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专题 04 一元一次等式（组）及其应用
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）不等式及其性质
（1）不等式概念
①不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.
②不等式的解：使不等式成立的未知数的值.
③不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.
（2）不等式的性质
①性质1：若a＞b,则 a±c>b±c；
②性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc， > ；
③性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc， < .（注意同乘或同除于一个负数不等号的方向发生改变）
（二）一元一次不等式
（1）一元一次不等式定义：
用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是 1的，左右两边为整式的式子叫做
一元一次不等式.
（2）一元一次不等式解法及解集：
①步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1（注意变号问题）.
②解集在数轴上表示:
x≥a x＞a x≤a x＜a
（三）一元一次不等式组（1）由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组．
（2）一元一次不等式组的解集：组成不等式组的各个不等式的解的公共部分，叫做这个一元一次不
等式组的解集．
（3）先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不
等式组的解集．
（四）不等式组解集的表示
（五）不等式（组）的实际应用
（1）列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”、“最
多”、“超过”、“不低于”、“不大于”、“不高于”、“大于”、“多”等，这些都体现了不
等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结
合实际．
（2）列不等式（组）解应用题的一般步骤：
①审，认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键词语；
②设，设出适当的未知数；
③找，找出能够包含未知数的不等量关系；
④列，根据题中的不等关系列出不等式（组）；
⑤解，求出不等式（组）的解；
⑥验，在不等式（组）的解中找出符合题意的值；
⑦答，写出答案，
模块三 考点一遍过
考点1：不等式的意义
典例1：据报道，某市2017年5月29日的最高气温是37°，最低气温是19°，则当天该市气温t（单
位：°C）的变化范围是（ ）
A．t>37 B．t<19C．19<t<37 D．19≤t≤37
【答案】D
【知识点】不等式的定义
【分析】本题考查了不等式的定义．根据不等式的定义进行解答即可．
【详解】解：∵某市2017年5月29日的最高气温是37°，最低气温是19°，
∴当天该市气温t(°C)的变化范围是：19≤t≤37．
故选：D．
【变式1】在−3<−2、2x+7 y≤0、x=3、x2+4 y2、x+2<5中，不等式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】不等式的定义
【分析】本题考查了不等式的定义．熟练掌握不等式的定义是解题的关键．
根据不等式的定义判断作答即可．
【详解】解：由题意知，−3<−2、2x+7 y≤0、x+2<5是不等式，故符合要求；
x=3是等式，x2+4 y2是整式，故不符合要求；
故选：C．
【变式2】用不等式表示“线上学习期间，每天体育运动时间超过1小时”，设每天的体育运动时间
为x小时，所列不等式为 ．
【答案】x＞1
【知识点】不等式的定义
【分析】根据超过用“＞”列不等式即可．
【详解】解：由题意得
x＞1．
故答案为：x＞1
【点睛】本题考查了列不等式表示数量关系，与列代数式问题相类似，首先要注意其中的运算及运
算顺序，再就是要注意分清大于、小于、不大于、不小于的区别．
【变式3】在下列数学表达式中：−3<0，a+b，x=1，x2+x y2，x+2>y+3，其中不等式有
个．
【答案】2
【知识点】不等式的定义
【分析】运用不等式的定义进行判断．
【详解】解：x=1是等式，
x2+x y2和a+b是代数式，没有不等关系，所以不是不等式.
不等式有：−3<0，x+2>y+3.故答案为：2.
【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类
题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠．
考点2：不等式的解集
典例2：已知点P(x，y)在第二象限，且y≤2x+6，x，y为整数，则点P的个数是（ ）
A．3 B．6 C．10 D．无数个
【答案】B
【知识点】不等式的解集、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】本题主要考查了不等式的解法及坐标系内点的坐标特点．熟练掌握根据未知数的范围确定
它所满足的特殊条件的值是解题的关键．
先根据第二象限点的坐标特征求出x，y的取值范围，再根据y的取值范围求出x的整数解，进而可
求出符合条件的y的值．
【详解】解：∵点P(x，y)在第二象限，
∴x<0，y>0，
∴2x+6>0，
解得，x>−3，
∴当x=−2时，y≤2，此时点P为(−2，1)，(−2，2)，
当x=−1时，y≤4，此时点P为(−1，1)，(−1，2)，(−1，3)， (−1，4)，
综上所述，点P的个数是6个，
故选：B ．
【变式1】下列说法正确的是（ ）
A．x=0是不等式x−2<1的解 B．不等式3x<7的整数解只有x=1,x=2
C．不等式2x<5的解集是x=2 D．x≥3是不等式3x≥9的解
【答案】A
【知识点】不等式的解集、求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整数解
【分析】本题考查了不等式的解集和解不等式．根据解不等式，结合选项即可求解．
【详解】解：A. ∵x−2<1，解得：x<3
∴x=0是不等式x−2<1的解，故该选项正确，符合题意；
7
B. 不等式3x<7，解得：x< 的正整数解只有x=1,x=2，故该选项不正确，不符合题意；
3
5
C. 不等式2x<5的解集是x<
2
D. ∵3x≥9
∴x≥3是不等式3x≥9的解集，故该选项不正确，不符合题意；故选：A．
【变式2】在0，3，4，6四个数中， 是不等式x+1>5的解．
【答案】6
【知识点】不等式的解集、求一元一次不等式的解集
【分析】移项，合并同类项得出不等式的解集即可得出答案．
【详解】解：∵x+1>5，
∴x>4，
在0，3，4，6四个数中，符合条件的只有6，
即6是不等式x+1>5的解，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其
需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
【变式3】若3是不等式2x−m>5的解，−2不是不等式2x−m>5的解，则m的取值范围是 ；
【答案】−9≤m<1
【知识点】不等式的解集、由不等式组解集的情况求参数
【分析】把3代入不等式2x−m>5，解出m的值，把−2代入不等式2x−m>5，解出m的值，即可
求解．
【详解】解：∵3是不等式2x−m>5的解，
∴m<1，
−2不是不等式2x−m>5的解，
∴m<−9，
∴m的取值范围是−9≤m<1，
故答案为：−9≤m<1．
【点睛】本题主要考查根据不等式的解集求参数的值，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．
考点3：不等式的性质
典例3：已知m<n，那么下列各式中，不一定成立的是( )
A．3m<3n B．3−m>3−n C．m−3<n−3 D．m2<mn
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【分析】根据不等式性质2，可判断A，根据不等式性质3与不相似性质1可判断B，根据不等式性
质1可判断C，根据m的符号分类讨论可判断D．
【详解】解：A. ∵m<n，∴3m<3n，故该选项正确，不符合题意；
B. ∵m<n，∴−m>−n，∴3−m>3−n，故该选项正确，不符合题意；
C. ∵m<n，∴m−3<n−3，故该选项正确，不符合题意；D. 当m>0，m<n,∴m2<mn，
当m=0，m<n，∴m2=mn，
当m<0，m<n，∴m2>mn，
故选项D不一定成立，
故选：D．
【变式1】在数学上用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[1.5]=1，[2]=2，[−1.5]=−2．若
[x]=0，则x的取值范围为 ．
【答案】0≤x<1
【知识点】求一元一次不等式的解集、不等式的性质
【分析】本题考查了不等式的性质，不等式的解集，掌握不等式的性质，取值方法是解题的关键．
根据[a]表示不大于a的最大整数，结合实例，即可求解．
【详解】解：∵数学上用[a]表示不大于a的最大整数，如：[1.5]=1，[2]=2，[−1.5]=−2，
