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专题 18 解直角三角形（10 个高频考点）（强化训练）
【考点1 锐角三角函数的定义】
1．（2022·山东济南·山东省实验初级中学校考模拟预测）在正方形网格中，△ABC在网格中的位置如图，
则cosB的值为（ ）
√5 2√5 1
A． B． C． D．2
5 5 2
2．（2022·吉林长春·校考二模）如图是一架人字梯，已知AB=AC，AC与地面BC的夹角为α，两梯脚之
间的距离BC=8米，则线段AB长为（ ）
4
A．4cosα B．4sinα C．4tanα D．
cosa
3．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格
点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（ ）2√13 3√13 2 √5
A． B． C． D．
13 13 3 3
4．（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=√5，点D是AC上一点，
1 1
连接BD．若tan∠A= ，tan∠ABD= ，则CD的长为（ ）
2 3
A．2√5 B．3 C．√5 D．2
5．（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光
线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
m m
A．m(cosα−sinα) B．m(sinα−cosα) C．m(cosα−tanα) D． −
sinα cosα
【考点2 锐角三角函数的增减性】
6．（2022·浙江绍兴·统考一模）已知△ABC是锐角三角形，若AB>AC，则（ ）
A．sinA<sinB B．sinB<sinC C．sinA<sinC D．sinC<sinA1
7．（2022·浙江金华·校联考一模）若∠A是锐角，且sinA＝ ，则（ ）
3
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
8．（2022·山东临沂·统考一模）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L =L⋅cosα，阻力臂
1
L =l⋅cosβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化
2
情况是（ ）
A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定
9．（2022·浙江宁波·统考一模）红领巾的形状是等腰三角形，底边长为100厘米，腰长为60厘米，则底角
（ ）
A．小于30° B．大于30°且小于45°C．等于30° D．大于45°且小于60°
√3
10．（2022·四川成都·统考一模）已知 ＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是_________
2
【考点3 同角三角函数的关系】
1 cosα
11．（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知α为锐角， cosα= ，求tanα− 的值．
3 1−sinα
12．（2022·广东·九年级统考竞赛）现有如下信息：（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分
√5−1
割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为 ；（2）黄
2
金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形；（3）有一个内角为36°的等
腰三角形为黄金三角形．由上述信息可求得sin126°=______．
13．（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知α，β都是锐角，且α+β=90°，sinα+cosβ=√3，
则α=________．
14．（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）化简：√1−2sinα⋅cosα（其中0°≤α<90°）
=___________．
15．（2022秋·安徽亳州·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别∠A，∠B，∠C
的对边．(1)求sin2A+sin2B的值；
(2)填空：当α为锐角时，sin2α+sin2(90°−α)=______；
(3)利用上述规律，求下列式子的值：sin21°+sin22°+sin23°+⋅⋅⋅+sin289°．
【考点4 互余两角三角函数的关系】
1
16．（2022·浙江杭州·统考二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= ，则sinB=______．
3
17．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，在Rt ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：
①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④s△inα=cosβ.其中正确的结论有_____.
7
18．（2022·四川内江·统考一模）在△ABC中，已知∠C=90°，sinA+sinB= ，则sinA−sinB =___．
5
19．（2012·湖南衡阳·中考真题）观察下列等式
1 1
①sin30°= cos60°=
2 2
√2 √2
②sin45°= cos=45°=
2 2
√3 √3
③sin60°= cos30°=
2 2
…
根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）= ．
20．（2022·湖南娄底·统考中考真题）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为
了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形ABCD表示一个“鱼骨”，AB平行于车辆前行方
向，BE⊥AB,∠CBE=α，过B作AD的垂线，垂足为A′（A点的视觉错觉点），若
sinα=0.05,AB=300mm，则A A′=________mm．【考点5 特殊角的三角函数】
21．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）定义一种运算；sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，
sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ．例如：当α=45°，β=30°时，sin(45°+30°)=
√2 √3 √2 1 √6+√2
× + × = ，则sin15°的值为_______．
2 2 2 2 4
22．（2022·浙江杭州·杭州绿城育华学校校考模拟预测）已知α为锐角，若√3tan2α−4tanα+√3=0，则
α的度数为______ ．
23．（2022·四川自贡·校考一模）在 中，若| √3| (1 ) 2 ， ， 都是锐角，
△ABC sin A− + −cosB =0 ∠A ∠B
2 2
则△ABC是______三角形．
24．（2022·辽宁丹东·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点A(−4,0)，B(2,0)，点M是y轴上的一个
动点，当∠BMA=30°时，点M的坐标为________．
25．（2022·上海静安·统考一模）计算：√cos230°−sin230°+
(cot45°−sin45°) 2
