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专题 04 一元一次不等式（组）及应用（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过10m以外的安全
区域．已知导火线的燃烧速度为0.02m/s，人离开的速度为4m/s，则导火线的长x(m)应满足的不等
式为（ ）
x 10 x 10 x 10 x 10
A． < B． ≤ C． > D． ≥
0.02 4 0.02 4 0.02 4 0.02 4
【答案】C
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题
【分析】根据题目要求列出不等式即可．
【详解】解：∵人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过10m以外的安全区域，
x 10
∴ > ，
0.02 4
故选C．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
1 x−3
2．不等式 x<1− 的解集为（ ）
3 6
4
A．x< B．x<1 C．x<3 D．x<−3
3
【答案】C
【知识点】求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的
步骤进行计算即可求解．
1 x−3
【详解】解： x<1−
3 6
去分母得，2x<6−x+3
移项合并同类项得，3x<9
化系数为1得，x<3，
故选：C．
x+2 x−3
3．解不等式 >1− 时，去分母后结果正确的是（ ）
3 2
A．2(x+2)>1−3(x−3) B．2x+4>6−3x−9
C．2x+4>6−3x+3 D．2(x+2)>6−3(x−3)【答案】D
【知识点】求一元一次不等式的解集
【解析】略
4．已知点P(a,b)在直线y=−3x−4上，且2a−5b≤0，则下列不等式一定成立的是（ ）
a 5 a 5 b 2 b 2
A． ≤ B． ≥ C． ≥ D． ≤
b 2 b 2 a 5 a 5
【答案】D
【知识点】求一元一次不等式的解集、求一次函数自变量或函数值
【解析】略
5．若不等式组¿有解，则实数a的取值范围为（ ）
1 1 1 1
A．a≤ B．a< C．a≥ D．a>
2 2 2 2
【答案】B
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】先确定不等式的解集，进而得出关于a的不等式，求出解集即可．
3
【详解】根据题意，得 ＜x＜2−a，
2
3
可知 ＜2−a，
2
1
解得a＜ ．
2
故选：B．
【点睛】本题主要考查了不等式组的解，理解不等式组有解的含义是解题的关键．
6．不等式组¿的解集在数轴上表示正确的是( )
A． B． C．
D．
【答案】A
【知识点】求不等式组的解集
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大
小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解不等式2x-1≤3，得：x≤2，∴不等式组的解集为-1＜x≤2，
故选A．
【点睛】考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同
小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．小强同学从−1，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式x+1<2的概率是（）
1 1 1 1
A． B． C． D．
5 4 3 2
【答案】C
【知识点】求一元一次不等式的解集、根据概率公式计算概率
【分析】首先解不等式得x＜1，可知六个数中只有2个满足不等式，故通过概率公式可求得概率.
【详解】解：x+1＜2
解得：x＜1
1
∴六个数中满足条件的有2个，故概率是 .
3
故选C
【点睛】本题考查了解不等式，随机事件概率，解本题的关键是通过解不等式来求满足条件的随机
事件概率.
8．把一些书分给几名同学，若________；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学，可列
不等式9x+7＜11x，则横线上的信息可以是
A．每人分7本，则可多分9个人
B．每人分7本，则剩余9本
C．每人分9本，则剩余7本
D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本
【答案】C
【知识点】列一元一次不等式
【分析】根据不等式表示的意义解答即可．
【详解】由不等式9x+7＜11x，可得：把一些书分给几名同学，若每人分9本，则剩余7本；若每人
分11本，则不够；
故选C．
【点睛】本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所
求的量的等量关系．
9．将不等式组¿的解集表示在数轴上，正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】求不等式组的解集
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大
小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式x−2<1，得：x<3，
3x−5
解不等式 ≥x−3，得：x≥−1，
2
则不等式组的解集为−1≤x<3，
故选：B．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10．若关于x的不等式组¿的解集为x＞3，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3
【答案】D
【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数
【详解】¿
解不等式①,得x>3,
解不等式②,得x>a.
∵不等式组的解集是x>3,∴a≤3.
