文档内容
专题 08 几何中的面积问题
面积问题是压轴题中常考的问题，不仅在几何压轴题中，在函数压轴题中考查的频率也很高。几何压轴
题中的面积问题往往比较抽象，并不是简单几何图形的面积，通常情况下，我们需要对所求的几何图形面
积进行转化为我们熟悉的可求的类型。在几何压轴题中的面积考查主要表现为两个方面：一是求某个几何
图形的面；二是求变化中的几何图形面积的最值。
一、求某个几何图形面积的类型，常用的方法：
1.添加辅助线：通常包括做出三角形的高，割补法构造三角形等。
2.图形变换的方式对所求图形进行转化，例如通过平移、旋转等变化，把复杂图形转化为三角形等。
3.可以利用三角形全等，对图形进行转化。
4.利用相似三角形的面积之比等于相似比，构建方程进行求解。
二、求变化中的几何图形的面积问题：
（1）方程与函数的方法：通常需要设出未知数x，并用x表示出求面积所必需的边长和高，构建方程求出
未知数，或构建函数，利用函数的性质求得面积的最值。
（2）几何的方法：一般情况下，在求变化中几何图形的面积的最值时，需要我们找准变化的量，讨论变
化的量的临界值，例如：在求变化三角形的面积最值时，如果底边长一定，而底边上的高在不断的变化，
我们就要根据高线变化的规律，寻找高的最大值或者最小值的情况，从而求得面积的最小值。
（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任
意一点，连结 交 于点 ， 平分 交 于点G．
(1)求证： .(2)若 ．
①求菱形 的面积.
②求 的值.
(3)若 ，当 的大小发生变化时（ ），在 上找一点 ，使 为定值，说
明理由并求出 的值．
（1）由菱形的性质可证得∠CBD＝∠ABD＝ ∠ABC，由 平分 交 于点G，得到∠CBG＝
∠EBG＝ ∠CBE，进一步即可得到答案；
（2）①连接AC交BD于点O,Rt△DOC中，OC＝ ，求得AC＝8，由菱形的面积
公式可得答案；②由BG AC，得到 ，DH＝HG，DG＝2DH，又由DG＝2GE，得到EG＝
DH＝HG，则 ，再证明△CDH∽△AEH，CH＝ AC＝ ，OH＝OC－CH＝4－ ＝ ，利用正切
的定义得到答案；
（3）过点G作GT BC，交AE于点T，△BGE∽△AHE，得AB＝BE＝5，则EG＝GH，再证
△DOH∽△DBG，得DH＝GH＝EG，由△EGT∽△EDA得 ，GT＝ ，为定值，即可得到ET
的值．
【答案】(1)见解析
(2)①24，②
(3) ＝ ，理由见解析
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，AB CD，
∴∠BDC＝∠CBD，∠BDC＝∠ABD，∴∠CBD＝∠ABD＝ ∠ABC，
∵ 平分 交 于点G，
∴∠CBG＝∠EBG＝ ∠CBE，
∴∠CBD＋∠CBG＝ （∠ABC＋∠CBE）＝ ×180°＝90°，
∴∠DBG＝90°；
（2）解：①如图1，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，
∴OD＝ BD＝3，AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
在Rt△DOC中，OC＝ ，
∴AC＝2OC＝8，
∴ ，
即菱形 的面积是24．
②如图2，连接AC，分别交BD、DE于点O、H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵∠DBG＝90°
∴BG⊥BD，∴BG AC，
∴ ，
∴DH＝HG，DG＝2DH，
∵DG＝2GE，
∴EG＝DH＝HG，
∴ ，
∵AB CD，
∴∠DCH＝EAH，∠CDH＝∠AEH，
∴△CDH∽△AEH，
∴ ，
∴CH＝ AC＝ ，
∴OH＝OC－CH＝4－ ＝ ，
∴tan∠BDE＝ ；
（3）如图3，过点G作GT BC交AE于点T，此时ET＝ ．
理由如下：由题（1）可知，当∠DAB的大小发生变化时，始终有BG AC，
∴△BGE∽△AHE，
∴ ，
∵AB＝BE＝5，
∴EG＝GH，
同理可得，△DOH∽△DBG，∴ ，
∵BO＝DO，
∴DH＝GH＝EG，
∵GT BC，
∴GT AD，
∴△EGT∽△EDA，
∴ ，
∵AD＝AB＝5，
∴GT＝ ，为定值，
此时ET＝ AE＝ （AB＋BE）＝ ．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，熟练掌握相似
三角形的判定和性质是解题的关键．
（2022·山东东营·统考中考真题） 和 均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以
相同的速度沿 运动，运动到点B、C停止.
