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专题 05 函数与实际问题的综合应用（三大函数）
题型解读｜模型构建｜通关试 练
一、一次函数的应用
1．主要题型： （1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．
2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：
（1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；（3）确
定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义；（6）答．
3．方案最值问题：
对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出
某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．
4．方法技巧
求最值的本质为求最优方案，解法有两种：（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方
案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
显然，第（2）种方法更简单快捷．
二、反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实
际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
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要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
三、二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次
函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数
的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的
讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到
平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
模型01 一次函数的应用
考｜向｜预｜测
一次函数的性质与应用题型中图象与性质在选择和填空中考的较多，一次函数的应用主要是综合性应
用，一次函数与方程、不等式结合去考，解答题中会经常考到.在解题时需要同学们对一次函数的图象
与性质真正理解.所考题型难度中等，相对较容易得分.
答｜题｜技｜巧
1.一次函数的优化问题：通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函
数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
2.用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，设出解析式，代入点的坐标，求出函数值、函数表达式，并解答相应的
问题．
（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）甲、乙两货车分别从相距225km的A、B两地同时出发，甲货车从A
地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙
货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙
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两货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)甲货车到达配货站之前的速度是 km/h，乙货车的速度是 km/h；
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数解
析式；
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．
1．（2025·河南商丘·一模）某超市销售着一种牛奶草莓，为了推广这种草莓，该超市做出两种促销方案，
两种方案下购买这种草莓的费用y（元）与购买量x（千克）之间的函数关系图象如图所示．
(1)分别求出两种方案下y与x之间的函数关系式；
(2)请直接写出图中线段AB的长，并说明它的实际意义；
2．（2025·陕西西安·二模）观赏汉中百里油菜花海，感受汉中独特的风光．假期某校准备组织学生、老师
从西安坐高铁到汉中进行社会实践，为了便于管理，所有师生必须乘坐在同一列高铁上，其中学生有50人，
老师有15人．（师生均按原价购票）
西安到汉中的高铁票价格如下表
运行区间
票价
上车站
下车站
一等座
二等座
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西安
汉中
155元/张
97元/张
由于某种原因，二等座高铁票单程只能买x张（500)的图象与直线l ：y=−2x+10的交点坐标为(1,8)和_________，因此，木
x 1
栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=___________m，BC=
__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若a=6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y=−2x+a．发现直线y=−2x+a可以看成是直线y=−2x通
8
过平移得到的，在平移过程中，当过点(2,4)时，直线y=−2x+a与反比例函数y= (x>0)的图象有唯一
x
交点．
（3）请在图2中画出直线y=−2x+a过点(2,4)时的图象，并求出a的值．
【拓展应用】
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8
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y=−2x+a与y= 图象在第一象限内交
x
点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
1.（2024·湖南郴州·模拟预测）某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100
毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家
规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线BC的函数表达式；
(2)参照上述数学模型，假设某人晚上20:00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上9:00能否驾车出行？
请说明理由．
2．（2024·湖南·模拟预测）物理实验课上，小明为探究电流I(A)与接入电路的滑动变阻器x(Ω)之间的关
系，设计如图所示的电路图．已知电源的电压U(V)保持不变，小灯泡的电阻为2Ω．改变接入电路的滑动
变阻器的电阻x(Ω)， 电流表的读数即电流I(A)发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为1Ω时，电
流表的读数为2A．
(1)求电路中的电阻R(Ω)关于接入电路的滑动变阻器的电阻x(Ω)之间的函数关系，
(2)求电流I(A)关于电路中的电阻R(Ω)的函数关系；
(3)如果电流表的读数为0.5A，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少Ω？
3．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）【综合实践】
如图1所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，
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小杰组装了如图2所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端L =1m，距右端
1
L =0.4m，在杠杆左端悬挂重力为80N的物体A．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图2，即
2
F ×L =F ×L ）
A 1 B 2
x/N … 10 20 30 40 b …
8 8
y/cm … 8 a 2 …
3 5
(1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为 N；
(2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，L 的长度随之变化．设重
2
物B的质量为xN，L 的长度为ycm．则：
2
①y关于x的函数关系式是 ．
②完成表格：a= ；b= ．
③借助表格，在图3的直角坐标系中画出该函数的图象．
(3)在（2）的条件下，若点A的坐标为(20,0)，点B的坐标为(0,2)，在（2）中所求函数的图象上存在点
C，使得S =46，请求出点C的坐标．
△ABC
1
4．（2022·山东临沂·一模）在学习了函数后我们了解了函数的一般研究方法，为了探索函数y=x+
x
(x>0)的图象与性质，我们参照学习函数的程与方法，列表：
1 1 1
x … 1 2 3 4 5 …
4 3 2
17 10 5 5 10 17 26
y … 2 …
4 3 2 2 3 4 5
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，
如图1所示：
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(1)如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
(2)已知点(x ,y )，(x ,y )在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
1 1 2 2
若0”，“=”，“<”）．
1 2 1 2 1 2 1 2
(3)某农户要建造一个图2所示长方体形的化粪池，其底面积为1平方米，深为1米．已知下底面造价为1
千元／平方米，上盖的造价为1.5千元／平方米，侧面造价为0.5千元／平方米，设水池底面一边的长为x
米，水池总造价为w千元．
①请写出w关于x的函数关系式．
②若该农户建造化粪池的预算不超过5千元，则池子底面一边的长x应控制在什么范围内？请直接写出x
的范围．
模型03 二次函数的应用
考｜向｜预｜测
二次函数的实际应用该题型在中考中可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形式考察，
题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高.而考察的内
容主要有:二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等.其中，
二次函数与其他综合相关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己
的计算不要有失误.
