文档内容
专题 04 二次函数及其应用
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y= ax 2 +bx+c （a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b 是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c
（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，
自变量的取值范围还需使实际问题有意义。
（二）二次函数的图像性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象
(a＞0) (a＜0)
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 直线x＝－ 直线x＝－
顶点坐标当x＜－时，y随x的增大而减
当x＜－时，y随x的增大而增大；
增减性 小；当x＞－时，y随x的增大而
当x＞－时，y随x的增大而减小
增大
最值 当x＝－时，y有最小值 当x＝－时，y有最大值
（三）二次函数图像与系数的关系
决定抛物线的 某些特殊形式代数式的
当a＞0时，抛物线开口向上；
a 开口方向及开 符号：
当a＜0时，抛物线开口向下.
口大小 a±b+c即为x=±1时，
y
当a，b同号，-＜0，对称轴在y
的值；②4a±2b+c即
轴左边；
决定对称轴
为x=±2时，y的值.
当b＝0时，-=0，对称轴为y
a、b （x=-）的位
2a+b的符号，需判
轴；
置
对称轴-与1的大小.若
当a，b异号，-＞0，对称轴在y
对称轴在直线x=1的左
轴右边．
边，则-＞1，再根据a
当c＞0时，抛物线与y轴的交
的符号即可得出结
决定抛物线与 点在正半轴上；
果.④2a-b的符号，需
c y轴的交点的 当c＝0时，抛物线经过原点；
判断对称轴与-1的大
位置 当c＜0时，抛物线与y轴的交
小.
点在负半轴上.
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有
2 个交点;
决定抛物线与
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有
b2－4ac x轴的交点个
1 个交点;
数
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没
有交点
（四）二次函数图像的平移
（1）平移步骤：
①将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；（也可再一般式上进行
平移）
②保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax2 y=ax2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位 平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”．（左右对x，上下对y）
（五）二次函数与方程不等式的关系
（1）平移步骤：
①将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；（也可再一般式上进行
平移）
②保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax2 y=ax2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位 平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”．（左右对x，上下对y）
（六）二次函数的对称性
b 4ac−b2
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是(− , )
2a 4a
b
①抛物线是关于对称轴x=- 成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数
2a
关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x，0），（x，0），则其对称轴
1 2
x +x
为x= 1 2
2
（七）二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
b 4ac−b2
因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=- 时，y= ，
2a 4a
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，
b 4ac−b2
因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=- 时，y= ，
2a 4a（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物
线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些
函数值，从而获得最值．
（八）二次函数的解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式
①一般式：y＝ a x 2 ＋ b x ＋ c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，
b，c的值．
②交点式：y＝ a( x － x )( x － x)(a≠0)．
1 2
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，将第三
1 2
点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．
③顶点式：y＝ a( x － h ) 2 ＋ k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋
k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．
（九）二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定
出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此
在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的
最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据
落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题
或其他问题．
模块三 考点一遍过
考点1：二次函数定义
典例1：下列函数中，y是x的二次函数是（ ）
1
A．y= B．y=ax2+bx+c
x2
C．y=x(x−2)−1 D．y=x2−x(x+1)
【答案】C
【知识点】二次函数的识别
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键．
1
【详解】解：A、y= 不是二次函数，故不符合题意；
x2
B、当a=0时，y=ax2+bx+c不是二次函数，故不符合题意；
C、y=x(x−2)−1=x2−2x−1，是二次函数，故符合题意；
D、y=x2−x(x+1)=x2−x2−x=−x不是二次函数，故不符合题意；
故选：C．
【变式1】若函数y=(n+3)x2−2nx+1是二次函数，则（ ）
A．n≥−3 B．n≠3 C．n≠−3 D．n=−3
【答案】C
【知识点】根据二次函数的定义求参数
【分析】本题考查二次函数的定义，根据函数y=(n+3)x2−2nx+1是二次函数得到n+3≠0求解即
可得到答案
【详解】解：∵函数y=(n+3)x2−2nx+1是二次函数，
∴n+3≠0，
解得：n≠−3，
故选：C．
【变式2】若函数y=(m−3)xm2−9m+20+mx−6是二次函数，则m的值是
．
【答案】6
【知识点】根据二次函数的定义求参数、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了二次函数的定义、一元二次方程的解法．首先根据二次函数的定义可得：
m2−9m+20=2、m−3≠0，首先解方程可以得到m=6或3，再根据m−3≠0，可得m=6．
【详解】解：∵函数y=(m−3)xm2−9m+20+mx−6是二次函数，
∴¿，
解一元二次方程m2−9m+20=2，
整理得：m2−9m+18=0，
分解因式可得：(m−3)(m−6)=0，
解得：m =6，m =3，
1 2
又∵m−3≠0，∴m≠3，
∴m=6．
故答案为：6 ．
【变式3】若二次函数y=mxm2−1+3x+(m−4)有最小值，则m的值是
．
【答案】√3
