文档内容
专题 07 锐角三角函数（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．直角坐标系中，半径为6的⊙M同时与直线y=√3x(x>0)和x轴相切，则圆心M的坐标为
（ ）
A． B． C． D．
(4√3,6) (6√3,6) (4√2,6) (2√3,6)
3
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，cosA= ，那么AB的长是（ ）
4
5 8 10 2
A． B． C． D． √7
2 3 3 3
3．如何求tan75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt△ABC中，AC＝k，∠ACB＝90°，
∠ABC＝30°，延长CB至点D，使BD＝AB，连接AD，依据此图可求得tan75°的值为( )
A．2－√3 B．2＋√3 C．1＋√3 D．1－√3
4．“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长
100米且拉线与地面夹角为65°（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面
的高度可以表示为（ ）
100
A．100sin65° B．100cos65° C．100tan65° D．
sin65°
5．保利观澜旁边有一望江公园，公园里有一文峰塔，工程人员在与塔底中心的D同一水平线的A处，
测得AD=20米，沿坡度i=0.75的斜坡AB走到B点，测得塔顶E仰角为37，再沿水平方向走20米
到C处，测得塔顶E的仰角为22，则塔高DE为（ ）米．（结果精确到十分位）（sin37°≈0.60，
cos37°≈0.80，tan37≈0.75，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）A．18.3米 B．19.3米 C．20米 D．21.2米
6．如图，在ΔABC中，∠ACB=90°．边BC在x轴上，顶点A,B的坐标分别为(−2,6)和(7,0)．将
正方形OCDE沿x轴向右平移当点E落在AB边上时，点D的坐标为（ ）
A．(3 ) B． C．(11 ) D．
,2 (2,2) ,2 (4,2)
2 4
1
7．如图，在△ABC中，AB=3√5，tan∠ABC= ，∠ACB=45°，则BC的长为（ ）
2
A．9 B．12 C．6√5 D．9√5
8．如图，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则sin∠BAC的值为（ ）
1 2√5 √5
A． B．2 C． D．
2 5 5
9．无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块
试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧出界N处俯角为43°，无人机
垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，则M，N之间的距离为（参考数据：
tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数）（ ）A．188m B．269m
C．286m D．312m
10．中国古代数学家赵爽用四个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，
这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形
中的较大锐角，则tanα=（ ）
3
A．1 B．2 C． D．√5
2
11．如图，大坝的横截面是梯形ABCD,AD//BC,坝顶宽AD=4m,坝高AE=6m,斜坡AB的坡度
i=1:√3，斜坡DC的坡角∠C=45°,那么坝底BC是（ ）
A． B． C． D．
6√3m (6√3+4)m (6√3+10)m 10m
12．在平面直角坐标系中，A(0,√3)，B(1,0)，将线段AB平移得到线段DC，点A，点B的对应
点分别是点D，点C．若分别连接BC，DA得到四边形ABCD为菱形，且BC与x轴夹角为60°，则
点D的坐标是（ ）
A．(−1,0) B．(−1,0)或(1,2√3)
C．(1,2√3) D．(1,2√3)或(1,−2√3)
13．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若
AB=6，BC=10，则tan∠DAE的值为（ ）．1 9 2 1
A． B． C． D．
2 20 5 3
14．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的
直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为25，小正方形面积为1，
则cosα的值为（ ）
3 4 3 4
A． B． C． D．
4 3 5 5
15．如图，在平面直角坐标系中，有A(0，1)，B(4，1)，C(5，6)三点，则tanC的值是（ ）
1 3 4 2
A． B． C． D．
2 4 5 3
二、填空题
16．如图，要测量河内小岛B到河岸l的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得
∠BCD=60°，又测得AC=am，则小岛B到河岸l的距离BD为 m．
