专题 04 二次函数及其应用
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y= ax 2 +bx+c （a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b 是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c
（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，
自变量的取值范围还需使实际问题有意义。
（二）二次函数的图像性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象
(a＞0) (a＜0)
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 直线x＝－ 直线x＝－
顶点坐标当x＜－时，y随x的增大而减
当x＜－时，y随x的增大而增大；
增减性 小；当x＞－时，y随x的增大而
当x＞－时，y随x的增大而减小
增大
最值 当x＝－时，y有最小值 当x＝－时，y有最大值
（三）二次函数图像与系数的关系
决定抛物线的 某些特殊形式代数式的
当a＞0时，抛物线开口向上；
a 开口方向及开 符号：
当a＜0时，抛物线开口向下.
口大小 a±b+c即为x=±1时，
y
当a，b同号，-＜0，对称轴在y
的值；②4a±2b+c即
轴左边；
决定对称轴
为x=±2时，y的值.
当b＝0时，-=0，对称轴为y
a、b （x=-）的位
2a+b的符号，需判
轴；
置
对称轴-与1的大小.若
当a，b异号，-＞0，对称轴在y
对称轴在直线x=1的左
轴右边．
边，则-＞1，再根据a
当c＞0时，抛物线与y轴的交
的符号即可得出结
决定抛物线与 点在正半轴上；
果.④2a-b的符号，需
c y轴的交点的 当c＝0时，抛物线经过原点；
判断对称轴与-1的大
位置 当c＜0时，抛物线与y轴的交
小.
点在负半轴上.
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有
2 个交点;
决定抛物线与
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有
b2－4ac x轴的交点个
1 个交点;
数
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没
有交点
（四）二次函数图像的平移
（1）平移步骤：
①将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；（也可再一般式上进行
平移）
②保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax2 y=ax2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位 平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”．（左右对x，上下对y）
（五）二次函数与方程不等式的关系
（1）平移步骤：
①将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；（也可再一般式上进行
平移）
②保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax2 y=ax2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位 平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”．（左右对x，上下对y）
（六）二次函数的对称性
b 4ac−b2
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是(− , )
2a 4a
b
①抛物线是关于对称轴x=- 成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数
2a
关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x，0），（x，0），则其对称轴
1 2
x +x
为x= 1 2
2
（七）二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
b 4ac−b2
因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=- 时，y= ，
2a 4a
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，
b 4ac−b2
因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=- 时，y= ，
2a 4a（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物
线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些
函数值，从而获得最值．
（八）二次函数的解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式
①一般式：y＝ a x 2 ＋ b x ＋ c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，
b，c的值．
②交点式：y＝ a( x － x )( x － x)(a≠0)．
1 2
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，将第三
1 2
点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．
③顶点式：y＝ a( x － h ) 2 ＋ k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋
k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．
（九）二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定
出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此
在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的
最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据
落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题
或其他问题．
模块三 考点一遍过
考点1：二次函数定义
典例1：下列函数中，y是x的二次函数是（ ）
1
A．y= B．y=ax2+bx+c
x2
C．y=x(x−2)−1 D．y=x2−x(x+1)
【答案】C
【知识点】二次函数的识别
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键．
1
【详解】解：A、y= 不是二次函数，故不符合题意；
x2
B、当a=0时，y=ax2+bx+c不是二次函数，故不符合题意；
C、y=x(x−2)−1=x2−2x−1，是二次函数，故符合题意；
D、y=x2−x(x+1)=x2−x2−x=−x不是二次函数，故不符合题意；
故选：C．
【变式1】若函数y=(n+3)x2−2nx+1是二次函数，则（ ）
A．n≥−3 B．n≠3 C．n≠−3 D．n=−3
【答案】C
【知识点】根据二次函数的定义求参数
【分析】本题考查二次函数的定义，根据函数y=(n+3)x2−2nx+1是二次函数得到n+3≠0求解即
可得到答案
【详解】解：∵函数y=(n+3)x2−2nx+1是二次函数，
∴n+3≠0，
解得：n≠−3，
故选：C．
【变式2】若函数y=(m−3)xm2−9m+20+mx−6是二次函数，则m的值是
．
【答案】6
【知识点】根据二次函数的定义求参数、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了二次函数的定义、一元二次方程的解法．首先根据二次函数的定义可得：
m2−9m+20=2、m−3≠0，首先解方程可以得到m=6或3，再根据m−3≠0，可得m=6．
【详解】解：∵函数y=(m−3)xm2−9m+20+mx−6是二次函数，
∴¿，
解一元二次方程m2−9m+20=2，
整理得：m2−9m+18=0，
分解因式可得：(m−3)(m−6)=0，
解得：m =6，m =3，
1 2
又∵m−3≠0，∴m≠3，
∴m=6．
故答案为：6 ．
【变式3】若二次函数y=mxm2−1+3x+(m−4)有最小值，则m的值是
．
【答案】√3
【知识点】根据二次函数的定义求参数
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．首先根据二次函数有最小值可得抛物线开口向上，可
以得到m>0且m2−1=2，由m2−1=2可得m=±√3，再根据m>0可得m=√3．
【详解】解：∵二次函数y=mxm2−1+3x+(m−4)有最小值，
∴抛物线开口向上，二次项系数为正数，
∴¿，
解得：m=√3，
故答案为：√3 ．
考点2：二次函数y=a（x-h）²+k的图像性质
典例2：对于二次函数y=(x+1) 2−3，下列结论正确的是（ ）
A．函数图象的顶点坐标是(1,3) B．当x=−1时，y有最小值为−3
C．当x>−1时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线x=1
【答案】B
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握
二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数y=(x+1) 2−3，
∴二次函数的顶点坐标为(−1,−3)，对称轴为直线x=−1，故选项A、D错误；
∵a=1>0，
∴二次函数开口向上，当x=−1时，y有最小值为−3，故选项B正确；
∵a=1>0，抛物线对称轴为直线x=−1，
∴当x>−1时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
故选：B．
【变式1】对于抛物线y=−(x+2) 2−3，下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小B．当x=2时，y有最大值−3
C．经过第一、二、四象限
D．若点A(−3,y )，B(1,y )都在抛物线y=−(x+2) 2−3上，则y >y
1 2 1 2
【答案】D
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象与性质即可判定，解题的关键掌握
二次函数的图象与性质．
【详解】解：A、由y=−(x+2) 2−3，可知对称轴为直线x=−2，−1<0，
∴当x>−2时，y随x的增大而减小，当x<−2时，y随x的增大而增大，故原选项说法错误，不符合
题意；
B、由y=−(x+2) 2−3，可知对称轴为直线x=−2，−1<0，
∴当x=−2时，y有最大值−3，故原选项说法错误，不符合题意；
C、由y=−(x+2) 2−3，可知顶点坐标为(−2,−3)，
∵开口向下，
∴经过第三、四象限，故原选项说法错误，不符合题意；
D、由二次函数y=−(x+2) 2−3，则它的对称轴为直线x=−2，开口向下，
则图象上的点离对称轴越远，则y的值越小，
∵|−3−(−2)|=1，|1−(−2)|=3，
∴1<3，
∴y >y ，故原选项说法正确，符合题意；
1 2
故选：D．
【变式2】已知二次函数y=a(x−h) 2+k（其中a，h，k是实数，a≠0），当x=1时，y=8；当
x=8时，y=1，（ ）
A．若h=4，则a>0 B．若h=5，则a<0
C．若h=6，则a>0 D．若h=7，则a<0
【答案】C
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，当x=1时，y=8，当x=8时，
y=1代入函数式整理得a(9−2h)=−1，将h的值分别代入即可得出结果，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：当x=1时，y=8；当x=8时，y=1；代入函数式得：¿，
∴a(8−h) 2−a(1−h) 2=−7，
整理得：a(9−2h)=−1，
若h=4，则a=−1，故A不符合题意；
若h=5，则a=1，故B不符合题意；
1
若h=6，则a= ，故C符合题意；
3
1
若h=7，则a= ，故D不符合题意；
5
故选：C．
【变式3】已知二次函数y=a(x−2) 2−2a，当1≤x≤4时，函数值y的最大值为4，则a的值为
．
【答案】2或−2
【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=a（x-h）²+k的图象和性质
【分析】本题主要考查了二次函数的最值．熟练掌握二次函数的对称性质和增减性质，是解决问题
的关键．
根据二次函数y=a(x−2) 2−2a的对称轴为直线x=2，若a<0，当x=2时，函数y取得最大值
y=−2a=4，得a=−2；若a>0，根据x=1与x=3关于对称轴对称，得当x>2时，y随x增大而增
大，得当x=4时，y取得最大值y=2a=4，得a=2．
【详解】∵二次函数y=a(x−2) 2−2a，
∴对称轴为直线x=2．
∴当a<0时， 在1≤x≤4范围内，当x=2时，函数y取得最大值y=−2a=4．
∴a=−2；
当a>0时，
∵x=1与x=3关于对称轴对称，当x>2时，y随x增大而增大，且2<3<4，
∴在1≤x≤4范围内，当x=4时，y取得最大值y=a(4−2) 2−2a=2a=4．
∴a=2．
∴a的值为2或−2．
故答案为：2或−2．【变式4】已知点A(−1,y ),B(3,y )在抛物线y=−(x−h) 2+5上．
1 2
（1）若y <y ,h的取值范围是 ；
1 2
（2）将抛物线上A，B两点之间（含A，B两点）的图象设为G，若直线y=k与图象G有两个交点，
则k的取值范围是 ．
【答案】 h>1 1≤k<5
【知识点】其他问题(二次函数综合)、y=a（x-h）²+k的图象和性质
【分析】（1）根据二次函数的性质可得抛物线的对称轴为直线x=h，再由−1<0，可得抛物线上的
点离对称轴越远，函数值小，从而得到3−h<h−(−1)，即可求解；
（2）根据题意可得−1<h<3，再由抛物线的顶点坐标为(h,5)，可得k<5，然后分两种情况讨论，
即可求解．
【详解】解：（1）∵y=−(x−h) 2+5，
∴抛物线的对称轴为直线x=h，
∵−1<0，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值小，
∵点A(−1,y ),B(3,y )在抛物线y=−(x−h) 2+5上，y <y ，
1 2 1 2
∴3−h<h−(−1)，
解得：h>1，
即若y <y ,h的取值范围是h>1；
1 2
故答案为：h>1；
（2）∵直线y=k与图象G有两个交点，
∴−1<h<3，
根据题意得：抛物线的顶点坐标为(h,5)，
∴函数的最大值为5，
∴k<5，
由（1）得：抛物线上的点离对称轴越远，函数值小，
当y <y ，即1<h<3时，此时直线y=k在点B(3,y )的上方或过点B，
1 2 2
∴k≥ y =−(3−h) 2+5，
2
∵1<h<3，
∴此时y 的值随着h的增大而增大，
2∴−(3−1) 2+5<y <−(3−3) 2+5，即1<y <5，
2 2
∴k>1；
当y ≥ y ，即−1<h≤1时，此时直线y=k在点B(3,y )的上方或过点B，
1 2 2
∴k≥ y =−(−1−h) 2+5，
1
∵−1<h≤1，
∴此时y 的值随着h的增大而减小，
2
∴−(−1−1) 2+5≤ y <−(−1+1) 2+5，即1≤ y <5，
1 1
∴k≥1；
综上所述，k的取值范围为1≤k<5．
故答案为：1≤k<5
【变式5】已知A(x ,y )与B(x ,y )是抛物线y=a(x−2) 2+k上的两点，且|x −2|<|x −2|．
1 1 2 2 1 2
（1）若a<0，则y 与y 的大小关系是y y ；
1 2 1 2
（2）当A(x ,y )与B(x ,y )恰好是直线y=ax+k与抛物线两个交点时，若y −y <3，则a的取
1 1 2 2 1 2
值范围是 ．
【答案】 > a>−1且a≠0
【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=a（x-h）²+k的图象和性质