【知识点】根据二次函数的定义求参数
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．首先根据二次函数有最小值可得抛物线开口向上，可
以得到m>0且m2−1=2，由m2−1=2可得m=±√3，再根据m>0可得m=√3．
【详解】解：∵二次函数y=mxm2−1+3x+(m−4)有最小值，
∴抛物线开口向上，二次项系数为正数，
∴¿，
解得：m=√3，
故答案为：√3 ．
考点2：二次函数y=a（x-h）²+k的图像性质
典例2：对于二次函数y=(x+1) 2−3，下列结论正确的是（ ）
A．函数图象的顶点坐标是(1,3) B．当x=−1时，y有最小值为−3
C．当x>−1时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线x=1
【答案】B
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握
二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数y=(x+1) 2−3，
∴二次函数的顶点坐标为(−1,−3)，对称轴为直线x=−1，故选项A、D错误；
∵a=1>0，
∴二次函数开口向上，当x=−1时，y有最小值为−3，故选项B正确；
∵a=1>0，抛物线对称轴为直线x=−1，
∴当x>−1时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
故选：B．
【变式1】对于抛物线y=−(x+2) 2−3，下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小B．当x=2时，y有最大值−3
C．经过第一、二、四象限
D．若点A(−3,y )，B(1,y )都在抛物线y=−(x+2) 2−3上，则y >y
1 2 1 2
【答案】D
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象与性质即可判定，解题的关键掌握
二次函数的图象与性质．
【详解】解：A、由y=−(x+2) 2−3，可知对称轴为直线x=−2，−1<0，
∴当x>−2时，y随x的增大而减小，当x<−2时，y随x的增大而增大，故原选项说法错误，不符合
题意；
B、由y=−(x+2) 2−3，可知对称轴为直线x=−2，−1<0，
∴当x=−2时，y有最大值−3，故原选项说法错误，不符合题意；
C、由y=−(x+2) 2−3，可知顶点坐标为(−2,−3)，
∵开口向下，
∴经过第三、四象限，故原选项说法错误，不符合题意；
D、由二次函数y=−(x+2) 2−3，则它的对称轴为直线x=−2，开口向下，
则图象上的点离对称轴越远，则y的值越小，
∵|−3−(−2)|=1，|1−(−2)|=3，
∴1<3，
∴y >y ，故原选项说法正确，符合题意；
1 2
故选：D．
【变式2】已知二次函数y=a(x−h) 2+k（其中a，h，k是实数，a≠0），当x=1时，y=8；当
x=8时，y=1，（ ）
A．若h=4，则a>0 B．若h=5，则a<0
C．若h=6，则a>0 D．若h=7，则a<0
【答案】C
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，当x=1时，y=8，当x=8时，
y=1代入函数式整理得a(9−2h)=−1，将h的值分别代入即可得出结果，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：当x=1时，y=8；当x=8时，y=1；代入函数式得：¿，
∴a(8−h) 2−a(1−h) 2=−7，
整理得：a(9−2h)=−1，
若h=4，则a=−1，故A不符合题意；
若h=5，则a=1，故B不符合题意；
1
若h=6，则a= ，故C符合题意；
3
1
若h=7，则a= ，故D不符合题意；
5
故选：C．
【变式3】已知二次函数y=a(x−2) 2−2a，当1≤x≤4时，函数值y的最大值为4，则a的值为
．
【答案】2或−2
【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=a（x-h）²+k的图象和性质
【分析】本题主要考查了二次函数的最值．熟练掌握二次函数的对称性质和增减性质，是解决问题
的关键．
根据二次函数y=a(x−2) 2−2a的对称轴为直线x=2，若a<0，当x=2时，函数y取得最大值
y=−2a=4，得a=−2；若a>0，根据x=1与x=3关于对称轴对称，得当x>2时，y随x增大而增
大，得当x=4时，y取得最大值y=2a=4，得a=2．
【详解】∵二次函数y=a(x−2) 2−2a，
∴对称轴为直线x=2．
∴当a<0时， 在1≤x≤4范围内，当x=2时，函数y取得最大值y=−2a=4．
∴a=−2；
当a>0时，
∵x=1与x=3关于对称轴对称，当x>2时，y随x增大而增大，且2<3<4，
∴在1≤x≤4范围内，当x=4时，y取得最大值y=a(4−2) 2−2a=2a=4．
∴a=2．
∴a的值为2或−2．
故答案为：2或−2．【变式4】已知点A(−1,y ),B(3,y )在抛物线y=−(x−h) 2+5上．
1 2
（1）若y 1 1≤k<5
【知识点】其他问题(二次函数综合)、y=a（x-h）²+k的图象和性质
【分析】（1）根据二次函数的性质可得抛物线的对称轴为直线x=h，再由−1<0，可得抛物线上的
点离对称轴越远，函数值小，从而得到3−h1，
即若y 1；
1 2
故答案为：h>1；
（2）∵直线y=k与图象G有两个交点，
∴−11；
当y ≥ y ，即−1 a>−1且a≠0
【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=a（x-h）²+k的图象和性质
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与x轴的交点问题：
（1）先求出抛物线对称轴为直线x=2，再由|x −2|<|x −2|得到点A离对称轴的距离小于点B离
1 2
对称轴的距离，结合抛物线开口向下，可得离对称轴越远函数值越小，据此可得答案；
（2）联立两函数解析式可得x =1，x =4，进而可得不等式a+k−(4a+k)<3，解之即可得到答
1 2
案．
【详解】解：（1）∵抛物线解析式为y=a(x−2) 2+k，
∴抛物线对称轴为直线x=2，
∵|x −2|<|x −2|，
1 2
∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离，
∵a<0，
∴抛物线开口向下，∴离对称轴越远函数值越小，
∴y >y ，
1 2
故答案为：>；
（2）联立¿得ax2−5ax+4a=0，
解得x=1或x=4，
∴x =1，x =4，
1 2
∵y −y <3，
1 2
∴a+k−(4a+k)<3，
∴a>−1且a≠0，
故答案为：a>−1且a≠0．
考点3：二次函数y=ax²+bx+c的图像性质
典例3：如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0,a,b,c为常数）的图象与x轴相交于A(−3,0)，
B(1,0)两点，则下列结论正确的是（ ）
A．a<0 B．x>−3时，y随x的增大而增大
C．对称轴是直线x=1 D．顶点坐标是(−1,−4a)
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求
对称轴、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题
的关键．
根据二次函数的图象和性质逐项判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，故A选项错误；
−3+1 b
抛物线的对称轴为直线x= =−1=− ，故C选项错误；
2 2a
∴b=2a，∴当x≥−1时，y随x的增大而增大，当−30时，y随x的增大而减小；②图象不经过第二象
3
限；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)一定有一个小于3的正数根；④当m+n<−13时，
1
a<− ．其中正确的结论序号是 ．
2
【答案】①②③④
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程等；①由h<−3得h<−3<0，由二
4
次函数的增减性，即可判断；②由−4<−2时，m0时，y随x的增大而减小，故此项正
4
确；②∵−4<−2时，m0；③图象与x轴的另一个交点为
(−1.0)；④当x>0时，y随x的增大而减小；⑤不等式ax2+bx+c<0的解集是−10，即可判断②，利用二次函数的对称性即可判断③，利用二次函数的增减性即可判
断④，利用二次函数图象求不等式的解集即可判断⑤．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点，
∴ b2−4ac>0，
故①错误；
