专题 05 尺规作图（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．利用尺规作一个任意三角形的内心P，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内心有关应用、作角平分线(尺规作图)
【分析】三角形三个内角的角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心，这个点也是这个三角
形内切圆的圆心，三角形内心到三角形三条边的距离相等．
【详解】解：根据内心定义，利用尺规作三角形三个内角的角平分线，
即选项B符合题意，选项A、C、D均不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查尺规作图—角平分线，涉及三角形的内心，是重要考点，难度较易，掌握相关知
识是解题关键．
2．如图，在△ABC中，∠BAC=80°，∠ACB=70°．根据图中的尺规作图痕迹，下列说法中错
误的是（ ）1
A．BE=EC B．DE= BD C．∠BAQ=40° D．∠EQF=30°
2
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质、作角平分线(尺规作图)、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的
性质，直角三角形的性质等知识．根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的
性质，直角三角形的性质判断即可．
【详解】解：A、由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，故选项A正确，不符合题意；
B、由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，
∴∠DEB=90°，
∵∠BAC=80°，∠ACB=70°，
∴∠B=30°，
1
∴DE= BD，
2
故选项B正确，不符合题意；
C、由作图可知，AQ平分∠BAC，
1
∴∠BAQ=∠CAQ= ∠BAC=40°，
2
故选项C正确，不符合题意；
D、∵∠EFQ=∠AFC=70°，∠QEF=90°，
∴∠EQF=20°；
故选项D错误，符合题意．
故选：D．
3．在△ABC中，AB=AC．尺规作图要求：Ⅰ．作AC边的平行线；Ⅱ．作线段AB的垂直平分线；
Ⅲ．作顶角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图痕迹：其中配对正确的是（ ）
A．①—Ⅲ，②—Ⅱ，③—Ⅰ B．①—Ⅰ，②—Ⅲ，③—Ⅱ
C．①—Ⅱ，②—Ⅰ，③—Ⅲ D．①—Ⅲ，②—Ⅰ，③—Ⅱ
【答案】D
【知识点】尺规作一个角等于已知角、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性
质和判定
【分析】本题考查等腰三角形的三线合一、尺规作角平分线、线段的垂直平分线、作平行线等知识，
根据等腰三角形性质、基本尺规作图方法逐个验证即可得到答案，熟练掌握尺规作角平分线、线段
的垂直平分线、作平行线的方法是解决问题的关键．
【详解】解：以AB为直径画圆，
∵等腰三角形的底角一定是锐角，则圆与BC有两个交点，据直径所对的圆周角为直角，可作得底边
上的高，即顶角的平分线，
∴①—Ⅲ；
根据②的作图痕迹可知，是作AC边的平行线，故②—Ⅰ；
根据③的作图痕迹可知，是作线段AB的垂直平分线，故③—Ⅱ；
故选：D．
1
4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°．分别以点A，C为圆心，大于 AC的长为半径作弧，
2
两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为半径作弧，交
BC于点H，连结AG，AH．则下列说法错误的是（ ）
A．AG=CG B．AH=2FGS
C．∠B=2∠HAB D． △AGB =√5−1
S
△AGC
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、与三角形中位线有关的证明、作垂线(尺规作图)、线段
垂直平分线的性质
【分析】根据基本作图得到DE垂直平分AC，GH=GC，根据线段垂直平分线的性质对A选项进行
判断；证明FG为ΔACH的中位线，利用中位线的性质判定B选项；由FG∥AH， AH⊥AC，
可计算出∠HAB=18°，则∠B=2∠HAB，可对C选项进行判断；通过证明ΔCAG∽ΔCBA，利
用相似比得到C A2=CG⋅CB，然后利用AB=GB=AC，设BC=x，AB＝GB＝AC＝a，得
√5−1 BG √5+1
a2=(x−a)x，解之得x= a，再计算出 = 可对D选项进行判断．
2 CG 2
【详解】解：由作法得DE垂直平分AC，GH=GC，
∴AF=CF，GF⊥AC，GC=GA，所以A选项正确，不符合题意；
∵CG=GH，CF=AF，
∴FG是△ACH的中位线，
∴FG∥AH，AH=2FG，所以B选项正确，不符合题意；
∴AH⊥AC，
∴∠CAH=90°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=36°，
∵∠BAC=180°−∠B−∠C=108°，
∴∠HAB=108°−∠CAH=18°，
∴∠B=2∠HAB，所以C选项正确，不符合题意；
∵GC=GA，
∴∠C=∠GAC=36°，
∴∠BGA=∠C+∠GAC=72°，
∴∠BAG=180°−∠B−∠BGA=72°，
∴BG=BA，
∴AB＝GB＝AC．
∵∠GCA=∠ACB，∠CAG=∠B，
∴ΔCAG∽ΔCBA，
∴CG:CA=CA:CB，
∴C A2=CG⋅CB，设BC=x，AB＝GB＝AC＝a，得a2=(x−a)x，
1+√5
解之得x= a（负舍），
2
1+√5
∴BC= a，
2
1+√5 √5−1
∴CG=BC−BG= a−a= a，
2 2
BG a √5+1
= =
CG √5−1 2 ，
a
2
S BG √5+1
∴ △AGB = = ．
S CG 2
△AGC
所以D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，三角形
中位线的性质．熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
5．如图，已知△ABC中，根据尺规作图痕迹及图上数据，则线段BC的长可能为（ ）
A．1 B．2 C．7 D．10
【答案】C
【知识点】作垂线(尺规作图)、确定第三边的取值范围
【分析】由题意可得：MN是AC的垂直平分线，可得AC=6，然后根据三角形的三边关系即可得
到BC的范围，即可求解.
【详解】解：如图，由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
∴AC=2AD=6，
∵6−4<BC<6+4，即2<BC<10，
∴线段BC的长可能为7；
故选：C.【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和三角形的三边关系，正确理解题意是关键.
