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专题 18 转化的数学思想在压轴题中的应用
转化思想在数学压轴题中应用比较广泛，例如在几何压轴题中，多应用转化思想，具体表现为利用平移、
旋转、翻折、全等等图形变换或者等量变换将未知的问题转化为已知问题，将复杂的问题转化为简单的问
题。
（2022·山东烟台·统考中考真题）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请
直接写出 的值．
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且 ＝ ＝ ．连
接BD，CE．
①求 的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；（2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；
（3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；
②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)① ；②
【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
；
（3）解：① ，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE， ，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，；
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC ．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的
关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
（2022·山东潍坊·中考真题）【情境再现】
甲、乙两个含 角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O
顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接 ，如图③
所示， 交 于E， 交 于F，通过证明 ，可得 ．
请你证明： ．
【迁移应用】延长 分别交 所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明 与 的位置关系．
【拓展延伸】
小亮将图②中的甲、乙换成含 角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接 ，如图⑥所
示，其他条件不变，请你猜想并证明 与 的数量关系．
证明 ，即可得出结论；通过 ，可以求出 ，得
出结论 ；证明 ，得出 ，得出结论；
【答案】证明见解析；垂直；
【详解】证明： ，
，
，
，
，
，
；
迁移应用： ，
证明： ，
，
，
，
，
，
，
；
拓展延伸： ，证明：在 中， ，
在 中， ，
，
由上一问题可知， ，
，
，
．
本题考查旋转变换，涉及知识点：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、
等角的余角相等，解题关键结合图形灵活应用相关的判定与性质．
（2022·广西贵港·中考真题）已知：点C，D均在直线l的上方， 与 都是直线l的垂线段，且 在
的右侧， ， 与 相交于点O．
(1)如图1，若连接 ，则 的形状为______， 的值为______；
(2)若将 沿直线l平移，并以 为一边在直线l的上方作等边 ．
①如图2，当 与 重合时，连接 ，若 ，求 的长；
②如图3，当 时，连接 并延长交直线l于点F，连接 ．求证： ．（1）过点C作CH⊥BD于H，可得四边形ABHC是矩形，即可求得AC=BH，进而可判断△BCD的形状，
AC、BD都垂直于l，可得△AOC∽△BOD，根据三角形相似的性质即可求解．
（2）①过点E作 于点H，AC，BD均是直线l的垂线段，可得 ，根据等边三角形的性
质可得 ，再利用勾股定理即可求解．
②连接 ，根据 ，得 ，即 是等边三角形，把 旋转得
，根据30°角所对的直角边等于斜边的一般得到 ，则可得
，根据三角形相似的性质即可求证结论．
【答案】(1)等腰三角形，
(2)① ；②见解析
【详解】（1）解：过点C作CH⊥BD于H，如图所示：
∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，
∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°，
∴四边形ABHC是矩形，
∴AC=BH，
又∵BD=2AC，
∴AC=BH=DH，且CH⊥BD，
∴ 的形状为等腰三角形，
∵AC、BD都垂直于l，
∴ ，
∴△AOC∽△BOD，，即 ，
，
故答案为：等腰三角形， ．
（2）①过点E作 于点H，如图所示：
∵AC，BD均是直线l的垂线段，
∴ ，
∵ 是等边三角形，且 与 重合，
∴∠EAD=60°，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，AE=6
在 中， ，
又由（1）知 ，
∴ ，则 ，∴在 中，由勾股定理得： ．
②连接 ，如图3所示：
∵ ，
∴ ，
∵由（1）知 是等腰三角形，
∴ 是等边三角形，
又∵ 是等边三角形，
∴ 绕点D顺时针旋转 后与 重合，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
本题考查了矩形的判定及性质、三角形相似的判定及性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理的应用，
熟练掌握三角形相似的判定及性质和勾股定理的应用，巧妙借助辅助线是解题的关键．
1．（2022·山东济宁·校考二模）如图1，正方形 对角线 、 交于点 ， 、 分别为正方形边 、 上的点， 交于点 ，且 ， 为 中点．
(1)请直接写出 与 的数量关系
(2)若将 绕点 旋转到图2所示位置时，（1）中的结论是否成立，若成立请证明；若不成立，请说
明理由；
(3)若 ， 为 中点， 绕点 旋转过程中，直接写出点 与点 的最大距离______．
【答案】(1)
(2)成立，证明见解析
(3)
【思路分析】（1）如图1，连接 ，由正方形的性质可知， 是 的中点， ， ，
由 可知 为 的中点， 是等腰直角三角形，则 ，由N为 中点，可知 和
分别为 和 的中位线，根据中位线的性质可得 ， ，在 中，
由勾股定理可求得 ；
（2）如图2，连接 ，连接 、 交于点 ， 证明 ，则，
，在 中，由三角形内角和求得 ，则 ， 和 分别为
和 的中位线，根据中位线的性质可得 ， ，在 中，由勾股定
理可求得 ；
（3）由题意知， ， ，可知 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
如图3，由题意知，当 、 、 三点共线时， 取最大与最小值，根据二者的差为 的直径计算求解即可．
【详解】（1）解： ．
如图1，连接 ，
由正方形的性质得， 是 的中点， ， ，
∵ ，
∴ 为 的中点，且 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵N为 中点，
∴ 和 分别为 和 的中位线，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ．
（2）解：成立．
证明如下：如图2，连接 ，连接 、 交于点 ，由（1）知 ， ，
由正方形的性质得 ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，N为 中点，
∴ 和 分别为 和 的中位线，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ．
