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专题 15 三角形及其性质（14 个高频考点）（强化训练）
【考点1 三角形的三边关系】
1．（2022·湖南邵阳·统考中考真题）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cm
C．4cm，5cm，10cm D．6cm，9cm，2cm
2．（2022·贵州遵义·统考二模）方程x2−7x+12=0的两根是一个等腰三角形的两边长，则这个三角形的
周长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．10或11
3．（2022·山东济南·统考二模）如果2、5、m是某三角形三边的长，则√(m−3)2+√(m−7)2等于_____．
4．（2022·山东枣庄·二模）问题探究：
小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC=4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：
延长AD到E，使DE=AD，连接BE，证明△BED≌△CAD；请回答：
(1)小红证明△BED≌△CAD的判定定理是： ；
(2)AD的取值范围是 ；
(3)方法运用：如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE＝
EF，求证：BF＝AC．
AB 1 EF 1
(4)如图3，在矩形ABCD中， = ，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且 ＝ ，点G
BC 2 BE 2
是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．
5．（2022·河北·模拟预测）阅读材料：若m2−2mn+2n2−4n+4=0，求m,n的值．解：
∵m2−2mn+2n2−4n+4=0，∴(m2−2mn+n2)+(n2−4n+4)=0
∴(m−n) 2+(n−2) 2=0，∴(m−n) 2=0，(n−2) 2=0，∴n=2，m=2．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)a2+b2+6a−2b+10=0，则a＝ ，b＝ ．
(2)已知x2+2y2−2xy+8 y+16=0，求xy的值．
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2−4a−8b+18=0，求△ABC的周长．
【考点2 三角形的角平分线、中线、高】
6．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的9×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，
△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列要求完成画图，画图过程用虚线表示，
画图结果用实线表示．
(1)在图1中按下列步骤完成画图．
①画出△ABC的高CD；
②画△ACD的角平分线AE；
③画点D关于AC的对称点D′；
(2)如图2，P是网格线上一点，过点P的线段MN分别交AB，BC于点M，N，且PM=PN，画出线段
MN．
7．（2022·浙江金华·校联考一模）如图在5×5的网格中，△ABC的顶点都在格点上．（仅用无刻度的直尺
在给定的网格中按要求画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）(1)在图1中画出△ABC的中线AD；
(2)在图2中画线段CE，点E在AB上，使得S ：S ＝2：3；
△ACE △BCE
(3)在图3中画出△ABC的外心点O．
8．（2022·湖北武汉·校联考模拟预测）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E为BC的中点，以BC为底
边的等腰△BCD按如图所示的位置摆放，且∠DBC=∠ABC．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图
（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作出△ABC的中线CM；
(2)在图2中作出△ABC的中线BN．
9．（2022·江苏泰州·模拟预测）△ABC中，AB：AC=3：2，BC=AC+1，若△ABC的中线BD把
△ABC的周长分成两部分的比是8：7，求边AB，AC的长．
10．（2022·广东·模拟预测）已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE//BC．
（1）如图1，如果点E是边AC的中点，AC＝8，求DE的长；
（2）如图2，若DE平分∠ADC，∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝9，求DF的长．【考点3 三角形的内角和定理】
11．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分
线．
(1)如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF
的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．
①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
②连接DM，求∠EMD的度数；
③若DM＝6√2，ED＝12，求EM的长．
12．（2022·福建·统考中考真题）已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC．
(1)如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；(2)如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，
用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若∠BAD=∠BCD，求∠ADB
的度数．
