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专题 07 锐角三角函数
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）锐角三角函数
在Rt△ABC中，∠C=90°。则∠A的三角函数为
定义 表达式 取值范围 关系
正弦 sin A=cosB
cosA=sinB
余弦
正切 tanA＞0
（二）特殊角三角函数
三角函数 30° 45° 60°
1
（三）直角三角形边角关系
设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
③边角之间的关系：， ，
④ ，h为斜边上的高.
（四）解直角三角形常见类型及解法
（五）解直角三角形的应用举例
已知条件 解法步骤
a
由tan A= ，求∠A；
b
两直角边(a，b)
∠B=90°－∠A；
Rt△ABC 两
a
边
由sinA= ，求∠A；
c
斜边，一直角边(如c，a)
∠B=90°－∠A；
∠B=90°－∠A，
b
锐角、邻边 c=
cosA
(如∠A，b)
一 一直角边
边 和一锐角
∠B=90°－∠A，
一 锐角、对边
角 (如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
斜边、锐角(如c，∠A)
(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离 的比叫做坡度，用字母 表示，则 ，
如图，坡度通常写成 的形式.
(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫
做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标
方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的水平角，叫做方向角，如图②
中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏
西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏
西45°，西北方向指的是北偏西45°
模块三 考点一遍过
考点1：锐角三角函数定义
2
典例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=3,sinB= ，那么边AC的长是（ ）
3
2
A． B．1 C．2 D．√5
3
【变式1】如图．在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，
AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（ ）√3 √5 2 2√5
A． B． C． D．
5 5 5 5
【变式2】如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC=（ ）
1 √5 2√5
A． B．2 C． D．
2 5 5
【变式3】等腰三角形的两边长分别为10和12，则这个等腰三角形的底角的正切值为 ．
【变式4】若一个三角形三条边长的比为1:√3:2，则最小角的余弦值是 ．
【变式5】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=180°，AC=10，
4
sin∠ACD= ，则四边形ABCD的面积为 ．
5
考点2：特殊角三角函数值
√3 1
典例2：△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sin A= ，cosB= ，则△ABC的形状是（ ）．
2 2
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
【变式1】估计4sin60°的值在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【变式2】下列式子中不成立的是（ ）
1
A．√2cos45°=2sin30° B．sin30°⋅cos60°= sin245°
2
C．cos45°−sin45°=0 D．3sin(30°+30°)=sin30°+sin30°
【变式3】如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA，OB于点C，D，连接
CD，则tan∠OCD的值为 ．【变式4】计算：sin245°⋅cot60°−cos30⋅tan230°= ．
【变式5】 中， 均为锐角，且 ，则 的形状是
△ABC ∠A,∠B |tanB−√3|+(2sin A−√3) 2=0 △ABC
．
考点3：锐角三角函数增减性
典例3：已知在△ABC中，∠C=90°，45°<∠B<60°，设cosB=n，那么n的取值范围是
（ ）
√2 1 √2 1 √2 √3
A． <n<1 B． <n< C．0<n< D． <n<
2 2 2 2 2 2
1
【变式1】已知 <cosα<sin80°，则锐角α的取值范围是（ ）
2
A．30°<α<80° B．10°<α<80° C．60°<α<80° D．10°<α<60°
【变式2】若
