文档内容
专题 04 一元一次等式（组）及其应用
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）不等式及其性质
（1）不等式概念
①不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.
②不等式的解：使不等式成立的未知数的值.
③不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.
（2）不等式的性质
①性质1：若a＞b,则 a±c>b±c；
②性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc， > ；
③性质3：若a＞b,c<0，则ac37 B．t<19C．19y+3，其中不等式有
个．
【答案】2
【知识点】不等式的定义
【分析】运用不等式的定义进行判断．
【详解】解：x=1是等式，
x2+x y2和a+b是代数式，没有不等关系，所以不是不等式.
不等式有：−3<0，x+2>y+3.故答案为：2.
【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类
题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠．
考点2：不等式的解集
典例2：已知点P(x，y)在第二象限，且y≤2x+6，x，y为整数，则点P的个数是（ ）
A．3 B．6 C．10 D．无数个
【答案】B
【知识点】不等式的解集、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】本题主要考查了不等式的解法及坐标系内点的坐标特点．熟练掌握根据未知数的范围确定
它所满足的特殊条件的值是解题的关键．
先根据第二象限点的坐标特征求出x，y的取值范围，再根据y的取值范围求出x的整数解，进而可
求出符合条件的y的值．
【详解】解：∵点P(x，y)在第二象限，
∴x<0，y>0，
∴2x+6>0，
解得，x>−3，
∴当x=−2时，y≤2，此时点P为(−2，1)，(−2，2)，
当x=−1时，y≤4，此时点P为(−1，1)，(−1，2)，(−1，3)， (−1，4)，
综上所述，点P的个数是6个，
故选：B ．
【变式1】下列说法正确的是（ ）
A．x=0是不等式x−2<1的解 B．不等式3x<7的整数解只有x=1,x=2
C．不等式2x<5的解集是x=2 D．x≥3是不等式3x≥9的解
【答案】A
【知识点】不等式的解集、求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整数解
【分析】本题考查了不等式的解集和解不等式．根据解不等式，结合选项即可求解．
【详解】解：A. ∵x−2<1，解得：x<3
∴x=0是不等式x−2<1的解，故该选项正确，符合题意；
7
B. 不等式3x<7，解得：x< 的正整数解只有x=1,x=2，故该选项不正确，不符合题意；
3
5
C. 不等式2x<5的解集是x<
2
D. ∵3x≥9
∴x≥3是不等式3x≥9的解集，故该选项不正确，不符合题意；故选：A．
【变式2】在0，3，4，6四个数中， 是不等式x+1>5的解．
【答案】6
【知识点】不等式的解集、求一元一次不等式的解集
【分析】移项，合并同类项得出不等式的解集即可得出答案．
【详解】解：∵x+1>5，
∴x>4，
在0，3，4，6四个数中，符合条件的只有6，
即6是不等式x+1>5的解，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其
需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
【变式3】若3是不等式2x−m>5的解，−2不是不等式2x−m>5的解，则m的取值范围是 ；
【答案】−9≤m<1
【知识点】不等式的解集、由不等式组解集的情况求参数
【分析】把3代入不等式2x−m>5，解出m的值，把−2代入不等式2x−m>5，解出m的值，即可
求解．
【详解】解：∵3是不等式2x−m>5的解，
∴m<1，
−2不是不等式2x−m>5的解，
∴m<−9，
∴m的取值范围是−9≤m<1，
故答案为：−9≤m<1．
【点睛】本题主要考查根据不等式的解集求参数的值，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．
考点3：不等式的性质
典例3：已知m3−n C．m−3−n，∴3−m>3−n，故该选项正确，不符合题意；
C. ∵m0，mmn，
故选项D不一定成立，
故选：D．
【变式1】在数学上用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[1.5]=1，[2]=2，[−1.5]=−2．若
[x]=0，则x的取值范围为 ．
【答案】0≤x<1
【知识点】求一元一次不等式的解集、不等式的性质
【分析】本题考查了不等式的性质，不等式的解集，掌握不等式的性质，取值方法是解题的关键．
根据[a]表示不大于a的最大整数，结合实例，即可求解．
【详解】解：∵数学上用[a]表示不大于a的最大整数，如：[1.5]=1，[2]=2，[−1.5]=−2，