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与x轴的交点问题：
（1）先求出抛物线对称轴为直线x=2，再由|x −2|<|x −2|得到点A离对称轴的距离小于点B离
1 2
对称轴的距离，结合抛物线开口向下，可得离对称轴越远函数值越小，据此可得答案；
（2）联立两函数解析式可得x =1，x =4，进而可得不等式a+k−(4a+k)<3，解之即可得到答
1 2
案．
【详解】解：（1）∵抛物线解析式为y=a(x−2) 2+k，
∴抛物线对称轴为直线x=2，
∵|x −2|<|x −2|，
1 2
∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离，
∵a<0，
∴抛物线开口向下，∴离对称轴越远函数值越小，
∴y >y ，
1 2
故答案为：>；
（2）联立¿得ax2−5ax+4a=0，
解得x=1或x=4，
∴x =1，x =4，
1 2
∵y −y <3，
1 2
∴a+k−(4a+k)<3，
∴a>−1且a≠0，
故答案为：a>−1且a≠0．
考点3：二次函数y=ax²+bx+c的图像性质
典例3：如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0,a,b,c为常数）的图象与x轴相交于A(−3,0)，
B(1,0)两点，则下列结论正确的是（ ）
A．a<0 B．x>−3时，y随x的增大而增大
C．对称轴是直线x=1 D．顶点坐标是(−1,−4a)
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求
对称轴、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题
的关键．
根据二次函数的图象和性质逐项判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，故A选项错误；
−3+1 b
抛物线的对称轴为直线x= =−1=− ，故C选项错误；
2 2a
∴b=2a，∴当x≥−1时，y随x的增大而增大，当−3<x<−1时，y随x的增大而减小，故B选项错误；
抛物线过点A(−3,0)，
∴9a−3b+c=0，
∴c=3b−9a=−3a，
当x=−1时，y=a−b+c=a−2a−3a=−4a，
顶点坐标是(−1,−4a)，
故D选项正确．
故选： D．
【变式1】已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … −4 −2 0 3 5 …
y … m n 0 −3 h …
4
其中m<n<− ，h<−3，现有以下表述：①当x>0时，y随x的增大而减小；②图象不经过第二象
3
限；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)一定有一个小于3的正数根；④当m+n<−13时，
1
a<− ．其中正确的结论序号是 ．
2
【答案】①②③④
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程等；①由h<−3得h<−3<0，由二
4
次函数的增减性，即可判断；②由−4<−2时，m<n<− ，且经过(0,0)即可判断；③由当x=3时，
3
y=−3<0，当x=0时，y=0，由二次函数与一元二次方程，即可判断；④由表格可求b=−3a−1，
将x=−2，x=−4代入求得m+n=20a−6b，即可求解；掌握二次函数的性质，会用二次函数图象
解一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：①∵ h<−3，∴h<−3<0，∵0<3<5，∴当x>0时，y随x的增大而减小，故此项正
4
确；②∵−4<−2时，m<n<− ，且经过(0,0)，由①得：图象不经过第二象限；故此项正确；③
3
当 时， ，当 时， ，由②得：关于 的一元二次方程 一
x=3 y=−3<0 x=0 y=0 x ax2+bx+c=0(a≠0)
定有一个小于3的正数根，故此项正确；④∵当x=3时，y=−3，当x=0时，y=0，∴c=0，
9a+3b=−3，∴b=−3a−1，∵当x=−4时，y=m，当x=−2时，y=n，∴16a−4b=m，4a−2b=n，∴m+n=20a−6b，
1
∴20a−6(−3a−1)<−13，解得：a<− ，故此项正确；
2
故答案：①②③④．
【变式2】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=1，与x轴的一个
交点为(3,0)．给出下列结论：①b2−4ac<0；②4a+2b+c>0；③图象与x轴的另一个交点为
(−1.0)；④当x>0时，y随x的增大而减小；⑤不等式ax2+bx+c<0的解集是−1<x<3．其中正确
结论的序号是 ．
【答案】 /
【知识点②】y③=ax③²+b②x+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问
题、根据交点确定不等式的解集
【分析】本题考查二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，
能从图象中获取有效信息是解答的关键．根据二次函数与x轴的交点情况即可判断①，结合图象可
知x=2时，y>0，即可判断②，利用二次函数的对称性即可判断③，利用二次函数的增减性即可判
断④，利用二次函数图象求不等式的解集即可判断⑤．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点，
∴ b2−4ac>0，
故①错误；
∵二次函数对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为(3,0)．
∴结合图象可知x=2时，y>0，
即4a+2b+c>0，
故②正确；
∵二次函数对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为(3,0)．
∴由对称性可知，图象与x轴的另一个交点为(−1.0)，
故③正确；
∵二次函数对称轴为直线x=1，图象开口向下，∴当x>1时，y随x的增大而减小；
故④错误；
∵二次函数与x轴的一个交点为(3,0)，另一个交点为(−1.0)，图象开口向下，．
∴不等式ax2+bx+c<0的解集是x<−1或x>3．
故⑤错误；
综上所述，正确结论的序号是②③；
故答案为：②③．
【变式3】抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点(−2,0)，且c<0．
下列四个结论：
①4a−2b+c=0；
②当x<−2时，y>0；
8
③若点(1,1)，(2,t)均在抛物线上，则t> ；
3
4a+b+c 1
④不等式t(at+b)≥a+b对任意的实数t都成立，则 < ．
4c−5a 6
其中正确的结论是 （填写序号）．
【答案】①③④
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数的最值问题、二次函数点的坐标特征等
内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
①将(−2,0)代入即可得解；
②分类讨论，画出图形，数形结合即可判断；
③由题得到¿，根据c<0这个不等式要明确，就是消去a和b，建立t和c的关系式即可得解；
④由t(at+b)≥a+b可以推出二次函数在x=1时有最小值，即抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
从而得到a和b的关系，再代入4a−2b+c=0，建立a、c和b、c的关系，最后代入求解即可．
【详解】解：∵抛物线经过(−2,0)，
∴4a−2b+c=0，
故①正确，符合题意；
当a>0时，如图1，此时当x<−2时，y>0，当a<0时，如图2，此时两个交点均在y轴左侧，都有可能是(−2,0)，
但是不论哪个交点是(−2,0)，均不满足当x<−2时，y>0，
故②错误，不符合题意；
根据题意可得，
¿，
8−3t
消去a和b整理可得c= ，
6
∵c<0，
8−3t
∴ <0，
6
8
解得：t> ，
3
故③正确，符合题意；
∵t(at+b)≥a+b，
∴at2+bt≥a+b，
∴at2+bt+c≥a+b+c，
∴当x=1时函数有最小值，即抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
b
∴a>0，x=− =1，
2a
∴b=−2a，
由¿，可得¿，
3
c
4a+b+c 4 6 1
∴ = = < ，
4c−5a 37 37 6
c
8
故④正确，符合题意；
故答案为：①③④；
3 12
【变式4】已知二次函数y= x2− x+3，则下列关于该二次函数的描述正确的是（ ）
5 5( 27)
A．该二次函数的图象开口向下 B．顶点坐标是 2,−
5
C．该二次函数的图象与x轴有一个交点 D．当x<1时，y随着x的增大而减小
【答案】D
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与x轴交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
3
根据a= >0即可判断开口问题；将抛物线解析式配方即可求解顶点坐标；令y=0，得到
5
3 12
x2− x+3=0，根据Δ判断与x轴交点个数问题；对称轴为直线x=2，而1<2，开口向上，即可
5 5
判断增减性．
3
【详解】解：A、∵a= >0，故开口向上，选项A不符合题意；
5
B、y= 3 x2− 12 x+3= 3 (x−2) 2+ 3 ，∴顶点为 ( 2, 3) ，故选项B不符合题意；
5 5 5 5 5
C、∵y= 3 x2− 12 x+3=0时，Δ= ( − 12) 2 −4× 3 ×3=− 36 <0，故图象与x轴没有交点，故选
5 5 5 5 25
项C不符合题意；
3
D、由上得：a= >0，对称轴为直线x=2，而1<2，∴当x<1时，y随着x的增大而减小，正确，
5
故符合题意，
故选：D．
【变式5】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x与y的部分对应值如表：
x … −1 0 3 …
y … n −3 −3 …
当n>0时，以下结论：①bc<0；②当x>2时，y的值随x值的增大而减小；③n>4a；④当n=1时，
关于x的一元二次方程ax2+(b+1)x+c=0的解是x =−1，x =3，其中结论一定正确的有（ ）
1 2
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．由抛物线经过(0,−3)，(3,−3)可得抛物线对称轴及
c的值，从而可得a，b的关系，由n>0可得抛物线开口向上，从而可得a，b，c的符号，进而判定
①②③．由n=1可得x=−1时，a−b+c=1，将ax2+(b+1)x+c=0整理为ax2+bx+c=−x，进而
判断方程的解．
【详解】解：∵抛物线经过(0,−3)，(3,−3)，
b 3
∴抛物线对称轴为直线x=− = ，c=−3，
2a 2
∴b=−3a，
∵x=−1时，y=n>0，
∴抛物线开口向上，即a>0，
∴b<0，
∴bc>0，①错误．
b 3
∵抛物线对称轴为直线x=− = ，
2a 2
∴x>2时，y随x增大而增大，②错误．
当x=−1时，y=n=a−b+c=4a+c=4a−3<4a，
∴③错误．
ax2+(b+1)x+c=0整理为ax2+bx+c=−x，
当n=1，x=−1时，a−b+c=1，ax2+bx+c=−x成立，
x=3时，9a+3b+c=−3，ax2+bx+c=−x成立，
∴ax2+(b+1)x+c=0的解是x =−1，x =3．
1 2
∴④正确．
故正确的为：④．
故选：B．
考点4：二次函数图像与系数关系
典例4：已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则一次函数y=ax+b和反比例函数
c
y= 的图象为（ ）
xA． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、一次函数、二次函数图象综合判断、反比例函数、二次函数
图象综合判断
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，一次函数图象，反比例函数的图象，
b
观察二次函数的图象可知a<0,c<0，再根据− >0，得b>0，进而得出一次函数得图象经过一，
2a
二，四象限，反比例函数位于二，四象限，可得答案．
b
【详解】观察二次函数的图象可知a<0,c<0，− >0，
2a
∴b>0，
c
∴一次函数y=ax+b的图象经过一，二，四象限，反比例函数y= 的图象位于二，四象限，
x
可知C符合题意．
故选：C．
【变式1】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有如下结论
① abc>0
；
② 8a+c<0；2
③若抛物线与y轴的交点在(0,−3)与(0,−2)之间（包含边界），则系数a的取值范围是 ≤a≤1；
3
④若点A(t,m)，B(1−t,n)，C(3−t,p)均在二次函数的图象上，若t<0，则n<m<p．
其中正确的结论是 ．
【答案】①③④
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象可得二次函数开口向上，对称轴
为直线x=1，与y轴交于负半轴，从而得出a>0，c<0，b=−2a<0，即可判断①，根据二次函数
与x轴的一个交点为(−1,0)即可判断②；由题意可得−3≤c≤−2，推出−3≤−3a≤−2，即可判断
③，根据二次函数的性质即可判断④，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象可得，二次函数开口向上，对称轴为直线x=1，与y轴交于负半轴，
b
∴a>0，c<0，x=− =1，
2a
∴b=−2a<0，
∴abc>0，故①正确；
∵二次函数与x轴的一个交点为(−1,0)，对称轴为直线x=1，
∴a−b+c=0，
∴3a+c=0，
∴c=−3a，
∵a>0，
∴8a+c>0，故②错误；
∵抛物线与y轴的交点在(0,−3)与(0,−2)之间（包含边界），
∴−3≤c≤−2，
∴−3≤−3a≤−2，
2
∴ ≤a≤1，故③正确；
3
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，|3−t−1|=|2−t|，|1−t−1|=|t|，
∴若t<0，则|t|<|1−t|<|2−t|，
∴n<m<p，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：①③④．
【变式2】如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为
(−1，0)，其部分图象如图，下列结论：①4ac<b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x =−1，
1
x =3；③3a+c<0；④当y>0时，x的取值范围是−1≤x<3；⑤当x<0时，y随x增大而增大．其
2中正确结论的序号是 ．
【答案】①②⑤
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质是解答关键．
利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐
标为(3,0)，则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=−2a，然后根据x=−1时函数值为0可得到
3a+c=0对③进行判断；根据抛物线在x轴的两个交点坐标来对④进行判断；根据二次函数的性质
对⑤进行判断．
【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
∴4ac<b2，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
而点(−1,0)关于直线x=1的对称点的坐标是(3,0)，
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x =−1，x =3，故②正确；
1 2
b
∵抛物线对称轴为直线x=− =1，
2a
即b=−2a．
而当x=−1时，y=0，
即a−b+c=0，
∴a+2a+c=0，
即3a+c=0，故③错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x的两个交点为(−1,0)、(3,0)，
∴当y>0时，x的取值范围是−1<x<3，故④错误；
∵抛物线的对称轴为x=1，抛物线开口向下，
∴当x<0时，y随x增大而增大，故⑤正确.