．
tan45°
【考点6 解直角三角形】
26.（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，△ABC中，分别以AB、AC为底边向外作
等腰△ABD和等腰△AEC，连接DE，点F为BC的中点，连接EF并延长交DB的延长线于点G，
15 4
DE= FG，DG=4√10，若∠G+∠DAE−∠CEF=180°，tan∠DEG= ，则tan∠EDG的值为
4 3
______．27.（2022·辽宁丹东·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分
∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．
(1)请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
3
(2)若sin∠ECD＝ ，CE＝5，求⊙O的半径．
5
28.（2022·上海·统考中考真题）一个一次函数的截距为1，且经过点A（2，3）．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的值．
29.（2022·山东烟台·统考中考真题）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请
BD
直接写出 的值．
CE
AB AD 3
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且 ＝ ＝ ．连
BC DE 4
接BD，CE．BD
①求 的值；
CE
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
5
30.（2023·上海静安·统考一模）如图，已知在△ABC中，∠B为锐角，AD是BC边上的高，cosB= ，
13
AB=13,BC=21．
(1)求AC的长；
(2)求∠BAC的正弦值．
【考点7 解直角三角形的应用之仰角俯角问题】
31．（2022·湖北黄石·统考中考真题）某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高
度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部
的俯角为60°，则旗杆的高度约为________m．（参考数据：√3≈1.732，结果按四舍五八保留一位小数）
32．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）如图，校园内有一株枯死的大树AB，距树12米处有一栋教学楼
CD，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶D处，测得点B的仰角为45°，点A的俯角为30°，小青计算
后得到如下结论：①AB≈18.8米；②CD≈8.4米；③若直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对
教学楼有影响；④若第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼CD造成危害.其中正确的是
_______．（填写序号，参考数值：√3≈1.7，√2≈1.4）33．（2022·海南·统考中考真题）无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼
的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知
楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为
30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
(1)填空：∠APD=___________度，∠ADC=___________度；
(2)求楼CD的高度（结果保留根号）；
(3)求此时无人机距离地面BC的高度．
34．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）“一去紫台连朔漠，独留青冢向黄昏”，美丽的昭君博物院
作为著名景区现已成为外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地．如图，为测量景区中一座雕像AB的高度，
某数学兴趣小组在D处用测角仪测得雕像顶部A的仰角为30°，测得底部B的俯角为10°．已知测角仪CD
与水平地面垂直且高度为1米，求雕像AB的高．（用非特殊角的三角函数及根式表示即可）35．（2022·四川宜宾·统考中考真题）宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新
建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼
的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B
处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：√3≈1.7，√2≈1.4）
【考点8 解直角三角形的应用之方位角问题】
36．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）如图为某景区五个景点A，B，C，D，E的平面示意图，B在A的正东
方向，D在A的北偏东60°方向上，与A相距300米，E在D的正东方向140米处，C在A的北偏东45°方
向上，C，E均在B的正北方向．
(1)求景点B，E之间的距离；
(2)求景点A，C之间的距离．（结果保留根号）
37．（2022·重庆·统考二模）一天，爸爸带着他的一儿一女去海边玩，爸爸和哥哥在距海岸线（抽象为直
线l）一定距离的A处休息，妹妹带上游泳圈在距海岸线40米的B处游泳．过了一会儿，海浪逐渐变大，
妹妹由于过度紧张，无法继续游动，只好在B处呼救，爸爸和哥哥听到妹妹呼救，立刻起身．情急之下，哥哥沿AB方向奔跑，由E处下海，沿EB游向妹妹；爸爸沿AD方向奔跑，由D处下海，再沿DB游向妹
妹．如图所示，BD⊥l于点D，点B在点A北偏西37°方向，点D在点A北偏西60°方向，A、E、B三点共
线．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，√3≈1.73）
(1)求点A到海岸线的距离（结果精确到0.1米）；
(2)若爸爸和哥哥在沙滩上奔跑的速度均为2m/s，在水中游泳的速度均为0.5m/s，请用数据说明，爸爸和哥
哥谁先到达妹妹身边？
38．（2022·重庆·西南大学附中校考三模）北京冬奥会的成功举办，点燃了小明和小代的健身热情，两人
立即制定好计划积极投入到健身中，如图，小明家住在A地，小代家住在B地，健身馆在C地，在A处测
得健身馆C在A的北偏东15°方向上，在B处测得健身馆C在B的北偏西45°方向上，B在A的北偏东60°
方向上．某天小明和小代分别从自己家出发到C地健身，他们约定先在AC上的D处汇合，小明沿着AC
方慢跑，小代沿着正西方向以180m/min的速度跑了5分钟到D．（参考数据：√3≈1.73，√2≈1.41，
√6≈2.45）
(1)求小明家A到小代家B的距离；（结果精确到0.1m）
(2)他们在D处汇合的时间恰好为13：57，若他们要在预定的14：00到达健身馆C，请问他们汇合之后的
速度至少应为多少？
39．（2022·湖南怀化·统考模拟预测）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上，C村在B村的
正东方向且两村相距2.4千米．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是
否穿过纪念园？试通过计算加以说明． （参考数据：√3≈1.73，√2≈1.41）
40．（2022·四川达州·统考一模）深圳是沿海城市，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自然灾害，