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D，再分
1
别以B，D为圆心，以大于 BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点E．若
2
AB=10,AC=8，则CE的长为（ ）
12 16 24
A． B． C．4 D．
5 5 5
【答案】D
【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了作图-复杂作图、勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的
性质．根据作图过程可得CE⊥AB，根据勾股定理可得BC=√AB2−AC2=6，再根据等面积法即
可求解．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,AC=8，
∴BC=√AB2−AC2=6，
由作图知， CE⊥AB，
1 1 1 1
∴S = AB⋅CE= AC⋅BC= ×10×CE= ×8×6，
ΔABC 2 2 2 2
24
∴CE= ，
5
故选：D．
1
7．如图，在 ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于 AC的长度为半径作
2
△弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（
）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】根据等边对等角证明、含30度角的直角三角形、作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的
性质
【分析】连接AD，由作图知：DE是线段AC的垂直平分线，得到AD=CD=3，∠DAC=∠C=30°，求
得∠BAD=90°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接AD，
由作图知：DE是线段AC的垂直平分线，
∴AD=CD=3，
∴∠DAC=∠C，
∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，则∠DAC=∠C=30°，
∴∠BAD=120°-∠DAC=90°，
∴BD=2AD=6，
故选：C．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直
平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．
1
8．如图，在▱ABCD中，分别以B，D为圆心，大于 BD的长为半径画弧，两弧相交于点M，
2
N，过M，N两点作直线交BD于点O，交AD，BC于点E，F，下列结论不正确的是（ ）A．AE=CF B．DE=BF C．OE=OF D．DE=DC
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、根据菱形的性质与判定求线段长
【分析】根据作图可知：EF垂直平分BD，得到BD=DO，于是得到点O为▱ABCD的对称中心，
BE=ED，BF=FD，根据全等三角形的性质得到∠BFE=∠DFE，根据平行线的性质得到
∠BFE=∠≝¿，推出四边形BFDE是菱形，据此判断即可．
【详解】解：根据作图可知：EF垂直平分BD，
∴BO=DO，
∴点O为▱ABCD的对称中心，
∴BE=ED，BF=FD，
∵FE=EF，
∴△BFE≌△DFE(SSS)，
∴∠BFE=∠DFE，
∵在▱ABCD中，AD∥BC，AD=BC
∴∠BFE=∠≝¿，
∴∠DFE=∠≝¿，
∴DE=DF，
∴BE=DE=DF=BF，故B正确；
∴AD−DE=BC−BF，
∴AE=CF，故A正确；
∴四边形BFDE是菱形，
∴OE=OF，故C正确；DE与DC不一定相等，故D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，尺规作图，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质
等知识，掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
9．如图，已知直线l及直线l外一点P，过点P作直线l的平行线，下面四种作法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、作等腰三角形(尺规作图)
【分析】本题考查尺规作图规范和平行线的判定，解题的关键在于明白尺规作图的原理．根据题意
逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：A选项利用等腰三角形性质等边对等角，角平分线的定义及内错角相等证明两直线平
行，
B选项利用同位角相等判定两直线平行，
C选项无法判断两直线平行，
D选项利用内错角相等即可证明两直线平行，
故选：C．
10．如图，在▱ABCD中，AD=10，DE=12，根据作图痕迹可知AG的长是（ ）
A．15 B．16 C．18 D．20【答案】B
【知识点】作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了作图—基本作图，平行四边形的性质、勾股定理、角平分线的定义，连接EG，
DE与DE相交于O点，由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，证明出
1 1
OA= AG，OD= DE=6，再由勾股定理求出OA的长，即可得解．
2 2
【详解】解：连接EG，DE与AG相交于O点，
由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，
∴∠DAG=∠BAG，
∴AG⊥DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠BAG=∠AGD，
∴∠DAG=∠AGD，
∴DG=AD=10，
∵AG⊥DE，
1 1
∴OA= AG，OD= DE=6，
2 2
在Rt△AOD中，OA=√AD2−OD2=√102−62=8，
∴AG=2AO=16．
故选：B．
11．如图，在△ABC中，AB=BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为
BC的中点，连接EF，若BE=AC=4，则EF的长是（ ）A．√5 B．√3 C．2√2 D．2
【答案】A
【知识点】作角平分线(尺规作图)、三线合一、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查了角平分线的概念，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，求出BC边是
解题的关键．根据作图可知BD平分∠ABC，结合AB=BC，由三线合一求出EC长，根据勾股定
理求出BC长，再根据直角三角形斜边中线的性质求出EF长，即可解答．
【详解】由作图可知，BD平分∠ABC，
∵AB=BC，BE=AC=4，
1
∴BE⊥AC，AE=EC= AC=2，
2
∴ BC=√BE2+EC2=√22+42=2√5
∵ BE⊥AC，点F为BC的中点，
1
∴ EF= BC=√5，
2
故选：A．
12．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴
上，对角线AC和OB交于点D，作以下操作：（1）以点B为圆心，任意长为半径作弧，交BO于点
1
M，交AB于点N；（2）分别以M，N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧交于点G；（3
2
）作射线BG，交OA于点P，交AC于点Q．若OP=2，则点Q的坐标为（ ）A．(3,√2) B．(√2+1,1) C．(√2+2,√2) D．(3,1)
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求线段长、作角平分线(尺规作图)、
坐标与图形
【分析】过点A作AE∥BO，交BP的延长线于点E，证明△BOP∽△EAP，得出AP=√2，则
AB=AO=√2+2，过点Q作QF⊥AB于点F，则△AFQ是等腰直角三角形，根据角平分线的性质
得出QF=QD，设QD=a，则AD=a+√2a，根据AD=1+√2，求得a=1，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，过点A作AE∥BO，交BP的延长线于点E，
∵BO是正方形OABC的对角线，
∴OB=√2AB，
根据作图可知PB为∠ABO的角平分线，
∴∠OBP=∠PBF，
∵AE∥BO，
∴∠AEB=∠OBE，
∴∠E=∠ABE
∴AE=AB，则OB=√2AE，
∵AE∥BO
∴△BOP∽△EAP
OP OB √2
∴ = = ，
AP AE 1
∵OP=2
∴AP=√2，
∴AB=AO=√2+2，
√2
∴AD= AB=1+√2
2
过点Q作QF⊥AB于点F，则△AFQ是等腰直角三角形，
∴AQ=√2QF =√2AF，∵QD⊥DB,QF⊥AB，PB为∠ABO的角平分线，
∴QF=QD，
设QD=a，则AD=a+√2a，
又AD=1+√2，
∴a=1，
∴QF=1，
∴Q(√2+1,1)，
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，作角平分
线，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
13．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE=BD；分
1
别以D，E为圆心、以大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于
2
点G．在AB上找一点P，使得AP=AG，若∠APG=65°，则∠ABG的度数为（ ）
A．40° B．20° C．18° D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形角平分线的定义、等边对等角、作角平分线(尺规作图)、三角形内角和定理的应
用
【分析】本题考查了作图—复杂作图，角平分线的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，
先求出∠A的度数，再求出∠ABC的度数，最后利用角平分线的定义计算即可得出答案．
【详解】∵AP=AG，
∴∠APG=∠AGP=65°，
∴∠A=180°−2×65°=50°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=90°−50°=40°，
∵BG平分∠ABC，
1
∴∠ABG= ∠ABC=20°，
2故选：B．
14．如图，已知在△ABC中，边BC的垂直平分线DF交AC于点E，再以点B为圆心，任意长为半
1
径画弧交BA，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于 MN长为半径画弧交于点P，作射线
2
BP恰好交AC于点E．若AB=8，BC=12，△BDE的面积为9，则△ABC的面积为（ ）
A．9 B．12 C．30 D．27
【答案】C
【知识点】作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定
理
【分析】此题考查了角平分线和垂直平分线的尺规作图和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线和
垂直平分线的尺规作图和性质．
过点E作EG⊥AB于点G，根据题意得到DE=EG，然后根据垂直平分线的性质得到
1
∠BDF=90°，BD=CD= BC=6，然后利用△BDE的面积为9求出DE=3，进而利用
2
❑ =S +S 代数求解即可．
△ABC △ABE △BCE
【详解】解：过点E作EG⊥AB于点G，
由作图可知，射线BP为∠ABC的平分线，
∴DE=EG，
∵直线DF为线段BC的垂直平分线，
1
∴∠BDF=90°，BD=CD= BC=6，
2
∵△BDE的面积为9，1 1
∴S =2S =18， BD⋅DE= ×6×DE=9，
△BCE △BDE 2 2
∴DE=3，
∴EG=3，
1 1
∴S = AB⋅EG= ×8×3=12，
△ABE 2 2
∴S =S +S =12+18=30.
