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专题 04 一元一次不等式（组）及应用（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过10m以外的安全
区域．已知导火线的燃烧速度为0.02m/s，人离开的速度为4m/s，则导火线的长x(m)应满足的不等
式为（ ）
x 10 x 10 x 10 x 10
A． < B． ≤ C． > D． ≥
0.02 4 0.02 4 0.02 4 0.02 4
【答案】C
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题
【分析】根据题目要求列出不等式即可．
【详解】解：∵人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过10m以外的安全区域，
x 10
∴ > ，
0.02 4
故选C．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
1 x−3
2．不等式 x<1− 的解集为（ ）
3 6
4
A．x< B．x<1 C．x<3 D．x<−3
3
【答案】C
【知识点】求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的
步骤进行计算即可求解．
1 x−3
【详解】解： x<1−
3 6
去分母得，2x<6−x+3
移项合并同类项得，3x<9
化系数为1得，x<3，
故选：C．
x+2 x−3
3．解不等式 >1− 时，去分母后结果正确的是（ ）
3 2
A．2(x+2)>1−3(x−3) B．2x+4>6−3x−9
C．2x+4>6−3x+3 D．2(x+2)>6−3(x−3)【答案】D
【知识点】求一元一次不等式的解集
【解析】略
4．已知点P(a,b)在直线y=−3x−4上，且2a−5b≤0，则下列不等式一定成立的是（ ）
a 5 a 5 b 2 b 2
A． ≤ B． ≥ C． ≥ D． ≤
b 2 b 2 a 5 a 5
【答案】D
【知识点】求一元一次不等式的解集、求一次函数自变量或函数值
【解析】略
5．若不等式组¿有解，则实数a的取值范围为（ ）
1 1 1 1
A．a≤ B．a< C．a≥ D．a>
2 2 2 2
【答案】B
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】先确定不等式的解集，进而得出关于a的不等式，求出解集即可．
3
【详解】根据题意，得 ＜x＜2−a，
2
3
可知 ＜2−a，
2
1
解得a＜ ．
2
故选：B．
【点睛】本题主要考查了不等式组的解，理解不等式组有解的含义是解题的关键．
6．不等式组¿的解集在数轴上表示正确的是( )
A． B． C．
D．
【答案】A
【知识点】求不等式组的解集
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大
小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解不等式2x-1≤3，得：x≤2，∴不等式组的解集为-1＜x≤2，
故选A．
【点睛】考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同
小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．小强同学从−1，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式x+1<2的概率是（）
1 1 1 1
A． B． C． D．
5 4 3 2
【答案】C
【知识点】求一元一次不等式的解集、根据概率公式计算概率
【分析】首先解不等式得x＜1，可知六个数中只有2个满足不等式，故通过概率公式可求得概率.
【详解】解：x+1＜2
解得：x＜1
1
∴六个数中满足条件的有2个，故概率是 .
3
故选C
【点睛】本题考查了解不等式，随机事件概率，解本题的关键是通过解不等式来求满足条件的随机
事件概率.
8．把一些书分给几名同学，若________；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学，可列
不等式9x+7＜11x，则横线上的信息可以是
A．每人分7本，则可多分9个人
B．每人分7本，则剩余9本
C．每人分9本，则剩余7本
D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本
【答案】C
【知识点】列一元一次不等式
【分析】根据不等式表示的意义解答即可．
【详解】由不等式9x+7＜11x，可得：把一些书分给几名同学，若每人分9本，则剩余7本；若每人
分11本，则不够；
故选C．
【点睛】本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所
求的量的等量关系．
9．将不等式组¿的解集表示在数轴上，正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】求不等式组的解集
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大
小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式x−2<1，得：x<3，
3x−5
解不等式 ≥x−3，得：x≥−1，
2
则不等式组的解集为−1≤x<3，
故选：B．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10．若关于x的不等式组¿的解集为x＞3，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3
【答案】D
【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数
【详解】¿
解不等式①,得x>3,
解不等式②,得x>a.
∵不等式组的解集是x>3,∴a≤3.