综上所述，正确的有①②⑤．
故答案为：①②⑤．【变式3】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−1,0)，与y轴的交点为B，对称
轴为直线x=1．下列四个结论：①3a+c=0；②过点(3,c−a)且平行于x轴的直线与抛物线有唯一
公共点；③若a>0，关于x的不等式a(x+1) 2+b(x+1)<0的解集为−1≤x≤1；④若a<0，点
1
P(t,y )，Q(t+3,y )在该抛物线上．当实数t>− 时，y >y ．．其中正确的结论是
1 2 2 1 2
（填写序号）．
【答案】①②④
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与
x轴的交点坐标、顶点坐标等知识，逐个判断即可．
【详解】解：由题意，∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−1,0)，
∴a−b+c=0．
又∵对称轴为直线x=1，
b
∴− =1．
2a
∴b=−2a．
∴a−b+c=a+2a+c=3a+c=0，故①正确．
当y=c−a时，ax2+bx+c=c−a，即：ax2+bx+a=0，
∴△=b2−4a2=(2a+b)(b−2a)=0，
∴ax2+bx+c=c−a有两个相等的实数根，
∴过点(0,c−a)平行于x轴的直线与抛物线有唯一的公共点，故②是正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−1,0)，对称轴为直线x=1，
∴与x轴交于另一个点为(3,0)，
∴二次函数y=ax2+bx(a>0)的图象与x轴交于点(0,0)，(2,0)，
∴二次函数y=a(x+1) 2+b(x+1)(a>0)的图象与x轴交于点(−1,0)，(1,0)，
∴关于x的不等式a(x+1) 2+b(x+1)<0的解集为−1<x<1，故③错误；
当a<0时，1
∵实数t>− ，
2
5
∴t+3> ，
2
∴P到x=1的距离小于Q到x=1的距离，
∴y >y ，故④正确；
1 2
故答案为：①②④．
【变式4】函数y=|ax2+bx+c|（a>0，b2−4ac>0）的图象（如图所示）是由函数
y=ax2+bx+c（a>0，b2−4ac>0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，
则下列结论：①2a+b=0；②c=−3；③abc<0；④将图象向上平移1个单位长度后与直线y=5有
3个交点，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．①② D．②③
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符
号
【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．二次函数的平移，待定系数法求函数解析式，
熟练掌握抛物线的对称性，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．①根据图象与x轴的两个
交点，求出对称轴，即可得到结论；②由y=|ax2+bx+c|的图象可知：与y轴的交点为(0,3)，根据
翻折特点，即可解题；③根据对称轴，判断b的符号，结合a，c的符号，即可得到abc的符号；④先
求出图象的顶点坐标，得到平移后的顶点坐标，即可得出结论．
【详解】解：由图知，函数y=|ax2+bx+c|（a>0，b2−4ac>0）的图象与x轴交于(−1,0)，(3,0)，
−1+3
∴函数对称轴为直线x= =1，
2
b
∴ − =1，
2a
则b=−2a，2a+b=0，故①正确；∵函数图象与y轴交于(0,3)，
由翻折性质可知，c=−3，故②正确；
∵ a>0，对称轴为直线x=1，
∴b<0，
∵ c=−3，
∴ abc>0，故③错误；
由图知，y=ax2+bx+c=a(x+1)(x−3)，
∵函数y=|ax2+bx+c|图象与y轴交于(0,3)，
∴ y=ax2+bx+c=a(x+1)(x−3)过点(0,−3)，
即a×(0+1)×(0−3)=−3，
解得a=1，
∴函数y=ax2+bx+c为y=x2−2x−3，
即y=|ax2+bx+c|=|x2−2x−3|，
当x=1时，y=|12−2−3|=4，
即y=|ax2+bx+c|的顶点坐标为(1,4)，
将图象向上平移1个单位长度后y=|ax2+bx+c|的顶点坐标为(1,5)，
∴将图象向上平移1个单位长度后与直线y=5有3个交点，故④正确．
综上所述，正确的有①②④，
故选：A．
【变式5】抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物
线的对称轴是直线x=1．下列结论：①abc<0；②2a+b=0；③4a−2b+c=0；④方程
ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根；⑤若点A(m,n)在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c．
其中正确的个数有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的最值、抛
物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是
明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
结合函数图像，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、不等式间的关系逐一判断即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是直线x=1，
∴与x轴的交点到对称轴距离为4−1=3，
∴该抛物线与x轴的另一个交点为(−2,0)，
补图如下：
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴在y轴的右侧，a、b异号，
∴b>0，
∵抛物线与y轴交在正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故①正确，
b
∵抛物线的对称轴是直线x=1即− =1，
2a∴b=−2a，
∴2a+b=0，故②正确；
∵该抛物线与x轴的另一个交点为(−2,0)，
∴当x=−2时，y=4a−2b+c=0，故③正确；
∵由图象可得，抛物线的顶点坐标为(1,4)，
∴直线y=2与抛物线有两个交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根，故④正确；
∵当x=1时，该函数取得最大值，此时y=a+b+c，
∵点A(m,n)在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c，故⑤正确；
综上所述：正确的个数有5个．
故选：D．
考点5：一次函数与二次函数图像判断
典例5：在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c的图象如图所示，则二次
函数y=ax2−bx−c的图象可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查二次函数的图象和性质及一次函数的图象和性质．由已知二次函数的图象可知a的
正负，由一次函数的图象可知b、c的正负，进而可得出答案．
【详解】解：∵二次函数y=ax2的开口向下
∴a<0∵一次函数y=bx+c图象中y随x的增大而增大，与y轴的交点在y轴的负半轴
∴b>0，c<0
∴−c>0，
−b
∴二次函数y=ax2+bx−c的图象开口向下，对称轴为直线x=− <0在y轴左侧，与y轴的交点
2a
(0,−c)在y轴的正半轴．
故选：A．
【变式1】函数y=ax2−2x+1，y=ax+a（a是常数，a≠0)，在同一平面直角坐标系的图象可能
是 ．
① ② ③
④ ⑤ ⑥
【答案】①③④⑤
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查二次函数图像与系数之间的关系，一次函数图象与系数之间的关系，能够熟练数
形结合思想是解决本题的关键．
【详解】解：由函数解析式可知一次函数图象必过(−1,0)，二次函数图象必过(1,0)，所有图象均满
足此要求，故不再单独判断，
①中由一次函数图象可得系数a>0，且交纵轴于正半轴点(0,1)，二次函数图象开口向上，故a>0，
a的取值范围相同，且二次函数图象满足二次函数对称轴同左异右的特点，且(−2) 2−4a=0函数图
象与坐标轴只有一个交点，故①正确；
②中由一次函数图象可得系数a<0，且交纵轴于负半轴，二次函数图象开口向下，故a<0，a的取
值范围相同，但二次函数图象不满足二次函数对称轴同左异右的特点，故②错误；
③中由一次函数图象可得系数a>0，且交纵轴于正半轴，但交点纵坐标小于1，二次函数图象开口
向上，故a>0，a的取值范围相同，且二次函数图象满足二次函数对称轴同左异右的特点，且函数图象与坐标轴有两个交点，故③正确；
(−2) 2−4a>0
④中由一次函数图象可得系数a<0，且交纵轴于负半轴，二次函数图象开口向下，故a<0，a的取
值范围相同，且二次函数图象满足二次函数对称轴同左异右的特点，且(−2) 2−4a>0函数与坐标轴
有两个交点，故④正确；
⑤中由一次函数图象可得系数a>0，图象交纵轴于正半轴，且交点纵坐标大于1，二次函数图象开
口向上，故a>0，a的取值范围相同，且二次函数图象满足二次函数对称轴同左异右的特点，且
(−2) 2−4a<0函数与坐标轴没有交点，故⑤正确；
⑥中由一次函数图象可得系数a>0，图象交纵轴于正半轴，且交点纵坐标小于1，二次函数图象开
口向上，故a>0，a的取值范围相同，且二次函数图象满足二次函数对称轴同左异右的特点，但
(−2) 2−4a>0，但⑥中函数图象与坐标轴没有交点，故⑥错误；
故答案为：①③④⑤．
【变式2】已知二次函数y=−x2+x+6，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图
象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y=m与新图象有4个交点时，m的取值
范围是 ．
25
【答案】− <m<0
4
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】根据题意，先求出新函数图象的顶点坐标，根据已知条件和结合函数图象，即可求出m的
取值范围．
【详解】解：∵y=−x2+x+6=− ( x− 1) 2 + 25 ，
2 4
(1 25)
∴原函数图象的顶点坐标为： , ，
2 4如图，根据折叠的性质，
(1 25) (1 25)
可得新函数图象G的顶点坐标为： ,− ，即点D的坐标为 ,− ，
2 4 2 4
当直线y=m与新图象有4个交点时，根据图象可知：
25
m的取值范围是：− <m<0．
4
25
故答案为：− <m<0．
4
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图像与几何变换、二次函数的性质等知识点，
根据翻折变换规律得到新抛物线的顶点坐标是解题的难点．
【变式3】在同一平面直角坐标系中，直线y =−2x+k和抛物线y =ax2+bx+c(a≠0)，如图所示，
1 2
m ，m 是方程ax2+bx+c=−2x+k的两个根，且m <m ，则函数y=m x−m 的坐标系中的图象
1 2 1 2 1 2
大致为（ ）
A． B． C． AID． AI
【答案】B
【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、一次函数、二次函数图象综合判断、
y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了一次函数，二次函数图象与系数的关系，一元二次方程根于系数的关系等知识
点，通过图象交点的横坐标确定m ，m 的正负是解题的关键．根据方程ax2+bx+c=−2x+k的两
1 2个根m 和m ，即转化为y =−2x+k与y =ax2+bx+c函数图象交点问题，通过图象交点可得
1 2 1 2
m <0<m ，即可确定函数y=m x−m 在坐标系中的大致图象．
1 2 1 2
【详解】解：∵m ，m 是方程ax2+bx+c=−2x+k的两个根，
1 2
∴ m ，m 为y =−2x+k与y =ax2+bx+c函数图象交点的横坐标，
1 2 1 2
由图象可得：m <0<m ，
1 2
∴m <0，−m <0，
1 2
故函数y=m x−m 在坐标系中的图象经过第二、三、四象限，
1 2
故选：B．
考点6：反比例函数与二次函数图像判断
c
典例6：已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则反比例函数y= 与一次函数
x
y=−ax+b在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与各项系数符号、一次函数、二次函数图象综合判断、反比例函数、二次
函数图象综合判断、一次函数与反比例函数图象综合判断
【分析】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象确定
c
出a、b、c的符号，再判断反比例函数y= 与一次函数y=−ax+b所在的位置即可．
x
【详解】解：根据抛物线开口向下可得a<0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b>0，由与y
轴交点在正半轴可得c>0，
c
∴反比例函数y= 的图象在第一、三象限，一次函数y=−ax+b经过第一、二、三象限，
x
符合条件的只有A选项，故选：A．
m
【变式1】已知在同一直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与反比例函数y= 的图像如
x
mc
图所示，则一次函数y= x−b的图像大致可能是（ ）
a
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与各项系数符号、反比例函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查考查二次函数和反比例函数与系数的关系，正确判断函数的图像和系数的关系是