△ABC △ABE △BCE
故选：C．
1
15．如图，在 ABC中，∠C=90o，∠A=30o，分别以A、B两点为圆心，大于 AB为半径画弧，两
2
△
弧交于M、N两点，直线MN交AC于点D，交AB于点E，若CD=2，则AC的长度为( )
A．9 B．6 C．6√3 D．3√3
【答案】B
【知识点】含30度角的直角三角形、作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质
【分析】由作法得MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的性质得DA=DB，所以
∠ABD=∠A=30°，再计算出∠CBD=30°得到BD=2CD=4，然后计算AD+CD即可．
【详解】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠ABD=∠A=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠CBD=30°，
∴BD=2CD=4
∴AC=AD+CD=BD+CD=4+2=6．
【点睛】本题考查了尺规作图中线段垂直平分线的作法，直角三角形30°角所对直角边等于斜边的一
半等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图步骤及直角三角形的性质是解决此题的关键．
二、填空题
16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交CA，1
CB于点D，E，再以D，E为圆心，大于 DE长为半径作弧，两弧相交于点F，连接CF并延长，
2
交AB于点P，称点P为线段AB的白银分割点，若 PB=2√2，则 AB＝ ．
【答案】2+2√2
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查尺规基本作图—作已知角的角平分线，角平分线的性质定理，解直角三角形等知
识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
如图，过点P作PT⊥BC于点T．证明PA=PT，解直角三角形求出PT即可．
【详解】解：如图，过点P作PT⊥BC于点T．
由作图可知PC平分∠ACB，
∵PA⊥AC，PT⊥BC，
∴PA=PT，
∵AB=AC，∠A=90°，
∴∠B=45°，
√2
∴PT=PB⋅sin45°=2√2× =2，
2
∴PA=PT=2，
∴AB=PA+PB=2+2√2
故答案为：2+2√2．
1
17．如图，在△ABC中，分别以点A点C为圆心，大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N
2
两点，作直线MN，直线MN 与AB相交于点D，连接CD，若AB=3，BC=1，则△BCD周长为
．【答案】4
【知识点】作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质
【分析】由作图可知MN是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得DA=DC，再利用
三角形的周长公式计算即可得出答案．
【详解】解：由作图可知MN是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∵AB=3，BC=1，
∴△BCD的周长=BD+CD+BC=BD+DA+BC=AB+CB=3+1=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作图及其性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关
键．
1
18．如图，在菱形ABCD中，AD=2a，按如下步骤作图：分别以点C和点D为圆心，大于 CD
2
长为半径作弧，两弧交于点M、N；连接MN，若MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE．则
∠BCD= °，BE的长为 （用含a的代数式表示）．
【答案】 120 √7a
【知识点】解直角三角形的相关计算、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、作垂线(尺
规作图)
1
【分析】由题干的作图步骤可知：AE⊥DC，DE=CE= AD=a，即∠AED=∠BAE=90°，
2
由菱形的性质可得则可利用勾股定理求得AE，从而求得BE．
【详解】解：∵依题意．题中作图为作DC边垂直平分线，1
∴AE⊥DC，DE=CE= AD=a，即∠AED=∠BAE=90°，
2
DE a 1 √3
∴sin∠DAE= = = ，即∠DAE=30°，AE=AD⋅cosDAE=2a⋅ =√3a；
AD 2a 2 2
∴∠D=60°；
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=CD=AD=2a，AD∥BC，∠BAD=∠BCD，
∴∠BCD=180°−∠D=120°，即∠BAD=120°，
∴∠BAE=∠BAD−∠DAE=90°，
∴BE=√AB2+AE2=√ (2a) 2+(√3a) 2=√7a．
故答案为120，√7a．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的作法、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识点，能根
据作图步骤知道作图所表示的含义是解答本题的关键．
1
19．如图，在RtΔABC中，∠C=90°，按以下步骤作图；①分别以点A，B为圆心，以大于 AB
2
的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN，交AC于点D；③连接BD，若AD=13，
CD=5，则BC的长为 ．
【答案】12
【知识点】用勾股定理解三角形、作垂线(尺规作图)
【分析】由作法得MN垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得到DB=DA=13，然后利用勾股
定理计算BC的长．
【详解】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DB=DA=13，
在RtΔBCD中，
∵∠C=90°，
∴BC=√BD2−CD2=√132−52=12．故答案为：12．
【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何
图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
20．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC
1
于点M，N；②M，N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线AP交BC于点
2
D，若AB:AC=2:3，△ABD的面积为2，则△ABC的面积为 ．
【答案】5
【知识点】作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和性质定理，作DE⊥AB,DF⊥AC可得DE=DF，根
1 1
据S = ×AB×DE,S = ×AC×DF可得△ABD的面积，即可求解．
△ABD 2 △ABC 2
【详解】解：作DE⊥AB,DF⊥AC，如图所示：
由题意得：AD平分∠BAC，
∴DE=DF
1 1
∵S = ×AB×DE,S = ×AC×DF
△ABD 2 △ABC 2
∴S :S =AB:AC=2:3
△ABD △ACD
∵△ABD的面积为2，
∴△ACD的面积为3，