答｜题｜技｜巧
二次函数的实际应用以顶点式 ( )为主，首先根据题意中的顶点坐标及其它点坐标求二
次函数表达式是第一问经常考的题型，二次函数应用题型中有营销问题，球类运动问题，喷泉问题、拱形
桥或桥洞问题等.在解题时除了要求学生对二次函数的性质真正的理解，解题中会涉及些计算，需要同学们
认真、细致.
（2025·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，从点A(0,6)处向第一象限抛出一个弹力点（遇线反
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1
弹），其运动轨迹为抛物线y=− (x−4) 2+a的一部分，弹力点落到射线BC上的点P处后反弹，反弹后
8
13
经过的最高点是Q(5,6)．已知射线BC所在直线的表达式为y=x− 弹力点第一次反弹后的运动路线为抛
2
物线的一部分．
(1)求a的值及点P的坐标．
(2)当弹力点从点P处反弹后，在平面直角坐标系中放入一个等腰直角三角形DEF，其中∠F=90°，
D(2,m)，E(4,m)，点 F 在 DE上方．若弹力点第一次反弹后直接落在y轴上（未在△≝¿的边上反弹），
求m的取值范围．
1．（24-25九年级上·山东青岛·期末）剪纸是一种非常普及的中国民间艺术，春节期间，人们都喜欢在窗
户上贴上窗花作为装饰，不仅烘托了喜庆的节日气氛，还为人们带来了美的享受，集装饰性、欣赏性和实
用性于一体．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸进行销售，已知每套甲种剪纸的进价是每套乙种剪纸
进价的1.25倍，用400元购进甲种剪纸的套数比用400元购进乙种剪纸的套数少2套．
(1)求这两种剪纸每套进价分别为多少元？
(2)根据商家的销售经验，甲种剪纸的销售量y （套）与销售单价x（元）之间的关系为
1
y =−200x+17000，乙种剪纸的销售量y （套）与销售单价x（元）之间的关系为y =−300x+20400．
1 2 2
若每套甲种剪纸的售价同样是每套乙种剪纸售价的1.25倍，则甲、乙两款剪纸的销售单价定为多少元时，
商家可获得最大利润？最大利润是多少元？
2．（2024·山东潍坊·中考真题）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商
场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本P（万元）与隔热层厚度x(cm)满足函数表达式：P=10x．预计
(x+2)(x+4)
该商场每年的能源消耗费用T（万元）与隔热层厚度x(cm)满足函数表达式：T=21− ，其中
8
0≤x≤9．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为y（万元）．
(1)若y=148万元，求该商场建造的隔热层厚度；
(2)已知该商场未来8年的相关规划费用为t（万元），且t= y+x2，当172≤t≤192时，求隔热层厚度
x(cm)的取值范围．
3．（2024·浙江嘉兴·一模）某电脑商城准备购进A，B两种型号的电脑，已知每台电脑的进价B型比A型
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多500元，用16万元购进A型电脑和用18万购进B型电脑的数量相同．
(1)A，B两种型号电脑每台进价各是多少？
(2)随着技术的更新，A型号电脑升级为A 型号，该商城计划一次性购进A 、B两种型号电脑共100台，B
1 1
型号电脑的每台售价5200元．经市场调研发现，销售A 型号电脑所获利润P(万元)与A 销售量m台(
1 1
1 29
0≤m≤80)，如图所示，AB为线段，BC为抛物线一部分P= m2− m+c(4020时，A商店的应付总价y 与数量x之间的函数关系式为 ；当x>15时，B商店的应付总价y 与
A B
数量x之间的函数关系式为 ．
(3)请求出图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义．
(4)根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更优惠．
2．（2024·河南周口·三模）春和75景明，草长莺飞的四月和五月，全家最适合周末去附近的公园里踏青或
爬山，并且进行野餐，某便民商店计划在春天踏春之际购进A，B两种不同型号的野餐垫共100个，已知购
进A型号的野餐垫2个和B型号的野餐垫3个需要740元，购进A型号的野餐垫3个和B型号的野餐垫2个需要
710元．
(1)求该商店购进每个A型号和B型号的野餐垫的价格；
1
(2)该商店在调查后根据实际需求，现在决定购进A型号的野餐垫不超过B型号野餐垫数量的 ，为使购进
3
野餐垫的总费用最低，应购进型A号野餐垫和B型号的野餐垫各多少个?购进野餐垫的总费用最低为多少元?
