专题 04 二次函数及其应用
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y= ax 2 +bx+c （a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b 是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c
（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，
自变量的取值范围还需使实际问题有意义。
（二）二次函数的图像性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象
(a＞0) (a＜0)
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 直线x＝－ 直线x＝－
顶点坐标当x＜－时，y随x的增大而减
当x＜－时，y随x的增大而增大；
增减性 小；当x＞－时，y随x的增大而
当x＞－时，y随x的增大而减小
增大
最值 当x＝－时，y有最小值 当x＝－时，y有最大值
（三）二次函数图像与系数的关系
决定抛物线的 某些特殊形式代数式的
当a＞0时，抛物线开口向上；
a 开口方向及开 符号：
当a＜0时，抛物线开口向下.
口大小 a±b+c即为x=±1时，
y
当a，b同号，-＜0，对称轴在y
的值；②4a±2b+c即
轴左边；
决定对称轴
为x=±2时，y的值.
当b＝0时，-=0，对称轴为y
a、b （x=-）的位
2a+b的符号，需判
轴；
置
对称轴-与1的大小.若
当a，b异号，-＞0，对称轴在y
对称轴在直线x=1的左
轴右边．
边，则-＞1，再根据a
当c＞0时，抛物线与y轴的交
的符号即可得出结
决定抛物线与 点在正半轴上；
果.④2a-b的符号，需
c y轴的交点的 当c＝0时，抛物线经过原点；
判断对称轴与-1的大
位置 当c＜0时，抛物线与y轴的交
小.
点在负半轴上.
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有
2 个交点;
决定抛物线与
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有
b2－4ac x轴的交点个
1 个交点;
数
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没
有交点
（四）二次函数图像的平移
（1）平移步骤：
①将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；（也可再一般式上进行
平移）
②保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax2 y=ax2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位 平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”．（左右对x，上下对y）
（五）二次函数与方程不等式的关系
（1）平移步骤：
①将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；（也可再一般式上进行
平移）
②保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax2 y=ax2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位 平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”．（左右对x，上下对y）
（六）二次函数的对称性
b 4ac−b2
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是(− , )
2a 4a
b
①抛物线是关于对称轴x=- 成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数
2a
关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x，0），（x，0），则其对称轴
1 2
x +x
为x= 1 2
2
（七）二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
b 4ac−b2
因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=- 时，y= ，
2a 4a
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，
b 4ac−b2
因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=- 时，y= ，
2a 4a（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物
线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些
函数值，从而获得最值．
（八）二次函数的解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式
①一般式：y＝ a x 2 ＋ b x ＋ c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，
b，c的值．
②交点式：y＝ a( x － x )( x － x)(a≠0)．
1 2
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，将第三
1 2