11．不等式组¿的解集是（ ）
A．−2≤x≤3 B．x>−2 C． x＞3 D．x＞−3
【答案】B
【知识点】求不等式组的解集
【分析】求出每个不等式的解集，两个不等式解集的公共部分即为不等式组的解集．
【详解】解：¿
解不等式①得，x>−2，
解不等式②得，x>−3，
∴不等式组的解集是x>−2．
故选：B【点睛】此题考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
12．不等式3x−1≤2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集
【分析】移项，合并同类项，根据不等式性质即可求解．
【详解】解：3x−1≤2，
∴3x≤3，
∴x≤1，
故选：C
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的求解，求出不等式的解集是解题的关键．
13．如果点M(x+2,4−x)在平面直角坐标系的第一象限，那么x的取值范围在数轴上可表示为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题考查了点坐标特点、一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集等知识点．根
据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项．
【详解】解：∵M(x+2,4−x)在平面直角坐标系的第一象限内，
∴¿，
解得：−2<x<4，
在数轴上表示为：
故选：D．1+ax 1
14．已知关于x的分式方程 − =3有整数解，且关于y的不等式组¿的解集为y＞1，求满
2−x x−2
足条件的所有整数a的和为（ ）
A．﹣10 B．﹣5 C．﹣1 D．1
【答案】C
【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、根据分式方程解的情况求值
1+ax 1
【分析】由关于y的不等式组¿的解集为y＞1，可得a≥﹣2；关于x的分式方程 − =3的
2−x x−2
4 4
解为 ，因为分式方程有可能产生增根2，所以 ≠2，a≠﹣1；又因为a为整数，关于x的分
a+3 a+3
1+ax 1
式方程 − =3有整数解，可得a＝﹣2或1，即可求得．
2−x x−2
【详解】解：解不等式组¿得：¿．
∵关于y的不等式组¿的解集为：y＞1，
∴a≥﹣2．
1+ax 1 4
∵关于x的分式方程 − =3的解为x= ，
2−x x−2 a+3
又∵分式方程有可能产生增根2，
4
∴ ≠2．
a+3
∴a≠﹣1．
1+ax 1
∵关于x的分式方程 − =3有整数解，a为整数，
2−x x−2
∴a＝﹣2或1．
∴满足条件的所有整数a的和为﹣2+1＝﹣1．
故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程和不等式组含参数问题，考虑分式方程可能产生增根是解题的关键．
15．若一组数据2，4，6，8，x的众数是x，其中x又是不等式组¿的整数解，则这组数据的中位数
是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】求众数、求中位数、求一元一次不等式组的整数解
【分析】先求出不等式组¿的整数解，再根据众数的定义可求x的值，再根据中位数是排序后位于中
间位置或中间两数的平均数求解．
【详解】解：¿，解不等式①得：x＞3，
解不等式②得：x＜5，
∴不等式组¿的解集为：3＜x＜5，
∴不等式组的整数解为：4，
即x=4，∵这组数据2，4，6，8，4的众数是4，
这组数据从小到大排列为：2，4，4，6，8，
则这组数据的中位数是4.
故选B.
【点睛】本题综合考查了一元一次不等式组的整数解，众数及中位数的定义，解题的关键是仔细观
察，在确定中位数时首先要排序．
二、填空题
16．某水果批发商决定在今年5月份进购一批水果：苹果、菠萝、哈密瓜和葡萄．已知每件苹果的
3
价格是每件菠萝价格的4倍，每件葡萄的价格是每件哈密瓜价格的 倍．另外，购进哈密瓜的件数
2
是苹果件数的2倍，购进菠萝的件数是葡萄件数的3倍，且哈密瓜件数的2倍和菠萝件数的总和不
超过600件．已知一件哈密瓜和一件菠萝的价格之和为40元，最后，购进四种水果的总费用为
13200元，则今年5月份用于购进哈密瓜和葡萄的总费用的最大值为 元．
【答案】10800
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设每件菠萝价格为x元，则每件哈密瓜价格为(40−x)元，每件苹果价格为4x元，每件葡萄
3
价格为 (40−x)元，设购进苹果件数为m件，购进葡萄件数为n件，购进菠萝3n件，购进哈密瓜
2
2m件，根据题意列出不等式组，再整理并利用不等式的性质可得答案．
【详解】解：设每件菠萝价格为x元，则每件哈密瓜价格为(40−x)元，每件苹果价格为4x元，每件
3
葡萄价格为 (40−x)元，
2
设购进苹果件数为m件，购进葡萄件数为n件，购进菠萝3n件，购进哈密瓜2m件，
由题意得，¿，
整理得，¿，
∴300x+12000≥13200，
解得x≥4，3
∴40−x≤36， (40−x)≤54，
2
3
购进哈密瓜和葡萄的总费用为2m(40−x)+ (40−x)n≤72m+54n，
2
∵72m+54n=18(4m+3n)≤10800，
∴最大费用为10800元．
故答案为：10800．
【点睛】本题考查不等式与方程的应用，根据题意设出恰当的未知数是解题关键．
ay−6 6
17．若关于x的不等式组¿至少有2个偶数解，关于y的分式方程 + =1有整数解，则所
y−2 2−y
有满足条件的整数a的值之和为
【答案】16
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值
【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，熟练掌握各种的解法是解
本题的关键；不等式组整理后，表示出解集，由不等式组至少有2个偶数解确定出a的范围，再由分
式方程有整数解，确定出满足题意整数a的值，求和即可．
【详解】解：不等式组整理得：¿，
解得：2<x≤a+4，
∵至少有2个偶数解，，
∴a+4≥6
解得：a≥2，
ay−6 6
+ =1
y−2 2−y
