专题09一次函数与反比例函数-学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（全国通用）（解析版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题 09 一次函数与反比例函数 考点 1 一次函数与反比例函数 一、单选题 1．（2023年重庆市中考数学真题（B卷））反比例函数 的图象一定经过的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义，只要点的横纵坐标之积等于k即可判断该点在函数图象上，据此求解. 【详解】解：∵ ， ∴点 在反比例函数 的图象上， 故选：D. 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知点的横纵坐标满足函数解析式是解题关键. 2．（2023年湖南省湘潭市中考数学真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数 图像上的一点，过点A分别作 轴于点M， 轴于直N，若四边形 的面积 为2．则k的值是（ ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】证明四边形 是矩形，根据反比例函数的 值的几何意义，即可解答． 资1 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【详解】解： 轴于点M， 轴于直N， ， 四边形 是矩形， 四边形 的面积为2， ， 反比例函数在第一、三象限， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定，反比例函数的 值的几何意义，熟知在一个反比例函数图像上任取一点， 过点分别作x轴，y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为 是解题的关键． 3．（2023年湖南省长沙市中考数学真题）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数、正比例函数的增减性与系数的关系判断即可． 【详解】解：由一次函数、正比例函数增减性知，x系数小于0时，y随x的增大而减小， ， 故只有D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了正比例函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 4．（2020·广西贺州·统考中考真题）在反比例函数 中，当 时，y的值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】把x=-1代入函数解析式可得y的值． 【详解】把 代入 得： ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是关键． 资2 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 5．（2020·四川巴中·统考中考真题）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）与反比例函数 （k≠0，x＞0） 1 的交点A坐标为（2，1），当y≤y 时，x的取值范围是（ ） 1 2 A．0＜x≤2 B．0＜x＜2 C．x＞2 D．x≥2 【答案】A 【分析】根据一次函数y=ax+b（a≠0）与反比例函数 的交点坐标即可得到结论． 1 【详解】由图象得，当y≤y 时，x的取值范围是0＜x≤2， 1 2 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据A的坐标，结合图象是解题的关键． 6．（2021·贵州黔西·中考真题）对于反比例函数y＝﹣ ，下列说法错误的是（ ） A．图象经过点（1，﹣5） B．图象位于第二、第四象限 C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以 解答本题． 【详解】解：反比例函数y＝﹣ ， A、当x＝1时，y＝﹣ ＝﹣5，图像经过点（1，-5），故选项A不符合题意； B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意； C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意； D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 资3 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 7．（2022·湖南怀化·统考中考真题）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝ （a＞1）的图像 于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S BCD＝5，则a的值为（ ） △ A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】设 ，由S BCD= 即可求解. △ 【详解】解：设 ， ∵BD⊥y轴 ∴S BCD= =5， △ 解得： 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数的相关知识是解题的关键． 8．（2022·山东滨州·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数 与 （k为常数且 ）的图象大致是（ ） 资4 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意中的函数解析式和函数图象的特点，可以判断哪个选项中的图象是正确的． 【详解】解：根据函数 可得，该函数图象与y轴的交点在x轴上方，排除B、D选项， 当k＞0时，函数 的图象在第一、二、三象限，函数 在第二、四象限，故选项A正确， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思 想解答． 9．（2023年甘肃省兰州市中考数学真题）一次函数 的函数值y随x的增大而减小，当 时，y 的值可以是（ ） A．2 B．1 C．－1 D．－2 【答案】D 【分析】根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把 代入函数 ，从而判断函数值y的取 资5 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 值． 【详解】∵一次函数 的函数值y随x的增大而减小 ∴ ∴当 时， 故选：D 【点睛】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键． 10．（2023年湖南省邵阳市中考数学真题）如图，矩形 的顶点 和正方形 的顶点 都在反比 例函数 的图像上，点 的坐标为 ，则点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据 经过 确定解析式为 ，设正方形的边长为x，则点 ，代入解 析式计算即可． 【详解】∵ 经过 ， ∴解析式为 ， 设正方形的边长为x，则点 ， ∴ ， 解得 （舍去）， 资6 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 故点 ， 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，正方形的性质，解方程，熟练掌握反比例函数的性质是解题的 关键． 11．（2023年广西壮族自治区中考数学真题）如图，过 的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行 线交 的图象于B，D两点，以 ， 为邻边的矩形 被坐标轴分割成四个小矩形，面积分 别记为 ， ， ， ，若 ，则 的值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】设 ，则 ， ， ，根据坐标求得 ， ，推 得 ，即可求得． 【详解】设 ，则 ， ， ∵点A在 的图象上 资7 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 则 ， 同理∵B，D两点在 的图象上， 则 故 ， 又∵ ， 即 ， 故 ， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 12．（2019·四川眉山·统考中考真题）如图，一束光线从点 出发，经 轴上的点 反射后经过点 ，则点 的坐标是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长 交 轴于点 ，利用反射定律，可得 ，利用ASA可证 ， 已知点 坐标，从而得点 坐标，利用 ， 两点坐标，求出直线 的解析式，即可求得点 坐标． 【详解】如图所示，延长 交 轴于点 ．设 资8 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵这束光线从点 出发，经 轴上的点 反射后经过点 ， ∴由反射定律可知， ， ∵∠1=∠OCD， ∴ ， ∵ 于 ， ∴ =90°， 在 和 中 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设直线 的解析式为 ， ∴将点 ，点 代入得： ， 解得： ， ∴直线 的解析式为： ， ∴点 坐标为 ． 资9 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 故选B． 【点睛】本题考查了反射定律、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式等知识点，综合 性较强，难度略大． 13．（2023年四川省宜宾中考数学真题）如图，在平面直角坐标系 中，点A、B分别在y，x轴上， 轴．