点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．
③顶点式：y＝ a( x － h ) 2 ＋ k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋
k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．
（九）二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定
出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此
在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的
最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据
落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题
或其他问题．
模块三 考点一遍过
考点1：二次函数定义
典例1：下列函数中，y是x的二次函数是（ ）
1
A．y= B．y=ax2+bx+c
x2
C．y=x(x−2)−1 D．y=x2−x(x+1)
【变式1】若函数y=(n+3)x2−2nx+1是二次函数，则（ ）
A．n≥−3 B．n≠3 C．n≠−3 D．n=−3【变式2】若函数y=(m−3)xm2−9m+20+mx−6是二次函数，则m的值是
．
【变式3】若二次函数y=mxm2−1+3x+(m−4)有最小值，则m的值是
．
考点2：二次函数y=a（x-h）²+k的图像性质
典例2：对于二次函数y=(x+1) 2−3，下列结论正确的是（ ）
A．函数图象的顶点坐标是(1,3) B．当x=−1时，y有最小值为−3
C．当x>−1时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线x=1
【变式1】对于抛物线y=−(x+2) 2−3，下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．当x=2时，y有最大值−3
C．经过第一、二、四象限
D．若点A(−3,y )，B(1,y )都在抛物线y=−(x+2) 2−3上，则y >y
1 2 1 2
【变式2】已知二次函数y=a(x−h) 2+k（其中a，h，k是实数，a≠0），当x=1时，y=8；当
x=8时，y=1，（ ）
A．若h=4，则a>0 B．若h=5，则a<0
C．若h=6，则a>0 D．若h=7，则a<0
【变式3】已知二次函数y=a(x−2) 2−2a，当1≤x≤4时，函数值y的最大值为4，则a的值为
．
【变式4】已知点A(−1,y ),B(3,y )在抛物线y=−(x−h) 2+5上．
1 2
（1）若y <y ,h的取值范围是 ；
1 2
（2）将抛物线上A，B两点之间（含A，B两点）的图象设为G，若直线y=k与图象G有两个交点，
则k的取值范围是 ．
【变式5】已知A(x ,y )与B(x ,y )是抛物线y=a(x−2) 2+k上的两点，且|x −2|<|x −2|．
1 1 2 2 1 2
（1）若a<0，则y 与y 的大小关系是y y ；
1 2 1 2
（2）当A(x ,y )与B(x ,y )恰好是直线y=ax+k与抛物线两个交点时，若y −y <3，则a的取
1 1 2 2 1 2
值范围是 ．
考点3：二次函数y=ax²+bx+c的图像性质典例3：如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0,a,b,c为常数）的图象与x轴相交于A(−3,0)，
B(1,0)两点，则下列结论正确的是（ ）
A．a<0 B．x>−3时，y随x的增大而增大
C．对称轴是直线x=1 D．顶点坐标是(−1,−4a)
【变式1】已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … −4 −2 0 3 5 …
y … m n 0 −3 h …
4
其中m<n<− ，h<−3，现有以下表述：①当x>0时，y随x的增大而减小；②图象不经过第二象
3
限；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)一定有一个小于3的正数根；④当m+n<−13时，
1
a<− ．其中正确的结论序号是 ．
2
【变式2】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=1，与x轴的一个
交点为(3,0)．给出下列结论：①b2−4ac<0；②4a+2b+c>0；③图象与x轴的另一个交点为
(−1.0)；④当x>0时，y随x的增大而减小；⑤不等式ax2+bx+c<0的解集是−1<x<3．其中正确
结论的序号是 ．
【变式3】抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点(−2,0)，且c<0．
下列四个结论：①4a−2b+c=0；
②当x<−2时，y>0；
8
③若点(1,1)，(2,t)均在抛物线上，则t> ；
3
4a+b+c 1
④不等式t(at+b)≥a+b对任意的实数t都成立，则 < ．
4c−5a 6
其中正确的结论是 （填写序号）．
3 12
【变式4】已知二次函数y= x2− x+3，则下列关于该二次函数的描述正确的是（ ）
5 5
( 27)
A．该二次函数的图象开口向下 B．顶点坐标是 2,−
5
C．该二次函数的图象与x轴有一个交点 D．当x<1时，y随着x的增大而减小
【变式5】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x与y的部分对应值如表：
x … −1 0 3 …
y … n −3 −3 …
