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专题 08 几何中的面积问题
面积问题是压轴题中常考的问题，不仅在几何压轴题中，在函数压轴题中考查的频率也很高。几何压轴
题中的面积问题往往比较抽象，并不是简单几何图形的面积，通常情况下，我们需要对所求的几何图形面
积进行转化为我们熟悉的可求的类型。在几何压轴题中的面积考查主要表现为两个方面：一是求某个几何
图形的面；二是求变化中的几何图形面积的最值。
一、求某个几何图形面积的类型，常用的方法：
1.添加辅助线：通常包括做出三角形的高，割补法构造三角形等。
2.图形变换的方式对所求图形进行转化，例如通过平移、旋转等变化，把复杂图形转化为三角形等。
3.可以利用三角形全等，对图形进行转化。
4.利用相似三角形的面积之比等于相似比，构建方程进行求解。
二、求变化中的几何图形的面积问题：
（1）方程与函数的方法：通常需要设出未知数x，并用x表示出求面积所必需的边长和高，构建方程求出未
知数，或构建函数，利用函数的性质求得面积的最值。
（2）几何的方法：一般情况下，在求变化中几何图形的面积的最值时，需要我们找准变化的量，讨论变
化的量的临界值，例如：在求变化三角形的面积最值时，如果底边长一定，而底边上的高在不断的变化，
我们就要根据高线变化的规律，寻找高的最大值或者最小值的情况，从而求得面积的最小值。
（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任
意一点，连结 交 于点 ， 平分 交 于点G．
(1)求证： .(2)若 ．
①求菱形 的面积.
②求 的值.
(3)若 ，当 的大小发生变化时（ ），在 上找一点 ，使 为定值，说
明理由并求出 的值．
（1）由菱形的性质可证得∠CBD＝∠ABD＝ ∠ABC，由 平分 交 于点G，得到∠CBG＝
∠EBG＝ ∠CBE，进一步即可得到答案；
（2）①连接AC交BD于点O,Rt△DOC中，OC＝ ，求得AC＝8，由菱形的面积
公式可得答案；②由BG AC，得到 ，DH＝HG，DG＝2DH，又由DG＝2GE，得到EG＝
DH＝HG，则 ，再证明△CDH∽△AEH，CH＝ AC＝ ，OH＝OC－CH＝4－ ＝ ，利用正切
的定义得到答案；
（3）过点G作GT BC，交AE于点T，△BGE∽△AHE，得AB＝BE＝5，则EG＝GH，再证
△DOH∽△DBG，得DH＝GH＝EG，由△EGT∽△EDA得 ，GT＝ ，为定值，即可得到ET
的值．
【答案】(1)见解析
(2)①24，②
(3) ＝ ，理由见解析
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，AB CD，
∴∠BDC＝∠CBD，∠BDC＝∠ABD，∴∠CBD＝∠ABD＝ ∠ABC，
∵ 平分 交 于点G，
∴∠CBG＝∠EBG＝ ∠CBE，
∴∠CBD＋∠CBG＝ （∠ABC＋∠CBE）＝ ×180°＝90°，
∴∠DBG＝90°；
（2）解：①如图1，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，
∴OD＝ BD＝3，AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
在Rt△DOC中，OC＝ ，
∴AC＝2OC＝8，
∴ ，
即菱形 的面积是24．
②如图2，连接AC，分别交BD、DE于点O、H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵∠DBG＝90°
∴BG⊥BD，∴BG AC，
∴ ，
∴DH＝HG，DG＝2DH，
∵DG＝2GE，
∴EG＝DH＝HG，
∴ ，
∵AB CD，
∴∠DCH＝EAH，∠CDH＝∠AEH，
∴△CDH∽△AEH，
∴ ，
∴CH＝ AC＝ ，
∴OH＝OC－CH＝4－ ＝ ，
∴tan∠BDE＝ ；
（3）如图3，过点G作GT BC交AE于点T，此时ET＝ ．
理由如下：由题（1）可知，当∠DAB的大小发生变化时，始终有BG AC，
∴△BGE∽△AHE，
∴ ，
∵AB＝BE＝5，
∴EG＝GH，
同理可得，△DOH∽△DBG，∴ ，
∵BO＝DO，
∴DH＝GH＝EG，
∵GT BC，
∴GT AD，
∴△EGT∽△EDA，
∴ ，
∵AD＝AB＝5，
∴GT＝ ，为定值，
此时ET＝ AE＝ （AB＋BE）＝ ．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，熟练掌握相似
三角形的判定和性质是解题的关键．
（2022·山东东营·统考中考真题） 和 均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以
相同的速度沿 运动，运动到点B、C停止.
