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专题 07 锐角三角函数（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．直角坐标系中，半径为6的⊙M同时与直线y=√3x(x>0)和x轴相切，则圆心M的坐标为
（ ）
A．(4√3,6) B．(6√3,6) C．(4√2,6) D．(2√3,6)
【答案】B
【知识点】解直角三角形的相关计算、切线的性质定理
【分析】本题考查了相切的性质以及一次函数的性质，解直角三角形，先根据y=√3x(x>0)得出
1
∠POH=60°，因为相切得∠MON= ∠POH=30°，在Rt△MON中，
2
MN √3
tan∠MON= = ，把MN=6，代入计算，即可作答．
ON 3
【详解】解：依题意，如图：
设点P的坐标为(a，√3a)
√3a
则tan∠POH= ，
a
∴∠POH=60°，
∵半径为6的⊙M同时与直线y=√3x(x>0)和x轴相切
∴∠POM=∠NOM
1
即∠MON= ∠POH=30°
2
MN √3
∴在Rt△MON中，tan∠MON= =
ON 3
∵MN=6
∴ON=6√3∴圆心M的坐标为(6√3,6)
故选：B
3
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，cosA= ，那么AB的长是（ ）
4
5 8 10 2
A． B． C． D． √7
2 3 3 3
【答案】B
【知识点】解直角三角形的相关计算
【分析】根据余弦函数的定义即可直接求解．
AC 3
【详解】解：∵cosA= = ，
AB 4
4 8
∴AB=AC· ＝ ，
3 3
故选：B．
【点睛】本题考查了余弦函数的定义，理解定义是关键．
3．如何求tan75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt△ABC中，AC＝k，∠ACB＝90°，
∠ABC＝30°，延长CB至点D，使BD＝AB，连接AD，依据此图可求得tan75°的值为( )
A．2－√3 B．2＋√3 C．1＋√3 D．1－√3
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【详解】在Rt△ABC中，AC=k，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AB=BD=2k，∠BAD=∠BDA=15°，BC=√3k，
∴∠CAD=∠CAB+∠BAD=75°，
在Rt△ACD中，CD=CB+BD=√3k+2k，
CD √3k+2k
则tan75°=tan∠CAD= = =2+√3，
AC k
故选B.
点睛: 此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，含30度直角三角形的性质，
以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
4．“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长
100米且拉线与地面夹角为65°（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（ ）
100
A．100sin65° B．100cos65° C．100tan65° D．
sin65°
【答案】A
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】过点A作AC⊥BC于C，根据正弦的定义解答即可．
【详解】解：如图，过点A作AC⊥BC于C，
AC
在Rt△ABC中，sinB= ，
AB
则AC=AB•sinB=100sin65°（米），
故选：A．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关
键．
5．保利观澜旁边有一望江公园，公园里有一文峰塔，工程人员在与塔底中心的D同一水平线的A处，
测得AD=20米，沿坡度i=0.75的斜坡AB走到B点，测得塔顶E仰角为37，再沿水平方向走20米
到C处，测得塔顶E的仰角为22，则塔高DE为（ ）米．（结果精确到十分位）（sin37°≈0.60，
cos37°≈0.80，tan37≈0.75，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）A．18.3米 B．19.3米 C．20米 D．21.2米
【答案】B
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】作BG⊥DA延长线于点G，作BF⊥ED于点F，则四边形BFDG为矩形，根据坡度可设
BG=3x，AG=4x，然后在Rt△BEF中，表示出EF的长度，最后在Rt△BCF中，运用正切值建
立分式方程求解并检验即可得到x的值，从而得出结果．
【详解】如图所示，作BG⊥DA延长线于点G，作BF⊥ED于点F，四边形BFDG为矩形，
∵斜坡AB的坡度i=0.75，
BG 3
∴ =0.75= ，
AG 4
则设BG=3x，AG=4x，
∴BF=DG=DA+AG=20+4x，FD=BG=3x，CF=BF+BC=40+4x，
在Rt△BEF中，∠EBF=37°，
EF
∴ =tan37°，EF=BF·tan37°=0.75(20+4x)，
BF
在Rt△BCF中，∠ECF=22°，
EF
∴ =tan22°，
CF
0.75(20+4x)
即： =0.4，
40+4x
5
解得：x= ，
7
5
经检验，x= 是上述分式方程的解，
7
5 ( 5)
∴DE=DF+EF=3× +0.75× 20+4× ≈19.3，
7 7
故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度、仰角等基本定义，灵活构造直角三角形是
解题关键．
6．如图，在ΔABC中，∠ACB=90°．边BC在x轴上，顶点A,B的坐标分别为(−2,6)和(7,0)．将
正方形OCDE沿x轴向右平移当点E落在AB边上时，点D的坐标为（ ）
(3 ) (11 )
A． ,2 B．(2,2) C． ,2 D．(4,2)
2 4
【答案】B
【知识点】已知正切值求边长、已知图形的平移，求点的坐标、利用平移的性质求解、正方形性质
理解
【分析】先画出E落在AB上的示意图，如图，根据锐角三角函数求解O′B的长度，结合正方形的性
质，从而可得答案．
【详解】解：由题意知：C(−2,0),
∵ 四边形COED为正方形，
∴CO=CD=OE, ∠DCO=90°,
∴D(−2,2),E(0,2),
如图，当E落在AB上时，
∵A(−2,6),B(7,0),
∴AC=6,BC=9,
AC EO′
由tan∠ABC= = ,
BC O′B
6 2
∴ = ,
9 O′B∴O′B=3,
∴OO′=7−3=4,OC′=2,
∴D(2,2).
故选B.