∴[x]=0，则x的取值范围为0≤x<1，
故答案为：0≤x<1 ．
【变式2】已知x ，x ，x ，x ，x 为正整数，且x <x <x <x <x ，若x +x +x +x +x =2024，
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
则x +x +x 的最大值为 ．
1 2 3
【答案】1211
【知识点】不等式的性质
【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
由题意知，x +1≤x ，x +2≤x +1≤x ，x +3≤x +2≤x +1≤x ，
1 2 1 2 3 1 2 3 4
x +4≤x +3≤x +2≤x +1≤x ，则x +x +1+x +2+x +3+x +4≤2024，可求x ≤402.8，则
1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1
x 的最大值为402，同理可求x ≤404，则x 的最大值为404，x 的最大值为405，然后求x +x +x
1 2 2 3 1 2 3
的最大值即可．
【详解】解：∵x ，x ，x ，x ，x 为正整数，且x <x <x <x <x ，
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
∴x +1≤x ，x +2≤x +1≤x ，x +3≤x +2≤x +1≤x ，x +4≤x +3≤x +2≤x +1≤x ，
1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5
∵x +x +x +x +x =2024，
1 2 3 4 5
∴x +x +1+x +2+x +3+x +4≤2024，
1 1 1 1 1
解得，x ≤402.8，
1
∴x 的最大值为402，
1
∴x +x +x +x =1622，
2 3 4 5
∴x +x +1+x +2+x +3≤1622，
2 2 2 2
解得，x ≤404，
2
∴x 的最大值为404，
2
同理，x 的最大值为405，
3∴x +x +x 的最大值为402+404+405=1211，
1 2 3
故答案为：1211．
【变式3】下列是真命题的有 （填序号）．
a 1 1
①若a>b且m≠0，则−ma<−mb；②若a>b，则 >1；③若a>b，则 < ；④若a>b，则
b a b
a b
ac2>bc2；⑤若 < ，则a<b； ⑥若a>b，则(m2+1)a>(m2+1)b；⑦若a>b，c<d，则
c2 c2
a−c>b−d
【答案】⑤⑥⑦
【知识点】不等式的性质、判断命题真假
【分析】本题考查命题的真假，根据不等式的性质，逐一进行判断即可，掌握不等式的性质，是解
题的关键．
【详解】解：若a>b且m>0时，则−ma<−mb；故①是假命题；
a
若a>b，且b>0时，则 >1；故②是假命题；
b
1 1
若a>b>0，则 < ；故③是假命题；
a b
若a>b，且c≠0时，则ac2>bc2；故④是假命题；
a b
若 < ，则a<b；故⑤是真命题；
c2 c2
若a>b，则(m2+1)a>(m2+1)b；故⑥是真命题；
若a>b，c<d，则a−c>b−d；故⑦是真命题；
故答案为：⑤⑥⑦．
【变式4】如果a>b，那么下列各式一定成立的是（ ）
a b
A．a+1<b+1 B．3a<3b C． > D．a≤b−c2
2 2
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数
（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等
式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质逐项进行判断即可．
【详解】解：A、∵a>b，
∴不等式的两边都加1，则a+1>b+1，原式不成立，不符合题意；
B、∵a>b，∴不等式的两边都乘以3，则3a>3b，原式不成立，不符合题意；
C、∵a>b，
1 a b
∴不等式的两边都乘以 ，则 > ，成立，符合题意；
2 2 2
D、∵a>b，c2≥0，
∴a>b−c2，原式不成立，不符合题意．
故选：C．
【变式5】若x>y，下列不等式不成立的是（ ）
A．x+8>y+8 B．3x>3 y
x y
C． > D．1−2x>1−2y
7 7
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
根据不等式的基本性质“不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；
不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除
以）同一个负数，不等号的方向改变”逐项判断即可解题．
【详解】解：A、由x>y 两边同时加上8，可得x+8>y+8 ，成立；
B、由x>y 两边同时乘以3，可得3x>3 y ，成立；
x y
C、由x>y 两边同时除以7，可得 > ，成立；
7 7
D、由x>y 两边同时乘以−2再加上1，可得1−2x<1−2y ，原式不成立；
故选：D．
考点4：一元一次不等式定义
y
典例4：下列式子：①x+2=2，②π+1>2，③x+3，④ −1<2，⑤2x+2≠5中是一元一次不等
3
式的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【知识点】一元一次不等式的定义
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的
系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判
断即可．
【详解】解：①x+2=2，是方程；②π+1>2，不含未知数，不是一元一次不等式；
③x+3，是代数式，不是不等式；
y
④ −1<2，是一元一次不等式；
3
⑤2x+2≠5，是一元一次不等式．
故选：A．
【变式1】若(m+1)x|m|−5>0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．0 B．±1 C．−1 D．1
【答案】D
【知识点】一元一次不等式的定义
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义、绝对值等知识点，熟练掌握一元一次不等式的定
义是解本题的关键．
利用一元一次不等式和绝对值的定义列式求解即可．
【详解】解：∵(m+1)x|m|−5>0是关于x的一元一次不等式，
∴|m|=1且m+1≠0，
∴m=1．
故选D．
【变式2】若3m−5x3+m>4是关于x的一元一次不等式，则m的值是 ．
【答案】−2
【知识点】一元一次不等式的定义、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义得出3+m=1，解一
元一次方程求解即可得出答案．
【详解】解： 3m−5x3+m>4是关于x的一元一次不等式，
3+m=1，
∵
∴解得：m=−2，
故答案为：−2．
【变式3】当k= 时，不等式(k−2023)x|k|−2022+2>0是关于x的一元一次不等式．
【答案】−2023
【知识点】一元一次不等式的定义
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，不等号的左右两边都是整式，并
且未知数的次数都是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．根据未知数的次数等于1且系数不
鞥与0列式求解即可．【详解】解：∵不等式(k−2023)x|k|−2022+2>0是关于x的一元一次不等式
∴|k|−2022=1且k−2023≠0，
∴k=−2023．
故答案为：−2023．
考点5：解一元一次不等式
a2−1 a+1 a
典例5：化简 ÷ − ，再在不等式9a−10≤0的非负整数解中选取一个合适的解
a2−2a+1 a−1 a−1
作为a的取值，代入求值．
1
【答案】− ，1
a−1
【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的加、减、乘、除运算，一元一次不等式的解法，
分式有意义的条件是解决本题的关键．根据分式的运算法则先化简，再解一元一次不等式，找到不
等式的非负整数解，将符合分式的整数解代入求值即可．
(a+1)(a−1) a−1 a
【详解】解：原式 = ⋅ −
(a−1) 2 a+1 a−1
a
=1−
a−1
1
=− ，
a−1
10
解不等式9a−10≤0得a≤ ，
9
∵a−1≠0,a+1≠0，
∴a≠±1，
∴不等式9a−10≤0的非负整数解为a=0，
当a=0时，
1
原式=− =1．
0−1
x−7 2x+1
【变式1】解不等式：3− > ．
8 2
去分母，得24−(x−7)>8x+4．
(1)“去分母”这一步的变形依据是_______（填“A”或“B”）．
A．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
B．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．(2)请完成上述解不等式的余下步骤．
【答案】(1)A
(2)x<3
【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式、不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关
