文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题 05 函数与实际问题的综合应用（三大函数）
题型解读｜模型构建｜通关试 练
一、一次函数的应用
1．主要题型： （1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．
2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：
（1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；（3）确
定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义；（6）答．
3．方案最值问题：
对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出
某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．
4．方法技巧
求最值的本质为求最优方案，解法有两种：（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方
案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
显然，第（2）种方法更简单快捷．
二、反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实
际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
三、二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次
函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数
的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的
讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到
平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
模型01 一次函数的应用
考｜向｜预｜测
一次函数的性质与应用题型中图象与性质在选择和填空中考的较多，一次函数的应用主要是综合性应
用，一次函数与方程、不等式结合去考，解答题中会经常考到.在解题时需要同学们对一次函数的图象
与性质真正理解.所考题型难度中等，相对较容易得分.
答｜题｜技｜巧
1.一次函数的优化问题：通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函
数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
2.用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，设出解析式，代入点的坐标，求出函数值、函数表达式，并解答相应的
问题．
（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）甲、乙两货车分别从相距225km的A、B两地同时出发，甲货车从A
地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙
货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
两货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)甲货车到达配货站之前的速度是 km/h，乙货车的速度是 km/h；
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数解
析式；
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．
1．（2025·河南商丘·一模）某超市销售着一种牛奶草莓，为了推广这种草莓，该超市做出两种促销方案，
两种方案下购买这种草莓的费用y（元）与购买量x（千克）之间的函数关系图象如图所示．
(1)分别求出两种方案下y与x之间的函数关系式；
(2)请直接写出图中线段AB的长，并说明它的实际意义；
2．（2025·陕西西安·二模）观赏汉中百里油菜花海，感受汉中独特的风光．假期某校准备组织学生、老师
从西安坐高铁到汉中进行社会实践，为了便于管理，所有师生必须乘坐在同一列高铁上，其中学生有50人，
老师有15人．（师生均按原价购票）
西安到汉中的高铁票价格如下表
运行区间
票价
上车站
下车站
一等座
二等座
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
西安
汉中
155元/张
97元/张
由于某种原因，二等座高铁票单程只能买x张（50<x<65），其余的须买一等座高铁票，在保证每位参与
人员都有座位坐的前提下．
(1)请你写出购买高铁票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式；
(2)购买高铁票的总费用（单程）为6885元，求购买二等座高铁票的数量．
3．（2025·陕西西安·一模）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时
间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度，小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度
1
为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶 小时，再立即减速以另一速度匀速行驶
12
（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为
100千米/时，汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如
图所示．
1
(1)当 ≤x≤a时，求y与x之间的函数关系式；
12
(2)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超
过120千米/时）
4．（2025·河北·一模）在距离水平地面高度为1.5m的平台A(看作一点)上放有两架无人飞机，甲、乙两人
同时操控无人飞机，使其匀速飞行，飞行轨迹可视为直线，设无人飞机与地面的竖直高度为h(m)，飞行时
间为t(s)，得到了如图所示的图象，若甲、乙两人操控的无人飞机降落时的速度相同．
(1)求AB段的h关于t的函数解析式；
(2)求乙操控的无人飞机飞行的最大高度；
(3)当甲操控的无人飞机飞行达到最大高度时，求乙操控的无人飞机距离地面的竖直高度．
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
5．（2025·河南郑州·一模）共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享．某天早上王老
师想骑共享电动车去学校，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．已知：A品牌电动车骑行xmin，收费
2
y 元，且y = x；B品牌电动车骑行xmin，收费y 元，且y =¿，A，B两种品牌电动车所收费用y与骑
A A 5 B B
行时间x之间的函数图象如图所示．
(1)说明图中函数y 与y 图象的交点P表示的实际意义．
A B
(2)已知王老师家与学校的距离为9km，且王老师骑电动车的平均速度为300m/min，那么
王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由．
(3)请直接写出当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元．
模型02 反比例函数的应用
考｜向｜预｜测
反比例函数的性质与应用是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容.每年都有一些考生因为知识
残缺、基础不牢、技能不熟、答题不规范等原因导致失分.从考点频率看，反比例函数的应用主要是在解决
实际问题，涉及与一次函数相结合、分段函数、跨学科问题.跨学科提取信息，也是高频考点.从题型角度
看，以解答题为主，难度中等，需要理解加以灵活应用！
答｜题｜技｜巧
根据图象特点求解反比例的表达式；
判定反比例函数的几何意义以及与其它函数或几何图形的关系；
求解反比例函数中几何特性、动点问题讨论；
利用相关的性质和判定进行推理和计算.