【点睛】本题考查的是平移的性质的应用，同时考查了正方形的性质，图形与坐标，锐角三角函数，
掌握以上知识是解题的关键．
1
7．如图，在△ABC中，AB=3√5，tan∠ABC= ，∠ACB=45°，则BC的长为（ ）
2
A．9 B．12 C．6√5 D．9√5
【答案】A
【知识点】解直角三角形的相关计算、根据等角对等边求边长
【分析】本题考查了解直角三角形，正确合理添加辅助线是解题的关键．
过点A作AD⊥BC于点D，先解Rt△ABD得出AD=3,BD=6，再解Rt△ACD，求出CD=3即可．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D．
1
在Rt△ABD中，AB=3√5，tan∠ABC= ，
2
AD 1
∴ = ，设AD=x,BD=2x，
BD 2
则由勾股定理得：x+(2x) 2=(3√5) 2 ，解得x=3，
∴AD=3,BD=6，
在Rt△ACD中，∠ACB=45°，∴AD=CD=3，
∴BC=6+3=9，
故选：A．
8．如图，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则sin∠BAC的值为（ ）
1 2√5 √5
A． B．2 C． D．
2 5 5
【答案】D
【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、求角的正弦值
【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理与网格问题以及勾股定理的逆定理；连接BC，构造出直
角三角形即可解决问题．
【详解】解：连接BC，
∵每个小正方形的边长均为1，
∴BC=√12+12=√2，AC=√12+32=√10，AB=√22+22=2√2
∴AC2=10,AB2+BC2=8+2=10
∴AC2=AB2+BC2
∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°
BC √2 √5
∴sin∠BAC= = =
AC √10 5
故选：D．
9．无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块
试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧出界N处俯角为43°，无人机
垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，则M，N之间的距离为（参考数据：
tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数）（ ）A．188m B．269m
C．286m D．312m
【答案】C
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】根据题意易得OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，然后根据三角函数可
进行求解．
【详解】解：由题意得：OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，
∴OB=OA−AB=95m，
OA 135 OB 95
∴ON= = =150m，OM= = ≈136m，
tan∠N 0.9 tan∠M 0.7
∴MN=OM+ON=286m；
故选C．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．
10．中国古代数学家赵爽用四个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，
这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形
中的较大锐角，则tanα=（ ）
3
A．1 B．2 C． D．√5
2
【答案】B
【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积、以弦图为背景的计算题、
求角的正切值
【分析】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解
题关键．首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角
形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，再接着利用勾股定理得到关于a的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出tanα的值即可．
【详解】解：∵小正方形与每个直角三角形面积均为1，
∴大正方形的面积为5，
∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为√5，
设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，其中a>0，
∴a2+(a+1) 2=(√5) 2 ，其中a>0，
解得：a =1，a =−2(不符合题意，舍去)，
1 2
a+1 1+1
tanα= = =2．
a 1
故选：B．
11．如图，大坝的横截面是梯形ABCD,AD//BC,坝顶宽AD=4m,坝高AE=6m,斜坡AB的坡度
i=1:√3，斜坡DC的坡角∠C=45°,那么坝底BC是（ ）
A．6√3m B．(6√3+4)m C．(6√3+10)m D．10m
【答案】C
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、已知正切值求边长、根据矩形的性质与判定求线
段长
【分析】过D作DF⊥BC于F，由AE⊥BC，AD∥BC，AE∥DF，与∠AEF=90°，可得四边形AEFD为
矩形，AE=DE=6m，AD=EF=4m，由斜坡AB的坡度i=1:√3，可求BE=6√3m，由斜坡DC的坡角
∠C=45°，可求FC=DF=6m，BC=BE+EF+CF代入计算即可．
【详解】解：过D作DF⊥BC于F，
∵AE⊥BC，AD∥BC，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
又∵∠AEF=90°，
∴四边形AEFD为矩形，
∴AE=DE=6m，AD=EF=4m，
∵斜坡AB的坡度i=1:√3，
∴AE：BE=1:√3，
∴BE=6√3m，∵斜坡DC的坡角∠C=45°，
∴△DFC为等腰直角三角形，
∴FC=DF=6m，
∴BC=BE+EF+CF=6√3m+4m+6m=(6√3+10)m．
故选择：C．
【点睛】本题考查解直角三角形应用，坡度，坡角，利用辅助线将梯形问题化为三角形与矩形来解
决是解题关键．
12．在平面直角坐标系中，A(0,√3)，B(1,0)，将线段AB平移得到线段DC，点A，点B的对应
点分别是点D，点C．若分别连接BC，DA得到四边形ABCD为菱形，且BC与x轴夹角为60°，则
点D的坐标是（ ）
A．(−1,0) B．(−1,0)或(1,2√3)
C．(1,2√3) D．(1,2√3)或(1,−2√3)
【答案】B
【知识点】解直角三角形的相关计算、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题考查解直角三角形，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键．
先通过计算得到∠ABO=60°，然后分点C在第一象限和点C落在y轴上两种情况，利用对称性解
题即可．
【详解】解：
∵ABCD是菱形，
∴BA=BC，BD、AC互相垂直平分，
∵A(0,√3)，B(1,0)，
∴OA=√3，OB=1，
OA
∴tan∠ABO= =√3，
OB
∴∠ABO=60°，
∴∠ABC=60°，
如图，当点C在第一象限时，
连接AC，
则△ABC是等边三角形，∴∠CAB=∠ABO=60°，
∴AC∥x轴，
∴点D的坐标为(1,2√3)；
当点C落在y轴上时，点D落在x轴上，如图，
则点D与点B关于y轴对称，
∴点D的坐标为(−1,0)；
故选B．
13．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若
AB=6，BC=10，则tan∠DAE的值为（ ）．
1 9 2 1
A． B． C． D．
2 20 5 3
【答案】D
【知识点】求角的正切值、矩形与折叠问题、勾股定理与折叠问题
【分析】先根据矩形的性质得AD=BC=10，AB=CD=6，再根据折叠的性质得AF=AD=10，
EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=8，则CF=BC−BF=2，设CE=x，则，然后在 中根据勾股定理得到 ，解方程即可得到x，再根
DE=EF=6−x Rt△ECF x2+22=(6−x) 2
据正切函数的定义即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，AB=6，BC=10，
∴AD=BC=10，AB=CD=6，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF=AD=10，EF=DE，
在Rt△ABF中，BF=√AF2−AB2=8，
∴CF=BC−BF=2，
设CE=x，则DE=EF=6−x，
在Rt△ECF中，∵CE2+FC2=EF2，
∴x2+22=(6−x) 2，
8
解得x= ，
3
10
∴DE= ，
3
DE 1
∴tan∠DAE= = ，
AD 3
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，灵活运用这些性质进行推
理是本题的关键．
14．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的
直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为25，小正方形面积为1，
则cosα的值为（ ）
3 4 3 4
A． B． C． D．
4 3 5 5
【答案】D
【知识点】求角的余弦值、以弦图为背景的计算题、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理，设大正方形的边长为c，直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，根据正方形面积计算公式可得c2=25，(b−a) 2=1，则b−a=1，c=5，再由
勾股定理得到a2+(a+1) 2=252，解方程求出a的值，进而求出b的值，最后根据余弦的定义求解即可．
