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专题 04 二次根式
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）二次根式的相关概念
（1）二次根式：式子 （ a ≥ 0 ） 叫做二次根式．
（2）有意义的条件：二次根式的被开方数大于等于0。即 中，
（二）最简二次根式与同类二次根式
（1）最简二次根式需满足两个条件：
①被开方数 不含 分数；分母不含根式 ；
②被开方数中不含开得尽方的因数或因式．
（2）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则把这几个二次根式
叫做同类二次根式．
（三）二次根式的性质
（1）（a≥0）具有双重非负性，一是 a ≥ 0，二是 ≥ 0 ．
（2）（）2＝ a （ a ≥ 0 ） ．
（3）
√a2=|a|={
a (a≥0)
−a (a<0)
（四）二次根式的有理化
在进行二次根式计算时，最后的结果都要化简成最简二次根式。若被开方数中含有分母或分母中含
有根号时，对这一类二次根式的化简过程叫做分母有理化。
① 。
②
（五）二次根式的运算
（1）二次根式的加减运算：（类比同类项的加减运算）
（2）二次根式的乘除运算：
①乘法运算： 。推广： 。
②乘法逆运算： 。
③除法运算： 。推广： 。
④除法逆运算： 。
（3）二次根式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。
模块三 考点一遍过
考点1：二次根式的概念
典例1：已知√32a−8+√35−3b=0，则√6a−9b的值为（ ）
A．9 B．±9 C．3 D．±3
【答案】C
【知识点】立方根概念理解、求二次根式的值、相反数的定义
【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得2a−8
与5−3b互为相反数，即得2a−8+5−3b=0，得到2a−3b=3，再代入二次根式计算即可求解，
由立方根的性质得到2a−3b=3是解题的关键．
【详解】解：∵√32a−8+√35−3b=0，
∴2a−8与5−3b互为相反数，
∴2a−8+5−3b=0，
∴2a−3b=3，
∴√6a−9b=√3(2a−3b)=√3×3=3，
故选：C．
3
【变式1】在函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
√2x+4
A．x≠−2 B．x>−2 C．x≤−2 D．x≥−2【答案】B
【知识点】求自变量的取值范围、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件等知识点，掌握分式和二次根
式有意义的条件是解题的关键．根据分式和二次根式有意义的条件列不等式求解即可．
3
【详解】解：∵y= ，
√2x+4
∴2x+4>0，解得：x>−2．
故选：B．
1
【变式2】若√3x+2+ 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
x−1
2
【答案】x≥− 且x≠1
3
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为
非负数；分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．根据二次根式与分式有意义的条件求解
即可．
【详解】解：由题意得：3x+2≥0，且x−1≠0，
2
解得：x≥− 且x≠1，
3
2
故答案为：x≥− 且x≠1．
3
【变式3】若√60m是正整数，则整数m可取的最小值为 ．
【答案】15
【知识点】利用二次根式的性质化简、求二次根式中的参数
【分析】本题考查了二次根式的性质，整理√60m=2√15m，再结合“√60m是正整数”以及“m是
整数”，进行作答．
【详解】解：依题意，得√60m=2√15m，
∵√60m是正整数，且m是整数，
∴整数m可取的最小值为15，
故答案为：15．
【变式4】（1）当a为 时，√2a+1＋1的值最小，为 ；
（2）当a为 时，√4−(a+2) 2的值最大，为 ．
1
【答案】 − 1 −2 2
2
【知识点】求二次根式的值、二次根式有意义的条件【分析】本题主要考查二次根式的性质：
（1）根据√2a+1≥0即可求出a的值，以及所求式子的最小值；
（2）根据(a+2) 2≥0即可求出a的值，以及所求式子的最大值．
【详解】解：（1）∵√2a+1≥0，
∴√2a+1+1≥1，
∴√2a+1+1的最小值为1，
1
此时2a+1=0，解得a=− ．
2
1
所以，当a=− 时，√2a+1+1的值最小，为1．
2
1
故答案为：− ；1；
2
（2）∵(a+2) 2≥0，
∴√4−(a+2) 2≤2，
∴√4−(a+2) 2的最大值为2．
此时(a+2) 2=0，解得a=−2．
所以，当a=−2时，√4−(a+2) 2的值最大，为2．
故答案为：−2，2
【变式5】已知关于x的方程m+√x−2=4有实数解，那么m的取值范围是 ．
【答案】m≤4/4≥m
【知识点】求二次根式的值、二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式的非负性，即可求解．
【详解】∵m+√x−2=4
∴√x−2=4−m
∴4−m≥0
∴m≤4
故答案为：m≤4
【点睛】本题考查二次根式的非负性，解题的关键是掌握二次根式值的特点．
【变式6】下列式子中，是二次根式的是（ ）
2
A．√6 B．52 C．5 D．
5【答案】A
【知识点】求二次根式的值
【分析】本题考查了二次根式的定义．根据形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式，逐项分析即可求解．
【详解】解：A、√6是二次根式，A符合题意；
B、52=25，不是二次根式，B不符合题意；
C、5不是二次根式，C不符合题意；
2
D、 不是二次根式，D不符合题意．
5
故选：A．
√3 5 7 2n+1
【变式7】若 × × ×⋯× =11，则n的值为（ ）
1 3 5 2n−1
A．40 B．50 C．60 D．70
【答案】C
【知识点】求二次根式中的参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知
识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键．
先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程2n+1=121，解一元一次方程即可得到答
案．
3 5 7 2n+1
【详解】解： × × ×⋯× =2n+1，
1 3 5 2n−1
√3 5 7 2n+1
∵ × × ×⋯× =11，
1 3 5 2n−1
∴√2n+1=11，即2n+1=121，解得n=60，
故选：C．
考点2：二次根式的性质
√ 1
典例2：将(x−1) 根号外的因式移到根号内，结果为（ ）
1−x
A．√1−x B．−√1−x C．√x−1 D．−√x−1
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是根据题意得出1−x>0．根据二次根式的性
质进行化简即可．
1
【详解】解：∵ >0，
1−x
∴1−x>0，√ 1
∴(x−1)
1−x
√ 1
=−(1−x)
1−x
√ 1
=−√(1−x) 2
1−x
√(1−x) 2
=−
1−x
=−√1−x；
故选：B．
【变式1】化简：√12a2 (a>0)= ．
【答案】2√3a
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握√a2=|a|是解题的关键，根据√a2=|a|进行化简即可．