解题的关键；根据二次项系数a决定抛物线的开口方向，a，b共同决定了对称轴的位置，常数项c决
定了抛物线与轴的交点位置，根据反比例函数图像判断系数即可求解；
b
【详解】解：根据二次函数图像可知：a<0，− <0，则b<0，二次函数交y轴正半轴，故c>0，
2a
反比例函数过二，四象限，故m<0；
mc mc
则一次函数y= x−b， >0，
a a∵b<0，则−b>0
故一次函数过一，二，三象限；
故选：C
k
【变式2】函数y =ax2+bx+c与y = 的图象如图所示，当x的取值范围为 时，y ,y 均随
1 2 x 1 2
着x的增大而减小．
【答案】x>1
【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的图象与性质．根据二次函数和反比例函数图象解答即
可．
【详解】解：根据二次函数图象当x>1时，y 随着x的增大而减小，当x>0或x<0时，反比例函数
1
y 随着x的增大而减小．
2
∴当x>1时，y ,y 均随着x的增大而减小．
1 2
故答案为：x>1．
k
【变式3】已知二次函数y =x2+bx+c和反比例函数y = 在同一个坐标系中的图象如图所示，则k
1 2 x
k
的值为
；不等式x2+bx+c<
的解集是 ．
x
【答案】 −2 −1<x<0或1<x<2
【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断、根据交点确定不等式的解集
k
【分析】把点（1，-2）代入y = 即可求出k的值，根据当−1<x<0或1<x<2时，抛物线在双曲
2 x线的下方，即可求出不等式的解．
k
【详解】解：∵反比例函数y = 的图像在过点（1，-2）
2 x
∴k=1×（-2）=-2；
∵当−1<x<0或1<x<2时，抛物线在双曲线的下方，
k
∴不等式x2+bx+c< 的解集是：−1<x<0或1<x<2．
x
故答案是：2；−1<x<0或1<x<2．
【点睛】本题主要考查反比例函数和二次函数综合，掌握函数图像的交点坐标与不等式的关系，是
解题的关键．
考点7：二次函数与二次函数图像判断
典例7：函数y 、y 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数
1 2
y= y + y 的大致图象是（ ）
1 2
A． B．C． D．
【答案】B
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、两个二次函数图象综合判断
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根
据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．
【详解】解：由图象知，函数y 和函数y 的开口都向上，所以函数y= y + y 的开口一定向上，故C
1 2 1 2
选项不符合题意；
由图象知，函数y 的对称轴在y轴的右侧，函数y 的对称轴也在y轴的右侧，
1 2
所以，函数y= y + y 的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意；
1 2
函数y 的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数y 的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前
1 2
者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数y= y + y 的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合
1 2
题意，选项B符合题意．
故选：B．
【变式1】已知二次函数y =ax2+bx+c和y =bx2+ax+c，a>b，则下列说法正确的是（ ）
1 2
A．当x<0时，y <y B．当0<x<1时，y <y
1 2 1 2
C．当0<x<1时，y >y D．当x>1时y <y
1 2 1 2
【答案】B
【知识点】两个二次函数图象综合判断、图象法解一元二次不等式
【分析】分两种情况讨论，通过解不等式ax2+bx+c>bx2+ax+c和ax2+bx+c<bx2+ax+c，可
对各项进行判断．
【详解】解：当y >y 时，ax2+bx+c>bx2+ax+c，
1 2
整理得(a−b)x2−(a−b)x>0，
∵a>b，
∴x2−x>0，解得x<0或x>1；
当y <y 时，ax2+bx+c<bx2+ax+c，
1 2整理得(a−b)x2−(a−b)x<0，
∵a>b，
∴x2−x<0，解得0<x<1．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式(组)：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求
自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
1
【变式2】已知一条抛物线的形状与抛物线y=2x2+3形状相同，与另一条抛物线y=− (x+1) 2−2
2
的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为 ．
【答案】y=2(x+1) 2−2或y=−2(x+1) 2−2
【知识点】两个二次函数图象综合判断、y=a（x-h）²+k的图象和性质
【分析】根据抛物线的图象与系数之间的关系得出h=−1，k=−2，a=±2，即可得出结果．
【详解】解：设这条抛物线的解析式为：y=a(x−h) 2+k，
1
∵这条抛物线与抛物线y=− (x+1) 2−2的顶点坐标相同，
2
∴h=−1，k=−2，
又∵这条抛物线与抛物线y=2x2+3形状相同，
∴|a|=2，即a=±2，
∴这条抛物线的解析式为：y=2(x+1) 2−2或y=−2(x+1) 2−2，
故答案为：y=2(x+1) 2−2或y=−2(x+1) 2−2．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟记二次函数的性质是解题的关键．【变式3】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，若|ax2+bx+c|=k有两个不相等的实数根，则k的取
值范围是 ．
【答案】k=0或k＞2．
【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数的图象判断式子符号、两个二次函数图象综合
判断
【分析】先根据题意画出y＝|ax2＋bx＋c|的图象，即可得出|ax2＋bx＋c|＝k（k≠0）有两个不相等的实
数根时，k的取值范围．
【详解】解：∵当ax2＋bx＋c≥0，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象在x轴上方，
∴此时y＝|ax2＋bx＋c|＝ax2＋bx＋c，
∴此时y＝|ax2＋bx＋c|的图象是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴上方部分的图象．
∵当ax2＋bx＋c＜0时，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象在x轴下方，
∴此时y＝|ax2＋bx＋c|＝－(ax2＋bx＋c)，
∴此时y＝|ax2＋bx＋c|的图象是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴下方部分与x轴对称的图象．
∵y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点纵坐标是－2，
∴函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴下方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是2，
∴y＝|ax2＋bx＋c|的图象如右图．
∵观察图象可得当k≠0时，
函数图象在直线y＝2的上方时，纵坐标相同的点有两个，
函数图象在直线y＝2上时，纵坐标相同的点有三个，
函数图象在直线y＝2的下方时，纵坐标相同的点有四个，
∴若|ax2＋bx＋c|＝k有两个不相等的实数根，
则函数图象应该在y＝2的上边，
故k＝0或k＞2．【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是根据题意画出y＝|ax2＋bx＋c|的图象，根据图
象得出k的取值范围．
考点8：二次函数对称性应用
典例8：设二次函数y=kx2−4kx+c（k，c为实数）的图象过点A(x ,y )，B(x ,y )，C(x ,y )
1 1 2 2 3 3
三点，且x <x <2<x ，|x |=|x |，x +x >4，下列结论正确的是（ ）
3 2 1 1 3 1 2
A．若k>0，则y = y >y B．若k>0，则y >y >y
3 1 2 3 2 1
C．若k<0，则y >y >y D．若k<0，则y >y >y
1 2 3 2 1 3
【答案】D
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值
【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及开口方向、对称轴，正确掌握相关性质内容是解题的
关键．先得出对称轴x=2，结合x <x <2<x ，|x |=|x |，得d<m，n<m，d>n，再进行分类讨
3 2 1 1 3
论，即可作答．
【详解】解：∵二次函数y=kx2−4kx+c
−4k
∴对称轴为x=− =2
2k
∵x <x <2<x ，|x |=|x |
3 2 1 1 3
∴设点A、B、C到对称轴的距离为d，n，m，x ，x 互为相反数
1 3
∴d<m，n<m
∵x +x >4，x <2<x
1 2 2 1
∴d>n
当k<0时，函数的开口向下，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大，
∴y >y >y ，故D选项是正确的；
2 1 3
当k>0时，函数的开口向上，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，
∴y >y >y ，
2 1 3故ABD三个选项是错误的；
故选：D
【变式1】设函数y=a(x+m) 2+n（a≠0，m，n是实数），当x=1时，y=1，x=6时，y=6．则
（ ）
A．若m=−3，则a<0 B．若m=−4，则a>0
C．若m=−5，则a<0 D．若m=−6，则a>0
【答案】C
【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据m的取值及抛物线上两点的坐标分析出抛物线的
开口方向是解题的关键．根据所给解析式得出抛物线的对称轴为直线x=−m，再根据选项中所给出
的m的值都a的正负依次进行判断即可．
【详解】解：由所给函数解析式可知，
抛物线的对称轴为直线x=−m．
当m=−3时，抛物线的对称轴为直线x=3，
因为(1,1)和(6,6)在抛物线上，
则点(1,1)关于直线x=3的对称点为(5,1)，
因为6>5，6>1，
所以在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
则抛物线的开口向上，即a>0．故A不符合题意．
当m=−4时，抛物线的对称轴为直线x=4，
所以点(1,1)关于直线x=4的对称点为(7,1)，
因为6<7,6>1，
所以在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
则抛物线的开口向下，即a<0．故B选项不符合题意．
当m=−5时，抛物线的对称轴为直线x=5，
所以点(1,1)关于直线x=5的对称点为(9,1)，
因为6<9,6>1，
所以在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
则抛物线的开口向下，即a<0．
故C选项符合题意．
当m=−6时，抛物线的对称轴为直线x=6，
因为6>1，
所以顶点的纵坐标为抛物线上所有点纵坐标中最大的，则抛物线的开口向下，即a<0．故D选项不符合题意．
故选：C．
【变式2】对于二次函数y=2x2+9x+k，当自变量x分别取x 和x (x ≠x )时，函数的值相等，那
1 2 1 2
么当自变量x的取值为x +x 时，其函数值与（ ）．
1 2
A．x=0时的函数值相等 B．x=1时的函数值相等
1 9
C．x= 时的函数值相等 D．x=− 时的函数值相等
4 4
【答案】A
【知识点】根据二次函数的对称性求函数值
【分析】此题考查利用二次函数的对称性，可知以这两个自变量的值为横坐标的点，关于抛物线的
9 9 9
对称轴对称．求出x +x =− ，根据对称性可知图象上横坐标为− 的点关于对称轴x=− 对称的
1 2 2 2 4
点的横坐标为0，掌握二次函数的对称性是解决问题．
【详解】解：当自变量x取两个不同的值x 、x 时，函数值相等，则以x 、x 为横坐标的两点关于直
1 2 1 2
9
线x=− 对称，
4
x +x 9 9
∴有 1 2=− ，则x +x =− ，
2 4 1 2 2
9 9
图象上横坐标为− 的点关于对称轴x=− 对称的点的横坐标为0．
2 4
故选：A．
【变式3】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，其中部分x和y的对应取值如下表：
x … −3 −2 −1 0 1 …
y … 0 3 4 3 m …
则m的值为 ．
【答案】0
【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、已知抛物线上对称的两点求对称轴
【分析】本题主要考查二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
由表格可得二次函数的对称轴为直线x=−1，则点(−3,0)与(1,m)关于二次函数的对称轴对称，进而
问题可求解．
【详解】解：由表格得：当x=−2或x=0时，二次函数的函数值都为3，根据二次函数的对称性可−2+0
知二次函数的对称轴为直线x= =−1，
2
∴点(−3,0)与(1,m)关于二次函数的对称轴对称，
∴m=0.