∴△ABC的面积为2+3=5，
故答案为：5
1
21．如图，在△ABC中，∠B=70°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半
2
径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 ．【答案】50°/50度
【知识点】等边对等角、作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等边对等角，线段垂直平分线的性质和尺规作图，先
由三角形内角和为180度求出∠BAC=80°，由作图方法可知MN垂直平分AC，则AD=CD，可
得∠DAC=∠C=30°，则∠BAD=∠BAC−∠DAC=50°．
【详解】解：∵在△ABC中，∠B=70°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°−∠C−∠B=80°，
由作图方法可知MN垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=50°，
故答案为：50°．
1
22．如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于 BC长为半径画弧，两弧相交于点M、
2
N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB=7，AC=12，BC=6，则△ABD
的周长为 ．
【答案】19
【知识点】作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质
【分析】由题意可得：MN垂直平分BC，则BD=CD，即可求解．
【详解】解：由题意可得：MN垂直平分BC，则BD=CD，
△ABD的周长=AD+BD+AB=AD+DC+AB=AC+AB=19
故答案为：19
【点睛】此题考查了垂直平分线的尺规作图以及性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．23．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
请回答：该作图的依据是 ．
【答案】故答案为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．（其他正确依据也可以）．
【知识点】作垂线(尺规作图)
【分析】由AP=AQ、BP=BQ，依据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上知点A、B在
线段PQ的中垂线上，据此可得PQ⊥l．
【详解】由作图可知，AP＝AQ，所以，点A在线段PQ的垂直平分线上，同理，点B也在线段PQ
的垂直平分线上，所以，有AB⊥PQ．
故答案为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
【点睛】本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握线段中垂线的性质及过直线外一点作
已知直线的垂线的尺规作图．
24．如图，在平行四边形ABCD(AB<AD)中，按如下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半
1
径画弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于 MN的长为半径画弧，
2
两弧在∠BAD内交于点P；③作射线AP交BC于点E．若∠B=120°，则∠EAD为 °．
【答案】30
【知识点】利用平行四边形的性质求解、作角平分线(尺规作图)
1
【分析】先利用基本作图得∠EAB=∠EAD= ∠BAD，再根据平行四边形的性质和平行线的性
2质得到∠BAD=180°−∠B=60°，从而得到∠EAD=30°．
【详解】解：由作法得AE平分∠BAD，
1
∴∠EAB=∠EAD= ∠BAD，
2
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD ∥ BC，
∴∠B+∠BAD=180°，
∴∠BAD=180°−120°=60°，
1
∴∠EAD= ∠BAD=30°．
2
故答案为：30．
【点睛】本题考查了尺规作角平分线，平行四边形的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键．
25．如图，已知扇形AOB的半径等于2，∠AOB=90∘，连接AB．进行尺规作图：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q，再分别以点P，Q为圆心，以大
1
于 PQ长为半径画弧，两弧在扇形AOB内交于点M，作射线OM，分别交AB，A´B于点D，C；
2
1
②分别以点O，B为圆心，以大于 OB长为半径画弧，两弧在扇形AOB内交于点N，作直线DN，
2
分别交A´B，OB于点E，F，连接AE．
（1）∠EAD等于 ❑∘；
DE
（2） = ．
AE
√2 1
【答案】 30 / √2
2 2
【知识点】作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、圆周角定理、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，二次根式的混合运算．
作EG⊥OA于点G，设⊙O的半径为r，利用余弦二次函数的定义求得∠EOF=60°，利用圆周角
定理求得∠EAG=30°，利用勾股定理求得AE和DE的长，利用二次根式的混合运算求解即可．
【详解】解：连接OE，作EG⊥OA于点G，设⊙O的半径为r，由作图知EF是线段OB的垂直平分线，
1 1
∴OF= OB= r，
2 2
OF 1
∴cos∠EOF= = ，
OE 2
∴∠EOF=60°，
1
∴∠EAD=∠EAB= ∠BOE=30°，∠EOA=90°−60°=30°，
2
∵EG⊥OA，
1 1
∴EG= OE= r，
2 2
√3
∴OG=√OE2−EG2= r，
2
( √3)
∴AG=OA−OG= 1− r，
2
∴AE=√AG2+EG2=√2−√3r，
由作图知OC是∠AOB的平分线，
1
∴∠BOC= ∠AOB=45°，
2
∵EF是线段OB的垂直平分线，
∴△DOF是等腰直角三角形，
1 1
∴DF=OF= OB= r，
2 2
√3
∵EF=√OE2−OF2= r，
2
√3 1 (√3 1)
∴DE= r− r= − r，
2 2 2 2(√3 1)
− r
∴DE 2 2 √3−1 √2(√3−1) √2(√3−1) √2，
= = = = =
AE √2−√3r 2√2−√3 2√4−2√3 2√(√3−1) 2 2
√2
故答案为：30； ．
2
三、解答题
26．如图，AB=AD,∠BAD=2∠BAC．
(1)在AC上方求作求作一点E，连接AE使得△ACE∽△ABD（要求尺规作图，保留作图痕迹，不
写作法）．
(2)在（1）的条件下，连接DE，若AC=√2AB,BD=DE=1，求证：∠EBC=90°．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、作角平分线(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综
合
【分析】本题主要考查尺规作角平分线，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添
加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．
（1）尺规作∠BAD的角平分线，以A为圆心，以AC长为半径画弧，与角平分线的交点E即为所求；