∴[x]=0，则x的取值范围为0≤x<1，
故答案为：0≤x<1 ．
【变式2】已知x ，x ，x ，x ，x 为正整数，且x b且m≠0，则−ma<−mb；②若a>b，则 >1；③若a>b，则 < ；④若a>b，则
b a b
a b
ac2>bc2；⑤若 < ，则ab，则(m2+1)a>(m2+1)b；⑦若a>b，cb−d
【答案】⑤⑥⑦
【知识点】不等式的性质、判断命题真假
【分析】本题考查命题的真假，根据不等式的性质，逐一进行判断即可，掌握不等式的性质，是解
题的关键．
【详解】解：若a>b且m>0时，则−ma<−mb；故①是假命题；
a
若a>b，且b>0时，则 >1；故②是假命题；
b
1 1
若a>b>0，则 < ；故③是假命题；
a b
若a>b，且c≠0时，则ac2>bc2；故④是假命题；
a b
若 < ，则ab，则(m2+1)a>(m2+1)b；故⑥是真命题；
若a>b，cb−d；故⑦是真命题；
故答案为：⑤⑥⑦．
【变式4】如果a>b，那么下列各式一定成立的是（ ）
a b
A．a+1 D．a≤b−c2
2 2
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数
（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等
式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质逐项进行判断即可．
【详解】解：A、∵a>b，
∴不等式的两边都加1，则a+1>b+1，原式不成立，不符合题意；
B、∵a>b，∴不等式的两边都乘以3，则3a>3b，原式不成立，不符合题意；
C、∵a>b，
1 a b
∴不等式的两边都乘以 ，则 > ，成立，符合题意；
2 2 2
D、∵a>b，c2≥0，
∴a>b−c2，原式不成立，不符合题意．
故选：C．
【变式5】若x>y，下列不等式不成立的是（ ）
A．x+8>y+8 B．3x>3 y
x y
C． > D．1−2x>1−2y
7 7
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
根据不等式的基本性质“不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；
不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除
以）同一个负数，不等号的方向改变”逐项判断即可解题．
【详解】解：A、由x>y 两边同时加上8，可得x+8>y+8 ，成立；
B、由x>y 两边同时乘以3，可得3x>3 y ，成立；
x y
C、由x>y 两边同时除以7，可得 > ，成立；
7 7
D、由x>y 两边同时乘以−2再加上1，可得1−2x<1−2y ，原式不成立；
故选：D．
考点4：一元一次不等式定义
y
典例4：下列式子：①x+2=2，②π+1>2，③x+3，④ −1<2，⑤2x+2≠5中是一元一次不等
3
式的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【知识点】一元一次不等式的定义
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的
系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判
断即可．
【详解】解：①x+2=2，是方程；②π+1>2，不含未知数，不是一元一次不等式；
③x+3，是代数式，不是不等式；
y
④ −1<2，是一元一次不等式；
3
⑤2x+2≠5，是一元一次不等式．
故选：A．
【变式1】若(m+1)x|m|−5>0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．0 B．±1 C．−1 D．1
【答案】D
【知识点】一元一次不等式的定义
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义、绝对值等知识点，熟练掌握一元一次不等式的定
义是解本题的关键．
利用一元一次不等式和绝对值的定义列式求解即可．
【详解】解：∵(m+1)x|m|−5>0是关于x的一元一次不等式，
∴|m|=1且m+1≠0，
∴m=1．
故选D．
【变式2】若3m−5x3+m>4是关于x的一元一次不等式，则m的值是 ．
【答案】−2
【知识点】一元一次不等式的定义、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义得出3+m=1，解一
元一次方程求解即可得出答案．
【详解】解： 3m−5x3+m>4是关于x的一元一次不等式，
3+m=1，
∵
∴解得：m=−2，
故答案为：−2．
【变式3】当k= 时，不等式(k−2023)x|k|−2022+2>0是关于x的一元一次不等式．
【答案】−2023
【知识点】一元一次不等式的定义
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，不等号的左右两边都是整式，并
