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专题 04 二次根式
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）二次根式的相关概念
（1）二次根式：式子 （ a ≥ 0 ） 叫做二次根式．
（2）有意义的条件：二次根式的被开方数大于等于0。即 中，
（二）最简二次根式与同类二次根式
（1）最简二次根式需满足两个条件：
①被开方数 不含 分数；分母不含根式 ；
②被开方数中不含开得尽方的因数或因式．
（2）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则把这几个二次根式
叫做同类二次根式．
（三）二次根式的性质
（1）（a≥0）具有双重非负性，一是 a ≥ 0，二是 ≥ 0 ．
（2）（）2＝ a （ a ≥ 0 ） ．
（3）
√a2=|a|={
a (a≥0)
−a (a<0)
（四）二次根式的有理化
在进行二次根式计算时，最后的结果都要化简成最简二次根式。若被开方数中含有分母或分母中含
有根号时，对这一类二次根式的化简过程叫做分母有理化。
① 。
②
（五）二次根式的运算
（1）二次根式的加减运算：（类比同类项的加减运算）
（2）二次根式的乘除运算：
①乘法运算： 。推广： 。
②乘法逆运算： 。
③除法运算： 。推广： 。
④除法逆运算： 。
（3）二次根式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。
模块三 考点一遍过
考点1：二次根式的概念
典例1：已知√32a−8+√35−3b=0，则√6a−9b的值为（ ）
A．9 B．±9 C．3 D．±3
3
【变式1】在函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
√2x+4
A．x≠−2 B．x>−2 C．x≤−2 D．x≥−2
1
【变式2】若√3x+2+ 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
x−1
【变式3】若√60m是正整数，则整数m可取的最小值为 ．
【变式4】（1）当a为 时，√2a+1＋1的值最小，为 ；
（2）当a为 时， 的值最大，为 ．
√4−(a+2) 2
【变式5】已知关于x的方程m+√x−2=4有实数解，那么m的取值范围是 ．
【变式6】下列式子中，是二次根式的是（ ）
2
A．√6 B．52 C．5 D．
5
√3 5 7 2n+1
【变式7】若 × × ×⋯× =11，则n的值为（ ）
1 3 5 2n−1
A．40 B．50 C．60 D．70考点2：二次根式的性质
√ 1
典例2：将(x−1) 根号外的因式移到根号内，结果为（ ）
1−x
A．√1−x B．−√1−x C．√x−1 D．−√x−1
【变式1】化简： ．
√12a2 (a>0)=
【变式2】实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简: 的结果是 ．
√a2−√b2+√(a−b) 2
【变式3】若m满足等式√m−2022+|2021−m|=m，则m−20212的值为 ．
【变式4】实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： ．
√a2+√b2+√(a−b) 2=
【变式5】下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
√9=±3 √(−2) 2=−2 √3 (−3) 3=3 √(3.14−π) 2=π−3.14
【变式6】已知 −1<a<0 ，化简√ ( a+ 1) 2 −4− √ ( a− 1) 2 +4 的结果为（ ）
a a
2 2
A．2a B．−2a C．− D．
a a
【变式7】已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则 （ ）
√a2−|c−a|+√(b−c) 2=
A．−2a B．−2a−b C．−b D．−2b−a
考点3：二次根式的运算
典例3：计算：
(1)
(3x−5) 2−(2x+7) 2
√3
(2)2√18× ÷2√2
6
【变式1】化简√1
(1)√48÷√3− ×√12+√24
2
(2)
(√7+√3)(√7−√3)−(√5−√2) 2
【变式2】计算（要求写出演算过程）：
(1)√32×√2−√32÷√2；
1
(2)(−1) 2024+|1−√5|− ；
√5
(3) ．
(√3+1) 2 −(√7+√3)(√7−√3)
【变式3】计算：
√ 2 √ 1 √ 2
(1) 1 ÷ 2 × 1 ；
3 3 5
√3
(2)3√12× −√8+2√32；
2
(3) ．
(√3+√2)(√3−√2)+(√5−1) 2
【变式4】计算
(1)5−√12×√3
√32−√8
(2)
√2
√1
(3)√27− +√12
3
【变式5】计算：
√1
(1)√12−6 +√48
3
√1
(2)√48÷√3− ×√12−√24
2
(3)(
−
1) −2
+|1−√2|+(π−2) 0+√8
3
(4)
(2√3−1)
2+(√2−3)(√2+3)