【详解】解：√12a2=√4×3a2=2√3|a|，
由于a>0，
∴√12a2 (a>0)=2√3a，
故答案为：2√3a．
【变式2】实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简:√a2−√b2+√(a−b) 2的结果是 ．
【答案】−2a
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查了数轴，二次根式的性质与化简，利用数轴得出b>0,a−b<0,a<0，进而
化简得出答案，正确得出各部分符号是解题关键．
【详解】解：如图所示：b>0,a−b<0,a<0，
∴√a2−√b2+√(a−b) 2
=−a−b+b−a
=−2a，
故答案为：−2a．【变式3】若m满足等式√m−2022+|2021−m|=m，则m−20212的值为 ．
【答案】2022
【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简、绝对值的意义、已知式子的值，求
代数式的值
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值、一元一次方程等知识点，掌握二次
根式有意义的条件是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件得到m的取值范围，再根据m的取值范围去绝对值和二次根式的性质得
到一元一次方程，进而得到√m−2022=2021，即20212=m−2022，最后整体代入计算即可．
【详解】解：∵√m−2022，
∴m−2022≥0，解得：m≥2022，
∴2021−m<0，
∵√m−2022+|2021−m|=m，
∴√m−2022+m−2021=m，即：√m−2022=2021，
∴m−2022=20212，
∴m−20212=m−(m−2022)=2022．
故答案为：2022．
【变式4】实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：√a2+√b2+√(a−b) 2= ．
【答案】2b−2a
【知识点】利用二次根式的性质化简、根据点在数轴的位置判断式子的正负
【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质，由数轴可得：−1|b|，从而得出a−b<0，再由二次根式的性质化简即可得解．
【详解】解：由数轴可得：−1|b|，
∴a−b<0，
∴√a2+√b2+√(a−b) 2=−a+b−(a−b)=−a+b−a+b=2b−2a，
故答案为：2b−2a．
【变式5】下列计算中，正确的是（ ）
A．√9=±3 B．√(−2) 2=−2 C．√3 (−3) 3=3 D．√(3.14−π) 2=π−3.14
【答案】D【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．根据二次根式
的性质逐项化简判断即可．
【详解】解：√9=3，故A错误，不符合题意；
√(−2) 2=2，故B错误，不符合题意；
√3 (−3) 3=−3，故C错误，不符合题意；
√(3.14−π) 2=π−3.14，故D正确，符合题意．
故选D．
【变式6】已知−10，根据完全平方公式把被开方数变形，根据二次根式的性质计算即
a a
可；
√ ( 1) 2 √ ( 1) 2
【详解】解： a+ −4− a− +4
a a
√ ( 1) 2 √ ( 1) 2
= a− − a+
a a
∵−1 ，a2+1>0，
a
1 1 a2+1
∴a− >0，a+ = <0，
a a a
√ ( 1) 2 √ ( 1) 2 1 1
原式= a− − a+ =a− +a+ =2a；
a a a a
故选：A【变式7】已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则√a2−|c−a|+√(b−c) 2= （ ）
A．−2a B．−2a−b C．−b D．−2b−a
【答案】C
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，数轴上的点表示实数，理解并运用二次根式的性
质是解题的关键．根据数轴可得到a<0，c−a>0，b−c<0，再根据所给的二次根式的性质即可求
解．
【详解】解：由数轴可知，a0，b−c<0，
∴√a2−|c−a|+√(b−c) 2
=|a|−|c−a|+|b−c|
=−a−(c−a)−(b−c)
=−a−c+a−b+c
=−b；
故选：C．
考点3：二次根式的运算
典例3：计算：
(1)(3x−5) 2−(2x+7) 2
√3
(2)2√18× ÷2√2
6
【答案】(1)5x2−58x−24
√3
(2)
2
【知识点】二次根式的乘除混合运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查完全平方公式，二次根式的乘除混合运算．解题的关键是掌握相关运算法则．
（1）首先计算完全平方公式，然后合并同类项即可；
（2）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可．
【详解】（1）(3x−5) 2−(2x+7) 2
=9x2−30x+25−(4x2+28x+49)=9x2−30x+25−4x2−28x−49
=5x2−58x−24；
√3
（2）2√18× ÷2√2
6
√3
=6√2× ÷2√2
6
=√6÷2√2
√3
= ．
2
【变式1】化简
√1
(1)√48÷√3− ×√12+√24
2
(2)(√7+√3)(√7−√3)−(√5−√2) 2
【答案】(1)4+√6
(2)−3+2√10
【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的加减运算、运用完全平方公式进行运算、化为最
简二次根式
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算．
（1）先利用二次根式的性质化简，然后再计算二次根式的乘除，最后再计算二次根式的加减法．
（2）先利用完全平方公式以及平方差公式展开，然后再计算二次根式的加减法运算．
√1
【详解】（1）解：√48÷√3− ×√12+√24
2
√2
=4√3÷√3− ×2√3+2√6
2
=4−√6+2√6
=4+√6
（2）解：(√7+√3)(√7−√3)−(√5−√2) 2
=7−3−(5−2√10+2)
=4−7+2√10
=−3+2√10
【变式2】计算（要求写出演算过程）：
(1)√32×√2−√32÷√2；
1
(2)(−1) 2024+|1−√5|− ；
√5(3)(√3+1) 2 −(√7+√3)(√7−√3)．
【答案】(1)4
4√5
(2)
5
(3)2√3
【知识点】二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根
式的乘除混合运算
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则和正确化简根式是解题的关键．
（1）先计算乘除，再进行加减计算；
（2）先分别计算化简乘方，绝对值和分母有理化，再进行加减计算；
（3）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再合并即可．
【详解】（1）解：√32×√2−√32÷√2
=√64−√16
=8−4
=4；
1
（2）解：(−1) 2024+|1−√5|−
√5
√5
=1+√5−1−
5
√5
=√5−
5
4√5
= ；
5
（3）解：(√3+1) 2 −(√7+√3)(√7−√3)
=3+2√3+1−(7−3)
=4+2√3−4
=2√3．
【变式3】计算：
√ 2 √ 1 √ 2
(1) 1 ÷ 2 × 1 ；
3 3 5
√3
(2)3√12× −√8+2√32；