键．
（1）根据题干的解题过程，去分母这步骤，是不等式两边同时乘上8，据此作答即可；
（2）先去括号，再移项，合并同类项，系数化1，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，去分母这步骤，是不等式两边同时乘上8，
故答案为：A．
（2）解：依题意，去括号得24−x+7>8x+4，
移项得−x−8x>4−7−24，
合并同类项，得−9x>−27，
系数化1，得x<3．
【变式2】解不等式并把解表示到数轴上：
(1)1−2x<3(1−x)；
x+2 1−x
(2) ≥
3 6
【答案】(1)x<2，解集在数轴上表示见解析；
(2)x≥−1，解集在数轴上表示见解析．
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出不等
式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可；
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1先求出不
等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可；
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：1−2x<3(1−x)
1−2x<3−3x
−2x+3x<3−1
x<2，
∴解集在数轴上表示如图，；
x+2 1−x
（2）解： ≥
3 6
2(x+2)≥1−x
2x+4≥1−x
2x+x≥1−4
3x≥−3
x≥−1，
∴解集在数轴上表示如图，
．
x−a 1−x
【变式3】若关于x的方程 =1− 的解大于2x+3>5x+1的解，求a的取值范围．
2 3
10
【答案】a≥−
9
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、求一元一次不等式的解集
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，先求出一元一次方程以及一元一次
不等式，然后再根据题意列出不等式，求解不等式即可得出答案．
x−a 1−x
【详解】解： =1−
2 3
3(x−a)=6−2(1−x)
3x−3a=6−2+2x
3x−2x=3a+6−2
x=3a+4，
2x+3>5x+1
2x−5x>−3+1
2
x< ，
3
x−a 1−x
=1− 的解大于2x+3>5x+1的解，
2 3
∵
2
3a+4≥ ，
3
∴
10
解得：a≥− ．
9【变式4】若x,y满足|x−2y+a|+(x−y−2a+1) 2=0，且x−3 y<−1，求a的取值范围．
1
【答案】a>
2
【知识点】加减消元法、求一元一次不等式的解集
【分析】本题主要考查了非负数的性质，求不等式的解集，解二元一次方程组，解题的关键是熟练
掌握解二元一次方程组和不等式的方法．先根据非负数的性质得出¿，求出¿，根据x−3 y<−1，得
出5a−2−3(3a−1)<−1，解不等式即可．
【详解】解：∵|x−2y+a|+(x−y−2a+1) 2=0，
∴¿，
解得¿，
∵x−3 y<−1，
∴5a−2−3(3a−1)<−1，
1
解得a> ．
2
【变式5】数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对|x|<2和
|x|>2进行探究：
根据绝对值的意义，将不等式|x|<2的解集表示在数轴上（如图1），可得|x|<2的解集是：
−2<x<2；将不等式|x|>2的解集表示在数轴上（如图2），可得|x|>2的解集是：x<−2或x>2．
根据以上探究，解答下列问题：
(1)填空：不等式|x|<a（a>0）的解集为______，不等式|x|>a（a>0）的解集为______；
(2)解不等式|x−1|>4；
(3)求不等式|x−1|+|x+2|<5的解集．
【答案】(1)−a<x<a，x<−a或x>a
(2)x<−3或x>5
(3)−3<x<2
【知识点】绝对值的意义、求一元一次不等式的解集、解|x|≥a型的不等式
【分析】此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决
所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一
个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意．
（1）由于|x|<2的解集是−2<x<2，|x|>2的解集是x<−2或x>2，根据它们即可确定|x|<a(a>0)和|x|>a(a>0)的解集；
（2）把x−1当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出x−1的取值范围，然后就可以求出x的
取值范围；
（3）先在数轴上找出|x−1|+|x+2|=5的解，即可得出不等式|x−1|+|x+2|<5的解集．
【详解】（1）根据题干规律可得，不等式|x|<a（a>0）的解集为−a<x<a；
不等式|x|>a（a>0）的解集为x<−a或x>a；
（2）由（1）得：由于|x−1|>4，
所以x−1<−4或x−1>4，
所以x<−3或x>5，
所以|x−1|>4的解集为x<−3或x>5；
（3）由绝对值的意义得方程|x−1|+|x+2|=5的解就是求在数轴上到1和−2对应点的距离之和等于
5的点对应的x的值，
因为数轴上1和−2对应点的距离为3，
所以满足方程|x−1|+|x+2|=5的x对应的点在1的右边或−2的左边．
若x对应的点在1的右边，可得x=2；
若x对应的点在−2的左边，可得x=−3；
所以方程|x−1|+|x+2|=5的解为x=2或x=−3，
所以不等式|x−1|+|x+2|<5的解集为−3<x<2．
【变式6】定义一种新运算：a⊗b=a−ab，例如：2⊗3=2−2×3=−4．根据上述定义，
(1)若3⊗a=−9，求a及其平方根．
(2)2⊗x的计算结果落在如图所示的范围内，求x的最小整数值．
【答案】(1)a=4，±2
(2)4
【知识点】求一个数的平方根、新定义下的实数运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移
项、求一元一次不等式解的最值
【分析】（1）由新定义，按法则计算得到a=4，再由平方根定义求解即可得到答案；
（2）由新定义及数轴得到2⊗x≤−5，再按法则计算得到2−2x≤−5，解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：∵a⊗b=a−ab，3⊗a=−9，
∴−3a=−12，解得a=4，则±√a=±2；
（2）解：由题意得2⊗x≤−5，7
∴2−2x≤−5，即−2x≤−7，解得x≥ ，
2
∴最小整数值为4．
【点睛】本题考查新定义运算，涉及解方程、平方根定义、解不等式及求不等式的整式解等知识，
理解新定义运算，熟记平方根定义及解不等式的方法是解决问题的关键．
【变式7】规定新运算：x∗y=ax−by，其中a、b是常数．已知2∗1=−4，−1∗3=9．
(1)求a、b的值；
(2)若¿，求m，n的值；
(3)若3x∗y=1−7t，(−2)x∗(−3)y=4t−3，且3x+4 y<6，求t的最大整数值．
【答案】(1)a=−3，b=−2；
(2)m=−1，n=−2
(3)1
【知识点】加减消元法、构造二元一次方程组求解、求一元一次不等式解的最值
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，
能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
（1）根据新运算得出方程组，再①+②×2得出−7b=14，求出b，再把b=−2代入①求出a即可；
（2）根据新运算得出方程组，再①×2−②得出3n=−6，求出n，再把n=−2代入②求出m即可；
（3）根据新运算得出方程组，再①+②得出3x+4 y=2+3t，根据3x+4 y<6求出t的范围，再求
出最大整数解即可．
【详解】（1）解：∵2∗1=−4，−1∗3=9，x∗y=ax−by，
∴ ¿，
①+②×2，得−7b=14，
解得：b=−2，
把b=−2代入①，得2a+2=−4，
解得：a=−3；
（2）解：由（1）a=−3，b=−2，
∴x∗y=−3x+2y，
∵ ¿，
∴ ¿，
①×2−②，得3n=−6，
解得：n=−2，
把n=−2代入②，得−6m−2=4，
解得：m=−1；
（3）解：∵3x∗y=1−7t，(−2)x∗(−3)y=4t−3，x∗y=−3x+2y，∴ ¿，
①+②，得−3x−4 y=−2−3t，即3x+4 y=2+3t，
∵3x+4 y<6，
∴2+3t<6，
4
∴t< ，
3
∴t的最大整数值是1．
【变式8】认真阅读下面的材料，完成有关问题，
材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可
表示为|a−b|．例如：数轴上−1与3对应的点之间的距离为|−1−3|=4．
(1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，−2，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与
A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）；
(2)利用数轴探究：当x取何值时，|x−3|+|x−2|有最小值，最小值是多少?