11．不等式组¿的解集是（ ）
A．−2≤x≤3 B．x>−2 C． x＞3 D．x＞−3
【答案】B
【知识点】求不等式组的解集
【分析】求出每个不等式的解集，两个不等式解集的公共部分即为不等式组的解集．
【详解】解：¿
解不等式①得，x>−2，
解不等式②得，x>−3，
∴不等式组的解集是x>−2．
故选：B【点睛】此题考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
12．不等式3x−1≤2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集
【分析】移项，合并同类项，根据不等式性质即可求解．
【详解】解：3x−1≤2，
∴3x≤3，
∴x≤1，
故选：C
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的求解，求出不等式的解集是解题的关键．
13．如果点M(x+2,4−x)在平面直角坐标系的第一象限，那么x的取值范围在数轴上可表示为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题考查了点坐标特点、一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集等知识点．根
据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项．
【详解】解：∵M(x+2,4−x)在平面直角坐标系的第一象限内，
∴¿，
解得：−2x
【知识点】求一元一次不等式的解集
【分析】根据不等式的性质求出解集即可．
【详解】解：2x+6<0，
∴2x<−6，
∴x<−3，
故答案为：x<−3．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，正确掌握不等式的性质是解题的关键．
19．已知关于x的不等式组¿恰好有四个整数解，则实数a的取值范围是 ．
【答案】7≤a<8
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些
整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【详解】解：解不等式组¿得¿，则3.5−3，
9解得：−272b+2
∴不等式的解集为2b+2 ，在数轴上表示见解析；（2）1≤x<4，所有整数解为1，2，3．
4
【知识点】求一元一次不等式组的整数解、求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、求一
元一次不等式的解集
【分析】难题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示解集，求不等式组的整
数解．掌握解一元一次不等式和一元一次不等式组的步骤是解题关键．（1）根据解一元一次不等式的步骤即可求解，再在数轴上表示即可；
（2）分别解出每个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的
原则确定其解集，最后找出其中的整数即可．
2x−1 5x+2
【详解】解：（1）1− < ，
6 3
去分母，得：6−2x+1<10x+4，
移项，合并同类项，得：−12x<−3，
1
系数化为1，得：x> ，
4
在数轴上表示解集如下．
（2）¿，
解不等式①，得：x≥1，
解不等式②，得：x<4，
∴原不等式组的解集为1≤x<4，
∴它的所有整数解为1，2，3．
2(x+1)≥x①
29．（1）解不等式组：{x+1
>x−1②
2
请结合题意填空，完成本题的解答
（I）解不等式①，得______________________；
（Ⅱ）解不等式②，得______________________；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为______________．
2 3
（2）解方程： −1= ．
x−2 2−x
【答案】（1）（Ⅰ）x≥−2；（Ⅱ）x<3；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示见解析；
（Ⅳ）原不等式组的解集为−2≤x<3；（2）原分式方程的解是x=7.
【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、解分式方程
【分析】（1）关于（I）（Ⅱ）直接解一元一次不等式即可；（Ⅲ）通过数形结合在数轴上表示出
解集；（Ⅳ）取数轴上的公共部分；
（2）根据解分式方程的基本步骤直接求解即可．【详解】解：（1）（Ⅰ）解2(x+1)≥x，解得x≥−2；
x+1
（Ⅱ）解 >x−1，解得x<3；
2
（Ⅲ）在数轴上表示结果如下：
（Ⅳ）在数轴上取公共部分，原不等式组的解集为−2≤x<3.
2 3
（2） −1=
x−2 2−x
解：2−(x−2)=−3
2−x+2=−3
−x=−7
x=7
检验：当x=7时，x−2≠0，所以原分式方程的解是x=7.
【点睛】本题考查了求解一元一次不等式组、求解分式方程，解题的关键是：掌握解一元一次不等
式组、求解分式方程的基本步骤及方法，注分式方程需要对根进行检验．
a x
30．已知关于x的不等式a− x< −1．
5 5
(1)当a＝2022时，求此不等式解集．
(2)a为何值，该不等式有解，并求出其解集．
【答案】(1)x>5
(2)当a≠−1时，原不等式有解，当a>−1时，原不等式的解集为x>5；当a<−1时，原不等式的解
集为x<5．
【知识点】求一元一次不等式的解集
【分析】（1）根据解不等式的方法解不等式即可；
x(a+1)
（2）同（1）将原不等式化为 >a+1，据此求解即可．
5
a x
【详解】（1）解：∵a− x< −1，
5 5
x ax
∴ + >a+1，
5 5
x(a+1)
∴ >a+1，
5
∵a=2022，