且未知数的次数都是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．根据未知数的次数等于1且系数不
鞥与0列式求解即可．【详解】解：∵不等式(k−2023)x|k|−2022+2>0是关于x的一元一次不等式
∴|k|−2022=1且k−2023≠0，
∴k=−2023．
故答案为：−2023．
考点5：解一元一次不等式
a2−1 a+1 a
典例5：化简 ÷ − ，再在不等式9a−10≤0的非负整数解中选取一个合适的解
a2−2a+1 a−1 a−1
作为a的取值，代入求值．
1
【答案】− ，1
a−1
【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的加、减、乘、除运算，一元一次不等式的解法，
分式有意义的条件是解决本题的关键．根据分式的运算法则先化简，再解一元一次不等式，找到不
等式的非负整数解，将符合分式的整数解代入求值即可．
(a+1)(a−1) a−1 a
【详解】解：原式 = ⋅ −
(a−1) 2 a+1 a−1
a
=1−
a−1
1
=− ，
a−1
10
解不等式9a−10≤0得a≤ ，
9
∵a−1≠0,a+1≠0，
∴a≠±1，
∴不等式9a−10≤0的非负整数解为a=0，
当a=0时，
1
原式=− =1．
0−1
x−7 2x+1
【变式1】解不等式：3− > ．
8 2
去分母，得24−(x−7)>8x+4．
(1)“去分母”这一步的变形依据是_______（填“A”或“B”）．
A．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
B．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．(2)请完成上述解不等式的余下步骤．
【答案】(1)A
(2)x<3
【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式、不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关
键．
（1）根据题干的解题过程，去分母这步骤，是不等式两边同时乘上8，据此作答即可；
（2）先去括号，再移项，合并同类项，系数化1，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，去分母这步骤，是不等式两边同时乘上8，
故答案为：A．
（2）解：依题意，去括号得24−x+7>8x+4，
移项得−x−8x>4−7−24，
合并同类项，得−9x>−27，
系数化1，得x<3．
【变式2】解不等式并把解表示到数轴上：
(1)1−2x<3(1−x)；
x+2 1−x
(2) ≥
3 6
【答案】(1)x<2，解集在数轴上表示见解析；
(2)x≥−1，解集在数轴上表示见解析．
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出不等
式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可；
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1先求出不
等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可；
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：1−2x<3(1−x)
1−2x<3−3x
−2x+3x<3−1
x<2，
∴解集在数轴上表示如图，；
x+2 1−x
（2）解： ≥
3 6
2(x+2)≥1−x
2x+4≥1−x
2x+x≥1−4
3x≥−3
x≥−1，
∴解集在数轴上表示如图，
．
x−a 1−x
【变式3】若关于x的方程 =1− 的解大于2x+3>5x+1的解，求a的取值范围．
2 3
10
【答案】a≥−
9
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、求一元一次不等式的解集
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，先求出一元一次方程以及一元一次
不等式，然后再根据题意列出不等式，求解不等式即可得出答案．
x−a 1−x
【详解】解： =1−
2 3
3(x−a)=6−2(1−x)
3x−3a=6−2+2x
3x−2x=3a+6−2
x=3a+4，
2x+3>5x+1
2x−5x>−3+1
2
x< ，
3
x−a 1−x
=1− 的解大于2x+3>5x+1的解，
2 3
∵
2
3a+4≥ ，
3
∴
10
解得：a≥− ．
9【变式4】若x,y满足|x−2y+a|+(x−y−2a+1) 2=0，且x−3 y<−1，求a的取值范围．
1
【答案】a>
2
【知识点】加减消元法、求一元一次不等式的解集
【分析】本题主要考查了非负数的性质，求不等式的解集，解二元一次方程组，解题的关键是熟练
掌握解二元一次方程组和不等式的方法．先根据非负数的性质得出¿，求出¿，根据x−3 y<−1，得
出5a−2−3(3a−1)<−1，解不等式即可．
【详解】解：∵|x−2y+a|+(x−y−2a+1) 2=0，