故答案为0．
【变式4】已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点为A(1,0)和B(3,0)，点P (x ,y )，
1 1 1
P (x ,y )是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P AB的面积为S ，△P AB的面积为S ．有下列
2 2 2 1 1 2 2
结论：①当x >x +2时，S >S ；②当x <2−x 时，S <S ；③当|x −2|>|x −2|>1时，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
S >S ；④当|x −2|>|x +2|>1时，S <S ．其中错误的是 ．（写出所有错误结
1 2 1 2 1 2
论的序号）
【答案】①②④
【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．通过x 和x 的不
1 2
等关系，确定P (x ,y )，P (x ,y )在抛物线上的相对位置，逐一分析即可求解．
1 1 1 2 2 2
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点为A(1,0)和B(3,0)，
∴该抛物线对称轴为x=2，
①不妨假设a>0，如图1中，P 、P 满足x >x +2，
1 2 1 2
此时P P ∥AB，
1 2
∴S =S ，故①错误；
1 2
②当x =−2，x =−1时，满足x <2−x ，
1 2 1 2
则S >S ，故②错误；
1 2
③当|x −2|>|x −2|>1时，P (x ,y )比P (x ,y )离对称轴更远，且同在x轴上方或者下方，
1 2 1 1 1 2 2 2∴|y |>|y |，
1 2
∴S >S ，故③正确；
1 2
④不妨假设a>0，如图2中，P 、P 满足|x −2|>|x +2|>1，但是S =S ，故④错误；
1 2 1 2 1 2
综上分析可知，结论错误的是：①②④；
故答案为：①②④．
【变式5】如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0)，它的对称轴x=1对称，则当y<0时，x的取
值范围是 ．
【答案】−2<x<4/4>x>−2
【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、根据二次函数的对称性求函数值、y=ax²+bx+c的图象与性
质
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一
个交点，再根据抛物线的图象可求当y<0时，x的取值范围．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点坐标为P(4,0)，对称轴为x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(−2,0)，
由图象可知，当y<0时，x的取值范围是−2<x<4．
故答案为：−2<x<4．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x轴的另一个交
点．
考点9：求二次函数解析式
典例9：根据下列条件，分别确定抛物线对应的二次函数的表达式．(1)抛物线的顶点坐标是(2,1)，且与x轴的一个交点坐标是(3,0)；
(2)抛物线y=ax2+bx+c过(−3,0)，(1,0)两点，与y轴的交点为(0,4)．
【答案】(1)y=−(x−2) 2+1
4 8
(2)y=− x2− x+4
3 3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是根据已知条件选择恰当的表达
形式．
（1）已知抛物线的顶点坐标，可设表达式为顶点式，然后代入点(3,0)即可求解；
（2）已知抛物线与的两交点坐标，可设表达式为交点式，然后代入点(0,4)即可求解；
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为y=a(x−2) 2+1．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标是(3,0)，
∴a(3−2) 2+1=0，
解得：a=−1，
∴y=−(x−2) 2+1（或y=−x2+4x−3）；
（2）解：设抛物线的表达式为y=a(x−1)(x+3)，
4
将(0,4)代入y=a(x−1)(x+3)得4=a(0−1)⋅(0+3)，解得：a=− ，
3
4 4 8
∴抛物线的表达式为y=− (x−1)(x+3)=− x2− x+4．
3 3 3
【变式1】已知抛物线y=ax2+3的图象经过点(−2,−1)．
(1)求抛物线的表达式：
(2)判断点P(1,1)是否在该抛物线的图象上，请说明理由．
【答案】(1)y=−x2+3
(2)点P(1,1)不在该抛物线的图象上，见解析
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了待定系数法，图象与点的关系，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）把(−2,−1)代入解析式y=ax2+3，确定a值即可求抛物线的表达式：
（2）当x=1时，y=−1+3=2≠1，解答即可．
【详解】（1）解：把(−2,−1)代入解析式y=ax2+3，
得−1=4a+3，
解得a=−1，故抛物线的表达式为y=−x2+3．
（2）解：点P(1,1)不在该抛物线的图象上．理由如下：
当x=1时，y=−1+3=2≠1，
故点P(1,1)不在该抛物线的图象上．
【变式2】已知关于x的二次函数y=x2−mx−3，该函数图象经过点(2,−3)．
(1)求这个二次函数的表达式及顶点坐标；
(2)这个二次函数图象与x轴的交点坐标是______；
(3)将这个二次函数的图象沿x轴平移，使其顶点恰好落在y轴上，请直接写出平移后的函数表达式
____________．
【答案】(1)y=x2−2x−3；(1,−4)
(2)(3,0)，(−1,0)
(3)y=x2−4
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式、求抛
物线与x轴的交点坐标
【分析】本题考查了二次函数求解析式及二次函数的性质、利用函数与方程的关系解方程、配方法
的应用、图形的平移等．
（1）代入点的坐标可求m，进而可求解析式及顶点坐标；
（2）令y=0，可求与x轴交点坐标；
（3）将二次函数转化为顶点式，依据其顶点恰好落在y轴上可得结果．
【详解】（1）解：∵该二次函数图象经过点(2,−3)，
∴−3=22−m×2−3，
解得m=2．
∴二次函数的表达式为y=x2−2x−3=(x−1) 2−4．
∴二次函数顶点坐标为(1,−4)．
（2）解：令y=0，则0=x2−2x−3．
解得x =3，x =−1，
1 2
∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为(3,0)，(−1,0)．
（3）解：y=x2−2x−3 =(x−1) 2−4，
平移后要使其顶点恰好落在y轴上，
则需将函数图像向左平移1个单位长度，
可得函数的表达式为：y=x2−4．
【变式3】已知二次函数y=x2−2x+c，经过点(0,−3)．(1)求这个二次函数的表达式．
(2)若点B(1,m)在该函数图象上，求m的值．
【答案】(1)y=x2−2x−3；
(2)m=−4．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图象及性质：
（1）代入点(0,−3)求出c值即可得到二次函数的表达式；
（2）将点B(1,m)坐标代入（1）中的解析式即可得到m值．
【详解】（1）将点(0,−3)代入二次函数y=x2−2x+c得：c=−3，
∴二次函数解析式为：y=x2−2x−3．
（2）将点B(1,m)坐标代入y=x2−2x−3得：1−2−3=m，
解得：m=−4．
考点10：二次函数图像的平移
典例10：要得到抛物线y=3(x+2) 2+3，可以将抛物线y=3x2（ ）
A．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移
【分析】本题考查了抛物线的 平移，根据“左加右减，上加下减”即可求解，掌握二次函数图象的
平移规律是解题的关键．
【详解】解：要得到抛物线y=3(x+2) 2+3，可以将抛物线y=3x2向左平移2个单位长度，再向上
平移3个单位长度，
故选：A．
【变式1】抛物线 y=−x2+4x−2经过平移后得到抛物线y=−x2−4x，其平移方法是（ ）
A．向右平移3个单位，再向上平移2个单位
B．向右平移4个单位，再向下平移3个单位
C．向左平移3个单位，再向上平移2个单位
D．向左平移4个单位，再向上平移2个单位
【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式【分析】本题主要考查了抛物线的平移，先分别算出两个函数的顶点，根据顶点的变化即可得到平
移规律；
【详解】解：∵抛物线y=−x2+4x−2=−(x−2) 2+2的顶点坐标为(2,2)，
平移后抛物线y=−x2−4x=−(x+2) 2+4的顶点坐标为(−2,4)，
∴平移方法为：向左平移4个单位，再向上平移2个单位．
选：D．
【变式2】已知二次函数y=x2−2ax+2a，其中a为实数，对称轴为直线x=3，将二次函数的图象
向上平移6个单位，当m−1≤x≤m+2时，函数有最小值为12，则m的值为 ．
【答案】7或−2
【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象的平移，先根据对称轴方程求得该二次函数的解
析式，再根据函数图象平移规则“上加下减”得到平移后的函数解析式，再根据二次函数的性质求
解即可．
【详解】解：∵二次函数y=x2−2ax+2a的对称轴为直线x=3，
−2a
∴− =a=3，
2
∴y=x2−6x+6=(x−3) 2−3，
将二次函数的图象向上平移6个单位，得y=(x−3) 2+3，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x=3，
∴当x<3时，y随x的增大而减小，当x>3时，y随x的增大而增大，
当x=3时，y=3，此时y有最小值3，
当y=12时，由(x−3) 2+3=12解得x =0，x =6，
1 2
∵当m−1≤x≤m+2时，函数有最小值为12，
∴m+2=0或m−1=6，
解得m=−2或m=7．
故答案为：7或−2．
【变式3】将抛物线y=−x2向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A
（如图所示），连接OA、AB，如果△AOB是等边三角形，则OB的长为 ．【答案】2√3
【知识点】等边三角形的性质、y=ax²的图象和性质、二次函数图象的平移
【分析】本题主要考查二次函数图像与几何变换，等边三角形的性质，二次函数图像上点的坐标特
征；根据题意得到关于m的方程是解题的关键．由题意设A点坐标为(m,−m2 )，根据等边三角形的
性质解出m的值即可得到答案．
【详解】解：∵点A在抛物线y=−x2上，
∴设A点坐标为(m,−m2 )，
过A作AC⊥x轴于C，如图，
∵ △AOB
是等边三角形，
∴BC=OC=m，AC=√3OC=√3m=m2，
∴m=√3或m=0（舍），
∴OB=2OC=2√3，
故答案为：2√3．
考点11：二次函数图像最值问题
典例11：对于实数a,b，定义符号min{a,b}，其意义为：当a≥b时，min{a,b}=b；当a<b时，
min{a,b}=a．例如：min{2,−1}=−1，若关于x的函数y=min{−x2+x+1,−x−2}，则该函数
的最大值为（ ）
A．−1 B．−5 C．3 D．2
【答案】A
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值
【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．根据题意，利用分类讨论的方法和一次函数的性质、二次函数的性质，可以求得
该函数的最大值，本题得以解决．
【详解】解：当−x2+x+1≥−x−2时，即−x2+2x+3≥0，
可得−1≤x≤3，
则y=min{−x2+x+1，−x−2}=−x−2，
∴当x=−1时，y=−x−2取得最大值，此时y=−1；
当−x2+x+1≤−x−2时，即−x2+2x+3≤0，
可得x≤−1或x≥3，
则y=min(−x2+x+1,−x−2)=−x2+x+1=− ( x− 1) 2 + 5 ，
2 4
∴当x=−1时，y=−x2+x+1取得最大值，此时y=−1；
由上可得，该函数的最大值为−1，
故选：A．
【变式1】二次函数y=−(x−1) 2+5，当m≤x≤n且m<0时，y的最小值为5m，最大值为5n，则
m+n的值为（ ）
A．0 B．−3 C．−1 D．−2
【答案】B
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值
【分析】本题考查二次函数的最值，二次函数的图象与性质，利用数形结合思想是解题的关键．根
据二次函数解析式得到顶点坐标(1,5)，开口向下，对称轴x=1，再结合“当m≤x≤n且m<0时，y
的最小值为5m，最大值为5n，”进行讨论（一定要考虑二次函数的顶点坐标是否在自变量的取值
范围内）求解，即可解题．
【详解】解：y=−(x−1) 2+5，顶点坐标(1,5)，开口向下，对称轴x=1，①当m<0，n≤1时，x=n时，y取最大值，
即−(n−1) 2+5=5n，
解得n=1或n=−4（不合题意，舍去），
x=m时，y取最小值，
即−(m−1) 2+5=5m，
解得m=1（不合题意，舍去）或m=−4，
∴m+n=−3，
②当m<0，n>1时，
y=5n=5，n=1（舍去），
综上所述，m+n=−3，
故选：B．
【变式2】已知二次函数y=ax2+2ax+1(a<0)，当m≤x≤0时，y有最大值1−a和最小值1，则m
的取值范围是 ．
【答案】−2≤m≤−1
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题目中的函数解析式和
二次函数的性质可以求得m的取值范围．
【详解】解：二次函数y=ax2+2ax+1=a(x+1) 2−a+1(a<0)
∴该函数图象开口向上，对称轴是直线x=−1，
当x=−1时，该函数取得最小值1−a
∵当m≤x≤0时，y有最小值1−a和最大值1，
当x=0时，y=1，根据对称性，x=−2时，y=1，
∴−2≤m≤−1，
故答案为：−2≤m≤−1．
【变式3】若二次函数y=−x2+4mx(m为常数)，当自变量 x的值满足−2<x≤1时，与其对应的函
数值y的最大值为5，则m 的值为
3
【答案】
2
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值
1 1
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，分m<−1，−1≤m≤ 和m> 三种情况，结合二次函
2 2数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵y=−x2+4mx=−(x−2m) 2+4m2，
当2m<−2时，即m<−1时，在−2<x≤1中，y随x的增大而减小，
∴当x=2∴当x=−2时，函数y的值最大，
即−4−8m=5，
9
解得m=− ，
8
∵−2<x≤1，
9
故m≠− ；
8
1
当−2≤2m≤1时，即−1≤m≤ ，
2
当x=2m时，y的最大值为4m2，
∴4m2=5，
√5 √5
解得：m= 或m=− ，
2 2
√5 √5
经检验m= 或m=− 不符合题意，舍去，