去分母得：ay−6−6= y−2，
10
解得：y= ，
a−1
ay−6 6
∵分式方程 + =1有整数解，
y−2 2−y
10
解得：a−1=±1,±2,±5,±10,且 ≠2，
a−1
∴a=0或2或3或−1或−4或11或−9或6（舍去），
∵a≥2
∴a的值为2，3，11，
则所有满足条件的整数a的值之和为2+3+11=16．
故答案为：16．
18．不等式2x+6<0的解集为 ．【答案】x<−3/−3>x
【知识点】求一元一次不等式的解集
【分析】根据不等式的性质求出解集即可．
【详解】解：2x+6<0，
∴2x<−6，
∴x<−3，
故答案为：x<−3．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，正确掌握不等式的性质是解题的关键．
19．已知关于x的不等式组¿恰好有四个整数解，则实数a的取值范围是 ．
【答案】7≤a<8
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些
整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【详解】解：解不等式组¿得¿，则3.5<x≤a，
∵该不等式组的解集恰好有四个整数解，
∴四个整数解为4、5、6、7，
∴7≤a<8，
故答案为：7≤a<8．
【点睛】本题考查解不等式组及不等组的整数解，难度中等，正确解出不等式组的解集，确定a的
范围是解决本题的关键．
20．关于x的不等式组¿有且仅有3个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】−27<a≤−18
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，利用不等式的整数解得出关
于a的不等式是解题关键．
先求出不等式组的解集并写出整数解，再根据不等式组的整数解建立a的不等式，求解即可．
【详解】解：¿，
a
解不等式①，得x≥ ，
9
解不等式②，得x<1，
∵不等式组¿有且仅有3个整数解，
∴不等式组的3个整数解是：0,−1,−2，
a
∴−2≥ >−3，
9解得：−27<a≤−18．
故答案为：−27<a≤−18．
21．若代数式√2x−1有意义，则实数x的取值范围是 ．
1
【答案】x≥
2
【知识点】求一元一次不等式的解集、二次根式有意义的条件
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，列出不等式求
解即可．
【详解】解：根据题意得：2x−1≥0，
1
解得：x≥ ，
2
1
故答案为：x≥ ．
2
22．若关于x的不等式组¿无解，那么a的取值范围是 ．
【答案】a≤3
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】求出不等式的解集，根据大大小小无解找，确定a的范围．
【详解】∵2-3x＜-7的解集是x＞3，不等式组¿无解，
∴a≤3，
故答案为：a≤3．
【点睛】本题考查了不等式组的无解，熟练掌握大大小小无解找是解题的关键．
y+a a−6
23．已知关于x的不等式组¿至少有三个整数解，且关于y的分式方程 =4− 有非负整数解，
y−3 y−3
则所有满足条件的a的和为 ．
3
【答案】−
2
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了一元一次不等式组与分式方程的解，分别求出不等式组的解与分式方程的解，
根据解的情况求出a的取值范围即可求解，求出a的取值范围是解题的关键．
【详解】解：¿，
解①得，x<2，
a−6
解②得，x≥ ，
3
a−6
∴ ≤x<2，
3
∵不等式组¿至少有三个整数解，a−6
∴ ≤−1，
3
∴a≤3，
2a+6
解分式方程得，y= ，
3
y+a a−6
∵分式方程 =4− 有非负整数解，
y−3 y−3
∴y≥0且y−3≠0，
2a+6 2a+6
即 ≥0且 −3≠0，
3 3
3
解得a≥−3且a≠ ，
2
3
∴−3≤a≤3且a≠ ，
2
3
∴所有满足条件的a的和为− ，
2
3
故答案为：− ．
2
24．高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]示不超过x的最大整数．例如：[2.3]=2；[−1.5]=−2．
则下列论：①¿，②[x]+[−x]=0，③若[x+1]=3，则x的取值范围是2<x<3，④当−1≤x<1时，¿
的值为0、1、2．其中正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）
【答案】①
【知识点】求不等式组的解集
【分析】本题考查了新定义以及解一元一次不等式组，解决本题的关键是明确[x]表示不超过x的最
大整数．根据[x]表示不超过x的最大整数，即可解答．
【详解】解：①．由题意可知[−2.1]=−3,[1]=1,−3+1=−2，故①正确；
②．当x取小数时，显然不成立，例如x取2.6，[x]+[−x]=2−3=−1，故②错误；
③．若[x+1]=3，则x+1要满足x+1≥3，且x+1<4，解得x≥2，且x<3，即2≤x<3，故③错误；
④．当−1≤x<1时，0≤x+1<2，0<−x+1≤2，
∴[x+1]=0或1，[−x+1]=0或1或2，
当[x+1]=0时，[−x+1]=1或2；当[x+1]=1时，[−x+1]=1或0；
所以[x+1]+[−x+1]的值为1、2，故④错误．
所以正确的结论是①．
故答案为：①．
25．不等式组¿的解集为−1<x<3，则a+b= ．7
【答案】−
2
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、加减消元法
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，二元一次方程组的解法．根据题意，先把a,b看成常
数解出不等式组，再依题得出关于a,b二元一次方程组即可．
【详解】解：¿
解不等式①得，x<1−a
解不等式②得，x>2b+2
∴不等式的解集为2b+2<x<1−a
∵不等式解集为−1<x<3
∴¿
解得¿
7
∴a+b=− ．
2
7
故答案为：− ．
2
三、解答题
26．小明同学学习了有理数后，对运算非常感兴趣，于是定义了一种新运算“Δ”，规则如下：对
于两个有理数a，b，aΔb=|a−b|+a+b.