当n>0时，以下结论：①bc<0；②当x>2时，y的值随x值的增大而减小；③n>4a；④当n=1时，
关于 的一元二次方程 的解是 ， ，其中结论一定正确的有（ ）
x ax2+(b+1)x+c=0 x =−1 x =3
1 2
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点4：二次函数图像与系数关系
典例4：已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则一次函数y=ax+b和反比例函数
c
y= 的图象为（ ）
x
A． B．C． D．
【变式1】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有如下结论
① abc>0
；
② 8a+c<0；
2
③若抛物线与y轴的交点在(0,−3)与(0,−2)之间（包含边界），则系数a的取值范围是 ≤a≤1；
3
④若点A(t,m)，B(1−t,n)，C(3−t,p)均在二次函数的图象上，若t<0，则n<m<p．
其中正确的结论是 ．
【变式2】如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为
(−1，0)，其部分图象如图，下列结论：①4ac<b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x =−1，
1
x =3；③3a+c<0；④当y>0时，x的取值范围是−1≤x<3；⑤当x<0时，y随x增大而增大．其
2
中正确结论的序号是 ．
【变式3】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−1,0)，与y轴的交点为B，对称
轴为直线x=1．下列四个结论：①3a+c=0；②过点(3,c−a)且平行于x轴的直线与抛物线有唯一公共点；③若a>0，关于x的不等式a(x+1) 2+b(x+1)<0的解集为−1≤x≤1；④若a<0，点
1
P(t,y )，Q(t+3,y )在该抛物线上．当实数t>− 时，y >y ．．其中正确的结论是
1 2 2 1 2
（填写序号）．
【变式4】函数y=|ax2+bx+c|（a>0，b2−4ac>0）的图象（如图所示）是由函数
y=ax2+bx+c（a>0，b2−4ac>0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，
则下列结论：①2a+b=0；②c=−3；③abc<0；④将图象向上平移1个单位长度后与直线y=5有
3个交点，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．①② D．②③
【变式5】抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物
线的对称轴是直线x=1．下列结论：①abc<0；②2a+b=0；③4a−2b+c=0；④方程
ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根；⑤若点A(m,n)在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c．
其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考点5：一次函数与二次函数图像判断
典例5：在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c的图象如图所示，则二次
函数y=ax2−bx−c的图象可能是( )A． B．
C． D．
【变式1】函数y=ax2−2x+1，y=ax+a（a是常数，a≠0)，在同一平面直角坐标系的图象可能
是 ．
① ② ③
④ ⑤ ⑥
【变式2】已知二次函数y=−x2+x+6，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图
象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y=m与新图象有4个交点时，m的取值
范围是 ．【变式3】在同一平面直角坐标系中，直线y =−2x+k和抛物线y =ax2+bx+c(a≠0)，如图所示，
1 2
m ，m 是方程ax2+bx+c=−2x+k的两个根，且m <m ，则函数y=m x−m 的坐标系中的图象
1 2 1 2 1 2
大致为（ ）
A． B． C． AID． AI
考点6：反比例函数与二次函数图像判断
c
典例6：已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则反比例函数y= 与一次函数
x
y=−ax+b在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
m
【变式1】已知在同一直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与反比例函数y= 的图像如
xmc
图所示，则一次函数y= x−b的图像大致可能是（ ）
a
A． B． C． D．
k
【变式2】函数y =ax2+bx+c与y = 的图象如图所示，当x的取值范围为 时，y ,y 均随
1 2 x 1 2
着x的增大而减小．
k
【变式3】已知二次函数y =x2+bx+c和反比例函数y = 在同一个坐标系中的图象如图所示，则k
1 2 x
k
的值为
；不等式x2+bx+c<
的解集是 ．
x考点7：二次函数与二次函数图像判断
典例7：函数y 、y 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数
1 2
y= y + y 的大致图象是（ ）
1 2
A． B．
C． D．
【变式1】已知二次函数y =ax2+bx+c和y =bx2+ax+c，a>b，则下列说法正确的是（ ）