3．（2025·河北沧州·一模）某电影公司随机收集了一些电影的有关数据，经分类整理得到下表，其中好评
率是指某类电影中获得好评的部数与该类电影总部数的比值．
电影类型
历史类
恐怖类
喜剧类
科幻类
情感类
剧痛类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
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(1)从该电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是科幻片中的好评电影的概率；
(2)根据前期调查反馈：
历史类电影的上座率与好评率的关系约为：上座率=好评率×1.5+0.1；
恐怖类电影的上座率与好评率的关系约为：上座率=好评率×1.5+0.45．
现有一部历史类的A电影和一部恐怖类的B电影将同时在某影院上映，A电影的票价为45元，B电影的票
价为40元．该影院的最大放映厅的满座人数为1000人，排片经理要求将这两部电影安排在最大放映厅放
映，且两部电影每天都要有排片．已知最大放映厅每天有7个场次可供排片，设其中A电影排了x场．
①求出最大放映厅每天的票房收入y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
②仅从最大放映厅票房收入的角度考虑，作为排片经理应如何分配A，B两部电影的场次，使得当天的票
房收入最高？
4．（2025·陕西西安·二模）为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．甲无人
机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲
无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无
人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离
地面的高度y（米）与飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
(1)甲无人机的速度是________米/秒，乙无人机的速度是________米/秒；
(2)求线段PQ对应的函数表达式；
(3)甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时间．
5．（2023·吉林白城·模拟预测）电子体重秤度数直观又便于携带，为人们带来了方便，某综
合实践活动小组设计了简易电子体重秤：一个装有踏板（踏板质量忽略不计） 与踏板上人的质量m之间
1
的函数关系式为R =km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图①所示；图②的电路中，电源
1
电压恒为8伏，定值电阻R 的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压显示的度数为U ，该度数可以
0 0
换算为人的质量m．
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U
注：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I= ．
R
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
(1)求出R 关于m的函数解析式．
1
(2)当U =1.5伏时，R = 欧．
0 1
(3)若电压表量程为0−6伏，直接写出该电子体重秤可称的最大质量．
6．（2023·广西南宁·模拟预测）综合与实践：
【问题情景】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中
酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的
酒精含量大于或等于20(毫克/百毫升)时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
【实践探究】（1）求部分双曲线BC的函数表达式；
【问题解决】（2）参照上述数学模型，假设某人晚上20:00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上
9:00能否驾车出行？请说明理由．
7．（2025·陕西咸阳·一模）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，BC=10，△ABC的面积为25．在△ABC内作一个正方形EFQR，使正方形
一边QR落在边BC上，另外两个顶点F，E分别落在边AB，AC上，该正方形的面积大小为________．
问题解决
（2）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图②，现有一块四边形的空地ABCD计划改造成公园，经测
量，AB=500m，BC=1000m，CD=680m，且∠B=∠C=60°．按设计要求，要在四边形公园ABCD
内建造一个矩形活动场所PQMN，顶点M，N均在边BC上，顶点P，Q分别在边AB，CD上．为了满足
居民需求，计划在矩形活动场所PQMN中种植草坪，在公园内其他区域种植花卉．已知花卉每平方米200
元，草坪每平方米80元，则绿化改造所需
费用至少为多少元？（结果保留整数，参考数据：√3≈1.7）
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8．（2023·宁夏银川·二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=20，点P在AB上，AP=6．
点E以每秒2个单位长度的速度，从点P出发沿线段PA向点A匀速运动，点F同时以每秒1个单位长度的
速度，从点P出发沿线段PB向点B匀速运动，点E到达点A时，点F随之停止．在点E、F运动过程中，
以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(0