(1)计算：1Δ(−2)=______，(−2)Δ1=______；
(2)设y =mΔ(−n),y =(−n)Δm，试比较y ,y 的大小，并说明理由；
1 2 1 2
(3)已知a=|x−2|,b=3，且aΔb=6，请直接写出满足条件的x的最小值.
【答案】(1)2，2
(2)y = y ，理由见解析
1 2
(3)−1
【知识点】求不等式组的解集、整式的加减运算、有理数的加减混合运算、绝对值的意义
【分析】（1）根据新运算“Δ”规则直接计算即可；
（2）根据新运算“Δ”规则表示出y ,y ，即可比较大小；
1 2
（3）根据新运算“Δ”规则可得||x−2|−3|+|x−2|=3，令t=x−2，分t≥0和t<0两种情况，利用
绝对值的几何意义求出t的取值范围，进而求出x的取值范围，即可求解
【详解】（1）解：1Δ(−2)=|1−(−2)|+1+(−2)=3+1−2=2，
(−2)Δ1=|−2−1|+(−2)+1=3−2+1=2，故答案为：2，2；
（2）解：y = y ，理由如下：
1 2
∵ y =mΔ(−n)=|m−(−n)|+m+(−n)=|m+n|+m−n，
1
y =(−n)Δm=|−(n+m)|+(−n)+m=|m+n|+m−n=|m+n|+m−n，
2
∴ y = y ；
1 2
（3）解：∵ a=|x−2|,b=3，且aΔb=6，
∴ ||x−2|−3|+|x−2|+3=6，
∴ ||x−2|−3|+|x−2|=3，
令t=x−2，
当t≥0时，|t−3|+|t−0|=3，
∵3−0=3，
∴ 0≤t≤3，即0≤x−2≤3，
解得2≤x≤5，
当t<0时，|−t−3|+|t−0|=|t−(−3)|+|t−0|=3，
∵0−(−3)=3，
∴ −3≤t<0，即−3≤x−2<0，
解得−1≤x<2，
综上可知，x的取值范围为：−1≤x≤5，
∴满足条件的x的最小值为−1．
【点睛】本题考查新定义运算，绝对值的意义，有理数的加减混合运算，整式的运算，第3问有一
定难度，通过分类讨论去绝对值，再结合绝对值的几何意义求解是解题的关键．
27．2022年中国航天在诸多领域实现重大突破，在全国掀起航天知识学习的浪潮．某校40名同学要
去参观航天展览馆，已知展览馆分A、B、C三个场馆，且购买2张A场馆门票和1张B场馆门票共
需要140元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需要230元．由于场地和疫情原因，要求到A
场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每一位同学只能选择一个场馆参观．
(1)求A场馆和B场馆门票的单价．
(2)已知C场馆门票每张售价15元，且参观当天有优惠活动；每购买1张A场馆门票就赠送1张C场
馆门票．
①若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的
最小值．②若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终购买三种门票共
花费了1200 元，求所有满足条件的购买方案．
【答案】(1)A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元
(2)①1210元；②所有满足条件的购买方案为：方案一，购买A场馆门票5张，购买B场馆门票20张，
购买C场馆门票10张；方案二，购买A场馆门票10张，购买B场馆门票16张，购买C场馆门票4张
【知识点】一次不定方程、其他问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题、销
售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】（1）设A场馆和B场馆门票的单价分别为x元、y元，根据题意得：①2张A场馆门票的费
用＋1张B场馆门票的费用＝140元，②3张A场馆门票的费用＋2张B场馆门票的费用＝230元，根
据等量关系列出方程组，再解方程组即可；
（2）①若购买A场馆门票赠送的C场馆门]票刚好够参观C场馆的同学使用，设购买A场馆门票a张，
此次门票所需总金额为w元，则参观A场馆的同学有a名，参观C场馆的同学有a名，参观B场馆的同
学有(40−2a)名，w=50a+40(40−2a)=−30a+1600，又根据题意要求到A场馆参观的人数要
少于到B场馆参观的人数，且每一位同学只能选择一个场馆参观，所以a<40−2a，再结合a是正整
数，利用一次函数的性质可求解；
②若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门]票外，还需另外购买部分门票，且总共三种门票共花费
了1200元，设购买A场馆门票n张，购买C场馆门]票c张，则参观A场馆的同学有n名，参观C场馆
的同学有(n+c)名，参观B场馆的同学有(40−2n−c)名，由题意得：
6