（2）连接DE、BE、CB，由△ACE∽△ABD，AC=√2AB，得CE=√2BD=√2，再证明
△ABC≌△ADE，结合勾股定理的逆定理，即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示：
∵AD=AB,AC=AE，
AB AD
∴ = ，
AC AE1
由作图可知，∠DAE=∠BAE= ∠BAD，
2
∵∠BAD=2∠BAC，
∴∠BAC+∠BAE=∠BAE+∠DAE，即∠CAE=∠BAD，
∴△ACE∽△ABD；
（2）解：如图2，连接DE、BE、CB，
∵AB=AD，由（1）可知AE垂直平分BD，
∴DE=BE=1，
∵△ACE∽△ABD，AC=√2AB，
AC AE CE
∴ = = =√2，
AB AD BD
∴CE=√2BD=√2，
由（1）知∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∵¿，
∴△ABC≌△ADE，
∴BC=DE=1，
∵BE2+CB2=12+12=2,CE2=(√2) 2=2，
∴BE2+CB2=EC2 ，
∴∠EBC=90°．
27．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC，请用尺规在AC边上找一点D，使得
AD=√2CD(保留作图痕迹，不写作法)
【答案】见详解【知识点】用勾股定理解三角形、作角平分线(尺规作图)、全等三角形综合问题、作线段(尺规作图)
【分析】该题主要考查了基本作图-角平分线，相等线段，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等
腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是正确理解题意，
作BE=BC，作∠CBA的角平分线交AC于点D，连接DE，点D即为所求；
【详解】解：作BE=BC，作∠CBA的角平分线交AC于点D，连接DE，点D即为所求；
理由：∵BC=AC,∠C=90°，
∴∠A=∠CBA=45°，
根据作图可得∠1=∠2，BD=BD,BE=BC，
∴△CBD≌△EBD(SAS)，
∴DE=DC，∠DEB=∠C=∠DEA=90°，
∴∠EDA=45°，
∴AE=DE，AE2+DE2=AD2，
∴√2AE=√2DE=AD，
∴√2CD=AD．
28．如图，在▱ABCD中，点E在BC上，AB=BE，BF平分∠ABC交AD于点F，请用无刻度的
直尺画图(保留作图痕迹，不写画法)．
(1)在图1中，过点A画出△ABF中BF边上的高AG；
(2)在图2中，过点C画出C到BF的垂线段CH．
【答案】(1)见解析．
(2)见解析．
【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、无刻度直尺作图
【分析】本题是作图题，考查了等腰三角形的三线合一，利用平行四边形的性质和判定进行作图，熟练掌握平行四边形的性质和判定是关键．
（1）连接AE即可，根据等腰三角形三线合一的性质可得；
（2）构建平行四边形AECG，可得结论．
【详解】（1）解：如图1，AG即为所求．
．
（2）解：如图2，连接AC，BD交于点O，作射线EO，交AD于G，连接CG，交BF于H，则CH
即为所求．
，
理由是：如图3，连接AE，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AG∥CE，
∴∠AGO=∠CEO，
∵∠AOG=∠COE，
∴△AOG≅△COE(AAS)，
∴OG=OE，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴AE∥CG，
∵AE⊥BF，
∴CG⊥BF，即CH⊥BF．
29．如图，在RtΔABC中，∠C=90°，以点B为圆心、BC为半径作圆弧，与边AB交于点D，再分1
别以A．D为圆心，大于 AD的长为半径作圆弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC，AB于
2
点E，F．
(1)判断：直线MN是线段AD的 线；
(2)若BC=5，AC=12，求AE的长．
【答案】(1)垂直平分
13
(2)AE=
3
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质
【分析】由作图可知，直线MN是线段AD的垂直平分线；
根据勾股定理可求出AB的长度，进而求出AD的长度，根据直线MN是线段AD的垂直平分线可求
出相等的角，进而可求出ΔAFE∽ΔACB，根据相似比可求出AE的长．
【详解】（1）解：由作图可知：直线MN是线段AD的垂直平分线，
故答案为：垂直平分；
（2）在RtΔABC中，由勾股定理得：
AB=√AC2+BC2=13，
∵BC=BD=5，
∴AD=AB−BD=13−5=8，
∵直线MN是线段AD的垂直平分线，
∴AF=4，∠AFE=90°，
∵∠A=∠A，
∴ΔAFE∽ΔACB，
AE AF
∴ = ，
AB AC
AE 4
∴ = ，
13 12
13
∴AE= ．
3
【点睛】本题考查勾股定理，相似的性质与判定，垂直平分线的性质，以及尺规作图，能够熟练运用相似三角形的性质和判定是解决本题的关键．
30．如图，在ΔABC中，∠ACB=90°．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作AC的垂直平分线，垂足为D；
②以D为圆心，DA长为半径作圆，交AB于E（E异于A），连接CE；
（2）探究CE与AB的位置关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）CE⊥AB（或垂直），理由见解析．
【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、作垂线(尺规作图)
【分析】（1）①根据尺规作垂直平分线即可求解；②根据题意即可作圆；
（2）根据圆周角定理即可得到CE⊥AB．
【详解】（1）解：如图，①作出AC的垂直平分线
②以点D为圆心，AD长为半径作圆，连接CE
（2）CE⊥AB（或垂直），理由如下:
∵AC是⊙D的直径
∴∠AEC=90°
∴CE⊥AB．
【点睛】此题主要考查尺规作图与圆周角定理，解题的关键是熟知直径所对的圆周角为90°．
31．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．
(1)用直尺和圆规完成以下基本作图：作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BD、BC于点E、O、F，连接BE、DF．（保留作图痕迹，不写作法和结论）
(2)在（1）所作图形中，证明：四边形BFDE为菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】证明四边形是菱形、作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、全等的性质和ASA
（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定与性质、菱形的
判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用基本作图作BD的垂直平分线即可；
（2）由平行线的性质可得∠EDB=∠FBD，由线段垂直平分线的性质可得BO=DO，EF⊥BD，
证明△EOD≌△FOB(ASA)得出ED=BF，即可得证．
【详解】（1）解：根据题意，画图如下
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠EDB=∠FBD，
∵EF是线段BD的垂直平分线，
∴BO=DO，EF⊥BD，
∴∠EOD=∠FOB=90°，
∴△EOD≌△FOB(ASA)，
∴ED=BF，