（2023·山东济南·中考真题）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用
木栏围住，木栏总长为am．
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy=8，满足条件的(x,y)可看成是反比例函数
8
y= 的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+ y=10，满足条件的(x,y)可看成一次函
x
数y=−2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的(x,y)就可以看成两个函数图象交点
的坐标．
8
如图2，反比例函数y= (x>0)的图象与直线l ：y=−2x+10的交点坐标为(1,8)和_________，因此，木
x 1
栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=___________m，BC=
__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若a=6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y=−2x+a．发现直线y=−2x+a可以看成是直线y=−2x通
8
过平移得到的，在平移过程中，当过点(2,4)时，直线y=−2x+a与反比例函数y= (x>0)的图象有唯一
x
交点．
（3）请在图2中画出直线y=−2x+a过点(2,4)时的图象，并求出a的值．
【拓展应用】
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
8
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y=−2x+a与y= 图象在第一象限内交
x
点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
1.（2024·湖南郴州·模拟预测）某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100
毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家
规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线BC的函数表达式；
(2)参照上述数学模型，假设某人晚上20:00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上9:00能否驾车出行？
请说明理由．
2．（2024·湖南·模拟预测）物理实验课上，小明为探究电流I(A)与接入电路的滑动变阻器x(Ω)之间的关
系，设计如图所示的电路图．已知电源的电压U(V)保持不变，小灯泡的电阻为2Ω．改变接入电路的滑动
变阻器的电阻x(Ω)， 电流表的读数即电流I(A)发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为1Ω时，电
流表的读数为2A．
(1)求电路中的电阻R(Ω)关于接入电路的滑动变阻器的电阻x(Ω)之间的函数关系，
(2)求电流I(A)关于电路中的电阻R(Ω)的函数关系；
(3)如果电流表的读数为0.5A，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少Ω？
3．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）【综合实践】
如图1所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
小杰组装了如图2所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端L =1m，距右端
1
L =0.4m，在杠杆左端悬挂重力为80N的物体A．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图2，即
2
F ×L =F ×L ）
A 1 B 2
x/N … 10 20 30 40 b …
8 8
y/cm … 8 a 2 …
3 5
(1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为 N；
(2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，L 的长度随之变化．设重
2
物B的质量为xN，L 的长度为ycm．则：
2
①y关于x的函数关系式是 ．
②完成表格：a= ；b= ．
③借助表格，在图3的直角坐标系中画出该函数的图象．
(3)在（2）的条件下，若点A的坐标为(20,0)，点B的坐标为(0,2)，在（2）中所求函数的图象上存在点
C，使得S =46，请求出点C的坐标．
△ABC
1
4．（2022·山东临沂·一模）在学习了函数后我们了解了函数的一般研究方法，为了探索函数y=x+
x
(x>0)的图象与性质，我们参照学习函数的程与方法，列表：
1 1 1
x … 1 2 3 4 5 …
4 3 2
17 10 5 5 10 17 26
y … 2 …
4 3 2 2 3 4 5
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，
如图1所示：
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
(2)已知点(x ,y )，(x ,y )在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
1 1 2 2
若0<x <x ≤1，则y y ；若1<x <x ，则y y ．（填“>”，“=”，“<”）．
1 2 1 2 1 2 1 2
(3)某农户要建造一个图2所示长方体形的化粪池，其底面积为1平方米，深为1米．已知下底面造价为1
千元／平方米，上盖的造价为1.5千元／平方米，侧面造价为0.5千元／平方米，设水池底面一边的长为x
米，水池总造价为w千元．
①请写出w关于x的函数关系式．
②若该农户建造化粪池的预算不超过5千元，则池子底面一边的长x应控制在什么范围内？请直接写出x
的范围．
模型03 二次函数的应用
考｜向｜预｜测
二次函数的实际应用该题型在中考中可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形式考察，
题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高.而考察的内
容主要有:二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等.其中，
二次函数与其他综合相关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己
的计算不要有失误.