∴¿，
解得¿，
∵x−3 y<−1，
∴5a−2−3(3a−1)<−1，
1
解得a> ．
2
【变式5】数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对|x|<2和
|x|>2进行探究：
根据绝对值的意义，将不等式|x|<2的解集表示在数轴上（如图1），可得|x|<2的解集是：
−22的解集表示在数轴上（如图2），可得|x|>2的解集是：x<−2或x>2．
根据以上探究，解答下列问题：
(1)填空：不等式|x|0）的解集为______，不等式|x|>a（a>0）的解集为______；
(2)解不等式|x−1|>4；
(3)求不等式|x−1|+|x+2|<5的解集．
【答案】(1)−aa
(2)x<−3或x>5
(3)−32的解集是x<−2或x>2，根据它们即可确定|x|0)和|x|>a(a>0)的解集；
（2）把x−1当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出x−1的取值范围，然后就可以求出x的
取值范围；
（3）先在数轴上找出|x−1|+|x+2|=5的解，即可得出不等式|x−1|+|x+2|<5的解集．
【详解】（1）根据题干规律可得，不等式|x|0）的解集为−aa（a>0）的解集为x<−a或x>a；
（2）由（1）得：由于|x−1|>4，
所以x−1<−4或x−1>4，
所以x<−3或x>5，
所以|x−1|>4的解集为x<−3或x>5；
（3）由绝对值的意义得方程|x−1|+|x+2|=5的解就是求在数轴上到1和−2对应点的距离之和等于
5的点对应的x的值，
因为数轴上1和−2对应点的距离为3，
所以满足方程|x−1|+|x+2|=5的x对应的点在1的右边或−2的左边．
若x对应的点在1的右边，可得x=2；
若x对应的点在−2的左边，可得x=−3；
所以方程|x−1|+|x+2|=5的解为x=2或x=−3，
所以不等式|x−1|+|x+2|<5的解集为−31的解集是x<−1或x>1；绝对值不等式|x|≤3的解集，是
−3≤x≤3，则：不等式|x|≥4的解集是______；
②利用数轴解不等式|x+1|+|x−3|>4，并加以说明．
【答案】(1)3，|x+2|+|x−1|
(2)2≤x≤3，最小值为1
(3)①；②
【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的意义、解|x|≥a型的不等式
【分析】（1）利用绝对值的意义计算和表示相应距离即可；
（2）分析出|x−3|+|x−2|的意义，结合数轴找到合适的值即可；
（3）①仿照所给例即可求解；②分三种情况，并结合数轴求解．
【详解】（1）解：C到B的距离为|−2−1|=3；
A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x−(−2)|+|x−1|=|x+2|+|x−1|；
（2）|x−3|+|x−2|表示数轴上x与3和x与2的距离之和，
故当2≤x≤3时，|x−3|+|x−2|取最小值，且为3−2=1；（3）①|x|≥4的解集为x≥4或x≤−4，
故答案为：x≥4或x≤−4；
②当x<−1时，|x+1|+|x−3|=−x−1−x+3=−2x+2>4，
∴x<−1；
当−1≤x≤3时，|x+1|+|x−3|=x+1−x+3=4>4，
∴x无解；
当x>3时，|x+1|+|x−3|=x+1+x−3=2x−2>4，
∴x>3；
综上所述：x>3或x<−1．
【点睛】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握绝对值的意义，理解题意，分类讨论是解题的关键．
【变式9】对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下a@b=a−2b，例如5@3=5−6=−1，
5@(−3)=5−(−6)=11．
(1)填空：8@2= _________；2@(−1)= _________；
(2)若x@2<1，求x的取值范围．
(3)若关于x的不等式3@(m−x)<5恰有两个正整数解，求m的取值范围．
【答案】(1)4，4
(2)x<5
(3)13；
解不等式②得：x<5；
∴不等式组的解集为：3−5，
∴不等式组的解集为x≥0．
【变式3】解不等式（组）
1+x 2x+1
(1)小英解不等式 − ≤1的过程如下，请指出她解答过程中错误步骤的序号，并写出正确
2 3
的解答过程．
解：去分母得：3(1+x)−2(2x+1)≤1①
去括号得：3+3x−4x+1≤1②
移项得：3x−4x≤1−3−1③
合并同类项得：−x≤−3④
两边都除以−1得：x≤3⑤(2)解不等式组：¿，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】(1)错误的步骤有①②⑤，正确过程见解析
(2)0≤x<3，解集在数轴上表示见解析
【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题考查的是解一元一次不等式（组），熟练掌握解一元一次不等式（组）的步骤和依据
是解题的关键．
