专题10反比例函数考点精讲（原卷版）_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_2023年中考复习资料_专项复习_中考高分导航备战2023年中考数学考点总复习（全国通用）

专题 10 反比例函数 1．反比例函数的定义 k y= x 如果两个变量x，y之间的关系可以表示成 (k为常数,且k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数. 2．反比例函数的图象和性质 k y= x （1）图象的特征:反比例函数 的图象是一条双曲线,它关于坐标原点成中心对称,两个分支在第一、三 象限或第二、四象限. k y= x （2）反比例函数 (k≠0,k为常数)的图象和性质: 函数 图象 所在象限 性质 一、三象限 在每个象限内,y随x增 k k>0 y= (x,y同号) 大而减小 x (k≠0,k为常数) 二、四象限 在每个象限内,y随x增 k<0 (x,y异号) 大而增大 3．反比例函数的解析式的确定 求反比例函数的解析式跟求一次函数一样,也是待定系数法. 【考点1】反比例函数图象与性质k y= x 【例1】（反比例函数的图象）如图，函数 与y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图 象是（ ） A． B． C． D． 【例2】（反比例函数的图象性质）（2021·山西）已知反比例函数 ，则下列描述不正确的是 （ ） A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点 C．图象不可能与坐标轴相交 D． 随 的增大而减小 （1）当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小; （2）当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大. 1．（2022·湖南）在同一平面直角坐标系中，函数 和 的图像大致是（ ） A． B． C． D． 2．（2021·黑龙江大庆市）已知反比例函数 ，当 时， 随 的增大而减小，那么一次的数的图像经过第（ ） A．一，二，三象限 B．一，二，四象限 C．一，三，四象限 D．二，三，四象限 3．（2022·湖北荆州）如图是同一直角坐标系中函数 和 的图象．观察图象可得不等式 的解集为（ ） A． B． 或 C． 或 D． 或 4.（2022·广东）点 ， ， ， 在反比例函数 图象上，则 ， ， ， 中最 小的是（ ） A． B． C． D． 5．（2021·陕西）若 ， 是反比例函数 图象上的两点，则 、 的 大小关系是 ______ （填“>”、“=”或“<”） 【考点2】确定反比例关系式 【例3】（求解析式）（2022·江苏常州）某城市市区人口 万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥 有绿地 平方米，则 与 之间的函数表达式为（ ） A． B． C． D． 【例4】（系数k）（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数 的图象上，顶点A在反比例函数 的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若 平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（ ） A．2 B．1 C． D． k y= x 求函数解析式关键在于掌握利用待定系数法求函数的解析式。即解设求该函数解析式为 (k≠0,k 为常数)，再将函数上一个点坐标代入即可解得。 k k y= y= x x 反比例函数 （k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数 （k≠0）图象上任意一点向x轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|。常见模型如图： 1．（2022·湖北十堰）如图，正方形 的顶点分别在反比例函数 和 的图象 上．若 轴，点 的横坐标为3，则 （ ）A．36 B．18 C．12 D．9 2．（2022·辽宁）如图，在平面直角坐标系中， AOB的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点D，且 △ BD=AD，反比例函数y= (x>0)的图像经过点A，若S△OAB=1，则k的值为___________． 3．（2021·内蒙古呼和浩特市）正比例函数 与反比例函数 的图象交于A，B两点，若A点坐 标为 ，则 __________． 4．（2022·贵州铜仁）如图，点A、B在反比例函数 的图象上， 轴，垂足为D， ． 若四边形 间面积为6， ，则k的值为_______．5．（2022·贵州遵义）反比例函数 与一次函数 交于点 ，则 的值为__________． 6．（2022·湖北武汉）在反比例 的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式 是 一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为___________． 7．已知y＝y﹣y，y 与x成反比例，y 与x﹣2成正比例，并且当x＝3时，y＝5；当x＝1时，y＝﹣1． 1 2 1 2 （1）y与x的函数表达式； （2）当x＝﹣1时，求y的值． 【考点3】反比例函数的综合运用 k y  1k 0,x0 【例5】（2021·江苏扬州市）如图，点P是函数 x 1 的图像上一点，过点P分别作x轴和 k y  2 k 0,x0 y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数 x 2 的图像于点C、D，连接OC 、OD、 k k 2 k k S  1 2 S  1 2 CD 、 AB ，其中k 1 k 2 ，下列结论：① CD//AB ；② △OCD 2 ；③ △DCP 2k 1 ，其中正确的是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．① 【例6】（2022·山东潍坊）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定 的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（ ） A．海拔越高，大气压越大 B．