2 2
1
当2m>1时，即m> ，
2
在−2<x≤1中，y随x的增大而增大，
∴当x=1时，函数y的值最大，
即−1+4m=5，
3
解得m= ，符合题意；
2
3
综上，m的值为 ，
2
3
故答案为： ．
2
考点12：二次函数与一元二次方程
典例12：若a，b(a<b)是关于x的方程(x−m)(x−n)+2022=0(m<n)的两个实数根，则实数a，b，
m，n的大小关系是（ ）
A．a<b<m<n B．m<n<a<b C．a<m<n<b D．m<a<b<n
【答案】D
【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、求抛物线与x轴的交点坐标、图象法确定一
元二次方程的近似根、因式分解法解一元二次方程【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，二次函数与一元二次方程，令抛物线解
析式y =(x−m)(x−n)，得到抛物线与x轴交点的横坐标为m，n，再结合图象得抛物线
1
y =(x−m)(x−n)与y =−2022交点，即交点横坐标为a，b，从而确定出a，b，m，n的大小关系，
1 2
熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
【详解】解：令抛物线解析式y =(x−m)(x−n)，
1
当y =0，(x−m)(x−n)=0，
1
解得：x =m，x =n，
1 2
∴抛物线与x轴交点的横坐标为m，n，
∴抛物线y =(x−m)(x−n)与y =−2022交点，横坐标为a，b，
1 2
∵m<n，a<b，
∴如图，
∴m<a<b<n，
故选：D．
【变式1】抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3−t=0（t
为实数）在−1<x<4的范围内有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（ ）
A．2≤t<11 B．t≥2 C．6<t<11 D．2<t<6
【答案】D
【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点
问题，借助数形结合解题是关键．根据给出的对称轴求出函数解析式为y=x2−2x+3，将一元二次
方程x2+bx+3−t=0的实数根可以看做y=x2−2x+3与函数y=t的有交点，再由−1<x<4的范围
确定y的取值范围即可求解；
【详解】解：∵y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1，∴b=−2，
∴y=x2−2x+3，
∴一元二次方程x2+bx+3−t=0的实数根可以看做y=x2−2x+3与函数y=t的有交点，
∵方程在−1<x<4的范围内有实数根，
当x=−1时，y=6，
当x=4时，y=11，
函数y=x2−2x+3在x=1时有最小值2，
当关于x的一元二次方程x2+bx+3−t=0（t为实数）在−1<x<4的范围内有两个实数根时，
∴2<t<6，
故选：D．
【变式2】二次函数y=x2+x−2024的图象与x轴交于(a,0)，(b,0)两点，则
(a2+2a−2024)(b2+2b−2024)的值是（ ）
A．2025 B．−2025 C．2024 D．−2024
【答案】D
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系、求抛物线与x轴的交
点坐标、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，根据二次函数与x
轴交于(a,0)，(b,0)两点，把点代入得a2+a−2024=0，b2+b−2024=0，结合一元二次方程根
与系数的关系计算得ab=−2024，再将(a2+2a−2024)(b2+2b−2024)变形得
(a2+a−2024+a)(b2+b−2024+b)=ab=−2024，由此即可求解．
【详解】解：二次函数y=x2+x−2024的图象与x轴交于(a,0)，(b,0)两点，
∴y=a2+a−2024=0，y=b2+b−2024=0，
当x2+x−2024=0时，解为x =a，x =b，
1 2
∴ab=−2024，
∴(a2+2a−2024)(b2+2b−2024)
=(a2+a−2024+a)(b2+b−2024+b)
=(0+a)(0+b)，
=ab
=−2024，故选：D ．
【变式3】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)
的解为 ．
【答案】x =−1，x =5
1 2
【知识点】抛物线与x轴的交点问题
【分析】考查了抛物线与x轴的交点的知识，根据二次函数的图象与坐标轴的交点坐标确定一元二
次方程的解即可．
【详解】解：观察函数的图形知：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于(5,0)，对称轴
为x=2，
所以抛物线与x轴的另一交点坐标为(−1,0)，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x =−1，x =5，
1 2
故答案为：x =−1，x =5．
1 2
【变式4】已知二次函数y=ax2−2x−3的图象与x轴有两个公共点，则a的取值范围是 ．
1
【答案】a>− 且a≠0
3
【知识点】抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查了二次函数的定义和抛物线与x轴的交点，要结合判别式进行解答．
根据二次函数y=ax2−2x−3的图象与x轴有两个公共点可知Δ>0且a≠0，据此可知a的取值范围．
【详解】解：∵二次函数y=ax2−2x−3的图象与x轴有两个公共点，
∴ Δ>0且a≠0，
即4−4a(−3)>0，
1
解得a>− 且a≠0，
3
1
故答案为：a>− 且a≠0．
3
【变式5】已知二次函数y=−x2+2(m−1)x+2m−m2的图象关于y轴对称，则由此图象的顶点A和图象与x轴的两个交点B，C构成的△ABC的面积是 ．
【答案】1
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题
【分析】此题主要考查了二次函数的性质及于x轴交点坐标特点，解题关键是各类函数图象的图象
特征需注意在做题过程中加以理解应用．由于二次函数y=−x2+2(m−1)x+2m−m2的图象关于y
轴对称，由此得到m=1，解方程即可求出m，然后利用顶点公式和x轴的两个交点坐标特点即可求
出A、B、C的坐标，接着根据坐标求出面积．
【详解】解：∵二次函数y=−x2+2(m−1)x+2m−m2的图象关于y轴对称，
2(m−1)
∴对称轴为：x=− =0，
2×(−1)
∴m=1，
∴y=−x2+1，
∴顶点A坐标为(0,1)，
令y=0，得−x2+1=0，解得x =−1,x =1，
1 2
∴y=−x2+1与x轴的两个交点B、C坐标为(1,0),(−1,0)，
1
∴△ABC的面积为 ×2×1=1．
2
故答案为：1．
考点13：二次函数与不等式
典例13：直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(2,0)，B(4,2)，则不等式
x2+bx+c>x+m的解集为（ ）
A．0<x<2 B．x<2 C．0<x<4 D．x<2或x>4
【答案】D
【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、一次函数、二次函数图象综合判断、
根据交点确定不等式的解集
【分析】本题主要考查一次函数与二次函数交点解不等式，掌握一次函数、二次函数图象和性质是
解题的关键．
根据题意作图，图形结合分析即可求解．
【详解】解：如图，∴根据图象可知，不等式x2+bx+c>x+m的解集为x<2或x>4；
故选：D．
【变式1】若点(m,n)在抛物线y=ax2(a>0)上，其中m>0，则不等式a(x−2) 2>n的解为（ ）
A．x<−m+2或x>m+2 B．−m+2<x<m+2
C．x<−m−2或x>m−2 D．−m−2<x<m−2
【答案】A
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围
【分析】本题考查了二次函数的性质，以及解不等式，先由点(m,n)在抛物线y=ax2(a>0)上得
n=am2，再将其代入不等式a(x−2) 2>n，再根据a>0，m>0得出解集即可．
【详解】解：∵点(m,n)在抛物线y=ax2(a>0)上，
∴n=am2，
∵a(x−2) 2>n，
∴a(x−2) 2>am2，
∵a>0，
∴(x−2) 2>m2，
又∵m>0，
∴x−2<−m或x−2>m，
∴x<−m+2或x>m+2，
故选：A．
【变式2】如图抛物线 与直线 交于点 ， ，则关于 的不等式
y =ax2+c y =kx+b A(−4,p) B(2,q) x
1 2ax2+c+kx−b<0的解集是 ．
【答案】x<−2或x>4/x>4或x<−2
【知识点】图象法解一元二次不等式
【分析】本题考查利用图象解不等式，抛物线的性质，利用数形结合的思想是解题关键．根据题意
可得出ax2+c<−kx+b，设y =−kx+b，即求抛物线位于一次函数y =−kx+b的图象下方时，x
3 3
的取值范围即可．根据抛物线的对称性，结合题意可得出抛物线y =ax2+c与直线y =−kx+b交于
1 3
点(4,p)，(−2,q)，进而即可解答．
【详解】解：∵ax2+c+kx−b<0，
∴ax2+c<−kx+b．
设y =−kx+b，
3
∵抛物线y =ax2+c与直线y =kx+b交于点A(−4,p)，B(2,q)，直线y =−kx+b与直线
1 2 3
y =kx+b关于y轴对称，抛物线y =ax2+c关于y轴对称，
2 1
∴抛物线y =ax2+c与直线y =−kx+b交于点(4,p)，(−2,q)，
1 3
∴当x<−2或x>4时，抛物线位于直线y =−kx+b的下方，即此时ax2+c<−kx+b，
3
∴不等式ax2+c+kx−b<0的解集是x<−2或x>4．
故答案为：x<−2或x>4．
【变式3】如图，抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(−3,y )、B(1,y )两点，则关于x的不
1 2
等式ax2+c≥−kx+m的解集是 ．【答案】−1≤x≤3
【知识点】根据交点确定不等式的解集
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，解决本题的关键是利用了数形结合的思想，首先根
据y=kx+m与y=−kx+m的图象关于y轴对称，所以点A'、B'与点A、B关于y轴对称，根据点A、
B的坐标得到点A'、B'的坐标，再根据函数图像的位置关系得到不等式的解集．
【详解】
解：∵y=kx+m与y=−kx+m的图象关于y轴对称，
∴直线y=−kx+m与抛物线y=ax2+c的交点A'、B'与点A、B也关于y轴对称，
如下图所示：
∵A(−3,y )，B(1,y )，
1 2
∴A' (3,y )，B' (−1,y )，
1 2
从函数图象上可得：不等式ax2+c≥−kx+m的解集是−1≤x≤3，
故答案为：−1≤x≤3．
考点14：二次函数的实际应用
典例14：在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用26m长
的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设BC=xm．
(1)若矩形花园ABCD的面积为168m2，求x的值；
(2)若在P处有一棵树，树中心P与墙CD、AD的距离分别是13m和6m，要将这棵树围在花园内
（考虑到树以后的生长，篱笆围矩形ABCD时，需将以P为圆心，1.5为半径的圆形区域围在内），
求矩形花园ABCD的面积S的最大值．
【答案】(1)12m或14m(2)166.75平方米
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】（1）直接利用矩形面积求法结合一元二次方程的解法得出答案；
（2）首先得出S与x之间的关系，进而利用二次函数增减性得出答案．
此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法，正确结合二次函数增减性求出最值是解
题关键．
【详解】（1）解：∵BC=xm，则AB=(26−x)m，
∴x(26−x)=168，
整理，得x2−26x+168=0，
解得：x =12，x =14，
1 2
答：x的值为12m或14m．
（2）解：由题意可得出：
S=x(26−x)=−x2+26x=−(x−13) 2+169，
∵树中心P与墙CD、AD的距离分别是13m和6m，
考虑到树的生长，篱笆围矩形ABCD时，需将以P为圆心，1.5为半径的圆形区域围在内，
∴x最小时，x=13+1.5=14.5，圆周距离AD为6−1.5=4.5m，
∴x最大时，x=13+6=19，
∴14.5≤x≤19，
∵a=−1<0，在对称轴的右边S随x的增大而减小，
∴当x=14.5时，S取到最大值为：S=−(14.5−13)+169=166.75，
答：花园面积S的最大值为166.75平方米．
【变式1】如图①，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地面竖直高度OH为1.5m．
如图②，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿
化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度EF=0.5m．内边缘抛物线y 是由
2
外边缘抛物线y 向左平移得到，外边缘抛物线y 的最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口
1 1
0.5m．
(1)求外边缘抛物线y 的函数表达式；
1
(2)求内边缘抛物线y 与x轴的正半轴交点B的坐标；
2(3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求OD的取值范围．
1
【答案】(1)y =− (x−2) 2+2
1 8
(2)点B的坐标为(2,0)
(3)OD的取值范围是2≤OD≤2√3−1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、喷水问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查了二次函数是实际应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及数形结
合的思想是解题的关键．
（1）根据题意可得A(2,2)是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点(0,1.5)，用顶点式即可求解函数解析
式；
（2）根据y 对称轴为直线x=2可得点(0,1.5)的对称点为(4,1.5)，则y 是由y 向左平移4m得到的，
1 2 1
即可求出点B的坐标；
（3）如图：当EF=0.5时，可得点F的纵坐标为0.5；令则y =0.5结合x>0可得x=2+2√3；由当
1
x>2时，则y 随x的增大而减小，然后分2≤x≤6、0≤x≤2、0≤x≤6三种情况确定x的取值范围，
1
进而确定OD的最大值和最小值即可解答．
【详解】（1）解：由题意得A(2,2)是外边缘抛物线的顶点，
设y =a(x−2) 2+2(a≠0)．
1
又∵ 抛物线过点(0,1.5)，
∴1.5=4a+2，
1
∴a=− ，
8
1
∴ 外边缘抛物线的函数表达式为y =− (x−2) 2+2．
1 8
（2）解：∵y 的对称轴为直线x=2，
1