2
(3)(√3+√2)(√3−√2)+(√5−1) 2．
【答案】(1)1(2)15√2
(3)7−2√5
【知识点】二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根
式的乘除混合运算
【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是：
（1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可；
（2）先计算二次根式的乘法，然后根据二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可；
（3）先根据平方差公式、完全平方公式展开，然后合并同类二次根式即可．
√ 2 √ 1 √ 2
【详解】（1）解： 1 ÷ 2 × 1
3 3 5
√5 √7 √7
= ÷ ×
3 3 5
√5 7 √7
= ÷ ×
3 3 5
√5 √7
= ×
7 5
√5 7
= ×
7 5
=1．
√3
（2）解：3√12× −√8+2√32
2
√ 3
=3 12× −2√2+8√2
2
=3√18−2√2+8√2
=9√2−2√2+8√2
=15√2．
（3）解：(√3+√2)(√3−√2)+(√5−1) 2
=(√3) 2 −(√2) 2+(√5) 2 −2√5+1
=3−2+5−2√5+1
=7−2√5．
【变式4】计算
(1)5−√12×√3
√32−√8
(2)
√2√1
(3)√27− +√12
3
【答案】(1)−1
(2)2
14√3
(3)
3
【知识点】二次根式的乘法、二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的除法
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键．
（1）先算乘法，再算减法；
（2）先对分子的根式化简成最简根式，再合并同类根式，再算除法即可；
（3）先对所有根式化简成最简根式，再合并同类根式即可．
【详解】（1）解：原式=5−√36=5−6=−1；
4√2−2√2
（2）解：原式= =2
√2
√3 √3 14√3
（3）解：原式=3√3− +2√3=5√3− =
3 3 3
【变式5】计算：
√1
(1)√12−6 +√48
3
√1
(2)√48÷√3− ×√12−√24
2
(3) ( − 1) −2 +|1−√2|+(π−2) 0+√8
3
(4)(2√3−1)
2+(√2−3)(√2+3)
【答案】(1)4√3
(2)4−3√6
(3)9+3√2
(4)6−4√3
【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘除混合运算、实数的混合运算、二次根式的混
合运算
【分析】（1）先化简，再合并同类二次根式；
（2）先进行乘除运算，再进行加减计算；
（3）分别化简计算负整数指数幂，绝对值，零指数幂，二次根式，再进行加减计算即可；
（4）利用完全平方公式和平方差公式化简，再进行加减计算．√1
【详解】（1）解：√12−6 +√48
3
=2√3−2√3+4√3
=4√3；
√1
（2）解：√48÷√3− ×√12−√24
2
=4−√6−2√6
=4−3√6
（3）解： ( − 1) −2 +|1−√2|+(π−2) 0+√8
3
=9+√2−1+1+2√2
=9+3√2
（4）解：(2√3−1) 2+(√2−3)(√2+3)
=12−4√3+1+2−9
=6−4√3
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，二次根式的化简，平方差公式和完全
平方公式，熟练掌握知识点和运算法则是解题的关键．
【变式6】计算：
(1)−12024+√(−2) 2+√3−64+|√7−3|；
(2)(√3+√2) 2 −(√5−2)(√5+2)．
【答案】(1)−√7
(2)4+2√6
【知识点】实数的混合运算、二次根式的乘法、二次根式的加减运算
【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的乘法及加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的
关键．
（1）先算乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，再算加减法即可；
（2）利用平方差和完全平方公式展开，再计算加减即可．
【详解】（1）解：原式=−1+2+(−4)+3−√7
=−1+2−4+3−√7
=−√7；
（2）解：原式=(3+2√6+2)−(5−4)=3+2√6+2−1
=4+2√6．
【变式7】计算
√1
(1)√18× ÷√3
2
√1
(2) −√3−0.125+√(−4) 2−|−6|
4
1 √1
(3)√18+ √72−4 ÷4√2
6 8
√6+3
(4) ×(√3−√2)
√3
【答案】(1)√3
(2)−1
1
(3)4√2−
4
(4)1
【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算、二次根式的加减运算
【分析】本题主要考查二次根式的运算．
（1）利用二次根式的乘除运算法则计算即可；
（2）先化简二次根式，再算加减法即可；
（3）先化简二次根式，再算除法，最后算加减即可；
（4）先化简二次根式，再运用平方差公式，最后算减法即可．
√1
【详解】（1）解：√18× ÷√3
2
√ 1
= 18× ÷3
2
=√3；
√1
（2）解： −√3−0.125+√(−4) 2−|−6|
4
1 ( 1)
= − − +4−6
2 2
=−1；
1 √1
（3）解：√18+ √72−4 ÷4√2
6 8
1 √2
=3√2+ ×6√2−4× ÷4√2
6 41
=3√2+√2−
4
1
=4√2− ；
4
√6+3
（4）解： ×(√3−√2)
√3
=(√3+√2)×(√3−√2)
=3−2
=1．
考点4：最简二次根式
典例4：下列选项中的式子，是最简二次根式的是（ ）
√1
A． B．√243 C．√36m D．√m2+2
2
【答案】D
【知识点】最简二次根式的判断
【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．根据最简二次根式的
概念判断即可．
√1 √2
【详解】A、 = ，故该选项不符合题意；
2 2
B、√243=9√3，故该选项不符合题意；
C、√36m=6√m，故该选项不符合题意；
D、√m2+2不能再化简，是最简二次根式，故该选项符合题意；
故选：D．
√3 √1
【变式1】在√48、√15、−√28、 、 、√32中，是最简二次根式的是 ．
4 2
【答案】√15
【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式
【分析】本题是对最简二次根式的考查，熟练掌握最简二次根式定义是解决本题的关键．根据被开
方数不含分母，不含开得尽方的因数或因式分析判断即可．
【详解】解：√48=4√3，不是最简二次根式；
−√28=−2√7，不是最简二次根式；
√3 √3
= ，不是最简二次根式；
4 2√1 √2
= ，不是最简二次根式；
2 2
√32不是二次根式，
√15是最简二次根式；
故答案为：√15．
√ 1
【变式2】二次根式√2x2、√m2−2m+1、√26xy、 中是最简二次根式的有 个．
p−1
【答案】1
【知识点】最简二次根式的判断
【分析】本题考查的是最简二次根式的定义，被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因
数或因式是最简二次根式，根据最简二次根式的定义解答即可．
√ 1 √p−1
【详解】解：√2x2=√2x，√m2−2m+1=|m−1|， = ，都不是最简二次根式，