(3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：
由图可得出：绝对值不等式|x|>1的解集是x<−1或x>1；绝对值不等式|x|≤3的解集，是
−3≤x≤3，则：不等式|x|≥4的解集是______；
②利用数轴解不等式|x+1|+|x−3|>4，并加以说明．
【答案】(1)3，|x+2|+|x−1|
(2)2≤x≤3，最小值为1
(3)①；②
【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的意义、解|x|≥a型的不等式
【分析】（1）利用绝对值的意义计算和表示相应距离即可；
（2）分析出|x−3|+|x−2|的意义，结合数轴找到合适的值即可；
（3）①仿照所给例即可求解；②分三种情况，并结合数轴求解．
【详解】（1）解：C到B的距离为|−2−1|=3；
A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x−(−2)|+|x−1|=|x+2|+|x−1|；
（2）|x−3|+|x−2|表示数轴上x与3和x与2的距离之和，
故当2≤x≤3时，|x−3|+|x−2|取最小值，且为3−2=1；（3）①|x|≥4的解集为x≥4或x≤−4，
故答案为：x≥4或x≤−4；
②当x<−1时，|x+1|+|x−3|=−x−1−x+3=−2x+2>4，
∴x<−1；
当−1≤x≤3时，|x+1|+|x−3|=x+1−x+3=4>4，
∴x无解；
当x>3时，|x+1|+|x−3|=x+1+x−3=2x−2>4，
∴x>3；
综上所述：x>3或x<−1．
【点睛】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握绝对值的意义，理解题意，分类讨论是解题的关键．
【变式9】对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下a@b=a−2b，例如5@3=5−6=−1，
5@(−3)=5−(−6)=11．
(1)填空：8@2= _________；2@(−1)= _________；
(2)若x@2<1，求x的取值范围．
(3)若关于x的不等式3@(m−x)<5恰有两个正整数解，求m的取值范围．
【答案】(1)4，4
(2)x<5
(3)1<m≤2
【知识点】有理数四则混合运算、求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】此题主要考查了新定义，有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组，一元一
次不等式组的解集，理解题目中给出的新定义运算的法则，及一元一次不等式组的解集，熟练掌握
有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组是解决问题的关键．
（1）根据新定义计算即可；
（2）先计算x@2=x−4，然后将不等式x@2<1可转化为x−4<1，解此不等式可得x的取值范围；
（3）先计算3@(m−x)=3−2m+2x，因此可将不等式3@(m−x)<5可转化为3−2m+2x<5，
由此可解得x<m+1，再根据恰有两个正整数解，得到2<m+1≤3，解不等式组即可．
【详解】（1）解：∵a@b=a−2b，
∴8@2=8−2×2=4，2@(−1)=2−2×(−1)=4，
故答案为：4，4；
（2）解：∵x@2=x−2×2=x−4，
∴不等式x@2<1可转化为：x−4<1，∴x<5；
（3）解：∵3@(m−x)=3−2(m−x)=3−2m+2x，
∴不等式3@(m−x)<5可转化为：3−2m+2x<5，
∴x<m+1，
∵关于x的不等式3@(m−x)<5恰有两个正整数解，
∴2<m+1≤3，
解得：1<m≤2．
考点6：一元一次不等式应用
典例6：某文创店，最近一款印有“保卫里”的书签销售火爆．该店第一次用1000元购进这款书签，
很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，
且第二次购进的数量是第一次的2倍．
(1)求该店两次购进这款书签各多少个？
4
(2)第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的 后，由于天气的影
5
响，游客量减少，该店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售
完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？
【答案】(1)该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个；
(2)第一次销售时每个书签的售价至少为8元
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进这款书签2x个，由题意：每个书签第二次
购进的成本比第一次便宜了1元，列出分式方程，解方程即可；
（2）设第一次销售时每个书签的售价为m元，由题意：要使两次购进的书签销售完后的总利润不低
于1880元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进这款书签2x个，
1000 1600
由题意得： − =1，
x 2x
解得：x=200，
经检验，x=200是原方程的解，且符合题意，
∴2x=400，
答：该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个．
（2）设第一次销售时每个书签的售价为m元，4 4
由题意得：200m+400× m+400×0.5×(1− )m≥1880+1000+1600
5 5
解得：m≥8，
答：第一次销售时每个书签的售价至少为8元．
【变式1】北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京某厂可支援外地12台，上海某厂
可支援外地6台，现在决定支援汉口10台，重庆8台．如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是4
万元/台、8万元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是3万元/台、5万元/台．
(1)若总运费恰好为90万元，则如何调运？
(2)若总运费不超过91万元，问共有几种调运方法？
(3)在（2）中，求总运费最低的调运方法，最低费用是多少？
【答案】(1)北京运往汉口8台，重庆4台；上海运往汉口2台，重庆4台
(2)3种
(3)总运费最低的调运方法是北京运往汉口10台，重庆2台；上海运往汉口0台，重庆6台，最低运
费为86元
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）设出未知数，分别表示出北京、上海运往汉口、重庆的计算机台数，列出方程即可解决问题；
（2）设出未知数，分别表示出北京、上海运往汉口、重庆的计算机台数，列出不等式即可解决问题；
（3）算出（2）中每一种调运方法的费用，然后比较即可求解．
【详解】（1）解：设上海运往汉口x台，则：上海运往重庆(6−x)台，北京运往汉口(10−x)台，
北京运往重庆8−(6−x)=(2+x)台，
由题意得：4(10−x)+3x+8(x+2)+5(6−x)=90，
解得：x=2，
∴6−x=4，10−x=8，2+x=4，
答：北京运往汉口8台，重庆4台；上海运往汉口2台，重庆4台；
（2）解：设上海运往汉口x台，则：上海运往重庆(6−x)台，北京运往汉口(10−x)台，北京运往
重庆8−(6−x)=(2+x)台，
由题意得：4(10−x)+3x+8(x+2)+5(6−x)≤91，
解得：x≤2.5，
又x为非负整数，
∴非负整数x的值为0，1，2，
∴共有3种调运方法；
（3）解：由（2）知：一共有三种调运方法，分别为：
①北京运往汉口8台，重庆4台；上海运往汉口2台，重庆4台，运费为4×8+3×2+8×4+5×4=90万元；
②北京运往汉口9台，重庆3台；上海运往汉口1台，重庆5台，运费为
4×9+3×1+8×3+5×5=88万元；
③北京运往汉口10台，重庆2台；上海运往汉口0台，重庆6台，运费为
4×10+3×0+8×2+5×6=86万元；
∵86<88<90，
∴总运费最低的调运方法是北京运往汉口10台，重庆2台；上海运往汉口0台，重庆6台，最低运
费为86元．
【变式2】“垃圾分一分，环境美十分”．我校为积极响应有关垃圾分类的号召，从超市购进了A，
B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50
元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量与用6000元购买B品牌垃圾桶的数量相同．
(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？
(2)若学校决定再次准备用不超过4800元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢超市对两种品牌
垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价下降
了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？
【答案】(1)A品牌垃圾桶每个100元；B品牌垃圾桶每个150元
(2)B品牌垃圾桶最多买10个
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意，根据等量关系与不
等量关系列出方程与不等式是解题的关键．
（1）设A品牌垃圾桶每个x元，则B品牌垃圾桶每个(x+50)元，根据两种垃圾桶数量相同，列出
分式方程并求解即可，注意检验；
（2）设该学校此次最可购买y个B品牌垃圾桶，则可购买A品牌垃圾桶(50−y)个，根据题意列出
不等式即可求解．
【详解】（1）解：设A品牌垃圾桶每个x元，则B品牌垃圾桶每个(x+50)元，