14．（2022·福建·模拟预测）如图，△ABC与△BDE都是等腰三角形，
AB=BC，BD=BE，∠BAC=∠BDE，连接AD，CE．求证：∠BAD=∠BCE．
【考点4 三角形的外角性质】
16．（2022·四川宜宾·模拟预测）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD，BE相交于点P，
BQ⊥AD于Q．
(1)求证：BE=AD；
(2)求∠BPQ的度数；
(3)若PQ=3，PE=1，求AD的长．
17．（2022·安徽合肥·合肥市庐阳中学校考三模）如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，D、E分别
是直线BC、AC边上的点，直线AD、BE交于点F．BE
(1)如图1，若∠AFE=α=60°，则 =______；（直接写出答案）
AD
BE
(2)如图2，若∠AFE=α=45°，求 的值；
AD
5 BE
(3)如图3，若∠AFB=α，cosα= ，求 的值．
12 AD
18．（2022·浙江杭州·统考中考真题）如图，在Rt ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线
段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠△A=50°，∠ACE=30°．
(1)求证：CE=CM．
(2)若AB=4，求线段FC的长．
19．（2022·江苏宿迁·统考二模）如图
(1)如图甲，已知：在ΔABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB；
(2)如图乙，已知：在ΔABC中，∠A=45°，∠B=15°，AC=1，求AB．
20．（2022·江苏盐城·校考三模）（1）[问题情境]
小春在数学活动课上借助几何画板按照下面的画法画出了一个图形：
如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC、AB为底边在线段AB的同侧作等腰三角形ACP、等腰三角形
ABQ，PC、AQ相交于点D．当P、Q、B在同一直线上时，他发现：∠PAQ=∠CPB．请帮他解释其中
的道理；
（2）[问题探究]
如图2，在上述情境下中的条件下，过点C作CE∥AP交PB于点E，若PD=2CD，PA=9，求CE的长．
（3）[类比应用]如图3，△ABC是某村的一个三角形鱼塘，点D、E分别在边AB、BC上，AE、CD的交点F为鱼塘的钓鱼
台，测量知道 ， ， ，且 ．
∠CAD=∠CDA=67.5° ∠CEA=2∠B AD2=(40000−20000√2)m2 DB=2AD
直接写出CF的长为_______m．
【考点5 等腰三角形的判定与性质】
21．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝
120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．
(1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝
180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明△ADE≌△ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的
证明过程．
(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC
之间的数量关系，并说明理由．
(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝√6，AC与BD相交于点O．若四边
形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．
22．（2022·山东威海·统考中考真题）回顾：用数学的思维思考(1)如图1，在△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．
②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（从①②两题中选择一题加以证明）
(2)猜想：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于
点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：
若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：
如图2，在 ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的
字母），使△得BD＝CE，并证明．
(3)探究：用数学的语言表达
如图3，在 ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延
长线上一点△．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．
23．（2022·海南·统考中考真题）如图1，矩形ABCD中，AB=6,AD=8，点P在边BC上，且不与点
B、C重合，直线AP与DC的延长线交于点E．
(1)当点P是BC的中点时，求证：△ABP≌△ECP；(2)将△APB沿直线AP折叠得到△APB′，点B′落在矩形ABCD的内部，延长PB′交直线AD于点F．
①证明FA=FP，并求出在（1）条件下AF的值；
②连接B′C，求△PCB′周长的最小值；
③如图2，BB′交AE于点H，点G是AE的中点，当∠EAB′=2∠AEB′时，请判断AB与HG的数量关系，
并说明理由．
24．（2022·四川广元·统考中考真题）在Rt ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），
得到线段CD，连接AD、BD． △
(1)如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为 ；
(2)将线段CA绕点C顺时针旋转α时
①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；