【详解】解：设大正方形的边长为c，直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，
∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，
∴c2=25，(b−a) 2=1，
∴b−a=1，c=5，
∴b=a+1，
由勾股定理得a2+b2=c2，
∴a2+(a+1) 2=252，
∴a=3或a=−4（舍去），
∴b=4，
b 4
∴cosα= = ，
c 5
故选：D．
15．如图，在平面直角坐标系中，有A(0，1)，B(4，1)，C(5，6)三点，则tanC的值是（ ）
1 3 4 2
A． B． C． D．
2 4 5 3
【答案】D
【知识点】求角的正切值、已知两点坐标求两点距离、求一个数的算术平方根
【分析】本题主要考查了正切函数的定义及计算，网格与勾股定理计算边长，等面积法求高等知识，
过点B作BD⊥AC于点D，根据网格特点得出BD⊥AC，根据勾股定理求出BD，CD，根据正切
定义求出结果即可．
【详解】解：过点B作BD⊥AC于点D，如图所示：∵A(0，1)，B(4，1)，C(5，6)，
AC=√52+52=5√2，
BC=√12+52=√26，
1 1
∵S =5×5− ×5×5− ×5×1=10，
△ABC 2 2
1
又∵S = AC×BD，
△ABC 2
1
∴ ×5√2×BD=10，
2
解得：BD=2√2，
根据勾股定理得：CD=√BC2−BD2=√(√26) 2 −(2√2) 2=3√2，
BD 2√2 2
∴tanC= = = ．
CD 3√2 3
故选：D．
二、填空题
16．如图，要测量河内小岛B到河岸l的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得
∠BCD=60°，又测得AC=am，则小岛B到河岸l的距离BD为 m．
√3
【答案】 a
2
【知识点】根据等角对等边求边长、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，等腰三角形的判定；由已知角可求得∠ABC=∠BAD=30°，则BC=AC=am；在Rt△BCD中，由正弦函数即可求得BD的长．
【详解】解：∵∠BAD=30°，∠BCD=60°，∠BCD=∠BAD+∠ABC，
∴∠ABC=∠BCD−∠BAD=60°−30°=30°，
∴∠ABC=∠BAD=30°，
∴BC=AC=am；
√3
在Rt△BCD中，BD=BC⋅sin60°= am；
2
√3
故答案为： a．
2
17．如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点E为DC边上的一个动点，把△ADE沿AE折叠，
点D的对应点为D′，展平后得到折痕AE，同时得到线段AD′，ED′，不再添加其他线段．当图中
存在30°角时，DE的长为 ．
4√3
【答案】 或4√3或8−4√3
3
【知识点】等腰三角形的性质和判定、矩形与折叠问题、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查翻折变换、矩形的性质，解题的关键是分类讨论．根据题意分三种情况讨论：①
当∠DAE=30°时，②当∠AED=30°时，③当∠D′EC=30°时，利用锐角三角函数、勾股定理
以及直角三角形的性质可求线段DE的长．
【详解】解：分三种情况：①当∠DAE=30°时，
DE √3 DE √3
在Rt△ADE中，tan30°= = ，即 = ，
AD 3 4 3
4√3
可得DE= ；
3
②当∠AED=30°时，
AD √3 4 √3
在Rt△ADE中，tan30°= = ，即 = ，
DE 3 DE 3
可得DE=4√3；
③当∠D′EC=30°时，
如图，由折叠性质可得△ADE≌△AD′E，∴∠AED=∠AED′=75°
，
∴∠DAE=15°，
在Rt△ADE 中，作∠FEA=∠FAE交AD于点F，
则∠DFE=30°，
设DE=x，则AF=EF=2x,DF=√3x，
∵DF+AF=AD=4，
∴2x+√3x=4，
解得：x=8−4√3，
∴DE=8−4√3，
4√3
∴DE的长为 或4√3或8−4√3．
3
4√3
故答案为： 或4√3或8−4√3
3
18．规定：sin(﹣x)＝﹣sinx，cos(﹣x)＝cosx，cos(x+y)＝cosxcosy﹣sinxsiny，给出以下四个结论：
1 √6−√2
(1)sin(﹣30°)=− ；(2)cos2x＝cos2x﹣sin2x；(3)cos(x﹣y)＝cosxcosy+sinxsiny；(4)cos15°= ．
2 4
其中正确的结论的个数为 ．
【答案】3
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、新定义下的实数运算
【分析】根据题目中所规定公式，化简三角函数，即可判断结论．
1
【详解】解：(1)sin(−30°)=−sin30°=− ，故此结论正确；
2
(2)cos2x=cos(x+x)=cosxcosx−sinxsinx=cos2x−sin2x，故此结论正确；
(3)cos(x−y)=cos[x+(−y)]=cosxcos(−y)−sinxsin(−y)=cosxcos y+sinxsin y，故此结
论正确；
(4)cos15°
=cos(45°−30°)
=cos45°cos(−30°)−sin45°sin(−30°)
=cos45°cos30°+sin45°sin30°
√2 √3 √2 1
= × + ×
2 2 2 2√6 √2
= +
4 4
√6+√2
= ，故此结论错误．
4
所以正确的结论有3个，
故答案为：3．
【点睛】本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基
础知识，理解题中公式．
19．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠DAB+2∠ADC=180°，DE⊥AB于点E，
AD √15
DE=4，EB=2， = ，则AE= ．
DC 3
√6
【答案】
3
【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形
【分析】过点D作DM∥AB交BC的延长线于点M，易得DM⊥MB，则设CD=3x，AD=√15x，
其中x>0，本题考查了勾股定理的性质，解题关键在于熟练掌握勾股定理的性质．
【详解】解：过点D作DM∥AB交BC的延长线于点M，
易得DM⊥MB，
AD √15
∵ = ，
CD 3
则设CD=3x，AD=√15x，其中x>0，
在Rt△DMC，DM=EB=2，DC=3x，则MC=√9x2−4，
DE 4
在Rt△DAE，sin∠DAB= = ，
AD √15x√9x2−4
在Rt△DMC中，sin∠MDC= ，
3x
2
cos∠MDC= ，
3x
∵AB∥DM，
则∠DAB+∠ADC+∠MDC=180°，
∵∠DAB+2∠ADC=180°，
∴∠ADC=∠MDC，
∴∠DAB+2∠MDC=180°，
∴sin∠DAB=sin2∠MDC，
sin2∠MDC=2sin∠MDCcos∠MDC，
故sin∠DAB=2sin∠MDCcos∠MDC，
4 √9x2−4 2
可得 =2⋅ ⋅ ，
√15x 3x 3x
即54x4=60x2，
∵x>0，
√10
∴x= ，
3
5√6
则AD=√15x= ，
3
5√6
在Rt△ADE中，DE=4，AD= ，
3
√6
则AD=√AD2−DE2=
．
3
√6
故答案为： ．
3
20．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AC=6，点D在△ABC内，∠CBD=30°，CD⊥BD，
连接AD．若AD=√7，则AB的长为 ．
【答案】8或10【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质综合、解
直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了解直角三角形，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的
判定和性质，勾股定理，过点A作AE⊥AC，∠ECA=60°，连接BE， CE交AB于点G，过点B
作BF⊥AE于点F，则∠EAC=∠AFB=∠BFE=90°，AE=√3AC=6√3，
∠ECA=∠BAC=60°，可得∠AEC=30°，△ACG是等边三角形，得到CE=2AC，
AG=AC=6，又由∠CBD=30°，CD⊥BD可得∠BCD=60°，BC=2CD，即得
∠BCE=∠DCA，即可得到△BCE∽△DCA，据此可得BE=2AD=2√7，由
∠EAC=90°，∠GAC=60°，得∠GAE=30°，设BF=x，则AF=√3x，AB=2x，可得
EF=AE−AF=6√3−√3x，在Rt△BEF中，由勾股定理得(6√3−√3x) 2+x2=(2√7) 2 ，解得
x =4，x =5，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
1 2
【详解】解：过点A作AE⊥AC，∠ECA=60°，连接BE， CE交AB于点G，过点B作
BF⊥AE于点F，则∠EAC=∠AFB=∠BFE=90°，AE=√3AC=6√3，
∠ECA=∠BAC=60°，
∴∠AEC=90°−60°=30°，△ACG是等边三角形，
∴CE=2AC，AG=AC=6，
∵∠CBD=30°，CD⊥BD
∴∠BCD=60°，BC=2CD，
∴∠BCD=∠GCA，
∴∠BCE=∠DCA，
∵BC=2CD，CE=2AC，
∴△BCE∽△DCA，
BE CE
∴ = =2，
DA CA
∴BE=2AD=2√7，
∵∠EAC=90°，∠GAC=60°，
∴∠GAE=30°，
设BF=x，则AF=√3x，AB=2x，
∴EF=AE−AF=6√3−√3x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得(6√3−√3x) 2+x2=(2√7) 2 ，
解得x =4，x =5，
1 2
∴AB=8或AB=10，故答案为：8或10．
5
21．已知∠α为锐角，且sinα= ，则cosα= ．
13
12
【答案】
13
【知识点】求角的余弦值、利用同角三角函数关系求值
5
【分析】根据sinα= ，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可
13
推出cosα的值．
5
【详解】∵sinα2+cosα2=1，sinα= ，
13
12
∴cosα=± ，
13
又∵∠α为锐角，
12
∴cosα= .