点M、N分别在线段 、 上， ， ，反比例函数 的图象经 过M、N两点，P为x正半轴上一点，且 ， 的面积为3，则k的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点 作 轴于点 ，设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则 ， ， ，先求出点 的坐标为 ，再根据 可得 ，然后将点 的坐 标代入反比例函数的解析式可得 ，从而可得 的值，由此即可得． 资10料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【详解】解：如图，过点 作 轴于点 ， 设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 则 ， ， ， ， ， ， ，解得 ， ， ， ， 的面积为3， ，即 ， 整理得： ， 将点 代入 得： ， 整理得： ， 将 代入 得： ，解得 ， 资11料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 则 ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何应用，熟练掌握反比例函数的性质，正确求出点 的坐标是解 题关键． 二、填空题 14．（2022·甘肃武威·统考中考真题）若一次函数y=kx−2的函数值y随着自变量x值的增大而增大，则k= （写出一个满足条件的值）． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据函数值y随着自变量x值的增大而增大得到k＞0，写出一个正数即可． 【详解】解：∵函数值y随着自变量x值的增大而增大， ∴k＞0， ∴k=2（答案不唯一）． 故答案为：2（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的 增大而减小是解题的关键． 15．（2021·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知反比例函数 的图象经过点 ，则 的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意可直接进行求解． 【详解】解：∵反比例函数 的图象经过点 ， ∴ ； 故答案为 ． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 16．（2023年湖南省长沙市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，点 在反比例函数 为常 数， ， 的图象上，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，连接 ．若 的面积为 ，则 ． 资12料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 / 【分析】由 的几何意义可得 ，从而可求出 的值． 【详解】解： 的面积为 ， 所以 ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了k的几何意义．用k表示三角形AOB的面积是本题的解题关键． 17．（2023年四川省成都市数学中考真题）若点 都在反比例函数 的图象上，则 （填“ ”或“ ”）． 【答案】 【分析】根据题意求得 ， ，进而即可求解． 【详解】解：∵点 都在反比例函数 的图象上， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了比较反比例函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 18．（2023年四川省达州市中考数学真题）如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于 资13料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 两点，以 为边作等边三角形 ，若反比例函数 的图象过点 ，则 的值为 ． 【答案】 【分析】过点A作 轴交x轴于点D，过点C作 轴于点E，连接 ，首先联立 求出 ， ，然后利用勾股定理求出 ， ，然后证明出 ，利用相似三角形的性质得到 ， ，最后将 代入 求解即可． 【详解】如图所示，过点A作 轴交x轴于点D，过点C作 轴于点E，连接 ， ∵一次函数 与反比例函数 的图象相交于 两点， ∴联立 ，即 ， ∴解得 ， ∴ ， ， 资14料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是等边三角形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴解得 ， ， ∴点C的坐标为 ， ∴将 代入 得， ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知 识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 19．（2023年四川省乐山市中考数学真题）定义：若x，y满足 且 （t为常数）， 则称点 为“和谐点”． 资15料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （1）若 是“和谐点”，则 ． （2）若双曲线 存在“和谐点”，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】（1）根据“和谐点”的定义得到 ，整理得到 ，解得 （不合题意，舍去），即可得到答案； （2）设点 为双曲线 上的“和谐点”，根据“和谐点”的定义整理得到 ，由 得到 ，则 ，由 进一步得到 ，且 ，根据二次函数的图象和性质即可得到k的取值范围． 【详解】解：（1）若 是“和谐点”，则 ， 则 ， ∴ ， 即 ，解得 （不合题意，舍去）， ∴ ， 故答案为： （2）设点 为双曲线 上的“和谐点”， ∴ ， ， 即 ， ∴ ， 则 ， 资16料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ， ∴ ， 即 ， ∵ ， ∴ ，且 ， 对抛物线 来说， ∵ ， ∴开口向下， 当 时， ， 当 时， ， ∵对称轴为 ， ， ∴当 时，k取最大值为4， ∴k的取值范围为 ， 故答案为： 【点睛】此题考查了反比例函数的性质、二次函数的图象和性质等知识， 读懂题意，熟练掌握反比例函 数和二次函数的性质是解题的关键． 20．（2023年四川省内江市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， 垂直于x轴， 以 为对称轴作 的轴对称图形，对称轴 与线段 相交于点F，点D的对应点B恰好落在反 比例函数 的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为 的中点，且 ， 则k的值为 ． 【答案】 资17料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【分析】连接 ，设 ，由对称的性质知 ， ，利用相似三角 形的判定和性质求得 ，则 ，根据 以及反比例函数的几何意 义求解即可． 【详解】解：连接 ， 设对称轴 与x轴交于点G， ∵ 与 关于对称轴 ， ∴ ， ， ， ∵点A为 的中点， 设 ，则 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 资18料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、中点的定义、相似三角形的判定和性质、反比例函数的定义等内容， 解决本题的关键是牢记相关定义与性质，能根据题意在图形中找到对应关系，能挖掘图形中的隐含信息等， 本题蕴含了数形结合的思想方法等． 21．（2019·四川眉山·统考中考真题）如图，反比例函数 的图象经过矩形 对角线的交点 ，分别交 ， 于点 、 ．若四边形 的面积为12，则 的值为 ． 【答案】4 【分析】本题可从反比例函数图象上的点 、 、 入手，分别找出 、 、 的面积与 的关系，列出等式求出 值． 【详解】∵ 、 、 位于反比例函数图象上， ∴ ， ， 过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ， ∴四边形ONMG是矩形， ∴ ， ∵ 为矩形 对角线的交点， ∴ ， ∵函数图象在第一象限， 资19料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∴ + +S = ， 四边形ODBE 解得： ． 故答案为4 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与 坐标轴围成的矩形面积就等于|k|． 22．（2023年四川省自贡市中考数学真题）如图，直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点，点 D是线段AB上一动点，点H是直线 上的一动点，动点 ，连接 ．当 取最小值时， 的最小值是 ． 【答案】 【分析】作出点 ，作 于点D，交x轴于点F，此时 的最小值为 的长，利用解 直角三角形求得 ，利用待定系数法求得直线 的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作 轴于点G，此时 的最小值是 的长，据此求解即可． 资20料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【详解】解：∵直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴ ， ， 作点B关于x轴的对称点 ，把点 向右平移3个单位得到 ， 作 于点D，交x轴于点F，过点 作 交x轴于点E，则四边形 是平行四边形， 此时， ， ∴ 有最小值， 作 轴于点P， 则 ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ，则 ， 设直线 的解析式为 ， 则 ，解得 ， ∴直线 的解析式为 ， 联立， ，解得 ， 资21料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 即 ； 过点D作 轴于点G， 直线 与x轴的交点为 ，则 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 的最小值是 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所 学知识解决问题． 