∴a+1>0，x
∴ >1，
5
∴x>5；
x(a+1)
（2）解：由题意得原不等式可以化成 >a+1，
5
∴当a+1≠0，即a≠−1时，原不等式有解，
当a+1>0，即a>−1时，原不等式的解集为x>5；
当a+1<0，即a<−1时，原不等式的解集为x<5．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键．
31．解不等式组¿ ，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】−1≤x<4，数轴见解析．
【知识点】求不等式组的解集
【分析】先解不等式①，再解不等式②，求交集即可得到不等式组的解，根据解集画图即可．
【详解】解：解不等式①，得：x≥−1，
解不等式②，得：x<4，
则不等式组的解集为−1≤x<4，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题考查不等式组的解集，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法．
a2−4a+4 ( 3 )
32．先化简，再求值： ÷ −a−1 ，其中a为整数且满足¿
a2−a a−1
2−a
【答案】 ，-3
a2+2a
【知识点】分式化简求值、求一元一次不等式组的整数解
【详解】解：¿
解不等式①，得a≥−1，
解不等式②，得a<3，
∴不等式组的解集为−1≤a<3，
∴整数a=−1或0或1或2．
a2−4a+4 ( 3 )
÷ −a−1
a2−a a−1(a−2) 2 3−(a2−1)
= ÷
a(a−1) a−1
(a−2) 2 a−1
= ⋅
a(a−1) −(a−2)(a+2)
2−a
=
a2+2a
∵a≠0,1,2,−2
∴a=−1
2−(−1)
∴原式 = =−3．
(−1) 2+2×(−1)
33．我们规定，若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不
等式组的“关联方程”，例如：x−1=2的解为x=3,¿，的解集为−3≤x<4，不难发现x=3在
−3≤x<4的范围内，所以x−1=2是¿的“关联方程”．
问题解决：
(1)方程3x+3=6是不等式组¿的“关联方程”吗？请说明理由．
(2)若关于x的方程2x+k=2是不等式组¿的“关联方程”，求k的取值范围．
(3)若关于x的不等式组¿的所有“关联方程”只有3个不同整数解，试求m的取值范围．
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)−6≤k<−2
4 3
(3) ≤m≤
3 2
【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数、一元一次方程解的综合应用
【详解】3．解：（1）不是．理由如下：
解3x+3=6，得x=1．解¿
得20，那么a b．
(2)如（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题：
①若2a+2b−1>3a+b，比较a，b的大小；
②比较3a2−2b+2b2与3a2+b2−1的大小．
【答案】(1)①<；②=；③>
(2)①b>a；②3a2−2b+2b2≥3a2+b2−1
【知识点】因式分解的应用、不等式的性质【分析】本题考查因式分解的应用、非负数的性质、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，
求出题目中的不等关系．
（1）①根据不等式的性质，可以求得a、b的大小关系；
②根据不等式的性质，可以求得a、b的大小关系；
③根据不等式的性质，可以求得a、b的大小关系；
（2）①根据2a+2b−1>3a+b，移项并作差，然后即可得到a和b的关系；
②将两个多项式作差，然后与0比较大小，即可得到3a2−2b+2b2与3a2+b2−1的大小．
【详解】（1）解：①∵a−b<0，
∴a−b+b<0+b，
∴a0，
∴a−b+b>0+b，
∴a>b，
故答案为：>；
（2）解：①∵2a+2b−1>3a+b，
∴(2a+2b−1)−(3a+b)>0，
∴2a+2b−1−3a−b>0，
∴b−1−a>0，
∴b−a>1>0，
∴b>a；
②(3a2−2b+2b2 )−(3a2+b2−1)
=3a2−2b+2b2−3a2−b2+1
=b2−2b+1
=(b−1) 2≥0，
∴3a2−2b+2b2≥3a2+b2−1．
【能力提升】
36．已知关于x、y的方程组¿(1)若此方程组的解也是方程2x+ y=7的解，求常数a的值．
(2)若方程组的解x为正数，y为负数，求a的取值范围．
(3)在（2）的条件下，设m=3x−y，求m的取值范围．
【答案】(1)a=6
(2)30，y<0得到不等式组，解不等式组就可以得出
a的范围；
（3）由题意可得m=3(a−3)−(a−5)=2a−4，再由30，y<0
∴ ¿，
解得30．
3(1)求a的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若不等式(2a+1)x−2a<1的解为x>1．求整数a的值．
3
【答案】(1)a>−
2
(2)a=−1
【知识点】求一元一次不等式的解集、已知方程的解，求参数
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解等知识点，
3+a
（1）先解方程可得：x= ，然后把x的值代入2x+a>0中进行计算，即可解答；
2
1 3
（2）根据不等式的性质可得：2a+1<0，从而可得a<− ，然后利用（1）的结论可得：a>− ，
2 2
3 1
从而可得：− 0，
∴3+a+a>0，
3
∴a>− ；
2
（2）(2a+1)x−2a<1，
(2a+1)x<1+2a，
∵不等式(2a+1)x−2a<1的解为x>1，
∴2a+1<0，
1
∴a<− ，
2
3
由（1）可得：a>− ，
2
3 1
∴−