(1)如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段 的数量关系是____________，位置关
系是____________；
(2)如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成
立，请说明理由；
(3)当点D运动到什么位置时，四边形 的面积是 面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.
（1）根据 和 均为等边三角形，得到AF=AD，AB=BC，∠FAD=∠ABC=60°，根据E、D分
别与点A、B重合，得到AB=AD，EF=AF，CD=BC，∠FAD=∠FAB，推出CD=EF，CD EF；
（2）连接BF，根据∠FAD=∠BAC=60°，推出∠FAB=∠DAC，根据AF=AD，AB=AC，推出
△AFB≌△ADC，得到∠ABF=∠ACD=60°，BF=CD，根据AE=BD，推出BE=CD，得到BF=BE，推出
△BFE是等边三角形，得到BF=EF，∠FEB=60°，推出CD=EF， CD∥EF；
（3）过点E作EG⊥BC于点G，设△ABC的边长为a，AD=h，根据AB=BC，BD=CD= BC= a，
BD=AE，推出AE=BE= AB，根据AB=AC， 推出AD⊥BC，得到EG AD，推出△EBG∽△ABD，推出
，得到 = h，根据CD=EF， CD∥EF，推出四边形CEFD是平行四边形，推出
，根据EF=BD，EF BD，推出四边形BDEF是平行四边形，
根据BF=EF，推出 是菱形．
【答案】(1)CD=EF，CD EF
(2)CD=EF，CD EF，成立，理由见解析
(3)点D运动到BC的中点时， 是菱形，证明见解析
【详解】（1）∵ 和 均为等边三角形，
∴AF=AD，AB=BC，∠FAD=∠ABC=60°，
当点E、D分别与点A、B重合时，AB=AD，EF=AF，CD=BC，∠FAD=∠FAB，
∴CD=EF，CD EF；
故答案为：CD=EF，CD∥EF；
（2）CD=EF，CD EF，成立．
证明：
连接BF，
∵∠FAD=∠BAC=60°，
∴∠FAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD，即∠FAB=∠DAC，
∵AF=AD，AB=AC，
∴△AFB≌△ADC(SAS)，
∴∠ABF=∠ACD=60°，BF=CD，
∵AE=BD，
∴BE=CD，
∴BF=BE，
∴△BFE是等边三角形，
∴BF=EF，∠FEB=60°，
∴CD=EF，BC EF，
即CD EF，
∴CD=EF， CD EF；
（3）如图，当点D运动到BC的中点时，四边形 的面积是 面积的一半，此时，四边形
是菱形．
证明：
过点E作EG⊥BC于点G，设△ABC的边长为a，AD=h，
∵AB=BC，BD=CD= BC= a， BD=AE，
∴AE=BE= AB，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴EG AD，
∴△EBG∽△ABD，
∴ ，
∴ = h，由（2）知，CD=EF， CD EF，
∴四边形CEFD是平行四边形，
∴ ,
此时，EF=BD，EF BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∵BF=EF，
∴ 是菱形．
本题主要考查了等边三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，相似三角
形的判定与性质，菱形的判定，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定
和性质，平行四边形判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定．
（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD中，DB＝ ，AB＝4，AD＝2，动点E，F同
时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇
时停止运动．
(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为 秒时，设CE与
DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；
(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为 个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？
(3)如图3，H在线段AB上且AH＝ HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探
究点E、F在什么位置能使EM＝HM．并说明理由．
（1）延长DF交CB的延长线于点G，先证得 ，可得 ，根据题意可得AF= ，
AE= ，可得到CG=3，再证明△PDE∽△PGC，即可求解；
（2）分三种情况讨论：当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上；当 时，E点在BD上，F
点在AB上；当 时，点E、F均在BD上，即可求解；
（3）当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由：连接DH，根据直角三角形的性质，即可求解 ．
【答案】(1) ；
(2)y关于x的函数解析式为 ；当 时，y的最大值为 ；
(3)当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由见解析
【详解】（1）解：如图，延长DF交CB的延长线于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，运动时间为 秒，
∴AF= ，AE= ，
∵AB=4，AD=2，
∴BF= ， ED= ，
∴ ，
∴BG=1，
∴CG=3，
∵ ，
∴△PDE∽△PGC，
∴ ，
∴ ；
（2）解：根据题意得：当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上，此时AE=x， ，
∵ ， AB=4，AD=2，∴ ，
∴△ABD是直角三角形，
∵ ，
∴∠ABD=30°，
∴∠A=60°，
如图，过点E作 交于H，
∴ ，
∴ ；
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
此时当x=2时，y有最大值3；
当 时，E点在BD上，F点在AB上，
如图， 过点E作 交于N，过点D作 交于M，则EN∥DM，
根据题意得：DE=x-2，
∴ ，
在Rt△ABD中， ，AM=1，
∵EN∥DM，
∴△BEN∽△BDM，∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
此时该函数图象的对称轴为直线 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，
此时当 时，y有最大值 ；
当 时，点E、F均在BD上，
过点E作 交于Q，过点F作 交于P，过点D作DM⊥AB于点M，
∴ ，DA+DE=x，
∵AB=4，AD=2，
∴ ， ，
∵PF∥DM，
∴△BFP∽△BDM，
∴ ，即 ，∴ ，
∵ ，
∴△BEQ∽△BDM，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
此时y随x的增大而减小，
此时当 时，y有最大值 ；
综上所述：y关于x的函数解析式为
当 时，y最大值为 ；
（3）解：当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由如下：
连接DH，如图，
∵ ，AB=4，
∴．AH=1，
由（2）得：此时 ，
∵M是DF的中点，
∴HM=DM=MF，∵EF∥BD，BD⊥AD，
∴EF⊥AD，
∴EM=DM=FM，
∴EM=HM．
本题是四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，分类讨论，数
形结合是解题的关键．
1．（2022·广东江门·校考一模）点 为正方形 的边 上一动点，直线 与 相交于点 ，与
的延长线相交于点 ．
(1)如图①，若正方形的边长为2，设 ， 的面积为 ，求 与 的函数关系；
(2)如图②，求证： 是 的外接圆的切线；
(3)如果把正方形 换成是矩形或菱形，（2）的结论是否是否仍然成立?