【变式6】计算：
(1) ；
−12024+√(−2) 2+√3−64+|√7−3|
(2) ．
(√3+√2) 2 −(√5−2)(√5+2)【变式7】计算
√1
(1)√18× ÷√3
2
√1
(2) −√3−0.125+√(−4) 2−|−6|
4
1 √1
(3)√18+ √72−4 ÷4√2
6 8
√6+3
(4) ×(√3−√2)
√3
考点4：最简二次根式
典例4：下列选项中的式子，是最简二次根式的是（ ）
√1
A． B．√243 C．√36m D．√m2+2
2
√3 √1
【变式1】在√48、√15、−√28、 、 、√32中，是最简二次根式的是 ．
4 2
√ 1
【变式2】二次根式√2x2、√m2−2m+1、√26xy、 中是最简二次根式的有 个．
p−1
【变式3】若√3m−4是最简二次根式，且m为整数，则m的最小值是 ．
1
【变式4】若√20与最简二次根式 √3−m是同类二次根式，则m的值为 ．
3
【变式5】下列二次根式中，能与√3合并的二次根式的是（ ）
√1
A．√18 B． C．√24 D．√0.3
3
【变式6】将二次根式 √ a+2化为最简二次根式为（ ）
a −
a2
A．√−a−2 B．−√−a−2 C．√a−2 D．−√a−2
【变式7】下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ）
√1 √1 √2
A． 与√18 B．√3m与√9m C． 与 D．3√5与√15
2 3 3
考点5：分母有理化
典例5：把式子分母有理化过程中，错误的是（ ）
A． m−n (m−n)(√m+√n)
= =√m+√n
√m−√n (√m−√n)(√m+√n)
B． m−n (√m+√n)(√m−√n)
= =√m+√n
√m−√n √m−√nC． m−n (m−n)(√m−√n)
= =√m−√n
√m+√n (√m+√n)(√m−√n)
D． m−n (√m+√n)(√m−√n)
= =√m−√n
√m+√n √m+√n
1 1
【变式1】已知x= ，y= ，若x的整数部分是m ，y的小数部分是n，则
2+√3 2−√3
的值为 ．
5m2+(x−n) 2−y
【变式2】阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把
分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：
1
=
1⋅√2
=
√2
=
√2
，
√2 √2⋅√2 (√2) 2 2
1
（1）将 分母有理化可得 ；
√2+1
1 1 1 1 1
（2）关于x的方程3x− = + + +⋯+ 的解是 ．
2 1+√3 √3+√5 √5+√7 √97+√99
1 1 1 1
【变式3】计算： + + +…+ = ．
√2+1 √3+√2 √4+√3 √100+√99
【变式4】对于任意不相等的两个数 ， ，定义一种运算※如下： √a2+b，如
a b a※b=
a−b
√32+2 ．那么 ．
3※2= =√11 √3※1=
3−2
√3+√2 √3−√2
【变式5】计算 + 的结果是（ ）
2+√6+√8+√12 2−√6−√8+√12
A．√3−√2 B．√3+√2 C．1 D．2
【变式6】阅读例题： 2 2(√5+√3) 2(√5+√3) ，用上述类似的方法解
= = =√5+√3
√5−√3 (√5−√3)(√5+√3) 2
√5
答问题：若a是√5的小数部分，则 的值为（ ）
a
A．5+√5 B．5−√5 C．5+2√5 D．5−2√5
【变式7】观察下列等式：① 1 √2−1 ；
= =√2−1
√2+1 (√2+1)(√2−1)
② 1 √3−√2 ；
= =√3−√2
√3+√2 (√3+√2)(√3−√2)
③ 1 √4−√3 ；
= =√4−√3
√4+√3 (√4+√3)(√4−√3)
…
1
化简： =（ ）（n为正整数）．
√n+1+√n
A．√n+1+√n B．√n+1 C．√n D．√n+1−√n
考点6：二次根式的化简求值
典例6：已知 ，求代数式 的值．
x=√6−√3 x(√6−x)+(x+√5)(x−√5)
1 1
【变式1】已知x= , y= ．
3+2√2 3−2√2
(1)求x2+ y2+xy的值；
(2)若 的小数部分是 的小数部分是 ，求 的值．
x m, y n (m+n) 2021−√3 (m−n) 3
【变式2】阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的：
1
已知a= ，求2a2−8a+1的值．
2+√3
他是这样分析与解的： 1 2−√3 ，
∵a= = =2−√3
2+√3 (2+√3)(2−√3)
， ，
∴a−2=−√3 ∴(a−2) 2=3 a2−4a+4=3
， ．
∴a2−4a=−1 ∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2x(−1)+1=−1
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
1
(1)若a= ，求8a2−16a+2值．
√2−1
1 1 1 1
(2)化简： + + +⋯+ .
