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专题 04 一次方程（组）
一、一元一次方程
只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程，叫做一元一
概念
次方程。其一般形式是ax+b=0(a,b为常数，且a≠0).
解法依据是等式的基本性质.
性质①：若a=b，则a±m=b±m；
一元一次方程
a b
解法 =
d d
性质②：若a=b，则am=bm；若a=b，则 (d≠0).
解法的一般步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1.
二、二元一次方程（组）
二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程
叫做二元一次方程．二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③
所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
二 { x=1
元 定义 { x=1 2x−y=0
一 x+y=2 3 y=6
形如 和 都是二元一次方程组代入法解二元一次方程组的一般步骤：
a. 从方程组中任选一个方程,将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出
来;
b. 将这个代数式代入另一个方程,消去一个未知数,得到含有一个未知数的一元一次方程;
c. 解这个一元一次方程,求出一个未知数的值;
次 d. 将所求得的这个未知数的值代入原方程组的任一方程中,求出另一个未知数的值,从而得到
方 方程组的解.
解法
程 加减法解二元一次方程组的一般步骤:
组 a. 方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数不互为相反数又不相等,就用适当的数去乘
方程的两边,使 它们中同一个未知数的系数相等或互为相反数;
b. 把两个方程的两边分别相减或相加,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;
c. 解这个一元一次方程;
d. 将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数,从而得到方程组
的解.
三、方程的运用
解应用题的步骤：①审清题意;②找等量关系;③设未知数;④列方程;⑤解方程;⑥验根;⑦作答.
工作(或工程)问题：工作量=工作效率×工作时间
利息问题：利息=本金×利率×期数;本息和=本金+利息
行程问题：路程=速度×时间;其中,相遇问题:s +s =s ;
甲 乙 总
常见
追及问题：(同地异时)前者走的路程=追者走的路程;(异地同时)前者走的路程+两地间的距离=追者
运用
走的路程
题型
利润
进价
利润问题：利润=卖价-进价；利润率= ×100%.
数字问题：两位数=10×十位数字+个位数字；三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字
分配问题等
【考点1】等式性质
【例1】（2022·山东滨州）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下
关系： 去分母得 ，那么其变形的依据是（ ）A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
运用等式的性质的注意事项
（1）等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算.
（2）等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子.
（3）等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母.
1．（2022·河南郑州·七年级期末）已知等式 ，则下列式子中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河北保定·七年级期末）已知 是有理数（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
3．（2022·湖北十堰·七年级期末）设x，y，c是有理数，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
4．下列判断错误的是（ ）
a b
A．如果a＝b，那么ac﹣d＝bc﹣d B．如果a＝b，那么 =
c2+1 c2+1
C．如果x＝3，那么x2＝3x D．如果ax＝bx，那么a＝b
【考点2】一次方程（组）概念与解法
【例2】解方程：【例3】（2021·广东）二元一次方程组 的解为 ．
1．解一元一次方程的基本步骤.
①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1.
2．解二元一次方程组关键在于熟练掌握用消元法和代入法
3．解二元一次方程组的方法选择
（1）当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；
（2）当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；
（3）方程组中同一个知数的数相同或互为相反数时，选用加减消无法
（4）当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法
1．（2022·福建三明·八年级期末）下面各组数值中，二元一次方程2x＋y＝10的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）已知 ， 满足方程组 ，则 的值为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·广东深圳·八年级期末）已知方程组 的解满足 ，则 的值为（ ）
A．7 B． C．1 D．
4．（2022·浙江台州）解方程组： ．
【考点3】含参方程【例4】已知 是二元一次方程kx＋4y＝7的一个解，则k＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例5】（2021·重庆·七年级阶段练习）在解方程组由于粗心，甲看错了方程组 中的a，得到的
解为 ，乙看错了方程组中的b，得解 ，则原方程组中的正确的解为（ ）
A． B． C． D．
1．（2020·江西·新余四中七年级期中）若方程 的解与关于 的方程 的解
相同，求 的值．
2．（2022·四川省成都市石室联合中学八年级期末）若 是关于x，y的二元一次方程x+ay＝4的一个
解，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2021·山东滨州·二模）已知关于x、y的方程组 的解满足x+y=5，则k的值为
（ ）
A． B．2 C．3 D．54．（2022·贵州毕节·八年级期末）若关于x、y的二元一次方程 的解，也是方程 的
解，则m的值为（ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．无法计算
5．（2022·甘肃酒泉·八年级期末）如果关于 ， 的方程组 与 的解相同，则
的值（ ）
A．1 B．2 C．－1 D．0
【考点4】方程运用1：工程问题
【例6】（2022·山东济宁·七年级期末）一项工程由甲工程队单独完成需要12天，由乙工程队单独完成需
要16天．甲工程队单独施工5天后，为加快工程进度，又抽调乙工程队加入该工程施工，问还需多少天可
以完成该工程？如果设还需x天可以完成该工程，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·江苏·七年级专题练习）在防疫政策的指导下，疫情得到了全面控制某医疗器械厂计划在规定时
间内完成一批防护服的生产任务，如果每天生产防护服300套，那么就比原计划生产任务少生产100套；
如果每天生产350套，那么可提前一天完成任务，并且还超过原计划生产任务50套，求这批防护服原计划
生产任务是多少？2．（2021·黑龙江道里·七年级期末）振兴东北“滨滨有礼、智领未来”，哈尔滨市地铁“三号线”正在进
行修建中，现有大量的残土需要运输．某车队有载重量为10吨和15吨的卡车共20辆，全部车辆运输一次
可以运输260吨残土．
（1）求该车队有载重量为10吨和15吨的卡车各有多少辆；
（2）随着工程的进展，该车队需要一次运输残土不低于360吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种
卡车共8辆，求该车队新购进的卡车中最多购进载重量为10吨的卡车多少辆？
3．（2021·陕西韩城·七年级期末）甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建3000m的村路，甲队每天修建
150m，乙队每天修建200m，共用18天完成．
（1）粗心的张红同学，根据题意，列出的两个二元一次方程等号后面忘记写数据，得到了一个不完整的
二元一次方程组 ，请你将张红列出的这个不完整的方程组补充完整，并说明未知数p、q表
示的含义；
（2）李芳同学的思路是设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路，请你按照李芳的思路，求
甲、乙两个工程队分别修建了多少天？【考点5】方程运用2：行程问题
