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专题 04 二次函数及其应用（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．若二次函数y＝－x2＋b的图像经过点（0，4），则不等式－x2＋b≥0的解集为（ ）
A．－2≤x≤2 B．x≤2 C．x≥－2 D．x≤－2或x≥2
2．在下列二次函数中，其图象对称轴为x=2的是
A．y=2x2﹣4 B．y=2(x-2)2
C．y=2x2+2 D．y=2(x+2)2
3．抛物线 的开口方向和顶点坐标分别是（ ）
y=−(x+3) 2−1
A．开口向下，(−3,−1) B．开口向上，(3,−1)
C．开口向下，(−3,1) D．开口向上，(−3,1)
4．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．二次函数 图象的顶点坐标是（ ）
y=2(x−2) 2+1
A．（2，0） B．（0，1） C．（2，1） D．（−2，1）
6．已知二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）+2，若m，n是关于x方程（x﹣p）（x﹣q）+2＝0的两个根，
则实数m，n，p，q的大小关系可能是（ ）
A．m＜p＜q＜n B．m＜p＜n＜q C．p＜m＜n＜q D．p＜m＜q＜n
7．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E、F分别是AB、BD上的动点，且EF⊥AB，
点M是EC的中点，则FM的最小值是（ ）3√10 √10 3 3
A． B． C． D．
10 5 10 5
8．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=cx+ab的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点(2,0)，对称轴为直线x=−1．下列结论：①abc>0；
② ；③对于任意实数 ，总有 ；④对于 的每一个确定值，若一元
8a+c=0 m a(m2−1)+b(m+1)≤0 a
二次方程ax2+bx+c=p（P为常数，且P＞0）的根为整数，则P的值有且只有三个，其中正确的
结论是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图一段抛物线：y=−x(x−3)(0≤x≤3)，记为C ，它与x轴交于点O和A ；将C 绕 A 旋
1 1 1 1
转180°得到C ，交x轴于A ；将C 绕A 旋转180°得到C ，交x轴于A ，如此进行下去，直至得到
2 2 2 2 3 3
C ，若点P(28,m)在第10段抛物线C 上，则m的值为（ ）
10 10A．−1 B．−2 C．1 D．2
11．如图，二次函数 的部分图象与x轴的一个交点坐标为 ，则关于x的
y=ax2+bx+c(a≠0) (−1,0)
方程ax2+bx+c=0的解为（ ）
A．x=−1 B．x=3
C．x =−1，x =3 D．x =−1，x =1
1 2 1 2
12．如图，已知二次函数y=−x2+bx−c，它与x轴交于A、B，且A、B位于原点两侧，与y的正
半轴交于C，顶点D在y轴右侧的直线l：y=4上，则下列说法：①bc>0；②0<b<4；③AB=4；
④S =8，其中正确的结论有（ ）
ΔABD
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
13．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则下列说法错误的是（ ）A．对称轴是直线x＝﹣1
B．abc＜0
C．b2﹣4ac＞0
D．方程ax2+bx+c＝0的根是x＝﹣3和x＝1
1 2
14．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别
为x、x，其中﹣2＜x＜﹣1，0＜x＜1．下列结论：
1 2 1 2
①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③abc＜0；④b2+8a＜4ac．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点坐标为
(−1,0)），下列结论：①abc<0；②3a+c=0；③当y>0时，x的取值范围是−1≤x<3；④点
， 都在抛物线上，则有 ．其中结论正确的个数是（ ）
(−2,y ) (2,y ) y <0<y
1 2 1 2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
16．当−3≤x≤2时，函数y=ax2−2ax−7a+12(a为常数，且a小于0)的图象在x轴上方，则a的
取值范围为 ．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，如果
抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后恰好能同时经过O、A、B三点，那么a+b+c＝ ．
18．点E在边长为4的正方形ABCD的边BC上，点F在边CD上，∠EAF=45°，则△AEF面积的
最小值为 ．
19．如图，已知 ， ， ，抛物线 过点C，顶点M位于第二象限
A(0,3) B(−4,3) C(2,0) y=a(x−h) 2+k
且在线段AB的垂直平分线上，若该抛物线与线段AB没有公共点，则k的取值范围是 ．20．在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x−3的图像向右平移2个单位，再向下平移1个
单位得到图像函数的解析式是 ．
21．已知函数 与x轴的交点横坐标为正整数，则整数k的值为
y=kx2−(k+2)x+2
22．已知抛物线y＝a +bx+c（a≠0）与坐标轴有且只有两个公共点，对称轴为直线x＝1，且过点
x2
A(﹣1，﹣1)，则
（1）3a+c= ；
（2）a= ．
23．抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过(﹣1，0)、(5，0)两点，则关于x的一元二次方程a（x+h+2）2+k＝
0的解是 ．
24．如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，对称轴为直线 ，与
y=ax2+bx+c(a≠0) x A(−1,0) x=1 y
轴的交点B在(0,−2)和(0,−1)之间（包括这两点）下列结论：①3a+b>0；②当−1<x<3时，
1 2
y<0；③b>c；④ ≤a≤ ，其中正确的是 （填序号）．
3 3
25．某函数满足当自变量x=1时，函数值y=0；当自变量x=0时，函数值y=1，写出一个满足条件
的函数表达式 .