答｜题｜技｜巧
二次函数的实际应用以顶点式 ( )为主，首先根据题意中的顶点坐标及其它点坐标求二
次函数表达式是第一问经常考的题型，二次函数应用题型中有营销问题，球类运动问题，喷泉问题、拱形
桥或桥洞问题等.在解题时除了要求学生对二次函数的性质真正的理解，解题中会涉及些计算，需要同学们
认真、细致.
（2025·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，从点A(0,6)处向第一象限抛出一个弹力点（遇线反
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
弹），其运动轨迹为抛物线y=− (x−4) 2+a的一部分，弹力点落到射线BC上的点P处后反弹，反弹后
8
13
经过的最高点是Q(5,6)．已知射线BC所在直线的表达式为y=x− 弹力点第一次反弹后的运动路线为抛
2
物线的一部分．
(1)求a的值及点P的坐标．
(2)当弹力点从点P处反弹后，在平面直角坐标系中放入一个等腰直角三角形DEF，其中∠F=90°，
D(2,m)，E(4,m)，点 F 在 DE上方．若弹力点第一次反弹后直接落在y轴上（未在△≝¿的边上反弹），
求m的取值范围．
1．（24-25九年级上·山东青岛·期末）剪纸是一种非常普及的中国民间艺术，春节期间，人们都喜欢在窗
户上贴上窗花作为装饰，不仅烘托了喜庆的节日气氛，还为人们带来了美的享受，集装饰性、欣赏性和实
用性于一体．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸进行销售，已知每套甲种剪纸的进价是每套乙种剪纸
进价的1.25倍，用400元购进甲种剪纸的套数比用400元购进乙种剪纸的套数少2套．
(1)求这两种剪纸每套进价分别为多少元？
(2)根据商家的销售经验，甲种剪纸的销售量y （套）与销售单价x（元）之间的关系为
1
y =−200x+17000，乙种剪纸的销售量y （套）与销售单价x（元）之间的关系为y =−300x+20400．
1 2 2
若每套甲种剪纸的售价同样是每套乙种剪纸售价的1.25倍，则甲、乙两款剪纸的销售单价定为多少元时，
商家可获得最大利润？最大利润是多少元？
2．（2024·山东潍坊·中考真题）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商
场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本P（万元）与隔热层厚度x(cm)满足函数表达式：P=10x．预计
(x+2)(x+4)
该商场每年的能源消耗费用T（万元）与隔热层厚度x(cm)满足函数表达式：T=21− ，其中
8
0≤x≤9．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为y（万元）．
(1)若y=148万元，求该商场建造的隔热层厚度；
(2)已知该商场未来8年的相关规划费用为t（万元），且t= y+x2，当172≤t≤192时，求隔热层厚度
x(cm)的取值范围．
3．（2024·浙江嘉兴·一模）某电脑商城准备购进A，B两种型号的电脑，已知每台电脑的进价B型比A型
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
多500元，用16万元购进A型电脑和用18万购进B型电脑的数量相同．
(1)A，B两种型号电脑每台进价各是多少？
(2)随着技术的更新，A型号电脑升级为A 型号，该商城计划一次性购进A 、B两种型号电脑共100台，B
1 1
型号电脑的每台售价5200元．经市场调研发现，销售A 型号电脑所获利润P(万元)与A 销售量m台(
1 1
1 29
0≤m≤80)，如图所示，AB为线段，BC为抛物线一部分P= m2− m+c(40<m≤80)．若这两种
600 300
电脑全部售出，则该商城如何进货利润最大？(利润=销售总价−总进价)
4．（2025·陕西·模拟预测）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线型是相同的，如图所示，
线段OA所在的直线表示水平的水面，以O为坐标原点，以OA所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直
线为y轴，建立平面直角坐标系．已知正常水位时，中间大孔水面宽度AB= 24m，顶点距离水面的高度
CO=7.2m，小孔顶点距离水面的高度DE=5.4m．
(1)求中间大孔抛物线的函数表达式；
(2)若雨季来临水位上涨，小孔刚好淹没，求出此时大孔的水面宽度MN的值．
5．（2024·河北石家庄·模拟预测）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷
水景观（如图1）．为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路
面宽OA=3.5米，河道坝高AE=5米，坝面AB的坡比为i=1:0.5（其中i=tan∠ABE），当水柱离喷水口
O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米．
以O为原点建立平面直角坐标系，解决问题：
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求水柱所在抛物线的解析式；
(2)出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，若护栏高度为1.25米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明
理由；
(3)河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水
花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上；
①河水离地平面AD距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线AB与水面截线的交点处？
②为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面
距离为h米，喷水口离地平面的最小高度m随着h的变化而变化，直接写出m与h的关系式．
1．（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒
黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有A型和B型两种车型，若购买A型公交车3辆，B型公交车1
辆，共需260万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需360万元．
(1)求购买A型和B型新能源公交车每辆各需多少万元？
(2)经调研，某条线路上的A型和B型新能源公交车每辆年均载客量分别为70万人次和100万人次．公司准