30°<α<β<90°
，则
√(cosβ−cosα) 2−
|
cosβ−
√3|
+|1−cosα|=
．
2
【变式3】下列结论（其中α是锐角）：①sinα+cosα≤1；②cos2α=2cosα；③当
0°<α<β<90°时，0<sinα<sinβ<1；④sinα=cosαtanα．其中正确的有 ．
考点4：解直角三角形——直接法
1
典例4：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，tanB= ．
2
(1)求BC的长；
(2)求cosA的值．
【变式1】（1）计算：√2⋅cos45°−sin260°+tan45°
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，求∠A的余弦值和正切值．
【变式2】如图，Rt△ABC中，已知∠C=90°,∠B=32°,AB=4，点D在BC边上，且
∠CAD=37°，求CD的长．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,sin32°≈0.55,cos32°≈0.83,tan32°≈0.66）
【变式3】【问题提出】已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积．
【性质探究】
探究一：
（1）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=b，BC=a，∠B=α，
∵ Rt△ABC ∠ACB=90°
在 中，
∴sinα=
∴AC=b⋅sinα
1
∴S = BC⋅AC=
ΔABC 2
探究二：
（2）在△ABC中，AB=b，BC=a，∠B=α(α<90°)，求△ABC的面积（用a、b、α表示）．
【性质应用】
（3）在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=7，∠B=30°，则平行四边形ABCD的面积为 ．
考点5：解直角三角形——化斜为直
典例5：如图，在△ABC中，∠B=30°，∠BCA=45°，AC=4，求AB的长．（
√6+√2 √6−√2
sin75°= ，cos75°= ）
4 4
【变式1】阅读下列材料：b c
(1)如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证： = ；
sinB sinC
(2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC=80米，求AB的长
（结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9）
【变式2】我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC中，
底边 BC
AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA= = ．容易知道一个角的大小与这个角
腰 AB
的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)sad90°=________．
(2)对于0°<A<180°，∠A的正对值sadA的取值范围是________．
3
(3)如图②，已知sinA= ，其中∠A为锐角，试求sadA的值．
5
【变式3】已知△ABC中，∠A=30°,AB=4．
(1)如图1，若∠C=90°，则AC=________（结果保留根号）
(2)如图2，若∠C=45°，求AC的长．（结果保留根号）
考点6：同角三角函数关系典例6：我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三
边分别为a、b、c的 的面积为 1√ (a2+b2−c2 ) 2 ． 的边a、b、c所对的
△ABC S = a2b2− △ABC
△ABC 2 2
1 1 1
角分别是∠A、∠B、∠C，则S = absinC= acsinB= bcsin A．下列结论中正确的是
△ABC 2 2 2
（ ）
a2+b2−c2 a2+b2−c2
A．cosC= B．cosC=−
2ab 2ab
a2+b2−c2 a2+b2−c2
C．cosC= D．cosC=
2ac 2bc
【变式1】若sinα−cosα=m，则sinα⋅cosα的值是（ ）
1 1
A．1+m2 B．1−m2 C． (1+m2) D． (1−m2)
2 2
sin A
【变式2】同角三角函数关系：sin2A+cos2A= ；tan A=
cosA
sinα−cosα
【变式3】已知α是锐角，且tanα=2，则 = ．
sinα+cosα
考点7：互余两角三角函数关系
典例7：已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：
如图1：
sin2∠A +sin2∠B =
1 1
如图2：
sin2∠A +sin2∠B =
2 2
如图3：
sin2∠A +sin2∠B =
3 3
①观察上述等式，猜想：如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2∠A+sin2∠B= ；
②如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的