②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE．用等式表示线段AD、CE、BE
之间的数量关系，并证明．
25．（2022·浙江宁波·统考中考真题）
(1)如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB,AC,BC上的点，DE∥BC,BF=CF,AF交DE于点G，
求证：DG=EG．DE
(2)如图2，在（1）的条件下，连接CD,CG．若CG⊥DE,CD=6,AE=3，求 的值．
BC
(3)如图3，在 ▱ABCD中，∠ADC=45°,AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点
G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF=40°,FG平分∠EFC,FG=10，求BF的长．
【考点6 等边三角形的判定与性质】
26．（2022·广西贵港·中考真题）已知：点C，D均在直线l的上方，AC与BD都是直线l的垂线段，且
BD在AC的右侧，BD=2AC，AD与BC相交于点O．
AO
(1)如图1，若连接CD，则△BCD的形状为______， 的值为______；
AD
(2)若将BD沿直线l平移，并以AD为一边在直线l的上方作等边△ADE．
3
①如图2，当AE与AC重合时，连接OE，若AC= ，求OE的长；
2
②如图3，当∠ACB=60°时，连接EC并延长交直线l于点F，连接OF．求证：OF⊥AB．
27．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的
中点，连接PG、PC．
(1)如图1，当点G在BC边上时，写出PG与PC的数量关系 ．（不必证明）
(2)如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；
(3)如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．
28．（2022·湖北鄂州·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半
轴上，且OA=6，斜边OB=10，点P为线段AB上一动点．(1)请直接写出点B的坐标；
(2)若动点P满足∠POB=45°，求此时点P的坐标；
(3)如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为
A'，当PA'⊥OB时，求此时点P的坐标；
(4)如图3，若F为线段AO上一点，且AF=2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，
连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积．
29．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几
何问题：
如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上．
求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．
(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC=AE，∠ADC=120°，从
而得出△ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．
请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．
(2)【拓展迁移】如图，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上．①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由．
②若AE2+AG2=10，试求出正方形ABCD的面积．
30．（2022·湖北武汉·统考中考真题）问题提出：如图（1），△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，延
AF
长BC至点E，使DE=DB，延长ED交AB于点F，探究 的值．
AB
AF
(1)先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC=60°时，直接写出 的值；
AB
(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
CG 1
问题拓展：如图（3），在△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，G是边BC上一点， = (n<2)，延
BC n
AF
长BC至点E，使DE=DG，延长ED交AB于点F．直接写出 的值（用含n的式子表示）．
AB
【考点7 含30度角的直角三角形的性质】
31．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，AD=BD，∠ADC=105∘，点E在AD上，
ED
∠EBA=60∘，则 的值是（ ）
CD
2 1 √3 √2
A． B． C． D．
3 2 2 2
32．（2022·青海西宁·统考中考真题）如图，在 ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6，将 ABC绕点A逆
时针方向旋转15°得到 AB′C′，B′C′交AB于点E△，则B′E=________． △
△33．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC,∠ABC=30°，点D为BC的中点，将
△ABC绕点D逆时针旋转得到△A′B′C′，当点A的对应点A′落在边AB上时，点C′在BA的延长线上，连
接BB′，若A A′=1，则△BB′D的面积是____________．
34．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2，点P为
斜边AB上的一个动点（点P不与点A．B重合），过点P作PD⊥AC,PE⊥BC，垂足分别为点D和点
E，连接DE,PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是_____________