备购买10辆A型、B型两种新能源公交车，总费用不超过650万元．为保障该线路的年均载客总量最大，
请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值．
2．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供
更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有A,B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高20%；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
2
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的 ．
3
【问题解决】
(1)问题一：求出A,B两种书架的单价；
(2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买
方案；
1
(3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价 m元，按问
3
题二的购买方案需花费21120元，求m的值．
3．（2024·吉林长春·中考真题）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点
的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段
1
长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶 小时，再立即减速以另一速度匀速
12
行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度
为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
象如图所示．
(1)a的值为________；
1
(2)当 ≤x≤a时，求y与x之间的函数关系式；
12
(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超
过120千米/时）
4．（2023·宁夏·中考真题）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p
（KPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)当气球内的气压超过150KPa时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为
4
多少时气球不会爆炸（球体的体积公式V = πr3 ，π取3）；
3
(2)请你利用p与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
5．（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验
田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与
墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：m2)．
(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)；
(2)矩形实验田的面积S能达到750m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
6．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0,0)，点A(3,0)，
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
点B,C在第一象限，且OC=2,∠AOC=60∘．
(1)填空：如图①，点C的坐标为______，点B的坐标为______；
(2)若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线l⊥x轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点O′落在
x轴的正半轴上，点C的对应点为C′．设OP=t．
①如图②，若直线l与边CB相交于点Q，当折叠后四边形PO′C′Q与▱OABC重叠部分为五边形时，O′C′
与AB相交于点E．试用含有t的式子表示线段BE的长，并直接写出t的取值范围；
2 11
②设折叠后重叠部分的面积为S，当 ≤t≤ 时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
3 4
7．（2023·四川绵阳·中考真题）随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村
村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）
和每袋售价x（元）记录如下：
时 第二
第一天 第三天 第四天
间 天
x/元 15 20 25 30
y/袋 25 20 15 10
若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：
(1)求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；
(2)请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润.（利
润=销售额−成本）
8．（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：
件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式；
(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多
少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
9．（2023·湖北黄石·中考真题）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该
设备的生产成本为10万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是
z=¿，其中x是正整数．当x=16时，z=14；当x=20时，z=13．
(1)求m，n的值；
(2)设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式y=5x+20．
①当12<x≤20时，工厂第几个生产周期获得的利润最大?最大的利润是多少万元?
