文档内容
专题 04 二次函数及其应用
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y= ax 2 +bx+c （a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b 是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c
（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，
自变量的取值范围还需使实际问题有意义。
（二）二次函数的图像性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象
(a＞0) (a＜0)
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 直线x＝－ 直线x＝－
顶点坐标当x＜－时，y随x的增大而减
当x＜－时，y随x的增大而增大；
增减性 小；当x＞－时，y随x的增大而
当x＞－时，y随x的增大而减小
增大
最值 当x＝－时，y有最小值 当x＝－时，y有最大值
（三）二次函数图像与系数的关系
决定抛物线的 某些特殊形式代数式的
当a＞0时，抛物线开口向上；
a 开口方向及开 符号：
当a＜0时，抛物线开口向下.
口大小 a±b+c即为x=±1时，
y
当a，b同号，-＜0，对称轴在y
的值；②4a±2b+c即
轴左边；
决定对称轴
为x=±2时，y的值.
当b＝0时，-=0，对称轴为y
a、b （x=-）的位
2a+b的符号，需判
轴；
置
对称轴-与1的大小.若
当a，b异号，-＞0，对称轴在y
对称轴在直线x=1的左
轴右边．
边，则-＞1，再根据a
当c＞0时，抛物线与y轴的交
的符号即可得出结
决定抛物线与 点在正半轴上；
果.④2a-b的符号，需
c y轴的交点的 当c＝0时，抛物线经过原点；
判断对称轴与-1的大
位置 当c＜0时，抛物线与y轴的交
小.
点在负半轴上.
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有
2 个交点;
决定抛物线与
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有
b2－4ac x轴的交点个
1 个交点;
数
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没
有交点
（四）二次函数图像的平移
（1）平移步骤：
①将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；（也可再一般式上进行
平移）
②保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax2 y=ax2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位 平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”．（左右对x，上下对y）
（五）二次函数与方程不等式的关系
（1）平移步骤：
①将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；（也可再一般式上进行
平移）
②保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax2 y=ax2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位 平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”．（左右对x，上下对y）
（六）二次函数的对称性
b 4ac−b2
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是(− , )
2a 4a
b
①抛物线是关于对称轴x=- 成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数
2a
关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x，0），（x，0），则其对称轴
1 2
x +x
为x= 1 2
2
（七）二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
b 4ac−b2
因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=- 时，y= ，
2a 4a
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，
b 4ac−b2
因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=- 时，y= ，
2a 4a（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物
线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些
函数值，从而获得最值．
（八）二次函数的解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式
①一般式：y＝ a x 2 ＋ b x ＋ c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，
b，c的值．
②交点式：y＝ a( x － x )( x － x)(a≠0)．
1 2
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，将第三
1 2
点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．
③顶点式：y＝ a( x － h ) 2 ＋ k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋
k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．
（九）二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定
出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此
在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的
最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据
落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题
或其他问题．
模块三 考点一遍过
考点1：二次函数定义
典例1：下列函数中，y是x的二次函数是（ ）
1
A．y= B．y=ax2+bx+c
x2
C．y=x(x−2)−1 D．y=x2−x(x+1)
【变式1】若函数y=(n+3)x2−2nx+1是二次函数，则（ ）
A．n≥−3 B．n≠3 C．n≠−3 D．n=−3【变式2】若函数y=(m−3)xm2−9m+20+mx−6是二次函数，则m的值是
．
【变式3】若二次函数y=mxm2−1+3x+(m−4)有最小值，则m的值是
．
考点2：二次函数y=a（x-h）²+k的图像性质
典例2：对于二次函数y=(x+1) 2−3，下列结论正确的是（ ）
A．函数图象的顶点坐标是(1,3) B．当x=−1时，y有最小值为−3
C．当x>−1时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线x=1
【变式1】对于抛物线y=−(x+2) 2−3，下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．当x=2时，y有最大值−3
C．经过第一、二、四象限
D．若点A(−3,y )，B(1,y )都在抛物线y=−(x+2) 2−3上，则y >y
1 2 1 2
【变式2】已知二次函数y=a(x−h) 2+k（其中a，h，k是实数，a≠0），当x=1时，y=8；当
x=8时，y=1，（ ）
A．若h=4，则a>0 B．若h=5，则a<0