35．（2022·湖南长沙·统考中考真题）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业
公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角
∠BAD=30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°．
(1)求该斜坡的高度BD；(2)求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）
【考点8 角平分线的判定与性质】
36．（2022·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）在 △ABC 中， 点 D 是边 AC 上一点， 连接 BD,BD
平分 ∠ABC， 将线段 DC 绕点 D 逆时针旋转得线段DE．
(1)如图 1， E 在线段 BC 上时， 若 ∠BAC=90∘,AD=2,DE=3， 求 AB 的长；
(2)如图 2， 若 E 与点 B 重合， 点 G,F 分别为线段 AB、BC 上的点， 点 M、H 分别为
GD,BC 的中点，点 N 在 DF 的延长线上， 且 DN=BG,∠BDN=3∠ABD， 求证：
BN=2MH；
1
(3)如图 3， 若射线 DE 过 BC 中点 H,BC=6,tan∠ACB= ,∠ABC<2∠ACB， 将 △BHD 沿
2
DE 翻折到同一平面内得到 △B′HD， 过 B′ 做 B′K 垂直于直线 AC， 交直线 AC 于点 K， 当
DC 与 B′K 的乘积最大时， 请直接写出 BE2 的值．
37．（2022·河南安阳·统考二模）【阅读】
通过构造恰当的图形，可以对线段长度大小进行比较，直观地得到线段之间的数量关系，这是“数形结
合”思想的典型应用．
【理解】
（1）如图1，∠MAN=120°，AC平分∠MAN,CD⊥AM,CB⊥AN，求证：AB+AD=AC．
【拓展】（2）如图2，其他条件不变，将图1中的∠DCB绕点C逆时针旋转，CD交MA的延长线于点D，CB交
射线AN于点B，写出线段AD，AB，AC之间的数量关系，并就图2的情形说明理由．
【应用】
（3）如图3，△ABC为等边三角形，AB=4，P为BC边的中点，∠MPN=120°，将∠MPN绕点P转
动使射线PM交直线AC于点M，射线PN交直线AB于点N，当AM=8时，请直接写出AN的长．
38．（2022·江苏镇江·统考模拟预测）如图，△ABC的顶点均在边长为1的正方形网格格点上．
(1)只用不带刻度的直尺，在AC边上找一点D，使得D到AB、BC两边距离相等（不写作法，保留作图痕
迹）
(2)D到AB的距离是 ．
39．（2022秋·四川广元·八年级统考期中）已知：如图， BD 为 ΔABC 的角平分线，且BD=BC，E为
BD延长线上的一点， BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．求证：
(1)ΔABD≅ΔEBC；
(2)AE=CE；
(3)BA+BC=2BF．
40．（2022·江苏扬州·统考二模）如图1，Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=45°，∠C的角平分线交边AB于D
点，BD=√2，(1)请求出AC的长；
(2)如图2，E为CD上的一个动点，AE⊥EF，AC⊥CF，EF交AC于G点，连接AF，当E点在CD间运动时，
EF
请判断 的值是否为一个定值，如果是请求出具体的值，不是，请说明理由；
AE
(3)在（2）的条件下，若AE=EC，请求出 EGC的面积．
【考点9 垂直平分线的判定与性质】 △
41．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分
线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD．
(1)求证：△ABE≌△FMN；
(2)若AB=8，AE=6，求ON的长．
42．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）如图，在△ABC中，AH⊥BC，垂足为H，且
BH=CH，E为BA延长线上一点，过点E作EF⊥BC，分别交BC,AC于F，M．
(1)求证∠B=∠C；
(2)若AB=5,AH=3,AE=2，求MF的长．
43．（2022·黑龙江牡丹江·统考二模）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、点E分别在射线BA、
直线AC上，AF垂直平分DE，交直线BE于点F，连接DF，当点D在BA延长线上，点E在AC边上时，
如图①，易证：CD+DF=BF．(1)当点D在AB边上，点E在CA延长线上时，如图②；当点D在BA延长线上，点E在AC延长线上时，
如图③，请直接写出线段CD，DF，BF之间的数量关系，并对图②给予证明；
(2)在（1）条件下，若S =2S ，CD=√5，则BF=______，AF=______．
△ADF △ABE
44．（2023·福建莆田·统考二模）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=√5，BC=2，AD平分∠BAC．
点P是AC上的一个动点，EF垂直平分BP于E，交AD于点F．
(1)如图1，连接FP和FC，求证：FP=FC；
(2)如图2，取PC的中点M；
①连接EA，MF，在点P的运动过程中，设四边形EFMA的面积为S，AP=x，求S与x之间的函数关系式；
②当线段EF取最小值时，求证：四边形EFMP是矩形．
45．（2022·北京丰台·二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC中点，连接AD．点M
在线段AD上（不与点A，D重合），连接MB，点E在CA的延长线上且ME＝MB，连接EB．
(1)比较∠ABM与∠AEM的大小，并证明；(2)用等式表示线段AM，AB，AE之间的数量关系，并证明．
【考点10 勾股定理】
46．（2022·宁夏·中考真题）综合与实践
知识再现
如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以BC、CA、AB为边向外作的正方形的面积为S 、S 、S ．