17．如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点E为DC边上的一个动点，把△ADE沿AE折叠，点D的对应点为D′，展平后得到折痕AE，同时得到线段AD′，ED′，不再添加其他线段．当图中
存在30°角时，DE的长为 ．
18．规定：sin(﹣x)＝﹣sinx，cos(﹣x)＝cosx，cos(x+y)＝cosxcosy﹣sinxsiny，给出以下四个结论：
1 √6−√2
(1)sin(﹣30°)=− ；(2)cos2x＝cos2x﹣sin2x；(3)cos(x﹣y)＝cosxcosy+sinxsiny；(4)cos15°= ．
2 4
其中正确的结论的个数为 ．
19．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠DAB+2∠ADC=180°，DE⊥AB于点E，
AD √15
DE=4，EB=2， = ，则AE= ．
DC 3
20．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AC=6，点D在△ABC内，∠CBD=30°，CD⊥BD，
连接AD．若AD=√7，则AB的长为 ．
5
21．已知∠α为锐角，且sinα= ，则cosα= ．
13
22．一副三角板如图所示放置，△ABC中∠ACB=90，∠BAC=60°，等腰Rt△BCD中
∠BDC=90°，连接AD，则tan∠ADC的值为23．如图，在锐角三角形ABC中，tanA=√3,BC=√5，线段BD､CE分别是AC､AB边上的高线，
连接DE，则三角形ADE面积的最大值是 ．
24．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比为1:√3，若迎水坡宽度AC的长为4√3米，则堤高BC的长
为 ．
1
25．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是BC上一点，若tan∠BAD= ，则
5
BD的长为 ．
三、解答题
26．在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，直角边AC的中点为D，点E在斜边上且AE=3，若
△ADE为直角三角形，求BC的值.
27．如图，△ABC为等边三角形，点D是边BC上一点，点E是射线BA上一动点，连接DE，将射
线DE绕点D顺时针旋转120°，与射线AC相交于点F．(1)若BD=CD．
①如图1，当点E在边AB上时，请直接写出线段DE与DF的数量关系：______；
②当点E，点F落在如图2所示位置时，①中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；
1 1 AF
(2)如图3，BD= CD，当AE= AB时，直接写出 的值．
2 2 CF
28．如图是由小正方形组成的网格，△ABC的顶点都是格点．先在AB上画点F，使得
1
tan∠ACF= ，再在BC上画点G，使得∠BFG=∠BCF．
2
29．汉阙，是汉代的一种纪念性建筑，渠县共有6处7尊，占全国汉阙的四分之一，因此，渠县也
被命名为“中国汉阙之乡”，其中著名的沈府君阙早在1961年就被列为全国重点文物保护单位．某
校数学兴趣小组周末开展综合实践活动，想测量沈府君阙的高度．如图，已知测倾器的高度为1米，
在测点A处安置测倾器，测得沈府君阙的顶点M的仰角∠MBC=35°，在与点A相距1.65米的测
点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC=45°（点A，D，N在一条直线上），求汉阙的高度
MN的长．（结果精确到0.01米，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
30．如图所示，BA和CD表示前后两幢楼，按照有关规定两幢楼问的间距不得小于楼的高度，即图中AC大于等于CD．小明想测量一下他家所住AB楼与前面CD楼是否符合规定，于是他在AC间的
点M处架了测角仪，测得CD楼顶D的仰角为45°，已知AM=4米，测角仪距地面MN=1.5米．
(1)问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由；
(2)为了知道前面CD楼的高度，小明又到家里（点P处），用测角仪再次测得CD楼顶D的仰角为α，
如果AP=7.5米，sinα=0.6，请你来计算一下CD楼的高度．
31．如图1是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构
示意图，量得托板AB=120mm，支撑板CD=110mm，底座DE，托板AB固定在支撑板顶端C处，
且CB=40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．
(1)若∠DCB=70°，∠CDE=60°，求点A到直线DE的距离．（精确到0.1mm）
(2)为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转20°后，再将CD绕点D顺时针旋转，
使点B落在直线DE上，求CD旋转的角度大约是多少度？
参考数据：（sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin20°≈0.342，
cos20°≈0.940，tan20°≈0.364，√3≈1.732）．
32．2023年春节期间，某市举办烟花表演，其中最美烟花当属“惊艳天梯”．当烟花在空中点燃的
