合
典例1：（2022·安徽马鞍山·校考一模）如图，已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交
于 两点， 的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022春·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线 （ ，m为常数）与双曲线 （ ，k为常数）交于点A，B，若 ，过点A作 轴，垂足为M，连
接 ，则 的面积是（ ）
A．2 B． C．3 D．6
【变式2】（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数
的图象与一次函数 的图象交于点 ，则代数式 的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2021·四川内江·统考中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图像
相交于 、 两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足 的 的取值范围；
（3）若点 在线段 上，且 ，求点 的坐标．考点2：反比例函数与特殊三角形结合
典例2：（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图， OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y= (x>0)
△
的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的值为______．
【变式1】（2022·安徽合肥·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在第一
象限，且 OAB为等边三角形，若反比例函数y= 在第一象限的图象经过边AB的中点，则k的值为
___________
【变式2】（2020·吉林长春·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，函数y= (k＞0，x＞0)的图象与
等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM=2MA，若AB=3，那么点N的横坐标为( )A． B． C．4 D．6
【变式3】（2023秋·河南许昌·九年级校考期末）已知点 在反比例函数 的图象上，点 在
轴正半轴上，若 为等腰三角形，且腰长为5，则点 坐标为______．
考点3：反比例函数与特殊四边形结合
典例3：（2022春·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，反比例函数 点 ， 是该反比例函数图象
上的另外两点，且点 与点 ，点 与点 关于原点对称．若已知四边形 为矩形， ，且
矩形 的面积为18，则 的值为___________．
【变式1】（2020·福建漳州·统考二模）如图，在直角坐标系中，四边形OABC为菱形，OA在x轴的正半轴上，∠AOC=60°，过点C的反比例函数 的图象与AB交于点D，则△COD的面积为（ ）
A． B． C．4 D．
【变式2】（2022·福建漳州·九年级统考期末）如图，反比例函数 （x＞0）的图象经过矩形OABC对
角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为【 】
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】（2022·山东济南·统考模拟预测）正方形ABCD的边长为4，AC，BD交于点E．在点A处建立
平面直角坐标系如图所示．
（1）如图（1），双曲线y＝ 过点E，完成填空：点C的坐标是 ，点E的坐标是 ，双曲线的
解析式是 ；
（2）如图（2），双曲线y＝ 与BC，CD分别交于点M，N．求证： ；
（3）如图（3），将正方形ABCD向右平移m（m＞0）个单位长度，使过点E的双曲线y＝ 与AB交于点P．当 AEP为等腰三角形时，求m的值．
巩固训练
一、单选题
1．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 的顶点 在反比例函
数 上，顶点 在反比例函数 上，点 在 轴的正半轴上，则平行四边形 的面积是（ ）
A． B． C．3 D．5
2．（2021秋·广东佛山·九年级佛山市第四中学校考阶段练习）两个反比例函数 和 在第一象限内
的图象如图所示，点 在 的图象上， 轴于点 ，交 的图象于点A， 轴于点 ，交 的图象于点 ，当点 在 的图象上运动时，下列结论错误的是（ ）
A． 与 的面积相等
B．当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点
C．
D．只有当四边形OCPD为正方形时，四边形PAOB的面积最大
3.（2022秋·吉林长春·九年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐
标是 ，点B的坐标是（0， ），直线 与反比例函数 （ ）的图象交于点D，过点A作
轴与反比例函数的图象相交于点C，若 ，则k的值为（ ）
A．3 B． C． D．
4．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，已知点A是一次函数 的图像与反比例函数 的
图像在第一象限内的交点， 轴于点B，点C在x轴的负半轴上，且 ， 的面积为 ，
则 的长为（ ）A． B． C． D．4
5.（2021·湖北武汉·九年级专题练习）已知点A是双曲线y＝ 在第一象限分支上的一个动点，连接AO并
延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，随着点A的运动，点C的位
置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝ （x＞0）上运动，则k的值是（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
6.（2022春·河南南阳·八年级统考期末）如图，点A是反比例函数 的图象上任意一点，
轴交反比例函数 的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则 为
（ ）A． B． C． D．
7．（2023·全国·九年级专题练习）如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，
cos∠AOB= 反比例函数 在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则 AOF的面积等于（
△
）
A．15 B．20 C．30 D．40
8．（2012春·福建泉州·八年级统考期末）如图，A、B是双曲线 上关于原点对称的任意两点，AC∥y轴，
BD∥y轴，则四边形ACBD的面积S满足（ ）
A．S=1 B．129．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，点 为函数 图象上一点，连结 ，交函数
的图象于点 ，点 是 轴上一点，且 ，则三角形 的面积为（ ）
A．9 B．12 C．20 D．36
10．（2023·全国·九年级专题练习）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点， ，点A在反比
例函数 的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022秋·湖南怀化·九年级校考阶段练习）如图，设直线 与双曲线 相交于
两点，则 的值为___________．12（2023春·辽宁沈阳·九年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考开学考试）如图，点A在
双曲线 上，点B在双曲线 上，点A在点B的左侧， 轴，点C，D在x轴上，若四边形
为面积是9的矩形，则k的值为______．
13．（2019·福建三明·统考一模）如图，在直角坐标系中，四边形OABC为菱形，OA在x轴的正半轴上，
∠AOC＝60°，过点C的反比例函数 的图象与AB交于点D，则 COD的面积为_____．
△
14．（2021春·福建泉州·八年级统考期末）图，已知在平面直角坐标系 中， 的直角顶点 在轴的正半轴上，点 在第一象限，反比例函数 的图象经过 的中点 ．交 于点 ，连接
．若 的面积是3，则四边形 的面积是______．
15．（2022·江苏淮安·模拟预测）如图，一次函数 的图像交坐标轴于 、 两点，交反比例函数
图像的一个分支于点 ，若点 恰好是 的中点，则 的值是___________．
16.（2021春·福建厦门·九年级厦门市湖滨中学校考期中）如图，已知A、B两点都在反比例函数y= 位于
第二象限部分的图像上，且△OAB为等边三角形，若AB=6，则k的值为____．
三、解答题
17．（2022秋·福建福州·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形 为矩形，C，A两点
分别在x轴的正半轴上和y轴的正半轴上，D为线段 的中点，反比例函数 的图象经过点B．(1)当点C坐标为 时，求点D的坐标；（用含k的代数式表示）
(2)若一次函数 的图象经过C，D两点，求k的值．
18.（2022秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，点 和点 在反比例函数 的图象
上，过点 作 轴交x轴于点 ，过点B作 轴交直线 于点 ， ．
(1)若 ，求 的值；
(2)过点 作 轴于点 ，若四边形 的面积为 ，求点 的坐标．19．（2020秋·福建莆田·九年级校考期中）如图，Rt△AOB的顶点O在坐标原点，点B在x轴上，
∠ABO=90°，反比例函数y= （x>0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，点C的坐标为( ，1)，
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接CD，求四边形OCDB的面积．
20．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）如图，已知点 在双曲线 上，点 、 在双曲线
上， 轴．
(1)当 ， ， 时，求此时点 的坐标；
(2)若点 、 关于原点 对称，试判断四边形 的形状，并说明理由