13
12
故答案为： .
13
【点睛】此题考查了同角三角函数的知识，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，
通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
22．一副三角板如图所示放置，△ABC中∠ACB=90，∠BAC=60°，等腰Rt△BCD中
∠BDC=90°，连接AD，则tan∠ADC的值为
√3+1
【答案】
2
【知识点】解直角三角形的相关计算、求角的正切值【分析】本题考查解直角三角形，特殊角的三角函数值．过点A作AE⊥CD于E，设等腰
√6
Rt△BCD的边CD=BD=m，则BC=√2m，解Rt△ABC，得AC= m，再解Rt△AEC，得
3
√3 3−√3 AE
CE=AE= m，从而得DE= m，即可由tan∠ADC= 求解．
3 3 DE
【详解】解：过点A作AE⊥CD于E，如图，
设等腰Rt△BCD的边CD=BD=m，由勾股定理，得BC=√2m，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90，∠BAC=60°，
BC √2m
∴tan∠BAC= ，即tan60°= ，
AC AC
√6
∴AC= m，
3
∴等腰Rt△BCD，
∴∠BCD=45°，
∴∠ACD=45°，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴∠EAC=∠ACD=45°，
∴CE=AE，
√2 √2 √6 √3
∴CE=AE= AC= × m= m，
2 2 3 3
√3 3−√3
∴DE=CD−CE=m− m= m，
3 3
√3
m
AE 3 √3+1
∴tan∠ADC= = = ．
DE 3−√3 2
m
3
√3+1
故答案为： ．
2
23．如图，在锐角三角形ABC中，tanA=√3,BC=√5，线段BD､CE分别是AC､AB边上的高线，连接DE，则三角形ADE面积的最大值是 ．
5√3 5
【答案】 / √3
16 16
【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理
【分析】利用特殊角的三角函数值求得∠A的度数，利用三角形的高的意义求得
∠ACE=∠ABD=30°，利用含30°角的直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质定理得到
1
S ❑ = S ❑ ，作出△ABC的外接圆，得出当点A为优B´C的中点时，BC边上的高最大，即
△ ADE 4 △ ABC
△ABC的面积最大，此时AB=AC，△ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质求得△ABC的
面积最大值，则结论可求．
【详解】解：∵tan∠A=√3，
∴∠A=60°，
∵BD、CE分别是AC、AB边上的高线，
∴CE⊥AB,BD⊥AC，
∴∠ACE=∠ABD=30°，
1 1
∴AD= AB，AE= AC，
2 2
AE AD
∴ = ，
AC AB
∵∠A=∠A，
∴△ADE∼△ABC，
∴
S
△
❑
ADE=
(AD) 2
=
(1) 2
=
1
，
S ❑ AB 2 4
△ ABC
1
∴S ❑ = S ❑ ，
△ ADE 4 △ ABC
∴当△ABC面积最大时，三角形ADE面积有最大值，
作出△ABC的外接圆，如图，点A为优弧BC上的点，且∠A=60°，
∵BC=√5，
∴当点A为优B´C的中点时，BC边上的高最大，即△ABC的面积最大，此时AB=AC，
∴ △ABC为等边三角形，
1 5√3
∵S ❑ 的最大值= ×√5×√5×sin60°= ，
△ ABC 2 4
5√3
∴三角形ADE面积的最大值是 ，
16
5√3
故答案为 ．
16
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，直角三角形的边角关系
定理，特殊角的三角函数值，利用三角形的性质求得△ABC的面积的最大值是解题的关键．
24．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比为1:√3，若迎水坡宽度AC的长为4√3米，则堤高BC的长
为 ．
【答案】4
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
1 √3
【详解】解：∵迎水坡AB的坡比为1:√3，即tan∠A= =
√3 3
BC 1 BC 1
∴ = ，即 =
AC √3 4√3 √3
∴BC=4故答案为：4
【点评】：本题考查了坡度坡角问题，正确理解坡度坡角的定义是解题的关键．
1
25．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是BC上一点，若tan∠BAD= ，则
5
BD的长为 ．
【答案】2
【知识点】已知正切值求边长、用勾股定理解三角形、等边对等角
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质以及解直角三角形，先作DE⊥AB于E，再根据
1
tan∠BAD= ，求得AE=5DE，再证明DE=BE，最后根据AB=AE+BE=BE+5BE=6√2，
5
求得BE=√2，并在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理求得BD即可．
【详解】解：作DE⊥AB于E，
1 DE
∵tan∠BAD= = ，
5 AE
∴AE=5DE，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴∠BDE=∠B=45°,
∴BE=DE，
∴AE=5BE，
又∵AC=6，
∴AB=6√2，
∴AE+BE=5BE+BE=6√2，
∴BE=√2，
∴在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理得BD=2，
故答案为：2．三、解答题
26．在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，直角边AC的中点为D，点E在斜边上且AE=3，若
△ADE为直角三角形，求BC的值.