∵二次函数对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为(3,0)．
∴结合图象可知x=2时，y>0，
即4a+2b+c>0，
故②正确；
∵二次函数对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为(3,0)．
∴由对称性可知，图象与x轴的另一个交点为(−1.0)，
故③正确；
∵二次函数对称轴为直线x=1，图象开口向下，∴当x>1时，y随x的增大而减小；
故④错误；
∵二次函数与x轴的一个交点为(3,0)，另一个交点为(−1.0)，图象开口向下，．
∴不等式ax2+bx+c<0的解集是x<−1或x>3．
故⑤错误；
综上所述，正确结论的序号是②③；
故答案为：②③．
【变式3】抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点(−2,0)，且c<0．
下列四个结论：
①4a−2b+c=0；
②当x<−2时，y>0；
8
③若点(1,1)，(2,t)均在抛物线上，则t> ；
3
4a+b+c 1
④不等式t(at+b)≥a+b对任意的实数t都成立，则 < ．
4c−5a 6
其中正确的结论是 （填写序号）．
【答案】①③④
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数的最值问题、二次函数点的坐标特征等
内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
①将(−2,0)代入即可得解；
②分类讨论，画出图形，数形结合即可判断；
③由题得到¿，根据c<0这个不等式要明确，就是消去a和b，建立t和c的关系式即可得解；
④由t(at+b)≥a+b可以推出二次函数在x=1时有最小值，即抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
从而得到a和b的关系，再代入4a−2b+c=0，建立a、c和b、c的关系，最后代入求解即可．
【详解】解：∵抛物线经过(−2,0)，
∴4a−2b+c=0，
故①正确，符合题意；
当a>0时，如图1，此时当x<−2时，y>0，当a<0时，如图2，此时两个交点均在y轴左侧，都有可能是(−2,0)，
但是不论哪个交点是(−2,0)，均不满足当x<−2时，y>0，
故②错误，不符合题意；
根据题意可得，
¿，
8−3t
消去a和b整理可得c= ，
6
∵c<0，
8−3t
∴ <0，
6
8
解得：t> ，
3
故③正确，符合题意；
∵t(at+b)≥a+b，
∴at2+bt≥a+b，
∴at2+bt+c≥a+b+c，
∴当x=1时函数有最小值，即抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
b
∴a>0，x=− =1，
2a
∴b=−2a，
由¿，可得¿，
3
c
4a+b+c 4 6 1
∴ = = < ，
4c−5a 37 37 6
c
8
故④正确，符合题意；
故答案为：①③④；
3 12
【变式4】已知二次函数y= x2− x+3，则下列关于该二次函数的描述正确的是（ ）
5 5( 27)
A．该二次函数的图象开口向下 B．顶点坐标是 2,−
5
C．该二次函数的图象与x轴有一个交点 D．当x<1时，y随着x的增大而减小
【答案】D
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与x轴交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
3
根据a= >0即可判断开口问题；将抛物线解析式配方即可求解顶点坐标；令y=0，得到
5
3 12
x2− x+3=0，根据Δ判断与x轴交点个数问题；对称轴为直线x=2，而1<2，开口向上，即可
5 5
判断增减性．
3
【详解】解：A、∵a= >0，故开口向上，选项A不符合题意；
5
B、y= 3 x2− 12 x+3= 3 (x−2) 2+ 3 ，∴顶点为 ( 2, 3) ，故选项B不符合题意；
5 5 5 5 5
C、∵y= 3 x2− 12 x+3=0时，Δ= ( − 12) 2 −4× 3 ×3=− 36 <0，故图象与x轴没有交点，故选
5 5 5 5 25
项C不符合题意；
3
D、由上得：a= >0，对称轴为直线x=2，而1<2，∴当x<1时，y随着x的增大而减小，正确，
5
故符合题意，
故选：D．
【变式5】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x与y的部分对应值如表：
x … −1 0 3 …
y … n −3 −3 …
当n>0时，以下结论：①bc<0；②当x>2时，y的值随x值的增大而减小；③n>4a；④当n=1时，
关于x的一元二次方程ax2+(b+1)x+c=0的解是x =−1，x =3，其中结论一定正确的有（ ）
1 2
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．由抛物线经过(0,−3)，(3,−3)可得抛物线对称轴及
c的值，从而可得a，b的关系，由n>0可得抛物线开口向上，从而可得a，b，c的符号，进而判定
①②③．由n=1可得x=−1时，a−b+c=1，将ax2+(b+1)x+c=0整理为ax2+bx+c=−x，进而
判断方程的解．
【详解】解：∵抛物线经过(0,−3)，(3,−3)，
b 3
∴抛物线对称轴为直线x=− = ，c=−3，
2a 2
∴b=−3a，
∵x=−1时，y=n>0，
∴抛物线开口向上，即a>0，
∴b<0，
∴bc>0，①错误．
b 3
∵抛物线对称轴为直线x=− = ，
2a 2
∴x>2时，y随x增大而增大，②错误．
当x=−1时，y=n=a−b+c=4a+c=4a−3<4a，
∴③错误．
ax2+(b+1)x+c=0整理为ax2+bx+c=−x，
当n=1，x=−1时，a−b+c=1，ax2+bx+c=−x成立，
x=3时，9a+3b+c=−3，ax2+bx+c=−x成立，
∴ax2+(b+1)x+c=0的解是x =−1，x =3．
1 2
∴④正确．
故正确的为：④．
故选：B．
考点4：二次函数图像与系数关系
典例4：已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则一次函数y=ax+b和反比例函数
c
y= 的图象为（ ）
xA． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、一次函数、二次函数图象综合判断、反比例函数、二次函数
图象综合判断
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，一次函数图象，反比例函数的图象，
b
观察二次函数的图象可知a<0,c<0，再根据− >0，得b>0，进而得出一次函数得图象经过一，
2a
二，四象限，反比例函数位于二，四象限，可得答案．
b
【详解】观察二次函数的图象可知a<0,c<0，− >0，
2a
∴b>0，
c
∴一次函数y=ax+b的图象经过一，二，四象限，反比例函数y= 的图象位于二，四象限，
x
可知C符合题意．
故选：C．
【变式1】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有如下结论
① abc>0
；
② 8a+c<0；2
③若抛物线与y轴的交点在(0,−3)与(0,−2)之间（包含边界），则系数a的取值范围是 ≤a≤1；
3
④若点A(t,m)，B(1−t,n)，C(3−t,p)均在二次函数的图象上，若t<0，则n0，c<0，b=−2a<0，即可判断①，根据二次函数
与x轴的一个交点为(−1,0)即可判断②；由题意可得−3≤c≤−2，推出−3≤−3a≤−2，即可判断
③，根据二次函数的性质即可判断④，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象可得，二次函数开口向上，对称轴为直线x=1，与y轴交于负半轴，
b
∴a>0，c<0，x=− =1，
2a
∴b=−2a<0，
∴abc>0，故①正确；
∵二次函数与x轴的一个交点为(−1,0)，对称轴为直线x=1，
∴a−b+c=0，
∴3a+c=0，
∴c=−3a，
∵a>0，
∴8a+c>0，故②错误；
∵抛物线与y轴的交点在(0,−3)与(0,−2)之间（包含边界），
∴−3≤c≤−2，
∴−3≤−3a≤−2，
2
∴ ≤a≤1，故③正确；
3
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，|3−t−1|=|2−t|，|1−t−1|=|t|，
∴若t<0，则|t|<|1−t|<|2−t|，
∴n0时，x的取值范围是−1≤x<3；⑤当x<0时，y随x增大而增大．其
2中正确结论的序号是 ．
【答案】①②⑤
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质是解答关键．
利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐
标为(3,0)，则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=−2a，然后根据x=−1时函数值为0可得到
3a+c=0对③进行判断；根据抛物线在x轴的两个交点坐标来对④进行判断；根据二次函数的性质
对⑤进行判断．
【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
∴4ac0时，x的取值范围是−10，关于x的不等式a(x+1) 2+b(x+1)<0的解集为−1≤x≤1；④若a<0，点
1
P(t,y )，Q(t+3,y )在该抛物线上．当实数t>− 时，y >y ．．其中正确的结论是
1 2 2 1 2
（填写序号）．
【答案】①②④
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与
x轴的交点坐标、顶点坐标等知识，逐个判断即可．
【详解】解：由题意，∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−1,0)，
∴a−b+c=0．
又∵对称轴为直线x=1，
b
∴− =1．
2a
∴b=−2a．
∴a−b+c=a+2a+c=3a+c=0，故①正确．
当y=c−a时，ax2+bx+c=c−a，即：ax2+bx+a=0，
∴△=b2−4a2=(2a+b)(b−2a)=0，
∴ax2+bx+c=c−a有两个相等的实数根，
∴过点(0,c−a)平行于x轴的直线与抛物线有唯一的公共点，故②是正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−1,0)，对称轴为直线x=1，
∴与x轴交于另一个点为(3,0)，
∴二次函数y=ax2+bx(a>0)的图象与x轴交于点(0,0)，(2,0)，
∴二次函数y=a(x+1) 2+b(x+1)(a>0)的图象与x轴交于点(−1,0)，(1,0)，
∴关于x的不等式a(x+1) 2+b(x+1)<0的解集为−1− ，
2
5
∴t+3> ，
2
∴P到x=1的距离小于Q到x=1的距离，
∴y >y ，故④正确；
1 2
故答案为：①②④．
【变式4】函数y=|ax2+bx+c|（a>0，b2−4ac>0）的图象（如图所示）是由函数
y=ax2+bx+c（a>0，b2−4ac>0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，
则下列结论：①2a+b=0；②c=−3；③abc<0；④将图象向上平移1个单位长度后与直线y=5有
3个交点，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．①② D．②③
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符
号
【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．二次函数的平移，待定系数法求函数解析式，
熟练掌握抛物线的对称性，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．①根据图象与x轴的两个
交点，求出对称轴，即可得到结论；②由y=|ax2+bx+c|的图象可知：与y轴的交点为(0,3)，根据
翻折特点，即可解题；③根据对称轴，判断b的符号，结合a，c的符号，即可得到abc的符号；④先
求出图象的顶点坐标，得到平移后的顶点坐标，即可得出结论．
【详解】解：由图知，函数y=|ax2+bx+c|（a>0，b2−4ac>0）的图象与x轴交于(−1,0)，(3,0)，
−1+3
∴函数对称轴为直线x= =1，
2
b
∴ − =1，
2a
则b=−2a，2a+b=0，故①正确；∵函数图象与y轴交于(0,3)，
由翻折性质可知，c=−3，故②正确；
∵ a>0，对称轴为直线x=1，
∴b<0，
∵ c=−3，
∴ abc>0，故③错误；
由图知，y=ax2+bx+c=a(x+1)(x−3)，
∵函数y=|ax2+bx+c|图象与y轴交于(0,3)，
∴ y=ax2+bx+c=a(x+1)(x−3)过点(0,−3)，
即a×(0+1)×(0−3)=−3，
解得a=1，
∴函数y=ax2+bx+c为y=x2−2x−3，
即y=|ax2+bx+c|=|x2−2x−3|，
当x=1时，y=|12−2−3|=4，
即y=|ax2+bx+c|的顶点坐标为(1,4)，
将图象向上平移1个单位长度后y=|ax2+bx+c|的顶点坐标为(1,5)，
∴将图象向上平移1个单位长度后与直线y=5有3个交点，故④正确．
综上所述，正确的有①②④，
故选：A．
【变式5】抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物
线的对称轴是直线x=1．下列结论：①abc<0；②2a+b=0；③4a−2b+c=0；④方程
ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根；⑤若点A(m,n)在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c．
其中正确的个数有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的最值、抛
物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是
明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
结合函数图像，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、不等式间的关系逐一判断即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是直线x=1，
∴与x轴的交点到对称轴距离为4−1=3，
∴该抛物线与x轴的另一个交点为(−2,0)，
补图如下：
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴在y轴的右侧，a、b异号，
∴b>0，
∵抛物线与y轴交在正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故①正确，
b
∵抛物线的对称轴是直线x=1即− =1，
2a∴b=−2a，
∴2a+b=0，故②正确；
∵该抛物线与x轴的另一个交点为(−2,0)，
∴当x=−2时，y=4a−2b+c=0，故③正确；
∵由图象可得，抛物线的顶点坐标为(1,4)，
∴直线y=2与抛物线有两个交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根，故④正确；
∵当x=1时，该函数取得最大值，此时y=a+b+c，
∵点A(m,n)在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c，故⑤正确；
综上所述：正确的个数有5个．
故选：D．
考点5：一次函数与二次函数图像判断
典例5：在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c的图象如图所示，则二次
函数y=ax2−bx−c的图象可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查二次函数的图象和性质及一次函数的图象和性质．由已知二次函数的图象可知a的
正负，由一次函数的图象可知b、c的正负，进而可得出答案．
【详解】解：∵二次函数y=ax2的开口向下
∴a<0∵一次函数y=bx+c图象中y随x的增大而增大，与y轴的交点在y轴的负半轴
∴b>0，c<0
∴−c>0，
−b
∴二次函数y=ax2+bx−c的图象开口向下，对称轴为直线x=− <0在y轴左侧，与y轴的交点
2a
(0,−c)在y轴的正半轴．
故选：A．
【变式1】函数y=ax2−2x+1，y=ax+a（a是常数，a≠0)，在同一平面直角坐标系的图象可能
是 ．
① ② ③
④ ⑤ ⑥
【答案】①③④⑤
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查二次函数图像与系数之间的关系，一次函数图象与系数之间的关系，能够熟练数
形结合思想是解决本题的关键．
【详解】解：由函数解析式可知一次函数图象必过(−1,0)，二次函数图象必过(1,0)，所有图象均满
足此要求，故不再单独判断，
①中由一次函数图象可得系数a>0，且交纵轴于正半轴点(0,1)，二次函数图象开口向上，故a>0，
a的取值范围相同，且二次函数图象满足二次函数对称轴同左异右的特点，且(−2) 2−4a=0函数图
象与坐标轴只有一个交点，故①正确；
②中由一次函数图象可得系数a<0，且交纵轴于负半轴，二次函数图象开口向下，故a<0，a的取
值范围相同，但二次函数图象不满足二次函数对称轴同左异右的特点，故②错误；
③中由一次函数图象可得系数a>0，且交纵轴于正半轴，但交点纵坐标小于1，二次函数图象开口