三、解答题
1
26．如图，点P在抛物线y= x2上，点P与点Q关于y轴对称，A为抛物线上另一动点，PA交y轴
8OM
于点M,AQ交y轴于点N．求 的值．
ON
27．如图，抛物线y=x2−2x−3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，
直线AC交y轴于点P．直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．
FP
求 的值（用含m的式子表示）．
OP
28．如图，抛物线y=−x2−x+2与x轴交于A、C两点（点A在点C的左边），对称轴与x轴交于点
M，P为抛物线上对称轴左侧一点，直线PM交抛物线于另一点Q，点P关于抛物线对称轴的对称点
为H，直线HQ交抛物线对称轴于点G．在点P运动过程中，GM的长是否为一定值？若为定值，请
求出其值；若不为定值，请求出其变化范围．
29．已知二次函数y=−x2−2x+3．
x ⋯ −3 −2 −1 0 1 ⋯
y ⋯ 0 3 4 3 0 ⋯(1)请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
(2)若点C(x,y)在该函数图象上
①当y>0时，则x的取值范围为___________；
②当t−1≤x<t（t为常数）时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是__________．
x …… −3 −2 −1 0 1 ……
y …… 0 3 4 3 0 ……
30．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，其对称轴
与x轴交于点D，顶点为E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在图中作出该函数的图象并结合图象回答：
①该抛物线的对称轴为直线_______；
②该抛物线的最大值为_______．
(3)①若ax2+bx+c=3，则x=______；
②当y>0时，x的取值范围是______；
3
③方程x− =2的根是_____．
x
31．某水果超市计划从灵宝购进“红富士”与“新红星”两个品种的苹果．已知2箱红富士苹果的
进价与3箱新红星苹果的进价的和为282元，且每箱红富士苹果的进价比每箱新红星苹果的进价贵6元．
（1）求每箱红富士苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是多少元？
（2）当每箱红富士苹果销售价定为80元时，每周可售出60箱，现决定降价销售．市场调查反映：
销售价每降低1元，则每周可多售出4箱（销售单价不低于成本价）．当销售价为多少元时（结果
取整数），销售红富士苹果每周的利润最大，最大利润为多少元？
32．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的
ax2+bx+c=0(a≠0)
k((k>0)倍，则称这样的方程为“k系方程”．如方程(x−1)(x−2)=0的两根分别为：
x =1，x =2，x =2x ，则方程(x−1)(x−2)=0为“2系方程”．
1 2 2 1
（1）下列方程是“3系方程”的是_________（填序号即可）；
① ；② ；③ ．
(3x+1)(x+1)=0 x2−2x−3=0 (x−4) 2=4
（2）若关于x的一元二次方程 是“2系方程”．
ax2+bx+c=0(a≠0)
9
①求证：b2− ac=0；
2
b2 1 2a+1
②若c=2，且关于x的函数y=ax2− x+2，当 ≤x≤ 时的最大值为1，求a的值．
3 a a
33．综合与探究
如图，抛物线y=ax2+bx−2经过点A(−3，0)，B(1，0)，与y轴交于点C，作直线AC．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若P是抛物线y=ax2+bx−2上的一点，设点P的横坐标为m(−3<m<0)，△APC的面积为S，
求S关于m的函数表达式．当m为何值时，S有最大值，并求出S的最大值．
(3)若点M是抛物线y=ax2+bx−2上的一点，过点M作MN∥BC交x轴于点N，是否存在点M，
使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说
明理由．
34．某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第x(1≤x≤48)天的售价与日销
售量的相关信息如表：时间x（天） 1≤x<30 30≤x≤48