C．若h=6，则a>0 D．若h=7，则a<0
【变式3】已知二次函数y=a(x−2) 2−2a，当1≤x≤4时，函数值y的最大值为4，则a的值为
．
【变式4】已知点A(−1,y ),B(3,y )在抛物线y=−(x−h) 2+5上．
1 2
（1）若y −3时，y随x的增大而增大
C．对称轴是直线x=1 D．顶点坐标是(−1,−4a)
【变式1】已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … −4 −2 0 3 5 …
y … m n 0 −3 h …
4
其中m0时，y随x的增大而减小；②图象不经过第二象
3
限；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)一定有一个小于3的正数根；④当m+n<−13时，
1
a<− ．其中正确的结论序号是 ．
2
【变式2】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=1，与x轴的一个
交点为(3,0)．给出下列结论：①b2−4ac<0；②4a+2b+c>0；③图象与x轴的另一个交点为
(−1.0)；④当x>0时，y随x的增大而减小；⑤不等式ax2+bx+c<0的解集是−10；
8
③若点(1,1)，(2,t)均在抛物线上，则t> ；
3
4a+b+c 1
④不等式t(at+b)≥a+b对任意的实数t都成立，则 < ．
4c−5a 6
其中正确的结论是 （填写序号）．
3 12
【变式4】已知二次函数y= x2− x+3，则下列关于该二次函数的描述正确的是（ ）
5 5
( 27)
A．该二次函数的图象开口向下 B．顶点坐标是 2,−
5
C．该二次函数的图象与x轴有一个交点 D．当x<1时，y随着x的增大而减小
【变式5】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x与y的部分对应值如表：
x … −1 0 3 …
y … n −3 −3 …
当n>0时，以下结论：①bc<0；②当x>2时，y的值随x值的增大而减小；③n>4a；④当n=1时，
关于 的一元二次方程 的解是 ， ，其中结论一定正确的有（ ）
x ax2+(b+1)x+c=0 x =−1 x =3
1 2
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点4：二次函数图像与系数关系
典例4：已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则一次函数y=ax+b和反比例函数
c
y= 的图象为（ ）
x
A． B．C． D．
【变式1】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有如下结论
① abc>0
；
② 8a+c<0；
2
③若抛物线与y轴的交点在(0,−3)与(0,−2)之间（包含边界），则系数a的取值范围是 ≤a≤1；
3
④若点A(t,m)，B(1−t,n)，C(3−t,p)均在二次函数的图象上，若t<0，则n0时，x的取值范围是−1≤x<3；⑤当x<0时，y随x增大而增大．其
2
中正确结论的序号是 ．
【变式3】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−1,0)，与y轴的交点为B，对称
轴为直线x=1．下列四个结论：①3a+c=0；②过点(3,c−a)且平行于x轴的直线与抛物线有唯一公共点；③若a>0，关于x的不等式a(x+1) 2+b(x+1)<0的解集为−1≤x≤1；④若a<0，点
1
P(t,y )，Q(t+3,y )在该抛物线上．当实数t>− 时，y >y ．．其中正确的结论是
1 2 2 1 2
（填写序号）．
【变式4】函数y=|ax2+bx+c|（a>0，b2−4ac>0）的图象（如图所示）是由函数
y=ax2+bx+c（a>0，b2−4ac>0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，
则下列结论：①2a+b=0；②c=−3；③abc<0；④将图象向上平移1个单位长度后与直线y=5有
3个交点，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．①② D．②③
【变式5】抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物
线的对称轴是直线x=1．下列结论：①abc<0；②2a+b=0；③4a−2b+c=0；④方程
ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根；⑤若点A(m,n)在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c．
其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考点5：一次函数与二次函数图像判断
典例5：在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c的图象如图所示，则二次
函数y=ax2−bx−c的图象可能是( )A． B．
C． D．
【变式1】函数y=ax2−2x+1，y=ax+a（a是常数，a≠0)，在同一平面直角坐标系的图象可能
是 ．
① ② ③
④ ⑤ ⑥
【变式2】已知二次函数y=−x2+x+6，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图
象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y=m与新图象有4个交点时，m的取值
范围是 ．【变式3】在同一平面直角坐标系中，直线y =−2x+k和抛物线y =ax2+bx+c(a≠0)，如图所示，
1 2
m ，m 是方程ax2+bx+c=−2x+k的两个根，且m b，则下列说法正确的是（ ）
1 2A．当x<0时，y y D．当x>1时y 4，下列结论正确的是（ ）
3 2 1 1 3 1 2
A．若k>0，则y = y >y B．若k>0，则y >y >y
3 1 2 3 2 1
C．若k<0，则y >y >y D．若k<0，则y >y >y
1 2 3 2 1 3
【变式1】设函数y=a(x+m) 2+n（a≠0，m，n是实数），当x=1时，y=1，x=6时，y=6．则
（ ）
A．若m=−3，则a<0 B．若m=−4，则a>0
C．若m=−5，则a<0 D．若m=−6，则a>0
【变式2】对于二次函数y=2x2+9x+k，当自变量x分别取x 和x (x ≠x )时，函数的值相等，那
1 2 1 2
么当自变量x的取值为x +x 时，其函数值与（ ）．
1 2
A．x=0时的函数值相等 B．x=1时的函数值相等
1 9
C．x= 时的函数值相等 D．x=− 时的函数值相等
4 4
【变式3】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，其中部分x和y的对应取值如下表：
x … −3 −2 −1 0 1 …y … 0 3 4 3 m …
则m的值为 ．
【变式4】已知抛物线 与 轴的交点为 和 ，点 ，
y=ax2+bx+c(a≠0) x A(1,0) B(3,0) P (x ,y )
1 1 1
是抛物线上不同于A， 的两个点，记 的面积为 ， 的面积为 ．有下列
P (x ,y ) B △P AB S △P AB S
2 2 2 1 1 2 2
结论：①当x >x +2时，S >S ；②当x <2−x 时，S |x −2|>1时，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
S >S ；④当|x −2|>|x +2|>1时，S x+m的解集为（ ）
A．04
【变式1】若点 在抛物线 上，其中 ，则不等式 的解为（ ）
(m,n) y=ax2(a>0) m>0 a(x−2) 2>n
A．x<−m+2或x>m+2 B．−m+2m−2 D．−m−20)的图象与x轴交于A、B两点（点A在
点B的左侧），与y轴交于点C，图象顶点为D，连接AC、BC、CD．(1)请直接写出点A、B、C、D的坐标（用数字或含a的式子表示）：
A ；B ；C ；D ；
(2)作出点C关于对称轴的对称点E，连接AE、CE、DE，若△ACE和△DCE相似，求a的值；
(3)若∠ACB≥90°，直接写出a的取值范围．