1 2 3
当S =36，S =100时，S = ______．
1 3 2
问题探究
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）如图2，分别以BC、CA、AB为边向外作的等腰直角三角形的面积为S 、S 、S ，则S 、S 、S 之
1 2 3 1 2 3
间的数量关系是______．
（2）如图3，分别以BC、CA、AB为边向外作的等边三角形的面积为S 、S 、S ，试猜想S 、S 、S 之
4 5 6 4 5 6
间的数量关系，并说明理由．
实践应用
（1）如图4，将图3中的△BCD绕点B逆时针旋转一定角度至△BGH，△ACE绕点A顺时针旋转一定角度
至△AMN，GH、MN相交于点P．求证：S =S ；
△PHN 四 边 形PMFG
（2）如图5，分别以图3中Rt△ABC的边BC、CA、AB为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，
BC、CA、AB为直径的半圆柱的体积分别为V
1
、V
2
、V
3
．若AB=4，柱体的高ℎ =8，直接写出V
1
+V
2
的值．47．（2022·山东枣庄·统考中考真题）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿
AB方向以每秒√2cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C
运动，设运动的时间为t秒．
(1)如图①，若PQ⊥BC，求t的值；
(2)如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？
48．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，D是BC边上
的一点，以AD为直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE=90°，连接CE．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)若∠BAD=22.5°时，求BD的长．
49．（2022·江苏盐城·统考中考真题）【经典回顾】
梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法图1是其中一种方法
的示意图及部分辅助线．在△ABC中，∠ACB=90°，四边形ADEB、ACHI和BFGC分别是以Rt△ABC的三边为一边的正方形．
延长IH和FG，交于点L，连接LC并延长交DE于点J，交AB于点K，延长DA交IL于点M．
(1)证明：AD=LC；
(2)证明：正方形ACHI的面积等于四边形ACLM的面积；
(3)请利用（2）中的结论证明勾股定理．
(4)【迁移拓展】
如图2，四边形ACHI和BFGC分别是以△ABC的两边为一边的平行四边形，探索在AB下方是否存在平
行四边形ADEB，使得该平行四边形的面积等于平行四边形ACHI、BFGC的面积之和．若存在，作出满
足条件的平行四边形ADEB（保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由．
50．（2022·辽宁大连·统考中考真题）综合与实践
问题情境：
数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ADC=∠ACB．求证
∠ACD=∠ABC．
独立思考：
（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：
（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，延长
CA至点E，使CE=BD，BE与CD的延长线相交于点F，点G，H分别在BF,BC上，BG=CD，
∠BGH=∠BCF．在图中找出与BH相等的线段，并证明．”
问题解决：
（3）数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当∠BAC=90°时，若给出△ABC中任意
两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，
在（2）的条件下，若∠BAC=90°，AB=4，AC=2，求BH的长．”【考点11 勾股定理的逆定理】
51．（2022·江苏淮安·校联考中考模拟）如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下
端B离墙角C的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上了，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下滑
（ ）．
A．0.9米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米
52．（2022·江苏泰州·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，BC=2CD，AB=8，
CD=2√3，AD=2，则BD的长为______ ．
54．（2022·辽宁葫芦岛·统考三模）如图，一个正方形网格中的每个小正方形的边长为1，点D为AB的中
点，则线段CD的长为_________．55．（2022·山东临沂·校考二模）如图，圆柱底面半径为4厘米，高18π厘米，点A、B分别是圆柱两底面
圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为__________．
【考点12 勾股定理的应用】
56．（2022·吉林长春·统考模拟预测）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶
点叫做格点，点A在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点
上；
(1)在图①中，画一个锐角三角形ABC，使它的三边长都是有理数．
(2)在图②中，画一个等腰直角三角形AMN，使它的三边长都是无理数．
(3)在图③中，画一个不等腰的直角三角形APQ，使它的三边长都是无理数．
57．（2022·青海西宁·统考一模）如图1，在 ABC中，D为BC的中点，求证：AB+AC>2AD．