【答案】3或4
【知识点】解直角三角形的相关计算
【分析】本题主要考查了解直角三角形，分两种情况讨论：当∠ADE=90°时，∠AED=90°时，
分别解直角三角形，可得答案．
【详解】当∠ADE=90°时，如图所示．
∵AE=3，∠A=30°，
√3 3√3
∴AD=AE⋅cos30°=3× = ．
2 2
∵直角边AC的中点为点D，
∴AC=2AD=3√3．
∵∠C=90°，∠A=30°，
√3
∴BC=AC⋅tan30°=3√3× =3；
3
当∠AED=90°时，如图所示．
∵AE=3，∠A=30°，
√3
∴AD=AE÷cos30°=3÷ =2√3．
2
∵直角边AC的中点为点D，
∴AC=2AD=4√3．
∵∠C=90°，∠A=30°，
√3
∴BC=AC⋅tan30°=4√3× =4．
3
综上所述，BC的长为3或4．27．如图，△ABC为等边三角形，点D是边BC上一点，点E是射线BA上一动点，连接DE，将射
线DE绕点D顺时针旋转120°，与射线AC相交于点F．
(1)若BD=CD．
①如图1，当点E在边AB上时，请直接写出线段DE与DF的数量关系：______；
②当点E，点F落在如图2所示位置时，①中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；
1 1 AF
(2)如图3，BD= CD，当AE= AB时，直接写出 的值．
2 2 CF
【答案】(1)①DE=DF；②成立，见解析
10
(2)4或
7
【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质综合、解直
角三角形的相关计算
【分析】（1）①过点D作DH∥AB交AC于点H，根据等边三角形的性质可得
∠B=∠A=∠C=60°，求得DB=DC，根据平行线的性质可得∠DHC=∠A=60°，
∠HDC=∠B=60°，根据等边三角形的判定和性质可得DC=DH=DB，求得∠BDH=120°，
根据全等三角形的判定的和性质即可证明DE=DF；
②过点D作DN∥AB交AC于点N，根据等边三角形的性质可得∠B=∠C=60°，根据平行线的性
质可求得∠CDN=∠C=60°，根据等边三角形的判定和性质可得ND=CD，∠FND=60°，推得
∠B=∠FND=60°，BD=ND，根据旋转的性质可得∠EDF=120°，根据全等三角形的判定和
性质即可证明DE=DF；
（2）分两种情形：当点E是AB的中点时，设AB=BC=AC=6a，则BD=2a，AE=EB=3a，过
点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，根据特殊角的锐角三角函数可得BM=a，
DM=√3a，CN=2a，DN=2√3a，根据旋转的性质和相似三角形的判定和性质可求得CF=2a，
AF=8a，即可求解；当点E在BA的延长线上时，设AB=BC=AC=6a，则BD=2a，过点D作
DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，根据特殊角的锐角三角函数可得BM=a，DM=√3a，
CN=2a，DN=2√3a，根据旋转的性质和相似三角形的判定和性质可求得CF=14a，AF=20a，
即可求解．【详解】（1）解：①DE=DF；理由如下：
理由：过点D作DH∥AB交AC于点H，如图：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠A=∠C=60°，
∵点D为BC的中点，
∴DB=DC，
∵DH∥AB，
∴∠DHC=∠A=60°，∠HDC=∠B=60°，
∴△DHC是等边三角形，
∵DC=DH=DB，
∴∠BDH=180°−∠HDC=120°，
∵∠EDF=120°，
∴∠EDF=∠BDH，
∴∠EDB=∠FDH，
∴△DBE≌△DHF(ASA)，
∴DE=DF；
故答案为：DE=DF；
②成立，DE=DF，理由如下：
过点D作DN∥AB交AC于点N，如图：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DN∥AB，
∴∠CDN=∠B=60°，∴∠CDN=∠ACB=60°，
∴△CDN是等边三角形，
∴ND=CD，∠FND=60°，
∴∠B=∠FND=60°，
∵BD=CD，
∴BD=ND，
∵∠BDN=180°−∠CDN=180°−60°=120°，
又由旋转可知∠EDF=120°，
∴∠BDN=∠EDF，
∴∠BDE=∠NDF，
∴△BDE≌△NDF，
∴DE=DF．
（2）解：当点E是AB的中点时，如图：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠DCN=60°，
设AB=BC=AC=6a，则BD=2a，AE=EB=3a，
过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N．
∵∠B=∠DCN=60°，
1 √3
∴BM=BD⋅cos60°=2a× =a，DM=BD⋅sin60°=2a× =√3a，
2 2
1 √3
CN=DC⋅cos60°=4a× =2a，DN=DC⋅sin60°=4a× =2√3a，
2 2
∵∠DMA=∠DNA=90°，∠A=60°，
∴∠MDN=360°−2×90°−60°=120°，
由旋转可知∠EDF=120°，
∴∠MDN=∠EDF，
又∵∠MDN=∠MDE+∠NDE，∠EDF=∠FDN+∠NDE，
∴∠MDE=∠NDF，
∵∠DME=∠DNF=90°，∴△DME∽△DNF，
EM DM √3a 1
∴ = = = ，
FN DN 2√3a 2
∴FN=2EM，
又∵ME=BE−BM=3a−a=2a，
∴FN=2EM=4a，
则CF=FN−CN=4a−2a=2a，AF=AC+CF=6a+2a=8a，
AF 8a
∴ = =4；
CF 2a
当点E在BA的延长线上时，如图：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠DCN=60°，
1
设AB=BC=AC=6a，则BD=2a，AE= AB=3a，BE=BA+AE=9a，
2
过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N．
∵∠B=∠DCN=60°，
1 √3
∴BM=BD⋅cos60°=2a× =a，DM=BD⋅sin60°=2a× =√3a，
2 2
1 √3
CN=DC⋅cos60°=4a× =2a，DN=DC⋅sin60°=4a× =2√3a，
2 2
∵∠DMA=∠DNA=90°，∠A=60°，
∴∠MDN=360°−2×90°−60°=120°，
由旋转可知∠EDF=120°，
∴∠MDN=∠EDF，
又∵∠MDN=∠MDE+∠NDE，∠EDF=∠FDN+∠NDE，
∴∠MDE=∠NDF，∵∠DME=∠DNF=90°，
∴△DME∽△DNF，
EM DM √3a 1
∴ = = = ，
FN DN 2√3a 2
∴FN=2EM，
又∵ME=BE−BM=9a−a=8a，
∴FN=2EM=16a，
则CF=FN−CN=16a−2a=14a，AF=AC+CF=6a+14a=20a，
AF 20a 10
∴ = = ；
CF 14a 7
AF 10
综上， 的值为4或 ．
CF 7
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和
性质，特殊角的锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关
键．
28．如图是由小正方形组成的网格，△ABC的顶点都是格点．先在AB上画点F，使得
1
tan∠ACF= ，再在BC上画点G，使得∠BFG=∠BCF．
2
【答案】见解析
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、线段垂直平分线的判定、求角的正切值
【分析】本题考查了复杂作图，涉及了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，
三角函数．取格点D，连接CD交AB于点F，点F即为所求．取格点E、H、I、J，连接EH交
IJ于点N，连接FN并延长，交BC于点G，点G即为所求．
【详解】解：如图，取格点D，连接CD交AB于点F，点F即为所求．AB=√32+42=5=BC
，
∴∠BAC=∠BCA，
∵BH=DL=3，AH=CL=4，AB=CD=√32+42=5，
∴△ABH≌△CDL(SSS)，
∴∠BAH=∠DCL，∴∠CAH=∠DCA，
CH 2 1
∴tan∠ACF=tan∠CAH= = = ；
AH 4 2
取格点E、H、I、J，连接EH交IJ于点N，连接FN并延长，交BC于点G，点G即为所求．设