∴ 点(0,1.5)的对称点为(4,1.5)，
∴y 是由y 向左平移4m得到的，
2 1
∴BC=4．
1
令y =0，即− (x−2) 2+2=0，解得x=6或x=−2（舍去），
1 8
∴点C的坐标为(6,0)，
∴点B的坐标为(2,0)．
（3）解：∵EF=0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，1
令y =0.5，即0.5=− (x−2) 2+2，解得：x=2±2√3．
1 8
∵x>0，
∴x=2+2√3．
当x>2时，y 随x的增大而减小，
1
∴ 当2≤x≤6时，要使y ≥0.5，则x≤2+2√3．
1
当0≤x≤2时，y 随x的增大而增大，且x=0时，y =1.5>0.5，
1 1
当0≤x≤6时，要使y ≥0.5，则0≤x≤2+2√3．
1
∵DE=3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴OD的最大值为2+2√3−3=2√3−1．
∵ 喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OD≥OB，
∴OD的最小值为2．
综上所述，OD的取值范围是2≤OD≤2√3−1．
根据以下素材，探索完成任务．
【变式2】
如何设计滑雪爱好者滑雪轨迹问题？
图1是某跳台滑雪场地的截面示
意图．平台AB长为1米，平台
AB距地面18米．以地面所在直
线为x轴，过点B垂直于地面的
素
直线为y轴，取1米为单位长度，
材
1 建立如图2的平面直角坐标系．
已知滑道对应的函数为
1
y= x2−4x+c．
5
运动员（看成点）在BA方向获
得速度v米/秒后，从A处向右下
素 飞向滑道，点M是下落过程中的
材 某位置（忽略空气阻力）．设运
2 动员飞出时间为t秒，运动员与
点A的竖直距离为h米，运动员
与点A的水平距离为l米．
素
材 实验表明：h=6t2，l=vt．
3
滑雪场规定：滑雪爱好者在飞行
素
的过程中，若5≤x≤7时，飞行
材
4 的高度与跳台滑道的垂直距离在
8~10米的范围内即可获得奖励．
问题解决
任
务 确定滑道形状 根据图2，求滑道抛物线的解析式；
1
任
根据图3，当v=5，t=1时，判断此时滑雪爱好者是否在滑
务 确定滑雪爱好者与滑道位置关系
道上？
2
滑雪爱好者从A处飞出，飞出的路径近似看成函数
任
1 2
务 确定滑雪爱好者的滑雪方案 y=− x2+ x+t，若该滑雪爱好者能够获得奖励，求整
5 5
3
数t的值．
1 109
【答案】任务1：y= x2−4x+ ；任务2：运动员此时没有落在滑道上；任务3：18或19
5 5
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值、其他问题(实际问
题与二次函数)
【分析】本题考查利用二次函数解决实际问题，
1
（1）把A(1,18)代入y= x2−4x+c，即可得到结论；
5
1 109
（2）把v=5，t=1代入h=6t2，l=vt，求得M(6,12)，再把x=6代入y= x2−4x+ 即可得到
5 5
结论；
（3）根据题意列方程求解即可；
解题的关键是要建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
1
【详解】解：任务1：由题意，点A的坐标为(1,18)，且点A在滑道所在的抛物线y= x2−4x+c上，
5
1
∴18= ×12−4×1+c，
5
109
解得：c= ，
5
1 109
∴滑道抛物线的解析式为y= x2−4x+ ；
5 5
任务2：当v=5，t=1时，
h=6t2=6×12=6，l=vt=5×1=5，
∴OB−h=18−6=12，l+1=5+1=6，
∴M(6,12)，1 109
当x=6时，y= ×62−4×6+ =5，
5 5
由于12>5，
∴运动员此时没有落在滑道上；
任务3：设飞行的高度与跳台滑道的垂直距离为y′，
依题意，得：y′= ( − 1 x2+ 2 x+t ) − (1 x2−4x+ 109) =− 2( x− 11) 2 +t− 97 ，
5 5 5 5 5 2 10
∵飞行的高度与跳台滑道的垂直距离在8∼10米的范围内即可获得奖励，
97
∴8<t− <10，
10
∴17.7<t<19.7，
当t=18或19时，该滑雪爱好者能够获得奖励．
【变式3】利用素材解决∶《桥梁的设计》
某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽AB=L，称跨度，桥面最高点到AB的距离
CD=h称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度L=32米，
问 拱高h=8米．
题
驱
动
设
计
方案一 方案二
方
案
设
计
圆弧型 抛物线型
类
型
图
形
（1）尺规作图∶已知A´B，通过尺规作图作
任
A´B所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写 （3）以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分
线为y轴建立平面直角坐标系，求此桥拱的函
务 作法）
数表达式．
（2）A´B所在圆的半径的值是_____米．
1
【答案】（1）图见解析；（2）20；（3）y=− x2+8
32【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、利用垂径定
理求值
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，勾股定理的应用，掌握建模的数学思想是解
题关键．
（1）连接AC，作AC,AB的中垂线，交点即为圆心O；
（2）连接OB，设半径为r，利用垂径定理，勾股定理进行求解即可；
（3）设出解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可．
【详解】解：（1）如图，点O即为所求；
1
（2）连接OB，由题意，得：CD=8米，AB=32米，则：BD= AB=16米，
2
设圆的半径为r米，则：OB=OC=r米，OD=(r−8)米，
在Rt△OBD中，(r−8) 2+162=r2，
∴r=20（米）
故答案为：20；
1
（3）由题意，抛物线的顶点C坐标为(0,8)，OB= AB=16,
2
∴设桥拱的函数解析式为y=ax2+8，B(16,0)，
1
把B(16,0)代入得，a=− ．
32
1
∴函数解析式为y=− x2+8．
32
【变式4】某公司购进一种商品进行销售，经过市场调研，整理出这种商品在第x(1≤x<30)天的售
价与日销售量的相关信息如下表所示，且得到在第x(30≤x≤48)天的日销售利润y（元）与x的关系
为y=−80x+4800．已知这种商品的进价为20元/千克．
时间x/天 1≤x<30
售价/（元/千克） x+30
日销售量/千克 −2x+120(1)求1≤x<30时，日销售利润y与x的函数关系式；
(2)在1≤x≤48时，第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
(3)公司在销售的前28天中，每销售1千克这种商品就捐赠n元(n<9)给“希望工程”，若每天扣除
捐赠后的日销售利润随时间x(1≤x≤28)的增大而增大，直接写出n的整数值．
【答案】(1)y=−2x2+100x+1200
(2)第25天的销售利润最大，为2450元
(3)6或7或8
【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的实际应用．
（1）利用“利润=每千克的利润×销售量”列出函数关系式；
（2）可配方求出1≤x<30的函数最大值和30≤x≤48的函数最大值，比较得出结果；
（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为：w元，求出函数关系式，进而求得结果．
【详解】（1）解：当1≤x<30时，y=(x+30−20)(−2x+120)=−2x2+100x+1200；
（2）解：当1≤x<30时，y=−2(x−25) 2+2450，
∴当x=25时，y =2450，
max
当30≤x≤48时，
∵k=−80<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=30时，y =−80×30+4800=2400，
max
∴第25天的销售利润最大，为2450元；
（3）解：设每天扣除捐赠后的日销售利润为w元，
则w=−2x2+100x+1200−(−2x+120)⋅n=−2x2+(100+2n)x+(1200−120n)，对称轴为直线
50+n
x= ，
2
∵w随x的增大而增大，
50+n
∴ ≥28，
2
解得n≥6，
∴6≤n<9，
∴n的整数值为6或7或8．
【变式5】图1展示的发石车是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形ABCD，墙宽
BC为2米，点B与点O的水平距离为23米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，
建立平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线
y=a(x−15) 2+k的一部分．
(1)若发射石块在空中飞行的最大高度为9米．
①求抛物线的解析式（不用写出x的取值范围）；
②石块能否飞越防御墙．
(2)若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（不包括端点B，C），直接写出a的取值范围．
1
【答案】(1)①y=− (x−15) 2+9；②不能
25
6 6
(2)− <a<−
125 161
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的实际应用；
（1）①根据题意，设石块运行的函数关系式为y=a(x−15) 2+9，将(0,0)代入解析式，待定系数
1
求得a=− ；
25
1 1
②将x=23代入y=− (x−15) 2+9，得出y>6，将x=25代入，y=− (x−15) 2+9得出y<6，
25 25
即可求解．
（2）根据抛物线过原点，可得y=a(x−15) 2−225a，将(23,6),(25,6)分别代入
y=a(x−15) 2−225a求得a的值，进而结合题意，即可求解．
【详解】（1）解：①设石块运行的函数关系式为y=a(x−15) 2+9，1
将(0,0)代入，得225a+9=0，解得a=− ．
25
1
所以抛物线的解析式为y=− (x−15) 2+9．
25
②石块不能飞跃防御墙．
1 11
理由如下：将x=23代入，y=− (23−15) 2+9=6 >6；
25 25
1
将x=25代入，y=− (25−15) 2+9=5<6．所以石块不能飞跃防御墙．
25
（2）解：∵y=a(x−15) 2+k过点(0,0)
∴a(0−15) 2+k=0
∴k=−225a
∴y=a(x−15) 2−225a
依题意B(23,6),C(25,6)分别代入y=a(x−15) 2−225a，
即6=a(23−15) 2−225a或6=a(25−15) 2−225a
6 6
解得： a=− 或a=−
161 125
6 6
∴− <a<− ．
125 161
考点15：二次函数综合
典例15：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2过点(−1,2)，且交x轴于点A，B(1,0)
两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AC于点D，过点P作y轴的平行线交直线
AC于点E，求PE+DE的最大值及此时点P的坐标．
【答案】(1)y=−x2−x+2√2
(2)1+ ，P(−1,2)
2
【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、线段
周长问题(二次函数综合)
【分析】（1）将(−1,2)，B(1,0)两点坐标代入抛物线解析式，可得¿，解方程组即可求出a，b的值，
进而得到抛物线的表达式；
（2）由（1）可得，抛物线的表达式为：y=−x2−x+2，先求抛物线与x轴的交点坐标，即令y=0，
则−x2−x+2=0，解方程即可求得点A坐标，然后再求抛物线与y轴的交点坐标，令x=0求y的值，
即可求得点C坐标，求出直线AC的表达式，由△AOC中的几何关系可求得∠ACO=∠CAO=45°，
√2
由△PED中的几何关系可求得ED= PE，设点P的坐标为(x,−x2−x+2)，则点E(x,x+2)，于
2
是可得PE=−x2−2x，进而可得PE+DE=− ( 1+ √2) (x+1) 2+ ( 1+ √2) ，然后根据二次函数的图
2 2
象与系数的关系及y=a(x−h) 2+k的图象与性质，即可得出PE+DE的最大值及此时点P的坐标．
【详解】（1）解：将(−1,2)，B(1,0)两点坐标代入抛物线解析式，可得：
¿，
解得：¿，
∴抛物线的表达式为：y=−x2−x+2；
（2）解：由（1）可得，抛物线的表达式为：y=−x2−x+2，
令y=0，则−x2−x+2=0，
解得：x =−2，x =1，
1 2
∴A(−2,0)，
当x=0时，y=−02−0+2=2，
∴C(0,2)
设直线AC的表达式为y=kx+b(k≠0)，
将A(−2,0)，C(0,2)代入y=kx+b(k≠0)，得：
¿，
解得：¿，
∴直线AC的表达式为：y=x+2，
∴OA=0−(−2)=0+2=2，OC=2−0=2，
∴OA=OC，1 1
∴∠ACO=∠CAO= (180°−∠AOC)= ×(180°−90°)=45°，
2 2
∵PE∥y轴，
∴∠PED=∠ACO=45°，
∴△PED是等腰直角三角形，
√2
∴ED= PE，
2
设点P的坐标为：(x,−x2−x+2)，则点E(x,x+2)，
∴PE=(−x2−x+2)−(x+2)=−x2−2x，
∴PE+DE= ( 1+ √2) PE= ( 1+ √2) (−x2−2x)=− ( 1+ √2) (x+1) 2+ ( 1+ √2) ，
2 2 2 2
( √2)
∵− 1+ <0，故PE+DE有最大值，
2
√2
∴当x=−1时，PE+DE的最大值为：1+ ，此时点P(−1,2)．
2
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解二元一次方程组，求抛物线与x轴的交
点坐标，因式分解法解一元二次方程，求抛物线与y轴的交点坐标，待定系数法求一次函数解析式，
已知两点坐标求两点距离，等边对等角，三角形的内角和定理，两直线平行内错角相等，等角对等
边，勾股定理，整式的加减运算，去括号，合并同类项，将y=ax2+bx+c化成顶点式，二次函数
的图象与系数的关系，y=a(x−h) 2+k的图象与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合
运用是解题的关键．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+3与x轴交于点A(−3,0)，与y轴交于点B，抛
物线y=ax2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C(1,0)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当−2≤x≤1时，求y的最大值与最小值的差；(3)D为直线AB上方抛物线上一动点，连接DA，DB，DC，BC，设△DAB的面积为S ，△DBC
1
的面积为S ，求S +S 的最大值，并求出点D的坐标．
2 1 2
【答案】(1)抛物线的表达式为y=−x2−2x+3
(2)y的最大值与最小值的差为4
25 ( 5 7)
