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专题 04 一次方程（组）
（时间：60分钟，满分100分）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022·四川资阳·七年级期末）下列各式中：① ；② ；③ ；④ ；⑤
；⑥ ，是方程的是（ ）
A．①④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤
【答案】C
【分析】根据方程的定义即可一一判定．
【详解】解：含有未知数的等式叫做方程，
① 是方程；
② ，不含有未知数，故不是方程；
③ 不是等式，故不是方程；
④ 是方程；
⑤ 是方程；
⑥ 不是等式，故不是方程；
故方程有：①④⑤，
故选：C．
2．（2022·河北沧州·七年级期末）若关于 的方程 的解是 ，则 的值是
（ ）
A．1 B．5 C．-1 D．-5
【答案】C
【分析】把 代入方程 ，得到关于a的方程，求解即可．
【详解】解：把 代入方程 ，得
a+3=2，解得：a=-1，故C正确．
故选：C．
3．（2022·河北保定·七年级期末）已知 是有理数（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
【答案】B
【分析】根据等式的性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 如果 ，那么 ，故该选项不正确，不符合题意；
B. 如果 ，那么 ，故该选项正确，符合题意；
C. 如果 ，当 时，那么 ，故该选项不正确，不符合题意；
D. 如果 ，当 时，那么 ，故该选项不正确，不符合题意；
故选B
4．（2022·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）已知 ， 满足方程组 ，则 的值为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据两个方程中未知数系数的特点，把两个方程相加即可求得结果的值．
【详解】
方程组中的两个方程相加得：3a+3b=12
即3(a+b)=12
∴a+b=4
故选：D
5．（2022·广东·汕头市金平区金园实验中学七年级期末）某商店以120元一件购进一批上衣，提价25%后
出售，以8折售出，则在这次买卖中每件上衣（ ）
A．赚了5元 B．赚了13元 C．赔了9元 D．不赔不赚
【答案】D
【分析】根据公式计算出打折后的售价，与进价进行比较，即可判断．
【详解】
售价： （元）
利润：120-120=0（元）
所以不赔不赚，
故选D．6．（2021·贵州六盘水·八年级阶段练习）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不
知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两
人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共
有钱50．问：甲，乙两人各带了多少钱？设甲，乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设甲持钱x，乙持钱y，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=50，乙的钱+甲所有钱的 =50，
据此列方程组可得．
【详解】
解：设甲持钱x，乙持钱y，
根据题意，得： ，
故选：B．
7．（2021·广东·佛山市城北中学八年级期中）小明解方程组 的解为 ，由于不小滴下了两
滴墨水，刚好把两个数■和★遮住了，则这两个数和■和★的值为（ ）
A．■=8和★=3 B．■=8和★=5 C．■=5和★=3 D．■=3和★=8
【答案】A
【解析】
【分析】
把 代入 求出 ；再把 代入 求出数■即可．【详解】
解：把 代入 得， ，解得， ；
把 代入 得， ，解得， ；
故选A
8．（2021·广东江门·九年级期中）在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的 ，得到
的解为 ，乙看错了方程组中的b，得到的解为 ．则原方程组的解（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把甲得到的解带入第二个方程，把乙得到的解带入第一个方程，然后求解得a，b，再对
求解即可.
【详解】
把甲得到的解带入第二个方程，得 ；把乙得到的解带入第一个方程，得 ；
则得到方程 ，解得 ，故选择B.