IJ交EH于点P，
同理△JIO≌△CDL(SSS)，
∴∠KDI=∠KID，
∴KD=KI，又PA=PH，
∴PK是线段FN的垂直平分线，
∴FG∥AH，
∴∠BFG=∠BAH=∠BCF．
29．汉阙，是汉代的一种纪念性建筑，渠县共有6处7尊，占全国汉阙的四分之一，因此，渠县也
被命名为“中国汉阙之乡”，其中著名的沈府君阙早在1961年就被列为全国重点文物保护单位．某
校数学兴趣小组周末开展综合实践活动，想测量沈府君阙的高度．如图，已知测倾器的高度为1米，
在测点A处安置测倾器，测得沈府君阙的顶点M的仰角∠MBC=35°，在与点A相距1.65米的测
点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC=45°（点A，D，N在一条直线上），求汉阙的高度
MN的长．（结果精确到0.01米，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）【答案】汉阙的高度MN的长约为4.85米．
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定．延长BE交MN于点F，设
MF=x米，先说明四边形FNDE，四边形DEBA，四边形FNAB均为矩形，得出NF=DE=AB=1
米，EF=ND，BE=AD=1.65米，根据∠MEF=45°，得出EF=MF=x（米），BF=x+1.65
MF x
（米）利用锐角三角函数得出tan∠MBF= ，即tan35°= ≈0.7求解即可．
BF x+1.65
【详解】解：延长BE交MN于点F，如图，
设MF=x米，
∵MN⊥AN，ED⊥AN，AB⊥AN，BE∥AN，
∴∠FND=∠EDN=∠BAD=∠EBA=∠FED=90°，
∴四边形FNDE，四边形DEBA，四边形FNAB均为矩形，
∴NF=DE=AB=1米，EF=ND，BE=AD=1.65米，
∵∠MEF=45°，∠MFE=90°，
∴EF=MF=x（米），BF=x+1.65（米），
MF x
在Rt△MBF中，tan∠MBF= ，即tan35°= ≈0.7，
BF x+1.65
解得x≈3.85（米），
∴MN=x+1≈4.85（米），
即汉阙的高度MN的长约为4.85米．
30．如图所示，BA和CD表示前后两幢楼，按照有关规定两幢楼问的间距不得小于楼的高度，即图
中AC大于等于CD．小明想测量一下他家所住AB楼与前面CD楼是否符合规定，于是他在AC间的
点M处架了测角仪，测得CD楼顶D的仰角为45°，已知AM=4米，测角仪距地面MN=1.5米．(1)问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由；
(2)为了知道前面CD楼的高度，小明又到家里（点P处），用测角仪再次测得CD楼顶D的仰角为α，
如果AP=7.5米，sinα=0.6，请你来计算一下CD楼的高度．
【答案】(1)两楼的间距符合规定，理由见解析
(2)37.5米
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，题目中涉及到了仰角的问题，解答本题的关键是根据仰
角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
（1）过点N作NG⊥DC于点G，在Rt△DNG中，由∠DNG=45°得到NG=DG，比较
AM+NG与DG+GC即可；
3
（2）延长DP，GN交于H，由sinα=0.6，可得tanα= ，由正切函数可求得HJ，设
4
DG
NG=DG=x，则HG=8+4+x=12+x，tanα= ，列方程可求得结论．
HG
【详解】（1）解：过点N作NG⊥DC于点G，
在Rt△DNG中，∵∠DNG=45°
∴NG=DG，
∵AC=AM+NG，DC=DG+GC，AM=4米，MN=1.5米，
∴AC>DC，
∴两楼的间距符合规定；
（2）解：延长DP，GN交于H，
则∠H=α，PJ=AP−MN=7.5−1.5=6（米），∵sinα=0.6，
3
∴tanα= ，
4
PJ
∴HJ= =8（米），
tanα
设NG=DG=x，则HG=8+4+x=12+x，
DG
∵tanα= ，
HG
3 x
∴ = ，
4 12+x
解得x=36，即DG=36米，
∴DC=DG+GC=36+1.5=37.5（米)，
∴CD楼的高度为37.5米．
31．如图1是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构
示意图，量得托板AB=120mm，支撑板CD=110mm，底座DE，托板AB固定在支撑板顶端C处，
且CB=40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．
(1)若∠DCB=70°，∠CDE=60°，求点A到直线DE的距离．（精确到0.1mm）
(2)为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转20°后，再将CD绕点D顺时针旋转，
使点B落在直线DE上，求CD旋转的角度大约是多少度？
参考数据：（sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin20°≈0.342，
cos20°≈0.940，tan20°≈0.364，√3≈1.732）．
【答案】(1)点A到直线DE的距离是156.5mm
(2)40°
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键；
（1）过点C作CF⊥DE于点F，过点A作AG⊥CF于点G，由题意易得CF=55√3，则有
∠BCF=∠ACG=40°，然后问题可求解；
BC 40
（2）由题意易得∠DCB=90°，然后可得tan∠BDC= = ≈0.3636，进而问题可求解
CD 110
【详解】（1）解：过点C作CF⊥DE于点F，过点A作AG⊥CF于点G，在Rt△CDF中，∠CDE=60°，
CF
∴sin60°= ，
CD
√3 CF
∴ = ，
2 110
∴CF=55√3，
∵CF⊥DE，
∴∠CFD=90°，
∴∠DCF=90°−∠CDE=90°−60°=30°，
∴∠BCF=∠DCB−∠DCF=70°−30°=40°，
∴∠BCF=∠ACG=40°，
在Rt△ACG中，∠ACG=40°，AC=120−40=80mm，
CG CG
∴cos40°= ，0.766= ，
AC 80
∴CG=61.28，
∴GF=CG+CF=61.28+55√3≈156.5，
∵平行线间的距离处处相等，
∴点A到直线DE的距离是156.5mm．
（2）解：旋转后如图所示，
∠DCB=70°+20°=90°
，
在Rt△BCD中，
BC 40
tan∠BDC= = ≈0.3636，
CD 110
∴∠BDC=20°，
∴60°−20°=40°，
∴CD旋转40°．
32．2023年春节期间，某市举办烟花表演，其中最美烟花当属“惊艳天梯”．当烟花在空中点燃的那一刻，一段段明亮的台阶依次向上显现，在空中逐渐形成一幅美妙的“天梯”图案，十分惊艳．
如图，某专业团队在水平地面DE上竖直架设测角仪CD，测量“天梯”AB的长度，在C处测得
“天梯”最低点B的仰角∠BCF=30°，最高点A的仰角∠ACF=76°，若DE=150m，A，B，F，
E共线且垂直于地面，且与C，D位于同一平面内．请你根据以上信息，计算出天梯AB的长度．
（结果精确到1m，参考数据：√3≈1.73，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）
【答案】“天梯”AB的长度约为515m
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，由题意得，CF=DE=150m，在
√3
Rt△BCF中，根据三角函数的定义得到BF= CF，在Rt△ACF中，根据三角函数的定义得到
3
AF
tan∠ACF=tan76°= ≈4.01，于是可得到结论．
CF
【详解】解：由题意得，CF=DE=150m，
在Rt△BCF中，∠BCF=30°，∠BFC=90°，
BF √3
∴ tan∠BCF=tan30°= = ，
CF 3
√3
解得BF= CF，
3
AF
在Rt△ACF中，tan∠ACF=tan76°= ≈4.01，
CF
解得AF=4.01CF，
√3
∴AB=AF−BF=4.01CF− CF≈601.5−86.5=515m，
3
答：“天梯”AB的长度约为515m．
33．求下列各式的值
(1)2sin30°−cos45°；
(2)sin45°+tan30°·sin60°；(3)sin30°+cos30°．
√2
【答案】(1)1−
2
1+√2
(2)
2
1+√3
(3)
2