(3)S +S 的最大值为 ，点D的坐标为 − ,
1 2 4 2 4
【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问
题(二次函数综合)
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求一次函数解析式等知识点，
（1）由待定系数法即可求解；
（2）当x=−1时，y取得最大值为4，当x=1时，y取得最小值为0，即可求解；
（3）由S +S =S −(S +S −S )=2S +S –S ，即可求解；
1 2 △DAB △ADB △ABC △ADC △ABD △ABC △ADC
熟练掌握二次函数的图象和性质是解决此题的关键．
【详解】（1）解：∵直线y=kx+3与x轴交于点A(−3,0)，
∴k=1，
∴y=x+3，
∴令x=0得，y=3，
∴B(0,3)，
∵抛物线y=ax2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C(1,0)，
¿，解得:¿，
∴抛物线的表达式为：y=−x2−2x+3；
（2）解：∵y=−x2−2x+3=−(x+1) 2+4，
∴其对称轴为直线x=−1，
∴当−2≤x≤1时，当x=−1时，y取得最大值为4，当x=1时，y取得最小值为0，
∴y的最大值与最小值的差为4−0=4；
（3）解：由（1）知，直线AB的表达式为：y=x+3，
如图，过点D作DE∥y轴交AB于点E，设点D(m,−m2−2m+3)，则点E(m,m+3)，
∴S +S =S +(S +S −S )
1 2 △DAB △ADB △ABC △ADC
=2S +S –S
△ABD △ABC △ADC
1 1
=DE×OA+ ×AC×OB− ×AC×y
2 2 D
1 1
=(−m2−2m+3−m−3)×3+ ×4×3− ×4×(−m2−2m+3)
2 2
25 25
=−(m+2.5) 2+ ≤ ，
4 4
25 ( 5 7)
∴S +S 的最大值为 ，此时m=−2.5，点D − , ．
1 2 4 2 4
3
【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y= x2+bx+c与x轴交于点A(−2,0)和点
8
B，与y轴交于点C(0,−3)，经过点A的射线AM与y轴相交于点E，与抛物线的另一个交点为F，
AE 1
且 = ．
EF 3
(1)求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴；
(2)求F点的坐标；
(3)点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，点P是y轴上一点，且∠AFP=∠DAB，求点P的坐标．
3 3
【答案】(1)y= x2− x−3，对称轴x=1
8 4(2)F(6,6)
102
(3)(0,6)或(0,− )．
7
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、由平行判断成比例的线段、解直角三角形的相关计算、角度
问题(二次函数综合)
【分析】（1）把C(0,−3)和点A的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而可得到抛物线
的解析式，然后，依据抛物线的对称轴公式可得到抛物线的对称轴；
（2）过点F作FM⊥x轴，垂足为M．设E(0,t)，则OE=t，则F(6,4t)，将点F的坐标代入抛物
线的解析式可求得t的值，进行求解即可；
4
（3）先求得cot∠DAB= ，则∠FAB=∠DAB．当点P在AF的上方时可证明PF∥AB，从而可
3
求得点P的坐标；当点P在AF的下方时，设FP与x轴交点为G(m,0)，则∠PFA=∠FAB，可得到
FG=AG，从而可求得m的值，然后再求得PF的解析式，从而可得到点P的坐标．
【详解】（1）解：把C(0,−3)代入得：c=−3，
3
∴抛物线的解析式为y= x2+bx−3．
8
3 3
将A(−2,0)代入得： ×(−2) 2−2b−3=0，解得b=− ，
8 4
3 3
∴抛物线的解析式为y= x2− x−3．
8 4
b
∴抛物线的对称轴为x=− =1．
2a
（2）解：过点F作FN⊥x轴，垂足为N．
设E(0,t)，则OE=t．
AE 1
∵ = ，
EF 3
AO OE 1
∴ = = ．
AN FN 4
∴F(6,4t)．3 3 3 3 3
将点F(6,4t)代入y= x2− x−3得： ×62− ×6−3=0，解得t= ．
8 4 8 4 2
∴F(6,6)．
（3）解：∵抛物线的对称轴为x=1，C(0,−3)，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，
∴D(2,−3)．
4
∴cot∠DAB= ，
3
∴∠FAB=∠DAB．
如图所示：
当点P在AF的上方时，∠PFA=∠DAB=∠FAB，
∴PF∥AB，
∴y = y =6．
p F
3
由（1）可知：F(6,4t)，t= ．
2
∴F(6,6)．
∴点P的坐标为(0,6)．
当点P在AF的下方时，如图所示：设FP与x轴交点为G(m,0)，则∠PFA=∠FAB，可得到FG=AG，
17
∴(6−m) 2+62=(m+2) 2，解得：m= ，
4
17
∴G( ，0)．
4
设PF的解析式为y=kx+b，将点F和点G的坐标代入得：
¿，
24 102
解得：k= ，b=− ．
7 7
102
∴P(0,− )．
7
102
综上所述，点P的坐标为(0,6)或P(0,− )．
7
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二
次函数的解析式、锐角三角函数的定义，平行线分线段成比例定理，平行线的性质，两点间的距离
公式，正确进行分类讨论是解答本题的关键．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点
C(0,3)，点A在原点的左侧，点B的坐标为(3,0)，点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求PD的最大值；
(3)若点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点N，使△MON为等
腰直角三角形，且∠NMO=90∘？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
9
(2)
4
(1+√21 √21−3) (3+√13 1−√13)
(3)点N的坐标为 , 或 ,
2 2 2 2
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、特殊三角形问题(二次函数综合)
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，还考查了线段的最值，要注意分类讨论；还要注意求最
大值可以借助于二次函数．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）求出直线BC的函数表达式为y=−x+3，设P(m,−m2+2m+3)，求出D(m,−m+3)，得到
PD=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）分点M位于x轴上方和点M位于x轴下方两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意，把B(3,0)，C(0,3)代入抛物线y=−x2+bx+c，
得¿
解得¿
∴该抛物线的函数表达式为y=−x2+2x+3．
（2）解：设直线BC的函数表达式为y=kx+t．
把B(3,0)，C(0,3)代入，得¿
解得¿
∴直线BC的函数表达式为y=−x+3．
设P(m,−m2+2m+3)．∵PD∥y轴，
∴D(m,−m+3)，
∴PD=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m=− ( m− 3) 2 + 9 ．
2 4
∵−1<0，
3 9
∴当m= 时，PD有最大值 ．
2 4
（3）解：①当点M位于x轴上方时．
如图1，过点N作NG垂直对称轴于点G，设抛物线的对称轴交x轴于点F，
则∠MFO=∠NGM=90∘．
∵△MON为等腰直角三角形，且∠NMO=90∘，
∴NM=MO，∠NMG+∠OMF=90∘．
∵∠NMG+∠MNG=90∘，
∴∠MNG=∠OMF．
在△MGN和△OFM中，
¿
∴△MGN≅△OFM(AAS)，
∴OF=GM，MF=NG．
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴OF=GM=1．
设点M的坐标为(1,a)，此时a>0，则NG=MF=a，
∴N(1+a,a−1)．
∵点N在抛物线上，
∴a−1=−(1+a) 2+2(a+1)+3，
−1+√21 −1−√21
解得a = ，a = （舍去），
1 2 2 2(1+√21 √21−3)
∴点N的坐标为 , ；
2 2
②当点M位于x轴下方时．
如图2，设点M的坐标为(1,a)，此时a<0，
同理得N(−a+1,a+1)，则有a+1=−(−a+1) 2+2(−a+1)+3，
−1−√13 −1+√13
解得a = ，a = （舍去），
1 2 2 2
(3+√13 1−√13)
∴点N的坐标为 , ．
2 2
(1+√21 √21−3) (3+√13 1−√13)
综上，点N的坐标为 , 或 , ．
2 2 2 2
4
【变式4】如图，已知直线y= x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过
3
A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x=−1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求三角形ACD面积S的最大值及此时D
点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为
对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标．
4 8
【答案】(1)y=− x2+ x+4
3 3
9 ( 3 )
(2)S = ，D − ,5
△ADC最大 2 2
( 13) ( 19)
(3)存在，P −1, ，Q −2,
8 8
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质：
4
（1）令x=0，y=0时，分别代入y= x+4，求得点A，B，C的坐标，设抛物线的表达式为
3
y=a(x−1)(x+3)，将C(0,4)代入，即可求得答案；
4
（2）作DF⊥AB于点F，交AC于E，可得DE=− m2−4m，可得
3
1
S = DE·OA=−2m2−6m，根据二次函数的图像和性质，即可求得答案；
△ADC 2
（3）设P(−1,n)，可得PA2=(−1+3) 2+n2，PC2=(−1) 2+(n−4) 2，根据PA2=PC2，可求得n，
结合x +x =x +x ， y + y = y + y 即可就得答案．
P Q A C P Q A C
4
【详解】（1）解：令x=0时，代入y= x+4，
3
∴ y=4．
∴C(0,4)．
4
令y=0时，代入y= x+4，
3
∴x=−3 ．
∴A(−3,0) ．
∵对称轴为直线x=−1，
∴B(1,0)．
设抛物线的表达式：y=a(x−1)(x+3)，将C(0,4)代入，得
−1×3×a=4．
4
∴a=− ．
3
4 4 8
∴抛物线的表达式为：y=− (x−1)(x+3)=− x2− x+4．
3 3 3
（2）如图所示，
作DF⊥AB于点F，交AC于E．∴D ( m,− 4 m2− 8 m+4 ) ，E ( m, 4 m+4 ) ．
3 3 3
4
∴DE=− m2−4m．
3
1
∴S = DE·OA=−2m2−6m．
△ADC 2
b 3 9
∴当m=− =− 时，S = ．
2a 2 △ADC最大 2
( 3 )
∴D − ,5 ．
2
（3）存在，理由如下：
设P(−1,n)．
∵A(−3,0)，C(0,4)，
∴PA2=(−1+3) 2+n2，PC2=(−1) 2+(n−4) 2．
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA=PC，即PA2=PC2．
∴(−1+3) 2+n2=1+(n−4) 2．
13
∴n= ．
8
( 13)
∴P −1, ．
8
∵x +x =x +x ， y + y = y + y ，
P Q A C P Q A C
19
∴x =−2，y = ．
Q Q 8( 19)
∴Q −2, ．
8
【变式5】已知，关于x的二次函数y=ax2+2ax−3a(a>0)的图象与x轴交于A、B两点（点A在
点B的左侧），与y轴交于点C，图象顶点为D，连接AC、BC、CD．
(1)请直接写出点A、B、C、D的坐标（用数字或含a的式子表示）：
A ；B ；C ；D ；
(2)作出点C关于对称轴的对称点E，连接AE、CE、DE，若△ACE和△DCE相似，求a的值；
(3)若∠ACB≥90°，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)(−3,0),(1,0),(0,−3a),(−1,−4a)
√3
(2)见解析，
3
√3
(3)0<a≤
3
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、用勾股定理解三角形、圆周角定理、相似三角形问题(二次函
数综合)
【分析】（1）把x=0、y=0分别代入函数解析式可求出A、B、C坐标，再求出抛物线的对称轴即
可求出D的坐标；
（2）根据对称性可得E(−2,−3a)，DC=DE，再根据△ACE和△DCE相似得AE=CE，即可得
√[−3−(−2)] 2+[0−(−3a)] 2=2，解方程即可求解；
（3）设抛物线的对称轴x=−1与x轴的交点为点F，以点F为圆心，2为半径画圆，连接FC，可知
当点C在⊙F上或⊙F内时，∠ACB≥90°，得FC≤2，即得√12+(3a) 2≤2，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：把x=0代入y=ax2+2ax−3a得，y=−3a，
∴C(0,−3a)，把y=0代入y=ax2+2ax−3a得，ax2+2ax−3a=0，
∵a>0，
∴x2+2x−3=0，
解得x =−3，x =1，
1 2
∴A(−3,0)，B(1,0)，
−3+1
∴抛物线的对称轴为直线x= =−1，
2
把x=−1代入y=ax2+2ax−3a得，y=a−2a−3a=−4a，
∴顶点为D(−1,−4a)，
故答案为：(−3,0)；(1,0)；(0,−3a)；(−1,−4a)；
（2）解：如图1，∵点C、E关于对称轴x=−1对称，C(0,−3a)，点D在对称轴上，
∴E(−2,−3a) DC=DE
， ，
∴CE=2，
∵△ACE和△DCE相似，
∴AE=CE，
∴ √[−3−(−2)] 2+[0−(−3a)] 2=2，
整理得，3a2=1，
√3 √3
解得a= 或a=− （不合，舍去），
3 3
√3
∴ a= ；
3
（3）解：设抛物线的对称轴x=−1与x轴的交点为点F，以点F为圆心，2为半径画圆，连接FC，
如图2，当点C在⊙F上或⊙F内时，∠ACB≥90°，
∴FC≤2，
即√12+(3a) 2≤2，
√3 √3
解得− ≤a≤ ，
3 3
又∵a>0，
√3
∴ 0<a≤ ．
3
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，顶点坐标，相似三角形的性质，圆周角定理，
勾股定理，根据题意，正确画出图形和作出辅助线是解题的关键．