图中曲线是反比例函数的图象 C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕 D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系 利用反比例函数解决实际问题，要做到①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模 型；②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义；③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然 后在作答中说明. 【失分警示】 1．利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2．利用出数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义。1．（2022·湖南郴州）如图，在函数 的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数 的图像于点B，连接OA，OB，则 的面积是（ ） A．3 B．5 C．6 D．10 2．（2022·河南）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体 传感器是一种气敏电阻（图1中的 ）， 的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精 浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（ ） A．呼气酒精浓度K越大， 的阻值越小 B．当K＝0时， 的阻值为100 C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D．当 时，该驾驶员为醉驾状态 Ax,y 3．（2021·浙江宁波市）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点 ，我们把点1 1 B ,   x y   称为点A的“倒数点”．如图，矩形 OCDE 的顶点C为3,0，顶点E在y轴上，函数 2 y  x0 x 的图象与DE 交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE 的一边上，则 △OBC 的面积为_________． 4．（2022·山东临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂），小明利 用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下： 第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点 ，并用细麻绳固定，在支点 左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩； 第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣． （1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点О右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重 物的质量变化时， 的长度随之变化．设重物的质量为 ， 的长为 ．写出y关于x的函数解析 式；若 ，求 的取值范围． （2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点О右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设 重物的质量为 ， 的长为 ，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．…… 0.25 0.5 1 2 4 …… …… …… 【考点4】一次函数与反比例函数的综合运用 【例7】（2021·山东威海市）已知点A为直线 上一点，过点A作 轴，交双曲线 于点 B．若点A与点B关于y轴对称，则点A的坐标为_____________． 【例8】（2022·黑龙江大庆）已知反比例函数 和一次函数 ，其中一次函数图象过 ， 两点．（1）求反比例函数的关系式； （2）如图，函数 的图象分别与函数 图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点 P，使得 周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 1．解答本考点的有关题目需要注意以下要点：反比例函数与一次函数的交点问题，可以利用待定系数法. 2．反比函数图像常见的辅助线作法：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线段构成三角形或四 边形，求面积。k y  (k 0) y axa 0 1．（2021·贵州安顺市）已知反比例函数 x 的图象与正比例函数 的图象相交于 A,B 1,2 两点，若点A的坐标是 ，则点B的坐标是（ ） 1,2 1,2 1,2 2,1 A． B． C． D． OABC OC OA 2．（2021·山东菏泽市）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的两边 、 分别在坐标轴上，且 k y  1 OA2，OC 4，连接OB．反比例函数 x （x0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、 BC E F y k xb E F 分别交于点 、 ．一次函数 2 的图象经过 、 两点． （1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式； （2）点P是 x 轴上一动点，当PEPF的值最小时，点P的坐标为______． k y  2 y k xb 3．（2021·山东东营市）如图所示，直线 与双曲线 x 交于A、B两点，已知点B的纵坐标 11 D0,2 tanAOC  为3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点 ，OA 5， 2． （1）求直线AB的解析式； △OCP △ODB （2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点， 的面积是 的面积的2倍，求点P的 坐标； k k xb 2 （3）直接写出不等式 1 x 的解集． 4．（2022·黑龙江绥化）在平面直角坐标系中，已知一次函数 与坐标轴分别交于 ， 两点，且与反比例函数 的图象在第一象限内交于P，K两点，连接 ， 的面积为 ． （1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）当 时，求x的取值范围； （3）若C为线段 上的一个动点，当 最小时，求 的面积．