【例7】（2022·甘肃武威）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有
凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海
起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相
遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【例8】（2022·湖南）中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由
原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小
时快200千米，求高铁的平均速度．
1．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）八年级期末）某学校体育有场的环形跑道长 ，甲、乙分别
以一定的速度练习长跑和骑自行车．同时同地出发，如果反向而行，那么他们每隔 相遇一次．如果同
向而行，那么每隔 乙就追上甲一次，设甲的速度为 ，乙的速度为 ，则可列方程组为（
）
A． B． C． D．
2．（2021·吉林·九年级专题练习）某体育场的环行跑道长400m，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和骑
自行车．如果反向而行，那么他们每隔30s相遇一次．如果同向而行，那么每隔80s乙就追上甲一次．甲、
乙的速度分别是多少？3．（2022·湖南常德）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，某天，他们以平
常的速度行驶了 的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时共用了5小时，
问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
【考点6】方程运用3：历史文献问题
【例9】（2022·江苏苏州）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．
它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这
样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何
步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，
走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可
列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
【例10】（2022·江苏扬州）《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：
“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”学了方程（组）后，我们可以非常顺
捷地解决这个问题，如果设鸡有 只，兔有 只，那么可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
1．（2022·四川成都）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦
果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦
果有 个，甜果有 个，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江宁波）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有
米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，
即出米率为 ．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再春成米，共得
米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（
）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏宿迁）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一
房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；
如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一
次方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点7】方程运用4：数字问题
【例11】（2022·河北临漳·八年级期末）有一个两位数和一个一位数，它们的和为39，若将两位数放在一
位数的前面，得到的三位数比将一位数放在两位数的前面得到的三位数大27，求这两个数．若设两位数是
x，一位数是y，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．1．（2022·宁夏中宁县第三中学七年级期末）一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是6，把这个
两位数加上18后，比十位数字大56，请问这个两位数是多少？
2．（2021·广东·深圳中学八年级期中）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位
数的十位数字和个位数字对调所得新两位数比原两位数大27，请利用二元一次方程组求这个两位数．
【考点8】方程运用5：几何图形问题
【例12】如图，一个长方形图案是由8个大小相同的小长方形拼成，宽为 ，设每个小长方形的长为
，宽为 ，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【例13】（2022·江苏泰州）如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余
下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260 m2，道路的宽应为多少？1．（2021·陕西秦都·八年级期末）如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的
长为 厘米，宽为 厘米，则依题意列二元一次方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．八块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的宽等于（ ）
A．15cm B．30cm C．12cm D．10cm
3．（2022·辽宁大连·七年级期末）一个长方形的周长为28cm，若把它的长减少1cm，宽增加3cm，就变成
一个正方形，则这个长方形的面积是（ ）
A．48 B．45 C．40 D．33
【考点9】方程运用8：分段收费
【例14】潍坊出租车采用阶梯式的计价收费办法如下表：
行驶里程 计费方法不超过3公里 起步价8元
超过3公里且不超过7公里的部分 每公里按标准租费收费
超过7公里且不超过25公里的部分 每公里再加收标准租费的50%
超过25公里且不超过100公里的部分 每公里再加收标准租费的75%
超过100公里的部分 每公里再加收标准租费的100%
说明：行驶里程不足1公里，按1公里计算；
行驶里程超过3公里时的标准租费为1.8元/公里．
若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为（ ）
A．13公里 B．12公里 C．11公里 D．10公里
1．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用
水阶梯式计费价格表的一部分：（水价计费＝自来水销售费用＋污水处理费用）
污水处理价格 每户每月用水量
自来水销售价格
（单价：元/吨） （单价：元/吨）
17吨及以下 a 0.80
超过17吨不超过
b 0.80
30吨的部分
超过30吨的部分 6.00 0.80
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．
（1）求a，b的值．
（2）6月份小王家用水32吨，应交水费多少元．
（3）若林芳家7月份缴水费303元，她家用水多少吨？2．一家电信公司推出两种移动电话计费方法，如下表所示：
计费方法A 计费方法B
每月基本服务费（元/月） 58元 88元
每月免费通话时间（分） 150分 350分
超出后每分钟收费（元/分） 0.25元 0.20元
（1）若月通话时间是3小时，则使用计费方法A的用户话费为_______元，使用计费方法B的用户话费为
_______元；
（2）若月通话时间是x分钟（x>350），则按A、B两种计费方法的用户话费分别是多少？（用含x的代数
式表示）
（3）当通话时间为多长时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等？