(1)如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段 的数量关系是____________，位置关
系是____________；
(2)如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成
立，请说明理由；
(3)当点D运动到什么位置时，四边形 的面积是 面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.
（1）根据 和 均为等边三角形，得到AF=AD，AB=BC，∠FAD=∠ABC=60°，根据E、D分
别与点A、B重合，得到AB=AD，EF=AF，CD=BC，∠FAD=∠FAB，推出CD=EF，CD EF；
（2）连接BF，根据∠FAD=∠BAC=60°，推出∠FAB=∠DAC，根据AF=AD，AB=AC，推出
△AFB≌△ADC，得到∠ABF=∠ACD=60°，BF=CD，根据AE=BD，推出BE=CD，得到BF=BE，推出
△BFE是等边三角形，得到BF=EF，∠FEB=60°，推出CD=EF， CD∥EF；
（3）过点E作EG⊥BC于点G，设△ABC的边长为a，AD=h，根据AB=BC，BD=CD= BC= a，
BD=AE，推出AE=BE= AB，根据AB=AC， 推出AD⊥BC，得到EG AD，推出△EBG∽△ABD，推出
，得到 = h，根据CD=EF， CD∥EF，推出四边形CEFD是平行四边形，推出
，根据EF=BD，EF BD，推出四边形BDEF是平行四边形，
根据BF=EF，推出 是菱形．
【答案】(1)CD=EF，CD EF
(2)CD=EF，CD EF，成立，理由见解析
(3)点D运动到BC的中点时， 是菱形，证明见解析
【详解】（1）∵ 和 均为等边三角形，
∴AF=AD，AB=BC，∠FAD=∠ABC=60°，
当点E、D分别与点A、B重合时，AB=AD，EF=AF，CD=BC，∠FAD=∠FAB，
∴CD=EF，CD EF；
故答案为：CD=EF，CD∥EF；
（2）CD=EF，CD EF，成立．
证明：
连接BF，
∵∠FAD=∠BAC=60°，
∴∠FAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD，即∠FAB=∠DAC，
∵AF=AD，AB=AC，
∴△AFB≌△ADC(SAS)，
∴∠ABF=∠ACD=60°，BF=CD，
∵AE=BD，
∴BE=CD，
∴BF=BE，
∴△BFE是等边三角形，
∴BF=EF，∠FEB=60°，
∴CD=EF，BC EF，
即CD EF，
∴CD=EF， CD EF；
（3）如图，当点D运动到BC的中点时，四边形 的面积是 面积的一半，此时，四边形
是菱形．
证明：
过点E作EG⊥BC于点G，设△ABC的边长为a，AD=h，
∵AB=BC，BD=CD= BC= a， BD=AE，
∴AE=BE= AB，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴EG AD，
∴△EBG∽△ABD，
∴ ，
∴ = h，由（2）知，CD=EF， CD EF，
∴四边形CEFD是平行四边形，
∴ ,
此时，EF=BD，EF BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∵BF=EF，
∴ 是菱形．
本题主要考查了等边三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，相似三角
形的判定与性质，菱形的判定，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定
和性质，平行四边形判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定．
（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD中，DB＝ ，AB＝4，AD＝2，动点E，F同
时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇
时停止运动．
(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为 秒时，设CE与
DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；
(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为 个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？
(3)如图3，H在线段AB上且AH＝ HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探
究点E、F在什么位置能使EM＝HM．并说明理由．
（1）延长DF交CB的延长线于点G，先证得 ，可得 ，根据题意可得AF= ，
AE= ，可得到CG=3，再证明△PDE∽△PGC，即可求解；
（2）分三种情况讨论：当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上；当 时，E点在BD上，F
点在AB上；当 时，点E、F均在BD上，即可求解；
（3）当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由：连接DH，根据直角三角形的性质，即可求解 ．
【答案】(1) ；
(2)y关于x的函数解析式为 ；当 时，y的最大值为 ；
(3)当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由见解析