4000 6000
由题意得： = ，
x x+50
解得：x=100，
经检验，x=100是原方程的解，且符合题意；
∴x+50=150（元）；
答：A品牌垃圾桶每个100元，则B品牌垃圾桶每个150元；
（2）解：设该学校此次最可购买y个B品牌垃圾桶，则可购买A品牌垃圾桶(50−y)个，
由题意得：(50−y)×100×0.9+150 y(1−20%)≤4800，解得：y≤10，
∴B品牌垃圾桶最多买10个；
答：B品牌垃圾桶最多买10个．
【变式3】金秋时节，辽北农村山货迎来丰收季，某乡村坚果加工厂购进一批成本价为50元/kg的
松子，经加工后对外批量销售，如果按70元/kg销售，每天可卖出500kg．通过市场调查发现，松
子售价每kg降低2元，日销售量就增加100kg．
(1)若日利润保持不变，该厂想尽快销售完这批松子，售价应定为多少元；
(2)某网购平台果品经销商也销售同款松子，标价为75元/kg，为提高市场竞争力，促进线上销售，
该经销商对商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【答案】(1)60元；
(2)8折销售．
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、不等式的应用等知识点，根据题意正确列出方程和
不等式成为解题的关键．
（1）设售价应定为x元，则每kg的利润为(x−50)元，根据等量关系利润不变列出一元二次方程求
解即可；
（2）设该款松子需要打a折销售，再根据不等关系销售价格不超过60列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设售价应定为x元，则每kg的利润为(x−50)元，
[ 100(70−x)]
依题意，得：(x−50) 500+ =(70−50)×500，
2
整理得：x2−130x+4200=0，
解得：x =60，x =70（不合题意，舍去）．
1 2
答：若日利润保持不变，该厂为尽快销售完这批松子，售价应定为60元．
（2）解：设该款松子需要打a折销售，
a
由题意，得，75× ≤60，解得：a≤8．
10
答：该商品至少需打8折销售．
【变式4】哈尔滨某商场准备采购一批亚冬会吉祥物进行销售，下面是一段对话．
用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商 一件A型商品的进价比一件B型商品的
品的件数的2倍． 进价多10元．(1)根据对话信息，求每件A、B型商品的进价分别是多少？
(2)若该商场购进A、B型商品共150件进行试销，已知每件A型商品的售价为230元，每件B型商品
售价为210元，这批货全部售出且获得的利润不多于9800元．求至多购进A型商品多少件？
【答案】(1)A型商品的进价160元；B型商品的进价150元
(2)至多购进A型商品80件
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题、解分式方程、求一元一次不等
式的解集
【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，理解题意找准等量关系是解题的关键．
（1）根据“用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍”列出方程进
行计算即可；
（2）表示出利润，再根据“利润不多于9800元”列出不等式进行计算即可．
【详解】（1）解：设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为(x+10)元，
16000 7500
由题意得： =2× ，
x+10 x
解得x=150，
经检验x=150是分式方程的解，
∴x+10=150+10=160（元），
答：一件B型商品的进价为150元，则一件A型商品的进价为160元．
（2）解：设商场购进A型商品m件，则购进A型商品(150−m)件，
(230−160)m+(210−150)(150−m)≤9800，
解得m≤80，
∴至多购进A型商品80件．
【变式5】2024年是甲辰龙年，小红记录了她的妈妈连续两天购买A，B两种龙年饰品账目：（A，
B两种龙年饰品单价不变）
第一天购买3个A种饰品和2个B种饰品共84元；
第二天购买4个A种饰品和1个B种饰品共32元．
(1)妈妈说她的记录错误，请帮她说明错误理由；
(2)结果小红发现第一天错把34元写成84元，改正后求出每个A种饰品单价6元，每个B种饰品单价8元，妈妈决定再次购买A种饰品和B种饰品共20个，总费用不超过150元，那么最少可以购买多
少个A种饰品？
【答案】(1)见解析
(2)妈妈最少可以购买A种饰品5个
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用；
（1）设A种饰品单价为x元，B种饰品单价为y元，由题意可得¿，解方程组即可求解；
（2）设购买A种饰品m个，则购买B种饰品（20−m）个，由题意可得6m+8（20−m）≤150，
解不等式求不等式的最小整数解，即可求解．
【详解】（1）解：设A种饰品单价为x元，B种饰品单价为y元，
由题意可得¿，
解得¿
∵A种饰品单价不能为负数，
∴她记录错误．
（2）设购买A种饰品m个，则购买B种饰品（20−m）个，
由题意可得6m+8（20−m）≤150，
解得m≥5．
答：妈妈最少可以购买A种饰品5个．
【变式6】某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某活塞．现有甲、乙两种机器供选择，
其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所用资金
不能超过34万元．
甲 乙
价格（万元/台） 7 5
每台日生产活塞的数量（个） 100 60
(1)按该公司要求，可以有哪几种购买方案？
(2)若该公司购进的6台机器的日生产活塞量不能低于380个，且为了节约购买资金，则该公司应选
择哪个购买方案？
【答案】(1)方案见解析
(2)方案二，理由见解析
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，读懂题意，找出符合题意的不等关系式，并求出整数
解解题的关键；
（1）根据购买的甲的数量+乙的数量=6，购买甲的价钱+购买乙的价钱≤34万元，来列出不等式，求出自变量的取值范围，即可得出答案；
（2）按不同方案分别计算购买机器所耗资金及日生产量，通过比较按要求作出选择．
【详解】（1）解：设购买甲种机器x台，则购买乙种机器(6−x)台， 依题意得，
7x+5(6−x)≤34，
解得x≤2，
∴x可取0，1，2，
所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案：
方案一：甲0台乙6台；
方案二：甲1台，乙种5台；
方案三：甲2台，乙4台；
（2）解：方案一：甲0台乙6台；100×0+60(6−0)=360<380，不符合要求，
方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台，所耗资金1×7+5×5=32万元，日生产量为
1×100+5×60=400个；
方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台，所耗资金为2×7+4×5=34万元，日生产量为
2×100+4×60=440个；
因此选择方案二既能达到日生产量的要求且比方案三节约2万元资金，
故应选方案二．
【变式7】综合与实践．
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常
悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、
素 乙两个生产部门去完成．
材1
甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这
项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天．
素
经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天．
材2
素
由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半．
材3
问题解决
任
确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包；
务1
①若设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包______个，乙部门工
任 作时间可表示为______天；
拟订设计方案
务2
②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付
的总工资最少？最少需要多少元？【答案】任务1：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包；
任务2：①120m，(36−2m)；②甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公
司支付的总工资最少，最少需要97200元．
【知识点】分式方程的工程问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实
际问题
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，一次函数的最大利润问题，正确
掌握相关性质内容是解题的关键．
2160 2160
（1）设乙部门每天能生成x个壮锦手提包，依题意，列式得 − =18，注意经检验x=60
x 2x
是方程的解，即可作答．
2160−120m
（2）设甲部门工作m天，则乙部门的工作时间为 =36−2m（天）．再依题意，得出
60
1
m≤ (36−2m)，解出m≤9，根据利润公式得出w=−1200m+108000，运用一次函数的性质，进
2
行分析作答即可．