1 2A．当x<0时，y <y B．当0<x<1时，y <y
1 2 1 2
C．当0<x<1时，y >y D．当x>1时y <y
1 2 1 2
1
【变式2】已知一条抛物线的形状与抛物线y=2x2+3形状相同，与另一条抛物线y=− (x+1) 2−2
2
的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为 ．
【变式3】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，若|ax2+bx+c|=k有两个不相等的实数根，则k的取
值范围是 ．
考点8：二次函数对称性应用
典例8：设二次函数y=kx2−4kx+c（k，c为实数）的图象过点A(x ,y )，B(x ,y )，C(x ,y )
1 1 2 2 3 3
三点，且x <x <2<x ，|x |=|x |，x +x >4，下列结论正确的是（ ）
3 2 1 1 3 1 2
A．若k>0，则y = y >y B．若k>0，则y >y >y
3 1 2 3 2 1
C．若k<0，则y >y >y D．若k<0，则y >y >y
1 2 3 2 1 3
【变式1】设函数y=a(x+m) 2+n（a≠0，m，n是实数），当x=1时，y=1，x=6时，y=6．则
（ ）
A．若m=−3，则a<0 B．若m=−4，则a>0
C．若m=−5，则a<0 D．若m=−6，则a>0
【变式2】对于二次函数y=2x2+9x+k，当自变量x分别取x 和x (x ≠x )时，函数的值相等，那
1 2 1 2
么当自变量x的取值为x +x 时，其函数值与（ ）．
1 2
A．x=0时的函数值相等 B．x=1时的函数值相等
1 9
C．x= 时的函数值相等 D．x=− 时的函数值相等
4 4
【变式3】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，其中部分x和y的对应取值如下表：
x … −3 −2 −1 0 1 …y … 0 3 4 3 m …
则m的值为 ．
【变式4】已知抛物线 与 轴的交点为 和 ，点 ，
y=ax2+bx+c(a≠0) x A(1,0) B(3,0) P (x ,y )
1 1 1
是抛物线上不同于A， 的两个点，记 的面积为 ， 的面积为 ．有下列
P (x ,y ) B △P AB S △P AB S
2 2 2 1 1 2 2
结论：①当x >x +2时，S >S ；②当x <2−x 时，S <S ；③当|x −2|>|x −2|>1时，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
S >S ；④当|x −2|>|x +2|>1时，S <S ．其中错误的是 ．（写出所有错误结
1 2 1 2 1 2
论的序号）
【变式5】如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0)，它的对称轴x=1对称，则当y<0时，x的取
值范围是 ．
考点9：求二次函数解析式
典例9：根据下列条件，分别确定抛物线对应的二次函数的表达式．
(1)抛物线的顶点坐标是(2,1)，且与x轴的一个交点坐标是(3,0)；
(2)抛物线y=ax2+bx+c过(−3,0)，(1,0)两点，与y轴的交点为(0,4)．
【变式1】已知抛物线y=ax2+3的图象经过点(−2,−1)．
(1)求抛物线的表达式：
(2)判断点P(1,1)是否在该抛物线的图象上，请说明理由．
【变式2】已知关于x的二次函数y=x2−mx−3，该函数图象经过点(2,−3)．
(1)求这个二次函数的表达式及顶点坐标；
(2)这个二次函数图象与x轴的交点坐标是______；
(3)将这个二次函数的图象沿x轴平移，使其顶点恰好落在y轴上，请直接写出平移后的函数表达式
____________．
【变式3】已知二次函数y=x2−2x+c，经过点(0,−3)．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)若点B(1,m)在该函数图象上，求m的值．
考点10：二次函数图像的平移典例10：要得到抛物线 ，可以将抛物线 （ ）
y=3(x+2) 2+3 y=3x2
A．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
【变式1】抛物线 y=−x2+4x−2经过平移后得到抛物线y=−x2−4x，其平移方法是（ ）
A．向右平移3个单位，再向上平移2个单位
B．向右平移4个单位，再向下平移3个单位
C．向左平移3个单位，再向上平移2个单位
D．向左平移4个单位，再向上平移2个单位
【变式2】已知二次函数y=x2−2ax+2a，其中a为实数，对称轴为直线x=3，将二次函数的图象
向上平移6个单位，当m−1≤x≤m+2时，函数有最小值为12，则m的值为 ．
【变式3】将抛物线y=−x2向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A
（如图所示），连接OA、AB，如果△AOB是等边三角形，则OB的长为 ．
考点11：二次函数图像最值问题
典例11：对于实数a,b，定义符号min{a,b}，其意义为：当a≥b时，min{a,b}=b；当a<b时，
．例如： ，若关于 的函数 ，则该函数
min{a,b}=a min{2,−1}=−1 x y=min{−x2+x+1,−x−2}
的最大值为（ ）
A．−1 B．−5 C．3 D．2
【变式1】二次函数 ，当 且 时，y的最小值为 ，最大值为 ，则
y=−(x−1) 2+5 m≤x≤n m<0 5m 5n
m+n的值为（ ）
A．0 B．−3 C．−1 D．−2
【变式2】已知二次函数 ，当 时，y有最大值 和最小值1，则m
y=ax2+2ax+1(a<0) m≤x≤0 1−a
的取值范围是 ．
