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专题 04 二次根式
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）二次根式的相关概念
（1）二次根式：式子 （ a ≥ 0 ） 叫做二次根式．
（2）有意义的条件：二次根式的被开方数大于等于0。即 中，
（二）最简二次根式与同类二次根式
（1）最简二次根式需满足两个条件：
①被开方数 不含 分数；分母不含根式 ；
②被开方数中不含开得尽方的因数或因式．
（2）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则把这几个二次根式
叫做同类二次根式．
（三）二次根式的性质
（1）（a≥0）具有双重非负性，一是 a ≥ 0，二是 ≥ 0 ．
（2）（）2＝ a （ a ≥ 0 ） ．
（3）
√a2=|a|={
a (a≥0)
−a (a<0)
（四）二次根式的有理化
在进行二次根式计算时，最后的结果都要化简成最简二次根式。若被开方数中含有分母或分母中含
有根号时，对这一类二次根式的化简过程叫做分母有理化。
① 。
②
（五）二次根式的运算
（1）二次根式的加减运算：（类比同类项的加减运算）
（2）二次根式的乘除运算：
①乘法运算： 。推广： 。
②乘法逆运算： 。
③除法运算： 。推广： 。
④除法逆运算： 。
（3）二次根式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。
模块三 考点一遍过
考点1：二次根式的概念
典例1：已知√32a−8+√35−3b=0，则√6a−9b的值为（ ）
A．9 B．±9 C．3 D．±3
3
【变式1】在函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
√2x+4
A．x≠−2 B．x>−2 C．x≤−2 D．x≥−2
1
【变式2】若√3x+2+ 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
x−1
【变式3】若√60m是正整数，则整数m可取的最小值为 ．
【变式4】（1）当a为 时，√2a+1＋1的值最小，为 ；
（2）当a为 时， 的值最大，为 ．
√4−(a+2) 2
【变式5】已知关于x的方程m+√x−2=4有实数解，那么m的取值范围是 ．
【变式6】下列式子中，是二次根式的是（ ）
2
A．√6 B．52 C．5 D．
5
√3 5 7 2n+1
【变式7】若 × × ×⋯× =11，则n的值为（ ）
1 3 5 2n−1
A．40 B．50 C．60 D．70考点2：二次根式的性质
√ 1
典例2：将(x−1) 根号外的因式移到根号内，结果为（ ）
1−x
A．√1−x B．−√1−x C．√x−1 D．−√x−1
【变式1】化简： ．
√12a2 (a>0)=
【变式2】实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简: 的结果是 ．
√a2−√b2+√(a−b) 2
【变式3】若m满足等式√m−2022+|2021−m|=m，则m−20212的值为 ．
【变式4】实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： ．
√a2+√b2+√(a−b) 2=
【变式5】下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
√9=±3 √(−2) 2=−2 √3 (−3) 3=3 √(3.14−π) 2=π−3.14
【变式6】已知 −1