向上，故a>0，a的取值范围相同，且二次函数图象满足二次函数对称轴同左异右的特点，且函数图象与坐标轴有两个交点，故③正确；
(−2) 2−4a>0
④中由一次函数图象可得系数a<0，且交纵轴于负半轴，二次函数图象开口向下，故a<0，a的取
值范围相同，且二次函数图象满足二次函数对称轴同左异右的特点，且(−2) 2−4a>0函数与坐标轴
有两个交点，故④正确；
⑤中由一次函数图象可得系数a>0，图象交纵轴于正半轴，且交点纵坐标大于1，二次函数图象开
口向上，故a>0，a的取值范围相同，且二次函数图象满足二次函数对称轴同左异右的特点，且
(−2) 2−4a<0函数与坐标轴没有交点，故⑤正确；
⑥中由一次函数图象可得系数a>0，图象交纵轴于正半轴，且交点纵坐标小于1，二次函数图象开
口向上，故a>0，a的取值范围相同，且二次函数图象满足二次函数对称轴同左异右的特点，但
(−2) 2−4a>0，但⑥中函数图象与坐标轴没有交点，故⑥错误；
故答案为：①③④⑤．
【变式2】已知二次函数y=−x2+x+6，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图
象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y=m与新图象有4个交点时，m的取值
范围是 ．
25
【答案】− 0，由与y
轴交点在正半轴可得c>0，
c
∴反比例函数y= 的图象在第一、三象限，一次函数y=−ax+b经过第一、二、三象限，
x
符合条件的只有A选项，故选：A．
m
【变式1】已知在同一直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与反比例函数y= 的图像如
x
mc
图所示，则一次函数y= x−b的图像大致可能是（ ）
a
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与各项系数符号、反比例函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查考查二次函数和反比例函数与系数的关系，正确判断函数的图像和系数的关系是
解题的关键；根据二次项系数a决定抛物线的开口方向，a，b共同决定了对称轴的位置，常数项c决
定了抛物线与轴的交点位置，根据反比例函数图像判断系数即可求解；
b
【详解】解：根据二次函数图像可知：a<0，− <0，则b<0，二次函数交y轴正半轴，故c>0，
2a
反比例函数过二，四象限，故m<0；
mc mc
则一次函数y= x−b， >0，
a a∵b<0，则−b>0
故一次函数过一，二，三象限；
故选：C
k
【变式2】函数y =ax2+bx+c与y = 的图象如图所示，当x的取值范围为 时，y ,y 均随
1 2 x 1 2
着x的增大而减小．
【答案】x>1
【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的图象与性质．根据二次函数和反比例函数图象解答即
可．
【详解】解：根据二次函数图象当x>1时，y 随着x的增大而减小，当x>0或x<0时，反比例函数
1
y 随着x的增大而减小．
2
∴当x>1时，y ,y 均随着x的增大而减小．
1 2
故答案为：x>1．
k
【变式3】已知二次函数y =x2+bx+c和反比例函数y = 在同一个坐标系中的图象如图所示，则k
1 2 x
k
的值为
；不等式x2+bx+c<
的解集是 ．
x
【答案】 −2 −1b，则下列说法正确的是（ ）
1 2
A．当x<0时，y y D．当x>1时y bx2+ax+c和ax2+bx+cy 时，ax2+bx+c>bx2+ax+c，
1 2
整理得(a−b)x2−(a−b)x>0，
∵a>b，
∴x2−x>0，解得x<0或x>1；
当y b，
∴x2−x<0，解得04，下列结论正确的是（ ）
3 2 1 1 3 1 2
A．若k>0，则y = y >y B．若k>0，则y >y >y
3 1 2 3 2 1
C．若k<0，则y >y >y D．若k<0，则y >y >y
1 2 3 2 1 3
【答案】D
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值
【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及开口方向、对称轴，正确掌握相关性质内容是解题的
关键．先得出对称轴x=2，结合x n，再进行分类讨
3 2 1 1 3
论，即可作答．
【详解】解：∵二次函数y=kx2−4kx+c
−4k
∴对称轴为x=− =2
2k
∵x 4，x <2n
当k<0时，函数的开口向下，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大，
∴y >y >y ，故D选项是正确的；
2 1 3
当k>0时，函数的开口向上，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，
∴y >y >y ，
2 1 3故ABD三个选项是错误的；
故选：D
【变式1】设函数y=a(x+m) 2+n（a≠0，m，n是实数），当x=1时，y=1，x=6时，y=6．则
（ ）
A．若m=−3，则a<0 B．若m=−4，则a>0
C．若m=−5，则a<0 D．若m=−6，则a>0
【答案】C
【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据m的取值及抛物线上两点的坐标分析出抛物线的
开口方向是解题的关键．根据所给解析式得出抛物线的对称轴为直线x=−m，再根据选项中所给出
的m的值都a的正负依次进行判断即可．
【详解】解：由所给函数解析式可知，
抛物线的对称轴为直线x=−m．
当m=−3时，抛物线的对称轴为直线x=3，
因为(1,1)和(6,6)在抛物线上，
则点(1,1)关于直线x=3的对称点为(5,1)，
因为6>5，6>1，
所以在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
则抛物线的开口向上，即a>0．故A不符合题意．
当m=−4时，抛物线的对称轴为直线x=4，
所以点(1,1)关于直线x=4的对称点为(7,1)，
因为6<7,6>1，
所以在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
则抛物线的开口向下，即a<0．故B选项不符合题意．
当m=−5时，抛物线的对称轴为直线x=5，
所以点(1,1)关于直线x=5的对称点为(9,1)，
因为6<9,6>1，
所以在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
则抛物线的开口向下，即a<0．
故C选项符合题意．
当m=−6时，抛物线的对称轴为直线x=6，
因为6>1，
所以顶点的纵坐标为抛物线上所有点纵坐标中最大的，则抛物线的开口向下，即a<0．故D选项不符合题意．
故选：C．
【变式2】对于二次函数y=2x2+9x+k，当自变量x分别取x 和x (x ≠x )时，函数的值相等，那
1 2 1 2
么当自变量x的取值为x +x 时，其函数值与（ ）．
1 2
A．x=0时的函数值相等 B．x=1时的函数值相等
1 9
C．x= 时的函数值相等 D．x=− 时的函数值相等
4 4
【答案】A
【知识点】根据二次函数的对称性求函数值
【分析】此题考查利用二次函数的对称性，可知以这两个自变量的值为横坐标的点，关于抛物线的
9 9 9
对称轴对称．求出x +x =− ，根据对称性可知图象上横坐标为− 的点关于对称轴x=− 对称的
1 2 2 2 4
点的横坐标为0，掌握二次函数的对称性是解决问题．
【详解】解：当自变量x取两个不同的值x 、x 时，函数值相等，则以x 、x 为横坐标的两点关于直
1 2 1 2
9
线x=− 对称，
4
x +x 9 9
∴有 1 2=− ，则x +x =− ，
2 4 1 2 2
9 9
图象上横坐标为− 的点关于对称轴x=− 对称的点的横坐标为0．
2 4
故选：A．
【变式3】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，其中部分x和y的对应取值如下表：
x … −3 −2 −1 0 1 …
y … 0 3 4 3 m …
则m的值为 ．
【答案】0
【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、已知抛物线上对称的两点求对称轴
【分析】本题主要考查二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
由表格可得二次函数的对称轴为直线x=−1，则点(−3,0)与(1,m)关于二次函数的对称轴对称，进而
问题可求解．
【详解】解：由表格得：当x=−2或x=0时，二次函数的函数值都为3，根据二次函数的对称性可−2+0
知二次函数的对称轴为直线x= =−1，
2
∴点(−3,0)与(1,m)关于二次函数的对称轴对称，
∴m=0.
