高一数学答案_2026年04月高一试卷_260421浙江省余姚中学2025-2026学年高一下学期4月质量检测试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
A C B A B D C B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9 10 11
AC ACD ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
6
12．0 13． 14．3
4
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【解析】 因为 ， ，所以z z 34a43ai，-------------2分
1 2
(1) 1 th  1
34a0
3
因为z z 是纯虚数，所以 ，解得a  ，----------------------------------------4分
1 2 43a0 4
2
3 3 5
所以z 1 i，故 z  12     .-------------------------------------------------------6分
2 4 2 4 4
依题意， ，即 ，------------8分
 
(则) (1)且(1)h，t-------------(---------------)--h----(--------)----------------------10分

( ) () 
解得 或 或 ．-------------------------------------------------------------13分
    
    
16．（15分）
【解析】 设 ，依题意有 ，------------------------------------------------1分
由 (，1) 且(䁥)，即 t ，(得t：) -------------------------------3分
䁥ht 
 1 t t  
䁥 h 1
解得 或 （舍去）
t t
䁥 䁥 
 
  
第1页，共5页所以 -------------------------------------------------------------------------------------5分
t 
设

向

量
与 单位向量
的夹角为 ， 在单位向量 上的投影向量为 ， 则
()    --  -  -  ----------------  -  ----------------------  -  ---------------7分

 th


又因为 ，所以 ，
t  1t
(1)  1  h  
所以向量 在单位向量 上的投影向量的模为 --------------------------------------------11分
1t
   
---------------------------------------------------------15分
1 1 1t 1t
(t)t t     
17．（15分）
（1）由题意知 ，
由正弦定理可得(，h)(t) t(，即) ，------------------------2分
  
∴cosB= ( = h ， ) -- ( -  --  ---  -- ) --  --- t - ( --  --  --- t - ) -------  ---- h --- t ---  ---  ----  ---  -- t ----------------------------4分
  
 ht  1
t 
又 ，所以 ．------------------------------------------------------------------------------6分

t () t a t c b 10 3 10 3
（2）由正弦定理得    ，所以ac (sinAsinC)---------8分
sinA sinC sinB 3 3
2
∵ AC  ，
3
10 3  10 3 3 3 
∴ac [sinAsin(A )]  ( sinA cosA) 10sin(A )-----------10分
3 3 3 2 2 6
 
0 A
  2  
又△ABC为锐角三角形，则 ，解得：  A ，------------------12分
 0C  2 A  6 2
 3 2
  2 3 
所以  A  ，所以 sin(A )„1，
3 6 3 2 6
所以5 3ac„10，故55 3abc15

即△ABC周长的取值范围是 55 3,15 ．-------------------------------------------------------15分

第2页，共5页18．（17分）
【解析】 证明：连接 交 于点 ，
， 分(别1)为 ， A的C中点B，D O ．---------------------------------------------------2分
∵ E F平面 AD1，且CD1 平面 ∴ EF/，​ /AC
∵ AC⊂平面 ABCD．-----E--F--⊄---------A--B--C--D----------------------------------------------------------------4分
∴ EF// ABCD
且 ，
(∴)∵ EF//或A其C 补角BC为1/​ /与AD1 所成的角．----------------------------------------------------------7分
∠D1AC ， EF BC1
∵ ACAD1 C，D即1 与 所成角的大小为 ．-----------------------------------------------9分
∘ ∘
∴∠连D1接AC 6，过 作EF BC1 于点 ． 6
(t) D平1O面 D，且DGD1平O面 G ，
∵ DD1  ，A又BCD AC且⊂ ABCD ， 、 平面 ，
∴ DD1 平A面C B．D------A-C-------D--D-- 1 --∩--B--D------D-----D--D-- 1 ----B--D---⊂--------D-- 1 -D--O---------------------------11分
∴ AC平面D1DO， ，
∵又DG⊂ D，1D且O ∴DG AC ， 、 平面 ，
DG平D面1O ，A-C--∩---D-- 1 -O------O-----A--C----D-- 1 --O--⊂---------A--C--D-- 1 ----------------------------------------13分
∴直DG线 与A平C面D1 所成角的大小等于 ．-----------------------------------------------15分
∴ BD D1EF ∠DOD1
正方体的边长为 ， ， ，