那一刻，一段段明亮的台阶依次向上显现，在空中逐渐形成一幅美妙的“天梯”图案，十分惊艳．
如图，某专业团队在水平地面DE上竖直架设测角仪CD，测量“天梯”AB的长度，在C处测得
“天梯”最低点B的仰角∠BCF=30°，最高点A的仰角∠ACF=76°，若DE=150m，A，B，F，
E共线且垂直于地面，且与C，D位于同一平面内．请你根据以上信息，计算出天梯AB的长度．
（结果精确到1m，参考数据：√3≈1.73，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）33．求下列各式的值
(1)2sin30°−cos45°；
(2)sin45°+tan30°·sin60°；
(3)sin30°+cos30°．
34．如图一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40√2海里的A处，它沿正南方向航行一段时间
后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为多少海里？
35．我国无人机已广泛的应用在人们的生产和生活中．如图所示，某中学数学课外活动小组利用无
人机测量沅江某一段江面的宽度，先在沅江两岸边上各选定一点A、B，且AB所在直线与江岸所在
直线垂直，再在A点放飞无人机到一定高度后，然后在AB上方从A向B以30m/s的速度水平飞行．
在M点处测得A点的俯角为72°，B点的俯角为30°，20s后在N点处测得B点的俯角为60°，求此
段沅江江面的宽度（结果精确到米）（参考数据：√3≈1.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，
tan72°≈3.08）
【能力提升】
36．如图1是一个手机支架的截面图，由底座MN、连杆A−B−C−D和托架组成，AB⊥MN，BC可以绕点B自由转动，CD的长度可以进行伸缩调节，已知∠BCD=143°，AB=12cm，
BC=6cm．
(1)如图2，若AB，BC在同条直线上，CD=9.5cm，求点D到底座MN的距离（结果保留整数）；
(2)如图3，调节CD长度为12cm，并转动连杆BC使AD∥BC时，达到最佳视觉状态，求∠ABC的
度数．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
37．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水
器：先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上.为使集热板吸热率更高，
公司规定：AD与水平面夹角为θ ，且在水平线上的射影AF为1.4m.现已测量出屋顶斜面与水平面
1
夹角为θ ，并已知tanθ =1.082，tanθ =0.412．如果安装工人确定支架AB高为25cm，求支架
2 1 2
CD的高（结果精确到1cm）？
38．图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的侧面简化示意图，夹子两边为AC，BD （闭合时点
A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE＝OF＝1cm，AC＝BD
＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．
（1）当E，F两点的距离最大时，求∠EOF增加了多少度（结果精确到1°，参考数据：
tan67.4°≈2.40，tan15.5°＝0.278，tan74.5°≈3.60）：
（2）当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，求A，B两点间的距离．39．在课题学习《如何设计遮阳棚》中，计划在移门上方安装一个可伸缩的遮阳棚（如图1），其
中AC为移门的高度，B为遮阳棚固定点，BD为遮阳棚的宽度（可变动）AB=50cm，AC=210cm，
∠CBD=80°．
小丁所在小组负责探究“移门在正午完全透光时太阳高度角与遮阳棚宽度的关系”，查阅得到如下
信息：太阳高度角是指太阳光线与地平面的夹角；该地区冬至日正午的太阳高度角a最小（约35°
）；夏至日正午的太阳高度角a最大（约80°）．请你协助该小组，完成以下任务：
【任务1】如图2，在冬至日正午时要使太阳光完全透过移门，BD应该不超过多少长度（结果精确
到0.1cm）
【任务2】如图3，有一小桌子在移门的正前方，桌子最外端E到移门的距离为180cm，桌子高度
MN=80cm．若要求在夏至日正午时太阳光恰好照射不到桌面，则BD应该多长？（结果精确到
0.1cm．参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin10°≈0.17，
cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，√2≈1.41）．
40．如图①是某公园的一个上肢牵引器，图②是其静止状态下的简化示意图（CE、DF分别在同一
水平线上），立柱AB与水平地面MN垂直，挑杆AC＝AE，手拉链CD＝EF，且始终与地面垂直．
经查询，挑杆AC＝AE＝0.33m，∠CAE＝130°．当运动者做上肢牵引运动时，将牵引器由静止状态
拉至如图③所示的状态，此时∠CAB＝52°，求点E上升的高度．（结果精确到0.01m，参考数据：
sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70）