∴四边形BFDE为平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE为菱形．
32．如图，在△ABC中，∠C=90°．(1)求作：射线AD，使它平分∠BAC交BC于点D（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)若BD:DC=2:1，BC=7.8cm，求点D到AB的距离．
【答案】(1)见解析
(2)2.6cm
【知识点】作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理
【分析】（1）按要求作∠BAC的角平分线即可；
（2）过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质，求得CD即可求得点D到AB的距离．
【详解】（1）如图所示
（2）解：过点D作DE⊥AB于E．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC
∴CD＝DE
又BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm
∴DC＝7.8÷（2+1）＝7.8÷3＝2.6cm．
∴DE＝DC＝2.6cm．
∴点D到AB的距离为2.6cm．
【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
33．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°．
（1）在BC上求作一点D，使得DA=DB；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若AB=2，求BD的长．【答案】（1）见解析；（2）BD=√5−1
【知识点】证明三角形的对应线段成比例、等腰三角形的性质和判定、作垂线(尺规作图)
1
【分析】（1）分别以A、B两点为圆心，大于 AB长度为半径画弧，使其交于两点，连接两点所在
2
直线与BC交点即为点D．
（2）连接AD，在上一小题的条件下，△ADC是等腰三角形，可得CA＝CD，△ABC∽△DAB，根据
相似三角形对应线段成比例，计算可得BD的长．
【详解】（1）如图所示，点D即为所求．
（2）如图，连接AD，
∵AB=AC，∠B=36°，DA=DB，
∴∠C=36°，∠BAD=36°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=36°+36°=72°，
∠DAC=180°−∠ADC−∠C=180°−72°−36°=72°，
∴DC＝AC＝AB＝2，
∴△ABC∽△DAB，
BD AB AB BD 2
∴ = = ，即 =
AB BC BD+DC 2 BD+2解得：BD =√5−1，BD =−√5−1（舍去），
1 2
∴BD=√5−1．
【点睛】本题考查了尺规作图线段垂直平分线的画法，等腰三角形性质与判定，相似三角形对应线
段成比例，掌握尺规作图的方法，运用等腰三角形的性质与判定定理，进行相似三角形对应线段的
计算是解题关键．
34．如图，在△ABC中，点D是线段AB的中点．
1
求作：线段DE，使得点E在线段AC上，且DE= BC．
2
1
作法：①分别以点A，C为圆心，大于 AC长为半径作弧，两弧相交于点M，N两点；
2
②作直线MN，交AC于点E；
③连接DE．
所以线段DE即为所求的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AM=CM，AN=CN，
∴MN是AC的垂直平分线．（ ）（填推理的依据）
∴点E是AC的中点．
∵点D是AB的中点，
1
∴DE= BC．（ ）（填推理的依据）
2
【答案】（1）见解析；（2）到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；三角形中位线等
于第三边的一半
【知识点】线段垂直平分线的判定、作垂线(尺规作图)、与三角形中位线有关的证明
【分析】（1）根据题干的提示作线段AC的中垂线，再连接DE即可；
（2）由线段的垂直平分线的判定与三角形的中位线的性质可得答案．
【详解】解：（1）补全图形如图：（2）证明：∵AM=CM，AN=CN，
∴MN是AC的垂直平分线．（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）
∴点E是AC的中点．
∵点D是AB的中点，
1
∴DE= BC．（三角形中位线等于第三边的一半．）
2
故答案为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；三角形中位线等于第三边的一半．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，三角形的中位线的性质，掌握线段的垂直平分线
的判定是解题的关键．
35．如图，正方形ABCD中，BC是⊙O的直径，点E是⊙O上的一动点（点E不与点B，C重合，
且在BC左侧）．
(1)尺规作图：做出点E使得∠EBC=∠DEC；
(2)在（1）的条件下，延长DE交AB于F，求证AF=BF+OB．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】过圆外一点作圆的切线(尺规作图)、应用切线长定理求证、证明某直线是圆的切线、半
圆（直径）所对的圆周角是直角
【分析】（1）连接DO，作DO的垂直平分线，交DO于点K，以K为圆心，KO为半径作圆，交
⊙O于点E，即可得出答案；
1 1
（2）延长CE交AB于点G，证明FB=FG，证明△CDO≌△BCG，得出BG=OC= BC= AB，
2 2
1
求出AG= AB，即可证明AF=AG+GF=BF+OB．
2【详解】（1）解：如图，连接DO，作DO的垂直平分线，交DO于点K，以K为圆心，KO为半径
作圆，交⊙O于一点，该点即为所求作的点E；
连接CE、DE，BE、CE，OE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠OCD=90°，
∵OD为⊙K的直径，
又∵直径所对的圆周角为直角，
∴点C在⊙K上，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BEC=90°，
∵OD为⊙K的直径，
∴∠DEO=90°，
∴∠DEC+∠CEO=∠CEO+∠OEB=90°，
∴∠DEC=∠OEB，
∵OB=OE，
∴∠EBC=∠OEB，
∴∠EBC=∠DEC；
（2）证明：延长CE交AB于点G，如图所示：∵OD为⊙K的直径，
∴∠OCD=∠OED=90°，
∴OE⊥DE，OC⊥DC，
∵OC，OE为⊙O半径，
∴DC、DE为⊙O的切线，
∴DC=DE，
∴∠DCE=∠DEC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥DC，CD=BC=AB，
∴∠DCE=∠EGF，
∵∠GEF=∠CED，
∴∠GEF=∠EGF，
∴FE=FG，
∵∠OBF=90°，
∴OB⊥AB，
∵OB为⊙O半径，
∴FB为⊙O的切线，
∴FB=FE，
∴FB=FG，
∵DE=DC，OE=OC，
∴OD垂直平分CE，
∴∠CHO=90°，
∴∠HCO+∠HOC=∠HOC+∠CDO=90°，
∴∠HCO=∠CDO，即∠GCB=∠CDO，
∵CD=BC，∠OCD=∠GBC=90°，
∴△CDO≌△BCG，
1 1
∴BG=OC= BC= AB，
2 2
1
∴AG= AB=OB，
2
∴AF=AG+GF=BF+OB．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，圆的切线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰
三角形的判定，垂直平分线的判定，余角的性质，切线长定理，直径所对的圆周角是直角，解题的
关键是作出辅助线，数形结合．
【能力提升】
36．如图1，点P为⊙O外一点．
(1)过点P作⊙O的一条切线PQ（请用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹）；
(2)如图2， PQ为⊙O的切线，连接OP，交⊙O于点E，作QA∥OP，交⊙O于点A，作直径
AB，连接BQ交OP于点F．
① 求证：∠ABQ=∠P；
② 若EF=2，BQ=8，求PQ的长．
【答案】(1)见解析
20
(2)①见解析；②
3
【知识点】作垂线(尺规作图)、切线的性质定理、已知正切值求边长、圆与三角形的综合(圆的综合
问题)
【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、正切函数、等腰三角形的判定与性质等知识点，
灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）先作OP的垂直平分线得到OP的中点E，再以EP为半径作⊙E交⊙O于B、Q，根据圆周角
定理得到∠OQP=90°，连接PQ即可．
（2）①先根据等腰三角形的性质、平行线的性质可得∠A=∠POQ，再根据切线的性质、圆周角定理以及同角的余角相等即可证明结论；②由圆周角定理、平行线的性质可得
1
∠BFO=∠AQB=90°，再根据等腰三角形三线合一的性质可得BF=QF= BQ=4，再根据勾股
2
定理列方程求得OQ=5,即OB=5,OF=3；然后再根据①的结论∠ABQ=∠P运用正切函数列方程
求解即可．
【详解】（1）解：如图：线段PQ即为所求；
（2）解：①∵OQ=OA,
∴∠OQA=∠A，
∵QA∥OP，
∴∠OQA=∠POQ,
∴∠A=∠POQ，
∵AB是直径，
∴∠AQB=90°,
∴∠ABQ+∠A=90°，
∵PQ为⊙O的切线，
∴∠OQP=90°，
∴∠P+∠POQ=90°，
∴∠ABQ=∠P．
②∵AB是直径，
∴∠AQB=90°,
∵QA∥OP，
∴∠BFO=∠AQB=90°，
∵OB=OQ,BQ=8,
1
∴BF=QF= BQ=4,
2
∵EF=2，
∴FO=OE−EF=OE−2=QO−2,∵OF2+FQ2=OQ2,即(OQ−2) 2+FQ2=OQ2,
∴(OQ−2) 2+42=OQ2,解得：OQ=5,即OB=5,OF=3,
∵∠ABQ=∠P，
FO OQ
∴tan∠ABQ=tan∠P，即 = ,
BF PQ
3 5 20
∴ = ,解得：PQ= ．
4 PQ 3
37．张老师在复习《平行四边形》章节时，给同学们留下了这样一道思考题：如图，△ABC中，
∠A=60°，AC>AB>2，点D，E分别在边AB，AC上，且BD=CE=2，连接DE，点M是DE
的中点，点N是BC的中点，求MN的长．
李明同学思考后没有思路，然后与王磊，刘威同学一起讨论，他们得到两个共识：①肯定要用到延
长过中点的线段的技巧；②要把已知的边，角构造在同一三角形中，并与MN关联，刘威去尝试了
一下，发现只要倍长线段DN，问题便迎刃而解，你不妨试一试：
(1)连接DN并延长至F，使得FN=DN，连接CF；
(2)求线段MN的长．
【答案】(1)见解析
(2)√3
【知识点】解直角三角形的相关计算、与三角形中位线有关的求解问题、全等三角形综合问题、作
线段(尺规作图)
【分析】（1）按尺规作图方法工整作图即可；
（2）先证明△BDN≌△CFN，再利用勾股定理解直角△CEG， 最后用中位线的性质即可．
【详解】（1）如图所示：
（2）连接EF，过点C作CG⊥EF于点G．由（1）得DN=NF，∠DNB=∠FNC，BN=NC，∴△BDN≌△CFN，
∴∠B=∠FCN，BD=CF=2，DN=NF，∠FGC=90°，∴AB∥CF，
∵∠A=60°，∠ECF=180°−∠A =180°−60°=120°，
又CE=CF=2，∴∠CEG=30°，EF=2EG，
∴CG=1，EG=√3，∴EF=2√3，
1
又M为DE的中点，DN=NF，∴MN= EF=√3．
2
【点睛】本题考查了尺规作图，全等的判定与性质，平行线的判定与性质，解直角三角形，中位线
定理等，作辅助线和严格的逻辑思维能力是解题的关键．
38．如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中，A、B为格点，M为AB与网格横线的交
点，请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列画图，过程线用虚线，结果线用实线．
(1)在图1中找格点C、D，使四边形ABCD是菱形；
(2)在图1中画点M关于直线AC的对称点M′；
(3)在图2中找格点C，使四边形BCNM为矩形；
(4)在图2中画MN的垂直平分线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【知识点】无刻度直尺作图、证明四边形是正方形、勾股定理与网格问题、线段垂直平分线的判定
【分析】（1）根据勾股定理求出AB的长，将线段AB向右平移5个单位长度的到线段CD，连接
AD,BC，即可得到菱形ABCD；
（2）连接DM交AC于点P，连接BP并延长，交AD于点M′，点M′即为所求；
（3）作以AB，BC为边的正方形，再构造矩形BCNM即可；
（4）取正方形的边BC和AD的中点，连接两个中点形成的直线即为MN的垂直平分线．
【详解】（1）解：由勾股定理得：AB=√32+52=5，将线段AB向右平移5个单位长度的到线段CD，连接AD,BC，即可得到菱形ABCD，如图所示：
（2）解：连接DM交AC于点P，连接BP并延长，交AD于点M′，点M′即为所求，如图所示：
∵菱形ABCD，
∴AD=AB,∠BAC=∠DAC，
∵AP=AP，
∴△APB≌△APD(SAS)，
∴∠ABP=∠ADP，
∵AB=AD,∠BAD=∠DAB，
∴△BAM′≌△DAM(ASA)，
∴AM=AM′，
又∠MAC=∠M′ AC，
∴AC垂直平分M M′，
即：点M关于直线AC的对称点为点M′；
（3）解：作以AB，BC为边的正方形ABCD，过点M作MN∥BC，交CD于点N，则矩形BCNM，
即为所求，如图所示：（4）如图，取格点E,F，连接EF交AD于点P，取格点K,L，连接KL交BC于点Q，则P,Q为正
方形的边AD和BC的中点，连接PQ形成的直线即为MN的垂直平分线．如图所示：
∵AE=DF=3,AE∥DF，
∴∠E=∠F,∠EAD=∠FDP，
∴△APE≌△DPF(ASA)，
∴AP=PD，
∴P为AD的中点，
同法可得：Q为BC的中点，
1 1
∴AP= AD= BC=BQ，
2 2
∵AP∥PQ,∠ABC=90°，
∴四边形APBQ为矩形，
∴PQ⊥BC，
∵BC∥MN，
∴PQ⊥MN，
设PQ与MN交于点H，则：四边形BQHM为矩形，
1 1
∴MH=BQ= BC= MN，
2 2
∴PQ是MN的中垂线．【点睛】本题考查无刻度直尺作图．同时考查了菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三
角形的判定和性质，矩形判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
39．如图1和图2，Rt△ABC和Rt△≝¿中，∠B=∠≝=90°，AB=20，BC=15，DF=15，
DE=12．点D，E分别在AB，AC边上滑动，点F在DE的右侧，当DF与AC相交时，交点记为
P．
(1)EF的长为 ，EP的最小值为 ；
(2)如图1，当DP=12时，请证明AP=AD；
(3)如图2，
①尺规作图：过点A做直线DF的垂线AN，垂足为点N (保留作图痕迹，不写作图过程)；
②若AM垂直平分DE，求AN的长；
(4)直接写出点A与点F的最大距离．
36
【答案】(1)9；
5
(2)见解析
(3)①见解析；②AN的长为18