【详解】（1）解：如图，延长DF交CB的延长线于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，运动时间为 秒，
∴AF= ，AE= ，
∵AB=4，AD=2，
∴BF= ， ED= ，
∴ ，
∴BG=1，
∴CG=3，
∵ ，
∴△PDE∽△PGC，
∴ ，
∴ ；
（2）解：根据题意得：当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上，此时AE=x， ，
∵ ， AB=4，AD=2，∴ ，
∴△ABD是直角三角形，
∵ ，
∴∠ABD=30°，
∴∠A=60°，
如图，过点E作 交于H，
∴ ，
∴ ；
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
此时当x=2时，y有最大值3；
当 时，E点在BD上，F点在AB上，
如图， 过点E作 交于N，过点D作 交于M，则EN∥DM，
根据题意得：DE=x-2，
∴ ，
在Rt△ABD中， ，AM=1，
∵EN∥DM，
∴△BEN∽△BDM，∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
此时该函数图象的对称轴为直线 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，
此时当 时，y有最大值 ；
当 时，点E、F均在BD上，
过点E作 交于Q，过点F作 交于P，过点D作DM⊥AB于点M，
∴ ，DA+DE=x，
∵AB=4，AD=2，
∴ ， ，
∵PF∥DM，
∴△BFP∽△BDM，
∴ ，即 ，∴ ，
∵ ，
∴△BEQ∽△BDM，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
此时y随x的增大而减小，
此时当 时，y有最大值 ；
综上所述：y关于x的函数解析式为
当 时，y最大值为 ；
（3）解：当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由如下：
连接DH，如图，
∵ ，AB=4，
∴．AH=1，
由（2）得：此时 ，
∵M是DF的中点，∴HM=DM=MF，
∵EF∥BD，BD⊥AD，
∴EF⊥AD，
∴EM=DM=FM，
∴EM=HM．
本题是四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，分类讨论，数
形结合是解题的关键．
1．（2022·广东江门·校考一模）点 为正方形 的边 上一动点，直线 与 相交于点 ，与
的延长线相交于点 ．
(1)如图①，若正方形的边长为2，设 ， 的面积为 ，求 与 的函数关系；
(2)如图②，求证： 是 的外接圆的切线；
(3)如果把正方形 换成是矩形或菱形，（2）的结论是否是否仍然成立?
2．（2022·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考二模）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三
角形的面积．
问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究．
探究一：如图1，在 中， ， ， ， ，求 的面积．
在 中， ，
．
．
探究二：如图2， 中， ， ， ，求 的面积（用含 、 、 代数式表示），写出探究过程．
探究三：如图3， 中， ， ， ，求 的面积（用 、 、 表示）写出探
究过程．
问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：___________（用文字叙述）．
问题应用：如图4，已知平行四边形 中， ， ， ，求平行四边形 的面积
（用 、 、 表示）写出解题过程．
问题拓广：如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用 、 、 、 、 、 表
示），其中 ， ， ， ， ， ．
3．（2022·宁夏银川·校考一模）如图， ， 分别是 的直径和弦，半径 于点 ．过点
作 的切线与 的延长线交于点 ， ， 的延长线交于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．
4．（2022·四川南充·模拟预测）如图，有两块量角器完全重合在一起（量角器的直径 ，圆心为 ），
保持下面一块不动，上面的一块沿 所在的直线向右平移，当圆心与点 重合时，量角器停止平移，此
时半 与半 交于点 ，连接 ．(1) 与半 有怎样的位置关系？请说明理由．
(2)在半 的量角器上， 、 点的读数分别为 、 时，问点 在这块量角器上的读数是多少？
(3)求图中阴影部分的面积．
5．（2022·吉林长春·校考模拟预测）定义：如果一个四边形的一组对角互余，我们称这个四边形为对角互
余四边形．
(1)问题 ．利用下面哪组图形可以得到一个对角互余四边形（ ）
①两个等腰三角形；②两个等边三角形；③两个直角三角形；④两个全等三角形．
(2)如图①，在对角互余四边形 中， ，且 ， ．若 ，求四边形
的面积和周长．
(3)问题 ．如图②，在对角互余四边形 中， ， ， ， ，
，求四边形 的面积和周长．
(4)问题 ．如图③，在对角互余四边形 中， ， ， ，
，求 面积的最大值．
6．（2022·吉林长春·校考模拟预测）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容：
如图，在 中，点 分别是 与 的中点，可以猜想： 且 ．请写出证明过
程．【结论应用】
（1）如图1，四边形 中， ， 分别是 的中点．若 ，
，求 的度数．
（2）如图2，在 外分别作正方形 和 ， 是 的中点， 分别是正方形的中心，
，则 的面积最大值为 ．