（1）根据小英的解题步骤找出错误的步骤；再根据解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；
③移项；④合并同类项；⑤化系数为1依次计算可得．
（2）分别求出每个不等式的解集，再取它们解集的公共部分，在数轴上表示出来即可．
【详解】（1）解：错误的步骤有①②⑤，
正确解答过程如下：
1+x 2x+1
− ≤1
2 3
去分母，得3(1+x)−2(2x+1)≤6，
去括号，得3+3x−4x−2≤6，
移项，得3x−4x≤6−3+2，
合并同类项，得−x≤5，
系数化为1，得x≥−5．
（2）解：¿，
由①得x<3；
由②得x≥0；
∴不等式组的解集为0≤x＜3，
不等式组的解集在数轴上表示为：
【变式4】若a,b,c是△ABC三边的长，且a,b满足关系式|a−3|+(b−4) 2=0,c是不等式组¿的最
大整数解，求△ABC三边的长．
【答案】△ABC三边的长分别为3,4,5
【知识点】绝对值非负性、求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查绝对值、偶次方的非负性及不等式组的解法及整数解的确定，求不等式组的解集，
应遵循以下原则∶同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
先根据题意，求出a和b的值，再求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解即可．
【详解】解：∵a,b满足关系式|a−3|+(b−4) 2=0，
∴a−3=0,b−4=0，
∴a=3,b=4．
5 11
∵不等式组¿的解集是 1，
4
得4x+x+1>4，
3
所以x> ．
5
1 1
解不等式1.5a− (x+1)> (a−x)+0.5(2x−1)，
2 2
得3a−x−1>a−x+2x−1，
所以x 时，原不等式组才有解，且解集为 11−x，得：x>3，
解不等式2x>3x−6，得：x<6，
则不等式组¿的解集为3−2
(2)−20，解不等式，即可求解；
（2）根据函数y=(2m+4)x+(3−m)图像经过第一、二、三象限，得出¿，解不等式组，即可求解；
（3）依题意，函数解析式为：y=6x+2，根据k=6>0，y随x的增大而增大，分别求得x=−1,2时
的函数值，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，2m+4>0，
解得：m>−2；
（2）解：∵函数y=(2m+4)x+(3−m)图像经过第一、二、三象限，
∴¿，
解得：−20，y随x的增大而增大
当x=−1时，y=−4，当x=2时，y=14，
∴当−1≤x≤2时，−4≤ y≤14．3 y a−10
【变式8】若关于x的不等式组¿有且只有五个整数解，且关于y的分式方程 − =1的解为
y−2 2−y
非负整数，则符合条件的所有整数a的和为多少？
【答案】14
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了根据不等式组和分式方程解的情况求解参数，准确的计算是解题关键．解关于
a+2 a+2 3 y a−10 8−a
x的不等式组¿得： 24000，
∴选择二汽公司来运输这批货物，安排30辆A型汽车，10辆B型汽车时，总费用最少．
【变式3】生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变的更甜．我们
把含糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度，甜度越大糖水越甜．小观现在有一杯质量为100克的
糖水，其中含有a克糖（00；
110 100
（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．（1）根据甜度公式计算即可得到含a的代数式表示出原来的甜度及加糖后的甜度；
100−a
（2）二者作差后，可得出 ，结合00，
a+10 a a+10 a
∴ − >0，即 > ，
110 100 110 100
∴加糖后确实变甜了；
（3）解：根据题意得：¿，
解得：1≤a≤6.5，
∴a的取值范围为1≤a≤6.5．
【变式4】如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个
矩形小花园ABCD，小花园一边靠墙，另三边用总长60m的栅栏围住，如图所示，若设矩形小花园
AB边的长为xm，面积为Sm2.
(1)求出S与x之间的函数关系式（写出自变量取值范围）；
(2)当x为何值时；小花园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)S=−2x2+60x(17.5≤x<30)
(2)当x=17.5时，小花园的面积最大，最大面积是437.5m2．【知识点】不等式组的工程问题、图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查二次函数的应用，一元一次不等式组的应用．根据题意正确求出S与x之间的函
数关系式是解题关键．
（1）根据题意可知BC=(60−2x)m，再根据矩形的面积公式计算即可得出S与x之间的函数关系
式，根据0m