定义和勾股定理，证明你的猜想；③已知：∠A+∠B=90°，且sin∠A=0.7，求sin∠B．
【变式1】如图，在△ABC中，AD⊥BC，再添加一个条件就能够证明△ABC是直角三角形．
(1)给出下列四个条件：①sinB=sinC；②sinB=cosC；③AC2=CD⋅BD；④AD2=BD⋅CD，
其中可以选择的条件有____________（填序号）；
(2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明．
【变式2】若a为锐角．
(1)求证：① ；② ；
sinα=cos(90∘−α) sin2α+cos2α=1
(2)试求：sin21°+sin22°+⋯+sin245°+⋯+sin288°+sin289°的值．
【变式3】嘉嘉在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，
sin29°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，
sin37°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，
2 2
sin245°+sin245=
(√2)
+
(√2)
=1
．
2 2
据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角α，β，若α+β=90°，均有sin2α+sin2β=1．
(1)当α=30°，β=60°时，验证sin2α+sin2β=1是否成立？
(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示Rt△ABC给予证明，其中∠A所对的边为a，
∠B所对的边为b，斜边为c；若不成立，请举出一个反例；
(3)利用上面的证明方法，直接写出tanα与sinα，cosα之间的关系．
考点8：解直角三角形应用——仰角俯角
典例8：在数学活动课上，老师带领学生去测量某建筑物AB的高度．如图，在C处用高1米的测倾
器测得建筑物顶部A的仰角为α，向建筑物的方向前进20米到达D处，在D处测得建筑物顶部A的
仰角为β，此时与建筑物AB的距离（FG的长）是12米，经计算得知建筑物AB的高约为17米．(1)求线段AF的长度和tanα的值；
(2)求sin∠EAF的值．
【变式1】某数学研学小组将完成测量古塔大门上方匾额高度的任务，如图1是悬挂巨大匾额的古塔，
如图2，线段BC是悬挂在墙壁AM上的匾额的截面示意图，已知BC=1米，∠MBC=37°，起始点
D处看点C，仰角∠ADC=45°，继续向前行走，在点E处看点B，仰角∠AEB=53°，且D到E
走了2.4米，作CN⊥AM．（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
(1)CN=______；BN=______．
(2)求匾额下端距离地面的高度AB．
【变式2】综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如
下：
【实地测量】
(1)利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶
端A，∠DCE=∠ACB．小组中的同学测得小康的眼睛距地面高度DE=1.5米，小康到镜面的距离EC=3米，镜面到旗杆的距离CB=15米．求旗杆的高度．
(2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼晴D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在
一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度为1.5米，标杆高CF=4米，EF=3米，
BF=9米，DE，CF，AB均垂直于地面，DH与水平面平行．求旗杆的高度．
(3)利用测角仪测量：小华所在的小组决定先在水平地面上选取观测点E，F（E，F，B在同一直线
上），分别测得旗杆顶端A的仰角∠α=39°，∠β=28°，再测得EF=6米，点C，D到地面的距离
CF，DE均为1.5米．求旗杆的高度（参考数据：tan28°≈0.5，tan39°≈0.8）．
【变式3】综合与实践：
A．新增选项
项目 测量某塔的高度
方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测 方案二：利用锐角三角函数，测量：距离CD
方案
量：标杆长CD，影长ED，塔影长DB． ，仰角α，仰角β．
测量
示意
图
测量 测量
第一次 第二次 平均值 第一次 第二次 平均值
项目 项目
CD 1.61m 1.59m 1.6m 26.4° 26.6° 26.5°
测量 ED 1.18m 1.22m 1.2m α 37.1° 36.9° 37°
数据
DB 38.9m 39.1m 39m CD 34.8° 35.2° 35m
(1)根据“方案一”的测量数据，求出塔AB的高度；
(2)根据“方案二”的测量数据，求出塔AB的高度；（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）
考点9：解直角三角形应用——方位角