售价 x+30 60
日销售量（kg
−2x+120
）
已知这种商品的进价为20元/kg，设销售这种商品的日销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
35．已知抛物线 与x轴交于点 和点 ，与y轴交于点C，连接
y=ax2+2x+c(a≠0) A(−1,0) B(3,0)
BC，点O与点D关于线段BC对称．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，P为AD上方的抛物线上的一个动点，连接PB交AD于点E．当△ABD的面积被直线BP
分成1:3的两部分时，求点P的坐标．
(3)如图2，若直线 沿过点D的直线m折叠后恰好经过点 (21 )，请直接写出直线m与抛物
AD M ,0
4
线的交点Q的坐标．
【能力提升】
36．已知抛物线 与 轴交于 、 两点( 在 的左侧)，与 轴交于点 ．
y =−mx2+2mx+3m x A B A B y C
1(1)求A、B两点的坐标．
(2)如图，直线y =3x+1与抛物线y 的图象交于D、E两点，其中E点的横坐标为−2，当y >y 时，
2 1 1 2
根据图象求出x的取值范；
(3)在（2）的条件下，
①抛物线上是否存在一点F，使得∠≝=45°，若存在求出F点的坐标；若不存在，请说明理由；
②连接AD，G为线段AB上一动点（不与A、B重合）将△ADG沿DG翻折至△A′DG，使A与A′
重合，A′点落在x轴的下方，其中A′D交线段AB于点H，求GH:AG的最小值．
37．在平面直角坐标系xOy中，若点Q的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点Q为“潇洒点”，如
点 都是“潇洒点”．已知二次函数 的图象上有且只有一个
(1,−1),(−5,5) y=ax2+bx−4(a≠0)
“潇洒点”(2,−2)．
(1)小敏认为所有的潇洒点都在同一条直线l上，请直接写出直线l的解析式．
(2)求a，b的值，及二次函数 的顶点坐标．
y=ax2+bx−4(a≠0)
(3)将 的图象上移 个单位得到抛物线 ，若 上有两个“潇洒点”分别
y=ax2+bx−4(a≠0) m(m>0) l l
2 2
是M(x ,y ),N(x ,y )，且MN=2√2，求当x ≤x≤x 时，l 中y的最大值和最小值．
1 1 2 2 1 2 2
38．如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 交 轴于 、 两点，
xOy y=ax2+bx+c(a≠0) x A(−6,0) B(2,0)
交y轴于点C(0,6)，连接AC．(1)求抛物线表达式；
(2)点P从点C以每秒√2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速
度沿OC运动到点C，点P和点Q同时出发，连接PQ，设点P和点Q的运动时间为t，求S 的最
△CPQ
大值及此时点P的坐标；
(3)抛物线上存在点M，使得∠ACM=15°，请直接写出点M的坐标．
3 3
39．如图，二次函数y=− x2+ x+3的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B．
8 4
（1）求二次函数的顶点坐标；
（2）E是直线BC上方抛物线上的一动点，当ΔBCE的面积最大时，求tan∠OCE的值；
（3）在（2）的条件下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，Q是抛物线对称轴上
的一个动点，抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
40．如图，直线y=−x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=−x2+bx+c过点B和C，与
x轴的另一个交点为A．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)点M是第一象限内抛物线上的一个动点，设点M的横坐标为m，过点M作直线MN⊥x轴于点N，交直线BC于点G，若点G为MN的三等分点，求点M的坐标；
(3)将线段AB先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段PQ．现另有抛物线
，请你根据a的不同取值范围，探索抛物线 与线段
y=a(−x2+bx+c)(a>0) y=a(−x2+bx+c) PQ
的交点个数（只需直接写出a的取值范围及对应的交点个数即可）．