∵ 1 ∴ DD1 1 DO 
．------------------------------------------------------------------------------17分
DD1
∴ tan∠DOD1  DO  
第3页，共5页19．（17分）
连接 ，在三棱台 中， ，
(1) AB1 ABC，A1B四1C边1形 AB//A为1B等1 腰梯形且 ，
∘
∵设ABAA，1则A1B1 ，BB1 ∴ ABB1A1 ∠ABB1 ∠BAA1 6
由余AB弦定理x得：BB1 x ，
   ∘ 
t1，t htt1，ttt1th6 t䁥
  
∴平AB面AB1hB平B1面∴AB1 ，B平B1面 平面 ， 平面 ，
∵ AB平B面1A1  ，B-C--C- 1 --B- 1 -----------A--B--B-- 1 -A-- 1 --∩---------B--C-C-- 1 -B-- 1 -----B--B-- 1 ----A--B-- 1 --⊂---------A--B--B-- 1 -A-- 1 -2分
∴又AB1 平面BCC1B1， ，------------------------------------------------------------------3分
BC ⊂ 是以BC为C1直B1角顶∴ A点B的1 等B腰C直角三角形，
∵▵ABC ，---B-----------------------------------------------------------------------------------------------4分
∴ BC AB ， 平面 ，
∵ AB∩平AB面1 A AB；A--B-- 1 --⊂---------A-B--B-- 1 -A-- 1 --------------------------------------------------------------5分
∴ BC ABB1A1
由棱台的性质知：延长 交于一点 ，
() ， AA1BB1C，C1 P ，
1
∵A1B1 AB ∴S▵ABC S▵A1B1C1 ∴ VPABC 8VPA1B1C1
，
8 8 7 t  t
∴VPAB 平 C 面7VABCA ， 1B1 即 C1 7平1面  t，
∵ BC即 为三A棱B锥B1A1 B中C，点 P到AB平面 的距离，
∴由BC 中所设： PABC ， C PAB ，
∘
(1) 为等边A三B角形BC，x ∠PAB ∠PBA，6
∴▵PAB ∴ PAPBABx
， ，
1 1 1  t  t t  t
∴VPABC tS▵PABBC t， x   ，x t x  t ∴ x1
∴ ABBC PAPB  ∴ ACPC 
，
1  
∴S▵PAC    1  7第4页，共5页设点 到平面 的距离为 ，即为点 到面 的距离，
B ACC1A1 d B PAC
， ，解得： ，
1 7  t  1
∵VPABC VBPAC ∴tS▵PACd t d t d 7
即点 到平面 的距离为 ．-------------------------------------------------------------9分
 1
B 平面ACC1A1 ， 平7面 ， 平面 平面 ，
(取t)∵ B中C点 ，连AB接B1A1，BC，⊂在正ABC 中∴， ABC ， PAB
平A面B N平面 PN CN， 平▵P面AB ，PN  AB平面 ，
∵又 AB平C面∩ ，PAB平面AB PN平⊂面 PA，B ∴ PN ABC
作PN⊂ 于PN，C 因∴为平面PNC  平面ABC ， 平面 ，
所以FE CN平面E ， PNC∩ ABC CN FE⊂ PNC
作 FE ，连A接BC ，
ED平A面B ，FD 平面 ， ，
∵ FE AB，C AB⊂ 平面ABC ，∴AB F平E面 ，
∵ DE∩平FE面E ，DEFE⊂ ，DEF ∴ AB DEF
∵ FD⊂ 为二D面E角F ∴ AB FD的平面角，----------------------------------------------------------13分
∴设∠FDE ，在 FAB中，C作 ，
FE t，t PCN，又 P平O面 CN ， 平面 ，
∵ FE CN ∴ PO//FE FE ABC ∴PO  ABC
，解得： ，
1 1 1  t
∴ 由 VP 知 ABC ：tS▵ABCPO t，PO t ， PO t
 
() ACPC  ∴OC PC PO  
， ，
EF CE 
∵PO OC ∴ CE t
，
tt t
，
 
∵ CN  h1   ∴EN  t
， ，
EN  t
∵ DE//BC ∴DE CNBC  t
若存在 使得二面角 的大小为 ，
π
F FABC 6
则 ，解得： ，
π FE tt t 
tan∠FDEtan6 DEt t t 
，
   
∴ CF CE hEF  t  <CC1  
存在满足题意的点 ，且 ．-------------------------------------------------------------17分
 
∴ F CF 
第5页，共5页