（3）解：由题意知， ， ，∴ 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，如图3，
由题意知，当 、 、 三点共线时， 取最大与最小值，且最大与最小的差为 的直径 ，
∴点M与点C的最大距离和最小距离的差为 ．
故答案为∶
2．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图1，在 中， ，过点A作直线 ，
使 ，过点B作 于点N，过点C作 于点M．
(1)猜想 与 的数量关系，并说明理由；
(2)求证： ；
(3)如图2，连接 交 于点G，若 ， ，求 的长．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)证明见解析
(3)【思路分析】（1）根据直角三角形两锐角互余得到 ，再由平角的定义得到
，由此即可推出结论；
（2）如图所示，过点C作 于D，证明 ， ，再证明
四点共圆，得到 ，进而证明 ，得到 ，由此即可证
明结论；
（3）如图所示，过点N作 于E，过点C作 于H，则四边形 是矩形，得到
，再由全等三角形的性质和三线合一定理得到， ，证明 ，推
出 ，利用勾股定理求出 ，证明 ，求出 , ，进而求出
，则 ．
【详解】（1）解： ，理由如下；
∵ ，即 ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图所示，过点C作 于D，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 四点共圆，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： 如图所示，过点N作 于E，过点C作 于H，则四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，∴ , ，
∴ ，
∴ ．
3．（2021·北京·一模）在正方形 中，点E在射线 上（不与点B、C重合），连接 ， ，将
绕点E逆时针旋转 得到 ，连接 ．
(1)如图1，点E在 边上．
①依题意补全图1；
②若 ， ，求 的长；
(2)如图2，点E在 边的延长线上，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)①见解析；②
(2) ，证明见解析
【思路分析】（1）①根据题意作图即可；
②过点F作 ，交 的延长线于H，证明 得到 ， ，则 ，在 中，利用勾股定理即可求解；
（2）过点F作 ，交 的延长线于H，证明 得到 ， ，则
， 和 都是等腰直角三角形，由此利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）①如图所示，即为所求；
②如图所示，过点F作 ，交 的延长线于H，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴在 中， ．（2）结论： ，理由如下：
过点F作 ，交 的延长线于H，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
4．（2021·安徽·统考三模）已知：在 中， ， ，且点 ， 分别在矩形 的
边 ， 上．(1)如图 ，当点 在 上时，求证： ；
(2)如图 ，若 是 的中点， 与 相交于点 ，连接 ，求证： ；
(3)如图 ，若 ， ， 分别交 于点 ， ，求证：
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)详见解析
【思路分析】 先用同角的余角相等，判断出 ，即可得出结论；
先判断出 ，得出 ， ，进而判断出 ，即可得出结论；
先判断出 ， ，进而判断出 ，得出 ，进而得出 ，
判断出 ，即可得出结论．
【详解】（1）证明： 四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，；
（2）证明：如图 ，延长 ， 相交于 ，
，
由 知， ，
，
点 是 的中点，
，
在 和 中，
，
， ，
，
，
，
；（3）证明：如图 ，过点 作 交 的延长线于 ，
，
同 的方法得， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，
，
．
5．（2022·江苏扬州·校考三模）在矩形 中， ，【问题发现】
(1)如图1，E为边 上的一个点，连接 ，过点C作 的垂线交 于点F，试猜想 与 的数量关
系并说明理由．
【类比探究】
(2)如图2，G为边 上的一个点，E为边 延长线上的一个点，连接 交 于点H，过点C作 的
垂线交 于点F，试猜想 与 的数量关系并说明理由．
【拓展延伸】
(3)如图3，点E从点B出发沿射线 运动，连接 ，过点B作 的垂线交射线 于点F，过点E作
的平行线，过点F作 的平行线，两平行线交于点H，连接 ，在点E的运动的路程中，线段
的长度是否存在最小值？ 若存在，求出线段 长度的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，理由见解析
(2) ，理由见解析
(3)存在， 长度的最小值为
【思路分析】（1）证明 ，即可得解；
（2）过点 作 的垂线交 于点 ，证明 ，即可得解；
（3）过点 作 于点 ，连接 ，则四边形 是矩形，证明 ，得出
，根据 ，可得 ，得出 在 上运动，当
时， 最小，进而求得 ，根据 ，即可求解．【详解】（1）解： ，理由如下：
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
过点 作 的垂线交 于点 ，如图所示：
则四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
（3）存在，理由如下，
如图，过点 作 于点 ，连接 ，则四边形 是矩形，
∵
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 在 上运动，
∴当 时， 最小，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，
即 长度的最小值为 ．
6．（2022·山东济南·模拟）如图 ，已知 为 的直径，点 为 的中点，点 在 上，连接 、
、 、 、 与 相交于点 ．
(1)求证： ；
(2)如图2，过点C作 的垂线，分别与 ， ， 相交于点F、G、H，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接 ，若 ， 的面积等于3，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【思路分析】（1）连接 ，由 ，推出 ，由 ，
，推出 ， ，推出 ；
（2）只要证明 ，即可推出 ；
（3）由 ，推出 ，由 ，推出 ， 是等腰直角三角形，推出 ，在 中， ，作 于N，在 中，
由 ，推出 ，设 ， ，由
，推出 ，推出 ，推出
， ，由 ，推出 ，过G作 于
Q，在 中， ，设 ， ， ，可得 ，得 ，再根据
即可解决问题．
【详解】（1）证明：连接 ，如图所示：
在 中，∵C为 的中点，
∴
∴ ，
∵由 ， ，
∴ ， ，
∴ ．
（2）证明：连接 ，如图所示：∵ 是直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵在 和 中 ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：作 于M， 于K，如图所示：
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
在 中， ，作 于N，
在 中，∵ ，
∴ ，
设 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
过G作 于Q，
在 中， ，设 ， ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