50n+40(40−2n−c)+15c=1200，整理得：c=16− n，再结合n、c都是正整数，可求解．
5
【详解】（1）解：设A场馆和B场馆门票的单价分别为x元、y元，根据题意，得：
¿，
解方程组，得：¿．
答：A场馆门票的单价为50元，B场馆门]票的单价为40元．
（2）已知C场馆门票每张售价15元，且参观当天有优惠活动：每购买1张A场馆门票赠送1张C场
馆门票，
①若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，设购买A场馆门票a张，此次
门票所需总金额为w元，则参观A场馆的同学有a名，参观C场馆的同学有a名，参观B场馆的同学有
(40−2a)名，
∴w=50a+40(40−2a)=−30a+1600，
∵−30<0，
∴w随a的增大而减小，
而要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每一位同学只能选择一个场馆参观，∴a<40−2a，
40
∴a< ，
3
∵a是正整数，
∴a≤13，
∴当a=13时，w取得最小值，
最小值为：w=−30×13+1600=1210，
即此次门票所需总金额的最小值为1210元；
②若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且总共三种门票共花费
了1200元，
设购买A场馆门票n张，购买C场馆门票c张，则参观A场馆的同学有n名，参观C场馆的同学有
(n+c)名，参观B场馆的同学有(40−2n−c)名，由题意得：
50n+40(40−2n−c)+15c=1200，
整理得：
6
c=16− n，
5
∵n、c都是正整数，
∴n是5的倍数，
满足条件的n、c有¿、¿，
若n=5、c=10，则n+c=15，40−2n−c=20；
若n=10、c=4，则n+c=14，40−2n−c=16，．
所有满足条件的购买方案为：方案一，购买A场馆门票5张，购买B场馆门票20张，购买C场馆门
票10张；方案二，．购买A场馆门票10张，购买B场馆门票16张，购买C场馆门票4张．
【点睛】本题主要考查二元一次方程（组）的应用，不定方程等知识，涉及一元一次不等式的应用，
一次函数的性质等知识．第（2）问中②小题中，得到不定方程，并根据题干中的信息确定n、c都
是正整数是解题关键．
2x−1 5x+2
28．（1）解不等式1− < ，并把解集在数轴上表示出来．
6 3
（2）解下列不等式组¿，并写出它的所有整数解．
1
【答案】（1）x> ，在数轴上表示见解析；（2）1≤x<4，所有整数解为1，2，3．
4
【知识点】求一元一次不等式组的整数解、求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、求一
元一次不等式的解集
【分析】难题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示解集，求不等式组的整
数解．掌握解一元一次不等式和一元一次不等式组的步骤是解题关键．（1）根据解一元一次不等式的步骤即可求解，再在数轴上表示即可；
（2）分别解出每个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的
原则确定其解集，最后找出其中的整数即可．
2x−1 5x+2
【详解】解：（1）1− < ，
6 3
去分母，得：6−2x+1<10x+4，
移项，合并同类项，得：−12x<−3，
1
系数化为1，得：x> ，
4
在数轴上表示解集如下．
（2）¿，
解不等式①，得：x≥1，
解不等式②，得：x<4，
∴原不等式组的解集为1≤x<4，
∴它的所有整数解为1，2，3．
2(x+1)≥x①
29．（1）解不等式组：{x+1
>x−1②
2
请结合题意填空，完成本题的解答
（I）解不等式①，得______________________；
（Ⅱ）解不等式②，得______________________；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为______________．
2 3
（2）解方程： −1= ．
x−2 2−x
【答案】（1）（Ⅰ）x≥−2；（Ⅱ）x<3；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示见解析；
（Ⅳ）原不等式组的解集为−2≤x<3；（2）原分式方程的解是x=7.
【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、解分式方程
【分析】（1）关于（I）（Ⅱ）直接解一元一次不等式即可；（Ⅲ）通过数形结合在数轴上表示出
解集；（Ⅳ）取数轴上的公共部分；
（2）根据解分式方程的基本步骤直接求解即可．【详解】解：（1）（Ⅰ）解2(x+1)≥x，解得x≥−2；
x+1
（Ⅱ）解 >x−1，解得x<3；
2
（Ⅲ）在数轴上表示结果如下：
（Ⅳ）在数轴上取公共部分，原不等式组的解集为−2≤x<3.