【答案】(1)
(2)见解析
(3)正方形 换成矩形 时，（2）结论不成立；当正方形 换成菱形 时，（2）结论成
立
【分析】（1）延长 ，过G作 交 延长线于R，利用三角形面积公式即可得出结果；
（2）取 中点O，连接 ，根据正方形的性质及全等三角形的判定和性质得出 ，再由
各角之间的等量代换得出 ，即可证明；
（3）当正方形 换成矩形 时，根据题意得出 不是 的外接圆
的切线；当正方形 换成菱形 时，同（2）中的方法一致，证明即可
【详解】（1）解：如图，延长 ，过G作 交 延长线于R，由题意可知，正方形 边长为2，
∴ ，
∴
∴ 即 ；
（2）证明：如图，取 中点O，连接 ，
∵ ，
∴ 是 外接圆的直径，O为圆心，
在正方形 中， 是对角线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在圆O中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 是 的外接圆的切线；（3）当正方形 换成矩形 时，
由（2）可知，
，但是 与 不全等，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 不是 的外接圆的切线；
当正方形 换成菱形 时，在菱形 中， 是对角线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在圆O中，连接 并延长交圆O于H，
∵ ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 是 的外接圆的切线．2．（2022·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考二模）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三
角形的面积．
问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究．
探究一：如图1，在 中， ， ， ， ，求 的面积．
在 中， ，
．
．
探究二：如图2， 中， ， ， ，求 的面积（用含 、 、 代数式
表示），写出探究过程．
探究三：如图3， 中， ， ， ，求 的面积（用 、 、 表示）写出探
究过程．
问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：___________（用文字叙述）．
问题应用：如图4，已知平行四边形 中， ， ， ，求平行四边形 的面积
（用 、 、 表示）写出解题过程．
问题拓广：如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用 、 、 、 、 、 表
示），其中 ， ， ， ， ， ．
【答案】 ，见解析； ，见解析；一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半；；
【分析】探究二：如图2中，作 于 ．求出高 ，即可解决问题；
探究三：如图3中，作 于 ．求出高 ，即可解决问题；
问题解决： （ ）是a、b两边的夹角）；
问题应用：如图4中，作AH⊥CB于H．求出高 ，即可解决问题；
问题拓广：如图5，连接 ，由探究三的结论可得出答案．
【详解】解：探究二：如图2中，作 于 ．
， ， ，
，
在 中， ，
，
，
．
探究三：如图3中，作 于 ．
在 中，
，．
问题解决：一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半．
故答案为：一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半．
问题应用：如图4中，作 于 ．
在 中，
，
．
问题拓广：
连接 ，由探究三的结论可得： ．
．
．
3．（2022·宁夏银川·校考一模）如图， ， 分别是 的直径和弦，半径 于点 ．过点
作 的切线与 的延长线交于点 ， ， 的延长线交于点 ．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，可以证得 ，根据全等三角形的性质以及切线的性质定理可以得到
，即 ，即可证得 是 的切线；
（2）根据垂径定理得到 ，根据切线的性质得到 ，求得
，根据等腰三角形的性质得到 ，根据勾股定理得到
，根据三角形和扇形的面积公式即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接 ，
是 的切线， 是 的直径，
，
于点 ，
，
，
在 和 中，，
（SAS），
，
，
是 的半径，
是 的切线．
（2）解： 于点 ，
，
， 是 的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
．
故答案为： ．
4．（2022·四川南充·模拟预测）如图，有两块量角器完全重合在一起（量角器的直径 ，圆心为 ），
保持下面一块不动，上面的一块沿 所在的直线向右平移，当圆心与点 重合时，量角器停止平移，此
时半 与半 交于点 ，连接 ．(1) 与半 有怎样的位置关系？请说明理由．
(2)在半 的量角器上， 、 点的读数分别为 、 时，问点 在这块量角器上的读数是多少？
(3)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1) 与半 相切，理由见解析；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）连接 ，利用直径所对的圆周角等于 可证明 ，即 与半 相切；
（2）求出 ，即可知点 在这块量角器上的读数是 ；
（3）由图可知： ，代入可求出