√3+1 √5+√3 √7+√5 √121+√119
√2−1 √2+1
【变式3】已知a= ，b= ，求下列代数式的值：
√2+1 √2−1
(1)a2−ab+b2(2)先化简，再求值：( a 1 ) b ．
+ ÷
b2−a2 b+a b−a
1 1
【变式4】已知x= ，y= ，
√3−√2 √3+√2
(1)求xy及x+ y的值；
(2)求x2−3xy+ y2的值．
1
【变式5】在数学课外学习活动中，晓晨和同学们遇到一道题：已知a= ，求2a2−12a+3
√10−3
的值．经过讨论，他们是这样解答的：
1 1×(√10+3) ，即 ，
∵ a= = =√10+3 a−3=√10
√10−3 (√10−3)(√10+3)
，即 ．
∴(a−3) 2=10 a2−6a+9=10
∴ a2−6a=1
．
∴2a2−12a+3=2(a2−6a)+3=2×1+3=5
请你根据他们的分析过程，解决下列问题：
2
(1)若m= ，求m2+6m的值；
√11+3
1
(2)若n= ，求2n2−16n+9的值．
√17−4
1
【变式6】在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知a= ，求2a2−8a+1的
2+√3
值，他是这样解答的；
1 2−√3 ，
∵a= = =2−√3
2+√3 (2+√3)(2−√3)
∴a−2=−√3，
， ，
∴(a−2) 2=3 a2−4a+4=3
∴a2−4a=−1．
．
∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
1
(1) =_______；
√3+√21 1 1 1
(2)化简： + + +⋅⋅⋅+ ；
√2+1 √3+√2 √4+√3 √169+√168
1
(3)若a= ，求a2−4a+3的值．
√5−2
【变式7】化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法
就可以了，例如： 1 = √2−1 = √2−1 = √2−1 =√2−1 ，√2 = √2×√3 = √6，
√2+1 (√2+1)(√2−1) (√2) 2 −1 1 √3 √3×√3 3
1
(1)若a= ，求3a2−12a−1的值；
√5−2
(2)比较√2025−√2024与√2024−√2023的大小，并说明理由．
1 1 1 1
(3)利用这一规律计算： + + +⋯+ ．
2√1+√2 3√2+2√3 4√3+3√4 2024√2023+2023√2024
考点7：二次根式的应用
典例7：材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形
的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a，中斜为b，大斜为c，则三角形的面积为
√1 c2+a2−b2 2 ，这个公式称之为秦九韶公式；
S= [a2c2−( ) ]
4 2
材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的
公式，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则它的面积为S=√p(p−a)(p−b)(p−c)，其
1
中P= (a+b+c)，这个公式称之为海伦公式．
2
请解决下列问题：
(1)若一个三角形边长依次为5、6、7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出
这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．
解：∵一个三角形边长依次为5、6、7，即a=5，b=6，c=7，
1 1
∴p= (a+b+c)= (5+6+7)=___________．
2 2
根据海伦公式可得： ___________．
S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=
(2)请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是√5，√6，√7，求这个三角
形的面积．
【变式1】用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为 ，解方程 和一元二次方程
x3+x2−2x=0 x(x2+x−2)=0 x=0
x2+x−2=0，可得x =0,x =1,x =−2．如，解根号下含有未知数的方程√x+1=2，可以通过方
1 2 3
程两边平方把它转化为 ．解 ．再如求式子
2x2−3x
的最小值，可以得
x+1=4 x=3 y=
x2+2x+1
2
yx2+2yx+ y=2x2−3x，整理得(y−2)x2+(2y+3)x+ y=0，当y=2时，7x+2=0,x=− ；
7
当y≠2，方程有解，
9 9
Δ=b2−4ac=(2y+3) 2−4(y−2)y=20 y+9≥0，即y≥− ，所以最小值为− ．
20 20
(1)解下列方程：
①x3−3x2−4x=0，
②√2x+3=x
(2)根据材料给你的启示，求函数 3x2−2x+1的最小值．
y=
x2+2x+1
【变式2】阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点 、 的距离记作
A(x ,0) B(x ,0)
1 2
，如果 、 是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求
AB=|x −x | A(x ,y ) B(x ,y )
1 2 1 1 2 2
AB间的距离．如下左图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线AM 、AN 和BM 、BN ，垂足分别
1 1 2 2
是 、 、 、 ，直线 交 于点Q，在 中， ， ，
M N M N AN BM Rt△ABQ AQ=|x −x | BQ=|y −y |
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
∴ AB2=AQ2+BQ2=|x −x | 2+|y −y |=(x −x ) 2+(y −y ) 2．由此可以得到平面直角坐标系内
