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专题 05 尺规作图（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．利用尺规作一个任意三角形的内心P，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内心有关应用、作角平分线(尺规作图)
【分析】三角形三个内角的角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心，这个点也是这个三角
形内切圆的圆心，三角形内心到三角形三条边的距离相等．
【详解】解：根据内心定义，利用尺规作三角形三个内角的角平分线，
即选项B符合题意，选项A、C、D均不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查尺规作图—角平分线，涉及三角形的内心，是重要考点，难度较易，掌握相关知
识是解题关键．
2．如图，在△ABC中，∠BAC=80°，∠ACB=70°．根据图中的尺规作图痕迹，下列说法中错
误的是（ ）1
A．BE=EC B．DE= BD C．∠BAQ=40° D．∠EQF=30°
2
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质、作角平分线(尺规作图)、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的
性质，直角三角形的性质等知识．根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的
性质，直角三角形的性质判断即可．
【详解】解：A、由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，故选项A正确，不符合题意；
B、由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，
∴∠DEB=90°，
∵∠BAC=80°，∠ACB=70°，
∴∠B=30°，
1
∴DE= BD，
2
故选项B正确，不符合题意；
C、由作图可知，AQ平分∠BAC，
1
∴∠BAQ=∠CAQ= ∠BAC=40°，
2
故选项C正确，不符合题意；
D、∵∠EFQ=∠AFC=70°，∠QEF=90°，
∴∠EQF=20°；
故选项D错误，符合题意．
故选：D．
3．在△ABC中，AB=AC．尺规作图要求：Ⅰ．作AC边的平行线；Ⅱ．作线段AB的垂直平分线；
Ⅲ．作顶角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图痕迹：其中配对正确的是（ ）
A．①—Ⅲ，②—Ⅱ，③—Ⅰ B．①—Ⅰ，②—Ⅲ，③—Ⅱ
C．①—Ⅱ，②—Ⅰ，③—Ⅲ D．①—Ⅲ，②—Ⅰ，③—Ⅱ
【答案】D
【知识点】尺规作一个角等于已知角、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性
质和判定
【分析】本题考查等腰三角形的三线合一、尺规作角平分线、线段的垂直平分线、作平行线等知识，
根据等腰三角形性质、基本尺规作图方法逐个验证即可得到答案，熟练掌握尺规作角平分线、线段
的垂直平分线、作平行线的方法是解决问题的关键．
【详解】解：以AB为直径画圆，
∵等腰三角形的底角一定是锐角，则圆与BC有两个交点，据直径所对的圆周角为直角，可作得底边
上的高，即顶角的平分线，
∴①—Ⅲ；
根据②的作图痕迹可知，是作AC边的平行线，故②—Ⅰ；
根据③的作图痕迹可知，是作线段AB的垂直平分线，故③—Ⅱ；
故选：D．
1
4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°．分别以点A，C为圆心，大于 AC的长为半径作弧，
2
两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为半径作弧，交
BC于点H，连结AG，AH．则下列说法错误的是（ ）
A．AG=CG B．AH=2FGS
C．∠B=2∠HAB D． △AGB =√5−1
S
△AGC
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、与三角形中位线有关的证明、作垂线(尺规作图)、线段
垂直平分线的性质
【分析】根据基本作图得到DE垂直平分AC，GH=GC，根据线段垂直平分线的性质对A选项进行
判断；证明FG为ΔACH的中位线，利用中位线的性质判定B选项；由FG∥AH， AH⊥AC，
可计算出∠HAB=18°，则∠B=2∠HAB，可对C选项进行判断；通过证明ΔCAG∽ΔCBA，利
用相似比得到C A2=CG⋅CB，然后利用AB=GB=AC，设BC=x，AB＝GB＝AC＝a，得
√5−1 BG √5+1
a2=(x−a)x，解之得x= a，再计算出 = 可对D选项进行判断．
2 CG 2
【详解】解：由作法得DE垂直平分AC，GH=GC，
∴AF=CF，GF⊥AC，GC=GA，所以A选项正确，不符合题意；
∵CG=GH，CF=AF，
∴FG是△ACH的中位线，
∴FG∥AH，AH=2FG，所以B选项正确，不符合题意；
∴AH⊥AC，
∴∠CAH=90°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=36°，
∵∠BAC=180°−∠B−∠C=108°，
∴∠HAB=108°−∠CAH=18°，
∴∠B=2∠HAB，所以C选项正确，不符合题意；
∵GC=GA，
∴∠C=∠GAC=36°，
∴∠BGA=∠C+∠GAC=72°，
∴∠BAG=180°−∠B−∠BGA=72°，
∴BG=BA，
∴AB＝GB＝AC．
∵∠GCA=∠ACB，∠CAG=∠B，
∴ΔCAG∽ΔCBA，
∴CG:CA=CA:CB，
∴C A2=CG⋅CB，设BC=x，AB＝GB＝AC＝a，得a2=(x−a)x，
1+√5
解之得x= a（负舍），
2
1+√5
∴BC= a，
2
1+√5 √5−1
∴CG=BC−BG= a−a= a，
2 2
BG a √5+1
= =
CG √5−1 2 ，
a
2
S BG √5+1
∴ △AGB = = ．
S CG 2
△AGC
所以D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，三角形
中位线的性质．熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
5．如图，已知△ABC中，根据尺规作图痕迹及图上数据，则线段BC的长可能为（ ）
A．1 B．2 C．7 D．10
【答案】C
【知识点】作垂线(尺规作图)、确定第三边的取值范围
【分析】由题意可得：MN是AC的垂直平分线，可得AC=6，然后根据三角形的三边关系即可得
到BC的范围，即可求解.