三、解答题 23．（2021·青海西宁·统考中考真题）如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于点 A， 轴于点B，延长AB至点C，连接 ．若 ， ． 资22料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （1）求 的长和反比例函数的解析式； （2）将 绕点 旋转90°，请直接写出旋转后点A的对应点A'的坐标． 【答案】（1） ， ；（2） 或 【分析】（1）由三角函数值，即可求出OB=2，然后求出点A的坐标，即可求出反比例函数的解析式； （2）根据题意，可分为：顺时针旋转90度和逆时针旋转90度，两种情况进行分析，即可得到答案． 【详解】解：（1） ∵ 轴于点B ∴ 在 中， ， ∴ ， ∴点A的横坐标为2 又∵点A在正比例函数 的图象上 ∴ ， ∴ 把 代入 ，得 ∴ ， ∴反比例函数的解析式是 ； （2）根据题意， ∵点A为（2，1）， ∵将 绕点 旋转90°， 资23料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 则分为：顺时针旋转90度和逆时针旋转90度，如图： ∴ 或 ． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，以及三角函数，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握 所学的知识，正确的画出图像进行分析． 24．（2022·重庆·统考中考真题）反比例函数 的图象如图所示，一次函数 （ ）的图象与 的图象交于 ， 两点， (1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中面出该函数的图象； (2)观察图象，直接写出不等式 的解集； (3)一次函数 的图象与x轴交于点C，连接 ，求 的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为 ；函数图象见解析； 资24料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (2) 或 (3)2 【分析】（1）把 ， 分别代入 求出m，n的值，再运用待系数法求出a，b的值即可； （2）根据交点坐标，结合函数图象即可解答； （3）先求出点C的坐标，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）∵一次函数 （ ）的图象与 的图象交于 ， 两点， ∴把 ， 分别代入 ，得， ， 解得， ， ∴ ， ， 把 ， 代入 ，得： ， 解得， ∴一次函数的表达式为 ； 画出函数图象如下图： 资25料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）∵直线 与反比例函数 交于点A（1，4），B（-2，-2） ∴当 或 时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方， ∴不等式 的解集为 或 ； （3）如图， 对于 ，当 时， ， 解得， ， ∴点C的坐标为（-1，0） ∵A（1，4） ∴ 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系． 资26料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 25．（2023年湖南省湘潭市中考数学真题）如图，点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，点C为 中点，将 绕着点B逆时针旋转 得到 ． (1)反比例函数 的图像经过点 ，求该反比例函数的表达式； (2)一次函数图像经过A、 两点，求该一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点B的坐标是 ，点C为 中点，可得 ， ，由旋转可得： ， ，可得 ，可得 ，从而可得答案； （2）如图，过 作 于 ，则 ，而 ， ，证明 ，可得 ， ， ，设直线 为 ，再建立方程组求 解即可． 【详解】（1）解：∵点B的坐标是 ，点C为 中点， ∴ ， ， 由旋转可得： ， ， ∴ ， ∴ ， 资27料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴反比例函数的表达式为 ； （2）如图，过 作 于 ， 则 ，而 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 设直线 为 ， ∴ ，解得： ， ∴直线 为 ． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，全等三角形的 判定与性质，熟练的求解 是解本题的关键． 26．（2023年四川省广安市中考数学真题）如图，一次函数 （ 为常数， ）的图象与反比 例函数 为常数， 的图象在第一象限交于点 ，与 轴交于点 ． 资28料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)点 在 轴上， 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出点 的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 (2) 或 或 【分析】（1）根据待定系数法，把已知点代入再解方程即可得出答案； （2）首先利用勾股定理求出得 的长，再分两种情形讨论即可． 【详解】（1）解：把点 代入一次函数 得， 解得： ， 故一次函数的解析式为 ， 把点 代入 ，得 ， ， 把点 代入 ，得 ， 故反比例函数的解析式为 ； （2）解： ， ， ， 当 时， 或 ， 资29料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 当 时，点 关于直线 对称， ， 综上所述：点 的坐标为 或 或 ． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰三角形的性质等知识， 运用分类思想是解题的关键． 27．（2023年四川省宜宾中考数学真题）如图，在平面直角坐标系 中，等腰直角三角形 的直角 顶点 ，顶点A、 恰好落在反比例函数 第一象限的图象上． (1)分别求反比例函数的表达式和直线 所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使 周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ， (2)在x轴上存在一点 ，使 周长的值最小,最小值是 ． 【分析】（1）过点A作 轴于点E，过点B作 轴于点D，证明 ，则 ，由 得到点A的坐标是 ，由A、 恰好落在反比例函 数 第一象限的图象上得到 ，解得 ，得到点A的坐标是 ，点B的坐标是 ， 进一步用待定系数法即可得到答案； （2）延长 至点 ，使得 ，连接 交x轴于点P，连接 ，利用轴对称的性质得到 ， 资30料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ，则 ，由 知 是定值，此时 的周长为 最 小，利用待定系数法求出直线 的解析式，求出点P的坐标，再求出周长最小值即可． 【详解】（1）解：过点A作 轴于点E，过点B作 轴于点D， 则 ， ∵点 ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴点A的坐标是 ， ∵A、 恰好落在反比例函数 第一象限的图象上． ∴ ， 解得 ， ∴点A的坐标是 ，点B的坐标是 ， 资31料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∴反比例函数的解析式是 ， 设直线 所对应的一次函数的表达式为 ，把点A和点B的坐标代入得， ，解得 , ∴直线 所对应的一次函数的表达式为 ， （2）延长 至点 ，使得 ，连接 交x轴于点P，连接 ， ∴点A与点 关于x轴对称， ∴ ， ， ∵ ， ∴ 的最小值是 的长度， ∵ ，即 是定值， ∴此时 的周长为 最小， 设直线 的解析式是 ， 则 ， 解得 ， ∴直线 的解析式是 ， 当 时， ，解得 ， 资32料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 即点P的坐标是 ， 此时 ， 综上可知，在x轴上存在一点 ，使 周长的值最小，最小值是 ． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求 两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 28．（2023年四川省眉山市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，与反比例函数 在第四象限内的图象交于点 ． (1)求反比例函数的表达式： (2)当 时，直接写出x的取值范围； (3)在双曲线 上是否存在点P，使 是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐 标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 或 (3) 或 【分析】（1）将 ， 代入 ,求得一次函数表达式，进而可得点C的坐标，再将点C 资33料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 的坐标代入反比例函数即可； （2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果； （3）过点A作 交y轴于点M，勾股定理得出点M的坐标，在求出直线AP的表达式，与反比例函 数联立方程组即可． 