故答案为0．
【变式4】已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点为A(1,0)和B(3,0)，点P (x ,y )，
1 1 1
P (x ,y )是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P AB的面积为S ，△P AB的面积为S ．有下列
2 2 2 1 1 2 2
结论：①当x >x +2时，S >S ；②当x <2−x 时，S |x −2|>1时，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
S >S ；④当|x −2|>|x +2|>1时，S 0，如图1中，P 、P 满足x >x +2，
1 2 1 2
此时P P ∥AB，
1 2
∴S =S ，故①错误；
1 2
②当x =−2，x =−1时，满足x <2−x ，
1 2 1 2
则S >S ，故②错误；
1 2
③当|x −2|>|x −2|>1时，P (x ,y )比P (x ,y )离对称轴更远，且同在x轴上方或者下方，
1 2 1 1 1 2 2 2∴|y |>|y |，
1 2
∴S >S ，故③正确；
1 2
④不妨假设a>0，如图2中，P 、P 满足|x −2|>|x +2|>1，但是S =S ，故④错误；
1 2 1 2 1 2
综上分析可知，结论错误的是：①②④；
故答案为：①②④．
【变式5】如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0)，它的对称轴x=1对称，则当y<0时，x的取
值范围是 ．
【答案】−2x>−2
【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、根据二次函数的对称性求函数值、y=ax²+bx+c的图象与性
质
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一
个交点，再根据抛物线的图象可求当y<0时，x的取值范围．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点坐标为P(4,0)，对称轴为x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(−2,0)，
由图象可知，当y<0时，x的取值范围是−23时，y随x的增大而增大，
当x=3时，y=3，此时y有最小值3，
当y=12时，由(x−3) 2+3=12解得x =0，x =6，
1 2
∵当m−1≤x≤m+2时，函数有最小值为12，
∴m+2=0或m−1=6，
解得m=−2或m=7．
故答案为：7或−2．
【变式3】将抛物线y=−x2向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A
（如图所示），连接OA、AB，如果△AOB是等边三角形，则OB的长为 ．【答案】2√3
【知识点】等边三角形的性质、y=ax²的图象和性质、二次函数图象的平移
【分析】本题主要考查二次函数图像与几何变换，等边三角形的性质，二次函数图像上点的坐标特
征；根据题意得到关于m的方程是解题的关键．由题意设A点坐标为(m,−m2 )，根据等边三角形的
性质解出m的值即可得到答案．
【详解】解：∵点A在抛物线y=−x2上，
∴设A点坐标为(m,−m2 )，
过A作AC⊥x轴于C，如图，
∵ △AOB
是等边三角形，
∴BC=OC=m，AC=√3OC=√3m=m2，
∴m=√3或m=0（舍），
∴OB=2OC=2√3，
故答案为：2√3．
考点11：二次函数图像最值问题
典例11：对于实数a,b，定义符号min{a,b}，其意义为：当a≥b时，min{a,b}=b；当a1时，
y=5n=5，n=1（舍去），
综上所述，m+n=−3，
故选：B．
【变式2】已知二次函数y=ax2+2ax+1(a<0)，当m≤x≤0时，y有最大值1−a和最小值1，则m
的取值范围是 ．
【答案】−2≤m≤−1
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题目中的函数解析式和
二次函数的性质可以求得m的取值范围．
【详解】解：二次函数y=ax2+2ax+1=a(x+1) 2−a+1(a<0)
∴该函数图象开口向上，对称轴是直线x=−1，
当x=−1时，该函数取得最小值1−a
∵当m≤x≤0时，y有最小值1−a和最大值1，
当x=0时，y=1，根据对称性，x=−2时，y=1，
∴−2≤m≤−1，
故答案为：−2≤m≤−1．
【变式3】若二次函数y=−x2+4mx(m为常数)，当自变量 x的值满足−2 三种情况，结合二次函
2 2数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵y=−x2+4mx=−(x−2m) 2+4m2，
当2m<−2时，即m<−1时，在−21时，即m> ，
2
在−2− 且a≠0
3
【知识点】抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查了二次函数的定义和抛物线与x轴的交点，要结合判别式进行解答．
根据二次函数y=ax2−2x−3的图象与x轴有两个公共点可知Δ>0且a≠0，据此可知a的取值范围．
【详解】解：∵二次函数y=ax2−2x−3的图象与x轴有两个公共点，
∴ Δ>0且a≠0，
即4−4a(−3)>0，
1
解得a>− 且a≠0，
3
1
故答案为：a>− 且a≠0．
3
【变式5】已知二次函数y=−x2+2(m−1)x+2m−m2的图象关于y轴对称，则由此图象的顶点A和图象与x轴的两个交点B，C构成的△ABC的面积是 ．
【答案】1
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题
【分析】此题主要考查了二次函数的性质及于x轴交点坐标特点，解题关键是各类函数图象的图象
特征需注意在做题过程中加以理解应用．由于二次函数y=−x2+2(m−1)x+2m−m2的图象关于y
轴对称，由此得到m=1，解方程即可求出m，然后利用顶点公式和x轴的两个交点坐标特点即可求
出A、B、C的坐标，接着根据坐标求出面积．
【详解】解：∵二次函数y=−x2+2(m−1)x+2m−m2的图象关于y轴对称，
2(m−1)
∴对称轴为：x=− =0，
2×(−1)
∴m=1，
∴y=−x2+1，
∴顶点A坐标为(0,1)，
令y=0，得−x2+1=0，解得x =−1,x =1，
1 2
∴y=−x2+1与x轴的两个交点B、C坐标为(1,0),(−1,0)，
1
∴△ABC的面积为 ×2×1=1．
2
故答案为：1．
考点13：二次函数与不等式
典例13：直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(2,0)，B(4,2)，则不等式
x2+bx+c>x+m的解集为（ ）
A．04
【答案】D
【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、一次函数、二次函数图象综合判断、
根据交点确定不等式的解集
【分析】本题主要考查一次函数与二次函数交点解不等式，掌握一次函数、二次函数图象和性质是
解题的关键．
根据题意作图，图形结合分析即可求解．
【详解】解：如图，∴根据图象可知，不等式x2+bx+c>x+m的解集为x<2或x>4；
故选：D．
【变式1】若点(m,n)在抛物线y=ax2(a>0)上，其中m>0，则不等式a(x−2) 2>n的解为（ ）
A．x<−m+2或x>m+2 B．−m+2m−2 D．−m−20)上得
n=am2，再将其代入不等式a(x−2) 2>n，再根据a>0，m>0得出解集即可．
【详解】解：∵点(m,n)在抛物线y=ax2(a>0)上，
∴n=am2，
∵a(x−2) 2>n，
∴a(x−2) 2>am2，
∵a>0，
∴(x−2) 2>m2，
又∵m>0，
∴x−2<−m或x−2>m，
∴x<−m+2或x>m+2，
故选：A．
【变式2】如图抛物线 与直线 交于点 ， ，则关于 的不等式
y =ax2+c y =kx+b A(−4,p) B(2,q) x
1 2ax2+c+kx−b<0的解集是 ．
【答案】x<−2或x>4/x>4或x<−2
【知识点】图象法解一元二次不等式
【分析】本题考查利用图象解不等式，抛物线的性质，利用数形结合的思想是解题关键．根据题意
可得出ax2+c<−kx+b，设y =−kx+b，即求抛物线位于一次函数y =−kx+b的图象下方时，x
3 3
的取值范围即可．根据抛物线的对称性，结合题意可得出抛物线y =ax2+c与直线y =−kx+b交于
1 3
点(4,p)，(−2,q)，进而即可解答．