．．
【详解】（1）解： 与半 相切，理由如下：连接 ，
∵ 是直径，
∴ ，即 与半 相切．
（2）解：连接 ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，点 在这块量角器上的读数是 ．（3）解：作 交于点D，
∵ 为等边三角形， ，
∴ ，
∵由图可知： ，
即 ．
5．（2022·吉林长春·校考模拟预测）定义：如果一个四边形的一组对角互余，我们称这个四边形为对角互
余四边形．
(1)问题 ．利用下面哪组图形可以得到一个对角互余四边形（ ）
①两个等腰三角形；②两个等边三角形；③两个直角三角形；④两个全等三角形．
(2)如图①，在对角互余四边形 中， ，且 ， ．若 ，求四边形
的面积和周长．
(3)问题 ．如图②，在对角互余四边形 中， ， ， ， ，
，求四边形 的面积和周长．(4)问题 ．如图③，在对角互余四边形 中， ， ， ，
，求 面积的最大值．
【答案】(1)①③④
(2) ，四边形 的周长
(3) ，四边形 的周长
(4) 面积的最大值
【分析】（1）结合定义来判断，重点是拼成的四边形一对对角互余．
（2）因为 ， ，所以 ，所以在对角互余四边形 中，只能
．这样利用含 直角三角形三边的特殊关系，就可以解决问题；
（3）如图，将 绕点B顺时针旋转到 ，则 ，连接 ，作 于H，作
于G，作 于F，这样可以求 ，则可以得到 的长，进而把四边形
的面积转化为 和 的面积之和， 和 的面积容易算出来，则四边形 面积可求．
再求出 和 的长度，就可以得到 和 的长，利用勾股定理可以求出 的长，四边形 的周
长可求．
（4）构造 ，根据 ，利用相似的性质和勾股定理求出 ，然
后根据对角互余四边形的性质得到 ，从而得到 四点共圆，而 与 同底，高成
比例，从而得出 ，根据 面积最大值可求 面积的最大值．
【详解】（1）解：①两个等腰三角形底边相等，顶角互余，就可以，故①可以得到一个对角互余四边形；
②等边三角形不成，即使是全等的等边三角形拼成四边形对角和为120°或240°，故②得不到对角互余四边
形；
③两个全等的直角三角形或有一条直角边相等的相似的两个直角三角都可以，故③可以得到一个对角互余
四边形；
④由③可知④可以得到一个对角互余四边形；
故答案为：①③④；
（2）∵ ， ，
∴ ，∵对角互余四边形 中， ，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴ ， ，
在 中， ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
四边形 的周长 ；
（3）如图，将 绕点B顺时针旋转到 ，则 ，
连接 ，作 于H，作 于G，作 于F．
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ， ， ，
∵ ；
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴在 中，根据勾股定理可得 ，∵ ， ，
∴ ，
∴根据勾股定理可得 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，根据勾股定理可得 ，
∴ ，
∴四边形 的周长 ；
（4）如图：作 ，∴ ， ，
∴ ,
∵ ， ，
∴ ， ，
过P点作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴连接 ，
由作 可得 ，由对角互余四边形 ，
可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 四点在以 为直径的圆上，
作 ，设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ， ，
，
∵ 面积最大时是以 为斜边的等腰直角三角形，
如图：
故 面积最大 ，
所以 面积的最大值 ．
6．（2022·吉林长春·校考模拟预测）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容：
如图，在 中，点 分别是 与 的中点，可以猜想： 且 ．请写出证明过
程．
【结论应用】
（1）如图1，四边形 中， ， 分别是 的中点．若 ，
，求 的度数．
（2）如图2，在 外分别作正方形 和 ， 是 的中点， 分别是正方形的中心，，则 的面积最大值为 ．
【答案】教材呈现：见解析；结论应用：（1） ；（2）
【分析】教材呈现：利用相似三角形的性质证明即可；
结论应用：（1）由三角形的中位线定理可得 ， ， ，由平行线的
性质和等腰三角形的性质可求解；
（2）由“ ”可证 ，可得 ，由三角形中位线定理可证
是等腰直角三角形，可得 的面积 ，则当 有最大值时， 的面积有最大值，即可求
解．
【详解】教材呈现：
证明：∵点 分别是 与 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 且 ．
结论应用
（1）∵ 分别是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图2，连接 交于点 与 与点 ，连接 ，在正方形 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ 分别是正方形的中心，
∴点 在 上，点 在 上，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ 的面积 ，
∴当 有最大值时， 的面积有最大值，
∵ ，
∴当 有最大值时， 有最大值，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ 的面积的最大值为 ，
故答案为： ．