p−1 p−1
√26xy是最简二次根式，
则最简二次根式有1个，
故答案为：1．
【变式3】若√3m−4是最简二次根式，且m为整数，则m的最小值是 ．
【答案】2
【知识点】已知最简二次根式求参数
【分析】本题考查最简二次根式的定义．让被开方数为非负数列式求得m的取值范围，找到最小的
整数解即可．
【详解】解：∵二次根式√3m−4有意义，
∴ 3m−4≥0，
4
解得：m≥ ，
3
当m=2时，二次根式的值为√2，是最简二次根式，符合题意，
∴若二次根式√3m−4是最简二次根式，则整数m的最小值是2．
故答案为：2．
1
【变式4】若√20与最简二次根式 √3−m是同类二次根式，则m的值为 ．
3
【答案】−2
【知识点】化为最简二次根式、已知最简二次根式求参数、同类二次根式
【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的
二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的概念列出方程，解方程得到答案．1
【详解】解：∵√20=2√5，且最简二次根式 √3−m与2√5是同类二次根式，
3
∴3−m=5，
∴m=−2
故答案为：−2．
【变式5】下列二次根式中，能与√3合并的二次根式的是（ ）
√1
A．√18 B． C．√24 D．√0.3
3
【答案】B
【知识点】同类二次根式、最简二次根式的判断
【分析】本题考查同类二次根式和化简二次根式为最简二次根式，先将每个二次根式化为最简二次
根式，判断是否为√3的同类二次根式，即可判断各选项．
【详解】解：A. √18 =3√2，不能与√3合并，故该选项不符合题意；
√1 √3
B. = ，能与√3合并，故该选项符合题意；
3 3
C. √24 =2√6，不能与√3合并，故该选项不符合题意；
√30
D. √0.3 = ，不能与√3合并，故该选项不符合题意；
10
故选：B．
√ a+2
【变式6】将二次根式a − 化为最简二次根式为（ ）
a2
A．√−a−2 B．−√−a−2 C．√a−2 D．−√a−2
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件、化为最简二次根式、不等式的性质、求一元一次不等式的解集
【分析】根据二次根式有意义的条件找出隐含条件a+2≤0，即a≤−2，再根据a≤−2对原式进行化
简即可．
a+2
【详解】解：若二次根式有意义，则− ≥0，
a2
即：−a−2≥0，
解得：a≤−2，
a
∴原式= √−a−2=−√−a−2，
−a
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，不等式的性质，解一元一次不等式，化为最简二
次根式等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件及二次根式的性质是解题的关键．【变式7】下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ）
√1 √1 √2
A． 与√18 B．√3m与√9m C． 与 D．3√5与√15
2 3 3
【答案】A
【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式
【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，掌握“把几个二次根式化为最简二次根式以后，
如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式”是解题的关键．
先化简成最简二次根式，逐项比较被开方数即可，
√1 √2
【详解】解：A、 = ，√18=3√2，两者被开方数相同，是同类二次根式，故本选项正确；
2 2
B、√9m=3√m，√3m与3√m，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误；
√1 √3 √3 √2
C、 = ， 与 ，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误；
3 3 3 3
D、3√5与√15，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误．
故选：A．
考点5：分母有理化
典例5：把式子分母有理化过程中，错误的是（ ）
m−n (m−n)(√m+√n)
A． = =√m+√n
√m−√n (√m−√n)(√m+√n)
m−n (√m+√n)(√m−√n)
B． = =√m+√n
√m−√n √m−√n
m−n (m−n)(√m−√n)
C． = =√m−√n
√m+√n (√m+√n)(√m−√n)
m−n (√m+√n)(√m−√n)
D． = =√m−√n
√m+√n √m+√n
【答案】C
【知识点】分母有理化、平方差公式分解因式、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了分母有理化，涉及到了因式分解等知识，解题关键是掌握式子恒等变形的方法，
注意分子分母同乘或除以一个不为零的数或式子，原式的值才不变，本题据此依次判断即可．
【详解】解：A、将式子的分子分母同乘以(√m+√n)，式子的值不变，故该选项正确，不符合题意；
B、将分子因式分解为(√m+√n)(√m−√n)，与分母约分后得到(√m+√n)，故该选项正确，不符合题意；
C、因为(√m−√n)有可能为0，所以分子分母同时乘以(√m−√n)错误，故该选项符合题意；
D、将分子因式分解为(√m+√n)(√m−√n)，与分母约分后得到(√m−√n)，故该选项正确，不符合
题意；
故选：C ．
1 1
【变式1】已知x= ，y= ，若x的整数部分是m ，y的小数部分是n，则
2+√3 2−√3
5m2+(x−n) 2−y的值为 ．
【答案】19−13√3/−13√3+19
【知识点】二次根式的混合运算、无理数的大小估算、分母有理化
【分析】此题考查二次根式的化简求值，无理数的估算，掌握化简的方法和计算的方法是解决问题
1 1
的关键．化简x= 得2−√3，整数部分是m=0；化简y= 得2+√3，小数部分是
2+√3 2−√3
n=√3−1，由此进一步代入求得答案即可．
1 1
【详解】解：x= =2−√3，y= =2+√3，
2+√3 2−√3
∵1<√3<2，
∴0<2−√3<1，3<2+√3<4，
∴x的整数部分是m=0，y的小数部分是n=√3−1，
∴5m2+(x−n) 2−y
=0+(2−√3−√3+1) 2 −(2+√3)
=21−12√3−2−√3
=19−13√3．
故答案为：19−13√3．
【变式2】阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把
1 1⋅√2 √2 √2
= = =
分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如： ，
√2 √2⋅√2 (√2) 2 2
1
（1）将 分母有理化可得 ；
√2+11 1 1 1 1
（2）关于x的方程3x− = + + +⋯+ 的解是 ．
2 1+√3 √3+√5 √5+√7 √97+√99
√11
【答案】 √2−1/−1+√2
2
【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查二次根式分母有理化，及其规律探索，解方程，掌握二次根式分母有理化，发现
规律，解方程方法，找到有理化分母是解题关键．
（1）根据材料进行分母有理化即可．
（2）先分母有理化，再根据式子的规律化简，解方程即可求解．
1 √2−1
【详解】解：（1） = =√2−1，
√2+1 (√2+1)(√2−1)
故答案为：√2−1；
1 1 1 1 1
（2）3x− = + + +⋯+ ，