【详解】（1）解：把 ， 代入 中得： ， ∴ ， ∴直线 的解析式为 ， 在 中，当 时， ， ∴ ， 把 代入 中得： ， ∴ ， ∴反比例函数的表达式 ； （2）解：联立 ，解得 或 ， ∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为 ， ∴由函数图象可知，当 或 时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴当 时， 或 ； （3）解：如图所示，设直线 交y轴于点 ， ∵ ， ， ∴ ， ， ， 资34料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ 是以点A为直角顶点的直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， 同理可得直线 的解析式为 ， 联立 ，解得 或 ， ∴点P的坐标为 或 ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，正确利用待定系数法求出对应的函数解 析式是解题的关键． 29．（2023年四川省内江市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函 数 的图象在第一象限内交于 和 两点，直线 与x轴相交于点C，连接 ． 资35料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当 时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式 的解集； (3)过点B作 平行于x轴，交 于点D，求梯形 的面积． 【答案】(1)反比例函数为： ，一次函数为 ． (2) (3)9 【分析】（1）利用 可得反比例函数为 ，再求解 ，再利用待定系数法求解一次函数的解 析式即可； （2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合 可得答案； （3）求解 的解析式为： ，结合过点B作 平行于x轴，交 于点D， ，可得 ， ，由 为 ，可得 ， ，再利用梯形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数 过 ， ∴ ， ∴反比例函数为： ， 把 代入 可得： ， ∴ ， 资36料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ，解得： ， ∴一次函数为 ． （2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合 可得 不等式 的解集为： ． （3）∵ ，同理可得 的解析式为： ， ∵过点B作 平行于x轴，交 于点D， ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ 为 ， 当 ，则 ，即 ， ∴ ， ∴梯形 的面积为： ． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，利用图象解不等式，坐标与 图形面积，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 30．（2023年四川省广元市中考真题数学试题）如图，已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ，B两点，与x轴交于点C，将直线 沿y轴向上平移3个单位长度后与 反比例函数图象交于点D，E． 资37料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求k，m的值及C点坐标； (2)连接 ， ，求 的面积． 【答案】(1) ； ； (2) 【分析】（1）把点 代入 和 求出k、m的值即可；把 代入 的解析式， 求出点C的坐标即可； （2）延长 交x轴于点F，先求出 平移后的关系式，再求出点D的坐标，然后求出 解析式，得 出点F的坐标，根据 求出结果即可． 【详解】（1）解：把点 代入 和 得： ， ， 解得： ， ， ∴ 的解析式为 ，反比例函数解析式为 ， 把 代入 得： ， 解得： ， ∴点C的坐标为 ； （2）解：延长 交x轴于点F，如图所示： 资38料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 将直线 沿y轴向上平移3个单位长度后解析式为： ， 联立 ， 解得： ， ， ∴点 ， 设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得： ， 解得： ， ∴直线 的解析式为 ， 把 代入 得 ， 解得： ， 资39料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴点F的坐标为 ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，反比例函数解析式，解 题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，能求出一次函数和反比例函数的交点坐标． 31．（2023年四川省凉山州数学中考真题）阅读理解题： 阅读材料： 如图1，四边形 是矩形， 是等腰直角三角形，记 为 、 为 ，若 ，则 ． 证明：设 ，∵ ，∴ ， 易证 ∴ ， ∴ ∴ ， 资40料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 若 时，当 ，则 ． 同理：若 时，当 ，则 ． 根据上述材料，完成下列问题： 如图2，直线 与反比例函数 的图象交于点 ，与 轴交于点 ．将直线 绕点 顺 时针旋转 后的直线与 轴交于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，已知 ． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出 的值； (3)求直线 的解析式． 【答案】(1) (2) ， (3) 资41料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【分析】（1）首先求出点 ，然后设 ，在 中，利用勾股定理求出 ，得到 ，然后代入 求解即可； （2）首先根据 ， 得到 ， ，求出 ， ，然后利用正切值的概念求 出 ，然后证明出四边形 是矩形，得到 ，然后由 即可求出 ； （3）首先根据矩形的性质得到 ， ，然后利用 求出 ，进而 得到 ，然后设直线 的解析式为 ，利用待定系数法将 和 代入求解即可． 【详解】（1）将 代入 得， ， ∴ ， ∵直线 与反比例函数 的图象交于点 ， ∴设 ， ∵ ， ， ∴在 中， ， ∴ ， ∴解得 ， ， ∵点A的横坐标要大于点B的横坐标， ∴ 应舍去， ∴ ， ∴ ， 资42料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴将 代入 ，解得 ； ∴反比例函数的解析式为 ； （2）∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∵将直线 绕点 顺时针旋转 后的直线与 轴交于点 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； （3）∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ，即 ， ∴解得 ， ∴ ， ∴ ， ∴设直线 的解析式为 ， ∴将 和 代入得， ， 资43料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴解得 ， ∴直线 的解析式为 ． 【点睛】此题考查了反比例函数，一次函数和几何综合题，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识， 解题的关键是正确理解材料的内容． 32．（2023·广东梅州·统考一模）如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于A，B两点， 点A的横坐标为2，点B的横坐标为 ，则不等式 的解集是（ ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 【答案】A 【分析】根据不等式 的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围进行 求解即可． 【详解】解：由题意得不等式 的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值 范围， ∴不等式 的解集为 或 ， 资44料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 故选A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 33．（2023·湖北鄂州·统考二模）数形结合是数学中的一种重要思想方法，在解题中运用数形结合常常可 以优化解题思路，简化解题过程．如图，直线 与双曲线 相交于点 ．根 据图象可知关于 的方程 的解是（ ） A． 或1 B． 或2 C．1或2 D． 或 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象和一次函数图像的交点直接判断即可． 【详解】解：∵直线 与双曲线 相交于点 ， ∴关于 的方程 的解是 或1． 故选：A． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象和一次函数图像的交点问题，明确函数图像上各交点坐标代表的意 义是解决本题的关键． 34．（2023·陕西宝鸡·统考三模）一次函数 的图象不经过第三象限，则（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】C 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数 的图象不经过第三象限， ∴直线 经过第一、二、四象限或第二、四象限， ∴ ， ．． 故选：C． 资45料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，由于 与y轴交于 ，当 时， 在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当 时， 在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ① 的图象在一、二、三象限；② 的图象在一、三、四象限； ③ 的图象在一、二、四象限；④ 的图象在二、三、四象限． 