它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力．某次，据气象观察，距深圳正南
200千米的处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心30千米，风力就会减弱一级，该台
风中心正以20千米/时的速度沿北偏东43°方向向移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力达到或超过
六级，则称受台风影响．
（1）此次台风会不会影响深圳？为什么？
（2）若受到影响，那么受到台风影响的最大风力为几级？
3
（3）若受到影响，那么此次台风影响深圳共持续多长时间？（结果可带根号表示）（sin43°≈ ，cos42°≈
4
29 9
，tan42°≈ ）
40 10
【考点9 解直角三角形的应用之坡度坡比问题】
41．（2022·贵州毕节·统考中考真题）如图，某地修建一座高BC=5m的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为
1:√3，则斜坡AB的长度为（ ）A．10m B．10√3m C．5m D．5√3m
42．（2022·山东济南·统考一模）如图，为了测量某建筑物BC 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与
建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走100米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续
前行若干米到点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为59°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、
4
C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i=1: ．根据以上数据，计算出建筑物BC的高度约为（结果精
3
确到1．参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）（ ）
A．158米 B．161米 C．159米 D．160米
43．（2022·内蒙古·中考真题）在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C
处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已
3
知山坡坡度i=3:4，即tanθ= ，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．（结果精确到0.1m，参考数据：
4
√3≈1.732）44．（2022·宁夏·中考真题）2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影
近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方
向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为(4,12)，着陆坡顶端C与落地点D
CE 3
的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i=3:4（即 = ）．求：
DE 4
(1)点A的坐标；
(2)该抛物线的函数表达式；
(3)起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）（参考数据：√3≈1.73）
45．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯
共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖
边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结
果精确到1）
（参考数据表）
计算结果（已精
计算器按键顺序
确到0.001）
11.310
0.00314.744
0.005
【考点10 解直角三角形应用之其他问题】
46．（2022·山东威海·模拟预测）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降
低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33° 到40° 之间时
（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．
(1)小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3．5米，
小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果
精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54 ，tan33°≈0.65 ，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84 ，
sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）
(2)由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价
比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今
年这款激光电视每台的售价是多少元？
47．（2022·浙江绍兴·一模）如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AO可以绕点O旋转一定的
角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线AB与水平线BC垂直时(如图②)，人观看屏幕最舒适．此
时测得∠BAO=15°，AO=30cm，∠OBC=45°，求AB的长度．(结果精确到0.1 cm)（参考数据：
sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268，√2≈1.414）48．（2022·广东广州·校考二模）C919大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣．如图是某校
航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD,AM∥BN∥ED,AE⊥DE，
其中AB=17cm,ED=25cm，求出线段BE和CD的长．
（sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75，结果保留小数点后两位）
49．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防
雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后
系在树干EF上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，
AC=AD=2m，BF=3m．
(1)天晴时打开“天幕”，若∠α=65°，求遮阳宽度CD（结果精确到0.1m）；
(2)下雨时收拢“天幕”，∠α从65°减少到45°，求点E下降的高度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，√2≈1.41）
50．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度
（结果保留小数点后一位，√3≈1.7）.