②当0<x≤20时，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，求实数a的取值范围．
10．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数
1
y=ax2+bx(a<0)刻画，斜坡可以用一次函数y= x刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高
4
度y（米）的变化规律如下表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
7 15 15 7
y 0 6 8 n …
2 2 2 2
(1)①m=______，n=______；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
(2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系y=−5t2+vt．
①小球飞行的最大高度为______米；
②求v的值．
11．（2023·山东·中考真题）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的
一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置OA的高度是2
米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，
此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，
防水罩的一端固定在喷水装置上的点M处，另一端与路面的垂直高度NC为1.8米，且与喷泉水流的水平
距离ND为0.3米．点C到水池外壁的水平距离CE=0.6米，求步行通道的宽OE．（结果精确到0.1米）参
考数据：√2≈1.41
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
12．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L 与缆索L 均呈抛物线
1 2
型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔AO所在直线
为y轴，建立平面直角坐标系．
已知：缆索L 所在抛物线与缆索L 所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC=100m，
1 2
AO=BC=17m，缆索L 的最低点P到FF′的距离PD=2m（桥塔的粗细忽略不计）
1
(1)求缆索L 所在抛物线的函数表达式；
1
(2)点E在缆索L 上，EF⊥FF′，且EF=2.6m，FO<OD，求FO的长．
2
一、解答题
1．（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）2024年，郑州市中招体育考试的总分值提高到100分，考试
项目增加至5项，其中技能类考试项目除篮球和足球外增加了排球垫球．某校为更好开展排球课程，计划
购买一批排球，郑州市两家体育用品商店分别推出了自己的优惠方案：
A商店：若购买超过20个，超过部分按每个排球标价的八折出售．
B商店：若购买超过15个，超过部分按每个排球标价的九折出售，然后每个再优惠10元．
若用字母x表示购买排球的数量，字母y表示购买排球的价格，其函数图象如图所示．
(1)求每个排球的标价是多少元．
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(2)当x>20时，A商店的应付总价y 与数量x之间的函数关系式为 ；当x>15时，B商店的应付总价y 与
A B
数量x之间的函数关系式为 ．
(3)请求出图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义．
(4)根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更优惠．
2．（2024·河南周口·三模）春和75景明，草长莺飞的四月和五月，全家最适合周末去附近的公园里踏青或
爬山，并且进行野餐，某便民商店计划在春天踏春之际购进A，B两种不同型号的野餐垫共100个，已知购
进A型号的野餐垫2个和B型号的野餐垫3个需要740元，购进A型号的野餐垫3个和B型号的野餐垫2个需要
710元．
(1)求该商店购进每个A型号和B型号的野餐垫的价格；
1
(2)该商店在调查后根据实际需求，现在决定购进A型号的野餐垫不超过B型号野餐垫数量的 ，为使购进
3
野餐垫的总费用最低，应购进型A号野餐垫和B型号的野餐垫各多少个?购进野餐垫的总费用最低为多少元?
3．（2025·河北沧州·一模）某电影公司随机收集了一些电影的有关数据，经分类整理得到下表，其中好评
率是指某类电影中获得好评的部数与该类电影总部数的比值．
电影类型
历史类
恐怖类
喜剧类
科幻类
情感类
剧痛类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)从该电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是科幻片中的好评电影的概率；
(2)根据前期调查反馈：
历史类电影的上座率与好评率的关系约为：上座率=好评率×1.5+0.1；
恐怖类电影的上座率与好评率的关系约为：上座率=好评率×1.5+0.45．
现有一部历史类的A电影和一部恐怖类的B电影将同时在某影院上映，A电影的票价为45元，B电影的票
价为40元．该影院的最大放映厅的满座人数为1000人，排片经理要求将这两部电影安排在最大放映厅放
映，且两部电影每天都要有排片．已知最大放映厅每天有7个场次可供排片，设其中A电影排了x场．
①求出最大放映厅每天的票房收入y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
②仅从最大放映厅票房收入的角度考虑，作为排片经理应如何分配A，B两部电影的场次，使得当天的票
房收入最高？
4．（2025·陕西西安·二模）为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．甲无人
机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲
无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无
人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离
地面的高度y（米）与飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
(1)甲无人机的速度是________米/秒，乙无人机的速度是________米/秒；
(2)求线段PQ对应的函数表达式；
(3)甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时间．
5．（2023·吉林白城·模拟预测）电子体重秤度数直观又便于携带，为人们带来了方便，某综
合实践活动小组设计了简易电子体重秤：一个装有踏板（踏板质量忽略不计） 与踏板上人的质量m之间
1
的函数关系式为R =km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图①所示；图②的电路中，电源
1
电压恒为8伏，定值电阻R 的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压显示的度数为U ，该度数可以
0 0
换算为人的质量m．
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
U
注：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I= ．
R
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
(1)求出R 关于m的函数解析式．