【详解】解：如图，由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
∴AC=2AD=6，
∵6−4AB>2，点D，E分别在边AB，AC上，且BD=CE=2，连接DE，点M是DE
的中点，点N是BC的中点，求MN的长．
李明同学思考后没有思路，然后与王磊，刘威同学一起讨论，他们得到两个共识：①肯定要用到延
长过中点的线段的技巧；②要把已知的边，角构造在同一三角形中，并与MN关联，刘威去尝试了
一下，发现只要倍长线段DN，问题便迎刃而解，你不妨试一试：
(1)连接DN并延长至F，使得FN=DN，连接CF；
(2)求线段MN的长．
【答案】(1)见解析
(2)√3
【知识点】解直角三角形的相关计算、与三角形中位线有关的求解问题、全等三角形综合问题、作
线段(尺规作图)
【分析】（1）按尺规作图方法工整作图即可；
（2）先证明△BDN≌△CFN，再利用勾股定理解直角△CEG， 最后用中位线的性质即可．
【详解】（1）如图所示：
（2）连接EF，过点C作CG⊥EF于点G．由（1）得DN=NF，∠DNB=∠FNC，BN=NC，∴△BDN≌△CFN，
∴∠B=∠FCN，BD=CF=2，DN=NF，∠FGC=90°，∴AB∥CF，
∵∠A=60°，∠ECF=180°−∠A =180°−60°=120°，
又CE=CF=2，∴∠CEG=30°，EF=2EG，
∴CG=1，EG=√3，∴EF=2√3，
1
又M为DE的中点，DN=NF，∴MN= EF=√3．
2
【点睛】本题考查了尺规作图，全等的判定与性质，平行线的判定与性质，解直角三角形，中位线
定理等，作辅助线和严格的逻辑思维能力是解题的关键．
38．如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中，A、B为格点，M为AB与网格横线的交
点，请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列画图，过程线用虚线，结果线用实线．
(1)在图1中找格点C、D，使四边形ABCD是菱形；
(2)在图1中画点M关于直线AC的对称点M′；
(3)在图2中找格点C，使四边形BCNM为矩形；
(4)在图2中画MN的垂直平分线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【知识点】无刻度直尺作图、证明四边形是正方形、勾股定理与网格问题、线段垂直平分线的判定
【分析】（1）根据勾股定理求出AB的长，将线段AB向右平移5个单位长度的到线段CD，连接
AD,BC，即可得到菱形ABCD；
（2）连接DM交AC于点P，连接BP并延长，交AD于点M′，点M′即为所求；
（3）作以AB，BC为边的正方形，再构造矩形BCNM即可；
（4）取正方形的边BC和AD的中点，连接两个中点形成的直线即为MN的垂直平分线．
【详解】（1）解：由勾股定理得：AB=√32+52=5，将线段AB向右平移5个单位长度的到线段CD，连接AD,BC，即可得到菱形ABCD，如图所示：
（2）解：连接DM交AC于点P，连接BP并延长，交AD于点M′，点M′即为所求，如图所示：
∵菱形ABCD，
∴AD=AB,∠BAC=∠DAC，
∵AP=AP，
∴△APB≌△APD(SAS)，
∴∠ABP=∠ADP，
∵AB=AD,∠BAD=∠DAB，
∴△BAM′≌△DAM(ASA)，
∴AM=AM′，
又∠MAC=∠M′ AC，
∴AC垂直平分M M′，
即：点M关于直线AC的对称点为点M′；
（3）解：作以AB，BC为边的正方形ABCD，过点M作MN∥BC，交CD于点N，则矩形BCNM，
即为所求，如图所示：（4）如图，取格点E,F，连接EF交AD于点P，取格点K,L，连接KL交BC于点Q，则P,Q为正
方形的边AD和BC的中点，连接PQ形成的直线即为MN的垂直平分线．如图所示：
∵AE=DF=3,AE∥DF，
∴∠E=∠F,∠EAD=∠FDP，
∴△APE≌△DPF(ASA)，
∴AP=PD，
∴P为AD的中点，
同法可得：Q为BC的中点，
1 1
∴AP= AD= BC=BQ，
2 2
∵AP∥PQ,∠ABC=90°，
∴四边形APBQ为矩形，
∴PQ⊥BC，
∵BC∥MN，
∴PQ⊥MN，
设PQ与MN交于点H，则：四边形BQHM为矩形，
1 1
∴MH=BQ= BC= MN，
2 2