熟知一次函数 的图象与系数k，b的关系是解答此题的关键． 35．（2023·宁夏银川·校考二模）根据如图所示的二次函数 的图象，判断反比例函数 与一次函数 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 资46料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】A 【分析】先根据二次函数的图象，确定a、b、c的符号，再根据a、b、c的符号判断反比例函数y 与一 次函数y＝bx+c的图象经过的象限即可． 【详解】解：由二次函数图象可知a＞0，c＜0， 由对称轴x 0，可知b＜0， 所以反比例函数y 的图象在一、三象限， 一次函数y＝bx+c经过二、三、四象限． 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质、一次函数的图象的性质、反比例函数图象的性质，关键在于 通过二次函数图象推出a、b、c的取值范围． 36．（2023·湖南永州·校考三模）若 ，则一次函数 与反比例函数 在同一直角坐标系 中的图象大致可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由反比例函数的图象确定b的符号，再由 可确定a的符号，从而可一次函数的图象经过的 资47料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 象限，因而可作出判断． 【详解】解：A．如图，反比例函数 经过第一、三象限，则b＞0．所以a＜0．则一次函数 的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项错误； B．如图，反比例函数 经过第二、四象限，则b＜0．所以a＞0．则一次函数 的图象应该经 过第一、三、四象限．故本选项错误； C．如图，反比例函数 经过第一、三象限，则b＞0．所以a＜0．则一次函数 的图象应该经 过第一、二、四象限．故本选项正确； D．如图，反比例函数 经过第二、四象限，则b＜0．所以a＞0．则一次函数 的图象应该经 过第一、三、四象限．故本选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象．掌握反比例函数、一次函数的图象是解题的关 键． 37．（2023·北京顺义·统考二模）某超市一种干果现在的售价是每袋 元，每星期可卖出 袋，经市场 调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价 元，每星期就少卖出 袋．已知这种干果的进价为每袋 元，设每袋涨价 （元），每星期的销售量为 （袋），每星期销售这种干果的利润为 （元）．则 与 ， 与 满足的函数关系分别是（ ） A．一次函数，二次函数 B．一次函数，反比例函数 C．反比例函数，二次函数 D．反比例函数，一次函数 【答案】A 【分析】设每袋涨价 （元），每星期的销售量为 （袋），每星期销售这种干果的利润为 （元）根据 题意列出 与 ， 与 的函数关系式，即可求解． 【详解】解：设每袋涨价 （元），每星期的销售量为 （袋），每星期销售这种干果的利润为 （元） 根据题意得， 是一次函数， 是二次函数， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，根据题意列出函数关系式解题的关键． 资48料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 38．（2023·江苏南京·统考二模）若一个数 大于它的倒数，结合 和 的图象（如图），可知 的 取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】先求出两函数的交点，再根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值 范围即可得到答案． 【详解】解：联立 ，解得 或 ， 由函数图象可知，当 或 时，一次函数图象在反比例函数图象上方，即此时 ， ∴ 的取值范围是 或 ， 故答案为： 或 ． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出两个函数的交点坐标是解题的关键． 39．（2023·湖南长沙·校联考二模）反比例函数 的图象如图所示，点 是该函数图象上一点， 垂直于 轴，垂足是点 ，如果 ，则 的值为 ． 资49料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 【分析】根据反比例函数比例系数 的几何意义得到 ，然后根据函数图象在第二象限，可得到满 足条件的 的值． 【详解】解：根据题意得 ， 则 ， 而 ， 所以 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数 的几何意义：在反比例函数 图象中任取一点，过这一个点 向 轴和 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值 ． 40．（2023·湖北鄂州·统考二模）如图，点 在双曲线 上，点 在双曲线 上， 轴，已知点 的横坐标分别为 与 的面积之和为 ，则 的值为 ． 【答案】 【分析】过A作x轴垂线，过B作x轴垂线，求出 ， ， ， ，将面积 资50料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 进行转换 ， 进而求解． 【详解】解：过A作x轴垂线，过B作x轴垂线，分别交x轴于点M，N， 点A，B在反比例函数 的图象上，点A，B的横坐标分别为 ， ∴ ， ， ∵ 轴， ∴ ， ， ∵ 与 的面积之和为 ， ， ， ， ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，k的几何意义．能够将三角形面积进行合理的转换是解题的关键． 41．（2023·湖北十堰·统考一模）如图，在平面直角坐标系 中，已知正比例函数 的图象与反比 例函数 的图象交于 两点． 资51料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求反比例函数的解析式和点 的坐标； (2)结合图象，请直接写出不等式 的解集． 【答案】(1) ， ； (2) 或 ． 【分析】（1）把 代入 ，可得 ，把 代入 ，可得反比例函数的表达 式为 ，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标； （2）观察函数图象，由交点坐标即可求解． 【详解】（1）（1）把 代入 ，可得： ∴ 把 代入 ，可得： ∴反比例函数的表达式为 ． ∵点B与点A关于原点对称 ∴ ． （2）由A、B点的坐标，根据图象可知： 的解集是 或 ． 资52料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合，解题的关键时掌握待定系数法求函数解析式，会求一次 函数和反比例函数的交点坐标，会结合图象求不等式的解集． 42．（2023·江苏泰州·统考二模）在平面直角坐标系 中，函数 和直线 （k为常数， 且 ）的图像如图所示，若函数 与 的图像有一个交点 ． (1)求m，k的值； (2)过动点 作平行于x轴的直线，分别交函数 和 的图像于点B、C，在点P的运动过程中， 点P、B、C三点中一点是另外两点的所连线段的中点，求此时n的值． 【答案】(1) (2) ， 【分析】（1）把交点的坐标代入函数 的解析式，先计算m的值，再代入 解析式计算即可． （2）根据 ，得到 ， ，分类利用中点坐标公式建立等式计算求解即可． 【详解】（1）∵函数 和直线 （k为常数，且 ）的图像有一个交点 ， ∴ ， ∴ ， 把点 代入 ，得， 资53料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， 解得 ， 故 ． （2）∵点 作平行于x轴的直线，分别交函数 和 的图像于点B、C，且数 和 直线 ， ∴ ， ， 当点B是线段 的中点时，根据题意，得 ，整理，得 ， ∵ ， ∴方程无解； 当点C是线段 的中点时，根据题意，得 ，整理，得 ， 解得， ； 当点P是线段 的中点时，根据题意，得 ，整理，得 ， 解得， （舍去）； 综上所述， 或 ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，方程的解法，熟练掌握待定系数法，交点的意义是 解题的关键． 43．（2023·宁夏银川·校考二模）如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于点A，过 点A作 轴于点B， ，点C在线段 上，且 ． 资54料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （1）求k的值及线段 的长； （2）点P为B点上方y轴上一点，当 与 的面积相等时，请求出点P的坐标． 【答案】（1） ， 的长为3；（2）（0，10）． 【分析】（1）根据 ，求出A点坐标，用待定系数法求出k的值，设BC为a，勾股定理列出方程， 即可求解； （2）设P点坐标，根据面积相等列出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵ ， ， ∴A点纵坐标为4，代入 ，得 ，解得 ， 则A点坐标为（8,4），代入 ，得 ，解得 ， 设BC为a，则 ， ， 解得， ，则 的长为3； （2）设P点坐标为（0，m）， 的面积= ， 的面积= ， 由题意得， ， 解得， ， P点坐标为（0，10）． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，设点的坐 标，建立方程． 44．（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图，直线 与反比例函数 在第一条限内交于 ， 两点， 轴上的点 满足 ． 