2 3
（2） −1=
x−2 2−x
解：2−(x−2)=−3
2−x+2=−3
−x=−7
x=7
检验：当x=7时，x−2≠0，所以原分式方程的解是x=7.
【点睛】本题考查了求解一元一次不等式组、求解分式方程，解题的关键是：掌握解一元一次不等
式组、求解分式方程的基本步骤及方法，注分式方程需要对根进行检验．
a x
30．已知关于x的不等式a− x< −1．
5 5
(1)当a＝2022时，求此不等式解集．
(2)a为何值，该不等式有解，并求出其解集．
【答案】(1)x>5
(2)当a≠−1时，原不等式有解，当a>−1时，原不等式的解集为x>5；当a<−1时，原不等式的解
集为x<5．
【知识点】求一元一次不等式的解集
【分析】（1）根据解不等式的方法解不等式即可；
x(a+1)
（2）同（1）将原不等式化为 >a+1，据此求解即可．
5
a x
【详解】（1）解：∵a− x< −1，
5 5
x ax
∴ + >a+1，
5 5
x(a+1)
∴ >a+1，
5
∵a=2022，
∴a+1>0，x
∴ >1，
5
∴x>5；
x(a+1)
（2）解：由题意得原不等式可以化成 >a+1，
5
∴当a+1≠0，即a≠−1时，原不等式有解，
当a+1>0，即a>−1时，原不等式的解集为x>5；
当a+1<0，即a<−1时，原不等式的解集为x<5．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键．
31．解不等式组¿ ，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】−1≤x<4，数轴见解析．
【知识点】求不等式组的解集
【分析】先解不等式①，再解不等式②，求交集即可得到不等式组的解，根据解集画图即可．
【详解】解：解不等式①，得：x≥−1，
解不等式②，得：x<4，
则不等式组的解集为−1≤x<4，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题考查不等式组的解集，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法．
a2−4a+4 ( 3 )
32．先化简，再求值： ÷ −a−1 ，其中a为整数且满足¿
a2−a a−1
2−a
【答案】 ，-3
a2+2a
【知识点】分式化简求值、求一元一次不等式组的整数解
【详解】解：¿
解不等式①，得a≥−1，
解不等式②，得a<3，
∴不等式组的解集为−1≤a<3，
∴整数a=−1或0或1或2．
a2−4a+4 ( 3 )
÷ −a−1
a2−a a−1(a−2) 2 3−(a2−1)
= ÷
a(a−1) a−1
(a−2) 2 a−1
= ⋅
a(a−1) −(a−2)(a+2)
2−a
=
a2+2a
∵a≠0,1,2,−2
∴a=−1
2−(−1)
∴原式 = =−3．
(−1) 2+2×(−1)
33．我们规定，若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不
等式组的“关联方程”，例如：x−1=2的解为x=3,¿，的解集为−3≤x<4，不难发现x=3在
−3≤x<4的范围内，所以x−1=2是¿的“关联方程”．
问题解决：
(1)方程3x+3=6是不等式组¿的“关联方程”吗？请说明理由．
(2)若关于x的方程2x+k=2是不等式组¿的“关联方程”，求k的取值范围．
(3)若关于x的不等式组¿的所有“关联方程”只有3个不同整数解，试求m的取值范围．
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)−6≤k<−2
4 3
(3) ≤m≤
3 2
【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数、一元一次方程解的综合应用
【详解】3．解：（1）不是．理由如下：
解3x+3=6，得x=1．解¿
得2<x≤5．因为x=1不在2<x≤5的范围内，所以不是“关联方程”．
2−k 2−k
（2）解2x+k=2，得x= ．解¿得2<x≤4．由“关联方程”的定义，得2< ≤4，解得
2 2
−6≤k<−2．
2 3
（3）由¿得− m<x≤ m．
3 2
2 3
因为不等式组¿的所有“关联方程”只有3个不同的整数解，即在− m<x≤ m范围内只有3个整
3 23 ( 2 ) 3 2 12 24
数解，所以2< m− − m <4，即2< m+ m<4，解得 <m< ．所以
2 3 2 3 13 13
16 2 8 18 3 36 16 2 3
− <− m<− , < m< ．当− <− m<−1时，必须满足1≤ m<2，m无解；当
13 3 13 13 2 13 13 3 2
2 8 3 4 3 4 3
−1≤− m<− 时，必须满足2≤ m<3，解得 ≤m≤ ．综上所述 ≤m≤ ．
3 13 2 3 2 3 2
34．XH中学为奖励在趣味运动会上取得好成绩的学生，计划购买甲、乙两种奖品，若购买甲种奖
品5件，乙种奖品15件，需花费650元，若购买甲种奖品4件，乙种奖品5件，需花费310元．
(1)求甲、乙两种奖品每件多少元？
(2)如果购买甲、乙两种奖品共20件，总花费不超过700元，求XH中学最多购买甲种奖品多少件？