∴PQ是MN的中垂线．【点睛】本题考查无刻度直尺作图．同时考查了菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三
角形的判定和性质，矩形判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
39．如图1和图2，Rt△ABC和Rt△≝¿中，∠B=∠≝=90°，AB=20，BC=15，DF=15，
DE=12．点D，E分别在AB，AC边上滑动，点F在DE的右侧，当DF与AC相交时，交点记为
P．
(1)EF的长为 ，EP的最小值为 ；
(2)如图1，当DP=12时，请证明AP=AD；
(3)如图2，
①尺规作图：过点A做直线DF的垂线AN，垂足为点N (保留作图痕迹，不写作图过程)；
②若AM垂直平分DE，求AN的长；
(4)直接写出点A与点F的最大距离．
36
【答案】(1)9；
5
(2)见解析
(3)①见解析；②AN的长为18
(4)10+5√13
【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、求特殊三角形外接圆的半径、相似三角形的
判定与性质综合
【分析】（1）利用勾股定理求出EF的长，再由垂线段最短得到当EP⊥DF时，EP有最小值，即
可解答；
（2）先证明△≝∽△ABC得到∠EDF=∠BAC，再推出△PDE∽△PAD即可得出结论；
（3）①按照要求用尺规作图作出直线DF的垂线AN即可；②延长ED交AN延长线于点G，先利用
全等三角形AAS判定定理推出△AME≌△∧¿，得到AM=AN，再利用△≝∽△DNG求出MG、NG
的长，最后利用△DGN∽△AGM求出AM的长即可；
（4）作△ADE的外接圆，记圆心为O，作OP⊥DE交DE于点P，连接OA、OE、OD，利用外接
圆的性质及相似三角形的性质求出圆的半径，再作FH⊥OP交OP延长线于H，连接OF，利用矩
形的性质和勾股定理求出OF的长，最后利用两点之间线段最短性质即可求出点A与点F的最大距离．
【详解】（1）解：在Rt△≝¿中，DE2+EF2=DF2，∴EF=√DF2−DE2=√152−122=9，
∵当DF与AC相交时，交点记为P，
∴由垂线段最短得，当EP⊥DF时，EP有最小值，
∴此时EP为△≝¿的高，
∵S
1 1 ，
△≝¿= ⋅DE⋅EF= ⋅DF⋅EP¿
2 2
DE⋅EF 12×9 36
∴EP= = = ．
DF 15 5
36
故答案为：9； ．
5
（2）证明：∵AB=20，BC=15，DE=12，EF=9，
EF 9 3 DE 12 3
∴ = = ， = = ，
BC 15 5 AB 20 5
EF DE
∴ = ，
BC AB
又∵∠≝=∠B=90°，
∴△≝∽△ABC，
∴∠EDF=∠BAC，
又∵∠EPD=∠DPA，
∴△PDE∽△PAD，
DP DE
∴ = ，
AP AD
AD DE
∴ = ，
AP DP
∵DP=12，DE=12，
∴DP=DE，
AD DE
∴ = =1，
AP DP
∴AP=AD．
（3）解：①如图所示，垂线AN即为所求；②如图，延长ED交AN延长线于点G，
∵AM DE
垂直平分 ，
1
∴EM=MD= DE=6，∠AMD=90°，AE=AD，
2
由作图可得，AN⊥DF，
∴∠∧=90°，
∵∠MAN+∠∧+∠MDN+∠AMD=360°，
∴∠MAN+∠MDN=360°−2×90°=180°，
∵∠EDF+∠MDN=180°，
∴∠MAN+∠MDN=∠EDF+∠MDN，
∴∠MAN=∠EDF，
由（2）中的结论有，∠EDF=∠BAC，
∴∠BAC=∠MAN，
即∠EAM+∠MAD=∠DAN+∠MAD，
∴∠EAM=∠DAN，
又∵∠AME=∠∧=90°，AE=AD，
∴△AME≌△∧¿，
∴AM=AN，DN=EM=6，
∵∠DNG=∠≝=90°，∠EDF=∠NDG，
∴△≝∽△DNG，
EF DF DE 12
∴ = = = =2，
NG DG DN 6
1 9 1 15
∴NG= EF= ，DG= DF= ，
2 2 2 2
15 27
∴MG=MB+BG=6+ = ，
2 2
∵∠DNG=∠AMG=90°，∠DGN=∠AGM，
∴△DGN∽△AGM，9
DN NG 6 2
∴ = ，即 = ，
AM MG AM 27
2
解得：AM=18，
∴AN=AM=18，
∴AN的长为18．
（4）解：作△ADE的外接圆，记圆心为O，作OP⊥DE交DE于点P，连接OA、OE、OD，
∵圆O是△ADE的外接圆，