【变式3】若二次函数y=−x2+4mx(m为常数)，当自变量 x的值满足−2<x≤1时，与其对应的函数值y的最大值为5，则m 的值为
考点12：二次函数与一元二次方程
典例12：若a，b(a<b)是关于x的方程(x−m)(x−n)+2022=0(m<n)的两个实数根，则实数a，b，
m，n的大小关系是（ ）
A．a<b<m<n B．m<n<a<b C．a<m<n<b D．m<a<b<n
【变式1】抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3−t=0（t
为实数）在−1<x<4的范围内有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（ ）
A．2≤t<11 B．t≥2 C．6<t<11 D．2<t<6
【变式2】二次函数y=x2+x−2024的图象与x轴交于(a,0)，(b,0)两点，则
的值是（ ）
(a2+2a−2024)(b2+2b−2024)
A．2025 B．−2025 C．2024 D．−2024
【变式3】二次函数 的图象如图所示，则关于x的方程
y=ax2+bx+c(a≠0) ax2+bx+c=0(a≠0)
的解为 ．
【变式4】已知二次函数y=ax2−2x−3的图象与x轴有两个公共点，则a的取值范围是 ．
【变式5】已知二次函数 的图象关于y轴对称，则由此图象的顶点A
y=−x2+2(m−1)x+2m−m2
和图象与x轴的两个交点B，C构成的△ABC的面积是 ．
考点13：二次函数与不等式
典例13：直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(2,0)，B(4,2)，则不等式
x2+bx+c>x+m的解集为（ ）
A．0<x<2 B．x<2 C．0<x<4 D．x<2或x>4
【变式1】若点 在抛物线 上，其中 ，则不等式 的解为（ ）
(m,n) y=ax2(a>0) m>0 a(x−2) 2>n
A．x<−m+2或x>m+2 B．−m+2<x<m+2
C．x<−m−2或x>m−2 D．−m−2<x<m−2
【变式2】如图抛物线 与直线 交于点 ， ，则关于 的不等式
y =ax2+c y =kx+b A(−4,p) B(2,q) x
1 2ax2+c+kx−b<0的解集是 ．
【变式3】如图，抛物线 与直线 交于 、 两点，则关于 的不
y=ax2+c y=kx+m A(−3,y ) B(1,y ) x
1 2
等式ax2+c≥−kx+m的解集是 ．
考点14：二次函数的实际应用
典例14：在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用26m长
的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设BC=xm．
(1)若矩形花园ABCD的面积为168m2，求x的值；
(2)若在P处有一棵树，树中心P与墙CD、AD的距离分别是13m和6m，要将这棵树围在花园内
（考虑到树以后的生长，篱笆围矩形ABCD时，需将以P为圆心，1.5为半径的圆形区域围在内），
求矩形花园ABCD的面积S的最大值．
【变式1】如图①，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地面竖直高度OH为1.5m．
如图②，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿
化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度EF=0.5m．内边缘抛物线y 是由
2
外边缘抛物线y 向左平移得到，外边缘抛物线y 的最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口
1 1
0.5m．(1)求外边缘抛物线y 的函数表达式；
1
(2)求内边缘抛物线y 与x轴的正半轴交点B的坐标；
2
(3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求OD的取值范围．
根据以下素材，探索完成任务．
【变式2】
如何设计滑雪爱好者滑雪轨迹问题？
图1是某跳台滑雪场地的截面示
意图．平台AB长为1米，平台
AB距地面18米．以地面所在直
线为x轴，过点B垂直于地面的
素
直线为y轴，取1米为单位长度，
材
1 建立如图2的平面直角坐标系．
已知滑道对应的函数为
1
y= x2−4x+c．
5
运动员（看成点）在BA方向获
得速度v米/秒后，从A处向右下
素 飞向滑道，点M是下落过程中的
材 某位置（忽略空气阻力）．设运
2 动员飞出时间为t秒，运动员与
点A的竖直距离为h米，运动员
与点A的水平距离为l米．
素
材 实验表明：h=6t2，l=vt．
3
滑雪场规定：滑雪爱好者在飞行
素 的过程中，若5≤x≤7时，飞行
材 的高度与跳台滑道的垂直距离在
4 8~10米的范围内即可获得奖
励．
问题解决
任
务 确定滑道形状 根据图2，求滑道抛物线的解析式；
1任
根据图3，当v=5，t=1时，判断此时滑雪爱好者是否在滑
务 确定滑雪爱好者与滑道位置关系
道上？
2
滑雪爱好者从A处飞出，飞出的路径近似看成函数
任
1 2
务 确定滑雪爱好者的滑雪方案 y=− x2+ x+t，若该滑雪爱好者能够获得奖励，求整
5 5
3
数t的值．
【变式3】利用素材解决∶《桥梁的设计》
某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽AB=L，称跨度，桥面最高点到AB的距离
CD=h称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度L=32米，
问 拱高h=8米．
题
驱
动
设
计
方案一 方案二
方
案
设
计
圆弧型 抛物线型
类
型
图
形
（1）尺规作图∶已知A´B，通过尺规作图作
任