【详解】解：∵ax2+c+kx−b<0，
∴ax2+c<−kx+b．
设y =−kx+b，
3
∵抛物线y =ax2+c与直线y =kx+b交于点A(−4,p)，B(2,q)，直线y =−kx+b与直线
1 2 3
y =kx+b关于y轴对称，抛物线y =ax2+c关于y轴对称，
2 1
∴抛物线y =ax2+c与直线y =−kx+b交于点(4,p)，(−2,q)，
1 3
∴当x<−2或x>4时，抛物线位于直线y =−kx+b的下方，即此时ax2+c<−kx+b，
3
∴不等式ax2+c+kx−b<0的解集是x<−2或x>4．
故答案为：x<−2或x>4．
【变式3】如图，抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(−3,y )、B(1,y )两点，则关于x的不
1 2
等式ax2+c≥−kx+m的解集是 ．【答案】−1≤x≤3
【知识点】根据交点确定不等式的解集
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，解决本题的关键是利用了数形结合的思想，首先根
据y=kx+m与y=−kx+m的图象关于y轴对称，所以点A'、B'与点A、B关于y轴对称，根据点A、
B的坐标得到点A'、B'的坐标，再根据函数图像的位置关系得到不等式的解集．
【详解】
解：∵y=kx+m与y=−kx+m的图象关于y轴对称，
∴直线y=−kx+m与抛物线y=ax2+c的交点A'、B'与点A、B也关于y轴对称，
如下图所示：
∵A(−3,y )，B(1,y )，
1 2
∴A' (3,y )，B' (−1,y )，
1 2
从函数图象上可得：不等式ax2+c≥−kx+m的解集是−1≤x≤3，
故答案为：−1≤x≤3．
考点14：二次函数的实际应用
典例14：在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用26m长
的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设BC=xm．
(1)若矩形花园ABCD的面积为168m2，求x的值；
(2)若在P处有一棵树，树中心P与墙CD、AD的距离分别是13m和6m，要将这棵树围在花园内
（考虑到树以后的生长，篱笆围矩形ABCD时，需将以P为圆心，1.5为半径的圆形区域围在内），
求矩形花园ABCD的面积S的最大值．
【答案】(1)12m或14m(2)166.75平方米
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】（1）直接利用矩形面积求法结合一元二次方程的解法得出答案；
（2）首先得出S与x之间的关系，进而利用二次函数增减性得出答案．
此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法，正确结合二次函数增减性求出最值是解
题关键．
【详解】（1）解：∵BC=xm，则AB=(26−x)m，
∴x(26−x)=168，
整理，得x2−26x+168=0，
解得：x =12，x =14，
1 2
答：x的值为12m或14m．
（2）解：由题意可得出：
S=x(26−x)=−x2+26x=−(x−13) 2+169，
∵树中心P与墙CD、AD的距离分别是13m和6m，
考虑到树的生长，篱笆围矩形ABCD时，需将以P为圆心，1.5为半径的圆形区域围在内，
∴x最小时，x=13+1.5=14.5，圆周距离AD为6−1.5=4.5m，
∴x最大时，x=13+6=19，
∴14.5≤x≤19，
∵a=−1<0，在对称轴的右边S随x的增大而减小，
∴当x=14.5时，S取到最大值为：S=−(14.5−13)+169=166.75，
答：花园面积S的最大值为166.75平方米．
【变式1】如图①，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地面竖直高度OH为1.5m．
如图②，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿
化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度EF=0.5m．内边缘抛物线y 是由
2
外边缘抛物线y 向左平移得到，外边缘抛物线y 的最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口
1 1
0.5m．
(1)求外边缘抛物线y 的函数表达式；
1
(2)求内边缘抛物线y 与x轴的正半轴交点B的坐标；
2(3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求OD的取值范围．
1
【答案】(1)y =− (x−2) 2+2
1 8
(2)点B的坐标为(2,0)
(3)OD的取值范围是2≤OD≤2√3−1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、喷水问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查了二次函数是实际应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及数形结
合的思想是解题的关键．
（1）根据题意可得A(2,2)是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点(0,1.5)，用顶点式即可求解函数解析
式；
（2）根据y 对称轴为直线x=2可得点(0,1.5)的对称点为(4,1.5)，则y 是由y 向左平移4m得到的，
1 2 1
即可求出点B的坐标；
（3）如图：当EF=0.5时，可得点F的纵坐标为0.5；令则y =0.5结合x>0可得x=2+2√3；由当
1
x>2时，则y 随x的增大而减小，然后分2≤x≤6、0≤x≤2、0≤x≤6三种情况确定x的取值范围，
1
进而确定OD的最大值和最小值即可解答．
【详解】（1）解：由题意得A(2,2)是外边缘抛物线的顶点，
设y =a(x−2) 2+2(a≠0)．
1
又∵ 抛物线过点(0,1.5)，
∴1.5=4a+2，
1
∴a=− ，
8
1
∴ 外边缘抛物线的函数表达式为y =− (x−2) 2+2．
1 8
（2）解：∵y 的对称轴为直线x=2，
1
∴ 点(0,1.5)的对称点为(4,1.5)，
∴y 是由y 向左平移4m得到的，
2 1
∴BC=4．
1
令y =0，即− (x−2) 2+2=0，解得x=6或x=−2（舍去），
1 8
∴点C的坐标为(6,0)，
∴点B的坐标为(2,0)．
（3）解：∵EF=0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，1
令y =0.5，即0.5=− (x−2) 2+2，解得：x=2±2√3．
1 8
∵x>0，
∴x=2+2√3．
当x>2时，y 随x的增大而减小，
1
∴ 当2≤x≤6时，要使y ≥0.5，则x≤2+2√3．
1
当0≤x≤2时，y 随x的增大而增大，且x=0时，y =1.5>0.5，
1 1
当0≤x≤6时，要使y ≥0.5，则0≤x≤2+2√3．
1
∵DE=3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴OD的最大值为2+2√3−3=2√3−1．
∵ 喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OD≥OB，
∴OD的最小值为2．
综上所述，OD的取值范围是2≤OD≤2√3−1．
根据以下素材，探索完成任务．
【变式2】
如何设计滑雪爱好者滑雪轨迹问题？
图1是某跳台滑雪场地的截面示
意图．平台AB长为1米，平台
AB距地面18米．以地面所在直
线为x轴，过点B垂直于地面的
素
直线为y轴，取1米为单位长度，
材
1 建立如图2的平面直角坐标系．
已知滑道对应的函数为
1
y= x2−4x+c．
5
运动员（看成点）在BA方向获
得速度v米/秒后，从A处向右下
素 飞向滑道，点M是下落过程中的
材 某位置（忽略空气阻力）．设运
2 动员飞出时间为t秒，运动员与
点A的竖直距离为h米，运动员
与点A的水平距离为l米．
素
材 实验表明：h=6t2，l=vt．
3
滑雪场规定：滑雪爱好者在飞行
素
的过程中，若5≤x≤7时，飞行
材
4 的高度与跳台滑道的垂直距离在
8~10米的范围内即可获得奖励．
问题解决
任
务 确定滑道形状 根据图2，求滑道抛物线的解析式；
1
任
根据图3，当v=5，t=1时，判断此时滑雪爱好者是否在滑
务 确定滑雪爱好者与滑道位置关系
道上？
2
滑雪爱好者从A处飞出，飞出的路径近似看成函数
任
1 2