【答案】(1)甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元
(2)最多购买甲种奖品10件
【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】（1）设甲种奖品每件x元，乙种奖品每件y元，则根据题意：购买甲种奖品5件，乙种奖
品15件，需花费650元，购买甲种奖品4件，乙种奖品5件，需花费310元，列方程组解应用题；
（2）设购买甲种奖品m件，列出不等式解题即可．
【详解】（1）设甲种奖品每件x元，乙种奖品每件y元
¿，解得¿
答：甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元．
（2）设购买甲种奖品m件，
40m+30(20−m)≤700，解得m≤10
答：最多购买甲种奖品10件．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，找出等量关系列出方程是解题的关键．
35．根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
(1)①如果a−b<0，那么a b；
②如果a−b=0，那么a b；
③如果a−b>0，那么a b．
(2)如（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题：
①若2a+2b−1>3a+b，比较a，b的大小；
②比较3a2−2b+2b2与3a2+b2−1的大小．
【答案】(1)①<；②=；③>
(2)①b>a；②3a2−2b+2b2≥3a2+b2−1
【知识点】因式分解的应用、不等式的性质【分析】本题考查因式分解的应用、非负数的性质、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，
求出题目中的不等关系．
（1）①根据不等式的性质，可以求得a、b的大小关系；
②根据不等式的性质，可以求得a、b的大小关系；
③根据不等式的性质，可以求得a、b的大小关系；
（2）①根据2a+2b−1>3a+b，移项并作差，然后即可得到a和b的关系；
②将两个多项式作差，然后与0比较大小，即可得到3a2−2b+2b2与3a2+b2−1的大小．
【详解】（1）解：①∵a−b<0，
∴a−b+b<0+b，
∴a<b，
故答案为：<；
②∵a−b=0，
∴a−b+b=0+b，
∴a=b，
故答案为：=；
③∵a−b>0，
∴a−b+b>0+b，
∴a>b，
故答案为：>；
（2）解：①∵2a+2b−1>3a+b，
∴(2a+2b−1)−(3a+b)>0，
∴2a+2b−1−3a−b>0，
∴b−1−a>0，
∴b−a>1>0，
∴b>a；
②(3a2−2b+2b2 )−(3a2+b2−1)
=3a2−2b+2b2−3a2−b2+1
=b2−2b+1
=(b−1) 2≥0，
∴3a2−2b+2b2≥3a2+b2−1．
【能力提升】
36．已知关于x、y的方程组¿(1)若此方程组的解也是方程2x+ y=7的解，求常数a的值．
(2)若方程组的解x为正数，y为负数，求a的取值范围．
(3)在（2）的条件下，设m=3x−y，求m的取值范围．
【答案】(1)a=6
(2)3<a<5
(3)2<m<6
【知识点】求不等式组的解集、加减消元法
【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是求出方程组的解集．
（1）求出x、y满足方程组¿的解，再代入x+ y=2a−8即可求出a的值；
（2）先求出¿的解，根据方程的解满足的解满足x>0，y<0得到不等式组，解不等式组就可以得出
a的范围；
（3）由题意可得m=3(a−3)−(a−5)=2a−4，再由3<a<5，求出m的取值范围，即可解答．
【详解】（1）解：∵关于x、y的方程组¿的解也是方程2x+ y=7的解，
∴x、y满足方程组¿，
解得¿，
把¿代入x+ y=2a−8得，
3+1=2a−8，
解得a=6；
（2）¿，
①+②得2x=2a−6，
所以，x=a−3，
①−②得2y=2a−10，
所以，y=a−5，
故方程组的解为¿，
∵x>0，y<0
∴ ¿，
解得3<a<5；
（3）∵m=3x−y，¿，
∵m=3(a−3)−(a−5)=2a−4，
∵3<a<5，
∴2<2a−4<6，
∴2<m<6．
x+a
37． 关于x的方程的方程 x− =1的解满足2x+a>0．
3(1)求a的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若不等式(2a+1)x−2a<1的解为x>1．求整数a的值．
3
【答案】(1)a>−
2
(2)a=−1
【知识点】求一元一次不等式的解集、已知方程的解，求参数
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解等知识点，
3+a
（1）先解方程可得：x= ，然后把x的值代入2x+a>0中进行计算，即可解答；
2
1 3
（2）根据不等式的性质可得：2a+1<0，从而可得a<− ，然后利用（1）的结论可得：a>− ，
2 2
3 1
从而可得：− <a<− ，即可解答；
2 2
准确熟练地进行计算是解题的关键．
x+a
【详解】（1）解：x− =1，
3