1
(2)当U =1.5伏时，R = 欧．
0 1
(3)若电压表量程为0−6伏，直接写出该电子体重秤可称的最大质量．
6．（2023·广西南宁·模拟预测）综合与实践：
【问题情景】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中
酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的
酒精含量大于或等于20(毫克/百毫升)时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
【实践探究】（1）求部分双曲线BC的函数表达式；
【问题解决】（2）参照上述数学模型，假设某人晚上20:00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上
9:00能否驾车出行？请说明理由．
7．（2025·陕西咸阳·一模）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，BC=10，△ABC的面积为25．在△ABC内作一个正方形EFQR，使正方形
一边QR落在边BC上，另外两个顶点F，E分别落在边AB，AC上，该正方形的面积大小为________．
问题解决
（2）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图②，现有一块四边形的空地ABCD计划改造成公园，经测
量，AB=500m，BC=1000m，CD=680m，且∠B=∠C=60°．按设计要求，要在四边形公园ABCD
内建造一个矩形活动场所PQMN，顶点M，N均在边BC上，顶点P，Q分别在边AB，CD上．为了满足
居民需求，计划在矩形活动场所PQMN中种植草坪，在公园内其他区域种植花卉．已知花卉每平方米200
元，草坪每平方米80元，则绿化改造所需
费用至少为多少元？（结果保留整数，参考数据：√3≈1.7）
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
8．（2023·宁夏银川·二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=20，点P在AB上，AP=6．
点E以每秒2个单位长度的速度，从点P出发沿线段PA向点A匀速运动，点F同时以每秒1个单位长度的
速度，从点P出发沿线段PB向点B匀速运动，点E到达点A时，点F随之停止．在点E、F运动过程中，
以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(0<t≤3)，正方
形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．
(1)当t=1时，正方形EFGH的边长是 ；当t=3时，正方形EFGH的边长是 ；
(2)当点H在线段AC上时，求t的值；
(3)求S与t的函数关系式．
9．（2025·广东·模拟预测）广东某镇盛产的荔枝远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成
本价为每千克6元的该荔枝，以不低于成本价且不超过每千克10元的价格销售．当每千克售价为7元时，每
天售出荔枝950kg；当每千克售价为8元时，每天售出荔枝900kg，通过分析销售数据发现：每天销售荔
枝的数量y(kg)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)超市将该荔枝每千克售价定为多少元时，每天销售该荔枝的利润可达到1800元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
10．（2024·湖北黄冈·模拟预测）大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进
价为30元/件，经过一段时间的试销，她发现每月的销售量会因售价的调整而不同，若设每月的销售量为y
件，售价为x元/件.
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)当售价在40—50 元/件时，每月的销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元?
(2)当售价在50—70 元/件时，每月的销售量与售价的关系如图所示，求y 与x的关系式；
(3)小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠m(m为整数)元，若要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，
请你帮她计算m的最小值是多少，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大.
11．（2025·湖北·一模）数学兴趣小组在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（无盖长方体箱子
放在水平地面上）．现将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（x轴经过箱子底面
中心，并与其一组对边平行，矩形DEFG为箱子正面示意图）．某同学将弹珠从A(1,0)处抛出，弹珠的飞
行轨迹为抛物线L：y=ax2+bx+3（单位长度为1m）的一部分，且抛物线经过(−2,3)．已知
DE=2m，EF=2m，DA=5m．
(1)求抛物线L的解析式和顶点坐标；
(2)请通过计算说明该同学抛出的弹珠能投入箱子；
(3)若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且无阻挡时弹珠最大高
度可达3m，则弹珠能否弹出箱子？请说明理由．
12．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）【项目式学习】
【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜
【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，
对蔬菜喷水管建立数学模型．菜地装有1个自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜，如图1所示，观察喷头可顺、
逆时针往返喷洒．
【项目素材】
素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管OA，从A点向外喷水，喷出
的水柱最外层的形状为抛物线，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y
轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点．
素材二：乙小组测得种植农民的身高为1.75米，他常常往返于菜地之间．
素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长．
【项目任务】
任务一：丁小组测量得喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为7.6米，其中喷出的水的最高点
正好经过一个直立木杆EF的顶部F处，木杆高EF=4米，距离喷水口OE=3.6米，求出水柱所在抛物线
的函数解析式．
任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是P米时，不会被水淋到，求P的取值范围．
任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是45°，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口
的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？（精确到0.1米）
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
22