9．（2021·河南商丘·七年级期末）关于x，y的方程组 与 的解相同，则m+n的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同解方程组，把 和 联立解之求出 、 ，再代入其他两个方程即可得到关于 、 的方程组，解方程组即可求解．
【详解】
解：由题意，联立方程组 ，
解得： ，
将 代入含 ， 的两个方程，可得 ，
① ②，得： ，
，
故选：C．
10.（2022·黑龙江）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法
和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔
每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】设设购买毛笔x支，围棋y副，根据总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合
x，y均为正整数即可得出购买方案的数量．
【详解】解：设购买毛笔x支，围棋y副，根据题意得，
15x+20y=360，即3x+4y=72，
∴y=18- x．
又∵x，y均为正整数，
∴ 或 或 或 或 ，
∴班长有5种购买方案．故选：A．
二、填空题（每题5分，共15分）
11．（2022·贵州贵阳）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数 ， 的系数与相应的常
数项，即可表示方程 ，则 表示的方程是_______．
【答案】
【分析】根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示 的系数与等式后面的数字，即可求解．
【详解】解： 表示的方程是
故答案为：
12．（2022·四川眉山）一个多边形外角和是内角和的 ，则这个多边形的边数为________．
【答案】11
【分析】多边形的内角和定理为 ，多边形的外角和为360°，据题意列出方程求出n的值．
【详解】解：根据题意可得： ，
解得： ，故答案为：11．
13．（2022·四川雅安）已知 是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 _____．
【答案】1
【分析】把 代入ax+by＝3可得 ，而2a+4b﹣5 ，再整体代入求值即
可．
【详解】解：把 代入ax+by＝3可得：
，
2a+4b﹣5．
故答案为：1
14．（2022·浙江绍兴）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十
里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．” 其题意为：“良马每天行 里，劣马每天行 里，劣
马先行 天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是______．
【答案】20
【分析】设良马x天追上劣马，根据良马追上劣马所走路程相同可得：240x＝150（x＋12），即可解得良
马20天追上劣马．
【详解】解：设良马x天追上劣马，
根据题意得：240x＝150（x＋12），解得x＝20，
答：良马20天追上劣马；故答案为：20．
15．（2022·湖北随州）已知二元一次方程组 ，则 的值为______．
【答案】1
【分析】直接由②-①即可得出答案．
【详解】原方程组为 ，由②-①得 ．故答案为：1．
三、简答题（共55分）
16．（6分）（2022·广西桂林）解二元一次方程组： ．
【答案】
【分析】利用加减消元法可解答．
【详解】解：
①+②得：2x＝4，
∴x＝2，
把x＝2代入①得：2﹣y＝1，
∴y＝1，∴原方程组的解为： ．
17．（6分）（2022·河南信阳·七年级期末）解方程：
【答案】
【分析】运用解一元一次方程的一般方法解答，解一元一次方程的一般方法步骤包括：去分母， 去括号，
移项， 合并同类项，系数化为1，原方程式的解为 ．
【详解】解：去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ，
所以原方程式的解为 ．
18．（6分）（2022·江苏连云港）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人
出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．
每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人
数和物品价格．
【答案】有7人，物品价格是53钱
【分析】设人数为 人，根据“物品价格=8×人数-多余钱数=7×人数+缺少的钱数”可得方程，求解方程即
可．
【详解】解：设人数为 人，由题意得
，解得 ．
所以物品价格是 ．
答：有7人，物品价格是53钱．
19．（8分）（2022·山东潍坊·七年级期末）甲车和乙车分别从A，B两地同时出发相向而行，分别去往B
地和A地，两车匀速行驶2小时相遇，相遇时甲车比乙车少走了20千米．相遇后，乙车按原速继续行驶
1.8小时到达A地．
（1）乙车的行驶速度是多少千米/时？
（2）相遇后，甲车先以100千米/时的速度行驶了一段路程后，又以120千米/时的速度继续行驶，刚好能
和乙车同时到达目的地，试求相遇后，甲车以100千米/时的速度行驶的路程和以120千米/时的速度行驶的路程各是多少千米？