△(1)甲说：不可能出现△ABD≌△ACD，所以此题无法解决；
乙说：我们可以延长AD至点E，使得DE=AD，连接BE,CE，因为BD=DC，就可以直接得到四边形
ABEC是平行四边形．请写出此处的依据：________（平行四边形判定的文字描述）．所以AC=BE，在
△ABE中，AB+BE>AE，即AB+AC>2AD．
(2)请根据乙提供的思路解决下列问题：
如图2，在 ABC中，D为BC的中点，AB=5，AC=3，AD=2．求 ABC的面积．
58．（2022△·山东菏泽·统考一模）如图，某海岸线MN的方向为北△偏东75°，甲，乙两船分别向海岛C运送
物资，甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行，乙船从港口B处沿北偏东30°方向航行，已知港口B到海岛
C的距离为30海里，求港口A到海岛C的距离．
59．（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）桌面上的某创意可折叠台灯的平面示意图如图1
所示，将其抽象成图2，量得∠DCB=60°，∠CDE=165°﹔灯杆CD的长为30cm，灯管DE的长为
20cm，底座AB的厚度为3cm，不考虑其他因素，求台灯的高（点E到桌面的距离，结果保留根号）．60．（2022·河南周口·周口市第一初级中学校考模拟预测）如图，牧童在A处放牛，其家在C处，A、C到
河岸L的距离分别为AB=2km，CD=4km且，BD=8km．
（1）牧童从A处将牛牵到河边P处饮水后再回到家C，试确定P在何处，所走路程最短？请在图中画出饮
水的位置（保留作图痕迹），不必说明理由．
（2）求出（1）中的最短路程．
【考点13 直角三角形斜边的中线的性质】
61．（2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB
于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32√3，则CD的长为（ ）
A．4 B．4√3 C．8 D．8√3
62．（2022·浙江宁波·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为
CE中点．若AE=AD，DF=2，则BD的长为（ ）A．2√2 B．3 C．2√3 D．4
63．（2022·宁夏银川·校考一模）如图，在
▱
ABCD中，AB=5，BC=8.E是边BC的中点，F是
▱
ABCD内一点，且∠BFC=90°. 连接AF并延长，交CD于点G.若，则DG的长为（ ）
5 3
A． B． C．3 D．2
2 2
64．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD=60°，
AD=3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值
是________．
65．（2022·广西·统考中考真题）已知∠MON=α，点A，B分别在射线OM,ON上运动，AB=6．(1)如图①，若α=90°，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为
A′,B′,D′，连接OD,OD′．判断OD与OD′有什么数量关系?证明你的结论：
(2)如图②，若α=60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：
(3)如图③，若α=45°，当点A，B运动到什么位置时，△AOB的面积最大?请说明理由，并求出△AOB面
积的最大值．
【考点14 三角形中位线的定理】
66．（2022·广东·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点
F，点G为EF的中点，连接BD、DG．
(1)试判断△ECF的形状，并说明理由；
(2)求∠BDG的度数．
67．（2022·山东菏泽·统考三模）如图1，在Rt ΔABC中，∠A=90°，AB=AC，点D、E分别在边AB、
AC上，AD=AE，连结DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．
(1)观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)探究证明把ΔADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连结MN、BD、CE，判断ΔPMN的形状，
并说明理由；
(3)拓展延伸把ΔADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出ΔPMN面积的最大值
．
68．（2022·福建厦门·统考模拟预测）如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一动点（不与点A重
合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE．(1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
(2)如图2，当点D不与M重合时，MG∥DE交CE于点G，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
(3)如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH=AM，则∠CAM=_________．
69．（2022·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考三模）如图，在△ABC中，AD是BC边上
的高，CE是AB边上的中线，DF⊥CE于F，CD=AE．
(1)求证：CF=EF；
(2)已知BC=13，CD=5，求△BEC的周长．
70．（2022·吉林长春·统考二模）（1）探究：如图（1），点P在线段AB上，在AB的同侧作△APC和
△BPD，满足PC=PA，PD=PB，∠APC＝∠BPD，连接CD，点E、F、G分别是AC、BD、CD边中点，连
接EF、FG、EG．求证：∠EFG＝∠GEF．
（2）应用：如图（2），点P在线段AB上方，∠APC＝∠BPD＝90°，图（1）题中的其他条件不变，若
EF＝2，则四边形ABDC的面积为 ．