务 确定滑雪爱好者的滑雪方案 y=− x2+ x+t，若该滑雪爱好者能够获得奖励，求整
5 5
3
数t的值．
1 109
【答案】任务1：y= x2−4x+ ；任务2：运动员此时没有落在滑道上；任务3：18或19
5 5
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值、其他问题(实际问
题与二次函数)
【分析】本题考查利用二次函数解决实际问题，
1
（1）把A(1,18)代入y= x2−4x+c，即可得到结论；
5
1 109
（2）把v=5，t=1代入h=6t2，l=vt，求得M(6,12)，再把x=6代入y= x2−4x+ 即可得到
5 5
结论；
（3）根据题意列方程求解即可；
解题的关键是要建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
1
【详解】解：任务1：由题意，点A的坐标为(1,18)，且点A在滑道所在的抛物线y= x2−4x+c上，
5
1
∴18= ×12−4×1+c，
5
109
解得：c= ，
5
1 109
∴滑道抛物线的解析式为y= x2−4x+ ；
5 5
任务2：当v=5，t=1时，
h=6t2=6×12=6，l=vt=5×1=5，
∴OB−h=18−6=12，l+1=5+1=6，
∴M(6,12)，1 109
当x=6时，y= ×62−4×6+ =5，
5 5
由于12>5，
∴运动员此时没有落在滑道上；
任务3：设飞行的高度与跳台滑道的垂直距离为y′，
依题意，得：y′= ( − 1 x2+ 2 x+t ) − (1 x2−4x+ 109) =− 2( x− 11) 2 +t− 97 ，
5 5 5 5 5 2 10
∵飞行的高度与跳台滑道的垂直距离在8∼10米的范围内即可获得奖励，
97
∴86，将x=25代入，y=− (x−15) 2+9得出y<6，
25 25
即可求解．
（2）根据抛物线过原点，可得y=a(x−15) 2−225a，将(23,6),(25,6)分别代入
y=a(x−15) 2−225a求得a的值，进而结合题意，即可求解．
【详解】（1）解：①设石块运行的函数关系式为y=a(x−15) 2+9，1
将(0,0)代入，得225a+9=0，解得a=− ．
25
1
所以抛物线的解析式为y=− (x−15) 2+9．
25
②石块不能飞跃防御墙．
1 11
理由如下：将x=23代入，y=− (23−15) 2+9=6 >6；
25 25
1
将x=25代入，y=− (25−15) 2+9=5<6．所以石块不能飞跃防御墙．
25
（2）解：∵y=a(x−15) 2+k过点(0,0)
∴a(0−15) 2+k=0
∴k=−225a
∴y=a(x−15) 2−225a
依题意B(23,6),C(25,6)分别代入y=a(x−15) 2−225a，
即6=a(23−15) 2−225a或6=a(25−15) 2−225a
6 6
解得： a=− 或a=−
161 125
6 6
∴− 0，则NG=MF=a，
∴N(1+a,a−1)．
∵点N在抛物线上，
∴a−1=−(1+a) 2+2(a+1)+3，
−1+√21 −1−√21
解得a = ，a = （舍去），
1 2 2 2(1+√21 √21−3)
∴点N的坐标为 , ；
2 2
②当点M位于x轴下方时．
如图2，设点M的坐标为(1,a)，此时a<0，
同理得N(−a+1,a+1)，则有a+1=−(−a+1) 2+2(−a+1)+3，
−1−√13 −1+√13
解得a = ，a = （舍去），
1 2 2 2
(3+√13 1−√13)
∴点N的坐标为 , ．
2 2
(1+√21 √21−3) (3+√13 1−√13)
综上，点N的坐标为 , 或 , ．
2 2 2 2
4
【变式4】如图，已知直线y= x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过
3
A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x=−1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求三角形ACD面积S的最大值及此时D
点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为
对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标．
4 8
【答案】(1)y=− x2+ x+4
3 3
9 ( 3 )
(2)S = ，D − ,5
△ADC最大 2 2
( 13) ( 19)
(3)存在，P −1, ，Q −2,
8 8
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质：
4
（1）令x=0，y=0时，分别代入y= x+4，求得点A，B，C的坐标，设抛物线的表达式为
3
y=a(x−1)(x+3)，将C(0,4)代入，即可求得答案；
4
（2）作DF⊥AB于点F，交AC于E，可得DE=− m2−4m，可得
3
1
S = DE·OA=−2m2−6m，根据二次函数的图像和性质，即可求得答案；
△ADC 2
（3）设P(−1,n)，可得PA2=(−1+3) 2+n2，PC2=(−1) 2+(n−4) 2，根据PA2=PC2，可求得n，
结合x +x =x +x ， y + y = y + y 即可就得答案．
P Q A C P Q A C
4
【详解】（1）解：令x=0时，代入y= x+4，
3
∴ y=4．
∴C(0,4)．
4
令y=0时，代入y= x+4，
3
∴x=−3 ．
∴A(−3,0) ．
∵对称轴为直线x=−1，
∴B(1,0)．
设抛物线的表达式：y=a(x−1)(x+3)，将C(0,4)代入，得
−1×3×a=4．
4
∴a=− ．
3
4 4 8
∴抛物线的表达式为：y=− (x−1)(x+3)=− x2− x+4．
3 3 3
（2）如图所示，
作DF⊥AB于点F，交AC于E．∴D ( m,− 4 m2− 8 m+4 ) ，E ( m, 4 m+4 ) ．
3 3 3
4
∴DE=− m2−4m．
3
1
∴S = DE·OA=−2m2−6m．
△ADC 2
b 3 9
∴当m=− =− 时，S = ．
2a 2 △ADC最大 2
( 3 )
∴D − ,5 ．
2
（3）存在，理由如下：
设P(−1,n)．
∵A(−3,0)，C(0,4)，
∴PA2=(−1+3) 2+n2，PC2=(−1) 2+(n−4) 2．
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA=PC，即PA2=PC2．
∴(−1+3) 2+n2=1+(n−4) 2．
13
∴n= ．
8
( 13)
∴P −1, ．
8
∵x +x =x +x ， y + y = y + y ，
P Q A C P Q A C
19
∴x =−2，y = ．
Q Q 8( 19)
∴Q −2, ．
8
【变式5】已知，关于x的二次函数y=ax2+2ax−3a(a>0)的图象与x轴交于A、B两点（点A在
点B的左侧），与y轴交于点C，图象顶点为D，连接AC、BC、CD．
(1)请直接写出点A、B、C、D的坐标（用数字或含a的式子表示）：
A ；B ；C ；D ；
(2)作出点C关于对称轴的对称点E，连接AE、CE、DE，若△ACE和△DCE相似，求a的值；
(3)若∠ACB≥90°，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)(−3,0),(1,0),(0,−3a),(−1,−4a)
√3
(2)见解析，
3
√3
(3)00，
∴x2+2x−3=0，
解得x =−3，x =1，
1 2
∴A(−3,0)，B(1,0)，
−3+1
∴抛物线的对称轴为直线x= =−1，
2
把x=−1代入y=ax2+2ax−3a得，y=a−2a−3a=−4a，
∴顶点为D(−1,−4a)，
故答案为：(−3,0)；(1,0)；(0,−3a)；(−1,−4a)；
（2）解：如图1，∵点C、E关于对称轴x=−1对称，C(0,−3a)，点D在对称轴上，
∴E(−2,−3a) DC=DE
， ，
∴CE=2，
∵△ACE和△DCE相似，
∴AE=CE，
∴ √[−3−(−2)] 2+[0−(−3a)] 2=2，
整理得，3a2=1，
√3 √3
解得a= 或a=− （不合，舍去），
3 3
√3
∴ a= ；
3
（3）解：设抛物线的对称轴x=−1与x轴的交点为点F，以点F为圆心，2为半径画圆，连接FC，
如图2，当点C在⊙F上或⊙F内时，∠ACB≥90°，
∴FC≤2，
即√12+(3a) 2≤2，
√3 √3
解得− ≤a≤ ，
3 3
又∵a>0，
√3
∴ 0