【详解】解：任务1：设乙部门原来每天生产x个壮锦手提包，则甲部门原来每天生产2x个壮锦手
提包，
2160 2160
由题意得： − =18，
x 2x
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，
∴2x=120，
答：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包；
任务2：①设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包120m个，乙部门工作时间可表示为
(2160−120m)×60=(36−2m)天，
故答案为：120m，(36−2m)；
1
②由题意得：m≤ (36−2m)，
2
解得：m≤9，
设该公司支付的总工资为y元，
由题意得：y=4800m+3000(36−2m)=−1200m+108000，
∴−1200<0，
随m的增大而减小，
当m=9时，y有最小值，此时，36−2m=36−2×9=18，
答：甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需
要97200元．
考点7：一元一次不等式组定义
典例7：下列是一元一次不等式组的是（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的定义
【分析】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等
式组是解题关键．利用一元一次不等式组的定义判断即可．
【详解】解：¿是一元一次不等式组．
故选：B．
【变式1】下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有( )
①¿；②¿；③¿；④¿；⑤¿．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的定义
【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，
不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可．
【详解】解：①⑤是一元一次不等式组，②③④不是一元一次不等式组，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键．
【变式2】某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度x℃
的范围是 20≤x≤28，B种菌苗生长的适宜温度 y℃的范围是 19≤ y≤25，那么温箱里的温度
z℃应该设定的范围是 ．
【答案】20≤z≤25
【知识点】一元一次不等式组的定义
【分析】本题考查了求不等式组解集的意义；由题意知，温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求
这两个范围的公共部分．
【详解】解：这两个温度范围的公共部分是：20≤z≤25；
故答案为：20≤z≤25．
【变式3】下列不等式组：①¿ ②¿ ③¿ ④¿ ⑤¿．其中是一元一次不等式组的有 个．【答案】2
【知识点】一元一次不等式组的定义
【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可．
【详解】解：①¿是一元一次不等式组；
②¿含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
③¿是一元一次不等式组；
④¿不是一元一次不等式组；
⑤¿，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有2个，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式
组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
考点8：解一元一次不等式组
典例6：解不等式组¿请按下列步骤完成解答．
(1)解不等式①，得______．
(2)解不等式②，得______．
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集是______．
【答案】(1)x<4
(2)x≥−1
(3)见解析
(4)−1≤x<4
【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）求出不等式的解集即可；
（2）求出不等式的解集即可；
（3）在数轴上表示出不等式组的解集即可；
（4）根据数轴写出不等式组的解集．
【详解】（1）解：2x−6<2
2x<8，
x<4，故答案为：x<4；
（2）解：3x+2≥x
2x≥−2，
x≥−1，
故答案为：x≥−1；
（3）解：不等式组的解集在数轴上表示如下：
（4）解：不等式组的解集为：−1≤x<4，
故答案为：−1≤x<4．
x−3 x−3 1
【变式1】先化简，再求值： ÷ − −1，其中x是不等式组¿的整数解．
x2−1 x2+2x+1 x−1
1 1
【答案】 ， ．
x−1 3
【知识点】分式化简求值、求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、分式的化简求值．首先解不等式组求出不等
1
式组的解集为3<x<5，可知不等式组的整数解是x=4，再把分式化简可得：原式= ，把x=4
x−1
代入化简后的代数式中计算求值即可．
【详解】解：¿
解不等式①得：x>3；
解不等式②得：x<5；
∴不等式组的解集为：3<x<5，
又∵ x取整数，
∴ x=4，
x−3 x−3 1
÷ − −1
x2−1 x2+2x+1 x−1
x−3 (x+1) 2 ( 1 x−1)
= × − +
(x+1)(x−1) x−3 x−1 x−1
x+1 x
= −
x−1 x−1
1
= ，
x−1
当x=4时，1 1 1
原式= = = ．
x−1 4−1 3
2x−1 5x+1
【变式2】（1）解不等式组： − ≤1，并把解集表示在数轴上．
3 2
（2）解不等式组：¿．
【答案】（1）x≥−1，数轴见详解，（2）x≥0
【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集：
（1）先按照去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出不
等式的解集即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不
到（无解）”求出不等式组的解集即可．
2x−1 5x+1
【详解】解：（1） − ≤1，
3 2
去分母得，2(2x−1)−3(5x+1)≤6，
去括号得，4x−2−15x−3≤6，
合并同类项得：−11x≤11，
系数化为1得：x≥−1，
数轴表示如下所示：
（2）¿
解不等式①得：x≥0，
解不等式②得：x>−5，
∴不等式组的解集为x≥0．
【变式3】解不等式（组）
1+x 2x+1
(1)小英解不等式 − ≤1的过程如下，请指出她解答过程中错误步骤的序号，并写出正确
2 3
的解答过程．
解：去分母得：3(1+x)−2(2x+1)≤1①
去括号得：3+3x−4x+1≤1②
移项得：3x−4x≤1−3−1③
合并同类项得：−x≤−3④
两边都除以−1得：x≤3⑤(2)解不等式组：¿，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】(1)错误的步骤有①②⑤，正确过程见解析
(2)0≤x<3，解集在数轴上表示见解析
【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题考查的是解一元一次不等式（组），熟练掌握解一元一次不等式（组）的步骤和依据
是解题的关键．
（1）根据小英的解题步骤找出错误的步骤；再根据解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；
③移项；④合并同类项；⑤化系数为1依次计算可得．
（2）分别求出每个不等式的解集，再取它们解集的公共部分，在数轴上表示出来即可．
【详解】（1）解：错误的步骤有①②⑤，
正确解答过程如下：
1+x 2x+1
− ≤1
2 3
去分母，得3(1+x)−2(2x+1)≤6，
去括号，得3+3x−4x−2≤6，
移项，得3x−4x≤6−3+2，
合并同类项，得−x≤5，
系数化为1，得x≥−5．
（2）解：¿，
由①得x<3；
由②得x≥0；
∴不等式组的解集为0≤x＜3，
不等式组的解集在数轴上表示为：
【变式4】若a,b,c是△ABC三边的长，且a,b满足关系式|a−3|+(b−4) 2=0,c是不等式组¿的最
大整数解，求△ABC三边的长．
【答案】△ABC三边的长分别为3,4,5
【知识点】绝对值非负性、求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查绝对值、偶次方的非负性及不等式组的解法及整数解的确定，求不等式组的解集，
应遵循以下原则∶同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
先根据题意，求出a和b的值，再求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解即可．
【详解】解：∵a,b满足关系式|a−3|+(b−4) 2=0，
∴a−3=0,b−4=0，
∴a=3,b=4．
5 11
∵不等式组¿的解集是 <x< ，
2 2
∴最大整数解是5，
∴c=5．
故△ABC三边的长分别为3,4,5．
【变式5】（1）已知关于x的不等式3x−a≤0的正整数解恰好是1，2，3，求a的取值范围．
（2）已知不等式组¿只有一个整数解，试确定a的取值范围．
【答案】（1）9≤a<12；（2）1<a≤2
【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题属于含有字母的不等式问题，主要考查了一元一次不等式（组）的整数解，首先用含