1
∴OA=OD=OE，∠DAE= ∠DOE，
2
∵OP⊥DE，
1
∴DP=EP= DE=6，OP平分∠DOE，
2
1
∴∠EOP= ∠DOE=∠DAE，
2
又∵∠OPE=∠ABC=90°，
∴△OPE∽△ABC，
OP EP OP 6
∴ = ，即 = ，
AB BC 20 15
解得：OP=8，
∴OE=√OP2+PE2=√82+62=10，即圆O的半径为10，
作FH⊥OP交OP延长线于H，连接OF，则∠H=90°，
又∵∠≝=90°，∠EPH=90°，
∴四边形EFHP是矩形，
∴FH=EP=6，PH=EF=9，
∴OH=OP+PH=8+9=17，
在Rt△OFH中，OF=√FH2+OH2=√62+172=5√13，
由两点之间线段最短性质得，AF≤OA+OF，
∴AF≤10+5√13，
∴点A与点F的最大距离为10+5√13．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定、尺规作图、三角形的外接圆、勾股定理、全等三角
形的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，学会添加适当的辅助线构造相似三角
形，利用勾股定理求线段长度，利用三角形外接圆的性质求最值是解题的关键，本题属于几何综合
题，适合几何知识储备较强，有能力解决几何难题的学生．
40．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A的切线交BC的延长线于点D，E是⊙O
上一点，点C,E分别位于直径AB异侧，连接AE,BE,CE，且∠ADB=∠DBE．
(1)尺规作图：过C点作AB的垂线，交AB于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
2
(2)若tan∠ABC= ，AE=5，求CE的长．
3
【答案】(1)见详解
(2)3√13
【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计
算
【分析】（1）按照做垂线的方法过点C作AB的垂线交AB与点F即可．
（2）连接CO，由同弧所对的圆周角相等得出∠ABD=∠AEC，由直径所对的圆周角等于90°以
及切线的定义即可得出∠ADB+∠ABD=90°，∠AEC+∠CEB=90°，结合已知条件可得出
CF OC OF 1
CE=CB，再进一步证明△CFO∽△BEA，由相似三角形的性质可得出 = = = ，结合
BE AB AE 2
5 5
已知条件设CF=2x，则BE=4x，BF=3x，OF= ，OB=3x− ，由勾股定理得出x的值，进
2 2
一步即可得出CF=6，BF=9，再利用勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）如图：CF即为所求：（2）连接CO，
∵AC=AC
∴∠ABD=∠AEC，
∵AB是⊙O的直径，AD为⊙O的切线，
∴AD⊥AB，∠AEB=90°，
∴∠ADB+∠ABD=90°，∠AEC+∠CEB=90°，
∴∠ADB=∠CEB，
∵∠ADB=∠DBE，
∴∠CEB=∠DBE，
∴CE=CB，
∵OB=OC，
∴∠ABC=∠OCB，
∵CF⊥AB，
∴CF∥AD，∠CFO=90°，
∴∠D=∠FCB，
∵∠D=∠EBC，
∴∠FCB=∠EBC，
即∠ABC+∠ABE=∠OCB+∠FCO，
∴∠ABE=∠FCO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴△CFO∽△BEA
CF OC OF 1
∴ = = = ，
BE AB AE 2
设CF=2x，则BE=4x，
2
∵tan∠ABC=
3
∴BF=3x，
∵AE=5，5
∴OF= ，
2
5
∴OB=OC=BF−OF=3x− ，
2
在Rt△CFO中，∠CFO=90°，
( 3x− 5) 2 = (5) 2 +(2x) 2
2 2
解得：x=3，
∴CF=6，BF=9，
在Rt△BFC中，∠BFC=90°
BC=√CF2+BF2=3√13
∴CE=BC=3√13．
【点睛】本题考查作图一复杂作图，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定
和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