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了特殊三角函数值的运算，熟悉掌握特殊角的三角函数值的大小是解题的关键．
1 √2
（1）根据sin30°= ，cos45°= 代入运算即可；
2 2
√2 √3 √3
（2）根据sin45°= ，tan30°= ，sin60°= 代入运算即可；
2 3 2
1 √3
（3）根据sin30°= ，cos30°= 代入运算即可．
2 2
【详解】（1）解：2sin30°−cos45°，
1 √2
=2× − ，
2 2
√2
=1− ；
2
（2）sin45°+tan30°·sin60°，
√2 √3 √3
= + × ，
2 3 2
√2 1
= + ，
2 2
1+√2
= ；
2
（3）sin30°+cos30°，
1 √3
= + ，
2 2
1+√3
= ．
2
34．如图一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40√2海里的A处，它沿正南方向航行一段时间
后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为多少海里？【答案】(40+40√3)海里
【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】先在Rt△ACP中，解直角三角形分别求出AC,PC的长，再在Rt△BCP中，解直角三角形
求出BC的长，然后根据线段的和差即可得．
【详解】解：由题意得：AP=40√2海里，∠APC=45°,∠BPC=90°−30°=60°,AB⊥PC，
√2
在Rt△ACP中，AC=AP⋅sin∠APC=40√2× =40（海里），
2
√2
PC=AP⋅cos∠APC=40√2× =40（海里），
2
在Rt△BCP中，BC=PC⋅tan∠BPC=40×√3=40√3（海里），
则AB=AC+BC=(40+40√3)海里，
答：海轮行驶的路程AB为(40+40√3)海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
35．我国无人机已广泛的应用在人们的生产和生活中．如图所示，某中学数学课外活动小组利用无
人机测量沅江某一段江面的宽度，先在沅江两岸边上各选定一点A、B，且AB所在直线与江岸所在
直线垂直，再在A点放飞无人机到一定高度后，然后在AB上方从A向B以30m/s的速度水平飞行．
在M点处测得A点的俯角为72°，B点的俯角为30°，20s后在N点处测得B点的俯角为60°，求此
段沅江江面的宽度（结果精确到米）（参考数据：√3≈1.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，
tan72°≈3.08）
【答案】1069m
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长、等腰三角形的
性质和判定
【分析】如图所示，分别过A、B作直线MN的垂线，垂足分别为C、D两点，则四边形ABDC是矩形，则AB=CD，AC=BD，求出MN=600m，证明∠BMN=∠MBN得到BN=MN=600m，
解Rt△BDN得到DN=300m，BD=300√3m，再解Rt△AMC得到CM≈169m，由此即可得到答
案．
【详解】解：如图所示，分别过A、B作直线MN的垂线，垂足分别为C、D两点，则四边形ABDC
是矩形，
∴AB=CD，AC=BD，
由题意得，MN=20×30=600(m)，
∵∠MBN=∠BND−∠BMD=30°，
∴∠BMN=∠MBN，
∴BN=MN=600m，
在Rt△BDN中，DN=BN⋅cos∠BND=300m，BD=BN⋅sin∠BND=300√3m，
∴AC=BD=300√3m，
AC 300√3
在Rt△AMC中，CM= = ≈169(m)，
tan∠AMC tan72°
∴AB=CD=CM+MN+DN=1069m，
∴此段沅江江面的宽度约为1069m．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等腰三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，
正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【能力提升】
36．如图1是一个手机支架的截面图，由底座MN、连杆A−B−C−D和托架组成，AB⊥MN，
BC可以绕点B自由转动，CD的长度可以进行伸缩调节，已知∠BCD=143°，AB=12cm，
BC=6cm．
(1)如图2，若AB，BC在同条直线上，CD=9.5cm，求点D到底座MN的距离（结果保留整数）；(2)如图3，调节CD长度为12cm，并转动连杆BC使AD∥BC时，达到最佳视觉状态，求∠ABC的
度数．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
【答案】(1)26cm
(2)143°
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、矩形的判定定理理解、根据平行线判定与性质证明
【分析】（1）过点D作DE⊥MN于E，点C作CF⊥DE于F，证明出四边形AEFC是矩形，在
Rt△CDF中，得出DF=CD⋅sin∠DCF≈9.5×0.8=7.6，根据DE=DF+EF即可求解；
（2）作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，在Rt△CDF中，CD=12，∠DCF=53°，算出CF=7.2，
证明四边形BCFE是矩形，得出BE=CF=7.2，在Rt△ABE中求解即可．
【详解】（1）解：如图2，过点D作DE⊥MN于E，点C作CF⊥DE于F，
则∠AEF=∠CFE=∠CAN=90°，
∴四边形AEFC是矩形，
∴EF=AC=AB+BC=12+6=18．
在Rt△CDF中，CD=9.5，∠DCF=143°−90°=53°，
∴DF=CD⋅sin∠DCF≈9.5×0.8=7.6，
∴DE=DF+EF=7.6+18=25.6≈26，
∴点D到底座MN的距离为26cm．
（2）解：如图3，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，
在Rt△CDF中，CD=12，∠DCF=53°，
∴CF=CD⋅cos∠DCF≈12×0.6=7.2，
∵BC∥AD，∴∠BCF=∠EFC=90°,∠CBE=∠FEB=90°，
∴四边形BCFE是矩形，
∴BE=CF=7.2，
在Rt△ABE中，
BE 7.2
cos∠ABE= = =0.6，
AB 12
∴∠ABE≈53°，
∴∠ABC=90°+∠ABE=143°．
【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、锐角三角函数、平行线的性质，解题的关键是添加适当的
辅助线、熟练利用锐角三角函数的知识点求解．
37．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水
器：先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上.为使集热板吸热率更高，
公司规定：AD与水平面夹角为θ ，且在水平线上的射影AF为1.4m.现已测量出屋顶斜面与水平面
1
夹角为θ ，并已知tanθ =1.082，tanθ =0.412．如果安装工人确定支架AB高为25cm，求支架
2 1 2
CD的高（结果精确到1cm）？
【答案】支架DC的高应为119cm．
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】过A作AE∥BC，则∠EAF=∠CBG=θ ，EC=AB=25cm，再根据锐角三角函数的定义用θ、
2 1
θ 表示出DF、EF的值，再根据DC=DE+EC进行解答即可．
2
【详解】解：如图所示，过A作AE∥BC，则∠EAF=∠CBG=θ ，
2
EC=AB=25cm
∵Rt△DAF中：∠DAF=θ ，DF=AFtanθ ，
1 1Rt△EAF中：∠EAF=θ，EF=AFtanθ ，
2 2
∴DE=DF-EF=AF（tanθ -tanθ ）
1 2
又∵AF=140cm，tanθ =1.082，tanθ =0.412，
1 2
∴DE=140×（1.082-0.412）=93.8，
∴DC=DE+EC=93.8+25=118.8 cm≈119cm．
答：支架DC的高应为119cm．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角
三角函数的定义进行解答是解答此题的关键．