字母的代数式表示不等式（组）的解集，再根据列出关于此字母的不等式组，解之即得．
（1）首先求得不等式3x−a≤0的解，再根据不等式的正整数解即可得到一个关于a的不等式组，
即可求得a的范围；
（2）首先求出两个不等式的解集，确定出不等式组的解集，再根据不等式整数解的个数确定a的取
值范围．
a
【详解】解：（1）原不等式的解集为x≤ ．
3
∵关于x的不等式3x−a≤0的正整数解恰好是1，2，3，
a
所以3≤ <4，
3
所以a的取值范围是9≤a<12．
x+1
（2）解不等式x+ >1，
4
得4x+x+1>4，
3
所以x> ．
5
1 1
解不等式1.5a− (x+1)> (a−x)+0.5(2x−1)，
2 2
得3a−x−1>a−x+2x−1，
所以x<a．3 3
所以只有当a> 时，原不等式组才有解，且解集为 <x<a．
5 5
因为原不等式组只有一个整数解，
所以由条件，得1<a≤2，
所以a的取值范围是1<a≤2．
【变式6】【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程
为该不等式组的“子方程”．例如：2x+4=2的解为x=−1,¿的解集为−3≤x<4，不难发现
x=−1在−3≤x<4的范围内，所以2x+4=2是¿的“子方程”．
1 1
【问题解决】（1）在方程①4x−5=x+7，② x− =0，③2x+3(x+2)=21中，不等式组¿的
11 3
“子方程”是______（填序号）；
（2）若关于x的方程2x−k=4是不等式组¿的“子方程”，求k的取值范围；
（3）若方程4x+4=0是关于x的不等式组¿的“子方程”，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）①②；（2）2<k<8；（3）m≤6
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求不等式组的解集、解一元一次方程（一）——合并同
类项与移项
【分析】（1）先分别求得各一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据题中定义判断即可解答；
（2）先求得方程和不等式组的解集，再根据定义得到关于k的不等式组，然后解不等式组即可求解；
（3）先解方程，再求出不等式组的解集，然后根据定义求解即可．
【详解】（1）解：解方程4x−5=x+7得：x=4，
1 1 11
解方程 x− =0得：x= ，
11 3 3
解方程2x+3(x+2)=21得：x=3，
解不等式组¿得：3<x≤5，
所以不等式组¿ 的“子方程”是①②．
（2）解不等式5x−7>11−x，得：x>3，
解不等式2x>3x−6，得：x<6，
则不等式组¿的解集为3<x<6，
k+4
解方程2x−k=4，得x= ，
2
k+4
由题意，得3< <6，
2
∴6<k+4<12，
解得：2<k<8；
（3）解方程4x+4=0，得：x=−1，解不等式组¿得：¿，
m−8
∴不等式组得解集为 ≤x<18，
2
m−8
∴x=−1在 ≤x<18范围内，
2
m−8
∴ ≤−1，
2
解得：m≤6．
【点睛】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式组，以及一元一次方程的解和一元一次不等式
组的解集的关系，理解题中定义，正确得到满足条件的参数对应的不等式（组）是解答的关键．
【变式7】已知一次函数y=(2m+4)x+(3−m)．
(1)当y随x的增大而增大，求m的取值范围；
(2)若图象经过一、二、三象限，求m的取值范围；
(3)若m=1，当−1≤x≤2时，求y的取值范围．
【答案】(1)m>−2
(2)−2<m<3
(3)−4≤ y≤14
【知识点】求一次函数自变量或函数值、求不等式组的解集、根据一次函数增减性求参数、已知函
数经过的象限求参数范围
【分析】本题考查了一次函数的性质，解不等式（组）；
（1）依题意，2m+4>0，解不等式，即可求解；
（2）根据函数y=(2m+4)x+(3−m)图像经过第一、二、三象限，得出¿，解不等式组，即可求解；
（3）依题意，函数解析式为：y=6x+2，根据k=6>0，y随x的增大而增大，分别求得x=−1,2时
的函数值，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，2m+4>0，
解得：m>−2；
（2）解：∵函数y=(2m+4)x+(3−m)图像经过第一、二、三象限，
∴¿，
解得：−2<m<3；
（3）解：∵m=1，
∴函数解析式为：y=6x+2，
k=6>0，y随x的增大而增大
当x=−1时，y=−4，当x=2时，y=14，
∴当−1≤x≤2时，−4≤ y≤14．3 y a−10
【变式8】若关于x的不等式组¿有且只有五个整数解，且关于y的分式方程 − =1的解为
y−2 2−y
非负整数，则符合条件的所有整数a的和为多少？
【答案】14
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了根据不等式组和分式方程解的情况求解参数，准确的计算是解题关键．解关于
a+2 a+2 3 y a−10 8−a
x的不等式组¿得： <x≤6．可得1≤ <2；分式方程 − =1的解为：y= ．
6 6 y−2 2−y 2
8−a 8−a
根 ≥0且 ≠2即可求解；
2 2
a+2
【详解】解：解关于x的不等式组¿得： <x≤6．
6
∵关于x的不等式组¿有且只有五个整数解，
a+2
∴1≤ <2．
6
3 y a−10 8−a
关于y的分式方程 − =1的解为：y= ．
y−2 2−y 2
3 y a−10
∵关于y的分式方程 − =1可得产生增根2，
y−2 2−y
8−a
∴ ≠2．
2
3 y a−10
∵关于y的分式方程 − =1的解为非负整数，
y−2 2−y
8−a 8−a
∴ ≥0且 ≠2．
2 2
∴¿．解得：4<a≤8．
8−a
∵a为整数，且 为整数，∴a=6,8．
2
∴符合条件的所有整数a的和为：6+8=14．
故答案为：14．
【变式9】已知m为整数，关于x，y的方程组¿的解满足不等式组¿．
(1)解关于x，y的方程组，并用m的代数式表示出来；
(2)求整数m的值．
【答案】(1)方程组的解为¿
(2)m的整数值为−2,−1,0,1
【知识点】求一元一次不等式组的整数解、加减消元法【分析】本题考查解一元一次不等式组，二元一次方程组等知识，解题的关键是理解题意，用转化
的思想思考问题．
（1）利用加减消元法解关于x，y的方程组即可；
（2）将（1）中关于x，y的方程组的解¿代入不等式组，得到关于m的不等式组，解得m的取值范围，
再求出m的整数值即可．
【详解】（1）解：¿，
②−①×2，得：7 y=−7m+4，
4
解得：y=−m+ ，
7
4 8
把y=−m+ 代入①，得：x=m+ ，
7 7
∴方程组的解为¿；
（2）解：将¿代入不等式组¿，
得：¿，即¿，
13
解不等式7m+8<21得：m< ；
7
5
解不等式−4m+4≤14得：m≥− ；
2
5 13
则不等式组的解集为：− ≤m< ，
2 7
∴m的整数值为−2,−1,0,1．
考点9：一元一次不等式组的应用
典例9：根据以下素材，探索完成任务．
奖品购买及兑换方案设计
素 小明在瓷都爱心超市购物时发现：顾客甲购买2个风琴包和1个精美书签花了35元，顾客乙
材1 购买1个风琴包和3个精美书签花了30元．
素 瓷都中学花费600元购买该超市的风琴包和精美书签作为奖品颁发给七年级期末考试优秀学
材2 生，两种奖品的购买数量均不少于20个，且购买精美书签的数量是10的倍数．
问题解决
任
探求商品单价 请运用列方程组的方法，求出风琴包与精美书签的单价．
务1
任
探究购买方案 探究购买风琴包和精美书签数量的所有方案．
务2
【答案】（1）风琴包的单价为15元，精美书签的单价为5元；（2）见解析【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用
【分析】本题考查了方程组的应用，不等式组的应用，整数解，熟练掌握方程组的应用是解题的关
键．
（1）设风琴包的单价为x元，精美书签的单价为y元．根据题意得¿，解方程组即可．
1
（2）设购买a个风琴包，b个精美书签，根据题意得：15a+5b=600，所以a=40− b．又因为
3
a≥20，b≥20，a，b为整数，且b是10的倍数，解答即可．
【详解】解：（1）设风琴包的单价为x元，精美书签的单价为y元．
根据题意得¿，
解得¿．
答：风琴包的单价为15元，精美书签的单价为5元．
（2）解：设购买a个风琴包，b个精美书签，
根据题意得：15a+5b=600，
1
故a=40− b．
3
∵a≥20，b≥20，
∴¿，
解得20≤b≤60，
∵b是10的倍数，
∴b=20或b=30或b=40或b=50或b=60，
∵a，b为整数，
∴¿或¿，
∴共有2种购买方案，
方案1：购买30个风琴包，30个精美书签；方案2：购买20个风琴包，60个精美书签．
【变式1】某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲
种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、
乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元．
(1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？
(2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产
条件的生产方案有哪几种？
【答案】(1)甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元
(2)三种，方案1：A产品12个，B产品48个，方案2：A产品11个，B产品49个，方案3：A产品
10个，B产品50个．
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是
解题的关键．