【答案】(1)100千米/小时
(2)甲车以100千米/时的速度行驶的路程为80千米，以120千米/时的速度行驶的路程为120千米
【解析】
【分析】
（1）设乙车速度为x千米/时，根据题意列方程求解即可；
（2）设甲车以100千米/时的速度行驶的路程为m千米，则以120千米/时的速度行驶的路程为
千米，根据“甲车先以100千米/时的速度行驶了一段路程后，又以120千米/时的速度继续行驶，刚好能和
乙车同时到达目的地，”列方程求解即可．
（1）解：设乙车速度为x千米/时，依题意得：1.8x＝2x－20，解得， 答：乙车速度为100千米/小
时 ．
（2）设甲车以100千米/时的速度行驶的路程为m千米，则以120千米/时的速度行驶的路程为
千米，则依题意得： 解得 ∴ （千米）答：甲车以100千米/时的
速度行驶的路程为80千米，以120千米/时的速度行驶的路程为120千米．
20．（8分）（2022·河南·郑州外国语中学九年级期末）为纪念一二·九运动86周年，我校组织八年级学生
远赴新密参观豫西抗日纪念馆，学校负责人前去联系车辆，目前有甲、乙两种类型的客车供学校租用，据
了解：3辆甲型客车与4辆乙型客车的总载客量为276人，2辆甲型客车与3辆乙型客车的总载客量为199
人．
（1）请帮算一算：1辆甲型客车与1辆乙型客车的载客量分别是多少人？
（2）我校八年级学生共850人，拟租用甲、乙两型客车共20辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆
甲型客车的租金为800元，每辆乙型客车的租金为1000元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费
用．
【答案】(1)1辆甲型客车与1辆乙型客车的载客量分别是32,45人
(2)最节省费用的租车方案为甲型车3辆，乙型车17辆，最低费用为19400元
【解析】
【分析】
（1）设1辆甲型客车与1辆乙型客车的载客量分别是 人，由题意知 计算求解即可．（2）设租用甲型客车 辆，乙型客车 辆，由题意知 ，解得： ，费用
，可知 时费用最低，进而得出结果．
【详解】(1)
解：设1辆甲型客车与1辆乙型客车的载客量分别是 人
由题意知
解得
∴1辆甲型客车与1辆乙型客车的载客量分别是 人．
(2)
解：设租用甲型客车 辆，乙型客车 辆
由题意知
解得：
费用
费用最低时，
辆
元
∴最节省费用的租车方案为甲型车3辆，乙型车17辆，最低费用为19400元．
21．（8分）（2022·四川雅安）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，
购进3件A商品和1件B商品总费用为360元．
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解）
（2）若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元销售，B商品按
每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的函数关系式．
【答案】(1)A，B两种商品每件进价分别为每件100元，每件60元．
(2)利润w（元）与m（件）的函数关系式为：【分析】（1）设A，B两种商品每件进价分别为每件x元，每件y元，则根据购进3件A商品和5件B商
品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元，列方程组，再解方程组即可；
（2）由总利润等于销售A，B两种商品的利润之和列函数关系式即可．
【详解】(1)
解：设A，B两种商品每件进价分别为每件x元，每件y元，则
解得： ，
答：A，B两种商品每件进价分别为每件100元，每件60元．
(2)
解：由题意可得：
即总利润w（元）与m（件）的函数关系式为：
22．（13分）对任意一个三位正整数m，如果各个数位上的数字之和为18，则称这个三位正整数m为“美
好数”．
（1）最小的三位“美好数”是 ，最大的三位“美好数”是 ．
（2）求证：任意一个三位“美好数”都能被9整除．
（3）若一个三位“英好数”前两位数字组成的两位数与这个“美好数”个位数字的4倍的和为111，求满
足条件的三位“美好数”．
【答案】（1）189，990；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）要使“美好数”最小，则百位须为1，然后根据各个数位上的数字之和为18，即可得；要使“美好
数”最大，则百位须为9，然后根据各个数位上的数字之和为18，即可得；
（2）设百位数为a，十位数为b，个位数为c，将这个数表示出来，进行等量代换，然后提取公因式即可
证明；
（3）由（2）及题意，列出方程组化简可得 ，根据a、b、c的取值范围，代入计算即可得．
【详解】
解：（1）要使“美好数”最小，则百位须为1，，
∴个位数与十位数和为17，
∴个位数为9，十位数为8，
∴最小“美好数”为189；
∴要使“美好数”最大，则百位须为9，
，
∴个位数与十位数和为9，
∴十位数为9，个位数为0，
∴最大“美好数”为990；
∴（2）设百位数为a，十位数为b，个位数为c，
则该数为： ，
，
∵ ，
∴
，
∴
任意一个“美好数”都能被9整除；
∴
（3）由（2）可得： ，
且 ，
根据题意可得： ，
，
∴
整理可得： ，
， ， ，
当 时， ，
∴ ；
∴当 时， ，
；
当 时， ，（舍去）
当 时，均不满足条件，
符合条件的三位“美好数”为954或837．
∴