2 1+√3 √3+√5 √5+√7 √97+√99
1 1 1 1 1
3x− = + + +⋯+ ，
2 √3+1 √5+√3 √7+√5 √99+√97
1 (√3−1) (√5−√3) (√7−√5) (√99−√97)
3x− = + + +⋯+ ，
2 (√3+1)(√3−1) (√5+√3)(√5−√3) (√7+√5)(√7−√5) (√99+√97)(√99−√97)
1 1
3x− = (√3−1+√5−√3+√7−√5+⋯+√99−√97)，
2 2
1 1
3x− = (√99−1)，
2 2
1 1 1
3x− = √99− ，
2 2 2
3
3x= √11，
2
√11
x= ，
2
√11
故答案为： ．
2
1 1 1 1
【变式3】计算： + + +…+ = ．
√2+1 √3+√2 √4+√3 √100+√99
【答案】9
【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化
【分析】本题考查了二次根式的计算，掌握二次根式运算法则以及分母有理化是解题的关键．
先分母有理化，然后合并同类二次根式即可．1 1 1
【详解】解：原式= + +…+
√2+1 √3+√2 √100+√99
=√2−1+√3−1+…+√100−√99
=√100−1
=10−1
=9．
故答案为：9．
√a2+b
【变式4】对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b= ，如
a−b
√32+2
3※2= =√11．那么√3※1= ．
3−2
【答案】√3+1/1+√3
【知识点】新定义下的实数运算、分母有理化
【分析】主要考查了新定义题型，二次根式混合运算，解题关键是严格按照新定义的运算法则进行
计算．
根据※的定义转化为一般的式子，然后进行化简即可求解．
√(√3) 2+1
【详解】解∶ √3※1=
√3−1
2
=
√3−1
=√3+1．
故答案为：√3+1．
√3+√2 √3−√2
【变式5】计算 + 的结果是（ ）
2+√6+√8+√12 2−√6−√8+√12
A．√3−√2 B．√3+√2 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化
【分析】本题考查二次根式的混合运算，先把分母因式分解再计算即可．
√3+√2 √3−√2
【详解】解： +
2+√6+√8+√12 2−√6−√8+√12
√3+√2 √3−√2
= +
2+√6+2√2+2√3 2−√6−2√2+2√3√3+√2 √3−√2
= +
√2⋅(√3+√2)+2(√3+√2) −√2⋅(√3−√2)+2(√3−√2)
√3+√2 √3−√2
= +
(√2+2)(√3+√2) (2−√2)(√3−√2)
1 1
= +
√2+2 2−√2
2−√2 √2+2
= +
2 2
=2，
故选：D．
2 2(√5+√3) 2(√5+√3)
【变式6】阅读例题： = = =√5+√3，用上述类似的方法解
√5−√3 (√5−√3)(√5+√3) 2
√5
答问题：若a是√5的小数部分，则 的值为（ ）
a
A．5+√5 B．5−√5 C．5+2√5 D．5−2√5
【答案】C
【知识点】分母有理化、无理数的大小估算
【分析】本题考查估算无理数的大小以及二次根式的分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．
先根据a是√5的小数部分，得到a=√5−2，再运用例题的类似方法化简即可解答．
【详解】解：∵2<√5<3，a是√5的小数部分，
∴a=√5−2，
√5 √5 √5(√5+2)
∴ = = =5+2√5．
a √5−2 (√5−2)(√5+2)
故选：C
【变式7】观察下列等式：
1 √2−1
①
= =√2−1；
√2+1 (√2+1)(√2−1)
1 √3−√2
②
= =√3−√2；
√3+√2 (√3+√2)(√3−√2)
1 √4−√3
③
= =√4−√3；
√4+√3 (√4+√3)(√4−√3)…
1
化简： =（ ）（n为正整数）．
√n+1+√n
A．√n+1+√n B．√n+1 C．√n D．√n+1−√n
【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化
【分析】本题主要考查了分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键．
根据条件所给的例子，将二次根式分母有理化即可．
1 √n+1−√n √n+1−√n
【详解】解：
= = =√n+1−√n．
√n+1+√n (√n+1+√n)(√n+1−√n) n+1−n
故选：D．
考点6：二次根式的化简求值
典例6：已知x=√6−√3，求代数式x(√6−x)+(x+√5)(x−√5)的值．
【答案】1−3√2
【知识点】二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值
【分析】本题主要考查了整式化简求值，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准
确计算．先求出x(√6−x)+(x+√5)(x−√5)=√6x−5，然后将x=√6−√3代入求值即可．
【详解】解：x(√6−x)+(x+√5)(x−√5)
=√6x−x2+x2−5
=√6x−5，
当x=√6−√3时，
原式=√6(√6−√3)−5=6−3√2−5=1−3√2．
1 1
【变式1】已知x= , y= ．
3+2√2 3−2√2
(1)求x2+ y2+xy的值；
(2)若x的小数部分是m, y的小数部分是n，求(m+n) 2021−√3 (m−n) 3的值．
【答案】(1)35
(2)4√2−4
【知识点】已知字母的值，化简求值、求一个数的立方根、无理数的大小估算、分母有理化
【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的混合运算、无理数的估算、立方根等知识，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
（1）先将x,y进行分母有理化，再利用完全平方公式进行变形，代入计算即可得；
（2）先根据无理数的估算分别求出m,n的值，再代入计算即可得．
1 3−2√2
【详解】（1）解：∵x= = =3−2√2，
3+2√2 (3+2√2)(3−2√2)
1 3+2√2
y= = =3+2√2，
3−2√2 (3+2√2)(3−2√2)
∴x2+ y2+xy=x2+ y2+2xy−xy
=(x+ y) 2−xy
=(3−2√2+3+2√2) 2 −(3+2√2)(3−2√2)
=62−(9−8)
=36−1
=35．
（2）解：∵4<8<9，
∴√4<√8<√9，即2<2√2<3，
∴0<3−2√2<1，5<3+2√2<6，
由（1）可知，x=3−2√2，y=3+2√2，
∴0√2024+√2023>0，
1 1
∴ > >0，
√2025−√2024 √2024−√2023
∴√2025−√2024<√2024−√2023；
1 1 1
（3）解：∵ = − ，
2√1+√2 √1 √2
1 1 1
= − ，
3√2+2√3 √2 √3
1 1 1
= − ，
4√3+3√4 √3 √4
⋯，
1 1 1 1 1 1 1 1
∴原式= − + − + − +⋯+ −
√1 √2 √2 √3 √3 √4 √2023 √2024
1 1
= − ，
√1 √2024
√506
=1− ．
1012
考点7：二次根式的应用
典例7：材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形
的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a，中斜为b，大斜为c，则三角形的面积为
√1 c2+a2−b2 2