38．图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的侧面简化示意图，夹子两边为AC，BD （闭合时点
A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE＝OF＝1cm，AC＝BD
＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．
（1）当E，F两点的距离最大时，求∠EOF增加了多少度（结果精确到1°，参考数据：
tan67.4°≈2.40，tan15.5°＝0.278，tan74.5°≈3.60）：
（2）当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，求A，B两点间的距离．
60
【答案】（1）∠EOF增加了31度；（2）AB= cm．
13
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角
形、全等三角形综合问题
18 5
【分析】（1）连接OA，由题意易得AE= cm，则有tan∠OAE= ≈0.278，进而可得
5 18
∠OAE=15.5°，然后可得∠EOA=74.5°，最后问题可求解；
12
（2）如图，连接EF交OC于点H，由题意易得CE=CF= cm，则有OC垂直平分线段EF，然后
5
12 24
由等积法可得EH= cm，EF= cm，进而根据相似三角形的性质可求解．
13 13
【详解】解：（1）连接OA，如图所示：∵AC＝BD＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3，
3 18
∴AE=AF= ×6= cm，
5 5
∵OE⊥AC，OF⊥BD，OA=OA，
∴△OEA≌△OFA(HL)，
∴∠EOA=∠FOA，∠OAE=∠OAF，
∵OE＝OF＝1cm，
OE 5
∴tan∠OAE=tan∠OAF= = ≈0.278，
AE 18
∴∠OAE=∠OAF=15.5°,
∴∠EOA=∠FOA=74.5°，
∴∠EOF=149°，
当点E、O、F三点共线时，E，F两点的距离最大，
∴∠EOF增大的度数为180°-149°=31°；
答：∠EOF增加了31度．
（2）如图，连接EF交OC于点H，
2 12
由题意得：CE=CF= ×6= cm，
5 5
∵OE＝OF＝1cm，
∴OC垂直平分线段EF，
13
∴OC=√CE2+OE2= cm，
51 1
∵S = OE⋅EC= CO⋅EH，
△OEC 2 2
12
1×
5 12
∴EH= = cm，
13 13
5
24
∴EF=2EH= cm，
13
∵AC＝BD＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3，
CE CF 2
∴ = = ，
AE BF 3
∴EF//AB，
∴△CEF∽△CAB，
EF CE 2
∴ = = ，
AB CA 5
5 24 60
∴AB= × = cm；
2 13 13
60
答：A，B两点间的距离为 cm．
13
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性
质与判定、三角函数及勾股定理是解题的关键．
39．在课题学习《如何设计遮阳棚》中，计划在移门上方安装一个可伸缩的遮阳棚（如图1），其
中AC为移门的高度，B为遮阳棚固定点，BD为遮阳棚的宽度（可变动）AB=50cm，AC=210cm，
∠CBD=80°．
小丁所在小组负责探究“移门在正午完全透光时太阳高度角与遮阳棚宽度的关系”，查阅得到如下
信息：太阳高度角是指太阳光线与地平面的夹角；该地区冬至日正午的太阳高度角a最小（约35°
）；夏至日正午的太阳高度角a最大（约80°）．请你协助该小组，完成以下任务：
【任务1】如图2，在冬至日正午时要使太阳光完全透过移门，BD应该不超过多少长度（结果精确
到0.1cm）【任务2】如图3，有一小桌子在移门的正前方，桌子最外端E到移门的距离为180cm，桌子高度
MN=80cm．若要求在夏至日正午时太阳光恰好照射不到桌面，则BD应该多长？（结果精确到
0.1cm．参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin10°≈0.17，
cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，√2≈1.41）．
【答案】任务1：BD应该不超过58.1cm；任务2：BD长约为208cm．
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】任务1：设BD=x，过点Ｄ作DE⊥BC于点E，在Rt△BED中，求得BE=0.17x，
0.98x
DE=0.98x，在Rt△AED中，得到AE= ，根据AB=50cm，列式计算即可求解；
1.43
任务2：先求得∠BDE=90°，作EF⊥BC于点F，连接BE，过点D作DG⊥BE于点G，设
0.57x
BD=x，同理求得BG=0.82x，DG=0.57x，¿= ，根据BE=180√2，列式计算即可求解．
1.43
【详解】解：任务1：在冬至日正午时要使太阳光完全透过移门，α=35°，设BD=x，过点Ｄ作
DE⊥BC于点E，如图，
BE DE
∵∠CBD=80°，∴∠EBD=10°，在Rt△BED中，sin10°= ，cos10°= ，∴
BD BD
DE
BE=0.17x，DE=0.98x，又∵α=35°，∴∠DAE=55°，在Rt△AED中，tan55°= ，∴
AE
0.98x 0.98x
AE= ，又∵AB=50cm，∴0.17x+ =50，解得x≈58.1，
1.43 1.43
答：BD应该不超过58.1cm；
任务2：如图，作EF⊥BC于点F，连接BE，过点D作DG⊥BE于点G，设BD=x，则EF=180cm，FC=MN=80cm，BF=210+50−80=180cm=EF，∴△BEF是等腰直角三角
形，则∠FBE=∠FEB=45°，BE=√2EF=180√2，∵∠FEH=α=80°，则∠FED=100°，
∴∠BDE=360°−100°−90°−80°=90°，∠DEG=100°−45°=55°，
BG
∠DBG=80°−45°=35°，∠BDG=90°−35°=55°，在Rt△BGD中，sin55°= ，
BD
DG DG 0.57x
cos55°= ，∴BG=0.82x，DG=0.57x，在Rt△EDG中，tan55°= ，∴¿= ，又
BD GE 1.43
0.57x
∵BE=180√2，∴0.82x+ =180√2，解得x≈208，
1.43
答：BD长约为208cm．
【点睛】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，
再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．
40．如图①是某公园的一个上肢牵引器，图②是其静止状态下的简化示意图（CE、DF分别在同一
水平线上），立柱AB与水平地面MN垂直，挑杆AC＝AE，手拉链CD＝EF，且始终与地面垂直．
经查询，挑杆AC＝AE＝0.33m，∠CAE＝130°．当运动者做上肢牵引运动时，将牵引器由静止状态
拉至如图③所示的状态，此时∠CAB＝52°，求点E上升的高度．（结果精确到0.01m，参考数据：
sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70）
【答案】0.07m
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）【分析】先在图2中，设AB与CE相交于点Q利用等腰三角形的三线合一性质求出∠CAQ＝65°，
然后在Rt△ACQ中，求出AQ，再在图3中，过点E作EP⊥AB，垂足为P，先求出∠EAP＝78°，然
后在Rt△APE中，求出AP，然后进行计算即可解答．
【详解】解：设AB与CE相交于点Q，如图：
∵CE∥MN，AB⊥MN，
∴AQ⊥CE，
∵AC＝AE，
1 1
∴∠CAQ= ∠CAE= ×130°＝65°，
2 2
在Rt△ACQ中，AQ＝ACcos65°＝0.33×0.42＝0.1386m，
过点E作EP⊥AB，垂足为P，
∵∠CAB＝52°，∠CAE＝130°，
∴∠EAP＝∠CAE﹣∠CAB＝130°﹣52°＝78°，
在Rt△APE中，AP＝AEcos78°＝0.33×0.21＝0.0693m，
∴AQ﹣AP＝0.1386﹣0.0693≈0.07（m），
∴点E上升的高度为0.07m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系的解题关键，难点在于如何
添加辅助线将问题转化为解直角三角形问题．