资55料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)若点 坐标为 ，求点 的坐标； (2)若 的面积为 ，求实数 的值； (3)设点 ， 的坐标分别为 ， ，求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别把 代入 和 即可求出 ， 的值，即可得到直线和反比例 函数的解析式，联立解析式，可得到方程组，解方程组即可得出答案； （2）如图，过点 作 于点 ，根据点 在反比例函数 的图像上且 即可得 到 ，根据 即可得到 ，可得 ，根据 的面积为 可建 立关于 的方程，解方程即可求出答案； （3）通过联立直线和反比例函数的解析式得到方程组，消去 即可得到 ，进一步得到 ，根据 即可求出答案． 资56料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【详解】（1）解：∵点 在直线 与反比例函数 图像上， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴直线的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ， 联立，得： ， 解得： ， ， ∴点 的坐标为 ． （2）如图，过点 作 于点 ， ∵点 在反比例函数 的图像上， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 的面积为 ， ∴ ， 解得： 或 （不合题意，舍去）， ∴实数 的值为 ． 资57料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （3）∵直线 与反比例函数 在第一条限内交于 ， 两点，点 ， 的坐标分别为 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 的值为 ． 【点睛】本题考查用待定系数法确定函数解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标，函数图像上点的坐 标特征，反比例函数比例系数的几何意义，等腰三角形三线合一性质，一元二次方程根与系数的关系．掌 握两个函数图像的交点坐标即为两个函数的解析式所构成的方程组的解是解题的关键． 45．（2023·广东梅州·统考一模）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图像相交于 、 两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； 资58料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）根据图象，直接写出满足 的 的取值范围； （3）若点 在线段 上，且 ，求点 的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为 ；反比例函数为 ；（2） 或 ；（3） ， ． 【分析】(1) 将A点坐标代入反比例函数求得 ，再将B点代入反比例函数求得n，再把A 、B两点坐标 代入一次函数求得 从而得出两函数解析式； (2)观察图案结合（1）题求得A、B两点坐标即可求出所求x的范围； (3)连接BO、AO，则△AOP和△BOP高相同，面积之比就是底边长度之比，因此BP：AP=4：1，再用AB 之间横坐标差值按比例分配求得P点横坐标，再把横坐标代入一次函数求得纵坐标从而求出P点坐标. 【详解】解：（1） 反比例函数 经过 ， ， 反比例函数为 ， 在比例函数 的图象上， 资59料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， 直线 经过 ， ， ，解得 ， 一次函数的解析式为 ； （2）观察图象， 的 的取值范围是 或 ； （3）设 ， ， ， 即 ， ， 解得 ， （舍去）， 点坐标为( ， )． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，涉及了待定系数法，函数与不等式，三角形的面积 等，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用. 46．（2023·广东广州·广州市真光中学校考二模）如图，双曲线 与直线 交于点 、 ，与两坐标轴分别交于点 ，已知点 ，连接 ． 资60料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求 的面积； (2)作直线 ，将直线 向上平移 个单位后，与双曲线 有唯一交点，求 的值． 【答案】(1)17.5 (2) 【分析】（1）将点 代入直线和双曲线，即可求得直线和双曲线的解析式；由图形可得 面积为 和 面积的和，分别求得 和 的面积即可求解； （2）先求得直线 解析式，根据平移法则求得平移后的直线解析式，联立双曲线，得到一元二次方程， 令 ，即可求解． 【详解】（1）解：将 代入直线 得： ，解得 将 代入双曲线 得： ，解得 将 代入直线 得， ，即 将 代入直线 得， ，即 ∴ ， 由图像可得 （2）解：设直线 解析式为 ，将 、 代入，得： 资61料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ，解得 ∴直线 解析式为 直线 向上平移 个单位，则 ，联立双曲线得： ，化简得 ∵与双曲线 有唯一交点 ∴ 解得 又∵ ∴ 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、涉及了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握 相关基本性质是解题的关键． 47．（2023·山东菏泽·统考二模）如图，反比例函数 与一次函数 的图象交于点 ， 点 ，一次函数 与y轴交于点C． (1)求反比例函数和一次函数解析式； (2)连接 ，求 的面积； 资62料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (3)如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接 ，把线段 绕点A顺时针旋转 ，点E的 对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【答案】(1) ； (2)4 (3)点E的坐标为 【分析】（1）将 代入反比例函数的解析式求得m的值，再将 代入 ，即可求解； （2）利用 的面积 ，即可求解； （3）设点 ， ，又 ，利用等腰直角三角形的性质列方程组，解方程组即可求解. 【详解】（1）解：将 代入反比例函数 ， 解得 ， ∴ ， 将 代入 ， 得 ， 将 ，点 代入 ， ，解得 ， ∴ ； （2）解：设一次函数 与x轴交于点D， xx令 ，则 ，令 ，则 ， ∴ 的面积 资63料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ； ； （3）解：设点 ， 又 ， 由旋转知： 为等腰直角三角形， ∴ ， 解得 ， ∴ . 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．利用待定系数 法确定反比例函数与一次函数的解析式；要能够借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积 是解题的关键． 48．（2023·山东济南·统考三模）如图，一次函数 的图像与x轴交于点 ，与反比例函数 的图像交于点 ，过直线 上的点B作 轴于点C，与反比例函数交于点 ， 连接 ， ． 资64料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求k的值与B点坐标； (2)求 ； (3)若点P是直线 上的动点，是否存在点P，使得 与 相似？若存在，求出此时P点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ， ； (2)4 (3)存在， 或 ． 【分析】（1）将已知点代入解析式求解析式，再代入点的一个坐标求出另一个坐标即可； （2）利用解析式求出所需点，再用割补法求目标三角形面积； （3）先利用目标点位置确定一个角的对应关系，得到三角形相似的可能对应情况，分类讨论进行边长计 算，再由几何角度求出纵坐标，代入解析式求出横坐标，得到点． 【详解】（1）将 代入 得： ， 解得 ， ， 将 代入 ，解得 ， ， 资65料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 将 代入 得： ， 解得 ， ， 代入 ，得 ， ， 将 代入 ，得 ， ； （2）由题意知： ， ， ， ， ； （3） ， ， ， ， ， ， 当点P在 延长线上时， ， 为锐角三角形，此种情况不存在， 点P在线段 上，且 ， 资66料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 或 ， ①当 时，作 于点H，为图中 位置， ， ， ， ， ， ， 代入 得 ， ； ②当 时， ，同理作 ，为图中 位置， ， ， ， 代入 得 ， ， 综上，当 或 时 与 相似． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数交点及围成三角形面积，考查在直线上找一点与另外两定点构成 三角形与已知三角形相似．在函数交点问题中，通常利用已知点和已知部分函数系数进行代入求解，计算 不规则面积时通常采用割补法．找点构造三角形与已知三角形相似的问题中，通常先确定可明确对应的角， 资67料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 减少对应的可能情况种类，再分类讨论进行计算． 49．（2023·贵州贵阳·统考二模）已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于 点 ， ． (1)求一次函数的表达式； (2)直接写出不等式 的解集． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）把A、B两点代入反比例函数解析式，求出m、n的值，再把两点坐标值代入一次函数解析 式，求出k、b的值； （2）画出两函数图象，按图象写出不等式的解集． 【详解】（1）∵点A、B在反比例函数 的图象上， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵点A、B在一次函数图象上， ∴分别把 ， ，代入 ，得 ， 资68料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 解得 ， ∴一次函数的解析式是： ； （2）画出图象如图所示： 由图象可知：不等式 的解集是 或 ． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数、反比例函数和一次函数交点的问题，数形结合是解题的关 键． 50．（2023·四川攀枝花·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴负半轴交 于点 ，与 轴交于 点，与反比例函数 交于 ， 两点． (1)求一次函数的解析式，并画出一次函数的图象； 资69料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (2)请直接写出不等式 的解集； (3)求 的面积． 【答案】(1) ，图象见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据待定系数法求解析式，然后描出点 ，作直线 即可画出一次函数图像； （2）联立一次函数与反比例数解析式求得点 的坐标，结合函数图象即可求解． （3）根据一次函数解析式求得点 的坐标，进而根据 即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数经过 ， ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， 如图所示， 资70料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）解：∵反比例函数 过点 ， ∴ ， 解得： 或 ， ∴ ， ∵ 即 ， 根据函数图象可知： （3）解：如图，连接 ， 资71料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ，令 ，解得： ， ∴ , ∴ ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴交点问题， 数形结合是解题的关键． 51．（2023·山东菏泽·统考三模）如图，反比例函数 与一次函数 的图象交于 点 ，点 ，一次函数 与 轴相交于点 ． (1)求反比例函数和一次函数的表达式， (2)连接 ， ，求 的面积． 资72料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】(1) ， (2)4 【分析】（1）根据待定系数法求得反比例函数，再求得B点的坐标，最后再根据待定系数法求得一次函 数； （2）根据 ，只需根据一次函数求得 的长度，即可解答． 【详解】（1）解：把 代入 ，得 ， ∴ 把 代入上式，得 把 ， 代入 ，得 解得： ∴ （2）解：把 代入 ，得 ． ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数中的三角形面积问题，根据数形 结合思想求解是解题的关键． 52．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，直线 与反比例函数 的图像相交于点A和点 ，与x轴的正半轴相交于点B． 资73料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求k的值； (2)连接 ，若点C为线段 的中点，求 的面积． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）直接把点C的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出答案； （2）由题意，先求出点A的坐标，然后求出直线AC的解析式，求出点B的坐标，再求出 的面积即 可． 【详解】（1）解：∵点 在反比例函数 的图象上， ∴ ， ∴ ； （2）解：∵ 是线段 的中点，点B在x轴上， ∴点A的纵坐标为4， ∵点A在 上， 资74料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴点A的坐标为 ， ∵ ， 设直线AC为 ，则 ，解得 ， ∴直线 为 ， 令 ，则 ， ∴点B的坐标为 ， ∴ ． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函 数与一次函数的图像和性质进行解题． 53．（2023·河南新乡·校联考二模）如图，平行于 轴的直尺 一部分 与双曲线 交于点 和 ， 与 轴交于点 和 ，点 和 的刻度分别为 和 ，直尺的宽度为 ， (注：平面直角 坐标系内一个单位长度为 )． (1)求反比例函数解析式； 资75料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (2)若经过 ， 两点的直线关系式为 ，请直接写出不等式 的解集； (3)求梯形 的面积． 【答案】(1) (2) 或 (3) 【分析】（1）可得 ，代入即可求解； （2）根据图象求出 的解集，即可求解； （3）可求 ，从而可求解． 【详解】（1）解：由题意可知 将 点坐标代入 得： ， ， 双曲线的解析式为 ； （2）解：由图象可知：点 横坐标为 ， 的解集是 或 ， 关于 的不等式的解集是 或 ； （3）解：如图，连接 和 ， 资76料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 点坐标为 ， 轴， 当 时， ， 点坐标为 ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数交点问题，反比例函数与不 等式的关系，面积问题等，掌握求法是解题的关键． 54．（2023·江苏无锡·校考二模）定义：经过函数图像上的一点作x轴的平行线，将平行线上方的图像沿 平行线向下翻折形成新的函数图像，我们把满足这种情况的函数图像称为经过这一点的“折叠函数”． 【基本应用】 (1)如图，点 、 、 均在直线l上． 资77料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ①请使用无刻度的直尺和圆规作出经过点C的“折叠函数”与x轴的交点D（异于点A）； ②求出经过点A、C、D的二次函数表达式； (2)在（1）的条件下，点 为二次函数图像上一动点，若经过点P的“折叠函数”与x轴至少有3个 交点，求a的取值范围． 【创新应用】 (3)如果反比例函数 的图像上有一点 ，则经过点M的“折叠函数”与x轴的交点坐标为 ________． 【答案】(1)①以点C为顶点，作 ,作 ，交x轴于点D，则点D即为所求； ② (2) 或 (3) 【分析】（1）①将已知点坐标代入解析式的一般式，待定系数法确定解析式，进而确定 ， ， 以点C为顶点，作 ,作 ，交x轴于点D，则点D即为所求； ②由图知， ,可证 ,得 ,由两点间距离公式求得 ,进一步求得 ,确定 ,待定系数法确定经过 , , 三点的抛物线解析式； （2）设点 ，由两图象关于直线对称，可求新抛物线顶点纵坐标为 ，确定翻折后的抛物线解析式为 ，分情况讨论： 资78料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 如图，点P在x轴上方时，原抛物线与x轴恒有两个交点，当翻折部分与x轴有且仅有一个交点时，折叠 函数与x轴有三个交点，解 ，解得 （P在对称轴左侧）， （P在对称轴 右侧）， 如图2，当点P在x轴上时，折叠函数与x轴有且仅有两个交点； （ P在对称轴左侧）， （P 在对称轴右侧）， 得出结论； （3）确定原函数解析式 ，进而根据对称性求得翻折函数的解析式 ， 时， ，解得 ，所以交点坐标为 ． 【详解】（1）解：①设直线 的解析式为 ，则 ， 解得： ， ∴直线解析式为 ， 将 代入得， ，解得： ， ∴ 以点C为顶点，作 ，作 ，交x轴于点D，则点D即为所求； ②由图知， ， ， ∴ ， 资79料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， 设经过 ， ， 三点的抛物线为 ，则： ， 解得： ， ∴解析式 ． （2）解：原抛物线 ， 点 ，所以新抛物线的解析式顶点纵坐标为： ， 故翻折后的抛物线解析式为： ， 如图，点P在x轴上方时，原抛物线与x轴恒有两个交点，当翻折部分与x轴有且仅有一个交点时，折叠 函数与x轴有三个交点，满足题意，则 ，解得 （P在对称轴左侧）， （P在对称轴右侧）， 如图，当点P落在x轴上时，折叠函数与x轴有且仅有两个交点， 资80料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 点P落在x轴上时， （ P在对称轴左侧）， （P在对称轴右侧）； 当点P落在x轴在下方时，折叠函数与x轴无交点． ∴当折叠函数与x轴至少有三个交点时， 或 ． （3）解：反比例函数 的图象经过点 ， ∴ ， ∴ ， 如图，设点 在翻折后的图象上，则其关于直线 的对称点在 上，对称点坐标为 ，代 入 得， ，即折后的图象解析式为 ， 时， ，解得 ， 所以交点坐标为 ． 故答案为： ． 资81料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【点睛】本题考查尺规作图，待定系数法确定函数图象，函数图象变换，正确绘制满足要求的函数图象， 确定随着参数变化，图象的不同位置状态是解题的关键． 55.（2023·广东广州·广州市真光中学校考二模）如图，双曲线 与直线 交于点 、 ，与两坐标轴分别交于点 ，已知点 ，连接 ． (1)求 的面积； (2)作直线 ，将直线 向上平移 个单位后，与双曲线 有唯一交点，求 的值． 【答案】(1)17.5 (2) 【分析】（1）将点 代入直线和双曲线，即可求得直线和双曲线的解析式；由图形可得 面积为 和 面积的和，分别求得 和 的面积即可求解； （2）先求得直线 解析式，根据平移法则求得平移后的直线解析式，联立双曲线，得到一元二次方程， 令 ，即可求解． 