S= [a2c2−( ) ]，这个公式称之为秦九韶公式；
4 2
材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的
公式，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则它的面积为S=√p(p−a)(p−b)(p−c)，其
1
中P= (a+b+c)，这个公式称之为海伦公式．
2
请解决下列问题：
(1)若一个三角形边长依次为5、6、7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出
这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．
解：∵一个三角形边长依次为5、6、7，即a=5，b=6，c=7，
1 1
∴p= (a+b+c)= (5+6+7)=___________．
2 2根据海伦公式可得：S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=___________．
(2)请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是√5，√6，√7，求这个三角
形的面积．
【答案】(1)9，6√6
√26
(2)
2
【知识点】二次根式的应用
【分析】本题主要考查三角形面积的计算方法，实数的运算，二次根式的运算，理解材料提示的计
算方法，掌握实数的计算，二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）直接代入求解即可；
（2）根据材料提示，运用二次根式的性质化简即可求解．
1 1
【详解】（1）解：p= (a+b+c)= ×(5+6+7)=9，
2 2
S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=√9×(9−5)×(9−6)×(9−7)=√9×4×3×2=6√6，
故答案为：9，6√6．
（2）解：∵a=√5，b=√6，c=√7，
∴a2=5，b2=6，c2=7，
√ 1 [ (a2+b2−c2 ) 2]
∴S= × a2b2−
4 2
√1 ( (5+6−7) 2 )
= × 5×6−
4 2
√1 ( (4) 2 )
= × 30−
4 2
√1
= ×(30−4)
4
√26
=
4
√26
= ．
2
【变式1】用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如：一元三次方程
，可以通过因式分解把它转化为 ，解方程 和一元二次方程
x3+x2−2x=0 x(x2+x−2)=0 x=0x2+x−2=0，可得x =0,x =1,x =−2．如，解根号下含有未知数的方程√x+1=2，可以通过方
1 2 3
程两边平方把它转化为 ．解 ．再如求式子
2x2−3x
的最小值，可以得
x+1=4 x=3 y=
x2+2x+1
2
yx2+2yx+ y=2x2−3x，整理得(y−2)x2+(2y+3)x+ y=0，当y=2时，7x+2=0,x=− ；
7
当y≠2，方程有解，
9 9
Δ=b2−4ac=(2y+3) 2−4(y−2)y=20 y+9≥0，即y≥− ，所以最小值为− ．
20 20
(1)解下列方程：
①x3−3x2−4x=0，
②√2x+3=x
3x2−2x+1
(2)根据材料给你的启示，求函数y= 的最小值．
x2+2x+1
【答案】(1)① x =0，x =−1，x =4；②x=3
1 2 3
1
(2)
3
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、因式分解法解一元二次方程、二次根式的应用
【分析】本题是材料阅读题，考查了运用转化思想解方程，读懂材料是解题的关键．含有二次根式
的方程要检验．
（1）①方程左边分解因式即可完成求解；②通过方程两边平方即可完成求解；
（2）根据材料转化为关于x的整式方程，利用一元二次方程根的判别式即可解答．
【详解】（1）解：①x3−3x2−4x=0，
因式分解得x(x2−3x−4)=0，
∴x=0或x2−3x−4=0，
解x2−3x−4=0，即(x+1)(x−4)=0，
∴x+1=0或x−4=0，
解得x =0，x =−1，x =4；
1 2 3
②√2x+3=x，
方程两边平方把它转化为2x+3=x2，
x2−2x−3=0，即(x−3)(x+1)=0，
∴x−3=0或x+1=0，
解得x =3，x =−1，
1 2∵√2x+3=x≥0，
∴x=−1（舍去），
∴x=3；
3x2−2x+1
（2）解：y= ，
x2+2x+1
yx2+2yx+ y=3x2−2x+1，
整理得(y−3)x2+(2y+2)x+ y−1=0，
当y=3时，8x+2=0，
1
解得：x=− ；
4
当y≠3，方程有解，
Δ=b2−4ac=(2y+2) 2−4(y−3)(y−1)=24 y−8≥0，
1
∴y≥ ，
3
1
∴最小值为 ．
3
【变式2】阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点A(x ,0)、B(x ,0)的距离记作
1 2
AB=|x −x |，如果A(x ,y )、B(x ,y )是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求
1 2 1 1 2 2
AB间的距离．如下左图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线AM 、AN 和BM 、BN ，垂足分别
1 1 2 2
是M 、N 、M 、N ，直线AN 交BM 于点Q，在Rt△ABQ中，AQ=|x −x |，BQ=|y −y |，
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
∴AB2=AQ2+BQ2=|x −x | 2+|y −y |=(x −x ) 2+(y −y ) 2 ．由此可以得到平面直角坐标系内
1 2 1 2 1 2 1 2
任意两点A(x ,y )、B(x ,y )间的距离公式．
1 1 2 2利用上面公式解决下列问题：
(1)直接应用平面内两点间距离公式计算点A(1,−3)，B(−2,1)之间的距离；
(2)在平面直角坐标系中的两点A(0,3)，B(4,1)，P为x轴上任一点，求PA+PB的最小值和此时点P
的坐标；
(3)应用平面内两点间的距离公式，求代数式√x2+(y−2) 2+√(x−3) 2+(y−1) 2的最小值（直接写出
答案）．
【答案】(1)5；
(2)4√2；P(3,0)
(3)√10
【知识点】已知两点坐标求两点距离、根据成轴对称图形的特征进行求解、二次根式的应用
【分析】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之
间距离问题是解题关键．
（1）直接利用两点之间距离公式直接求出即可；
（2）利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而求出PA+PB的最小值；
（3）根据原式表示的几何意义是点(x,y)到点(−2,−4)和(3,1)的距离之和，当点(x,y)在以
(−2,−4)和(3,1)为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可．
【详解】（1）解：A(1,−3)，B(−2,1)之间的距离为：AB=√(−2−1) 2+(−3−1) 2=5；
故答案为：5；
（2）作点B关于x轴对称的点B′，连接AB′，直线AB′于x轴的交点即为所求的点P，PA+PB的最
小值就是线段AB′的长度，∵B(4,1)
，
∴B′ (4,−1)，
∵A(0,3)，
∴设直线AB′的一次函数表达式为y=kx+3，