典例9：某公园有一景观湖泊，围绕湖泊修建了如图所示的步道，已知点A在点C的正南方，点B在
点C的东南方向，在点A的北偏东30°方向上，点D在点A的正西方，在点C的南偏西60°方向上，若
AB=300m．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）(1)求BC的长度（精确到0.1m）；
(2)周末小聪和爸爸到公园游玩，小聪选择沿路线A→D→C慢跑到点C，他的平均速度是
120m/min，爸爸选择沿路线A→B→C散步到点C，他的平均速度为60m/min，若两人同时出
发，请通过计算说明小聪和爸爸谁会先到达点C．
【变式1】为满足市民需求，我市在一小岛两侧开辟了两条跑步路线：①A→B→C→D，②
A→E→D．经勘测，点B在点A的北偏东30°方向6千米处，点B在点C的西北方向6千米处，点
D在点A的正东方向，点D在点C的正南方向，点E在点A的南偏东15°方向，点E在点D的西南方
向．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）
(1)求C，D之间的距离（结果保留整数）；
(2)时间原因，小黎决定选择一条较短路线进行锻炼，请通过计算说明她应该选择路线①还是路线②
（结果保留整数）
【变式2】周末，小宏和小帆准备相约去湖边景点D钓鱼．如图，A,B,C,D为同一平面内的四个
景点．已知景点A位于景点B的正东方向，景点D位于景点C的正东方向，景点A位于景点D的西南
方向3000米处，景点B位于景点D的南偏西53°方向，景点C位于景点B的北偏东30°方向．（参考
4 3 4
数据：sin53°≈ ,cos53°≈ ,tan53°≈ ，√2≈1.41,√3≈1.73,√6≈2.45）
5 5 3(1)求景点D到景点B的距离。（结果保留根号）
(2)小宏选择路线A−B−D以1.6米/秒前往景点D处，小帆选择路线B—C−D以1.5米/秒前往景点
D，两人在各景点处停留的时间忽略不计。已知两人同时出发且匀速前进，请通过计算说明谁先到
达景点D．（结果保留1位小数）
【变式3】2023年7月4日四川卧龙熊猫基地D新诞生一对双胞胎熊猫宝宝，吸引了大批游客前往
观看．由于A、B之间的道路正在进行维护，暂时不能通行游客由入口A进入园区之后可步行到达点
C，然后可以选择乘坐空中缆车从C→D，也可选择乘坐观光车从C→B→D．已知点C在点A的
北偏东45°方向上，点D在点C的正东方向，点B在点A的正东方向400米处，点D在点B的北偏
东60°方向上，且BD=600米（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√10≈3.162）
(1)求CD的长度（精确到1）；
(2)已知空中缆车的速度是每分钟120米，观光车的速度是每分钟220米，若游客想尽快到达熊猫基
地D，应选择乘坐空中缆车还是观光车？（精确到0.1）
考点10：解直角三角形应用——坡比
典例10：如图1是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，图2是该设计第一层的截面
图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，深为0.4米，轮椅专用坡道AB的顶端有一个长2
米的水平面BC．
《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度
应符合以下表中的规定：坡度 1:20 1:16 1:12
最大高度
1.50 1.00 0.75
（米）
(1)选择哪个坡度建设轮椅专用坡道AB是符合要求的？说明理由；
(2)相关部门开展广场台阶的设计规划，现在设计每级台阶的宽度为1.5米，那么第一层的台阶坡道
建造需要规划多少面积的用地？
【变式1】“周末不忙，来趟衡阳！”小明与小亮相约到南岳衡山旅游风景区登山，需要登顶
1200m高的山峰，由山底A处先步行600m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知
点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°
（换乘登山缆车的时间忽略不计）
(1)求登山缆车上升的高度DE；
(2)若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多
少分钟（结果精确到0.1min）（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【变式2】为方便山区的山货运输，某地计划在图1所示的山上开辟一条山路，其截面示意图如图
2．从山脚的点A开始向山上修建坡道AB和CD，并在点B与点C之间设置一段与地面l平行的平路
BC，其中AB=CD=600m，BC=50m，坡道AB，CD的坡角分别为15°，45°．(1)求点B到水平地面l的高度；
(2)求点A与点D之间的水平距离．
（结果精确到1m．参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，√2≈1.41）
【变式3】风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力
发电装置；如图2为简化图，塔座OD建在山坡DF上（坡比i=3:4，DE垂直于水平地面EF，O，