【详解】（1）解：将 代入直线 得：  1 k  8kb1  2  2kb4 ，解得 b3 m 将A8，1代入双曲线y  得： x m 1 ，解得 8 m8 资82料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1 将 y0 代入直线y 2 x3得， x6 ，即C6,0 1 将 x0 代入直线y 2 x3得，y=3，即D0,3  E1，0 ∴CE7 1 7 1 S  CE y  ，S  CE y 14 △ACE 2 A 2 △BCE 2 B 7 由图像可得S S S  1417.5 △ABE △ACE △BCE 2 DE ykxb E1，0 D0,3 （2）解：设直线 解析式为 ，将 、 代入，得： kb0 k 3   b3 ，解得b3 DE y3x3 ∴直线 解析式为 DE nn0 y3x3n 直线 向上平移 个单位，则 ，联立双曲线得： y3x3n   8   y x ，化简得 3x2(n3)x80 m ∵与双曲线y  有唯一交点 x (n3)24380 ∴ n34 6 解得 又∵n0 n34 6 ∴ 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、涉及了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握 相关基本性质是解题的关键． yx8 56．（2023·河南洛阳·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 k y k 0 k x 资83料y整理【k淘宝0店铺：向阳百分百】 x A B A B x C AO关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 k y k 0 的图象交于 ， 两点（点 在点 左边），与 轴交于点 ，延长 交反比例函数 x A B A B x C AO k y k 0 的图象于点 ． x E (1)填空：EO________AO（填“>”“=”或“<”）； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出EAC的平分线（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (3)在EAC的平分线上取点F ，使AFE90，连接CF，当k 15时，求△ACF的面积． 【答案】(1)= (2)见解析 (3)20 【分析】（1）根据反比例函数的对称性进行求解即可； （2）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （3）如图所示，连接 OF ，先求出点A和点C的坐标，进而求出 S AOC 20 ，再证明 OF∥AC ，即可得到 S S 20 △ACF △AOC ． 【详解】（1）解：由反比例函数的对称性可知EO AO， 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求； 资84料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （3）解：如图所示，连接OF ，  15 y  x x 1 3 x 2 5 联立： yx8 ，解得： y 5 ， y 3 1 2 ∵A在B的左边 3,5 ∴A点坐标为 ， yx8 y0 x80 x8 在 中，当 时， ，则 ， C8，0 ∴ ∴OC 8， 1 1 ∴S  8y  8520， △AOC 2 A 2 ∵AF 平分EAC， ∴OAF CAF ， ∵O是AE的中点，AFE90， ∴AOOF ， ∴OAF OFA， ∴OFAFAC， ∴OF∥AC， S S 20 ∴ △ACF △AOC ． 资85料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数的对称性，平行线的性质与判定，直角 三角形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线是解题关键． 57.（2023·宁夏银川·校考二模）心理学家研究发现，一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随 教师讲课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较 为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x （分）的变化规律如图所示，其中 、 分别为线段， 平行于x轴， 为双曲线的一部分．上课 开始时，注意力指数为20，第10分钟时，注意力指数为40．根据图像信息， 回答下列问题： (1)中间一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态持续的时长为__________分钟； (2)若开始上课第x分钟学生的注意力指数和上课第40分钟时的注意力指数相等，求x的值； (3)一道数学题，需要讲19分钟，为了讲解效果，要求学生的注意力指数至少为36，那么经过适当安排， 老师能否在学生注意力指数达到所需要的状态下讲解完这道题？请说明理由． 【答案】(1)15 (2) (3)老师不能在学生注意力指数达到所需要的状态下讲解完这道题；理由见解析 【分析】（1）根据函数图像获得信息直接回答即可； （2）先求出反比例函数和一次函数解析式，然后求出当 时，反比例函数y的值，再将这个值代入一 次函数解析式求出x的值即可； 资86料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （3）先求出 时所对应的一次函数和反比例函数中x的值，然后再求出这两个值的差与19进行比较 即可． 【详解】（1）解：根据图像可知，学生的注意力保持较为理想的稳定状态持续的时长为： （分钟）； 故答案为：15． （2）解：设一次函数解析式为： ，把 ， 代入得： ， 解得： ， ∴一次函数解析式为： ， 设反比例函数解析式为 ，把 代入得： ， 解得： ， ∴反比例函数解析式为 ， 把 代入 得： ， 把 代入 得： ， 解得： ， 即开始上课第2.5分钟学生的注意力指数和上课第40分钟时的注意力指数相等． （3）解：把 代入 得： ， 解得： ， 把 代入 得： ， 解得： ， 资87料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ， ∴老师不能在学生注意力指数达到所需要的状态下讲解完这道题． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是数形结合，从函数图像中获得 信息，求出一次函数和反比例函数解析式 58．（2023·山东菏泽·统考一模）如图，一次函数 的图象与 轴、 轴分别相交于 、 两点， 与反比例函数 的图象相交于点 ． (1)求反比例函数的表达式； (2)点 的横坐标为 ，过点 作 轴平行线，交反比例函数的图象于点 ，连接 求 的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将 代入 得 ，则 点坐标为 ，代入反比例函数解析式即可求解； （2）先把 点代入直线表达式求出点 坐标，进而根据 两点横坐标一直代入反比例函数表达式求出 点坐标根据 可求出答案。 【详解】（1）解：将 代入 得 点坐标为 资88料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 点 在反比例函数 的图象上， ． 反比例函数的表达式为： ． （2）解：将 代入一次函数 得 即点 的坐标为 ， 将 代入反比例函数 得 即 点坐标为 ， ， 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，掌握一次函数与反比例数的性质是解题的关键． 59．（2023·山东济南·统考三模）已知一次函数 （ ， 为常数， ）的图像如图所示，则正 比例函数 和反比例函数 在同一坐标系中的图像大致是（ ） A． B． 资89料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数 （ ， 为常数， ）的图像判定 ，确定图像分布，判 断即可． 【详解】根据一次函数 （ ， 为常数， ）的图像判定 ， ∴ 的图像分布在二四象限，反比例函数 的图像分布在二四象限， 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数图像分布，反比例函数图像的分布，熟练掌握图像分布与k，m的关系是解 题的关键． 60．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考三模）由于机器设备老化，某工厂去年1月份开始对部分 生产设备进行技术升级，边升级边生产．去年1-10月其利润 （万元）与月份 之间的变化如图所示，设 备技术升级完成前是反比例函数图象的一部分，设备技术升级完成后是一次函数图象的一部分，下列说法 正确的是（ ） A．由图象可知设备技术升级完成前的五个月处于亏损状态，升级后开始盈利 B．由图象可知设备技术升级完成前后共有6个月的利润超过100万元 C．由图象可知设备技术升级完成后每月利润比前一月增加30万元 D．由图象可知设备技术升级完成后最大利润超过200万元/月 【答案】C 【分析】根据该图象因变量代表的意义即可判断A；求出反比函数的表达式，结合图象即可判断B，求出 5月份的利润，即可判断C；求出一次函数的表达式，再求出10月份的利润，即可判断D． 【详解】解：A：由图象可知设备技术升级完成前的五个月利润逐渐下降，升级后利润开始增加；故A不 资90料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 正确，不符合题意； B、设该反比例函数的表达式为 ， 将点 代入得： ， ∴设该反比例函数的表达式为 ， 把 代入得： ， y随x的增大而减小， ∴设备技术升级完成前有1个月的利润超过100万元， 由图可知，设备技术升级完成后，y随x的增大而增大， ∴设备技术升级完成后有3个月的利润超过100万元， 综上：设备技术升级完成前后，一共有4个月的利润超过100万元； 故B不正确，不符合题意； C、把 代入 得： ， ∴反比例函数图象经过点 ， ∴设备技术升级完成后每月利润比前一月增加 （万元）， 故C正确，符合题意； D、设设备技术升级完成后的表达式为 ， 把 ， 代入得： ，解得： ， ∴ ， ∴y随x的增大而增大， 当 时，y取最大值，此时 ， 故D不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用，解题的关键是正确理解函数图象，掌握用待 资91料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 定系数法求解函数表达式的方法． 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