把B′ (4,−1)代入−1=4k+3 解得 k=−1，
当y=0时，解得x=3，即P(3,0)，
∴PA+PB=PA+PB′=AB′=√(0−4) 2+(3+1) 2=4√2，
即为PA+PB的最小值为4√2．
（3）√x2+(y−2) 2+√(x−3) 2+(y−1) 2表示点(x,y)到(0,2)和(3,1)的距离之和．
两点之间线段最短，则当点(x,y)在以(0,2)和(3,1)为端点的线段上时，
√x2+(y−2) 2+√(x−3) 2+(y−1) 2的值最小．
利用公式可得，点(0,2)和(3,1)之间的距离为√(0−3) 2+(2−1) 2=√10．
即√x2+(y−2) 2+√(x−3) 2+(y−1) 2的最小值为√10．
【变式3】【背景介绍】
如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．思路是大正方
形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，
1 1
即4× ab+(b−a) 2 ，从而得到等式c2=4× ab+(b−a) 2 ，化简便得结论a2+b2=c2．这里用两种
2 2
求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．【方法运用】
（1）请利用“双求法”解决问题：如图2，在6×6的网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形
的三个顶点，可得△ABC，则AB边上的高的长度为______；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．设AD=a，BD=b，CD=m．
①用“双求法”表示AC2+BC2，可以得到关于a，b，m的关系式：______；
②用含a，b的代数式表示Rt△ABC的斜边上的中线与高线，并直接比较它们的大小；
【知识迁移】
（3）如图，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长），在此规
划一个面积为50平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如
图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？
【答案】
16 a+b a+b
（1） （2）①m2=ab；②中线长为 ，高线长为√ab， ≥√ab（3）40米
5 2 2
【知识点】二次根式的应用、勾股定理与网格问题
【分析】本题考查勾股定理及由勾股定理得到的新知识的应用，解答中涉及直角三角形斜边上的中
a+b
线等于斜边的一半，二次根式的运算等．由勾股定理延伸得到结论 ≥√ab，并对其进行应用是
2
解决本题的关键．
1
（1）先用割补法求出△ABC的面积，再用 底×高表示面积，根据双求法列式，即可求出AB边上的
2
高；
（2）①在Rt△ABC中，利用勾股定理表示出AC2+BC2，在Rt△ACD中，用勾股定理表示出
AC2，在Rt△BCD中，用勾股定理表示出BC2，根据“双求法”列式，化简即可得到关于a，b，
m的关系式；
②根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可用含a，b的代数式表示Rt△ABC的斜边上的中线，根据①的结论可用含a，b的代数式表示Rt△ABC与高线，再根据(√a−√b) 2 ≥0的变形，
即可得到结论；
（3）设与墙平行的边AB长x米，垂直于墙的边AD长y米，可得所有虚线的和为2x+4 y，根据
（2）中得到的结论a+b≥2√ab，可得2x+4 y≥2√8xy，整理可得所有虚线和的最小值．
【详解】解：（1）如图，作AB边上的高CD，
∵AB=√32+42=5，
1 1
S =4×4− ×4×3− ×1×4=8，
△ABC 2 2
1 1
S = AB⋅CD= ×5CD，
△ABC 2 2
1
∴ ×5CD=8，
2
16
解得CD= ，
5
16
故答案为： ；
5
（2）①如图，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2=(a+b) 2，
在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2=a2+m2，
在Rt△BCD中，BC2=BD2+CD2=b2+m2，
∴AC2+BC2=a2+m2+b2+m2=a2+b2+2m2，
∴a2+b2+2m2=(a+b) 2，
即a2+b2+2m2=a2+b2+2ab，
∴m2=ab，故答案为：m2=ab；
②∵m2=ab，
∴m=√ab，
∵斜边长为a+b，
a+b
∴斜边上的中线长为 ，高线长为√ab，
2
2
∵(√a−√b) ≥0，
∴a−2√ab+b≥0，
a+b
∴ ≥√ab；
2
a+b
故大小关系为： ≥√ab；
2
（3）设大长方形的长为x米，宽为y米，则小栅栏的总长度为(2x+4 y)平方米，xy=50（平方
米），
a+b
∵ ≥√ab，
2
∴a+b≥2√ab，
∴2x+4 y≥2√2x⋅4 y=2√8xy=2√8×50=40，
答：小栅栏的总长度最少为40米．
【变式4】某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学
们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：
√ 1[ (a2+b2−c2
)
2]
s= a2b2− （其中a，b，c为三角形的三边长）．
4 2
材料2．古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式
a+b+c
s√p(p−a)(p−b)(p−c)（其中a，b，c为三角形的三边长，p= ）
2
请你用适合的公式解决问题．
(1)三角形的三边长为a=√7，b=2√2，c=3，则面积为 ；
(2)如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=7，AD=6，∠B=90°，求四边形ABCD的
面积．√47
【答案】(1)
2
(2)6+6√6
【知识点】二次根式的应用、用勾股定理解三角形
【分析】此题考查二次根式的应用，勾股定理，关键是根据三角形的面积公式解答．
（1）根据秦九韶公式即可得到结论；
（2）根据勾股定理求出AC=√AB2+BC2=5，再由秦九韶公式，二次根式的计算解答即可．
【详解】（1）解：∵ a=√7，b=2√2，c=3，
√1 7+8−9 2 √47
∴s= [7×8−( ) ]= ，
4 2 2
√47
故答案为： ；
2
（2）解：连接AC，
∵ ABCD AB=3 BC=4 ∠B=90°
四边形 中， ， ， ，
∴AC=√AB2+BC2=5，
1
∴ △ABC的面积= ×3×4=6，
2
5+6+7
∵ =9，
2
∴ △ACD的面积=√9×(9−5)×(9−6)×(9−7)=6√6，
∴四边形ABCD的面积为6+6√6．
【变式5】规律探索图：如图，认真分析各式，然后解答问题．√1
OA2=(√1) 2+1=2，S = （S 是△OA A 的面积）；
2 1 2 1 1 2
√2
OA2=(√2) 2+1=3，S = （S 是△OA A 的面积）；
3 2 2 2 2 3
√3
OA2=(√3) 2+1=4，S = （S 是△OA A 的面积）；
4 3 2 3 3 4
……
(1)OA =；
10
(2)S =；
n
1 1 1 1
(3)求出 + + +⋯+ 的值．
S +S S +S S +S S +S
1 2 2 3 3 4 2022 2023
【答案】(1)√10
√n
(2)
2
(3)2√2023−2
【知识点】二次根式的应用、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、用勾股定理解三角