D，E三点共线），坡面DF长10m，三个相同长度的风轮叶片OA，OB，OC可绕点O转动，每两
个叶片之间的夹角为120°；当叶片静止，OA与OD重合时，在坡底F处向前走25米至点M处，测
得点O处的仰角为53°，又向前走23.5米至点N处，测得点A处的仰角为30°（点E，F，M，N在
同一水平线上）．
(1)求叶片OA的长；
(2)在图2状态下，当叶片绕点O顺时针转动90°时（如图3），求叶片OC顶端C离水平地面EF的距
4 3 4
离．（参考数据：sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈ ，√3≈1.7，结果保留整数）
5 5 3
考点11：解直角三角形应用——实物建模
典例11：综合与实践
素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点A，C为墙壁上的固定点，摇臂
CB绕点C旋转过程中长度保持不变，遮阳棚AB可自由伸缩，棚面始终保持平整．
CA=CB=CD=1.5米．素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角α的正切值：
时刻（时） 12 13 14 15
角α的正切
5 2.5 1.25 1
值
【问题解决】
(1)如图2，当∠ACB=90°时，这天12时在点E位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放
位置与墙壁的距离；
(2)如图3，旋转摇臂CB，使得点B离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天15时前（包括15时）都不
被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？
【变式1】阿代的数学研学日记
课题：测量旗杆的高度
地点：青岛市山海二十六中学操场
时间：2025月3月2日
昨天上午代兴国老师要带我们去操场测量旗杆的高度，昨天我们小组设计了一个方案，方案如下：
小亮拿着标杆垂直于地面放置，我和小聪用卷尺测量标杆、标杆的影长和旗杆的影长，如图1所
示，标杆AB=a，影长BC=b，旗杆的影长DF=c，则可求得旗杆DE的高度为_______．
今天测量时阴天就不能用昨天的方案了，
如图2所示，张世昌老师将升旗用绳子拉直，使绳子的底端G刚好触到地面，用仪器测得绳子与地
面的夹角为37°，然后又将绳子拉到一个0.5米高的平台上，拉直绳子使绳子上的H点刚好触到平台，剩余的绳子长度为5米，此时测得绳子与平台的夹角为54°，利用这些数据能求出旗杆DE的高
度吗？
请你回答阿代的问题．若能，请求出旗杆的高度；若不能，请说明理由．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75；sin54°≈0.8，cos54°≈0.58，
tan54°≈1.45）
【变式2】阅读与思考
请阅读下面的科普材料，并完成相应的任务．
圭表是度量日影长度的一种天文仪器．古代劳动人民用正午时分圭表上日影的长短来确定一年四
季，并在历书中排出了二十四个节令的日期，由此指导劳动人民的农事活动．
如图1，夏至线表示夏至正午时分表的顶端落在圭上的影子的位置，夏至是全年日影最短的一天；
冬至线是冬至正午时分表的顶端落在圭上的影子的位置，冬至是全年日影最长的一天．
工人师傅尝试设计了一个圭
表模型，图2是其截面示意图．其中OP⊥OB，点A为夏至线所在的位置，点B为冬至线所在的位
置，OP=15cm，点O，A，B，P在同一竖直平面内，点O，A，B在同一条直线上．据调查，该地
冬至正午时分的太阳高度角为30°，夏至正午时分的太阳高度角为77°．（注：太阳高度角是指对地
球上的某个地点太阳光入射方向和地平面的夹角）
任务：
(1)求OA和OB的长．
(2)已知该地春分正午时分的太阳高度角是53.5°，工人师傅想在图2中AB之间标出春分线的位置C，
请直接写出OC的长．（结果保留一位小数．参考数据：sin77°≈0.97，cos77°≈0.22，
tan77°≈4.33，sin53.5°≈0.80，cos53.5°≈0.59，tan53.5°≈1.35，√3≈1.73．）
【变式3】实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求
为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验置图抽象成右侧示意
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图，已知试管AB=24cm，BE= AB，试管倾斜角∠ABG为12°．（参考数据：sin12°≈0.21；
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cos12°≈0.98）．(1)求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度：
(2)实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点
C, D, N, F在一条直线上），经测得：DE=28cm，MN=8cm，∠ABM=147°，求线段DN的
长度（结果精确到0.1）．