3x−(x+a)=3，
3x−x−a=3，
3x−x=3+a，
2x=3+a，
3+a
x= ，
2
∵2x+a>0，
∴3+a+a>0，
3
∴a>− ；
2
（2）(2a+1)x−2a<1，
(2a+1)x<1+2a，
∵不等式(2a+1)x−2a<1的解为x>1，
∴2a+1<0，
1
∴a<− ，
2
3
由（1）可得：a>− ，
2
3 1
∴− <a<− ，
2 2∵a是整数，
∴a=−1．
38．已知一次函数y=(m+4)x+m+2．
(1)若y随x增大而减小，求m的取值范围；
(2)若其图象与直线y=−2x+4的交点在x轴上，求m的值；
(3)若其图象不经过第二象限，且m为整数，求m的值．
【答案】(1)m<−4
10
(2)m=−
3
(3)m=−3或m=−2
【知识点】根据一次函数增减性求参数、一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知函数经过的象限
求参数范围、求不等式组的解集
【分析】本题考查了一次函数图象与性质．
（1）由一次函数y随x增大而减小，可知k=m+4<0，解不等式即可得出结论；
（2）先求出直线y=−2x+4与x轴的交点，可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（3）由函数图象不经过第二象限，即函数图象经过第一、三、四象限或函数图象经过第一、三，当
函数图象经过第一、三、四象限时可得出¿，解之即可得出结论，当函数图象经过第一、三时可得出
¿，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
【详解】（1）解：∵y随x增大而减小，
∴m+4<0，
解得：m<−4；
（2）解：∵−2x+4=0时，x=2，
∴直线y=−2x+4与x轴的交点(2,0)，
又∵一次函数y=(m+4)x+m+2与直线y=−2x+4的交点在x轴上，
∴一次函数y=(m+4)x+m+2过点(2,0)，
∴(m+4)×2+m+2=0，
10
解得：m=− ；
3
（3）解：分两种情况考虑：
当函数图象经过第一、三、四象限时，¿，
解得：−4<m<−2；
当函数图象经过第一、三象限时，¿，
解得：m=−2．
综上所述：m的取值范围为−4<m≤−2，∵m为整数，
∴m=−3或m=−2．
39．某汽车租赁公司有甲、乙两种型号的客车共20辆，它们的载客量、每天的租金如表所示，已知
在这20辆客车都坐满的情况下，一共可以载客920人，
甲型客
乙型客车
车
载客量(人/辆) 40 50
日租金(元/辆) 500 600
(1)求甲、乙两种型号的客车各有多少辆？
(2)某中学计划向此汽车租赁公司租用甲、乙两种型号的客车共10辆，接送七年级师生参加社会实践
活动，已知该中学预算租车的总费用不超过5500元，那么租车的方案共有多少种？
【答案】(1)甲型客车8辆，乙型客车12辆
(2)4种
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程和不等式组的应用，根据题意找出等量关系或不等量关系并正确列
方程和不等式是解题的关键．
（1）设甲种型号客车x辆，则乙种型号客车(20−x)辆，根据“一共可以载客920人”列出方程求解
即可；
（2）设租用甲型客车a辆，则租用乙型客车(10−a)辆，根据“该中学预算租车的总费用不超过
5500元”列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设甲种型号客车x辆，则乙种型号客车(20−x)辆，
40x+50(20−x)=920
解得：x=8
所以20−x=20−8=12
答：甲型客车8辆，乙型客车12辆；
（2）解：设租用甲型客车a辆，则租用乙型客车(10−a)辆，
¿
∴5≤a≤8，a为整数，
∴a=5或6或7或8，
∴租车方案有4种．
40．对m、n定义一种新运算“∇”，规定：m∇n=am−bn+5（其中a、b均为非零常数），等
式右边的运算是通常的四则运算，例如：5∇6=5a−6b+5．
(1)已知2∇3=1，3∇(−1)=10．①求a、b的值．
②若关于x的不等式组¿有且只有两个整数解，求字母t的取值范围．
(2)若运算“∇”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“m∇n=n∇m”都
成立，试探究a、b应满足的关系．
【答案】(1)①¿，②23≤t<26
(2)(a+b)=0
【知识点】新定义下的实数运算、加减消元法、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，理解题意，正确得出方程组和不等
式组是解此题的关键．
（1）①根据已知新运算得出方程组，解方程组即可得出答案；②根据新运算得出不等式组，求出每
个不等式的解集，再根据已知得出关于t的不等式组，求解即可；
（2）根据新运算得出等式，整理即可得出答案．
【详解】（1）解：①由题意得¿，
解得¿；
②由题意得¿，
化简得¿
t−17
则整数解为1，2，故2≤ <3，
3
解得23≤t<26；
（2）解：由m∇n=n∇m得am−bn+5=an−bm+5，
化简得(a+b)(m−n)=0，
∵m、n为任意数，
∴m−n不一定等于0，
∴a+b=0，
故a、b应满足的关系为(a+b)=0．