形
【分析】本题主要考查勾股定理以及二次根式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知
识．
（1）利用题中规律即可求出OA 2的值即可；
10
（2）根据S ,S ,S 的变化规律直接得出答案即可；
1 2 3
（3）根据（2）得出的规律直接代入数据，然后利用分母有理化计算即可得解．
【详解】（1）解：∵OA2=(√1) 2+1=2，
2
OA2=(√2) 2+1=3，
3
OA2=(√3) 2+1=4，
4
⋯，∴OA2 =(√9) 2+1=10，
10
∴OA =√10，
10
故答案为：√10．
√n
（2）解：结合已知数据，可得：S = ；
n 2
√n
故答案为： ；
2
1 1 1 1
（3）解： + + +⋯+
S +S S +S S +S S +S
1 2 2 3 3 4 2022 2023
1 1 1 1 1
= + + + +...+
1 √2 √2 √3 √3 √4 √4 √5 √2022 √2023
+ + + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 1 1
= + + + +...+
1+√2 √2+√3 √3+√4 √4+√5 √2022+√2023
=2×(√2−1+√3−√2+√4−√3+√5−√4+...+√2023−√2022)
=2×(√2023−1)
=2√2023−2．
【变式6】龙城初级中学数学兴趣小组现场学习：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为
√5、√10、√13，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小
正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），
如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．
(1)△ABC的面积为：______；
(2)△ABC中BC边上的高为______；
(3)在图1右侧空白部分，画线段DE=√10，并以DE为边作Rt△≝¿，使其面积为2（只保留作图痕
迹，不要求写出画法，所画的图形的顶点均在格点上）．
(4)如图2，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA,RQDC,QPFE的面积分别为
13，10，17，则花坛中间△PQR的面积为______．7
【答案】(1)
2
7√10
(2)
10
(3)见解析
11
(4)
2
【知识点】勾股定理与网格问题、利用网格求三角形面积、二次根式的应用
【分析】本题考查网格作图、勾股定理、二次根式的应用、正方形的面积公式、三角形的面积公式、
长方形的面积公式，理解构图法的原理，借助网格法和割补法求解图形面积是解答的关键．
（1）根据网格特点，由长方形的面积减去长方形内除所求三角形以外三个三角形面积即可求解；
（2）利用三角形面积公式求解即可；
（3）根据Rt△≝¿的DE边为√10，将Rt△≝¿放在矩形MNEK中，利用正方形的面积求出
KE、KF的值，利用勾股定理在网格中画出相应的三角形即可；
（4）先利用正方形的面积求出PR、RQ、PQ，根据构图法即可求出△PQR的面积．
1 1 1 7
【详解】（1）解：根据网格，S =3×3− ×1×3− ×1×2− ×2×3= ；
△ABC 2 2 2 2
7
（2）解：由（1）知S = ，
△ABC 2
设△ABC中BC边上的高为h，
∵BC=√10，
1 7 1 7
∴ S = BC⋅h= ，即 ×√10×h= ，
△ABC 2 2 2 2
7√10
∴h= ，
10
7√10
∴ △ABC中BC边上的高为 ；
10
（3）解： 如图，将Rt△≝¿放在矩形MNEK中，
设KE=x,KF= y，
∵DE=√10=√12+32，
∴NE=3,DN=1,KE=x,MD=x−1,MF=3−y，S
∵ 1 1 1 ，
△≝¿=NE⋅KE− DN⋅NE− KF⋅KE− MF⋅DM=2¿
2 2 2
S 3 1 3 3 1 1
∴ 1 1 1 ，即3x− − y⋅x− x+ + y⋅x− y=2，
△≝¿=3x− 2 ×1×3− 2 y⋅x− 2 (3−y)⋅(x−1)=2¿ 2 2 2 2 2 2
整理得：3x−y=4，
∵x,y是正整数，且y<3，
∴¿，
∴MD=1,MF=1,KF=2，
∴DF2=2,EF2=8，满足DF2+EF2=DE2，且∠DFE=90°，
如图所示，Rt△≝¿为所求：
（4）解：∵正方形PRBA,RQDC,QPFE的面积分别为13，10，17，
∴PR=√13=√32+22， RQ=√10=√32+12， QP=√17=√42+12，
1 1 1 11
∴S =3×4− ×1×4− ×1×3− ×2×3= ．
△PQR 2 2 2 2
【变式7】【观察发现】
∵(√6+√5) 2=(√6) 2+(√5) 2+2√6×5=11+2√30．
∴√11+2√30=√ (√6+√5) 2=√6+√5；
∵(2+√3) 2=22+(√3) 2+2×2×√3=7+4√3，
∴√7+4√3=√ (2+√3) 2=2+√3．
【初步探索】
（1）化简：√10+2√21=________；
（2）形如√m−2√n可以化简为√a−√b，即√m−2√n=√a−√b，且a，b，m，n均为正整数，用
含a，b的式子分别表示m，n，得m=________，n=________；
（3）若√x+4√5=1+ y√5，且x，y均为正整数，求x的值；
【解决问题】
（4）某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为80cm2和(14+6√5)cm2．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（纸箱
厚度不计）：
型号 长 宽 高
A型 10cm 8cm 12cm
B型 12cm 10cm 15cm
C型 16cm 10cm 10cm
请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的
纸箱？
【答案】（1）√7+√3；（2）a+b，ab；（3）x=21；（4）B，C两种型号的包装纸箱符合条件．
应选择C型号包装纸箱．
【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的应用
【分析】本题主要考查二次计算与化简与应用，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
（1）根据题目所给的方法将根号下的数变成完全平方的形式进行计算；
（2）根据题目给出的a，b与m，n的关系式，列式算出结果即可；
（3）将所给式子两边平方求解即可；
（4）先判断B，C两种型号的包装纸箱符合条件，再求出体积进行比较即可
【详解】解：（1）√10+2√21=√(√7+√3) 2=√7+√3，
故答案为：√7+√3；
（2）∵√m−2√n=√a−√b，
∴m−2√n=a+b−2√ab，
∵a，b，m，n均为正整数，
∴m=a+b，n=ab，
故答案为：a+b，ab；
（3）∵√x+4√5=1+ y√5，
∴x+4√5=(1+ y√5) 2=1+5 y2+2y√5，
∴2y=4，
∴y=2，
∴x=1+5 y2=1+5×22=21；
（4）底面积80cm2的饰品盒底面边长为4√5cm，
底面积(14+6√5)cm2的饰品盒底面边长为(3+√5)cm，∵8<4√5<9，5<3+√5<6，
∴B，C两种型号的包装纸箱符合条件．
B型号的包装纸箱的体积为：12×10×15=1800(cm3 )，
C型号的包装纸箱的体积为：16×10×10=1600(cm3 )，
∵1600<1800，
所以应选择C型号包装纸箱．