(4)10+5√13
【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、求特殊三角形外接圆的半径、相似三角形的
判定与性质综合
【分析】（1）利用勾股定理求出EF的长，再由垂线段最短得到当EP⊥DF时，EP有最小值，即
可解答；
（2）先证明△≝∽△ABC得到∠EDF=∠BAC，再推出△PDE∽△PAD即可得出结论；
（3）①按照要求用尺规作图作出直线DF的垂线AN即可；②延长ED交AN延长线于点G，先利用
全等三角形AAS判定定理推出△AME≌△∧¿，得到AM=AN，再利用△≝∽△DNG求出MG、NG
的长，最后利用△DGN∽△AGM求出AM的长即可；
（4）作△ADE的外接圆，记圆心为O，作OP⊥DE交DE于点P，连接OA、OE、OD，利用外接
圆的性质及相似三角形的性质求出圆的半径，再作FH⊥OP交OP延长线于H，连接OF，利用矩
形的性质和勾股定理求出OF的长，最后利用两点之间线段最短性质即可求出点A与点F的最大距离．
【详解】（1）解：在Rt△≝¿中，DE2+EF2=DF2，∴EF=√DF2−DE2=√152−122=9，
∵当DF与AC相交时，交点记为P，
∴由垂线段最短得，当EP⊥DF时，EP有最小值，
∴此时EP为△≝¿的高，
∵S
1 1 ，
△≝¿= ⋅DE⋅EF= ⋅DF⋅EP¿
2 2
DE⋅EF 12×9 36
∴EP= = = ．
DF 15 5
36
故答案为：9； ．
5
（2）证明：∵AB=20，BC=15，DE=12，EF=9，
EF 9 3 DE 12 3
∴ = = ， = = ，
BC 15 5 AB 20 5
EF DE
∴ = ，
BC AB
又∵∠≝=∠B=90°，
∴△≝∽△ABC，
∴∠EDF=∠BAC，
又∵∠EPD=∠DPA，
∴△PDE∽△PAD，
DP DE
∴ = ，
AP AD
AD DE
∴ = ，
AP DP
∵DP=12，DE=12，
∴DP=DE，
AD DE
∴ = =1，
AP DP
∴AP=AD．
（3）解：①如图所示，垂线AN即为所求；②如图，延长ED交AN延长线于点G，
∵AM DE
垂直平分 ，
1
∴EM=MD= DE=6，∠AMD=90°，AE=AD，
2
由作图可得，AN⊥DF，
∴∠∧=90°，
∵∠MAN+∠∧+∠MDN+∠AMD=360°，
∴∠MAN+∠MDN=360°−2×90°=180°，
∵∠EDF+∠MDN=180°，
∴∠MAN+∠MDN=∠EDF+∠MDN，
∴∠MAN=∠EDF，
由（2）中的结论有，∠EDF=∠BAC，
∴∠BAC=∠MAN，
即∠EAM+∠MAD=∠DAN+∠MAD，
∴∠EAM=∠DAN，
又∵∠AME=∠∧=90°，AE=AD，
∴△AME≌△∧¿，
∴AM=AN，DN=EM=6，
∵∠DNG=∠≝=90°，∠EDF=∠NDG，
∴△≝∽△DNG，
EF DF DE 12
∴ = = = =2，
NG DG DN 6
1 9 1 15
∴NG= EF= ，DG= DF= ，
2 2 2 2
15 27
∴MG=MB+BG=6+ = ，
2 2
∵∠DNG=∠AMG=90°，∠DGN=∠AGM，
∴△DGN∽△AGM，9
DN NG 6 2
∴ = ，即 = ，
AM MG AM 27
2
解得：AM=18，
∴AN=AM=18，
∴AN的长为18．
（4）解：作△ADE的外接圆，记圆心为O，作OP⊥DE交DE于点P，连接OA、OE、OD，
∵圆O是△ADE的外接圆，
1
∴OA=OD=OE，∠DAE= ∠DOE，
2
∵OP⊥DE，
1
∴DP=EP= DE=6，OP平分∠DOE，
2
1
∴∠EOP= ∠DOE=∠DAE，
2
又∵∠OPE=∠ABC=90°，
∴△OPE∽△ABC，
OP EP OP 6
∴ = ，即 = ，
AB BC 20 15
解得：OP=8，
∴OE=√OP2+PE2=√82+62=10，即圆O的半径为10，
作FH⊥OP交OP延长线于H，连接OF，则∠H=90°，
又∵∠≝=90°，∠EPH=90°，
∴四边形EFHP是矩形，
∴FH=EP=6，PH=EF=9，
∴OH=OP+PH=8+9=17，
在Rt△OFH中，OF=√FH2+OH2=√62+172=5√13，
由两点之间线段最短性质得，AF≤OA+OF，
∴AF≤10+5√13，
∴点A与点F的最大距离为10+5√13．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定、尺规作图、三角形的外接圆、勾股定理、全等三角
形的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，学会添加适当的辅助线构造相似三角
形，利用勾股定理求线段长度，利用三角形外接圆的性质求最值是解题的关键，本题属于几何综合
题，适合几何知识储备较强，有能力解决几何难题的学生．
40．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A的切线交BC的延长线于点D，E是⊙O
上一点，点C,E分别位于直径AB异侧，连接AE,BE,CE，且∠ADB=∠DBE．
(1)尺规作图：过C点作AB的垂线，交AB于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
2
(2)若tan∠ABC= ，AE=5，求CE的长．
3
【答案】(1)见详解
(2)3√13
【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计
算
【分析】（1）按照做垂线的方法过点C作AB的垂线交AB与点F即可．
（2）连接CO，由同弧所对的圆周角相等得出∠ABD=∠AEC，由直径所对的圆周角等于90°以
及切线的定义即可得出∠ADB+∠ABD=90°，∠AEC+∠CEB=90°，结合已知条件可得出
CF OC OF 1
CE=CB，再进一步证明△CFO∽△BEA，由相似三角形的性质可得出 = = = ，结合
BE AB AE 2
5 5
已知条件设CF=2x，则BE=4x，BF=3x，OF= ，OB=3x− ，由勾股定理得出x的值，进
2 2
一步即可得出CF=6，BF=9，再利用勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）如图：CF即为所求：（2）连接CO，
∵AC=AC
∴∠ABD=∠AEC，
∵AB是⊙O的直径，AD为⊙O的切线，
∴AD⊥AB，∠AEB=90°，
∴∠ADB+∠ABD=90°，∠AEC+∠CEB=90°，
∴∠ADB=∠CEB，
∵∠ADB=∠DBE，
∴∠CEB=∠DBE，
∴CE=CB，
∵OB=OC，
∴∠ABC=∠OCB，
∵CF⊥AB，
∴CF∥AD，∠CFO=90°，
∴∠D=∠FCB，
∵∠D=∠EBC，
∴∠FCB=∠EBC，
即∠ABC+∠ABE=∠OCB+∠FCO，
∴∠ABE=∠FCO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴△CFO∽△BEA
CF OC OF 1
∴ = = = ，
BE AB AE 2
设CF=2x，则BE=4x，
2
∵tan∠ABC=
3
∴BF=3x，
∵AE=5，5
∴OF= ，
2
5
∴OB=OC=BF−OF=3x− ，
2
在Rt△CFO中，∠CFO=90°，
( 3x− 5) 2 = (5) 2 +(2x) 2
2 2
解得：x=3，
∴CF=6，BF=9，
在Rt△BFC中，∠BFC=90°
BC=√CF2+BF2=3√13
∴CE=BC=3√13．
【点睛】本题考查作图一复杂作图，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定
和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