A´B所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写 （3）以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分
线为y轴建立平面直角坐标系，求此桥拱的函
务 作法）
数表达式．
（2）A´B所在圆的半径的值是_____米．
【变式4】某公司购进一种商品进行销售，经过市场调研，整理出这种商品在第x(1≤x<30)天的售
价与日销售量的相关信息如下表所示，且得到在第x(30≤x≤48)天的日销售利润y（元）与x的关系
为y=−80x+4800．已知这种商品的进价为20元/千克．
时间x/天 1≤x<30
售价/（元/千克） x+30
日销售量/千克 −2x+120(1)求1≤x<30时，日销售利润y与x的函数关系式；
(2)在1≤x≤48时，第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
(3)公司在销售的前28天中，每销售1千克这种商品就捐赠n元(n<9)给“希望工程”，若每天扣除
捐赠后的日销售利润随时间x(1≤x≤28)的增大而增大，直接写出n的整数值．
【变式5】图1展示的发石车是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍
军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形ABCD，墙宽
BC为2米，点B与点O的水平距离为23米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，
建立平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线
y=a(x−15) 2+k的一部分．
(1)若发射石块在空中飞行的最大高度为9米．
①求抛物线的解析式（不用写出x的取值范围）；
②石块能否飞越防御墙．
(2)若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（不包括端点B，C），直接写出a的取值范围．
考点15：二次函数综合
典例15：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2过点(−1,2)，且交x轴于点A，B(1,0)
两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AC于点D，过点P作y轴的平行线交直线
AC于点E，求PE+DE的最大值及此时点P的坐标．【变式1】如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+3与x轴交于点A(−3,0)，与y轴交于点B，抛
物线y=ax2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C(1,0)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当−2≤x≤1时，求y的最大值与最小值的差；
(3)D为直线AB上方抛物线上一动点，连接DA，DB，DC，BC，设△DAB的面积为S ，△DBC
1
的面积为S ，求S +S 的最大值，并求出点D的坐标．
2 1 2
3
【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y= x2+bx+c与x轴交于点A(−2,0)和点
8
B，与y轴交于点C(0,−3)，经过点A的射线AM与y轴相交于点E，与抛物线的另一个交点为F，
AE 1
且 = ．
EF 3
(1)求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴；
(2)求F点的坐标；
(3)点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，点P是y轴上一点，且∠AFP=∠DAB，求点P的坐标．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点
C(0,3)，点A在原点的左侧，点B的坐标为(3,0)，点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求PD的最大值；
(3)若点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点N，使△MON为等
腰直角三角形，且∠NMO=90∘？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
4
【变式4】如图，已知直线y= x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过
3
A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x=−1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求三角形ACD面积S的最大值及此时D
点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为
对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标．
【变式5】已知，关于x的二次函数y=ax2+2ax−3a(a>0)的图象与x轴交于A、B两点（点A在
点B的左侧），与y轴交于点C，图象顶点为D，连接AC、BC、CD．(1)请直接写出点A、B、C、D的坐标（用数字或含a的式子表示）：
A ；B ；C ；D ；
(2)作出点C关于对称轴的对称点E，连接AE、CE、DE，若△ACE和△DCE相似，求a的值；
(3)若∠ACB≥90°，直接写出a的取值范围．