1 2 1 2 1 2 1 2
任意两点 、 间的距离公式．
A(x ,y ) B(x ,y )
1 1 2 2利用上面公式解决下列问题：
(1)直接应用平面内两点间距离公式计算点A(1,−3)，B(−2,1)之间的距离；
(2)在平面直角坐标系中的两点A(0,3)，B(4,1)，P为x轴上任一点，求PA+PB的最小值和此时点P
的坐标；
(3)应用平面内两点间的距离公式，求代数式 的最小值（直接写出
√x2+(y−2) 2+√(x−3) 2+(y−1) 2
答案）．
【变式3】【背景介绍】
如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．思路是大正方
形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，
1 1
即4× ab+(b−a) 2，从而得到等式c2=4× ab+(b−a) 2，化简便得结论a2+b2=c2．这里用两种
2 2
求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】
（1）请利用“双求法”解决问题：如图2，在6×6的网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形
的三个顶点，可得△ABC，则AB边上的高的长度为______；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．设AD=a，BD=b，CD=m．
①用“双求法”表示AC2+BC2，可以得到关于a，b，m的关系式：______；
②用含a，b的代数式表示Rt△ABC的斜边上的中线与高线，并直接比较它们的大小；
【知识迁移】（3）如图，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长），在此规
划一个面积为50平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如
图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？
【变式4】某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学
们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：
s=
√ 1[
a2b2−
(a2+b2−c2
)
2]
（其中a，b，c为三角形的三边长）．
4 2
材料2．古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式
a+b+c
s√p(p−a)(p−b)(p−c)（其中a，b，c为三角形的三边长，p= ）
2
请你用适合的公式解决问题．
(1)三角形的三边长为a=√7，b=2√2，c=3，则面积为 ；
(2)如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=7，AD=6，∠B=90°，求四边形ABCD的
面积．
【变式5】规律探索图：如图，认真分析各式，然后解答问题．
√1
OA2=(√1) 2+1=2，S = （S 是△OA A 的面积）；
2 1 2 1 1 2
√2
OA2=(√2) 2+1=3，S = （S 是△OA A 的面积）；
3 2 2 2 2 3
√3
OA2=(√3) 2+1=4，S = （S 是△OA A 的面积）；
4 3 2 3 3 4
……(1)OA =；
10
(2)S =；
n
1 1 1 1
(3)求出 + + +⋯+ 的值．
S +S S +S S +S S +S
1 2 2 3 3 4 2022 2023
【变式6】龙城初级中学数学兴趣小组现场学习：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为
√5、√10、√13，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小
正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），
如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．
(1)△ABC的面积为：______；
(2)△ABC中BC边上的高为______；
(3)在图1右侧空白部分，画线段DE=√10，并以DE为边作Rt△≝¿，使其面积为2（只保留作图痕
迹，不要求写出画法，所画的图形的顶点均在格点上）．
(4)如图2，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA,RQDC,QPFE的面积分别为
13，10，17，则花坛中间△PQR的面积为______．
【变式7】【观察发现】
∵ ．
(√6+√5) 2=(√6) 2+(√5) 2+2√6×5=11+2√30
∴ ；
√11+2√30=√ (√6+√5) 2=√6+√5
∵ ，
(2+√3) 2=22+(√3) 2+2×2×√3=7+4√3∴ ．
√7+4√3=√ (2+√3) 2=2+√3
【初步探索】
（1）化简：√10+2√21=________；
（2）形如√m−2√n可以化简为√a−√b，即√m−2√n=√a−√b，且a，b，m，n均为正整数，用
含a，b的式子分别表示m，n，得m=________，n=________；
（3）若√x+4√5=1+ y√5，且x，y均为正整数，求x的值；
【解决问题】
（4）某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，
底面积分别为 和 ．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（纸箱
80cm2 (14+6√5)cm2
厚度不计）：
型号 长 宽 高
A型 10cm 8cm 12cm
B型 12cm 10cm 15cm
C型 16cm 10cm 10cm
请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的
纸箱？
