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专题 07 锐角三角函数
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）锐角三角函数
在Rt△ABC中，∠C=90°。则∠A的三角函数为
定义 表达式 取值范围 关系
正弦 sin A=cosB
cosA=sinB
余弦
正切 tanA＞0
（二）特殊角三角函数
三角函数 30° 45° 60°
1
（三）直角三角形边角关系
设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
③边角之间的关系：， ，
④ ，h为斜边上的高.
（四）解直角三角形常见类型及解法
（五）解直角三角形的应用举例
已知条件 解法步骤
a
由tan A= ，求∠A；
b
两直角边(a，b)
∠B=90°－∠A；
Rt△ABC 两
a
边
由sinA= ，求∠A；
c
斜边，一直角边(如c，a)
∠B=90°－∠A；
∠B=90°－∠A，
b
锐角、邻边 c=
cosA
(如∠A，b)
一 一直角边
边 和一锐角
∠B=90°－∠A，
一 锐角、对边
角 (如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
斜边、锐角(如c，∠A)
(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离 的比叫做坡度，用字母 表示，则 ，
如图，坡度通常写成 的形式.
(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫
做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标
方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的水平角，叫做方向角，如图②
中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏
西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏
西45°，西北方向指的是北偏西45°
模块三 考点一遍过
考点1：锐角三角函数定义
2
典例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=3,sinB= ，那么边AC的长是（ ）
3
2
A． B．1 C．2 D．√5
3
【变式1】如图．在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，
AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（ ）√3 √5 2 2√5
A． B． C． D．
5 5 5 5
【变式2】如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC=（ ）
1 √5 2√5
A． B．2 C． D．
2 5 5
【变式3】等腰三角形的两边长分别为10和12，则这个等腰三角形的底角的正切值为 ．
【变式4】若一个三角形三条边长的比为1:√3:2，则最小角的余弦值是 ．
【变式5】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=180°，AC=10，
4
sin∠ACD= ，则四边形ABCD的面积为 ．
5
考点2：特殊角三角函数值
√3 1
典例2：△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sin A= ，cosB= ，则△ABC的形状是（ ）．
2 2
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
【变式1】估计4sin60°的值在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【变式2】下列式子中不成立的是（ ）
1
A．√2cos45°=2sin30° B．sin30°⋅cos60°= sin245°
2
C．cos45°−sin45°=0 D．3sin(30°+30°)=sin30°+sin30°
【变式3】如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA，OB于点C，D，连接
CD，则tan∠OCD的值为 ．【变式4】计算：sin245°⋅cot60°−cos30⋅tan230°= ．
【变式5】 中， 均为锐角，且 ，则 的形状是
△ABC ∠A,∠B |tanB−√3|+(2sin A−√3) 2=0 △ABC
．
考点3：锐角三角函数增减性
典例3：已知在△ABC中，∠C=90°，45°<∠B<60°，设cosB=n，那么n的取值范围是
（ ）
√2 1 √2 1 √2 √3
A．