（1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，依题意，列式¿，再解出¿，即可作答．
（2）设生产B产品a件，生产A产品(60−a)件，依题意，列式¿，然后解出48≤a≤50，再结合a
的值为非负整数，即可作答．
【详解】（1）解：设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，
依题意得：¿，
解得¿．
答：甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元．
（2）解：设生产B产品a件，生产A产品(60−a)件．
根据题意，得¿．
解得：48≤a≤50．
∵a的值为非负整数，
∴a=48,49,50，
则60−a分别等于12、11、10．
∴共有三种符合生产条件的方案：方案1：A产品12个，B产品48个；方案2：A产品11个，B产
品49个；方案3：A产品10个，B产品50个．
【变式2】我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物256吨和乙种货物200吨，
准备租用A、B两种型号的汽车共40辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均
有足够量的A、B型汽车，收费标准如表：
一汽 二汽
A型每辆费用（元） 600 m
B型每辆费用（元） 800 n
(1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多400元，且在二汽公司租4辆A型汽
车和5辆B型汽车的总费用为6500元．求表格中m，n的值；
(2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5
吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，
请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由．
【答案】(1)表格中m的值为500，n的值为900
(2)共有3种租车方案，选择二汽公司来运输这批货物，总费用最少，见解析
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的分配问题
【分析】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键.（1）依题意得：¿，即可求解；
（2）设需租用x辆A型汽车，则租用(40−x)辆B型汽车，依题意得：¿，即可求解
【详解】（1）解：依题意得：¿，
解得：¿．
答：表格中m的值为500，n的值为900．
（2）解：设需租用x辆A型汽车，则租用(40−x)辆B型汽车，
依题意得：¿，
解得：28≤x≤30，
∵x取整数，
∴x=28,29,30．
∴共有3种租车方案．
∵每辆A型汽车的费用小于每辆B型汽车的费用，
∴租用30辆A型汽车，10辆B型汽车更省钱．
选择一汽公司所需总费用为：600×30+800×10=26000（元）；
选择二汽公司所需总费用为：500×30+900×10=24000（元）．
∵26000>24000，
∴选择二汽公司来运输这批货物，安排30辆A型汽车，10辆B型汽车时，总费用最少．
【变式3】生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变的更甜．我们
把含糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度，甜度越大糖水越甜．小观现在有一杯质量为100克的
糖水，其中含有a克糖（0<a<100）；他试了一下感觉不够甜，又向其中添加了10克糖，并搅拌
至完全溶解．
(1)原来的甜度为 ，加糖后的甜度为 ．
(2)根据加糖前后的甜度，请你利用不等式的基本性质证明加糖后确实变甜了．
(3)要使糖水口感好，又比较健康，甜度应不低于10%，又不超过15%．如果上述操作后甜度符合要
求，那么a应该在什么范围？
a a+10
【答案】(1) ，
100 110
(2)见解析
(3)1≤a≤6.5
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、一元一次不等式组的其他应用、列代数式
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间
a+10 a
的关系，用含a的代数式表示出原来的甜度及加糖后的甜度；（2）作差后，找出 − >0；
110 100
（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．（1）根据甜度公式计算即可得到含a的代数式表示出原来的甜度及加糖后的甜度；
100−a
（2）二者作差后，可得出 ，结合0<a<100，进而可证出加糖后确实变甜了；
1100
（3）根据加糖后的甜度不低于10%又不超过15%，可列出关于a的一元一次不等式，解之即可得出
a的取值范围．
a a+10 a+10
【详解】（1）解：根据题意得：原来的甜度为 ，加糖后的甜度为 = ；
100 100+10 110
a a+10
（2）解：加糖前的甜度为 ，加糖后的甜度为 ，
100 110
a+10 a
−
110 100
10a+100 11a
= −
1100 1100
100−a
= ，
1100
∵0<a<100，
∴100−a>0，
a+10 a a+10 a
∴ − >0，即 > ，
110 100 110 100
∴加糖后确实变甜了；
（3）解：根据题意得：¿，
解得：1≤a≤6.5，
∴a的取值范围为1≤a≤6.5．
【变式4】如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个
矩形小花园ABCD，小花园一边靠墙，另三边用总长60m的栅栏围住，如图所示，若设矩形小花园
AB边的长为xm，面积为Sm2.
(1)求出S与x之间的函数关系式（写出自变量取值范围）；
(2)当x为何值时；小花园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)S=−2x2+60x(17.5≤x<30)
(2)当x=17.5时，小花园的面积最大，最大面积是437.5m2．【知识点】不等式组的工程问题、图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查二次函数的应用，一元一次不等式组的应用．根据题意正确求出S与x之间的函
数关系式是解题关键．
（1）根据题意可知BC=(60−2x)m，再根据矩形的面积公式计算即可得出S与x之间的函数关系
式，根据0m<BC≤25m，列出一元一次不等式组求解，即得出自变量取值范围；
（2）将S与x之间的二次函数关系式改为顶点式，求解即可．
【详解】（1）解：设矩形小花园AB边的长为xm，则BC=(60−2x)m，
根据题意有：S=x(60−2x)=−2x2+60x．
∵0m<BC≤25m，
∴0<60−2x≤25，
解得：17.5≤x<30，
∴S与x之间的函数关系式为S=−2x2+60x(17.5≤x<30)；
（2）解：由（1）可知S=−2x2+60x=−2(x−15) 2+450，
∵17.5≤x<30，
∴当x=17.5时，S最大，且S =−2(17.5−15) 2+450=437.5，
max
∴当x=17.5时，小花园的面积最大，最大面积是437.5m2．
【变式5】一水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与 零售价格如下表：
梨 苹
水果品种 菠萝 车厘子
子 果
批发价格(元/kg
4 5 6 40
)
零售价格(元/ kg
5 6 8 50
)
请解答下列问题：
(1)第一天，该经营户用5200元批发了车厘子和苹果共300kg ，当日全部售出，求这两种水果获得
的总利润？
(2)第二天，该经营户依然用5200元批发了车厘子和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，
只记得这两种水果的批发量均为正整数且车厘子的进货量不低于97kg，这两种水果已全部售出且总
利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发 这两种水果可能的方案
有哪些？
【答案】(1)这两种水果获得的总利润为1400元；(2)该经营户第二天批发97kg车厘子，220kg苹果
【知识点】不等式组的经济问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】（1）设第一天，该经营户批发xkg车厘子，ykg苹果，根据该经营户用5200元批发了车
厘子和苹果共300kg，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总利
润=每千克的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论；
5200−40m
（2）该经营户购进mkg车厘子，则购进苹果 kg，根据“车厘子的进货量不低于97kg，
6
且这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于m的一元一次
5200−40m
不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m， 均为正整数，即可得出各进货方
6
案．
【详解】（1）解：设第一天，该经营户批发xkg车厘子，ykg苹果，
根据题意得：¿，
解得：¿，
∴(50−40)x+(8−6)y=(50−40)×100+(8−6)×200=1400．
答：这两种水果获得的总利润为1400元；
5200−40m
（2）设第二天，该经营户购进mkg车厘子，则购进 kg苹果，
6
根据题意得：¿，
解得：97≤m<100，
5200−40m
又∵m， 均为正整数，
6
∴m=97，
5200−40m 5200−40×97
∴ = =220．
6 6
答：该经营户第二天批发97kg车厘子，220kg苹果．
